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AR 9 – 15 – LAAMCD - MCM
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)El MCM de varios enteros positivos, es el
menor entero positivo que sea divisible entre
cada uno de ellos.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)El MCD de varios enteros positivos, es el
mayor entero que sea divisor de cada uno de
ellos.
PROPIEDADES DEL M.C.D Y M.C.M
1. Si varios números son P.E.S.I. el M.C.D.
de ellos es igual a la unidad.
2. Si a varios números los multiplicamos o
dividimos por un mismo número entero,
el M.C.D. y el M.C.M. de ellos quedarán
multiplicados o divididos por dicho
entero.
3. Si a varios números los dividimos entre
su M.C.D. los cocientes obtenidos serán
P.E.S.I.
4. El producto de 2 números será siempre
igual al producto del M.C.D. y el M.C.M.
de aquellos números.
5. Si un conjunto de enteros se reemplazan
dos o más de ellos por su M.C.D. o su
M.C.M. entonces el M.C.D. o el M.C.M.
del conjunto de dichos enteros no se
altera.
6. Si un número es múltiplo de otros, será
múltiplo del M.C.M. de aquellos números.
7. Si:
M.C.D. (a, b) = d y el M.C.M.(a , b) = m
Entonces:
MCD(an , bn) = dn y MCM(an , bn) = mn
8. Sean los números:
N = ap – 1 y M = aq – 1.
Entonces el MCD(N;M) = aMCD(p; q) – 1.
Métodos de obtención del mcm y mcd.3.1. Por descomposición canónica.
3.2. Por descomposición simultánea.
Método de divisores sucesivas o algoritmo de Euclides para la obtención del MCD de dos números.Se divide el mayor entre el menor,
obteniéndose un cociente y un primer
residuo; sin considerar el cociente, se
divide el menor entre el primer residuo,
obteniéndose otro cociente y un segundo
residuo; en seguida, se divide el primer
residuo entre el segundo, así
sucesivamente, hasta que el residuo
resulte cero. El MCD de los enteros, es
el divisor de la última división cuyo
residuo ha resultado cero.
En general, para dos enteros A y B (A > B)
se tiene:
q1 q2 q3 qn-1 qn qn+1
A B r1 r2 rn-2 rn-1 rnMCD(a,b)
r1 r2 r3 r4 rn o
Ultimo residuo
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NIVEL I
1. Al calcular el MCD de dos enteros
primos entre sí mediante el Algoritmo
de Euclides se ha obtenido los cocientes
sucesivos 1, 2, 2, 3, 5 y 2. ¿Cuáles son
los números?
A) 190 y 180 B) 270 y 120
C) 360 y 180 D) 278 y 197
E) 420 y 720
2. Si el máximo común divisor de dos
enteros A y B es ab , sabiendo que los
cocientes sucesivos que se obtuvieron
al hallar el M.C.D. por divisiones
sucesivas han sido 5; 4; 3 y 2.
Además: A + B = 5797. Hallar (a + b)
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
3. Se trata de depositar el aceite de 3
barriles que tienen 210, 300 y 420 litros
de capacidad en envases que sean
iguales entre sí. ¿Cuál es la menor
cantidad de envases que se emplearían
para que todos estén llenos y no
desperdicien aceite?
A) 30 B) 51 C) 31
D) 41 E) 27
4. Las dimensiones de un terreno
rectangular son 894 y 354m. Se desea
parcelarlo en terrenos cuadrados de tal
modo que no sobre nada y se obtenga
el menor número de parcelas. ¿Cuántas
parcelas cuadradas resultarán?
A) 354 B) 894 C) 8940
D) 8791 E) 879
5. Si la suma de dos números es 504 y el
MCD es 84. ¿Cuáles son los números?
A) 84 y 120 B) 120 y 360
C) 84 y 168 D) 84 y 420
E) 320 y 420
6. El MCD de 4 números es 36, el MCD de
los dos primeros es la sexta parte de los
dos últimos. ¿Cuál es el MCD de los dos
últimos?
A) 36 B) 6 C) 360
D) 216 E) 210
7. La suma del M.C.D. y el M.C.M. de dos
números es 92 y el cociente del M.C.M.
entre el M.C.D. es 45. Hallar la suma de
los números.
A) 32 B) 14 C) 82
D) 28 E) 15
8. Si: MCD ( A7
; 2 A3
; 6 A5 )=26
; hallar la
suma de cifras del valor que toma A.
A) 10 B) 11 C) 12
D) 20 E) 13
9. Si el MCM (117A, 9B) = 58968, el
MCD(143A, 11B) = 132. Hallar A x B
A) 6048 B) 4068 C) 1280
D) 1200 E) 58968
10. El MCM de dos enteros es igual al
producto de tres enteros consecutivos y
el MCD es igual al número central. ¿Qué
valor mínimo pueden tomar los enteros,
si son pares y divisibles entre 9?
A) 306 B) 603 C) 210
D) 120 E) N.A.
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PRÁCTICA DE CLASE
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11. Al dividir “A” entre 58 resulta (2k + 1) y al
dividir “B” entre 58 se obtiene (3k + 1)
siendo k entero, hallar el MCD(A, B).
A) 58 B) 60 C) 85
D) 30 E) 46
12. Hallar (a + b + c) sabiendo que los
cocientes sucesivos al calcular el MCD
por el algoritmo de Euclides, de los
numerales a (a+4 )a y (a+4 )bc ; fueron
1, 1, 1 y 3.
A) 10 B) 11 C) 12
D) 14 E) 13
13. Hallar “n” en los números:
A = 45 60n
B = 60 45n
Para que se cumpla:
M.C.M. (A,B) = 12 M.C.D. (A,B)
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
14. La suma de los números A y B es 651;
el cociente entre su M.C.M. y M.C.D. es
108, luego A – B es:
A) 11 B) 77 C) 483
D) 436 E) N.A.
15. El MCM de los números A y B es 88.
Si A2 + B2 = 2000.
Hallar A + B
A) 48 B) 50 C) 44
D) 52 E) 56
NIVEL II1. La rueda delantera de un coche tiene
2 metros de circunferencia y la trasera
5 metros. ¿Cuántos metros tendrá
que avanzar el carro para que las dos
ruedas hayan dado un número
completo de vueltas?
A) 10 m C) 8 m E)
N.A.
B) 9 m D) 15 m
2. El papá de Carlos debe tomar 3
medicinas según las siguientes
indicaciones: el jarabe cada 4 horas,
la pastilla para la presión cada 5
horas y la pastilla para la irrigación del
cerebro cada 8 horas. Si inició el
tratamiento el lunes a las 6:00 a.m.,
tomando las tres medicinas juntas,
¿cuándo volverá a tomar las
medicinas nuevamente juntas?
a) El miércoles a las 10 a.m.
b) El martes a las 10 p.m.
c) El miércoles a las 10 p.m.
d) El miércoles a las 6 p.m.
e) El miércoles a las 8 p.m.
3. La suma de dos números A y B es
651, el cociente entre su MCM y su
MCD es 108. Halle (A - B).
A) 108 B) 216 C) 713
D) 483 E) 438
4. Si:
MCD (3 A; 24 C) = 18 N
y MCD (2 C; B ) = 2N
Calcule “N” si:
MCD (A; 4 B; 8 C) = 21000
A) 10 500 B) 21 000 C) 13 500
D) 12 200 E) 12 400
5. Si:
Calcule: (a + b)
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
6. Se tiene 3 números A; B y C al
calcular el MCD de A y B por el
algoritmo de Euclides se obtuvieron
como cocientes 1; 1 y 2. Al calcular el
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MCD de A y C por el mismo método
se obtuvo como cocientes 1; 2 y 2.
Halle el menor de dichos números si
se cumple que: A + B + C = 1053.
A) 225 B) 273 C) 325
D) 383 E) 455
7. Determinar dos números de tres
cifras, cuya suma es 432 y su MCM
es 323 veces su MCD. Dar como
respuesta la diferencia de dichos
números.
A) 12 B) 18 C) 24
D) 36 E) 42
8. Si el MCD de dos números es 144 y
tienen 33 y 35 divisores. Halle el
menor.
A) 9 216 B) 8 516 C) 9 310
D) 8 750 E) 9 415
9. En la función de una obra teatral, se
ha recaudado en 3 días de funciones:
S/. 5 068; S/. 3 388 y
S/. 4032 respectivamente. ¿Cuántas
personas han asistido en los tres
días, sabiendo que el precio de la
entrada es el mismo en los tres días y
está comprendido entre S/.10 y
S/.20?
A) 982 B) 892 C) 829
D) 446 E) 561
10. Tres corredores A, B y C parten
juntos de un mismo punto de una
pista circular que tiene 90 m de
circunferencia. La velocidad de A es 9
m/s; la velocidad de B es 5 m/s; la
velocidad de C es 3 m/s. ¿Después,
de cuánto tiempo tendrá lugar el
segundo encuentro de los tres?
A) 90 s B) 75 s C) 60 s
D) 45 s E) 180 s
11. Halle la suma de las cifras del MCD
de tres números enteros, sabiendo
que cada uno de ellos está
compuesto por 120 nueves, 180
nueves y 240 nueves
respectivamente.
A) 60 B) 240 C) 300
D) 360 E) 540
12. Se tiene :
y MCM (A, B) = 3720
Halle “A + B”
A) 149 B) 151 C) 141
D) 170 E) 131
TAREA DOMICILIARIA
1. Hallar 2 números cuya suma de
cuadrados es 1476 y el MCD es 6.
a) 20 b) 10 c) 30
d) 15 e) 18
2. Si: MCD ( 2 A
3; 5 A4
; 3 A2 )=18
,
entonces la suma de las cifras de
“A” es:
a) 7 b) 8 c) 9
d) 12 e) N.A.
3. Se desea conocer el MCD de dos
enteros, cuya suma es 4572;
sabiendo que los cocientes
sucesivos en su cálculo son: 1, 1, 3,
5 y 2.
a) 12 b) 24 c) 26
d) 36 e) 48
4. Hallar el MCD de los números:
A=66 .. . .66(7)⏟160 cifras y
B=66 . . .. 66(7 )⏟240 cifras
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a) 781 – 1 b) 780 + 1 c) 780 – 1
d) 730 + 1 e) 781 – 2
5. Si MCD(20A, 6B) = 48 y MCD (3A,
30B) = 24, hallar MCD(A, B)
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
6. Si: MCM ( A ; B)¿¿
y además el
producto de A y B es 12960. Halle
el MCM (A; B)
a) 2140 b) 2160 c) 4320
d) 432 e) 2140
7. Si: M.C.M. (A; B; C) – MCD (A, B,
C) = 897
A – B = 65 y A – C = 26
Calcule: (A + B + C)
a) 160 b) 168 c) 172
d) 180 e) 182
8. Si: MCD(75d, p0 p2) = abcAdemás: a + c = b
Calcule: (a + b + c + d + p)
a) 18 b) 19 c) 17
d) 20 e) 21
9. Sea A = a 48b y B = mnnm cuyo
MCD es 495 estando el valor de B
entre 5000 y 6000. Calcule A + B.
a) 8610 b) 8575 c) 6930
d) 11 880 e) 4950
10. Calcular el MCD de (11a – 1) y
(11b – 1), sabiendo que: 330
MCD(a, b) = a . b ∧ a + b = 14.
MCD (a, b)
a) 116 – 1 b) 1122 – 1
c) 1115 – 1 d) 1110 – 1
e) 1111 – 1
11. Si se cumple que:
MCD (1a8b ; bc2b )=126
Hallar la suma de las cifras del
MCM de dichos números.
a) 15 b) 27 c) 16
d) 18 e) 20
12. Calcula el MCD de A y B, si:
A=111…11220cifras
; B=777…77810 cifras
y expresando enbase32. Da
como respuesta el producto de sus
cifras.
a) 1023b) 728 c) 961
d) 511 e) 224
13. La suma de dos números enteros
es 651, el cociente entre sus
M.C.M. y M.C.D. es 108, luego la
diferencia es :
a) 110 b) 483 c) 77
d) 436 e) 128
14. Claudia va al hospital cada 15 días,
Joaquín cada 12 y Ángel cada 18.
Si hoy es 05 de Septiembre y se
encontraron en el hospital, entonces
la fecha más próxima en la cual se
encontrarán los tres nuevamente
será:
a) 5 de Enero
b) 5 de Diciembre
c) 4 de Marzo
d) 4 de Febrero
e) 2 de Marzo
15. Hallar 2 números enteros sabiendo
que su diferencia es 36 y su M.C.M.
es 336. Dar la suma de ellos.
a) 144 b) 132 c) 120
d) 168 e) 156
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