UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICAANTONIO JOSÉ DE SUCRE

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZDEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES.

SECCION DE MATEMATICA

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA

Elaborado por:Prof: Luis Nuñez

Puerto Ordaz, Abril del 2003

Índice

Introducción a la Lógica Matemática

1 Introducción.................................................................................................... 3

2 Proposición …………………………………………………………………. 3

3 Valor de verdad de una proposición................................................................ 4

4 Conectivos lógicos........................................................................................... 5

5 Tablas de verdad............................................................................................. 6

6 Negación de proposiciones compuestas .......................................................... 11

7 Proposiciones recíprocas, contra recíprocas, contrarias..................................... 13

8 Condición necesaria y suficiente....................................................................... 14

9 Funciones proposicionales................................................................................ 18

10 Cuantificadores................................................................................................ 20

11 Métodos de demostración............................................................................... 20

12 Refutación de una proposición........................................................................ 25

Bibliografía. 26

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1 Introducción. Para muchos estudiantes aprender matemáticas, física y química “es muy difícil”; sin embargo pocas veces se busca una explicación del porqué no aprenden estas disciplinas los alumnos. Me encuentro entre quienes piensan que: “Los alumnos no aprenden ciencias exactas, porque no saben relacionar las conocimientos que se proporcionan en la escuela (leyes, teoremas, fórmulas) con los problemas que se le presentan en la vida real”. Otro problema grave es que el aprendizaje no es significativo. El presente trabajo pretende motivar a los estudiantes para que con ayuda de la “lógica matemática”, sean capaces de encontrar relaciones entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una buena estructura cognitiva. Consideramos que si el alumno sabe lógica matemática puede relacionar estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear conocimiento.

La lógica fue sistematizada por Aristóteles en el siglo IV A.C, está lógica reinó cerca de 2000 años, durante ese tiempo, el lenguaje de la lógica era el lenguaje ordinario, el cual es impreciso, ambiguo y a veces contradictorio. En 1666 Leibniz creó un nuevo lenguaje simbólico, dando inicio a lo que hoy conocemos como lógica simbólica o matemática, sin embargo este trabajo de Leibniz permaneció cerca de 200 años sin despertar interés, hasta que en 1847 Boole presentó la estructura conocida hoy como Álgebra de Boole, de gran importancia hoy en las ciencias puras y aplicadas. En la segunda mitad del siglo XIX se continuó desarrollando esta disciplina. En 1894 G. Peano y sus colaboradores iniciaron la publicación del “Formulaire de Mathématiques” en la que habrían de presentarse todas las disciplinas matemáticas usando la lógica matemática, luego entre los años 1910 y 1936, Whitehead, Russell y Hilbert, completan toda la construcción de la matemática libre de las contradicciones que surgieron al principio y que dieron origen a algunas paradojas famosas.

La lógica estudia las formas, estructuras o esquemas de razonamiento. En este curso estudiaremos la parte de la lógica que estudia las proposiciones, insistiendo en algunos aspectos particulares que originan confusiones, con un enfoque más metodológico que filosófico, sin descuidar el uso formal del lenguaje simbólico.

Aquí trataremos con una lógica binaria, lo que no es verdadero es falso y viceversa. Utilizaremos enunciados de los que podemos decir si son verdaderos o falsos en sentido excluyente. Descartando situaciones como la siguiente: Un taxista es atrapado por un grupo de delincuentes, los cuales le proponen al asustado taxista lo siguiente: si usted dice una frase verdadera le pegamos un tiro en la cabeza; si dices una falsa te matamos cortándote en pedacitos. Suponiendo que los delincuentes harán honor a sus palabras. ¿Qué debe decir el taxista para salvarse?. Una respuesta podría ser “hermanos ustedes me van a matar cortándome en pedacitos”. En efecto no pueden darle un tiro en la cabeza pues en ese caso la frase sería falsa, tampoco pueden cortarlo en pedacitos, pues en ese caso la frase sería verdadera. En este curso trataremos cosas distintas a las que popularmente se entiende por “lógica” Así que no trataremos problemas como el siguiente. Determinar qué número es el siguiente en la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, … Seguramente ustedes creen “lógicamente” que la respuesta es 32. Pero se trata de la sucesión en la que el enésimo término es el número máximo de regiones en que queda dividido un círculo cuando en la circunferencia seleccionamos n puntos distintos y unimos cada par de ellos con segmentos rectilíneos. Puede verificarse que el sexto término de la sucesión es 31.

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2 Proposición En el lenguaje cotidiano de la universidad podemos oír frases como estas

a) El aluminio es un metal. b) x2 ≥ -4. c) 4+8=12.

d) Simón Bolívar el Libertador nació en Puerto Ordaz.

e) Todos los árboles tienen hojas azules. f) Caracas no es la capital de Venezuela.

g) ¿Ayer llovió? h) ¡ Qué chimbo! i) Cada día que amanece el número de tontos crece

j) María es una chica muy buena. k) Esta frase es falsa p) La tierra es plana.

q) -17 + 38 = 21 r) x > y-9 w) Lava los platos por favor.

Actividad 1 Indique aquellos enunciados que son verdaderos : ______________________ Indique los enunciados que son falsos: _____________________ Indique cuales frases no pueden ser clasificados como verdaderos ni falsos: _________ Comentarios: ____________________________________________________________

Una proposición es todo enunciado respecto al cual se disponga de un criterio que permita afirmar que su contenido es verdadero o falso. En otras palabras, una proposición es una oración que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez.

Decida cuales de los enunciados anteriores son proposiciones y cuales no. ____________________________________________________________________________________

Las proposiciones las denotaremos con letras minúsculas: p, q, r, s, t, .... Así, las proposiciones anteriores se pueden denotar así: p : El hierro es un metal. q : Las hojas de los árboles son azules t : 4+8=12

3 Valor de verdad de una proposición. Una proposición verdadera diremos que tiene valor de verdad "verdadero", y una

proposición falsa tiene valor de verdad "falso".

El valor de verdad "verdadero" se denota por V y el valor "falso" se denota por F.

En algunos textos usan los símbolos 0 y 1 para representar los valores de verdad falso y

verdadero, respectivamente.

Actividad 2 Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) p: 13 es un número par. _________ b) q: Todo triángulo es rectángulo ______________ c) r: La circunferencia es una curva cerrada. __________ d) t: El Orinoco es el río más grande de Venezuela. _________

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La característica fundamental de las proposiciones es la bivalencia: estas pueden tomar los valores 0 ó 1 (falsa o verdadera) esta propiedad también la cumplen otros objetos entre ellos los interruptores (switch) de un circuito eléctrico un interruptor tiene dos posibles valores o está abierto (no permite el paso de la corriente) o está cerrado (permite el paso de corriente)

4 Conectivos lógicos. Sea la proposición: p: 234 es divisible por 2 y por 3

Observe que el contenido de esta proposición p esta constituido por las proposiciones. q: 234 es divisible por 2 r: 234 es divisible por 3

enlazadas o conectadas por "y". A la proposición p se le llama proposición molecular o compuesta (ya que esta formada por dos o más proposiciones). A las proposiciones q y r se les llama proposiciones atómicas o simples.

En general, a partir de proposiciones simples se pueden obtener nuevas proposiciones por medio de los llamados conectivos lógicos. Estos son operadores que permiten construir otras proposiciones partiendo de una o más proposiciones. Los conectivos lógicos relacionan las proposiciones y permiten analizar el valor de verdad de una proposición compuesta a partir de los valores de verdad de las proposiciones componentes.

En la Tabla 1 se muestran los conectivos lógicos que estudiaremos en este taller:

Tabla 1 Conectivos Lógicos.

CONECTIVO SÍMBOLO OPERACIÓN SIGNIFICADO

Conjunción p q p y qDisjunción inclusiva p q p o qDisjunción exclusiva p q o p o q

Implicación o condicional

p q p implica q

Doble implicación o Bicondicional

p q p si y sólo si q

Negación ~ ~p no p o no es cierto que p.

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Interruptor abierto

Bombillo apagado Batería

Interruptor cerrado

Bombillo encendido

Batería

En el ejemplo anterior la proposición molecular p se puede representar por qr Ejemplo.Sea el siguiente enunciado “El vehículo enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”

Sean:p: El vehículo enciende.q: Tiene gasolina el tanque.r: Tiene corriente la batería.

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue: (q r) p

5 Tablas de verdad.

Las tablas de verdad son esquemas para describir el valor de verdad de una proposición

molecular basándose en el valor de verdad de las proposiciones atómicas componentes.

Para construir la tabla de verdad de cualquier proposición compuesta se parte del siguiente

principio: " a toda proposición simple ( atómica ) le corresponden sólo dos posibles valores

de verdad V o F ".

Antes de construir tablas de verdad se debe conocer las llamadas Tablas de Verdad

Básicas ( es decir tablas de verdad correspondientes a los conectivos).

5.1. Tabla de verdad de la negación.

La negación de una proposición simple p es la proposición ~p, que se lee " no p " . Cuando

p es V, ~p es F y si p es F entonces ~p es V.

Tabla 2 Tabla de verdad de la negación

P ~ pV FF V

Por ejemplo:

La negación de la proposición:

p : 18 es par (la cual es V) es ~p : 18 no es par (- p es F).

5.2 Tabla de verdad de la conjunción. Dadas las proposiciones p y q se llama proposición conjuntiva a aquella proposición formada por p y q enlazadas con el conectivo , simbolizada así (p q). La tabla de verdad correspondiente es:

6

Tabla 3Tabla de verdad para la conjunción

p q p qV V VV F FF V FF F F

5.3 Tabla de verdad de la disjunción inclusiva. Dadas las proposiciones p y q la tabla de verdad de la proposición ( la cual se lee disjunción de p y q) es:

Tabla 4Tabla de verdad para la disjunción inclusiva.

p q p qV V VV F VF V VF F F

Así , (p q) es verdadera cuando una o ambas proposiciones son verdaderas, y falsa cuando p y q son ambas falsas.

5.4 Tabla de verdad para la implicación o condicional. En la proposición , p se llama antecedente o premisa, y q se llama consecuente o conclusión. La correspondiente tabla de verdad es:

Tabla 5 Tabla de verdad para la implicación.

p qV V VV F FF V VF F V

De la tabla 5 se concluye que la proposición es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso (fila 2 de tabla 5). En cualquier otro caso es verdadera.

5.5 Tabla de verdad para la doble implicación. La tabla de verdad correspondiente a la proposición es:

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Tabla 6 Tabla de verdad para la doble implicación.

p qV V VV F FF V FF F V

La proposición es verdadera cuando ambas proposiciones p, q son verdaderas o ambas falsas. (Ver filas 1 y 4 de la tabla 6).

La proposición también se lee " p es equivalente a q".

5.6 Tabla de verdad para la disjunción excluyente (o diferencia simétrica). Dadas las proposiciones p, q se puede formar la proposición la cual se lee " o p o q " pero no ambas a la vez. La tabla correspondiente es:

Tabla 7 Tabla de verdad para la disjunción excluyente (o diferencia simétrica).

p q (p q)

V V FV F VF V VF F F

Observe que: (p q) es verdadera cuando una de las proposiciones componentes es verdadera y la otra falsa.

Actividad 3 Sean las proposiciones:

r: En el 2003 se mantienen las condiciones actuales del mercado automotriz t: FIAT reactivará su planta en La Victoria a corto plazo

q: FIAT reactivará su planta en La Victoria a mediano plazo

Escriba en forma verbal las siguientes proposiciones y determine el valor de verdad. a) r q b) r c) r ( q) d) ~(t q) e) r (~t ~q) f) ~q ~t Solución. a) r q: ___________________________________________________________ b) r : __________________________________________________________ c): r ( q) ____________________________________________________________

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d)

e)

Las seis tablas de verdad que se construyeron anteriormente permiten construir las tablas de verdad de cualquier proposición compuesta. Para ilustrar el proceso construiremos la tabla de verdad de la proposición: , siguiendo los pasos: i) Se identifican las proposiciones simples que aparecen en la proposición a estudiar, y se establece una columna para cada una, luego se van deduciendo los valores de verdad de las proposiciones previas a la proposición final.

ii) Se calcula el número de filas (o entradas) con la fórmula 2n, donde n indica el número de proposiciones simples, y el 2 indica el número de valores de verdad por cada proposición simple.

Para nuestro ejemplo n=3 por lo que la tabla de verdad tiene 23 = 8 filas; y cinco columnas veamos:

t q r EMBED Equation

V V V V V

V V F V F

V F V V V

V F F V F

F V V V V

F V F V F

F F V F V

F F F F V

Ejemplo 1 Construya la tabla de verdad para las siguientes proposiciones:

a) b) (- p) (- q) c) - (p q ) d) (- p) q e) - (p q) f) (- p) (- q) g)

Solución. a) En la proposición (- p) p sólo interviene una proposición por lo que n=1, y la tabla tiene dos filas. Las columnas son tres: p, -p, -p p. La tabla es:

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p -p

V F FF V F

b) La tabla de verdad para la proposición (-p) (-q) es:

V V

V F

F V

F F

c) La tabla de verdad para la proposición - (p q ) es:

V V

V F

F V

F F

d) Se deja al lector que construya las tablas (d), (e), (f), (g).

Notas. i) Observe que las proposiciones - ( p q ) y ( - p - q) tienen el mismo valor de verdad para los correspondientes valores de verdad de p y q. En este caso, se dice que estas dos proposiciones son equivalentes y se anota con los símbolos o . Así: - ( p q ) (- p - q )o bien - (p q ) ( - p - q ) (1) Otras proposiciones equivalentes son:

( p q) (- p q ) (2)

- ( p q ) (3)

- ( - p ) p (4)

( p q ) (5)

ii) Una proposición compuesta es una Tautología si y sólo si dicha proposición es verdadera cualesquiera que sean los valores de verdad de las proposiciones componentes.

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Por ejemplo: la tabla de verdad para la proposición es:

V V V V V VV V F V V VV F V F V VV F F F V VF V V F V VF V F F F VF F V F V VF F F F F V

Observe que en la última columna aparece sólo el valor de verdad V, por lo tanto la proposición es una tautología.

iii) Una proposición compuesta es una contradicción si y sólo si dicha proposición es falsa cualesquiera que sean los valores de verdad de las proposiciones compuestas.

Por ejemplo: La proposición (-p p) es una contradicción (ver ejemplo 1a)

6 Negación de proposiciones compuestas.

6.1 Negación de una negación. La negación de la proposición -p es -(-p) la cual es equivalente a p. Veamos la tabla de verdad.

Tabla 8Negación de una negación.

p -p

V F VF V F

La columna 1 y 3 son iguales, por lo tanto p (6)

6.2 Negación de una disjunción. Sean p, q dos proposiciones simples, la negación de la proposición es - lo cual equivale a: (-p) (-q). Es decir: ((-p) (-q)) (7) En el ejemplo 1 se demostró esta equivalencia.

Así, la negación de una disjunción se obtiene formando la conjunción de la negación de las proposiciones componentes.6.3 Negación de una conjunción. La negación de la proposición es - , esta última es equivalente a

. Veamos, la tabla de verdad correspondiente:

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Tabla 9Negación de una conjunción.

p q -p -q EMBED Equation

V V F F V F FV F F V F V VF V V F F V VF F V V F V V

Las columnas 6 y 7 de la tabla anterior son iguales, por lo tanto se puede concluir que: ((- p ) ( - q )) (8)

6.4 Negación de una implicación. En la sección anterior se indicó que las proposiciones y son equivalentes, es decir: por (2) Por lo tanto negar equivale a negar ; veamos: por (7) por (6)

De donde la negación de: es equivalente a (9)

6.5 Negación de una doble implicación. Para negar la proposición partimos de: Negando ambas proposiciones:

por (8)

por (9)

Luego, la negación de: es (10)

Ejemplo 3 Halle la negación de las siguientes proposiciones. a) b) c) d) Solución: a) Para negar procedemos así: por (2)

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Negando:

por (7)

por (6)

Directamente se puede negar así: por (9) por (6)

b) La negación de se halla así: por (7)

por (8)

por (6)

c) La negación de es: (compruébelo)

d) La negación de se obtiene aplicando (10), (6) y (7):

Actividad 4 Redacte una proposición compuesta cualquiera y una proposición relacionada con matemática (puede ser un teorema, pero evite por el momento el uso de las palabras todo(s), cada, cualquiera, existe, hay o alguna forma equivalente). Luego escriba una forma equivalente a la proposición y también su negación.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

RESUMEN: A continuación se da un listado de tautologías (o leyes lógicas), algunas de ellas se demostraron, las otras se dejan como ejercicios.1) 2) 3) 4)5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 7 Proposiciones recíprocas, contra recíprocas, contrarias.

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Sean p, q proposiciones, a partir de la proposición se pueden formar otras implicaciones, las cuales reciben nombres especiales:

Proposición NombreRecíprocoContrario

Contra recíproco La tabla de verdad correspondiente a estas implicaciones:

Tabla 10p q -p -q EMBED

Equation

EMBED Equatio

n

V V F F V V V VV F F V F V V FF V V F V F F VF F V V V V V V

Observe que: i) Las columnas 5 y 8 son iguales, por lo tanto y son equivalentes. Es decir, la proposición directa y su contra recíproca son equivalentes. ii) Las columnas 6 y 7 son iguales, de allí que

Actividad 5 Sea la proposición:"Si f es una función real derivable en a entonces f es continua en a ”

a) La proposición recíproca es: __________________________________________________________________________ b) La proposición contraria es: __________________________________________________________________________

c) El contra recíproco es: __________________________________________________________________________

8 Condición necesaria y suficiente. Para ilustrar consideremos la siguiente proposición:

"todo número natural es también un número entero".

Esta proposición puede expresarse usando una implicación (o condicional) de la siguiente forma:

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p : "Si un número es natural, necesariamente es un número entero". Otra forma equivalente es: p : "Si un número es natural entonces es un número entero".

También podemos redactar la proposición de las siguientes formas: a) Qué un número sea entero es condición necesaria para que él sea natural. b) Una condición necesaria para que un número sea natural es que él sea entero. Nos preguntamos: ¿Qué un número sea entero es suficiente para qué el número sea natural? Es claro que no, pues -2 es entero pero no es natural.

Ahora consideremos las siguientes proposiciones: c) Qué el número sea natural es suficiente para que él sea entero.

d) Una condición suficiente para que el número sea entero es que él sea un número natural.

Las proposiciones (a), (b), (c), (d) son formas equivalentes de redactar la proposición condicional p.

En conclusión, la implicación se puede expresar de las siguientes formas: i) Si H entonces T. ii) T es condición necesaria para H. iii) Una condición necesaria para H es T. iv) H es condición suficiente para T. v) Una condición suficiente para T es H.

De manera análoga la doble implicación se puede expresar de las siguientes formas. a) H es una condición suficiente y necesaria para T. b) T es una condición suficiente y necesaria para H.

Ejercicio propuesto. Sean las proposiciones: p : Las diagonales se intersecan en el punto medio q : Las diagonales son perpendiculares

t : La figura en un rectángulo. c : La figura es un cuadrado. r : La figura es un rombo. d : La figura es un cuadrilátero. Escriba tres proposiciones compuestas verdaderas usando exclusivamente las proposiciones atómicas dadas y las expresiones “condición necesaria y/o suficiente”, “condición suficiente”, y simbolice cada una.i.- ______________________________________________________________________ii.- ______________________________________________________________________

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iii.-_______________________________________________________________________Ejercicios de repaso. 1) Cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones. En los casos en los que resulten ser proposiciones determine si es verdadera o falsa. a) Si x es mayor que 2 entonces es mayor que 4. b) Dos triángulos congruentes son semejantes. c) Dos triángulos semejantes son congruentes. d) e) La nieve es blanca y el acero es un metal.

2) Si para cualquier proposición q se tiene que es verdadera. ¿Qué puede decirse sobre el valor de verdad de p?

3) Sabiendo que: es falsa. ¿Cuál es valor de verdad de q? 4) Si es verdadera. ¿Qué puede decirse del valor de verdad de ?.

5) Si q es una proposición falsa, demuestre que: a) es falsa. b) es equivalente a -p. c) es equivalente a p. d) es equivalente a p.

6) Sean las proposiciones p, q, r, s, t tales que q y r son verdaderas, y p, s, t son falsas. Determine el valor de verdad de:

a) b) c) d)

7) Determine si las siguientes proposiciones son tautologías o contradicciones.

a) b) c) d)

8) Enuncie el recíproco, contrario y contra recíproco de las siguientes implicaciones. a) Si n2 es un número entero par entonces n es un entero par. b) Si c y d son números impares entonces el producto c.d es un número impar.

9) Sabiendo que es falsa. ¿Cuál es el valor de verdad de ?

10) Sean:

p: Hace calor , q: Esta lloviendo. , r: El cielo está nublado

Exprese verbalmente las siguientes proposiciones:

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a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) .9 Funciones proposicionales. Una función proposicional definida sobre un conjunto no vacío U es un enunciado que contiene una variable que recorre el conjunto U, de forma que al sustituir la variable por cualquier elemento de U generamos una proposición.

Son ejemplos de funciones proposicionales: p( x ): x es un número par. q( x ): x2-4=3 z( x ): x2-1=-6 Si x=2 entonces se tiene: p( 2 ): 2 es un número par. q( 2 ): 22-4=3 z( 2 ): 22-1=-6

Las cuales son proposiciones (la primera es verdadera y las dos últimas falsas).

La variable x pertenece a un conjunto de valores llamado conjunto universo, (el cual denotaremos por U). Al sustituir x por uno de estos valores, la función proposicional puede ser verdadera o falsa. Al conjunto de valores de tal que la función proposicional resulta verdadera se llama dominio o conjunto de veracidad de la función proposicional. Así, si p(x) es una función proposicional entonces el dominio de p(x) es { es V}.

Ejemplo 5 Determine el dominio de las siguientes funciones proposicionales. a) U= , p(x): x es par. b) U= , q(x): x2 - 4 = 3. c) U= , z(x): x4 - 1 = -6 d) U= , m(x): x2 + 1 es positivo

Solución. a) Para x = 2: p(2): 2 es par. ( V ) x = 3: p(3): 3 es par ( F ) x = 4: p(4): 4 es par. ( V ) x = 5: p(5): 5 es par. ( F ) x = 6: p(6): 6 es par ( V ) Sólo para los valores de x = 2, x = 4, x = 6 se cumple que p(x) es verdadera, por lo tanto el dominio de p(x) es . b) Si sustituimos x por cada uno de los valores pertenecientes a U= se cumple que solo q( ) y q( ) son verdaderos, por lo tanto el dominio de q( x ) es

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c) Ningún valor de x hace que z( x ) sea verdadera, por lo que el dominio de z( x ) es el conjunto vacío (el cual se denota por ). d) El dominio de m( x ) es el conjunto de los números enteros ya que para todo x se cumple que x2+1 mayor que cero.

10 Cuantificadores. Los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar la cantidad de elementos del conjunto universo que hacen verdadera a la función proposicional.

Mediante el proceso llamado cuantificación es posible obtener proposiciones más generales. Así, asociados a la variable x se introducen los símbolos y llamados cuantificador universal y cuantificador existencial, respectivamente.

10.1 Cuantificador universal. El símbolo correspondiente al cuantificador universal es , y la forma general de una función proposicional cuantificada universalmente es: x U: p(x) (11) La cual se lee: "para todo x U: p (x)" ó "para cualquier x U: p(x)" La expresión (11) es una proposición verdadera si p(x) es verdadera para todo x U, y falsa si existe al menos un valor de x U tal que p(x) es falsa.

Por ejemplo, la proposición: x : x + 4 > 3

es verdadera, ya que x + 4 > 3 es verdadero para todo número natural.

En cambio, en la proposición: x : x es par (12)"x es par" es verdadera para algunos valores de x y falsa para otros, por lo tanto la proposición (1.12) es falsa.

10.2 Cuantificador existencial. Forma general: x : q( x ) (13)la cual se lee: "existe un x tal que q( x )"

Una proposición de la forma (1.13) es verdadera si existe al menos un valor de x tal que p(x) es verdadera, y (1.13) es falsa si no existe algún x tal que p(x) sea verdadera.

Ejemplos de funciones proposicionales cuantificados existencialmente. a) x : x + 2 = 8 b) x : x + 2 = 0 c) y : y2 - 1 = 0 Las proposiciones ( a ), ( c ) son verdaderas, pero la ( b ) es falsa.

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10.3 Negación de una función proposicional cuantificada. Para ilustrar esto, consideremos la proposición:

"Todo número entero es positivo".

la cual se puede escribirse en forma simbólica así:

: x es positivo. (14)

Su negación es: "no todo número entero es positivo"

o "existen números enteros que no son positivos"

En forma simbólica: : x no es positivo. (15)

Observe que (1.14) es falsa, por lo que (1.15) es verdadera.

En general, la negación de la proposición : es

Es decir: -[ : ] [ ] (16) Así, la negación de una función cuantificada universalmente puede ser escrita en términos del cuantificador existencial. Análogamente, la negación de una proposición de la forma: es

Es decir: -[ x U: p(x)] [ -p(x)]

Ejemplo 6 Halle la negación de las siguientes proposiciones: a) x : 2x + 2 2(x+1) b) x : x es par.

Solución. La proposición (a) es falsa ya que no existe un número natural x tal que

2x + 2 2(x+1). La negación de esta proposición es:

x : La negación de la proposición (b) es:

x : x no es par.

Ejercicios propuestos.

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1- Escriba en forma simbólica usando los cuantificadores las proposiciones dadas. Determine el valor de verdad. a) Todo número racional es un número real. b) Existen números enteros positivos pares, que son primos. c) Todo número entero es positivo o negativo. d) Cualquier función real derivable es continua e) En todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos 2- Escriba la negación de las proposiciones dadas en el problema anterior.

3- Escriba la negación de las siguientes proposiciones. a) :U: ( ) b) U: c) x : x+1=0 d) x : x+1=0 e) x : x2 + 1 es positivo.

11 Métodos de demostración. Un teorema es una proposición que afirma una verdad demostrable.

La gran mayoría de los teoremas matemáticos tienen la forma implicativa: , donde H representa la hipótesis o antecedente, y T representa la tesis o consecuente.

La hipótesis es una proposición que se supone verdadera, y la tesis es una proposición que se afirma y que puede deducirse de la hipótesis.

La demostración de un teorema consiste en encadenar un conjunto de razonamiento lógicos que permiten deducir la tesis a partir de la hipótesis, y de teorema ya demostrados. En otras palabras, la demostración de un teorema de la forma consiste en demostrar que: si H es verdadero entonces T es verdadero.

Algunos teoremas no tienen la forma implicativa y se hace necesario identificar claramente la hipótesis y la tesis del mismo.

Entre los métodos de demostración que trataremos en este texto están: método directo, método indirecto, método de reducción al absurdo e inducción matemática.

11.1 Método Directo. El método directo para la demostración de un teorema consiste en partir de la certeza de la hipótesis y mediante un razonamiento lógico llegar a probar la verdad de la tesis. En la transformación de la hipótesis para lograr comprobar la tesis se pueden usar las siguientes estrategias: i) Sustituir un término o una expresión por su definición. ii) Utilizar axiomas o teoremas ya demostrados. iii) Sustituir una proposición por otra equivalente.

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Ejemplo 7 Usando el método directo, demuestre que: " Si a,b,c son números enteros tales que a divide a b, y b divide a c entonces adivide a c".

Solución. En forma simbólica la expresión "a divide a b" se escribe así: a÷b. Luego, el teorema dado se puede escribir así:

"Si a,b,c , a÷b b÷c entonces a÷c" En cual la hipótesis es: a,b,c , a÷b b÷c y la tesis es: a÷c. Recuerde que: a÷b significa que b=n.a para algún n .

Por hipótesis tenemos que: a÷b b=n.a para algún n . (i) y

b÷c c=m.b para algún m . (ii)

Sustituyendo (i) en (ii) se tiene: c=m (n a) lo cual equivale a: c= (m n) a

Sea q=m.n (ya que el producto de dos números enteros es un número entero). Luego existe q , tal que c=q.a, lo cual significa que: a divide a c (lo que se quería demostrar).

10.2 Método indirecto. Si queremos demostrar el teorema usando el método indirecto, lo que se hace es demostrar el contrarecíproco, es decir se demuestra .

Ejemplo 8 Usando el método indirecto ,demuestre que:"Para cualesquiera x e y enteros positivos, si es un número impar entonces x e y son impares"

Solución. Supongamos que x e y no son ambos impares (negación de la tesis). Debemos concluir que

no es impar (negación de la hipótesis). Veamos la demostración. Supongamos que uno de los números es par, por ejemplo consideremos x par:

Si x es par entonces x = 2p con p +. Luego:

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= 2 o bien = 2( ).

Sea +. Luego: , n +, es decir es múltiplo de 2 y por lo tanto no es impar. Así a partir de la negación de la tesis, se llegó a la negación de la hipótesis por lo que se demostró el contra reciproco. Por lo tanto queda demostrado el teorema dado.

10.3 Método de reducción al absurdo o método de demostración por contradicción. Si se quiere demostrar que la proposición es verdadera usando el método de reducción al absurdo se procede así: se parte de la negación de la tesis y la afirmación del antecedente, es decir: , y si en el proceso de la demostración se llega a una contradicción, entonces se demuestra que la proposición es verdadera. Este método suele utilizarse para demostrar los teoremas de unicidad y algunas proposiciones que no tienen una hipótesis particular (no son implicativas) . Como por ejemplo es un número irracional

Ejemplo 9 Usando el método de reducción al absurdo, demuestre que: "Si m es un número entero tal que m2 es un número entero par, entonces m es un número entero par."

Solución Sea H: m2 es par, m

T: m es par.

Para aplicar el método de reducción al absurdo partimos de , es decir, suponemos que: " m2 es par y m no es par". Si m no es par entonces m es impar, lo que significa:

m = 2k + 1, k

elevando al cuadrado: m2 = (2k + 1)2, k

desarrollando: m2 = 4k2 + 4k + 1, k lo cual equivale a: m2 = 2( k2 + 2k ) + 1, k sea q = ( 2k2 + 2k ) , luego: m2 = 2q + 1, q esto significa que m2 es impar (lo cual es una contradicción, ya que al inicio de la demostración se supone que m2 es par). Luego, lo supuesto (-T) es falso, por lo tanto T es verdadero, es decir:

"m es par"

10.4 Inducción matemática.

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Si un teorema es una proposición que se verifica para todos los números naturales entonces su demostración se basa en el principio llamado Inducción Matemática. Este es un método de demostración por recurrencia.

Veamos en que consiste: Sea p(n) una función proposicional, donde . . Si ocurre que: p(1) es verdadera y además de la verdad de p(h) se deduce la verdad de p(h+1), entonces p(n) es verdadera para todo número natural n.

En resumen, el principio de inducción se fundamenta en los siguientes pasos: Sea p(n) una función proposicional. Si las proposiciones:

p(1) y p(h) p(h+1), con , son verdaderas entonces se concluye que: p(n) es verdadera para todo .

Ejemplo 10 Demuestre que: " , n < 2n".

Solución.

Sea p(n): , n < 2n. Como la proposición p(n) se verifica para todo , entonces la demostración se hará usando el método de inducción matemática:

( i ) Veamos si p (1) es verdadera, es decir sustituimos n=1 en la proposición y se obtiene 1

< 21 lo cual es verdadero.

(ii) Suponemos que la proposición es verdadera para n = h esto es. p(h): h < 2h

(esto se conoce como la hipótesis inductiva).

Usando el hecho de que p(h) es verdadera se probara que p(h+1) es verdadera, o sea:h+1 < 2h+1

Veamos:2h+1=2 2h >2 h por hipótesis inductiva

De allí que:2h+1 > h+h

pero como entonces h 1; luego:2h+1 > h + 1,

con lo cual se prueba que p(h+1) es verdadera. Por lo que se concluye que:

, n < 2n.

Ejemplo 11 Demuestre que: "si n es cualquier número natural entonces (-1)2n=1". Solución: Usando el método de inducción matemática tenemos:

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(i) Para n=1: (-1)2 1=(-1)2=1 es decir la proposición es verdadera para n=1.

(ii) Supongamos que la proposición es verdadera para n = h, esto es. (-1)2h = 1 (Hipótesis Inductiva)y probaremos que la proposición se verifica para n= h + 1:

(-1)2(h+1) = (-1)2h+2

= (-1)2h (-1)2

= 1 1 por ( i ) y ( ii)

= 1

Así: (-1)2(h+1) = 1por lo que se concluye que: (-1)2n=1,

11 Refutación de una proposición. En algunas ocasiones nos preguntamos si una proposición es verdadera o falsa, y es probable que tratemos de comprobarla para algunos elementos de su dominio, lo cual no daría la certeza de que esa proposición es verdadera. Si la proposición es verdadera se usa alguno de los métodos anteriores para demostrarla. No obstante, si la proposición es falsa, basta con tomar un elemento de su conjunto universo que no satisfaga la proposición, es decir solo con dar un CONTRAEJEMPLO podemos decir que la proposición es falsa. (a esto se le llama refutación de una proposición).

Ejemplo 12 Refutar las siguientes proposiciones: a) : x2 + x + 1 0 b) Si p tal que p es divisible por 6 y p es divisible por 4 entonces p es divisible por 24. Solución. Para la proposición (a) consideremos x = 0

02+0+1 0 lo cual es falso, por lo que la proposición (a) es falsa.

La proposición (b) se puede escribir en forma simbólica así:(6÷ p 4÷ p) (24÷ p)

para probar que esta proposición es falsa basta con que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso (Recuerde la tabla de verdad de la implicación). Así: si tomamos p=12 se cumple que:

6÷12 4÷12pero no se verifica que 24÷12.

Nota: Si el teorema a demostrar tiene la forma , su demostración consiste en probar que las proposiciones ( ) y ( ) son ambas verdaderas.

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Ejercicios propuestos: 1) En cada uno de los siguientes teoremas identifique la hipótesis y la tesis. a) Si un triángulo es equilátero entonces es isósceles. b) Si a y b son números pares entonces ( a + b ) es par. c) Dos rectas L1 y L2 ( de un mismo plano) perpendiculares a una tercera recta L3 son

paralelas entre si.

2) Enuncie el recíproco, el contra recíproco y el contrario de los teoremas del ejercicio 1.

3) Usando el método de demostración directo, demuestre que: i) Si a y b son números enteros entonces (a+b) es par ii) Sean a,b . Si a es par y b impar entonces es par. iii) Sean a,b .. Si es par y b impar entonces ( a + b ) es impar. iv) Sean a,b . Si a y b entonces es impar. v) Si m y n son números enteros divisibles por 3 entonces es divisible por 3.

4) Usando el método indirecto, demuestre que: i) Si x, y son números enteros y es impar entonces x e y son impares. ii) Si m y es impar entonces m es impar.

5) Demuestre la falsedad de los siguientes enunciados: a) :

b) : c) : . d) : . e) Si p divide a (m+n) entonces p divide a m y a n, con .

6) Demuestre las siguientes proposiciones a) (-1)2n-1 = -1 para todo . b) Si entonces 0< an <bn para todo número natural n. c) 1 + 2n 3n para todo . d) 1+3+5+............+(2n - 1)=n2, . e) 2+4+6+.............+2n = n(n + 1), . f) Si 0< x <1 y n es cualquier número natural entonces 0< xn <1. g) (1+p)n 1+n.p , ,

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