apuntes de lÓgica
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2013
Mediador: Roberto Cuartas
INDICE
¿Qué es la lógica? 3
Cálculo proposicional 4
Conectores lógicos y tablas de verdad 5
Conjunción lógica 6
Disyunción lógica 7
Implicación lógica 7
Equivalencia lógica 8
Tablas de verdad para más de dos conectores lógicos 9
Cómo convertir una proposición al lenguaje simbólico 10
Convertir una proposición en el lenguaje simbólico a una proposición escrita 11
Equivalencias lógicas de conmutabilidad, asociatividad y distribución 12
Equivalencias lógicas de negación, el contrarrecíproco y la doble implicación 12
Reglas de inferencia 13
Aplicaciones de las leyes del cálculo proposicional 16
Cuantificadores en lógica: existencial y universal 18
Métodos de demostración: Método directo 20
Métodos de demostración: Contrarrecíproco 22
Métodos de demostración: Reducción al absurdo 22
Métodos de demostración: Disyunción de casos 23
Bibliografía 24
¿QUÉ ES LA LÓGICA?
La lógica es una ciencia formal que estudia los principios de la demostración y la
inferencia válida.
Estudia las maneras por las cuales se puede acceder a verdades y además los
procesos por los cuales se pueden derivar conclusiones a partir de otras verdades ya
conocidas.
En un principio la lógica se consideraba como una rama de la filosofía pero a partir del
S. XIX con el matemático George Cantor y su teoría de conjuntos, se pasa de la lógica
intuitiva a la lógica simbólica. Esta lógica tiene dos partes principales: una que utiliza
los símbolos y la otra que utiliza las reglas de Inferencia. Las matemáticas se empiezan
a fundamentar en este tipo de lógica. La lógica pasa a ser la fundamentación teórica de
las matemáticas.
Las matemáticas entonces se basan en los dos siguientes principios: el primero es que
todo va a ser un lenguaje conjuntista, es decir, toda la matemática se va a definir a
partir de conjuntos y el segundo principio es que las matemáticas van a fundamentarse
axiomáticamente, es decir, basadas en algunas verdades que no se prueban sino que
se asumen. Entonces las matemáticas están fundamentadas en al lógica.
Se requieren algunos conceptos básicos: el lenguaje y los signos. El lenguaje para
comunicar las ideas, a través de la creación de oraciones, de algunas simbologías,
pero el lenguaje debe ser claro y preciso. Los signos constituyen el idioma en general
como las letras del alfabeto, signos de interrogación, admiración, tildes, suma, resta,
etc. que dotan de significado a las palabras del lenguaje. por ejemplo, la diferencia
entre las palabras con tilde y sin ella. Hay diferentes clases de signos:
Del lenguaje corriente: alfabeto y todos los demás signos utilizados.
De conexión lógica: Λ, , , , , etc.
De relación: U, ∩, =, ≠, ≤, ≥, etc.
De cuantificación: , ,
De operación: +, -, x, ±, √, etc.
De agrupación o puntuación: ( ), [ ], { }
CÁLCULO PROPOSICIONAL
El cálculo proposicional es la primera forma de la Lógica clásica en la cual se analizan
argumentos lógicos mediante métodos matemáticos.
Al observar cualquier fenómeno, siempre se comenta el fenómeno en forma descriptiva. A
partir de esta descripción se encuentran relaciones entre las partes que componen este
fenómeno. De esta manera vamos a construir un modelo matemático. Para esta construcción
se van a necesitar los siguientes elementos: primero, un abecedario, que va a manejar las
funciones de un conjunto que a su vez va a manejar nuestro lenguaje. Puede estar compuesto
por diferentes signos, por ejemplo, mayúsculas, minúsculas, signos matemáticos o conectores
lógicos. Este puede ser un ejemplo de abecedario. Segundo, con este abecedario se crean
palabras que a partir de definiciones se les adapta un significado. Por ejemplo: conjunto es la
colección de varios elementos. Tercer paso: axiomas que son oraciones o enunciados que se
consideran siempre verdaderas. Ejemplo a + b = b + a. Nuestro cuarto punto son los
teoremas. Los teoremas son deducciones que se hacen a partir de los axiomas, de leyes
lógicas y métodos de demostración. Un ejemplo de teorema: dos rectas se interceptan en un
punto o no se interceptan. Para probar esto necesitamos tener claro lo anterior, es decir, se
requieren conocimientos previos como la definición de recta, punto, intercepción, etc. Por
último tenemos las aplicaciones que es el punto más importante de una teoría de
matemáticas. Siempre se debe buscar aplicación en la vida práctica de los teoremas y
axiomas.
En matemáticas debemos partir de definiciones de diferentes conceptos. Por ejemplo, definir
un conjunto de acuerdo a sus elementos. En matemáticas hay elementos que no están bien
definidos. Definamos proposición que es la palabra más importante en la lógica: es una
expresión de la cual puede decirse que es verdadera o falsa. También que es una enunciado
del cual puede decirse con exactitud que es verdadero o falso. Ej. mi cuaderno tiene 80
páginas. 2 + 4 = 7, es falso. Hay expresiones que no son proposiciones porque no se les
puede dar valor de verdadero o falso: ¿Cómo estás?. ¿Cuántos años tienes?. Las
interrogaciones o las frases imperativas, “siéntese, por favor”, “todos acérquense a mirar”. No
son proposiciones.
CONECTORES LÓGICOS Y TABLAS DE VERDAD
Los valores de verdad representan si una proposición es verdadera o falsa. Para comenzar a comprender la lógica de las proposiciones comencemos por nombrar las proposiciones con las letras minúsculas del abecedario. Ejemplo: q= Juan camina. Depende de si Juan camina o no, damos valor de F o V.
CLASES DE PROPOSICIONESSimples o atómicas: oraciones que tienen un único valor de verdad: V o FCompuestas o moleculares: mezcla de proposiciones simples.Para construir las segundas se usan conectores lógicos: Λ Una proposición simple o atómica tiene solamente dos valores de verdad: V o F.
En cambio en las proposiciones compuestas se pueden tener las siguientes combinaciones: ¿cuando son tres proposiciones? existen reglas para su construcción: si tenemos n proposiciones, cuántas obtenemos? 2n posibilidades. Por ejemplo, si son dos proposiciones, tendremos 22 = 4 posibilidades y son tres, 23 = 8 posibilidades.
Ahora veamos cómo esas posibilidades se comportan con los conectores lógicos y los valores de verdad.
p: Carlos come maízq: Daniel correp: Carlos no come maízp Λ q: Carlos come maíz y Daniel corre.La conjunción sólo es verdadera si ambas premisas son verdaderas.
Veamos ahora la Disyunción y la Implicación:
p: está lloviendo
q: estoy durmiendo
p q: está lloviendo o estoy durmiendo
La disyunción sólo es falsa si ambas premisas son falsas.
p q: está lloviendo, entonces yo estoy durmiendo.El valor de verdad depende de esto: si está lloviendo y yo estoy durmiendo, entonces la proposición es verdadera.
La implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente falso.
p: cuatro es un número parq: cuatro es múltiplo de tresp q: 4 es un número par si y sólo si 4 es múltiplo de 3. Falsa.Quiere decir que en la equivalencia esta proposición es falsa. La equivalencia es verdadera cuando ambas premisas son verdaderas o
ambas premisas son falsas
CONJUNCIÓN
Negación Conjunción
Disyunción
Equivalencia
p qV VF F
p p
V F
F V
p q p Λ qV V VV F FF V FF F F
p q p qV V VV F VF V VF F F
Implicaciónp q p qV V VV F FF V VF F V
p q p qV V VV F FF V FF F V
Tenemos la siguiente proposición:
Juan realiza sus tareas y organiza su habitación.
p: Juan realiza sus tareas
q: Juan organiza su habitación
Si la mamá de Juan le preguntara por lo que tiene qué hacer, qué pasaría con los
valores de verdad de lo que dice. Pasaría lo siguiente, que analizamos con la tabla: la
respuesta de Juan será que sí ha hecho ambas cosas si pasó lo siguiente: si Juan hizo
ambas cosas, es decir, que si p es V y q es V, entonces responde afirmativamente a la
pregunta de la mamá. Pero si Juan deja de hacer alguna de las dos cosas. Entonces
como tenía que hacer ambas cosas y no hizo una de ellas, entonces es falso que haya
cumplido con su deber. Si no hizo ninguna de las tareas pues de hecho es falso que
haya cumplido con lo que tenía que hacer.
Otro ejemplo: la mamá le dice a Daniela: puedes salir a jugar cuando arregles la cama
y sacudas el polvo. Será V que Daniela salga a jugar cuando cumpla con los dos
deberes. Si alguna de las dos no se cumple, no podrá salir, es decir, es Falso que
pueda salir, porque tiene que cumplir con ambas tareas. Si no hace ninguna de las
tareas, pues será también Falso que salga a jugar.
Hay una forma sencilla de recordar la tabla de la conjunción. Es dando valores de V=1
y F=0, cuando organizamos la tabla con estos valores, no es sino multiplicar para
encontrar la igualdad, veamos:
DISYUNCIÓN
p q p Λ qV V VV F FF V FF F F
p q p Λ q1 x 1 = 11 x 0 = 00 x 1 = 00 x 0 = 0
Ejemplo: “un estudiante gana el año escolar si gana todas las materias o si recupera las materias perdidas”. Organicemos las proposiciones:p: el estudiante aprueba todas las materias.q: el estudiante recupera todas las materias perdidas.
Por ser disyunción sucede que puede suceder una cosa u otra y será VERDAD que gana el año. Pero si no cumple con ninguna de las dos condiciones, pues de hecho pierde el año, es decir, es FALSO que lo gane.
Otro ejemplo: “Camila almuerza espaguetis o pizza”p: Camila almuerza espaguetisq: Camila almuerza pizzaSupongamos que Camila siempre almuerza espaguetis o pizza. Si la mamá le pregunta: ¿almorzaste? Ella va a responder si [V] si almuerza espaguetis o almuerza pizza. Si almuerza las dos pues obviamente almorzó [V]. Pero si no comió ninguna de las dos, pues de hecho es FALSO que haya almorzado.Para el caso de la disyunción también hay una manera práctica de recordar la tabla de verdad. Se dan valores de V=1 y F=0 y se toma el valor más grande o mayor:
IMPLICACIÓN
Si llueve Laura abre su paraguas.
p: llueve
q: Laura abre su paraguas
Entonces, si Laura no desea mojarse, tendrá que abrir su paraguas
si llueve. Va a ser VERDAD que no se va a mojar. Pero si llueve y Laura no abre su paraguas,
entonces será FALSO que no se moja, es decir, Laura se moja. Si no llueve y abre su
paraguas, será VERDAD que no se moja. Finalmente si no llueve ni tampoco Laura abre su
paraguas, será VERDAD que no se moja.
Ejemplo: Daniel usa camiseta si hace calor. p= hace calor, q=Daniel usa camiseta
Si Daniel quiere tener el menor calor posible, usa camiseta.
BICONDICIONAL o DOBLE IMPLICACIÓN o EQUIVALENCIA
p q p qV V VV F VF V VF F F
p q p q1 1 11 0 10 1 10 0 0
p q p qV V VV F FF V VF F V
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
Diana va a la ciclovía si y solo si Xiomara va con ella.
p: Diana va a la ciclovía
q: Xiomara acompaña a Diana a la ciclovía
El signo de equivalencia nos dice que tienen que ocurrir ambas cosas al mismo tiempo para
que sea VERDAD. Si Diana va a la ciclovía y Xiomara no la acompaña, es FALSO que Diana
vaya. Si Diana no va a la ciclovía y Diana la quiere acompañar, también es FALSO que Diana
vaya. El caso más extraño es el último, pero es VERDAD que ambas no están haciendo lo que
dijeron: si Diana no va a la ciclovía y Xiomara no la acompaña tampoco, es decir, si no pasó
nada están cumpliendo con su especie de trato.
Otro ejemplo: José come si y solo si tiene hambre.
p: José come q: José tiene hambre
Si ambas son verdaderas, es decir, José come y José tiene hambre, es VERDAD que José
come cuando tiene hambre. Si decimos que José come pero no tiene hambre, no es correcto
decirlo, porque uno no come si no tiene hambre, por lo tanto es FALSO. Igual sucede si José
no come [F] teniendo hambre [V], es entonces FALSO porque no es normal. Finalmente, si
José no come y no tiene hambre eso está bien, es decir, es VERDADERO porque es lo
correcto. Si no come es porque no tiene hambre y si no tiene hambre para qué come.
Hay también una forma de recordar fácilmente la tabla. Damos valores de 0 y 1.
Cuando los dos valores sean iguales se coloca un 1 y si son distintos se coloca 0.
TABLAS DE VERDAD PARA MÁS DE DOS CONECTORES LÓGICOS
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Aprendamos ahora a realizar tablas de verdad con diferentes proposiciones, con diferentes
conectores y por lo tanto con diferentes valores de verdad.
Ejemplo, tabla de valores de verdad para: (p q) Λ p
Primero se resuelve lo que está dentro del paréntesis.
p q p pq (pq) Λ p
V V F V V
V F F F F
F V V V F
F F V V F
Otro ejemplo: (p q) (r Λ r)
p q r r pq r Λ r(p q)
(r Λ r)
V V V F V V V
V V F V V V V
V F V F F V F
V F F V F V F
F V V F V V V
F V F V V V V
F F V F V V V
F F F V V V V
Existen dos conceptos importantes a tener en cuenta.
TAUTOLOGÍA: es una proposición compuesta que siempre es verdadera, sin importar los
valores de verdad que tengan las proposiciones simples que la componen.
CONTRADICCIÓN: es una proposición compuesta que siempre es falsa, sin importar los
valores de verdad que tengan las proposiciones simples que la componen.
Una Tautología puede ser la siguiente: p p, como también, (p Λ q) p
TAUTOLOGÍA
TAUTOLOGÍA
Veamos ahora ejemplos de CONTRADICCIÓN:
p q p Λ q (p Λ q) p
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V
p p p
V V
F V
1. p Λ p 2. (p q) Λ (p Λ q)
p p
V F
F V
También hay proposiciones compuestas que no son contradicciones ni tautologías.
Por ejemplo:
Esta recibe el
nombre de CONTINGENCIA.
CÓMO CONVERTIR UNA PROPOSICIÓN AL LENGUAJE SIMBÓLICO
Ejemplo. “El carro es viejo si tiene diez años y es azul si el dueño es Carlos”.
Esta es una proposición compuesta, entonces, las proposiciones quedarán:
p: el carro es viejo q: el carro tiene diez años r: el carro es azul
s: el dueño del carro es Carlos
Ahora escribamos la proposición en lenguaje simbólico: (q p) Λ (s r)
Veamos otro ejemplo:
Anita come carne y paleta o come pizza con gaseosa.
p: Anita come carne q: Anita come paleta r: Anita come pizza con gaseosa.
Ahora escribamos la proposición en lenguaje simbólico: (p Λ q) r
Ejemplo 3. Juan desayuna si y solo si, se levanta y se baña.
Veamos las premisas o proposiciones: p: Juan desayuna
q: Juan se levanta r: Juan se baña
La función quedará: p (q Λ r)
p q q pq p Λq(p q) Λ
(p Λ q)
V V F V F F
V F V F V F
F V F V F F
F F V V F F
p q r r pq r Λ r(p q)
(r Λ r)
V V V F V V V
V V F V V V V
V F V F F V F
V F F V F V F
F V V F V V V
F V F V V V V
F F V F V V V
F F F V V V V
CONVERTIR UNA PROPOSICIÓN EN LENGUAJE SIMBÓLICO A UNA
PROPOSICIÓN EN LENGUAJE NATURAL
Tomemos el siguiente ejemplo:
p: la puerta es azul q: la puerta es de madera r: la puerta está vieja
Nos dan el siguiente sistema lógico: (p Λ q) r
Quedaría en lenguaje natural: “Si la puerta es azul y es de madera entonces la puerta está
vieja”.
Veamos cómo queda la siguiente expresión lógica con las mismas proposiciones:
(p Λ r) q : “si la puerta es azul o no está vieja, entonces es azul y es de madera”.
Otro ejemplo con otras proposiciones:
p: Me gusta el jugo de naranja q: No me gusta la carne asada r: Se cocinar
(p Λ q) (q r) : “Me gusta el jugo de naranja y la carne asada si y solo si no me gusta la
carne asada o se cocinar”.
También: p (r q): “Me gusta el jugo de naranja o, si sé cocinar entonces me gusta la
carne”.
EQUIVALENCIAS LÓGICAS
Vamos a establecer el conjunto de nuestros primeros axiomas. Cada una de estas leyes,
llamadas axiomas, son a su vez TAUTOLOGÍAS, es decir, siempre son verdaderas sin importar
el valor de verdad que tengan las proposiciones que las componen. Estas leyes se dividen
principalmente en dos: unas que son las equivalencias lógicas y otras que son las leyes de
inferencia.
Veamos las principales equivalencias lógicas:
Recordemos que una equivalencia es simplemente una doble implicación, pero el sentido que
damos a una equivalencia es en cierta manera que podemos cambiar o reemplazar un término
por otro.
1. p p (doble negación). Si negamos una proposición dos veces, obtenemos la
misma proposición. Ej. “No es cierto que Juan no corre”, significa que Juan corre.
2. Equivalencias con conmutatividad:
2.1 (p q) (q p) Conmutatividad de la disyunción. La niña corre o camina es
equivalente a decir: la niña camina o corre.
2.2 (p Λ q) (q Λ p) Conmutatividad de la conjunción. Mi papá trabaja y estudia es
equivalente a decir mi papá estudia y trabaja.
2.3 (pq) (pq) Conmutatividad de la doble implicación. María es amiga de
Daniela si y sólo si Daniela le regala un dulce es lo mismo que decir, Daniela le regala
un dulce a María si y solo si ella es amiga de Daniela.
Para estos casos es lo al mismo derecho que al revés.
Ahora veamos las Equivalencias por asociatividad:
[(p q) r] [p (q r)] Asociatividad de la disyunción
[(p Λ q) Λ r] [p Λ (q Λ r)] Asociatividad de la conjunción
Lo anterior significa que si tenemos una serie de proposiciones con el conector o con
el conector Λ, podemos asociar las proposiciones como queramos.
Otro tipo de equivalencias son las de Distribución:
Ley Distributiva: [p (q Λ r)] [(p q) Λ (p r)]
Ley Distributiva: [p Λ (q r)] [(p Λ q) (p Λ r)]
El perro ladra o corre y juega, es equivalente a decir, el perro ladra o corre y el perro
ladra o juega.
El profesor dicta clase y, habla o camina. Es equivalente a decir, el profesor dicta clase
y habla, o dicta clase y camina.
Equivalencias de negación
1. (p q) (p Λ q) [Ley de D´Morgan] Negación de la disyunción.
2. (p Λ q) (p q) [Ley de D´Morgan] Negación de la conjunción.
3. (p q) (p Λ q) Negación de la implicación.
Ejemplos. 1. No es verdad que Juan perdió el año o Pedro lo ganó.
Juan ganó el año y Pedro lo perdió.
2. No es cierto que el cielo es verde y el mar es rojo.
El cielo no es verde o el mar no es rojo.
3. No se cumple que si camino mucho, troto más rápido.
Camino mucho y no troto más rápido.
OTRAS EQUIVALENCIAS: no están relacionadas de ninguna manera pero igualmente
son importantes.
Contrarrecíproco: 1. (p q) (q p] Que si se cumple p entonces q es lo mismo
que devolvernos negando ambas proposiciones q p.
Principio de Doble Implicación: 2. (p q) [(p q) Λ (q p)]
Una implicación es lo mismo que negar el antecedente y aceptar el consecuente:
3. (p q) (p q)
Ejemplos. 1. Si tienes sed, tomas agua.
Si no tomas agua entonces no tienes sed.
2. Los estudiantes van al colegio si y solo si hay clases.
Los estudiantes van al colegio si hay clases y hay
clases si los estudiantes van al colegio.
3. Mi vecino es alérgico al maní y entonces no come maní.
Mi vecino no es alérgico al maní o no come maní.
Las últimas nos dicen que: “si dos proposiciones son iguales y las unimos con una , es
lo mismo que si tuviéramos la misma proposición. Igual sucede al unirlas con un Λ.
(p p) p (p Λ p) p
Juan camina o Juan camina es lo mismo que decir Juan camina. Daniel corre y Daniel
corre es lo mismo que Daniel corre.
LEYES DE INFERENCIA
1. Modus Ponens
2. Modus Tollens
3. Modus Tollendo Ponens
4. Ley conjuntiva
5. Ley simplificativa
6. Ley aditiva
7. Silogismo condicional o ley transitiva
8. Ley de transposición
9. Ley de translación
10. Leyes de De Morgan
11. Dilema constructivo
12. Dilema destructivo
13. Ley del condicional
Si tenemos una implicación y sabemos que el primer término es verdadero entonces podemos concluir el segundo término.
Se lee: si p implica q y se cumple
Se denomina regla o ley de Inferencia a todo esquema válido de razonamiento
1. MODUS PONENSp qp------------ también [(p q) Λ p] q q
Observemos que como todas las demás leyes se trata de una proposición verdadera o TAUTOLOGÍA:Nótese que la conjunción es conmutativa y podemos decir también:
2. MODUS TOLLENDO TOLLENS [MTT]
p qq----------- también [(p q) Λ q] p pEs la contra recíproca de la condicional p q
Veamos ahora la demostración de validez de esta ley:
Si tenemos una implicación y sabemos que el primer término es verdadero entonces podemos concluir el segundo término.
Se lee: si p implica q y se cumple
Si sabemos que una implicación es verdadera y su consecuente es falso entonces concluimos la negación del primero.
Negar el consecuente implica negar el antecedente.
3. MODUS TOLLENDO PONENS[Eliminación de la falsa en la disyunción] Silogismo Disyunto
p qp------------- también [(p q) Λ p] q q
p qq------------- también [(p q) Λ q] p p
Veamos su tabla de verdad:
4. LEY CONJUNTIVA
p q------------- también p, q p Λ q p Λ q
Se cumple p o se cumple q y si
1. No se cumple p se cumple q
2. No se cumple q se cumple p
Dadas dos premisas se puede concluir que ambas premisas se cumplen a la vez.
5. LEY SIMPLIFICADA
p Λ q p Λ q------------- o ------------ p q
6. LEY ADITIVA
p q ------------- o ----------- p q q p7. SILOGISMO CONDICIONAL O LEY TRANSITIVA [silogismo hipotético]
p qq r--------------- también p r
[(p q) Λ (q r)] (p r)
Veamos su tabla de verdad, demostrando que se trata de una tautología:
8. LEY DETRANSPOSICIÓN
p q q p
--------------------- o -------------- q p p q
Esta ley es una extensión del
Dadas p y q, inmediatamente se puede concluir que p.Dadas p y q, inmediatamente se puede concluir que q.
Dada una premisa inmediatamente se puede concluir en una disyunción de la premisa dada con cualquier otra proposición. Si afirmo p o se cumple p o se cumple cualquier otra proposición q. Si se cumple q se afirma una premisa p o cualquier otra premisa q.
Si se cumple p se cumple q. Si se cumple q se cumple r, por lo tanto si se cumple p se cumple r.
p q r [transitiva]
Si p implica q se puede afirmar que la negación de q implica la negación de p.Si se cumple que la negación de q implica la negación de p, entonces se puede afirmar que p implica q.Observemos que de la premisa lleva a la conclusión y de la conclusión lleva a la premisa.Si niego la negación de q estoy afirmando q y si niego la negación de p estoy afirmando p.
Modus Tollendo Tolens
9. LEY DE TRASLACIÓN
(p Λ r) r p (q Λ r) --------------------- y ---------------------p (q r)(p Λ q) r
10. LEYES DE MORGAN
(p q) (p Λ q)----------------- y ------------------p Λ q p q
11. DILEMA CONSTRUCTIVO
(p q) Λ (r s)(p r)
---------------------------- q s
12. DILEMA DESTRUCTIVO(p q) Λ (r s)
q s-------------------------------
p r
13. LEY DEL CONDICIONAL
p q p q---------------- o -----------------p q p q
Como también:
Se puede demostrar su validez a través de las tablas de verdad o del método abreviado.Si se cumple p y q y esto implica r, se puede concluir que p implica q entonces r.Que si se cumple p entonces q y r, se puede concluir que p y q implica r.
Dada la negación de la disyunción de p y q, entonces se puede afirmar la conjunción de ambas negadas.Si se niega la conjunción de p y q, se transforma en la disyunción de ambas negadas. La disyunción se transforma en conjunción y la conjunción se transforma en disyunción.Siempre pasando el conectivo de la negación a cada uno de los componentes.
Si se cumple p y q y además se cumple de que r entonces s, si se cumple p o r, es decir, si se cumplen los antecedentes entonces se concluye que uno de los consecuentes se debe cumplir.Es muy similar al Modus Ponens.
Si p implica q y r implica s, entonces si negamos q o negamos s, entonces uno de los antecedentes p y r negados, se debe de cumplir.Sale como consecuencia de la Ley de Transposición.
Si p implica q, podemos afirmar negación de p o q, y si se cumple la negación de p o q, también podemos afirmar p entonces q.
p entonces q me lleva a la disyunción y la disyunción de negación de p o q, me lleva a la implicación de p con q.
Esta Ley se ha tomado de la misma fórmula de la lógica proposicional: toda implicación siempre se puede expresar como una disyunción: p q p q
q p q p---------- y ----------q p q p
14. LEY DE ABSORCIÓN
p q p (q Λ p)
Si estudio aprendo. Estudio, luego aprendo y estudio.APLICACIONES DE LAS LEYES DEL CÁLCULO PROPOSICIONAL
Ahora se van a utilizar las leyes del cálculo proposicional para probar algunas
cosas. Recordemos que las leyes del cálculo proposicional son tautologías, es
decir, axiomas. A partir de los axiomas se pueden crear otros axiomas que no se
llamarán así porque no son los iniciales sino que se llamarán Teoremas los
cuales son también Tautologías.
Vamos a usar las leyes del cálculo proposicional para probar algunas
tautologías.
Debemos probar que [q Λ (p q)] es una tautología.
No se van a utilizar las tablas de verdad sino las Leyes de Inferencia.
Recordemos que la conjunción es conmutativa, es decir, podemos plantear la
siguiente equivalencia: [q Λ (p q)] [(p q) Λ q] MTP
Significa que ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad.
Recordemos que la segunda expresión es una de las leyes de inferencia,
llamada Modus Tollendo Ponens, por lo cual se tiene que esa expresión siempre
es verdadera, o sea, que es una tautología. Por lo tanto, la expresión de la
izquierda también es una tautología.
Otro ejemplo. Demostremos que (p q) p es una tautología.
Tenemos una negación de una implicación. Organicemos una equivalencia
teniendo en cuenta que la negación de la implicación (p q) es equivalente a
decir: p Λ q (p q) p Λ q
Queda entonces: (p q) p (p Λ q) p Esta última implicación, la
pasamos a disyunción: (p Λ q) p
(p Λ q) p, entonces tenemos la negación
de una conjunción y queda:
(p q) p Ley D´Morgan
Como tenemos una doble negación, recordemos que es la misma proposición,
queda entonces: (p q) p Doble negación, ahora podemos cambiar de
lugar la p y la q, ya que con la disyunción se vale la conmutatividad y puede
quedar: (p p) q, observemos la proposición entre paréntesis que siempre
es verdadera, se trata del tercer excluído, porque algo es verdadero o es falso.
Recordemos que con la si algo es verdadero entonces es verdadero, se trata
de una tautología. Al encontrar que se trata de una tautología siguiendo pasos
lógicos hemos llegado a lo que se quería demostrar.
Veamos otro ejemplo: [p (q r)] [(p Λ q) r] Demostrar que es una tautología.
Esto se puede cambiar por lo siguiente: recordemos que el condicional se puede
cambiar por una disyunción de la siguiente manera:
p q p q [se niega el primero, se cambia la implicación por disyunción y se deja el
segundo]. En este caso el segundo término es (q r), entonces queda:
[p (q r)] [(p Λ q) r], ahora nuevamente se pueden cambiar los
condicionales por una disyunción: [p (q r)] [(p Λ q) r] Ley D´Morgan.
Veamos la nueva equivalencia: [p (qr)] [(p q) r]. Observemos que
las expresiones son similares pero agrupadas de manera diferente, pero la
disyunción permite la conmutatividad y nos quedaría:
[(p q) r)] [(p q) r]. Tenemos una igualdad, lo que nos demuestra
que es una tautología, porque es como decir: p p
Otro ejemplo. Probar que: [p (q Λ r) [(p q) Λ (p r)]. Recordemos
que cuando se tienen equivalencias lo que se hace es partir de un lado y llegar
al otro: [p (q Λ r) cambiemos la implicación por una disyunción y queda:
[(p (q Λ r)]
[(p q) Λ (p r)] Ley Distributiva
[(p q) Λ (p r)] Recordemos que pq pq.
Por lo tanto, [(p q) Λ (p r)], con lo cual llegamos a:
p (q Λ r) (p q) Λ (p r) Que son igualdades.
CUANTIFICADORES EN LÓGICA
Hasta el momento se ha trabajado con proposiciones a las cuales se les puede
dar valor de verdad, sin embargo, si nos encontramos con expresiones o
proposiciones tales como: X = 2 2a > 3 n es par, no podemos
darles valores de verdad, a menos que por ejemplo en X = 2, le demos valor a X,
por ejemplo 4/2, esto sería Verdad, pero si no es así, será falso. Si a = 4, será
verdadero, pero si a=1, será falso. Si n=3, será falso. Pero si n=4, es verdadero.
Cómo vamos a referenciar entonces este tipo de proposiciones. Lo primero que
se debe hacer es ver qué valores toman las variables, para lo cual se sitúan en
conjuntos. Hay valores de expresiones que siempre son verdaderas, por
ejemplo, 2n es par. Lo más importante es situar un conjunto de referencia que
nos va a indicar los valores que puede tomar la variable. Por ejemplo, tomemos
el conjunto U = {1, 2, 3} este será el conjunto de referencia. Determinar el
elemento variable que puede ser X. Decimos si X | X U. Finalmente definir una
Función proposicional o Fórmula que involucre el elemento variable. Por
ejemplo: p(X) = X < 3 q(X) = X es par
Ahora hay que introducir la noción de cuantificador que son dos: el EXISTE []
y el PARA TODO [], lo que indicará que las fórmulas se pueden cumplir para
algunos elementos o para todos los elementos que los componen.
Cuantificador Universal: significa “para todo”. Ejemplo, para todo número
natural n, 2n es par y p(n)= 2n es par, se representa: nN p(n).
Cuantificador Existencial: , significa que existe al menos un elemento que
cumple tal propiedad. Por ejemplo: tomemos un conjunto de referencia:
U = {1, 2, 3} , si tomamos un elemento de ahí, X, entonces X U. Tomemos por
ejemplo, una propiedad: q(x) = x es par. Del conjunto U solamente el 2 cumple la
propiedad, entonces queda: Existe un x que pertenece a ese conjunto que es par. Lo
cual se escribe simbólicamente: xU, q(x), que se lee: existe un x que
pertenece al conjunto U que cumple con la propiedad de ser par.
Veamos el valor de verdad de los cuantificadores. Por ejemplo, cuando decimos
para todo número natural n, 2n es par. Para que esto sea verdad se tiene que
cumplir para todos los números que pertenezcan al conjunto. Esto es para .
Para es diferente. Por ejemplo, con sólo un elemento que cumpla con la
condición o la función, la expresión será Verdadera.
Al hablar de los valores de verdad debemos saber cómo negamos esos valores
de verdad. Por ejemplo, qué representa negar un existencial: x q(x) o negar
un para todo, x p(x). Negar un existencial es aceptar un “para todo”, es decir:
x q(x) = x q(x). Ahora, si negamos un “para todo” se convierte en un
existencial: x p(x) = x p(x).
Veamos la siguiente proposición: “para todo x si x pertenece a n x pertenece a z.”
Cuál va a ser el conjunto de referencia: U = |N, es decir, los números naturales. Cuál es
la variable: x que x N. Por último cuál es la función: p(x) = x z. Cómo se escribe
entonces en lenguaje simbólico: xN se cumple p(x) para todo x que son los
naturales, se cumple x. Pero lo que se pide es negar los cuantificadores:
x p(x). Esto es igual a x p(x). Existe un x perteneciente a n tal que x no
pertenece a z. Recordemos que los números naturales pertenecen a los enteros.
Por tanto la proposición inicial es verdadera.
Ejemplo de cómo se niega un existencial: “existe x perteneciente a R tal que
x – 2 = 0”. De nuevo, cuál es el conjunto de referencia. U = números reales R.
La variable en esta caso también es x. X que pertenece a los reales. Por último,
cuál es la función: q(x) = x – 2 = 0, el número que cumple esta propiedad es el 2.
La primera proposición es verdadera ya que existe al menos un número que la
cumple. Simbólicamente: xR | q(x). Ahora hagamos la negación: x | q(x).
Recordemos la propiedad : x | q(x) = x| q(x). Cómo queda: para todo x
perteneciente a R, x – 2 0. Esta negación es falsa.
MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
Una demostración es un razonamiento finito donde cada paso está justificado
por los pasos anteriores, reglas de inferencia y teoremas ya demostrados.
Una demostración es un proceso de varios pasos que se siguen para llegar de
una proposición a otra.
Las proposiciones a demostrar son teoremas y se componen de dos partes
principales: hipótesis y tesis. Las Hipótesis son una o varias proposiciones con
las cuales se debe concluir la Tesis. Estas dos partes están enlazadas por una
implicación. Sin embargo hay teoremas en los cuales el conector es una
equivalencia. En estos casos se tienen dos teoremas, uno por cada sentido de la
equivalencia.
Ejemplo de Teorema: “si x es par, entonces 3x es par”. La primera parte es la
hipótesis y la segunda parte es la tesis. “Un triángulo es equilátero si y solo si es
equiángulo”. Como es una doble implicación, se parte en 2: 1. Un triángulo es
equilátero [hipótesis] si es equiángulo [tesis] y 2. Un triángulo es equiángulo
[hipótesis] si es equilátero [tesis].
Método de Demostración Directo. El primer paso para el método directo es
tomar todas las hipótesis como válidas. El segundo, a partir de pasos lógicos y
usando las leyes de inferencia, llegar a la tesis.
Ejemplo: probar que p p (p Λ q) es una Tautología. Hay que trabajar
cada implicación por aparte. Tomamos de izquierda a derecha primero.
Recordemos que la hipótesis es la que va antes del entonces. La hipótesis es p,
entonces es verdadera. Ahora vamos a empezar a emplear proceso lógicos para
llegar a la tesis. Recordemos que cuando se tiene una proposición verdadera, se
le puede agregar cualquier otra proposición por medio de una . Vamos a
agregarle lo que necesitamos, es decir, (p Λ q) queda entonces:
p (p Λ q) por la Adición (cada paso debe ir acompañado de su justificación, es
decir, de la propiedad o teorema que se utiliza).
Veamos: 1. p
2. p (p Λ q) Adición
Tomemos ahora el lado derecho: p (p Λ q) p. El primer paso es poner la
hipótesis, que es: 1. p (p Λ q)
2. (p p) Λ (p q) Ley Distributiva
Recordemos p p p 3. p Λ (p q)
4. p Simplificación
De la hipótesis se llegó a la tesis. Por tanto ambas partes de la función son
tautologías y por consiguiente toda la expresión es una tautología.
Ahora veamos un ejemplo que no sea con símbolos:
El producto de dos números pares es un número par. La hipótesis es que dos
números son pares y la tesis es que el producto de esos dos números es par.
Demostración: a y b son pares. a = 2c b= 2d esto significa que a es par y
b es par, por consiguiente, a x b = 2c x 2d = 4cd = 2 (2cd) con esto se termina la
demostración porque se demostró que la tesis es verdadera.
Veamos otro ejemplo para utilizar el método directo:
[q Λ (p q)] p la hipótesis es [q Λ (p q)] y la tesis p.
A partir de la hipótesis, lleguemos a la tesis.
Tomemos entonces: 1. [q Λ (p q)]2. q3. p q Simplificación
Recordemos que (pq)(qp) 4. q p Contrarrecíproco5. p Modus Ponens
De esta manera se llegó a la Tesis, demostrando que [q Λ (p q)] p es
una tautología, es decir, esta expresión es siempre verdadera.
MÉTODO DEL CONTRARRECÍRPROCO
Recordemos la Ley del Contrarrecíproco: (pq) (q p)
Se puede probar cualquiera de las dos implicaciones, antes o después de la
equivalencia. Los paso para este método son: 1. Negar la tesis y 2. Concluir la
negación de la hipótesis.
Ejemplo: “si a es un número entero y a al cuadrado es impar, entonces, a es
impar”. La hipótesis: “a al cuadrado es impar”. Tesis: a es impar.
Usando el método del Contrarrecíproco: 1º. negar la tesis, es decir:
1. negar a es impar es lo mismo que decir “a es par”, hay
que llegar a concluir la negación de la hipótesis.
2. a x a es un producto par. A partir de la negación de la
tesis, llegamos a la negación de la hipótesis, quedando demostrado el teorema.
REDUCCIÓN AL ABSURDO
Su nombre se debe a que se llega a conclusiones que son absurdas o
incorrectas. Los pasos para utilizar este método: 1. negar la tesis y 2. llegar a
una contradicción.
Por ejemplo, nos piden probar que esto es verdadero: [(p q) Λ q] p
Antes de la implicación está la hipótesis y después, la tesis.
Primer paso, negar la tesis: 1. p hipótesis de reducción al absurdo
2. (p q) Λ q
Esta hipótesis se puede partir: 3. p q simplificación
4. q simplificación
5. q eliminación de la falsa en una disyunción (en 1 y 3).
Recordemos que cada paso que se da tiene que ser una tautología, algo
verdadero y en este caso se concluye una contradicción: Se tiene q y q, por
lo tanto queda establecido que la función inicial es una tautología.
Otro ejemplo: “demostrar que si el producto “ab” de dos enteros es par,
entonces, o b es par o a es par”. Comencemos por negar la tesis: “b es par o a
es par”. Observemos que es una disyunción y al negarla, quedaría:
1. b no es par Λ a no es par b = 2c + 1
2. hipótesis: a x b es par [2k] a = 2d + 1
3. a x b = (2c +1) (2d + 1) = 4cd + 2c + 2d +1 = 2( 2cd+c+d) +1, es decir, 2 que
multiplica a un número +1. Con lo que se concluye que axb es impar, lo cual es
absurdo, ya que el supuesto es que axb es par. Por tanto queda probado el
teorema.
Otra manera gráfica de realizar este método es planteando la función en su
desarrollo con las leyes de inferencia y al llegar a la conclusión, “devolverse”,
dándole valor FALSO, arbitrario, a la conclusión, de la siguiente manera:
DISYUNCIÓN DE CASOS
Este método tiene el nombre de la Ley que dice que al tener 2 proposiciones
unidas por una disyunción y que si ambas por aparte concluyen la misma cosa,
entonces, se concluye la tesis. Los pasos a seguir para este método de
demostración son: 1. Separar la hipótesis en varios casos
2. Para cada caso probar la tesis.
Ejemplo: “la última cifra de un número natural al cuadrado es 0,1,4,5,6 o 9.
Hipótesis: número natural. Tesis: la última cifra al cuadrado es 0,1,4,5,6 o 9.
Se parte la hipótesis en varias más pequeñas: pares e impares. Cuál es la última
cifra de un número par: 0, 2, 4 , 6 , 8.. y de los impares: 1, 3, 5, 7, 9. Ahora
elevemos al cuadrado los pares: 0, 4, 16, 36, 64 [por lo pronto tenemos 0, 4 y 6]
Ahora elevemos al cuadrado los impares: 1, 9, 25, 49, 81. [tenemos 1, 5, 9],
entonces como por ambos lados se cumple la tesis, entonces todo completo
reafirma que cualquier número natural tiene que ser par o impar.
BIBLIOGRAFÍA
Cuartas, Roberto. ¿Qué es la Lógica?. TareasPlus. Videos YouTube.co.
Colombia. 2013
Ching Briceño, A. Salomón. Inferencia Lógica.
http://mathsalomon.blogspot.com/. Videos YouTube.co. Perú.2011