ar 9 - mcd mcm

“I.E.P. AI APAEC” Sin límites...!!

AR 9 – 15 – LAAMCD - MCM

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)El MCM de varios enteros positivos, es el

menor entero positivo que sea divisible entre

cada uno de ellos.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)El MCD de varios enteros positivos, es el

mayor entero que sea divisor de cada uno de

ellos.

PROPIEDADES DEL M.C.D Y M.C.M

1. Si varios números son P.E.S.I. el M.C.D.

de ellos es igual a la unidad.

2. Si a varios números los multiplicamos o

dividimos por un mismo número entero,

el M.C.D. y el M.C.M. de ellos quedarán

multiplicados o divididos por dicho

entero.

3. Si a varios números los dividimos entre

su M.C.D. los cocientes obtenidos serán

P.E.S.I.

4. El producto de 2 números será siempre

igual al producto del M.C.D. y el M.C.M.

de aquellos números.

5. Si un conjunto de enteros se reemplazan

dos o más de ellos por su M.C.D. o su

M.C.M. entonces el M.C.D. o el M.C.M.

del conjunto de dichos enteros no se

altera.

6. Si un número es múltiplo de otros, será

múltiplo del M.C.M. de aquellos números.

7. Si:

M.C.D. (a, b) = d y el M.C.M.(a , b) = m

Entonces:

MCD(an , bn) = dn y MCM(an , bn) = mn

8. Sean los números:

N = ap – 1 y M = aq – 1.

Entonces el MCD(N;M) = aMCD(p; q) – 1.

Métodos de obtención del mcm y mcd.3.1. Por descomposición canónica.

3.2. Por descomposición simultánea.

Método de divisores sucesivas o algoritmo de Euclides para la obtención del MCD de dos números.Se divide el mayor entre el menor,

obteniéndose un cociente y un primer

residuo; sin considerar el cociente, se

divide el menor entre el primer residuo,

obteniéndose otro cociente y un segundo

residuo; en seguida, se divide el primer

residuo entre el segundo, así

sucesivamente, hasta que el residuo

resulte cero. El MCD de los enteros, es

el divisor de la última división cuyo

residuo ha resultado cero.

En general, para dos enteros A y B (A > B)

se tiene:

q1 q2 q3 qn-1 qn qn+1

A B r1 r2 rn-2 rn-1 rnMCD(a,b)

r1 r2 r3 r4 rn o

Ultimo residuo

Av Honorio Delgado 573 Urb El Bosque - Trujillo (044) 607192


NIVEL I

1. Al calcular el MCD de dos enteros

primos entre sí mediante el Algoritmo

de Euclides se ha obtenido los cocientes

sucesivos 1, 2, 2, 3, 5 y 2. ¿Cuáles son

los números?

A) 190 y 180 B) 270 y 120

C) 360 y 180 D) 278 y 197

E) 420 y 720

2. Si el máximo común divisor de dos

enteros A y B es ab , sabiendo que los

cocientes sucesivos que se obtuvieron

al hallar el M.C.D. por divisiones

sucesivas han sido 5; 4; 3 y 2.

Además: A + B = 5797. Hallar (a + b)

A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 8

3. Se trata de depositar el aceite de 3

barriles que tienen 210, 300 y 420 litros

de capacidad en envases que sean

iguales entre sí. ¿Cuál es la menor

cantidad de envases que se emplearían

para que todos estén llenos y no

desperdicien aceite?

A) 30 B) 51 C) 31

D) 41 E) 27

4. Las dimensiones de un terreno

rectangular son 894 y 354m. Se desea

parcelarlo en terrenos cuadrados de tal

modo que no sobre nada y se obtenga

el menor número de parcelas. ¿Cuántas

parcelas cuadradas resultarán?

A) 354 B) 894 C) 8940

D) 8791 E) 879

5. Si la suma de dos números es 504 y el

MCD es 84. ¿Cuáles son los números?

A) 84 y 120 B) 120 y 360

C) 84 y 168 D) 84 y 420

E) 320 y 420

6. El MCD de 4 números es 36, el MCD de

los dos primeros es la sexta parte de los

dos últimos. ¿Cuál es el MCD de los dos

últimos?

A) 36 B) 6 C) 360

D) 216 E) 210

7. La suma del M.C.D. y el M.C.M. de dos

números es 92 y el cociente del M.C.M.

entre el M.C.D. es 45. Hallar la suma de

los números.

A) 32 B) 14 C) 82

D) 28 E) 15

8. Si: MCD ( A7

; 2 A3

; 6 A5 )=26

; hallar la

suma de cifras del valor que toma A.

A) 10 B) 11 C) 12

D) 20 E) 13

9. Si el MCM (117A, 9B) = 58968, el

MCD(143A, 11B) = 132. Hallar A x B

A) 6048 B) 4068 C) 1280

D) 1200 E) 58968

10. El MCM de dos enteros es igual al

producto de tres enteros consecutivos y

el MCD es igual al número central. ¿Qué

valor mínimo pueden tomar los enteros,

si son pares y divisibles entre 9?

A) 306 B) 603 C) 210

D) 120 E) N.A.


PRÁCTICA DE CLASE


11. Al dividir “A” entre 58 resulta (2k + 1) y al

dividir “B” entre 58 se obtiene (3k + 1)

siendo k entero, hallar el MCD(A, B).

A) 58 B) 60 C) 85

D) 30 E) 46

12. Hallar (a + b + c) sabiendo que los

cocientes sucesivos al calcular el MCD

por el algoritmo de Euclides, de los

numerales a (a+4 )a y (a+4 )bc ; fueron

1, 1, 1 y 3.

A) 10 B) 11 C) 12

D) 14 E) 13

13. Hallar “n” en los números:

A = 45 60n

B = 60 45n

Para que se cumpla:

M.C.M. (A,B) = 12 M.C.D. (A,B)

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

14. La suma de los números A y B es 651;

el cociente entre su M.C.M. y M.C.D. es

108, luego A – B es:

A) 11 B) 77 C) 483

D) 436 E) N.A.

15. El MCM de los números A y B es 88.

Si A2 + B2 = 2000.

Hallar A + B

A) 48 B) 50 C) 44

D) 52 E) 56

NIVEL II1. La rueda delantera de un coche tiene

2 metros de circunferencia y la trasera

5 metros. ¿Cuántos metros tendrá

que avanzar el carro para que las dos

ruedas hayan dado un número

completo de vueltas?

A) 10 m C) 8 m E)

N.A.

B) 9 m D) 15 m

2. El papá de Carlos debe tomar 3

medicinas según las siguientes

indicaciones: el jarabe cada 4 horas,

la pastilla para la presión cada 5

horas y la pastilla para la irrigación del

cerebro cada 8 horas. Si inició el

tratamiento el lunes a las 6:00 a.m.,

tomando las tres medicinas juntas,

¿cuándo volverá a tomar las

medicinas nuevamente juntas?

a) El miércoles a las 10 a.m.

b) El martes a las 10 p.m.

c) El miércoles a las 10 p.m.

d) El miércoles a las 6 p.m.

e) El miércoles a las 8 p.m.

3. La suma de dos números A y B es

651, el cociente entre su MCM y su

MCD es 108. Halle (A - B).

A) 108 B) 216 C) 713

D) 483 E) 438

4. Si:

MCD (3 A; 24 C) = 18 N

y MCD (2 C; B ) = 2N

Calcule “N” si:

MCD (A; 4 B; 8 C) = 21000

A) 10 500 B) 21 000 C) 13 500

D) 12 200 E) 12 400

5. Si:

Calcule: (a + b)

A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 9

6. Se tiene 3 números A; B y C al

calcular el MCD de A y B por el

algoritmo de Euclides se obtuvieron

como cocientes 1; 1 y 2. Al calcular el



MCD de A y C por el mismo método

se obtuvo como cocientes 1; 2 y 2.

Halle el menor de dichos números si

se cumple que: A + B + C = 1053.

A) 225 B) 273 C) 325

D) 383 E) 455

7. Determinar dos números de tres

cifras, cuya suma es 432 y su MCM

es 323 veces su MCD. Dar como

respuesta la diferencia de dichos

números.

A) 12 B) 18 C) 24

D) 36 E) 42

8. Si el MCD de dos números es 144 y

tienen 33 y 35 divisores. Halle el

menor.

A) 9 216 B) 8 516 C) 9 310

D) 8 750 E) 9 415

9. En la función de una obra teatral, se

ha recaudado en 3 días de funciones:

S/. 5 068; S/. 3 388 y

S/. 4032 respectivamente. ¿Cuántas

personas han asistido en los tres

días, sabiendo que el precio de la

entrada es el mismo en los tres días y

está comprendido entre S/.10 y

S/.20?

A) 982 B) 892 C) 829

D) 446 E) 561

10. Tres corredores A, B y C parten

juntos de un mismo punto de una

pista circular que tiene 90 m de

circunferencia. La velocidad de A es 9

m/s; la velocidad de B es 5 m/s; la

velocidad de C es 3 m/s. ¿Después,

de cuánto tiempo tendrá lugar el

segundo encuentro de los tres?

A) 90 s B) 75 s C) 60 s

D) 45 s E) 180 s

11. Halle la suma de las cifras del MCD

de tres números enteros, sabiendo

que cada uno de ellos está

compuesto por 120 nueves, 180

nueves y 240 nueves

respectivamente.

A) 60 B) 240 C) 300

D) 360 E) 540

12. Se tiene :

y MCM (A, B) = 3720

Halle “A + B”

A) 149 B) 151 C) 141

D) 170 E) 131

TAREA DOMICILIARIA

1. Hallar 2 números cuya suma de

cuadrados es 1476 y el MCD es 6.

a) 20 b) 10 c) 30

d) 15 e) 18

2. Si: MCD ( 2 A

3; 5 A4

; 3 A2 )=18

,

entonces la suma de las cifras de

“A” es:

a) 7 b) 8 c) 9

d) 12 e) N.A.

3. Se desea conocer el MCD de dos

enteros, cuya suma es 4572;

sabiendo que los cocientes

sucesivos en su cálculo son: 1, 1, 3,

5 y 2.

a) 12 b) 24 c) 26

d) 36 e) 48

4. Hallar el MCD de los números:

A=66 .. . .66(7)⏟160 cifras y

B=66 . . .. 66(7 )⏟240 cifras



a) 781 – 1 b) 780 + 1 c) 780 – 1

d) 730 + 1 e) 781 – 2

5. Si MCD(20A, 6B) = 48 y MCD (3A,

30B) = 24, hallar MCD(A, B)

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

6. Si: MCM ( A ; B)¿¿

y además el

producto de A y B es 12960. Halle

el MCM (A; B)

a) 2140 b) 2160 c) 4320

d) 432 e) 2140

7. Si: M.C.M. (A; B; C) – MCD (A, B,

C) = 897

A – B = 65 y A – C = 26

Calcule: (A + B + C)

a) 160 b) 168 c) 172

d) 180 e) 182

8. Si: MCD(75d, p0 p2) = abcAdemás: a + c = b

Calcule: (a + b + c + d + p)

a) 18 b) 19 c) 17

d) 20 e) 21

9. Sea A = a 48b y B = mnnm cuyo

MCD es 495 estando el valor de B

entre 5000 y 6000. Calcule A + B.

a) 8610 b) 8575 c) 6930

d) 11 880 e) 4950

10. Calcular el MCD de (11a – 1) y

(11b – 1), sabiendo que: 330

MCD(a, b) = a . b ∧ a + b = 14.

MCD (a, b)

a) 116 – 1 b) 1122 – 1

c) 1115 – 1 d) 1110 – 1

e) 1111 – 1

11. Si se cumple que:

MCD (1a8b ; bc2b )=126

Hallar la suma de las cifras del

MCM de dichos números.

a) 15 b) 27 c) 16

d) 18 e) 20

12. Calcula el MCD de A y B, si:

A=111…11220cifras

; B=777…77810 cifras

y expresando enbase32. Da

como respuesta el producto de sus

cifras.

a) 1023b) 728 c) 961

d) 511 e) 224

13. La suma de dos números enteros

es 651, el cociente entre sus

M.C.M. y M.C.D. es 108, luego la

diferencia es :

a) 110 b) 483 c) 77

d) 436 e) 128

14. Claudia va al hospital cada 15 días,

Joaquín cada 12 y Ángel cada 18.

Si hoy es 05 de Septiembre y se

encontraron en el hospital, entonces

la fecha más próxima en la cual se

encontrarán los tres nuevamente

será:

a) 5 de Enero

b) 5 de Diciembre

c) 4 de Marzo

d) 4 de Febrero

e) 2 de Marzo

15. Hallar 2 números enteros sabiendo

que su diferencia es 36 y su M.C.M.

es 336. Dar la suma de ellos.

a) 144 b) 132 c) 120

d) 168 e) 156


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