apuntes lÓgica
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1 Lógica
Lógica
1) La argumentación
2) Los argumentos deductivos y la lógica
3) Las paradojas y la lógica
I. LA ARGUMENTACIÓN
1. DEFINICIÓN DE ARGUMENTACIÓN
Una argumentación es un razonamiento mediante el cual se in-tenta probar o refutar una tesis, convenciendo de la verdad o falsedad de la misma.
Las argumentaciones o razonamientos son formas en que se expresa la racionalidad humana. Se recurre a ellos en muchos contextos diferentes, tanto de la vida cotidiana como en el ámbito del derecho o de la ciencia.
2. ELEMENTOS DE UNA ARGUMENTACIÓN
Toda argumentación está formada por un conjunto de enun-ciados. Uno de ellos, la conclusión, es la tesis que quiere probarse o defenderse. Los restantes enunciados son las premisas, que consti-tuyen las razones que se aportan a favor de la tesis.
3. DIFERENCIA ENTRE UN TEXTO ARGUMENTATIVO Y UN TEXTO NO ARGUMENTATIVO.
Un conjunto de enunciados dispuestos en secuencia no consti-tuyen necesariamente una argumentación. Así, los textos descrip-tivos o aquellos que expresan deseos no pretenden argumentar sino sólo enunciar. Ejemplo de texto argumentativo: «La tierra alegre, el cielo claro, el aire limpio, la luz serena, cada uno por sí y todos juntos daban manifiestas señales de que el día había de ser sereno y claro». Ejemplo de texto no argumentativo: «Tengo el sueño de que un día mis cuatro hijos vivirán en una nación donde no serán juzgados por el color de su piel sino por su valor como personas».
4. QUÉ ES UN ENTIMEMA
Es una argumentación en la que una o varias premisas están implícitas, es decir, se dan por supuestas sin ser dichas explícita-mente. Ejemplo: «Como conducía a más de 120 km/h, le han puesto una multa». En este argumento están implícitas dos premi-sas: 1. está prohibido conducir a más de 120 km/h y 2. La infracción de esta prohibición se sanciona con multa.
5. QUÉ ES ANALIZAR UNA ARGUMENTACIÓN
Analizar una argumentación es ordenar un texto identificando sus premisas y su conclusión, mostrando todos sus elementos, incluidos los que están implícitos.
6. DIFERENCIA ENTRE ARGUMENTACIÓN DEDUCTIVA Y ARGU-MENTACIÓN INDUCTIVA
Según el vínculo que exista entre premisas y conclusión se dis-tinguen dos tipos de razonamientos: deductivos e inductivos.
Una argumentación deductiva es aquella en la que la conclusión se sigue necesariamente de las premisas. Esto significa que no puede ocurrir que siendo verdaderas las premisas sea falsa la conclusión. Es decir que de la verdad de las premisas se sigue la verdad de la conclusión. En ciencia son comunes los argumentos deductivos que parten de premisas generales y extraen conclusio-nes particulares. Ejemplo: «Yo soy mortal porque todos los hom-bres son mortales».
En una argumentación inductiva la conclusión no se sigue nece-sariamente de las premisas. Éstas aportan razones para creer que la conclusión es verdadera pero no lo demuestran. Puede ocurrir que siendo verdaderas las premisas sea falsa la conclusión. En ciencia son comunes los argumentos que concluyen enunciados generales a partir de enunciados particulares. En ellos se atribuye a todos los miembros de una clase alguna propiedad que ha sido observada en algunos casos particulares. Ejemplos: «Los metales se dilatan con el calor», «todos los cuervos negros».
7. QUÉ ES UN ARGUMENTO DE AUTORIDAD
Aquel que pretende concluir la verdad de una tesis por la simple razón de que ha sido mantenida por alguien de prestigio. Por ejemplo, se concluye que pasajes de la Biblia o escritos por los padres de la Iglesia son verdaderos. Estos razonamientos, desde un punto de vista lógico, son siempre inválidos.
8. MENCIÓN DE FUENTES Y AUTORES.
Toda argumentación rigurosa debe mencionar explícitamente las fuentes de donde se han recogido los datos o informaciones que se utilizan como premisas así como los autores de las mismas. De esta manera, cualquier persona tiene la posibilidad de compro-bar si los datos se han reproducido de forma correcta, de estudiar cuál ha sido la metodología seguida para obtener la información y averiguar si los autores mencionados realmente han dicho lo que se les atribuye.
II. ARGUMENTOS DEDUCTIVOS Y LA LÓGICA
1. QUÉ ES LA LÓGICA
La lógica es la ciencia que estudia la forma de los razonamientos deductivos y su validez.
2. QUÉ ES UN SISTEMA AXIOMÁTICO
Un sistema axiomático es un conjunto de enunciados estructu-rados deductivamente. En un tal sistema se parte de la verdad de unos enunciados básicos, llamados axiomas, para deducir otros enunciados, llamados teoremas. El sistema será más o menos complejo dependiendo del número de principios que se adopten y de la profundidad y extensión de las deducciones que se hagan.
3. DISTINCIÓN ENTRE VERDAD Y VALIDEZ
Es muy importante saber distinguir entre la verdad de una ar-gumentación y la validez de una argumentación. Una argumenta-ción puede ser válida y ser falsa. En cambio, una argumentación inválida nunca puede ser verdadera. Para entender este punto fundamental consideremos los tres razonamientos siguientes:
(1) Todos los hombres son mortales.............. V
Sócrates es hombre ................................... V
Por tanto, Sócrates es mortal .................... V
(2) Todos los hombres son ricos ...................... F
Bill Gates es hombre ................................. V
Por tanto, Bill Gates es rico ....................... V
(3) Todos los hombres son estúpidos .............. F
Sócrates es hombre ................................... V
Por tanto, Sócrates es estúpido.................. F
¡Los tres son válidos pero sólo el primero es verdadero!
Los tres son válidos porque en los tres casos la conclusión de deduce de las premisas, es decir, se sigue necesariamente de ellas. En cambio, sólo es verdadera la primera argumentación porque es la única en que todos sus enunciados son verdaderos.
Ejemplo de una argumentación inválida:
(4) Todos los hombres son listos ..................... F Juana es lista ............................................. V Por tanto, Juana es hombre ....................... F
La verdad se refiere a las proposiciones (enunciados). Una proposición será verdadera si se corresponde con la realidad. La lógica no estudia si un enunciado es verdadero sino si es o no válido.
La validez se refiere a la forma del razonamiento. El razona-miento será válido si hay una relación de consecuencia lógica entre premisas y conclusión de modo que de la verdad de las premisas se sigue necesariamente la verdad de la conclusión.
4. LA FORMA DE LOS ARGUMENTOS
La lógica no se interesa por argumentos concretos, sino que es-tudia los casos más generales o, lo que es lo mismo, la forma de los
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argumentos. Para ello se utilizan un conjunto de letras y signos lógicos que permiten expresar cualquier razonamiento de forma abstracta. Las argumentaciones (1), (2) y (3) tienen en común una misma forma lógica en virtud de la cual son precisamente válidas. Esa forma puede simbolizarse así:
Todos los A son B
x es A
Por tanto, x es B
La lógica como ciencia estudia las formas de razonar sin ocu-parse del contenido concreto de los razonamientos.
5 CÓMO DEMOSTRAR LA INVALIDEZ O INCORRECCIÓN DE UNA ARGUMENTACIÓN.
Se demuestra haciendo una prueba de independencia lógica. Consiste en hallar una interpretación que ponga de manifiesto cómo siendo verdaderas las premisas la conclusión puede ser falsa.
Ejemplo:
Premisa: Alfredo se ha comprado una pecera
Conclusión: A Alfredo le gustan los peces.
Esta argumentación es inválida porque es posible que Alfredo haya comprado la pecera sin que le gusten los peces por cualquier otro motivo (para regalarla, por ejemplo). Se ve que la verdad de la conclusión no depende de la verdad de la premisa. La conclusión puede ser verdadera o no independientemente de la verdad de la premisa.
EJERCICIOS
Sean las siguientes argumentaciones:
1) “Si no llevo a mi novia al baile entonces se sentirá defraudada. Si la llevo al baile es que tengo dinero; pero si le pago al sastre no me quedará dinero. Si no le pago al sastre, no me dará el traje y sin el traje no puedo llevar a mi novia al baile. O bien le pago al sastre o bien no le pago. Por tanto, mi novia se sentirá defraudada”
2) “O existe el destino o no existe el destino. Si existe el destino entonces la vida es como un teatro y cada ser humano repre-senta un papel que le ha sido asignado previamente. No existe el destino si y sólo si el ser humano es libre; y si esto último es así entonces no representa ningún papel asignado previa-mente. Si no existe el destino entonces, si la vida es como un teatro, cada ser humano representa el papel que elige él mis-mo. Por tanto, si la vida es como un teatro entonces o bien el ser humano es libre y él mismo elige el papel que representa en la vida o bien no es libre y representa un papel previamente asignado”.
¿Son válidas o inválidas? Explíquese por qué.
Analícese la siguiente argumentación y explíquese si es válida o inválida.
3) Ningún andaluz es africano. Como Juan vive en Montefrío, Juan no es africano.
TEST PARA COMPROBAR LAS APTITUDES LÓGICAS:
Respóndase verdadero (V) o falso (F) a cada uno de los enunciados siguientes:
1) Mi respuesta al 2 es diferente de mi respuesta a este enunciado.
2) Mi respuesta al 3 es la misma que mi respuesta a este enunciado.
3) ¡Yo soy una persona estupenda capaz de superarme a mí mism@!
Solución del Test
1) O bien (1) es V o bien (1) es F.
2) Si (1) es V entonces (2) es F y (3) sólo puede ser V. [Pues si (3) fuese F (2) tendría que ser V]
3) Si (1) es F entonces (2) es F también y (3) sólo puede ser V igual que en el caso anterior
En resumen, tanto si (1) es V como si (1) es F, (2) es F. Y siendo (2) F, (3) no puede ser F, sino V.
6 LA NEGACIÓN
La negación es una operación lógica elemental, y quizás la más importante. En palabras de un viejo lógico: «Si no puedes negar, no puedes pensar en firme.» Un enunciado es la negación del otro si es imposible que ambos sean verdaderos al mismo tiempo y es imposi-ble que ambos sean falsos al mismo tiempo. Por ejemplo, ¿cuál es la negación del siguiente enunciado compuesto?
Alicia está en casa y el sol brilla.
Una respuesta que se suele dar a menudo es «Alicia no está en casa y el sol no brilla». Es incorrecta. La respuesta correcta es:
O bien Alicia no está en casa o bien el sol no brilla.
Negar la verdad de una conjunción de enunciados es afirmar que al menos uno de los enunciados de la conjunción es falso.
Otro ejemplo:
Todo estudiante tiene ideas raras.
¿Qué debería hacerse para contradecir esto? Todo lo que hay que hacer es encontrar un estudiante que no tenga ideas raras. La negación, por tanto, es la siguiente:
No todo estudiante tiene ideas raras. Es decir,
Algún estudiante no tiene ideas raras.
Informalmente, «negación» se suele confundir con «opuesto». En lógica no significan lo mismo. El opuesto de «Todo estudiante
tiene ideas raras» puede ser «Ningún estudiante tiene ideas raras», la cual definitivamente no es su negación.
EJERCICIO
Encontrar las negaciones de los siguientes enunciados. Las res-puestas deben ser en castellano coloquial, pero no vale poner «No es verdad que» delante del enunciado original; funciona —esto es, produce la negación correcta— pero es demasiado fácil. Lo que se pretende es que se piense sobre qué significa el enunciado y se componga su negación basándose en ese significado.
1. Jim está calvo.
2. Mad Max es el presidente de IBM.
3. Tom y Jim están calvos.
4. Tom está calvo y Jim está calvo.
5. Tom o Jim son estrellas de rock.
6. Tom es una estrella de rock o Jim es una estrella de rock.
7. Dick está casado y Jane está casada.
8. Dick y Jane están casados.
9. Todos los moluscos son del sexo femenino.
10. Algunos supositorios son ambidiestros.
11. Ningún graduado en geología es anfibio.
12. Algunos vegetales son carnívoros.
13. Jean puede superar a cualquiera.
14. Jean puede superar a alguien.
15. Sue es amiga de todos los estudiantes del instituto.
16. Todo estudiante del instituto tiene amigos.
17. Hay un estudiante en el instituto que es amigo de cualquiera del
instituto.
Soluciones
1. Jim no está calvo
2. Mad Max no es el presidente de IBM
3. O Tom no está calvo o Jim no está calvo
4. O Tom no está calvo o Jim no está calvo
5. Ni Tom ni Jim son estrellas de Rock
6. Ni Tom ni Jim son estrellas de Rock
7. O Dick no está casado o Jane no está casada
8. Dick y Jane no están casados
9. Algún molusco no es del sexo femenino
10. Ningún supositorio es ambidiestro
11. Algún graduado en geología es anfibio
12. Ningún vegetal es carnívoro
13. (Jean no puede superar a cualquiera) Jean no puede superar a
alguien
14. Jean no puede superar a nadie
15. Sue no es amiga de algún estudiante del Instituto
16. Algún estudiante del Instituto no tiene amigos
17. Ningún estudiante del Instituto es amigo de todos los estudian-
tes del Instituto / Para cualquier estudiante del Instituto hay al
menos otro del que no es amigo
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7 LA LÓGICA PROPOSICIONAL
La lógica proposicional es la parte más elemental de la lógica. Estudia aquellas argumentaciones cuya validez no depende de la estructura interna de los enunciados sino de cómo se combinan los enunciados entre sí.
La lógica utiliza lenguajes formales construidos artificialmente. Estos lenguajes están constituidos por tres elementos: 1) un con-junto de signos, 2) un conjunto de reglas de formación de fórmulas y 3) un conjunto de reglas de transformación de fórmulas. Una fórmula es una expresión bien formada.
1) Los signos que emplearemos en lógica proposicional son de tres tipos:
1. Letras enunciativas (p, q, r, s…), con subíndices si es preci-so (p1, p2, p3…), que representan enunciados, los cuales pueden ser verdaderos o falsos
2. Signos lógicos. Se denominan conectores lógicos y son sig-nos que representan las palabras y expresiones mediante las cuales se unen entre sí los enunciados. Son cinco signos que se explican en la tabla siguiente:
CONECTORES LÓGICOS
NOMBRE DEL SIGNO
PALABRAS O EXPRESIONES LÓGICAS QUE SIMBOLIZA
“ “ Negador no, no es el caso que, (y otras expre-siones que indiquen negación)
“ “ Conjuntor y, pero, sin embargo, etc. (y expre-siones que indiquen coordinación o conjunción entre enunciados)
“ “ Disyuntor o, o bien...o bien, etc.., (expresiones que indiquen disyunción entre enunciados)
“ “ Condicional si...entonces (expresiones que establezcan condición entre enun-ciados)
“ “ Bicondicio-
nal si y sólo si
3. Los paréntesis. Son unos signos auxiliares cuya función es similar a la función de los signos de puntuación del lengua-je escrito. Los paréntesis determinan el alcance de los co-nectores precisando el significado de los enunciados.
2) Reglas de formación. Estas reglas establecen las combinacio-nes de signos que se consideran bien construidas. Estas expre-siones bien formadas se llaman fórmulas. El lenguaje de la lógi-ca proposicional consta de estas reglas de formación de fórmulas:
1. Cualquier letra enunciativa sola es una fórmula.
2. Si es una fórmula, también lo es .
3. Si y son fórmulas, también lo son:
, , ,
donde y son fórmulas cualesquiera
3) Reglas de transformación. Son las reglas lógicas que permiten hacer deducciones, esto es pasar de unas fórmulas dadas a otras como consecuencias lógicas suyas.
8 ENUNCIADOS ATÓMICOS Y ENUNCIADOS MOLECULARES
Denominaremos enunciado atómico a todo enunciado que pueda simbolizarse por una letra enunciativa sola y que no vaya acompañada por ningún conector lógico.
Ejemplos: p, q, r, etc.
Llamaremos enunciado molecular a todo enunciado que conste de al menos una letra enunciativa y al menos un conector lógico. Hay cinco tipos de enunciados moleculares según cuál sea el conector lógico principal:
TIPO DE ENUNCIA-
DO MOLECULAR CONECTOR LÓGICO
PRINCIPAL EJEMPLOS
Negación “ “, Negador “ p “, “ (q p)”, (q (p r ))
Conjunción “ “, Conjuntor “p q “, “ q s “, (r t) q “
Disyunción “ “, Disyuntor “p q”, “r q”, “(t q) (q u)”
Condicional “ “, Condicional “ p r”, “(q u) (s p)
Bicondicional “ “, Bicondicional “p q”, “r t”, “(q s) s “
La tabla siguiente contiene algunas fórmulas de lógica proposi-cional, se indica cómo se leen y a qué tipo de enunciado molecular pertenecen.
ENUNCIADO SE LEE TIPO DE ENUNCIADO
“ p “ no p negación
“p q” p y q conjunción
“p q” p ó q disyunción
“p q” si p entonces q condicional
“p q” p si y sólo si q bicondicional
“ q s” no q y s conjunción
“r q” r ó no q disyunción
“ (q p)”, no es el caso de que q ó p negación
(r t) q “ no es el caso de que si r entonces t, y q conjunción
“(t q) (q u)” o bien si t entonces q o bien si q entonces no u
disyunción
Utilizaremos los términos “Antecedente” y “Consecuente” para referirnos respectivamente al componente izquierdo y al compo-nente derecho de un condicional. Y se usarán exclusivamente para el caso de un condicional.
Para referirnos a los enunciados que componen el resto de los enunciados moleculares hablaremos de componentes izquierdo y derecho o primero, segundo….
Ejemplos
“(p q) (r (t s))”
Este enunciado molecular se describiría así: “Es un condicional cuyo antecedente es la conjunción entre p y q y cuyo consecuente es la negación del bicondicional cuyo componente izquierdo es r y cuyo componente derecho es la disyunción entre t y s”
Este mismo enunciado se leería así:
Si p y q entonces no es el caso de que r si y sólo si t o s
Describe verbalmente este enunciado:
“ (p (q s)) ((t q) (r s))”
9 QUÉ ES FORMALIZAR UNA ARGUMENTACIÓN
Formalizar una argumentación es poner de manifiesto su forma lógica mediante la sustitución de sus enunciados por letras enun-ciativas y la sustitución de las palabras o expresiones que enlazan los enunciados entre sí por los conectores lógicos apropiados.
Ejemplo: Sea la argumentación del folio anterior:
“Si no llevo a mi novia al baile entonces se sentirá defraudada. Si la llevo al baile es que tengo dinero; pero si le pago al sastre no me quedará dinero. Si no le pago al sastre, no me dará el traje y sin el traje no puedo llevar a mi novia al baile. O bien le pago al sastre o bien no le pago. Por tanto, mi novia se sentirá defraudada”
1) Esta argumentación consta de los siguientes 5 enunciados, a cada una de los cuales se le asigna una letra enunciativa:
p “Llevo a mi novia al baile / La llevo al baile / Puedo llevar a mi novia al baile”
q “Mi novia se sentirá defraudada “ r “Tengo dinero /Me quedará dinero” s “Le pago al sastre / Le pago” t “Me dará el traje (el sastre)”
“Si no llevo a mi novia al baile entonces se sentirá defraudada. Si la llevo al baile es que tengo dinero; pero si le pago al sastre no me quedará dinero. Si no le pago al sastre, no me dará el traje y sin el traje no puedo llevar a mi novia al baile. O bien le pago al sastre o bien no le pago. Por tanto, mi novia se sentirá defraudada”
2) Sustituimos en la argumentación los enunciados por las letras enunciativas asignadas y obtenemos:
“Si no p entonces q. Si p es que r; pero si s no r. Si no s, no t y si no t no p. O bien s o bien no s. Por tanto, q”
3) Finalmente sustituimos las palabras en negrita con que se unen los enunciados por los conectores lógicos correspondientes y obtenemos la forma lógica de la argumentación:
4 Lógica
p q
(p r) (s r)
( s t) ( t p)
s s
q
Obsérvese que los enunciados moleculares que no están conec-tados entre sí se escriben en líneas distintas. La expresión “por tanto” se simboliza por una línea horizontal para separar las premi-sas de la conclusión.
EJERCICIOS
1) Formalizar la argumentación 2 del folio anterior.
2) Formalizar las siguientes expresiones:
1) Si no p entonces q
2) No es el caso de que si p entonces q
3) No p sino q,
4) No p si no q
5) p equivale a q,
6) p no es lo mismo que q,
7) Si p no equivale a q sino a r entonces s
10 DISTINCIÓN ENTRE CONDICIÓN SUFICIENTE Y CONDICIÓN NECESARIA.
Las expresiones “condición suficiente “y “condición necesaria” se sustituyen por sendos condicionales cuyo sentido se expone en la siguiente regla general:
“ es condición suficiente de ” ........ se formaliza como ................. “”
“es condición necesaria de ” ........ se formaliza como ................. “”
donde y representan enunciados cualesquiera.
Ejemplo:
(a) “Tocar la pizarra es condición suficiente para que se caiga”
(p q)
(b) “Tocar la pizarra es condición necesaria para que se caiga”
(q p)
En donde:
p - “Se toca la pizarra / la pizarra es tocada”
q - “La pizarra se cae / la pizarra ha caído”
(a) Decir que “tocar la pizarra es condición suficiente para que se caiga” es decir que “si se toca la pizarra entonces se cae” y, por
esto, el enunciado (a) debe formalizarse así “p q”
(b) Decir, en cambio, “tocar la pizarra es condición necesaria para que se caiga” no significa que “si se toca se cae” sino que “si no se toca no se cae”. Lo que equivale a decir que “si la pizarra se cae entonces se ha tocado”. Por ello, se debe formalizar
como “q p”.
CÓMO FORMALIZAR LAS EXPRESIONES “sólo si ” Y “ si ”
(a) “sólo si ” y
(b) “ si ”:
(a) Decir que “ sólo si ” es decir que no ocurre si no ocurre
es decir, que “ es condición necesaria de ”. Así, “ sólo si ”
se formaliza como “”
(b) La expresión “ si ” significa “si entonces ”, y por ello se
formaliza por “”
Ejemplos:
a) “Juan se pone el abrigo sólo si hace frío” ........... p q
b) “Juan se pone el abrigo si hace frío” .................. q p
donde: p – Juan se pone el abrigo; q – Hace frío
11 QUÉ SIGNIFICA LA EXPRESIÓN « si y sólo si »
La expresión “ si y sólo si ” significa “ si y sólo si ”, es
decir, “() ()”, expresión que equivale a “ ”
RESUMEN:
EJERCICIO:
Formalizar las siguientes expresiones:
1. “Que llueva es condición necesaria para que se acabe la sequía pero no suficiente”
2. “Sólo si llueve se acabará la sequía aunque eso no baste”
3. No es necesario tener dinero para ser feliz ni tampoco suficien-te.
4. Ni se es feliz si se tiene dinero ni sólo se es feliz si se tiene dinero.
5. Si sólo se aprueba si se saca un cinco en el examen entonces si no se saca un cinco en el examen no se aprueba
6. Comer, beber y respirar son necesarios para vivir pero no bastan para vivir bien.
7. No sólo vino Javier a la fiesta sino que no vino solo.
RESUMEN:
Un mismo condicional puede leerse de todas estas formas:
” es condición suficiente de ”
2) “si ”, “si ”
3) “es condición necesaria de ”
4) “ sólo si ”
EJERCICIO
Formalizar la siguiente argumentación:
Si los jóvenes quieren prevenirse del contagio del SIDA enton-ces: si tienen relaciones sexuales, deben protegerse con un condón y si son drogadictos, y toman la droga por inyección intravenosa, no deben compartir con otros ni la jeringuilla ni la aguja. Que los jóvenes deban protegerse con condón equivale a que utilicen el condón si tienen relaciones sexuales. Aunque no sea suficiente, es condición necesaria que los jóvenes se conciencien de la importan-cia de estos consejos para que no contraigan la enfermedad. El virus del SIDA no distingue ni el sexo, ni la edad ni la orientación sexual de las personas sino que puede infectar a todos y si los jóvenes no quieren prevenirse del contagio entonces contraerán la enfermedad.
Por tanto, o bien los jóvenes contraerán la enfermedad si tie-nen relaciones sexuales y no utilizan el preservativo o bien si no contraen el SIDA entonces, si tienen relaciones sexuales, tendrán conciencia de la importancia de los consejos mencionados y utili-zarán el condón"
Utilizar sólo la letra enunciativa p con subíndices. Pista: en total hay 14 enunciados distintos. Asígnese p1 al primer enunciado y p14 al último siguien-do el orden de aparición.
Expresiones Formalización
1) “ es condición suficiente de ”
2) “ es condición necesaria de ”
3) “ no es condición suficiente de ” ()
4) “ no es condición necesaria de ”
5) “ si ”, “si ”
6) “ sólo si ”, “Sólo si ”
7) “ no sólo si ”, “No sólo si ” ()
5 Lógica
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO ANTERIOR:
Diccionario:
p1 Los jóvenes quieren prevenirse del contagio del SIDA
p2 (Los jóvenes) tienen relaciones sexuales
p3 (Los jóvenes) deben protegerse con (un) condón
p4 (Los jóvenes) son drogadictos
p5 (Los jóvenes) toman la droga por inyección intravenosa
p6 (Los jóvenes) deben compartir con otros la jeringuilla
p7 (Los jóvenes) deben compartir con otros la aguja
p8 (Los jóvenes) utilicen/utilizan/utilizarán el condón/preservativo
p9 (Los jóvenes) se conciencien-an / tendrán conciencia de la importan-
cia de estos consejos (mencionados)
p10 (Los jóvenes) contraigan / contraerán la enfermedad
p11 El virus del SIDA distingue el sexo (de las personas)
p12 (El virus del SIDA distingue) la edad (de las personas)
p13 (El virus del SIDA distingue) la orientación sexual (de las personas)
p14 (El virus del SIDA) puede infectar a todos
Formalización:
p1 [(p2 p3) ((p4 p5) ( p6 p7))]
p3 (p2 p8)
(p9 p10) ( p10 p9)
p11 p12 p13 p14 ( p1 p10)
[(p2 p8) p10] [ p10 (p2 (p9 p8))]
12 LAS TABLAS DE VERDAD
La lógica ha desarrollado diversos métodos para averiguar qué transformaciones de enunciados –y por tanto qué razonamientos- son válidos. Uno de estos métodos es el de las tablas de verdad.
Este método sirve para comprobar si siempre que las premisas son verdaderas también lo es la conclusión y saber así si la argu-mentación en cuestión es válida o no. Para elaborar una tabla de verdad hay que tener en cuenta los siguientes puntos:
1) Una argumentación también puede formalizarse mediante un condicional, aquél cuyo antecedente es la conjunción de las premisas entre sí y cuyo consecuente es la conclusión. Así, pa-ra toda argumentación hay un enunciado condicional corres-pondiente constituido como se acaba de explicar.
2) Una proposición sólo puede ser verdadera o falsa, lo que en lógica se expresa con las letras V y F. Hay que considerar todas las atribuciones posibles de valores de verdad V y F de las le-tras enunciativas que intervengan en la argumentación. Dos le-tras (dos proposiciones) dan lugar a cuatro combinaciones po-
sibles, con tres letras se obtienen ocho combinaciones (tal co-mo se muestra en la tabla adjunta) y con cuatro dieciséis. En general se obtienen 2n combinaciones, donde n es el número de letras enunciativas distintas.
3) Los conectores lógicos modifican el valor de verdad de un enunciado. Actúan como funciones de verdad que asignan un valor de verdad al enunciado molecular correspondiente según sea el valor de verdad de sus enunciados componentes.
Las siguientes tablas definen la función de verdad propia de cada conector:
Criterio de Verdad
Cambia el valor de un enunciado por su opuesto
Una conjunción de enunciados es V sólo en el caso de que todos sus componentes sean V. Habiendo un componente F la conjunción entera es F
Una disyunción en V cuando al menos es V un compo-nente. Una disyunción es F sólo en el caso de que todos sus componentes sean F.
El valor de verdad de un condicional sólo es F cuando su antecedente es V y su consecuente F. En los demás casos el condicional es V.
Un bicondicional es V cuando sus componentes tienen el mismo valor de verdad y F cuando tienen distinto valor de verdad.
Conectores lógicos
V F V V V V V V
F V V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
4) Para construir una tabla de verdad hay que calcular:
1. su número de columnas, que viene dado por el resultado de descomponer el enunciado molecular del que se está haciendo la tabla de verdad. a) Como cabecera de las columnas iniciales se escribirán
las letras enunciativas atómicas distintas (sin repetir) que componen el enunciado siguiendo el orden al-fabético.
b) En la cabecera de la columna final aparecerá el enun-ciado molecular completo del que estamos haciendo la tabla de verdad, que para una argumentación será su condicional correspondiente.
c) Las columnas intermedias se encabezarán disponien-do, de menor a mayor complejidad, todos los enun-ciados obtenidos tras la descomposición del enuncia-do molecular inicial.
2. su número de filas que viene dado por la fórmula, antes mencionada, 2n. Donde n es el número de variables atómi-cas distintas. El número de filas de la tabla coincide con el de atribuciones veritativas posibles de las letras enunciati-vas, sin contar la cabecera de la tabla.
Las columnas se rellenarán con V y F, aplicando la función de verdad propia de cada conector.
TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES E INDETERMINACIONES
Las tablas de verdad pueden ofrecer tres resultados:
1) Tautología, cuando la columna final da todo V, es decir, cuando el enunciado del que se está haciendo la tabla de verdad es siempre V. En este caso la argumentación es válida y sólo lo es en este caso. Un enunciado tautológico es verdadero siempre.
Ejemplos: p ppppp
2) Contradicción, cuando el resultado es todo F en la columna final. Un enunciado contradictorio es falso siempre. Ejemplos:
(p p), q q
3) Indeterminación o contingencia, cuando al menos un valor es V y al menos un valor es F. Un enunciado contingente puede ser verdadero o falso. Ejemplos: p q, p q
EJEMPLO DE TABLA DE VERDAD
Sea el siguiente razonamiento:
Si Alfredo tiene más de trece años entonces puede ver la pelí-cula. Alfredo tiene más de trece años. En conclusión, Alfredo puede ver la película.
Su formalización da el siguiente resultado:
p – Alfredo tiene más de trece años
q – Alfredo puede ver la película
p q
1ª V V
2ª V F
3ª F V
4ª F F
p q r
1ª V V V
2ª V V F
3ª V F V
4ª V F F
5ª F V V
6ª F V F
7ª F F V
8ª F F F
p q
p
q
6 Lógica
y el condicional correspondiente a esta argumentación es:
((p q) p) q
La tabla de verdad de este enunciado es:
p q p q (p q) p ((p q) p) q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
EXPLICACIÓN DE POR QUÉ LAS TABLAS DE VERDAD SIRVEN PARA SABER SI UNA ARGUMENTACIÓN ES VÁLIDA O NO.
Si observamos la tabla del ejemplo anterior vemos que la co-lumna final da todo V. Es decir, que el condicional correspondiente a la argumentación es tautología. Cuando eso sucede sabemos que la argumentación es válida porque no ocurre en ningún caso que sus premisas sean V y su conclusión F, (el antecedente del condi-cional representa la conjunción de las premisas y el consecuente representa la conclusión).
(Se recuerda que la definición de argumentación válida estable-ce que nunca puede ocurrir que siendo V las premisas sea F la conclusión)
OTRO EJEMPLO DE RAZONAMIENTO VÁLIDO
O la célula no es eucariota o la célula tiene núcleo. Si la célula tiene núcleo, su ADN está contenido en el interior del núcleo. Por tanto, o el ADN está contenido en el interior del núcleo celular o la célula no es eucariota.
p – La célula es eucariota
q – La célula tiene núcleo
r – El ADN está contenido en el interior del núcleo celular
p q
q r
r p
TABLA DE VERDAD CORRESPONDIENTE A LA ARGUMENTACIÓN 2 DEL FOLIO 2
O existe el destino o no existe el destino. Si existe el destino entonces la vida es como un teatro y cada ser humano representa un papel que le ha sido asignado previamente. No existe el destino si y sólo si el ser humano es libre; y si esto último es así entonces no representa ningún papel asignado previamente. Si no existe el destino entonces, si la vida es como un teatro, cada ser humano representa el papel que elige él mismo.
Por tanto, si la vida es como un teatro entonces o bien el ser humano es libre y él mismo elige el papel que representa en la vida o bien no es libre y representa un papel previamente asignado.
Diccionario: Formalización: p – Existe el destino q – La vida es como un teatro r – Cada ser humano representa un papel previamente asignado s – El ser humano es libre t – Cada ser humano representa el papel que elige él mismo
A B C D E F
p q r s t p r s q r p s s r q t s t s r p p p (q r) ( p s) (s r) p (q t) A B C D (s t) ( s r) q ((s t) ( s r)) E F
1 V V V V V F F F V F F V V F V V F V F V V V
2 V V V V F F F F V F F F F F V V F V F F F V
3 V V V F V F F V V V V V F V V V V V V V V V
4 V V V F F F F V V V V F F V V V V V V V V V
5 V V F V V F V F F F V V V F V F F V F V V V
6 V V F V F F V F F F V F F F V F F V F F F V
7 V V F F V F V V F V V V F F V F V V F F F V
8 V V F F F F V V F V V F F F V F V V F F F V
9 V F V V V F F F F F F V V F V F F V F V V V
10 V F V V F F F F F F F V F F V F F V F F V V
11 V F V F V F F V F V V V F V V F V V F V V V
12 V F V F F F F V F V V V F V V F V V F V V V
13 V F F V V F V F F F V V V F V F F V F V V V
14 V F F V F F V F F F V V F F V F F V F F V V
15 V F F F V F V V F V V V F F V F V V F F V V
16 V F F F F F V V F V V V F F V F V V F F V V
17 F V V V V V F F V V F V V F V V F V F V V V
18 F V V V F V F F V V F F F F V V F F F F F V
19 F V V F V V F V V F V V F V V V F V F V V V
20 F V V F F V F V V F V F F V V V F F F V V V
21 F V F V V V V F F V V V V F V V V V V V V V
22 F V F V F V V F F V V F F F V V V F F F F V
23 F V F F V V V V F F V V F F V V F V F F F V
24 F V F F F V V V F F V F F F V V F F F F F V
25 F F V V V V F F F V F V V F V V F V F V V V
26 F F V V F V F F F V F V F F V V F V F F V V
27 F F V F V V F V F F V V F V V V F V F V V V
28 F F V F F V F V F F V V F V V V F V F V V V
29 F F F V V V V F F V V V V F V V V V V V V V
30 F F F V F V V F F V V V F F V V V V V F V V
31 F F F F V V V V F F V V F F V V F V F F V V
32 F F F F F V V V F F V V F F V V F V F F V V
p q) (q r)) (r p)
p q r p p q q r ( p q) (q r) r p (( p q) (q r)) (r p)
V V V F V V V V V
V V F F V F F F V
V F V F F V F V V
V F F F F V F F V
F V V V V V V V V
F V F V V F F V V
F F V V V V V V V
F F F V V V V V V
EJERCICIOS DE TABLAS DE VERDAD
1) ((p (q r)) q) p ...................................................... Tautología
2) (p (q r)) ( ( q r) p) .................................... Contradicción
3) (p q) (((r p) q) r) .......................................... Contingencia
4) ( ( (p q) r) ( ( p q) r)) ................... Contingencia
EJERCICIOS DE TABLAS DE VERDAD
5) ( ((p r) q) (q (r p))) ............................. Contradicción
6) ( ( ( p q) r) ( (p q) r)) ................... Contingencia
7) ( ( q (r p)) (p ( r q))) q .......................... Tautología
8) ( (r ( q p)) (( p (q (r p))) ( p q))) ......... Contingencia
9) ( ( (p q) r) ( ( p q) r)) (q q) ................... Tautología
(A B C D) F
E F
p p ................................................ A
p (q r) .......................................... B
( p s) (s r) .......................... C
p (q t) ..................................... D
q ((s t) ( s r)) ........................ F
7 Lógica
SOLUCIONES DEL EJERCICIO DEL FOLIO 4
Formalizar las siguientes expresiones:
1. “Que llueva es condición necesaria para que se acabe la sequía pero no suficiente”
2. “Sólo si llueve se acabará la sequía aunque eso no baste” 3. No es necesario tener dinero para ser feliz ni tampoco suficien-
te. 4. Ni se es feliz si se tiene dinero ni sólo se es feliz si se tiene
dinero. 5. Si sólo se aprueba si se saca un cinco en el examen entonces si
no se saca un cinco en el examen no se aprueba 6. Comer, beber y respirar son necesarios para vivir pero no
bastan para vivir bien. 7. No sólo vino Javier a la fiesta sino que no vino solo.
1 y 2 dicen lo mismo, por eso tienen la misma solución:
p - llueve/a
q - se acaba/e la sequía
3 El mismo diccionario vale para 3 y 4
p - se tiene dinero/ tener dinero
q - se es feliz/ ser feliz
4 (p q) (q p)
5 p - se aprueba q - se saca un cinco en el examen
6
p - se come/comer q - se bebe/beber r - se respira/respirar s - se vive/vivir t - se vive bien /vivir bien
7
p – Javier vino a la fiesta q – Javier vino solo (a la fiesta)
MÁS ARGUMENTACIONES PARA FORMALIZAR, RESUELTAS
1) Si Juan fuese valiente no se echaría a temblar cuando ve a Luisa. Pero si se echa a temblar cuando la ve entonces es que la ama y no sabe cómo decírselo. Juan es valiente si y sólo si es el caso que si ama a Luisa entonces sabe decírselo. Además, si sabe decirle que la ama pero no es valiente entonces Juan no ama a Luisa. Por consiguiente, si Juan es valiente y no sabe cómo decirle a Luisa que la ama entonces o bien no la ama o bien no es valiente.
2) Si el tiempo es finito entonces tuvo un principio. Pero si tuvo un principio entonces hubo un tiempo anterior al surgimiento del tiempo y si esto fue así entonces el tiempo es infinito. Si el tiempo es infinito entonces no tuvo principio; y si no tuvo comienzo en-tonces hasta el presente habría transcurrido un tiempo infinito. Ahora bien, si el tiempo transcurrido hasta el presente hubiese sido infinito jamás habría llegado el tiempo presente. Y si el tiempo presente ha llegado entonces el tiempo no es infinito. Por tanto, si el tiempo es finito entonces es infinito y si es infinito entonces es finito. Y esto es un lío.
3) Dos más dos es igual a cinco si y sólo si las estrellas tienen gripe. Ahora bien, las estrellas tienen gripe si o bien tienen fiebre y es-tornudan o bien las leyes políticas son de color púrpura. Si no ocurre ni una cosa ni otra entonces dos más dos es igual a cinco si y sólo si los átomos se disfrazan en sus fiestas de carnaval. Además no es el caso que si las estrellas tienen gripe entonces los átomos se disfracen en sus fiestas de carnaval. Pero dos más dos no es igual a cinco. Conclusión: el sentido de todo esto es que todo esto no tiene sentido.
4) O se está sano o se está enfermo pero no ambas cosas a la vez. La enfermedad implica que el organismo afectado padezca una alteración en su equilibrio fisiológico. Pero estar sano equivale a no estar enfermo y viceversa. Por tanto, si el organismo no sufre una alteración de su equilibrio tendrá salud y no estará enfermo. Y si padecer una alteración del equilibrio del organismo es condi-ción suficiente para estar enfermo entonces si se está sano, ni se sufre alteración en el equilibrio fisiológico del organismo ni se está enfermo.
5) "Si Romualdo no quiere a Filomena entonces Everisto ni quiere a Pancracia ni quiere a Leonora. Pero si Everisto quiere a Tita Cle-mentina entonces Romualdo no quiere a Leonora sino a Filome-na. Y Osvaldo Felipe se pondrá contento si Romualdo quiere a Filomena. Que Leonora obtenga dinero de Romualdo es condi-ción suficiente, pero no necesaria, para que Ruperto pueda ser operado de su gravísima enfermedad. Si Everisto no quiere a Tita Clementina entonces quiere a Pancracia y si esto es así, Osvaldo Felipe no se pondrá contento. Si Leonora y Filomena son la mis-ma persona entonces Leonora obtendrá el dinero de Romualdo si éste la quiere (a Filomena). Ahora bien, si Osvaldo Felipe odia a Tita Clementina entonces Everisto quiere a Pancracia y Romualdo quiere a Filomena. Pero Ruperto no pudo ser operado y Leonora era la misma persona que Filomena. Por tanto, o bien Leonora es la misma persona que Everisto y Osvaldo Felipe no se puso con-tento o bien Osvaldo Felipe se puso contento pero esto es un lío".
(q p) (p q)
(q p) (p q)
(p q) (q p)
(s (p q r)) ((p q r) s)
(p q) (q (r s))
t (r s)
(s p) r
(p s) ( r p)
p q
Formalización:
(p q) (((r s) t) q)
( (r s) t) (p u)
(q u) p
w
Diccionario:
p — Dos más dos es igual a cinco q — Las estrellas tienen gripe
r — [Las estrellas tienen fiebre
s — [Las estrellas estornudan t — Las leyes políticas son de color púrpura u — Los átomos se disfrazan en sus fiestas de carnaval w — El sentido de todo esto es que todo esto no tiene sentido
3
Diccionario:
p — se está sano / estar sano /se tiene (tendrá) salud
q — se está (estará) enfermo / la enfermedad
r — el organismo afectado padezca (sufra) una alteración en (de) su equilibrio (fisiológico)
Formalización:
(p q) (p q)
(q r) (p q) (q p)
[ r (p q)] [(r q) (p ( r q))]
4
Diccionario:
p1 — Romualdo quiere a Filomena p2 — Everisto quiere a Pancracia p3 — Everisto quiere a Leonora p4 — Everisto quiere a Tita Clementina p5 — Romualdo quiere a Leonora p6 — Osvaldo Felipe se pondrá contento p7 — Leonora obtiene/obtenga/obtendrá dinero de Romualdo p8 — Ruperto pueda/pudo ser operado de su gravísima enfermedad p9 — Leonora y Filomena son la misma persona / Leonora era la misma
persona que Filomena p10 — Osvaldo Felipe odia a Tita Clementina p11 — Leonora es la misma persona que Everisto p12 — Esto es un lío
Formalización:
( p1 ( p2 p3)) (p4 ( p5 p1)) (p1 p6)
(p7 p8) (p8 p7)
( p4 p2) (p2 p6)
(p8 (p1 p7)) (p10 (p2 p1)) p8 p9
(p11 p6) (p6 p12)
5
2 Diccionario:
p — El tiempo es finito
q — [El tiempo tuvo un principio/comienzo r — Hubo un tiempo anterior al surgi-
miento del tiempo s — Hasta el presente habría/ha transcurri-
do un tiempo infinito t — Habría /ha llegado el tiempo presente u — Esto es un lío
Formalización:
(p q) (q r) (r p)
( p q) ( q s) (s t) (t p)
(p p) ( p p) u
1 Formalización:
(p q) (q (r s))
(p (r s)) (s p) r)
(p s) ( r p)
Diccionario:
p — Juan es/fuese valiente
q — [Juan se echa/echaría a temblar
cuando [la ve [a Luisa
r — [Juan ama a Luisa / la ama
s — [Juan sabe cómo decirle [a Luisa que la ama/ sabe decírselo
8 Lógica
13 QUÉ ES DEDUCIR Y QUÉ ES UNA DEDUCCIÓN
Deducir es inferir unos enunciados a partir de otros utilizando reglas lógicas. Cuando razonamos lo que hacemos es deducir consecuencias de unos enunciados que tomamos como premisas aplicando reglas lógicas. Una deducción equivale a una argumenta-ción formalmente válida y deducir es lo mismo que razonar extra-yendo consecuencias lógicas. En una argumentación formalmente correcta la conclusión se deduce de las premisas.
Llamaremos "deductor" al signo "├── " y escribiremos:
"n ├── " (1)
para indicar que el enunciado se deduce del conjunto de
enunciados compuesto por yn , donde n es un número variable pero finito.
Escribiremos también:
"├── " (2)
para indicar que el enunciado se deduce de ninguna premi-sa; es decir, por sí mismo. (Cuando esto ocurre se dice de ese
enunciado que es una verdad lógica).
LAS REGLAS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL
Son aquellas que se usan para deducir unos enunciados de otros. Al razonar en castellano utilizamos estas reglas de forma espontánea y natural.
Hay dos grupos de reglas:
1) Las REGLAS BÁSICAS son reglas elementales que aplicamos en cualquier razonamiento lógico. No pueden justificarse en base a otras reglas más simples. Si no se aplicasen no se podría ra-zonar.
2) Las REGLAS DERIVADAS, como el nombre indica, son reglas que se derivan o justifican a partir de las reglas básicas. Son más complejas que las básicas y facilitan a menudo nuestras deduc-ciones, pero podría prescindirse de ellas y utilizar únicamente las básicas.
En la página siguiente se enumeran estas reglas en dos tablas. Para cada regla se indica, su nombre, su abreviatura y lo que la regla permite hacer. En general, toda regla lógica permite hacer una inferencia a partir de un(os) enunciado(s). Se separa mediante una línea horizontal el enunciado que se deduce de aquel(llos) del(los) que se deduce. Ejemplo: la regla de Doble Negación se formula así:
Si tenemos un enunciado cualquiera precedido por dos ne-
gadores podemos deducir ese mismo enunciado sin los dos negadores y viceversa.
CÓMO REALIZAR UNA DEDUCCIÓN
A partir de ahora se propondrán expresiones de los tipos:
(1) " ├── "
(2) "├── "
y habrá que realizar la deducción correspondiente, demostran-do en un número finito de líneas que el enunciado situado a la derecha del deductor se deduce efectivamente de los situados a la izquierda. Para ello se aplicarán reglas lógicas hasta encontrar el enunciado que se pide.
Para hacer una deducción
1. Se empieza por interrogar en la primera línea el enunciado que haya que deducir.
2. Se introducen en las líneas siguientes las premisas.
3. A continuación se aplican las reglas lógicas oportunas para, paso a paso, terminar por encontrar el enunciado interrogado. Para cada regla lógica usada se indicará a la derecha su abre-viatura y los números de las líneas que contienen los enuncia-dos sobre los que se ha aplicado dicha regla.
4. La prueba o deducción se dará por concluida cuando se haya obtenido interrogado en la primera línea. Ocurrido se marcan mediante una línea vertical todas las líneas de la deducción y se tacha el interrogante.
5. En toda deducción se numeran las líneas por izquierda.
LÍNEAS DE UNA DEDUCCIÓN
Antes de explicar cómo haremos a partir de ahora las deduc-ciones, vamos definir qué entenderemos por línea de una de deducción. Las líneas de una deducción serán de uno de estos tres tipos: 1. Línea interrogada — Es cualquier línea que esté compuesta
por un interrogante y cualquier enunciado a su derecha. Que una línea esté interrogada significa que hay que probar o de-ducir el enunciado en cuestión. Toda línea interrogada tendrá
esta forma: "? " 2. Línea utilizable — Es toda línea que conste bien de un enun-
ciado cualquiera solo bien de una enunciado precedido por un interrogante tachado. Que una línea sea utilizable significa que el enunciado que contiene se puede utilizar para deducir nue-vos enunciados. Las líneas utilizables tendrán alguna de estas
formas: "", " ? "(Bien un enunciado solo, bien un enuncia-do precedido por un interrogante tachado)
3. Línea marcada — Es toda línea que esté compuesta por un enunciado precedido por n marcas, donde n > 1, (es decir, el enunciado estará precedido por al menos una marca). Enten-deremos por marca una línea vertical. Una línea marcada
tendrá esta forma: “| “ ; “|| ”en general, “ |1|2 ...|n
”donde n > 1.
;
NOMBRE DE LA REGLA
SE ABREVIA POR
LA REGLA PERMITE
REGLAS BÁSICAS
1 Doble Negación D.N.
2 Introducción de la Conjunción
I.C.
3 Eliminación de la Conjunción
E.C.
4 Introducción de la Disyunción
I.D.
5 Eliminación de la Disyunción
E.D.
6 Introducción del condicional
I.Cd.
7 Modus Pones M.P.
8 Modus Tollens M.T.
9 Introducción del Bicondicional
I.B.
12 Eliminación del Bicondicional
E.B.
13 Tertium non datur T.N.D.
14 Identidad I.
REGLAS DERIVADAS
1 Ley de De Morgan 1 L.D.M.1
2 Ley de De Morgan 2 L.D.M.2
3 Negación del Condicional
N.C.
4 Regla Sin Nombre R.S.N.
5 Negación del Bicondicional
N.B.
(
9 Lógica
Una línea sólo puede pertenecer en un momento dado a uno de los tres tipos, de modo que si está interrogada no será ni utiliza-ble ni estará marcada; si fuese utilizable, no estará interrogada ni marcada y si, por último, una línea está marcada, no será ni utiliza-ble ni estará interrogada.
ALGUNOS EJERCICIOS DE DEDUCCIÓN RESUELTOS
TABLAS DE VERDAD. ALGUNAS SOLUCIONES
((p (q r)) q) p
A
p q r p q r q r p (q r) (p (q r)) q A p
V V V F F F F F F V
V V F F F V V V F V
V F V F V F F F F V
V F F F V V F F F V
F V V V F F F V F V
F V F V F V V V F V
F F V V V F F V V V
F F F V V V F V V V
(p (q r)) ( ( q r) p)
A B
p q r p q r q r (q r) q r ( q r)
p
q
r
qr
p
A
V V V F F F V F V F F V F
V V F F F V F V F V V F F
V F V F V F V F V F F V F
V F F F V V V F V F F V F
F V V V F F V F V F V F F
F V F V F V F V F V F V F
F F V V V F V F V F V F F
F F F V V V V F V F V F F
(p q) (((r p) q) r)
A B
p q r p q r p q r p (r p q ((r p q) r A B
V V V F F F F F V F F
V V F F F V F F V V F
V F V F V F V F F V V
V F F F V V V F F V V
F V V V F F V V V F F
F V F V F V V F V V V
F F V V V F F V V F F
F F F V V V F F F V F
1
2
3
6) q (p r) ; (r s) t ├── ( t q) s
1 ? t q s
2 t q ..................... Sea el Antecedente
3 ? s
4 q ........................................ E.C. 2
5 q (p r) ................. Premisa
6 p r ........................ M.P. 5 y 4
7 (r s) t .............. Premisa
8 t ..................................... E.C. 2
9 (r s) ............... M.T. 7 y 8
10 r s .............................. D.N. 9
11 r ..................................... E.C. 6
12 s ........................... E.D. 10 y 11
1 ? p t
2 r (p q) ........................... Premisa
3 q s ............................... Premisa
4 s r ............................... Premisa
5 r ................................... E.C. 4
6 p q ............................. E.D. 2 y 5
7 q s ................................... E.B. 3
8 s ................................... E.C. 4
9 q ............................ M.T. 7 y 8
10 p ............................ M.T. 6 y 9
11 p t .................................. I.D. 10
4) r (p q) ; q s ; s r ├── p t
1 ? s t
2 p ( q r) ......................... Premisa
3 r s ............................... Premisa
4 t (p q)........................ Premisa
5 s ..................... Sea el Antecedente
6 ? t
7 r ............................. E.D. 3 y 5
8 q r ............................... E.C. 2
9 q ............................. E.D. 8 y 7
10 p ................................... E.C. 2
11 p q ........................ I.C. 10 y 9
12 (p q) t ..................... E.B. 4
13 t ........................ M.P. 12 y 11
5) p ( q r) ; r s ; t (p q) ├── s t
1) p ; p q ; r q ├── r
1 ? r
2 p ..................Premisa
3 p q ..................Premisa
4 r q ..................Premisa
5 q ...............M.P. 3 y 2
6 q .................... D.N. 5
7 r ............... M.T. 4 y 6
2) q p ; r ; r p ; ├── q
1 ? q
2 q p ..................Premisa
3 r ..................Premisa
4 r p ..................Premisa
5 p r ..................... E.B. 4
6 r .................... D.N. 3
7 p ............... M.T. 5 y 6
8 q ................ E.D.2 y 7
3) p q ; r s ; t r ; t q ├── p s
1 ? p s
2 t r ..................Premisa
3 t q ..................Premisa
4 p q ..................Premisa
5 r s ..................Premisa
6 t ..................... E.C. 2
7 q ...............M.P. 3 y 6
8 q .................... D.N. 7
9 p ............... M.T. 4 y 8 *
10 r ..................... E.C. 2
11 s .............. E.D. 5 y 10 *
12 p s .............. I.C. 9 y 11
10 Lógica
n
m
m+1 I.D. n
m+2 .................E.D. m+1 y m
ESTRATEGIAS DEDUCTIVAS
Dado que una conjunción sólo es verdadera cuando son verda-deros todos sus componentes, deducir una conjunción requiere deducir todos y cada uno de sus componentes. El ejercicio 3) del folio anterior ejemplifica esto. En cambio, puesto que para que una disyunción sea verdadera basta con que lo sea alguno de sus componentes, para deducir una disyunción es suficiente con dedu-cir alguno de sus componentes. Esto se ilustra en el ejercicio 4) del folio anterior.
La deducción de un condicional consiste en suponer la verdad de su antecedente y deducir el consecuente. En realidad, dado que cuando el consecuente de un condicional es V todo el condicional es V, para probar un condicional basta con probar su consecuente. Los ejercicios 5) y 6) del folio anterior ilustran esto.
La deducción de una bicondicional consiste en probar los dos condicionales de que consta. Por ello, una estrategia puede ser interrogarse por separado los dos sentidos del bicondicional para demostrar esos dos condicionales. El ejercicio 7) ilustra esta estra-tegia.
Al realizar cualquier deducción está permitido interrogarse los enunciados que se considere necesarios para demostrar el enun-ciado principal. De este modo dentro de una deducción puede haber deducciones parciales de enunciados que son demostrados para su utilización en la deducción principal.
14 DEDUCCIÓN INDIRECTA O POR REDUCCIÓN AL ABSURDO
Las deducciones que hemos realizado hasta ahora terminan cuan-do se encuentra el enunciado inicialmente interrogado. A este proceder se llama deducción directa.
Se llama deducción indirecta o deducción por reducción al absurdo al proceder consistente en deducir un enunciado demostrando que su negación (lo contrario de lo que se quiere probar) es imposible porque es contradictoria. El enunciado que se deduce de forma indirecta tiene que admitirse (aunque no se haya encontrado directamente) porque se demuestra que lo contrario, su negación, no puede ser.
Si resolviendo una deducción obtenemos en dos líneas utilizables
un enunciado cualquiera y su negación eso es una contradic-ción pues no pueden ser V al mismo tiempo y su conjunción
es siempre falsa y, por tanto, es un enunciado contradicto-rio.
En realidad, a partir de una contradicción puede demostrarse cualquier enunciado tanto si se ha iniciado una deducción indirecta como si no. El siguiente esquema indica qué pasos hay que dar para ello:
Explicación: si en una línea cualquiera de una
deducción, llamémosla n, se deduce un enunciado y
en otra línea cualquiera m se deduce siendo n y m líneas utilizables, a continuación puede deducirse
cualquier enunciado que se desee aplicando las reglas lógicas tal como se hace en las líneas m+1 y m+2.
En el caso de que se halle una contradicción haciendo una deducción directa esto se explica porque las premisas de esa deducción son contradic-torias. El hecho de dar con una contradicción en una deducción directa es la prueba de que sus premisas son contradictorias.
La estructura común de toda deducción indirecta es la siguiente:
En la deducción indirecta se comienza, como en la deducción
directa, interrogando en la primera línea el enunciado que haya
que deducir. A continuación se niega y se escribe admitiendo la verdad de este supuesto. Con esta información y las premisas se aplican las reglas lógicas hasta dar con una contradicción cualquie-
ra, y en el esquema. En ese punto puede darse por concluida la deducción pues ya se sabe que de una contradicción puede deducirse cualquier enunciando, incluido el que se pretende de-mostrar.
EJEMPLOS DE DEDUCCIONES INDIRECTAS
7) r (s t); p r ; s q; s p ├── p q
1 ? p q
2 r (s t) ................................... Premisa
3 s q ................................... Premisa
4 p r ................................... Premisa
5 s p ................................... Premisa
6 ? p q ....................... 1er Sentido de 1
7 p .................. Sea el Antecedente
8 ? q
9 p ...................................... D.N. 7
10 r ................................. E.D. 4 y 9
11 s t .............................. M.P. 2 y 10
12 s q ....................................... E.B. 3
13 s ..................................... E.C. 11
14 q ............................ M.P. 12 y 13
15 ? q p ....................... 2º Sentido de 1
16 q .................. Sea el Antecedente
17 ? p
18 q s ....................................... E.B. 3
19 s ............................ M.P. 18 y 16
20 s .................................... D.N. 19
21 p ............................... E.D. 5 y 20
22 p q ................................. I.B. 6 y 15
1 ?
2 Prueba Indirecta
n
n+1
Contradicción
11) r (s t); p r ; s q; s p ├── p q
1 ? p q
2 r (s t) .................. Premisa
3 s q .................. Premisa
4 p r .................. Premisa
5 s p .................. Premisa
6 (p q) ... Prueba Indirecta
7 (p q) ( q p) ..... N.B. 6
8 ? p q 9 p Sea el Antecedente
10 ? q
11 p ..................... D.N. 9 12 r ............... E.D.4 y 11
13 s t .............. M.P.2 y 12
14 s q ....................... E.B.3 15 s .................... E.C. 13
16 q ............ M.P.14 y 15
17 (p q) ..................... D.N. 8
18 ( q p) ............... E.D.7 y 17
19 q p ................... N.C. 18
20 q s ....................... E.B.3
21 q .................... E.C. 19 22 s ............ M.P.20 y 21
23 s ................... D.N. 22 24 p ............... E.D.5 y 23
25 p .................... E.C. 19 Contradicción
10) p (q r) ; q ├── p
1 ? p
2 p (q r) ........... Premisa
3 q .................. Premisa
4 (q r)
5 (q r) Prueba Indirecta
6 q r .............. D.N. 5
7 q ...................... E.C. 6
8 q .......................... I. 3
9 p ..................... M.T. 2 y 4
Contradicción
Contradicción
8) p ; p q ; r q ├── r
1 ? r
2 r ... Prueba Indirecta 3 p ................. Premisa
4 p q .......... Premisa
5 r q ........ Premisa
6 q .............. M.P. 2 y 5
7 p .............. M.T. 4 y 6 9 p ........................ R. 3
9) q p ; r ; r p ; ├── q
1 ? q
2 q ... Prueba Indirecta
3 q p ................. Premisa 4 r ................. Premisa
5 r p ................. Premisa
6 p r ..................... E.B. 5
7 r .................... D.N. 4
8 p .............. M.T. 6 y 7 9 p ....................... E.D.3 y 2 Contradicción
11 Lógica
LAS PARADOJAS Y LA LÓGICA
Las paradojas han contribuido de una manera notable al desarro-llo de la lógica.
La palabra «paradoja» es un término griego compuesto (para-doxa), que significa, literalmente, una expresión o enunciado que es contrario a una opinión comúnmente aceptada. En este sentido, hoy resultaría paradójico afirmar, por ejemplo, que el Sol gira alrededor de la Tierra.
Actualmente, suele entenderse por paradoja, de manera general, un enunciado o expresión donde se asocian nociones incompatibles y que, por tanto, a primera vista resulta absurdo o contradictorio. Así por ejemplo, expresiones como «El que no tiene nada lo tiene todo», «La vida es muerte y la muerte es vida», etc.
La paradoja constituye un recurso literario de gran eficacia expre-siva y provocativa: en primer lugar, llama nuestra atención; en se-gundo lugar, nos incita a reflexionar y a descubrir su sentido, el mensaje que suponemos que el autor pretende transmitir mediante una expresión que nos parece contradictoria y sin sentido.
Desde el punto de vista de la lógica, una paradoja consta de dos proposiciones contrarias, o incluso, contradictorias, a las cuales lle-gamos mediante razonamientos que nos parecen lógicamente vá-lidos, correctos. Las paradojas desafían la lógica porque son razona-mientos que dan la impresión de tener premisas verdaderas, argu-mentos válidos y, sin embargo, conclusiones falsas o incluso contra-dictorias. El reto de una paradoja es conseguir enfocarla desde la perspectiva adecuada: encontrar la premisa que falla o el error en la argumentación. El interés y la importancia de las paradojas reside en que obligan a revisar las nociones lógicas usuales.
¿Por qué a los lógicos les interesan las paradojas? En parte, por-que son desafíos a nuestra comprensión: una paradoja sin resolver es una afrenta a nuestra razón. La existencia de una paradoja demuestra que no hemos captado todo el contenido de ciertos conceptos, ni la lógica que hay detrás de ellos. Casi siempre, las paradojas nos ense-ñan algo sobre los conceptos involucrados. Por último, las paradojas, como los acertijos, son divertidas.
CLASES DE PARADOJAS
Hay muchos tipos de paradojas que interesan a la lógica. Los más importantes son los que usualmente se denominan paradojas lógicas y paradojas semánticas.
UNA PARADOJA LÓGICA
Una paradoja lógica muy conocida es la que propuso el filósofo y matemático Bertrand Russell, y que afecta a la noción lógica de clase. Puede formularse del siguiente modo: «La clase de todas las clases que no pertenecen a sí mismas pertenece a sí misma si, y solamente si, no pertenece a sí misma». ¿Cómo llegamos a esta paradoja?
1) En primer lugar, definimos ciertas clases mediante una propie-dad: no pertenecer a sí mismas, no estar incluidas en ellas mis-mas.
2) En segundo lugar, tomamos la clase de todas estas clases, es decir, la clase de todas las clases que no están incluidas en sí mismas.
3) A continuación, nos preguntamos si esta clase tiene, a su vez, la propiedad de no pertenecer a sí misma. De este modo llegamos a la conclusión contradictoria de que esta clase:
a) Si no pertenece a sí misma, entonces necesariamente perte-nece a sí misma, puesto que en ella están incluidas todas las clases que no pertenecen a sí mismas.
b) Si pertenece a sí misma, entonces necesariamente no perte-nece a sí misma, puesto que en ella están incluidas precisa-mente las clases que no pertenecen a sí mismas.
Este tipo de paradojas se denomina paradoja lógica, porque afec-ta a nociones fundamentales de la lógica (en otros casos, de las matemáticas). Así, la paradoja de Russell afecta a la noción lógica de clase.
UNO PARADOJA SEMÁNTICA
Las paradojas semánticas son muy abundantes, y algunas de ellas, muy antiguas. Una paradoja semántica, ya conocida en la Grecia antigua y ampliamente discutida en la filosofía medieval, es la deno-minada «paradoja del mentiroso», también conocida como «paradoja de Epiménides» o del cretense. Puede formularse de distintas mane-ras. Tradicionalmente, se formulaba así: «Epiménides, que es creten-se, afirma que todos los cretenses mienten siempre». Esta paradoja no es tal y tiene una solución definitiva:
Epiménides que es cretense afirma:
a) Todos los cretenses mienten siempre.
1) Si a) es V, entonces a) es F, por ser Epiménides cretense. Luego a) no puede ser V
2) Si a) es F, entonces es verdadero lo contrario, es decir, que No todos los cretenses mienten siempre, que Algún cretense dice al-guna vez la verdad. Y esto es posible, no contradictorio. No sa-bemos si Epiménides era un mentiroso compulsivo. En cualquier caso, él en esta ocasión no decía la verdad.
Una formulación más simple de esta paradoja se obtiene supo-niendo que alguien afirma simplemente: «Miento» (o «Estoy min-tiendo»). Quien hace esta afirmación, si dice la verdad, miente (si cuando dice «Miento», está diciendo la verdad, entonces estará mintiendo), y si miente, dice la verdad (si cuando dice «Miento», está mintiendo, entonces estará diciendo la verdad).
Estas paradojas se denominan paradojas semánticas porque afec-tan a nociones de carácter semántico, es decir, a nociones que tienen que ver con el significado de las expresiones. En el caso del mentiro-so, la paradoja afecta a las nociones de verdad y de falsedad.
LA SOLUCIÓN DE LAS PARADOJAS
Como decíamos anteriormente, el interés de estas paradojas para la lógica reside en que llevan a revisar las nociones lógicas involucra-das en ellas.
1) La paradoja de Russell contribuyó a desarrollar la teoría de los tipos, inicialmente propuesta por el mismo Russell. Esta teoría propone un orden jerárquico de entidades, escalonadas en dis-tintos niveles, que van desde los individuos a las clases de indivi-duos, a las clases de clases de individuos, y así sucesivamente. En la paradoja de Russell no se respeta la jerarquía de los tipos.
2) Para la paradoja del mentiroso se han propuesto múltiples solu-ciones a lo largo de los siglos. Entre las soluciones propuestas en tiempos más recientes dos merecen ser destacadas:
a) Algunos han señalado que esta paradoja (y en general, las para-dojas semánticas) surge de utilizar expresiones carentes de sentido. La expresión «Miento», sin más, es una expresión in-completa que, por ello mismo, carece de sentido. Tendría senti-do si alguien dijera, por ejemplo: «Afirmo que la Tierra es cua-drada, y miento». Pero decir solamente «Miento», sin que haya indicación alguna sobre en qué se miente, es como decir «Yo no», sin que quede indicado qué es lo que yo no acepto (o no hago, o no deseo, etc.).
b) La otra solución, más ampliamente aceptada, para la paradoja del mentiroso (y para otras paradojas semejantes), se basa en la distinción de niveles lingüísticos entre un lenguaje, el metalen-guaje de ese lenguaje (es decir, el lenguaje que utilizamos para hablar de aquel lenguaje), el metalenguaje de ese metalenguaje, y así sucesivamente. La paradoja del mentiroso revisada surge al confundir dos niveles del lenguaje: el lenguaje en el que se dice «Miento» y el metalenguaje en el que se habla de esta expre-sión, diciendo que «Miento es verdadero» y que «Miento es fal-so».
VOCABULARIO
Proposiciones contrarias
Son contrarias la proposición universal afirmativa y la proposición universal negativa. Por ejemplo, «Todos los hombres son sabios» y «Ningún hombre es sabio». Las proposiciones contrarias no pueden ser verdaderas a la vez, pero sí que las dos pueden ser falsas.
Proposiciones contradictorias
Dos proposiciones son contradictorias cuando la una es la nega-ción de la otra. Por ejemplo, «Todos los hombres son sabios» y «No es el caso que todos los hombres son sabios» (dicho de otro modo, «Algunos hombres no son sabios»). Las proposiciones contradictorias no pueden ser verdaderas a la vez, y tampoco las dos pueden ser falsas.
Semántico
Relativo al significado. La semántica es una parte de la lógica (y de la lingüística) que estudia las cuestiones relacionadas con el significado de las palabras y de los enunciados.
12 Lógica
ALGUNAS PARADOJAS
1) CATCH 22
Sólo había una trampa y era la Catch 22, que especificaba que se consideraba proceso de una mente racional mostrar preocupa-ción por la seguridad de uno mismo frente a peligros que fueran re-ales e inmediatos. Orr estaba loco y podía quedarse en tierra. Sólo tenía que pedirlo; y, en cuanto lo hiciera, ya no estaría loco y tendr-ía que volar en más misiones. Orr tendría que estar loco para volar en más misiones; lo cuerdo sería no hacerlo, pero si estaba cuerdo tendría que volar en ellas. Si volaba en ellas, estaba loco y no tenía por qué hacerlo, pero si no quería hacerlo es que estaba cuerdo y tendría que hacerlo.
JOSEPH HELLER, Catch 22
2) AQUILES Y LA TORTUGA
Imaginemos una lentísima tortuga echando una carrera con un rapidísimo Aquiles, pero de forma que a la tortuga se le da cier-ta ventaja. ¿Puede Aquiles llegar a pasar a la tortuga? El sentido común nos dice que sí.
Aquiles Tortuga
o o
empieza aquí empieza aquí
Pero piense en esto: Para cuando Aquiles haya llegado a donde empezó la tortuga, la tortuga habrá avanzado ya algo.
Aquiles Tortuga
o o
ahora aquí ahora aquí
Y durante el tiempo que tarda Aquiles en recorrer ese poco más, la tortuga habrá avanzado todavía un poquito más aún.
Aquiles Tortuga
En otras palabras, a Aquiles siempre le va a llevar cierto tiem-po llegar a donde la tortuga estaba, y durante ese tiempo la tortu-ga habrá avanzado algo más. Así que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga. Eso es una paradoja.
Es una paradoja porque la conclusión (Aquiles nunca alcanzará a la tortuga) es absurda, pero el argumento a favor de la conclu-sión resulta incontrovertible (aparentemente). Podemos resolver la paradoja, bien encontrado un error en el argumento (una pre-misa falsa o una inferencia incorrecta) o reconciliándonos con la conclusión (como hizo Zenón, llegando a creer que aunque las co-
sas parecen moverse, ¡en realidad no existe el movimiento!). Re-
to1. ¿Es usted capaz de resolver esta paradoja?
3) LA PARADOJA DEL BARBERO
Durante mi viaje a Francia visité un pueblecito en el que el barbero le corta el pelo a todos y sólo a los que no se lo cortan ellos mis-
mos. Reto 2. ¿Quién le corta el pelo al barbero?
4) LA PARADOJA DEL MENTIROSO REVISADA.
La siguiente afirmación, ¿es cierta o falsa?
«Esta afirmación es falsa»
Si resulta falsa, entonces lo que dice es cierto, de forma que es ver-dad; si es verdad, debería decir lo correcto, ¡así que es falsa!
5) LA PARADOJA DE GRELLING.
Llamaremos autológica a una palabra que se describe a sí misma y heterológica a la que no. Por ejemplo, la palabra «corto» es corta y por tanto autológica. La palabra «largo», en cambio, no es larga, luego es heterológica. «Español» es autológica (porque «Español» es español —o sea, castellano—), pero «Francés» es heterológica (porque «Francés» no es francés, es castellano —o sea, español—). «Polisilábico» es autológica, pero «monosilábico» es heterológica.
Reto 3. ¿«Heterológica» es heterológica o autológica?
6) EUATO.
La historia dice que Euato estudiaba leyes con Protágoras, quien es-tuvo de acuerdo en cobrar sólo cuando Euato ganara su primer ca-so. Euato finalizó su instrucción pero no comenzó la práctica legal durante algún tiempo. Finalmente, Protágoras se cansó de esperar a que Euato ganara su primer caso y le puso una demanda para co-brar. Protágoras argumentaba que o bien el caso se sentenciaba a su favor, en cuyo caso deberían pagarle, o bien ganaría Euato, en cuyo caso tendría que pagarle, porque habría ganado su primer ca-so. Euato, por el contrario, argumentaba que o bien perdía el caso, y entonces no tendría por qué pagar aún, o bien el juez sentenciaría
que no debía pagar. Reto 4. ¿Qué debería decidir el juez?
7) LA PARADOJA DE BERRY.
Puesto que hay un número finito de palabras en castellano, hay sólo un número finito de locuciones que tengan menos de veinte palabras. Algunas de ellas describen números enteros positivos, por ejemplo, «uno», «trescientos setenta y siete», «el cuadrado de no-venta y nueve» y «el primer número primo mayor que diez elevado a cuarenta y dos». Puesto que hay sólo un número finito de tales frases, debe de haber algún número entero positivo que no puede describirse con una locución de menos de veinte palabras. Considé-rese entonces la frase «el número entero positivo más pequeño que no puede describirse con menos de veinte palabras». Esta frase pa-rece que describe un cierto número, el número entero positivo más pequeño que no puede describirse con menos de veinte palabras.
Reto 4. Explique por qué la frase lleva a una paradoja (Pista: ¿Cuán-
tas palabras tiene la frase?).
8) TODOS LOS NÚMEROS SON INTERESANTES.
Hay números que, por una u otra razón, resultan interesantes. Un número puede ser interesante, o especial, porque resulta único en algún sentido. Ejemplos de esto son el número de los sólidos plató-nicos, el número primo más pequeño y el mayor número de reinas que pueden colocarse en un tablero de ajedrez de manera que nin-guna pueda comer a otra. Hay una famosa historia que da cuenta de una visita que realizó el matemático Hardy al matemático Ra-
manujan. Ambos estaban fuertemente involucrados en la teoría de números. Hardy mencionó el número del taxi que le acababa de traer, el 1.729, un número poco interesante. Ramanujan respondió que en realidad era un número muy interesante; era el menor número que podía expresarse como la suma de dos cubos de dos formas diferentes (1.729 es 10 al cubo más 9 al cubo, y también 12 al cubo más 1 al cubo). Por supuesto que todos los números son in-teresantes! Para darse cuenta de ello, supongamos que hay núme-ros que no lo son. Es claro que 1, el primer número, lo es, y también 2, el primer número par, así que ¿cuál es el primer número que no lo es? Sea cual sea, es interesante, porque ¡es el primer número que no es interesante! La hipótesis de que existen números que no son interesantes lleva a una contradicción, luego no puede haber números que no sean interesantes.
Maurits Cornelius Escher Cascada (detalle), litografía, 1961
Uno de los maravillosos edificios imposibles de Escher.
La base de la ilusión es la inclusión del triángulo imposible o tribar desarrollado por el matemático Roger Penrose. Este triángulo se repite en el dibujo tres veces. Si estudiamos cada parte del dibujo por separado no encontramos ningún problema, pero si lo examinamos como un todo nos encontramos con la paradoja imposible de que el agua viaja por un plano pero acaba cayendo de nuevo sobre el molino.
13 Lógica
Algunas deducciones resueltas:
├── (p (q r)) ((p q) (p r))
1 ? (p (q r)) ((p q) (p r))
2 ? (p (q r)) ((p q) (p r)) ........ 1er Sentido de 1
3 p (q r) .............................. Sea el Antecedente
4 ? (p q) (p r)
5 ? p q ......................... 1er Componente de 4 6 p .............................. Sea el Antecedente 7 ? q
8 q r ..................................... M.P. 3 y 6 9 q .................................................. E.C. 8
10 ? p r ........................ 2º Componente de 4 11 p .............................. Sea el Antecedente 12 ? r
13 q r ..................................... M.P. 3 y 6 14 r ................................................. E.C. 13
15 (p q) (p r) .................................I.C. 5 y 10
16 ? ((p q) (p r)) (p (q r)) ......... 2º Sentido de 1
17 (p q) (p r) ........................ Sea el Antecedente
18 ? p (q r) 19 p .............................. Sea el Antecedente
20 ? q r
21 p q ................................................ E.C. 17 22 q ......................................... M.P. 21 y 19
23 p r ................................................ E.C. 17 24 r ......................................... M.P. 23 y 19
25 q r ........................................... I.C. 22 y 24
26 (p (q r)) ((p q) (p r)) .................I.B. 2 y 16
t ( q p); p (q s) ; s (r (t p))
├── ( t (q s)) (( r t) p)
1 ? ( t (q s)) (( r t) p)
2 t ( q p) ................................................. Premisa
3 p (q s) ................................................. Premisa
4 s (r (t p) ) ................................................ Premisa
5 ? t (q s) ....................... 1er Componente de 1
6 t .............................. Sea el Antecedente
7 ? q s 8 q .............................. Sea el Antecedente
9 ? s
10 t ( q p).................................... E.B.2
11 q p ........................................M.P.10 y 6
12 q................................................ D.N. 11 13 p ............................................E.D.11 y 12
14 p (q s) ....................................... E.B.3
15 q s...................................... M.P.14 y 13
16 s ................................................... E.C. 15
17 ? ( r t) p ............................ 2º Componente de 1
18 r t .............................. Sea el Antecedente 19 ? p
20 (q s) p .............................................. E.B.3
21 ? q s 22 ? q ........................ 1er Componente de 21
23 q ............................ Prueba Indirecta
24 q p ....................................... I.D. 23
25 ( q p) t ............................ E.B.2
26 t ..................................... M.P.25 y 24 27 t .................................................. E.C. 18
28 ? s..................... 2º Componente de 21
29 s (r (t p)) ........................ E.B.4
30 ? (r (t p))
31 (r (t p))Prueba Indirecta
32 r (t p) ....................... D.N. 31 33 r .......................................... E.C. 32
34 r ...................................... E.C. 18
35 s ................................... M.T. 29 y 30
36 q s ..................................... I.C. 22 y 28 37 p ................................... M.P.20 y 21
38 ( t (q s)) (( r t) p) .................. I.C. 5 y 17
├── ( p (q r)) (r ( p q))
1 ? ( p (q r)) (r ( p q))
2 ? ( p (q r)) (r ( p q)) ................ 1er Sentido de 1
3 p (q r) ............................................. Sea el Antecedente
4 ? (r ( p q))
5 (r ( p q)) .................................. Prueba Indirecta
6 r ( p q) ............................................................. D.N. 5
7 (q r) ...................................................................... E.C. 3
8 ? q r ............... (Si se prueba hay contradicción con 7)
9 q .................................................... Sea el Antecedente
10 ? r
11 r ............................................... Prueba Indirecta
12 r ...................................................................... D.N. 11
13 p q ................................................. M.P.6 y 12
14 q ................................................................ D.N. 9
15 p ...................................................... M.T. 14 y 13
16 p .................................................................... E.C. 3
17 ? (r ( p q)) ( p (q r)) ................. 2º Sentido de 1
18 (r ( p q)) ......................................... Sea el Antecedente
19 ? p (q r)
20 ( p (q r)) ................................... Prueba Indirecta
21 ? r ( p q) ........ (Si se prueba hay contradicción con 18)
22 r ............................................. Sea el Antecedente
23 ? p q
24 p ............................................. Sea el Antecedente
25 ? q
26 q ....................................... Prueba Indirecta
27 ? (q r)
28 (q r) .................. Prueba Indirecta
29 q r .......................................... D.N. 28
30 q .......................................... D.N. 26
31 r ................................... M.P.29 y 30
32 r ................................................ I. 22
33 p (q r) ............................. I.C. 24 y 27
34 ( p (q r)) .................................. I.20
35 ( p (q r)) (r ( p q)) ......................... I.B. 2 y 17
Contradicción
Sea la argumentación:
Si se quiere ser libre es necesario tener valor para conquistar la autonomía. Si no se afrontan los propios miedos nunca se tendrá valor para conquistar la autonomía. Si un@ no se dice la verdad a sí mism@ no afrontará sus miedos. Por tanto, si un@ se miente a sí mism@ entonces no quiere ser libre.
Diccionario
p – se quiere ser libre
q – se tiene valor para conquistar la autonomía
r – se afrontan los propios miedos
s – un@ se dice la verdad a sí mism@
Formalización
p q
r q
s r
sp