apuntes de lógica - uba 2

7/28/2019 Apuntes de Lgica - UBA 2

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ELEMENTOS DE LGICA

Ing. Juan Sacerdoti

Facultad de Ingeniera

Departamento de Matemtica

Universidad de Buenos Aires

2002

V 2.01


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INDICE

3.- LGICA

3.1.- INTRODUCCIN

3.2.- PROPOSICIN3.2.1.- SMBOLO BASICO CONECTIVO: VALOR DE VERDAD Y PROPOSICIN3.2.2.- UNIVERSO DE PROPOSICIONES

3.3.- IMPLICACIN Y TEOREMA3.3.1.- IMPLICACIN SMPLE3.3.1.1.- DEFINICIN DE IMPLICACIN SMPLE3.3.1.2.- SINNIMO3.3.2.- IMPLICACIN DOBLE3.3.3.- TEOREMA3.3.4.- NO TEOREMA3.3.5.- HIPOTESIS Y TESIS DE UN TEOREMA

3.4.- TEOREMAS RELACIONADOS: DIRECTO, CONTRARRECPROCO , RECPROCO YCONTRADIRECTO.

3.5.- INCLUSIN COMO CONJUNTO VACIO

3.6.- DEMOSTRAR

3.7.- COMO EMPLEAR UN TEOREMA

3.8.- TEOREMAS CON DOS HIPOTESIS:3.8.1.- TIPOS Y EMPLEOS3.8.2.- TEOREMAS CONTRARRECPROCOS3.8.3.- DEMOSTRAR POR EL ABSURDO

3.9.- TEOREMAS DE CONJUNTOS Y LOGICA3.9.1.- TEOREMAS DE INCLUSIONES E IMPLICACIONES3.9.2.- TEOREMAS DE INTERSECCIONES COMPLEMENTOS Y UNIONES


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3. LOGICA

3.1. INTRODUCCIN

Las expresiones son un conjunto de smbolos de un lenguaje. Los smbolos se ensamblan en distintos tipos de

combinaciones: cadenas (strings), rboles, redes, etc. para armar estructuras compuestas.

La lgica se interesa de un conjunto especial de expresiones que se llamanProposiciones, que son aquellas alas cuales se les puede asignar un atributo (valor o funcin) de verdad (Valor de Verdad o Falsedad) (Atributobinario). La lgica estudia la combinacin de estas proposiciones a los efectos de relacionar o inferir unas de otras.

Pueden existir muchas lgicas, segn las reglas de combinacin de proposiciones o axiomas de inferencia

que se establezcan.

La lgica clsica ( o determinstica) es la de Aristteles cuyo regla de combinacin bsica es el Silogismo. El

silogismo consiste en una cadena de inclusiones sucesivas de proposiciones , como por ejemplo el clsico:

Scrates es HombreLos Hombres son Mortales

entonces Scrates es Mortal

El silogismo, generalizando el esquema anterior se puede representar por el esquema:

CB

BA

A C

donde se destaca la inclusin sucesiva de proposiciones. Esto es, como se vera, la propiedad transitiva de

la inclusin.

Tambin puede usarse como representacin los diagramas de Venn:

Lgica Ejemplos

1 Aristotlica o Determinstica Silogismo A B C2 Probabilstica

3 De la Contradiccin

4 De la Imposibilidad

5 Fundamentalista Fe ciega

6 De la Relatividad


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3.2. PROPOSICIN

Laproposicin es entonces el modulo bsico de la lgica y se presenta de la siguiente manera:

3.2.1.- SIMBOLO BASICO CONECTIVO: VALOR DE VERDAD Y PROPOSICIN

Se introduce el conectivo [T/F] [Verdad/Falso]o en ingls [True/False] para ser aplicado a expresiones. Lasexpresiones a la cuales se les asigna arbitrariamente o convencionalmente el valor de verdad o falsedad [T/F] se las

llama proposiciones.

Smbolo verdad o falsedad , Proposicin : Reglas de uso

P := [ xA ] Proposicin := P Exp

F

T

:= P { T,F } :A1.- [ P T ] [ /P F ]

T: Verdad [ True]F: Falso [False]P := [ xA ] : Proposicin

A1 : Axioma del tercero excluido

Obs 1: El valor de verdad { T,F } tambin puede representarse por el conjunto binario { 0,1 }

Obs 2: El valor de verdad { T,F } es el codominio de una funcin (como se ver ms adelante) cuyo dominioson expresiones.

Obs 3: La asignacin del valor de verdad es arbitraria. Toda funcin lo es. La Verdades entonces unaconvencin que puede realizarse de acuerdo a definiciones previas.

Ejemplo 1:

Dada la funcin real

sin: R R

x sin x := +

=0p

(-1)p)!1p2(

x 1p2

+

+

La expresin : [sin Continua] puede ser verdadera o falsa. Por lo tanto es una proposicin.Esto depende si la funcin [ sin] verifica o no el cumplimiento de la definicin de continuidad, (que es una

convencin arbitraria como toda definicin). En ese caso entonces se puede asegurar que la proposicin ser verdadera

o falsa.

Ejemplo 2:

Mientras que si tomamos la funcin f

sin: R R

x x2

la expresin [f ] no es una Proposicin, pues no puede asegurarse que sea verdadera o falsa.En pocas palabras el concepto de Proposicin coincide con la Proposicin del lenguaje corriente (por ejemplo

castellano). Toda Proposicin tiene Sujeto Verbo y Predicado. Mientras que la expresin que no es Proposicin

coincide con el concepto de frase del idioma corriente.


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3.2.2. UNIVERSO DE PROPOSICIONES

Las proposiciones tienen su validez dentro de un determinado Universo o contexto. Pueden tener diferentevalor de verdad segn el Universo de referencia, segn la clase de Lenguaje usado.

Ejemplos de proposiciones cuya validez es relativa al Universo o contexto son:

Ejemplo 1: La poligamia es aceptada.Segn la doctrina catlica es una proposicin falsa. Segn la musulmana es verdadera (hasta 4 mujeres).

Ejemplo 2: Un polinomio tiene siempre una raz.En el campo real es una proposicin falsa. En el campo de los complejos es verdadera.

Ejemplo 3: Dada una funcin f es diferenciable si y solo si es derivable.Si f: D R R la proposicin es verdadera.

f: D R2 R la proposicin es falsa.

f: D C C la proposicin es verdadera.

Segn el Universo que se trabaje habr varios tipos de proposiciones. Por ejemplo proposiciones lgicas,

matemticas, fsicas etc.

Combinar errneamente proposiciones de diferentes universos lleva a errores de lgica como se vera en el

prrafo que sigue.

3.3.- IMPLICACIN Y TEOREMA

La implicacin es el elemento bsico (mdulo) para la construccin de la estructura de la lgica clsica

(Aristotlica).

En su esencia consiste en asegurar la validez de una Segunda proposicin a partir de una primera proposicin.

Ejemplo: Si A B [A asegura B] entonces si A T B TTodo razonamiento es una cadena sucesiva de Implicaciones que asegura una ltima proposicin a partir de

unaprimera. Esto no es otra cosa que el silogismo de Aristteles.

Ejemplo:


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3.3.1.- IMPLICACIN SIMPLE

3.3.1.1.- DEFINICIN DE IMPLICACIN SIMPLE

Dado E un universo de proposiciones se define implicacin.

Def:

A B :=

BA

Prop/EBA,

PropdeUniversoE

: A1 A B ^ AT B T

A B : A es condicin suficiente de B: A asegura B: A implica B: A arrastra B: Si (cuando) A entonces B: A solo si B: Si se cumple A se cumple B

3.3.1.2.- SINNIMO

Tambin suele usarse como sinnimo deA B al smbolo B A que se lee:

B A : B es condicin necesaria de A: B es asegurado por B: B es implicado por A: B es arrastrado por A: Siempre B si (cuando) A

: B si A: Debe cumplirse B para cumplirse A

conviene remarcar que los smbolos A B y B A representan la misma implicacin.A, B Proposiciones

Obs 1: La implicacin es entonces una inclusin de Proposiciones. El porque de introducir un smbolonuevo [] , en vez de usar el smbolo [] es el de destacar el hecho de que los conjuntos que se incluyen son

justamente proposiciones.


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Obs 2: En una implicacin se presentan siempre 4 elementos:El UniversoE deproposiciones.Las2 proposiciones A y B.La relacin de inclusin entre A y B, es decirquien incluye a quien.

Obs. 3: Debe observarse tambin queA Bpuede ser verdadera o falsa. Por lo tanto la implicacin tambin esuna Proposicin. Esto es una Proposicin Lgica. (otro Universo).

Obs. 4: Como se ha observado anteriormente es importante que en la implicacin, todas las proposicionesdeben ser del mismo Universo. En caso contrario el silogismo es falso, o sea se llega a conclusiones contradictorias o

errneas.

Ejemplo 1: Una paradoja clsica es aquella que nos cuenta Cervantes en el Don Quijote:

Merced a su ingenio sencillo de campesino, Sancho Panza divirti al Duque y a la Duquesa que lo pusieron a

cargo del gobierno de la nsula de Barataria.

Sancho dej admirados a los circunstantes por sus juicios y sentencias. Se extendi fuera de la isla su fama, y

ella trajo un forastero con el fin de plantearle una cuestin al Gobernador.

El texto de Cervantes es:

Seor, un caudaloso divida dos trminos de un mismo seoro...

Y est vuesa merced atento porque el caso es de importancia y algo dificultoso. Digo, pues, que sobre este ro

estaba una puente, y al cabo de ella, una horca y una como casa de audiencia, en lo cual de ordinario haba cuatro

jueces que juzgaban la ley que puso el dueo del ro , de la puente y del seoro, que era en esta forma: Si alguno

pasara por esta puente de una parte a otra, ha de jurar primero adonde y a que va; y si jurare la verdad, djenle pasar; y

si dijere mentira , muera, por ello ahorcado en la horca que all se muestra, sin remisin alguna. Sabida esta ley y la

rigurosa condicin della pasaban muchos, y luego en lo que juraban se echaba de ver que decan la verdad, y los jueces

los dejaban pasar libremente. Sucedi, ,pues que tomando juramento a un hombre , jur y dijo que para el juramento

que haca, que iba a morir en aquella horca que all estaba, y no a otra cosa. Repararon los jueces en el juramento, y

dijeron: Si a este hombre lo dejamos pasar libremente, minti en su juramento, y conforme a la ley debe morir; y si lo

ahorcamos, l jur que iba a morir en aquella horca, y habiendo jurado la verdad, por la misma ley debe ser libre.

Pdase a vuesa merced, seor gobernador, que harn los jueces de tal hombre; que an hasta agora estn dudosos y

suspensos. Y habiendo tenido noticia del agudo y elevado entendimiento de vuesa merced, me enviaron a mi a quesuplicase a vuesa merced de su parte diese su parecer en tan intrincado y dudoso caso.

La paradoja se puede resumir en el siguiente diagrama:

En ambos opciones se tiene una contradiccin insoluble. No se cumple el principio del tercero excluido.


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Por curiosidad veamos cual fue la respuesta de Sancho Panza :

- Venid ac, seor buen hombre respondi Sancho : este pasajero que decs, o yo soy un porro, o l tiene la

misma razn para morir que para vivir y pasar la puente; porque si la verdad le salva, la mentira lo condena igualmente;

y siendo esto as, como lo es, soy de parecer que digis a esos seores que a mi os enviaron que, pues estn en un fiel

de las razones de condenarle o asolverle, que le dejen pasar libremente, pues siempre es alabado ms el hacer bien que

mal; y esto lo diera firmado de mi nombre si supiera firmar, y yo en ese caso no he hablado de mo, sino que se me vino

a la memoria un precepto, entre otros muchos que me dio mi amo don Quijote la noche antes que viniese a ser

gobernador de esta nsula. que fue que cuando la justicia estuviese en duda, me decantase y acogiese a la misericordia.

Ejemplo 2: Otro ejemplo de paradoja es:Una tribu de indios sacrifica a todos los exploradores que entran en su territorio.

Tienen 2 altares, uno llamado de la Verdad y otro de la Mentira donde se realizan los sacrificios de acuerdo a

una respuesta de la vctima fuera verdadera o falsa

Como es la decisin ante el siguiente caso?

Pregunta: Donde te vamos a matar?Respuesta: En el altar de la MentiraOpciones: 1.- Si la respuesta fuera verdadera el sacrificio debera cumplirse en el altar de la Verdad.

2.- Si la respuesta fuera el sacrificio debera cumplirse en el altar de la Mentira.En ambos casos cualquier la decisin sera contradictoria.

Ejemplo 3: Este ejemplo se debe a Bertrand RussellSea un conjunto de libros:

M1, M2, M3, ... ,F1, F2, F3, ... , Q1, Q2, Q3, ...

Que se pueden clasificar por materia: Matemtica, Fsica, Qumica,... Con estas libros clasificados se preparan

Catlogos que detallan los correspondientes a cada tema.

XM, XF, XQ, ...

Al construir el conjunto de los libros de la misma materia, se puede incluir el Catlogo de la misma materia, o

no. Por ejemplo:

CM= { M1, M2, M3, ... , XM} CF = { F1, F2, F3, ... } CQ = { Q1, Q2, Q3, ... , XQ }

En un segundo nivel de Conjuntos, se puede construir Conjuntos de Conjuntos, por ejemplo clasificndolos en

dos Conjuntos, el Conjunto de Conjunto que contiene a su Catlogo, y el Conjunto de Conjunto que no lo contienen.

Ntese que los Conjunto de Conjunto son Catlogos. Siguiendo el ejemplo anterior:

CCS = { CM, CQ, ... } CCN= { CF, ... }

Si nos preguntamos, si el mismo CCN

pertenece a CCS o a CC

N se llega a la siguientecontradiccin:

Si CCN CCN entonces CCN no sera el Conjunto de Conjunto de Catlogos que se no se contienen, porquecontendra uno que se contiene: el mismo CCN.

Si CCN CCS entonces CCSno sera el Conjunto de Conjunto de Catlogos que se contienen, porque habraun Conjunto que no se contiene: el mismo CCN.

Esta contradiccin se produce porque se han confundido la pertenencia a los distintos Universos, el de los

Elementos, el de Conjuntos, y el de Conjunto de Conjuntos.


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No hay que mezclar en las implicaciones los niveles de Conjuntos

x

{x}

{{x}}

Ejemplo 4:Rinoceronte es AnimalAnimal es Palabra de 6 caracteres

entonces Rinoceronte es Palabra de 6 caracteres

Obs. 5: El silogismo AB Cpuede plantearse tambin a travs de las Tablas de Verdad. Segn nuestrocriterio, trabajar por inclusiones sucesivas es ms simple.

3.3.2.- IMPLICACION DOBLE

Es tambin cmodo introducir otro smbolo: el de doble implicacin

Def: AB :=

AB

BA

A B : A es condicin necesaria y suficiente de B: A asegura B y B asegura A: A doble implica B: A doble arrastra B: Si y solo si A entonces B: A si y solo si B: Si y solo si se cumple A se cumple B


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3.3.3.- TEOREMA

Se llama Teorema a toda implicacin simple o doble en 2 o ms Proposiciones.

Teorema : A B: A B

Obs 1: Debe recordarse que en un teorema se presentan siempre 4 elementos:Un UniversoE deproposicionesLas 2 proposiciones A y B.

La relacin de inclusin entre A y B, es decirquien incluye a quien.

Obs 2: En Matemtica tambin se suele denominar a algunas implicaciones (Teoremas), como Lemas yCorolarios. El empleo de las palabra Lema es para implicaciones intermedias de un Teorema (Lema de Dios: verdad no

discutible) y el uso de la Corolario es para Teoremas que son consecuencias inmediatas de uno principal.

3.3.4.- NO TEOREMA.

Para asegurar que una implicacin [ A B ] no es vlida , es decir que no existe Teorema, debe asegurase queno existe la inclusin de Conjuntos[ A B ].

Para eso basta asegurar que hay elementos de A que no estn dentro de B. Es decir que [ A/B ].Esto significa que para asegurar la no validez de una implicacin (un teorema) , basta encontrar un elemento de

[ A/B ] que se llama contraejemplo.


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3.3.5.- HIPTESIS Y TESIS DE UN TEOREMA.

Se llamanHiptesis y Tesis a cualquiera de las dos o ms proposiciones que integran una implicacin , es decirun Teorema.. Su asignacin es arbitraria. Tanto se puede llamarHiptesis al conjunto A (incluido) o al conjunto B(incluyente).

Segn se elija nombrarlos se presentan dos formas de lectura del mismo teorema:

Eligiendo A como Hiptesis Eligiendo A como TesisA es condicin suficiente de B H es condicin suficiente de T T es condicin suficiente de HB es condicin necesaria de A T es condicin necesaria de H H es condicin necesaria de T

En los casos de doble implicacin las proposiciones son coincidentes, por lo cual es obvio la relatividad de cual

proposicin se llama Hiptesis y cual Tesis.

A es condicin necesaria y suficiente de B H es condicin necesaria y suficiente de TB es condicin necesaria y suficiente de A T es condicin necesaria y suficiente de H

3.4.- TEOREMAS RELACIONADOS: DIRECTO, CONTRARRECPROCO, RECPROCO YCONTRADIRECTO

Cuandose presenta un Teorema[ A B ] es decir [ A B ] una inclusin de Conjuntos de Proposicionesdentro de un UniversoE, existe otro Teorema automticamente [ /B /A ] es decir [ /B /A ] una inclusin deConjuntos de Proposiciones complementos relativos a dicho Universo E.

Al Teorema [ A B ] se lo llama Directo y al Teorema [ /B /A ] Contrarrecproco (TCR).

Teorema de Lgica: [ A B ] [ /B /A ]

Obs: Conviene remarcar que A y B son proposiciones dentro del Universo E , (por ejemplo proposiciones dendole matemtica) mientras que [ A B ] y [ /B /A ] tambin son proposiciones pero de ndole lgica.

Es decir [ A B ] [ /B /A ] es un Teorema dentro del Universo de las proposiciones lgicas.Esto es un Teorema de Teoremas.


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En resumen si es vlido [ A B ] siempre es vlido [ /B /A ] y viceversa.

Por otra parte si es vlido [ A B ] no siempre es vlido [ B A ] . A este ltimo si existe se lo llamaTeorema Recproco.

Si fuera vlido [ B A ] siempre sera vlido [ /A /B ] (Teorema Contradirecto) y viceversa.

En caso de doble implicacin entre A y B se cumple

Teorema de Lgica: [ A B ] [ /B /A ]

Es decir en el caso de doble implicacin son validos simultneamente los 4 teoremas:

[ A B ] [ /B /A ](TD) Teorema Directo Teorema Contrarrecproco (TCR)

[ B A ] [ /A /B ](TR) Teorema Recproco Teorema Contradirecto (TCD)

3.5.- ANLISIS DE LA INCLUSIN COMO CONJUNTO VACO

De acuerdo con la definicin de conjunto vaco se tiene la equivalencia . (Ver ms adelante el Teoremacorrespondiente T 4.1).

Teorema A B A /B =

Usando este Teorema es fcil demostrar la equivalencia entre los Teoremas Directo y Contrarrecproco:

A B A /B =

Por la propiedad conmutativa de la Interseccin se tiene

/B A = A /B =

Se llega a la equivalencia

A B /B A = = A /B = /B /A

En particular si A y B son Proposiciones:

[ A B ] [ /B /A ]


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3.6.- DEMOSTRAR

Demostrar un teorema es asegurar que existe una inclusin de proposiciones. Esto puede verse bajo 3 formas

equivalentes, que son 3 proposiciones lgicas:

1.- Asegurar que existe una inclusin entre dos proposiciones: A B. Esto se llamaDemostracin Directa.2.- Asegurar que existe la inclusin de proposiciones /B /A. Esto la Demostracin por el Absurdo.3.- Asegurar que existe por lo menos un conjunto vaco: A/B = que representa tanto a la Demostracin

Directa como a la Demostracin por el Absurdo.

A /B A B /B /A

1 = 1 = 1 =

Una demostracin de una doble implicacin como es obvio es asegurar que hay dos conjuntos vacos :

A /B A B /B /A

1 = 1 = 1 = 3 = 3 = 3 =


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3.7.- COMO EMPLEAR UN TEOREMA

3.7.1.- TEOREMA SIMPLE IMPLICACIN

Dado un Teorema el silogismo de la lgica aristotlica lleva a conclusiones en algunos casos y en otros no. Para

manejar un sistema hay que tener claro las consecuencias en cada caso:

El diagrama de la derecha representa el empleo del teorema HT equivalente a H / T =1111 =

1.- En el caso de verificarse la Hiptesis (conjunto 2), se arrastra que se verifica la Tesis

2.- En el caso deno verificarse la Hiptesis (conjunto 3 y 4), no se puede concluir nada sobre la Tesis puesel conjunto 3 est incluido en la Tesis y el conjunto 4 no.

El diagrama de la izquierda muestra el empleo del teorema contrarrecproco /T/H tambin equivalente a

H / T =1111 =

1.- En el caso deno verificarse la Tesis (conjunto 4), se implica queno se verifica la Hiptesis2.- En el caso de verificarse la Tesis (conjunto 2 y 3), no se puede concluir nada sobre la Hiptesis pues

el conjunto 2 es la Hiptesis y el conjunto 3 no le pertenece.

Ejemplos :Empleo del Teorema Directo:Si una funcin es diferenciable, entonces es continua :

H f dif/a T f C/ax2 dif/0 x2 C/0(x2 + y2)1/2 dif/(0,0) (x2 + y2)1/2 ( ) C/(0,0) ??? (por este teorema no se puede concluir).

En este caso (conjunto 3) (x2 + y2)1/2 C/(0,0)x/ y dif/(0,0) x/ y ( ) C/(0,0) ??? (por este teorema no se puede concluir)

En este caso (conjunto 4) x/ y C/(0,0)

Empleo del Teorema Contrarrecproco : Si un funcin no es continua, entonces no es diferenciable/T f C/a /H f dif/a

sg(x) C/0 sg(x) dif/0(x2 + y2)1/2 C/(0,0) (x2 + y2)1/2 ( ) dif/(0,0) ??? (por este teorema no se puede concluir).

En este caso (conjunto 3) (x2 + y2)1/2 dif/(0,0)(x2 + y2) C/(0,0) (x2 + y2) ( ) dif/(0,0) ??? (por este teorema no se puede concluir).

En este caso (conjunto 2) (x2 + y2) dif/(0,0)


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3.7.2.- TEOREMA DOBLE IMPLICACIN

El Teorema que es doble implicacin se emplea de la siguiente manera:

El diagrama de la derecha representa el empleo del teorema HT equivalente a la existencia de los dosconjuntos vacos H /T =1111 = y /HT = 3 =

1.- En el caso de verificarse la Hiptesis (conjunto 2), se implica que se la verifica la Tesis

2.- En el caso deno verificarse la Hiptesis (conjunto 4), se implica que se verifica lano Tesis.

El diagrama de la izquierda muestra el empleo del teorema contrarrecproco y contradirecto /T/H tambinequivalente a la existencia de los dos conjuntos vacos H /T =1111 = y /HT = 3 =

1.- En el caso deno verificarse la Tesis (conjunto 4), se implica queno se verifica la Hiptesis2.- En el caso de verificarse la Tesis (conjunto 2), se implica que se verifica la Hiptesis.

Ejemplos:Empleo del Teorema Doble Implicacin:Si una funcin de variable real es diferenciable si y solo si es derivable :

H f dif/a T f der/ax2 dif/0 x2 der/0x2 dif/0 x2 der/0


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3.8.- TEOREMAS CON 2 HIPTESIS

3.8.1.- TIPOS Y EMPLEO

Dado un Teorema el silogismo de la lgica aristotlica lleva a conclusiones en algunos casos y en otros no. Para

manejar un sistema hay que tener claro las consecuencias en cada caso:

Tipo Primero Segundo Tercero Cuarto

Smbolo H1 H2 T H1H2 T

H1 H2 T

H1 T

H1 H2 T

Sinnimo

2

1

H

H T

2

1

H

H T

Definicin H1 H2 T[

2

1

H

HT] [H2

T

H1] [

2

1

H

HT] [H1 T]

Conjuntos

vacosH1 H2 /T = 2 = H1 H2 /T = 2 =

H1 /H2 T = 4 =

H1 H2 /T = 2 =

/H1 H2 T = 6 =

/H1 /H2 T = 7 =

H1 H2 /T = 2 =

H1 /H2 T = 4 =

/H1 H2 T = 6 =

/H1 /H2 T = 7 =


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3.8.2.- TEOREMAS CONTRARRECPROCOS

El Teorema con dos Hiptesis de primer tipo es

H1H2T

Tiene el siguiente Teorema Contrarrecproco

/T / (H1H2)

La negacin de la Tesis asegura la negacin de la Hiptesis. Esta ltima est representada por el conjunto

2 = (H1H2) . Su negacin, es el conjunto complemento, que es la unin de los conjuntos 1, 3 y 4, es decir

/T / (H1H2) = / 2 = 13 4= (H1 /H2) ( /H1H2) ( /H1 /H2)

Este es el Teorema Contrarrecproco en general. Pero si se intersecta la No Tesis con alguna de la Hiptesis setienen dos proposiciones equivalentes :

H1 /T H1 ( / (H1H2) ) = H1 / 2 = H1 ( 13 4 )= H1 [ (H1 /H2) ( /H1H2) ( /H1 /H2) ]= 1= H1 /H2 /H2

H1 /T /H2

y anlogamente

H2 /T /H1 es decir

[H1H2 T] [H1 /T /H2] [ H2 /T /H1]

Otra forma de ver esta equivalencia es a partir del conjunto vaco

= 2 = H1H2 /T = H1 /TH2 = H2 /TH1

[H1H2 T] [H1 /T /H2] [ H2 /T /H1]

3.8.3.- DEMOSTRAR POR EL ABSURDO

A partir del anlisis anterior como:

2

1

H

HT

T/

H1 /H2

T/

H2 /H1

demostrar por el absurdo consiste en mantener una hiptesis negar la tesis y asegurar que es no es vlida la otra

hiptesis. (Siempre el conjunto 2 es vaco)


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Ejemplo

Vs CVdx)x(g)x(g)x(f0

Vs CVdx)x(f

Vs CVdx)x(f)x(g)x(f0

Vs CVdx)x(g

Vs

Vs

CVdx)x(f

CVdx)x(g ( f(x) < 0 )(g(x) < f(x))

3.9.- TEOREMAS DE CONJUNTOS Y DE LGICA

Resumen de definiciones equivalentes

Def: El signo de definicin o de asignacin [ := ] opera en una demostracin como una doble implicacin []

Def: Inclusin AB := (xA) : (xB)

=: A S(B)=: (xA) : (xB)=: C(BA)=: [:= C(BA)]

Def: Complemento de un conjunto A incluido dentro de otro conjunto E (Universo)AE

/A := (xA) : (xE)

3.9.1.- TEOREMAS DE INCLUSIONES E IMPLICACIONES

Teorema 1 A B := (xA) : (xB) (xA) : (xAB)

Teorema 2 Propiedad Transitiva de la Inclusin (Silogismo)

CB

BA A C

Teorema 3 Propiedad Transitiva de la Igualdad

====

====

CB

BA A = C

Teorema 4 Propiedad Transitiva de la Inclusin (Silogismo)

CB

BA A C

Teorema 5 Propiedad Transitiva de la Doble Implicacin

CB

BA A C

Teorema 11 Def. Igualdad de Cj {x y} = {y x}Teorema 12 Def. Igualdad de Cj {x x} = {x}Teorema 13 {x y} = {x} x yTeorema 14 {x y} = {z} (x z) (y z)


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3.9.2.- TEOREMAS DE INTERSECCIONES COMPLEMENTOS Y UNIONES

Teorema 21 AB A B = ATeorema 22 A B = BTeorema 23 Def AB A B = B ATeorema 24 Def AB A B = B A

Teorema 31 Def. /A /(/A) = ATeorema 32 Unicidad del complemento

A1 = /AA2 = /A A1 = A2

Teorema 33 Def. /A /E = Teorema 34 /E = Teorema 35 Def. A ATeorema 36 A = Teorema 37 A = ATeorema 38 E A = ATeorema 37 E A = E

Teorema 38 /A A = Teorema 39 /A A = ETeorema 40 {A, /A} = P(E)

Teorema 41 [ AB] A /B = /B /ATeorema 42 [ AB] A /B = /B /A

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