Indice

1. Introduccion a los sistemas no lineales 71.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. SIMNON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2. Sistemas lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.3. Sistemas lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.4. Definiciones de especificaciones de respuesta transitoria . . . . . . . . . . . . 261.1.5. Descomposicion de funciones de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2. Analisis y diseno de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2.1. Comportamiento de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3. Analisis con el plano de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4. Sistemas no lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.4.1. Comportamiento de sistemas no lineales alrededor de los puntos singulares ode equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.4.2. Analisis de las trayectorias de sistemas de segundo orden en las cercanıas delos puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.4.3. Ciclos lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2. Fundamentos de la teorıa de Lyapunov 582.1. Preliminares matematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.1.1. Simbologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.1.2. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.1.3. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.1.4. Valores propios, caracterısticos o Eigenvalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.1.5. Norma espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.2. Puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2.1. Teorema de contraccion de mapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3. Estabilidad en el sentido de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3.1. Conceptos basicos de la teorıa de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3.2. Comentarios relacionados con los conceptos de estabilidad . . . . . . . . . . . 772.3.3. Definicion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.3.4. Teoremas de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.3.5. Analisis de estabilidad de sistemas lineales invariantes en el tiempo . . . . . . 85

3. Teorıa de estabilidad avanzada 873.1. Teorema de Krasovskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.1.1. Prueba de una funcion candidata de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.2. Caso de estudio: Pendulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.2.1. Pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.2.2. Analisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.2.3. Pendulo con friccion viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4. Control Realimentado 944.0.4. Objetivo de regulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.0.5. Objetivo de seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

1

5. Pasividad 995.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2. Sistema pasivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3. Funcion descriptiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2

Indice de figuras

1. Grafica de Plano de Fase que se vera mas adelante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3

Indice de cuadros

4

Control No Lineal

Descripcion de la materia

Aportacion al perfil del egresado

1. Reconocera el comportamiento dinamico no lineal en sistemas reales

2. Analizara los sistemas no lineales

3. Aprendera tecnicas de diseno

Objetivos

1. Analizar el comporamiento dinamico de sistemas no lineales reales

2. Tecnicas de simulacion de controladores analogicos y digitales

3. Analizar la estabilidad de dichos sistemas

4. Metodologıa de diseno de controladores de sistemas no lineales

Temario

1. Introduccion a los sistemas no lineales

a) Concepto basico de control no lineal

b) Ejemplos de sistemas no lineales

c) Analisis en el plano de fase

d) Sistemas no lineales de segundo orden

1) Comportamiento cualitativo

2) Multiples puntos de equilibrio

3) Comportamiento cualitativo del entorno de puntos de equilibrio

4) Ciclos lımites

2. Fundamentos de la teorıa de Lyapunov

a) Puntos de equilibrio

b) Concepto de estabilidad

c) Linealizacion y estabilidad local

d) Metodo directo de Lyapunov

5

e) Teoremas sobre puntos de equilibrio

f ) Analisis de sistemas basados en el metodo directo de Lyapunov

3. Teorıa de estabilidad avanzada

a) Conceptos basicos

b) Conceptos de estabilidad para sistemas no autonomos

c) Analisis de sistemas no autonomos

d) Analisis utilizando el lema de Barbalat

e) Sistemas lineales positivos

f ) Sistemas pasivos

4. Control realimentado

a) El problema de control

b) Estabilizacion y seguimiento

c) Diseno vıa linealizacion

d) Utilizacion de observadores

e) Realimentacion de estados con y sin integradores

f ) Ganancia programada

5. Linealizacion exacta vıa realimentacion

a) Conceptos basicos

b) Herramientas matematicas

c) Estabilizacion y seguimiento basado en la linealizacion exacta

d) Linealizacion de estados

e) Linealizacion de entrada-salida

6. Analisis usando funciones descriptivas

a) Fundamentos del metodo

b) No linealidades comunes

c) Analisis usando la funcion descriptiva

d) Criterio de Nyquist

e) Existencia y estabilidad de ciclos lımites

f ) Confiabilidad del analisis

Aprendizajes requeridos

1. Ecuaciones diferenciales

2. Analisis transitorio

3. Espacio de estados

4. Sistemas de control

6

Sugerencias didacticas

1. Busqueda de informacion

2. Disenar practicas o simulaciones

3. Simuladores para la solucion de problemas

4. Solucion de problemas individualmente o en grupos

5. Trabajo final practico

Evaluacion

Participacion en clase —— Puntos extraTareas y ejercicios (simulaciones) —— 45%Exposicion de temas —— Puntos extrasAsistencia —— 15 %Examenes escritos —— 40%Desempeno integral del alumno —— Puntos extras

Bibliografıa

1. Khalil H. Non-linear systems. 3rd. Edition. Prentice Hall.

2. Slotine JJ, Li W. Applied non-linear control. Prentice Hall.

3. Shankar Sastry. Non-linear systems. Springer.

4. Kelly R, Santibanez V. Control de movimiento de robots manipuladores. Pearson.

Software

1. SIMNON

2. Matlab / Simulink

1. Introduccion a los sistemas no lineales

1.1. Conceptos basicos

Repaso de sistemas lineales.Para un sistema de control lineal todas las relaciones entre las variables son ecuaciones diferencialeslineales con coeficientes constantes. La razon de que las ecuaciones sean diferenciales, en lugar deser ecuaciones algebraicas, es que los sistemas realimentados son funciones de variables que varıanen el tiempo.Muchos sistemas dinamicos, ya sean mecanicos, electricos, termicos, hidraulicos, economicos, biologi-cos; pueden ser caracterizados por leyes fısicas que gobiernan ese sistema en particular; por ejemplo,las leyes de Newton para sistemas mecanicos, las leyes de Kirchoff para sistemas electricos, entreotras.

7

Modelo matematico.Es la descripcion matematica de las caracterısticas dinamicas de un sistema.Sistemas lineales.Son aquellos en los que las ecuaciones del modelo son lineales.Una ecuacion diferencial es lineal si los coeficientes son constantes o funciones unicamente de la vari-able independiente. Una propiedad importante de los sistemas lineales es que se les puede aplicar elprincipio de superposicion, el cual establece que la respuesta producida por la aplicacion simultaneade dos funciones excitadoras distintas es la suma de las dos respuestas individuales.

Sistemas invariantes en el tiempo.Son aquellos que tienen coeficientes constantes (como un motor).

Sistemas variantes en el tiempo.Son aquellos que tienen coeficientes variantes en el tiempo (como un vehıculo espacial en el que varıala gravedad y masa).

Ejemplos de ecuaciones lineales.

y = mx + b Algebraica (donde m y b son constantes)dx(t)

dt = ax Diferencial (donde a es constante)

Ejemplo de ecuaciones diferenciales no lineales:

d2x

dt2+

[dx

dt

]2

+ x = A sen(ωt)

d2x

dt2+ [x2 − 1]

dx

dt+ x = 0

d2x

dt2+

dx

dt+ x + x3 = 0

Sistemas no lineales. Son representados por ecuaciones no lineales. Una ecuacion diferencialno lineal, recibe este nombre al no cumplir con una linealidad (tiene elementos no lineales en suestructura).

y = sen(x) Trascendentaly = x2 Algebraica

Muchos sistemas fısicos modelados linealmente, son en realidad sistemas no lineales en los cualesse ha despreciado o ignorado sus elementos no lineales. Ejemplo:

8

Saturacion. Saturaciones existentes en motores,valvulas, amplificadores, entre otros.

Zona muerta.

Alinealidad por potencias.

Funciones de transferencia para sistemas lineales.La FDT para un sistema lineal invariante en el tiempo esta definido como la relacion de la trans-formada de Laplace de la salida (funcion respuesta) a la transformada de Laplace de la entrada(funcion entrada); bajo la suposicion de que todas las condiciones iniciales son cero. Ejemplos:

Sistema mecanico de traslacionSea un sistema compuesto por masa, resorte y amortiguador. Donde amortiguador es un dis-positivo que provee friccion viscosa o amortiguamiento. Este dispositivo consiste en un pistony un cilindro relleno de aceite. Cualquier movimiento relativo entre el eje del piston y el cilin-dro, encuentra una resistencia producida por el aceite, debido a que este debe fluir alrededordel piston o atraves de orificios provistos por el piston. El amortiguador esencialmente ab-sorbe/disipa energıa, no almacena ni energıa cinetica ni potencial. La fuerza de friccion viscosaes proporcional a la velocidad.

9

K = constante de rigidez del resorte (Nm)

m = masa (Kg)b = coeficiente de friccion viscosa ( N

m/s)

F = fuerza externa (N) (entrada)y = desplazamiento (m) (salida)

La ecuacion diferencial del sistema (basado en la ley de Newton)

f = fm + fb + fk

f = md2y

dt2+ b

dy

dt+ ky

Este es un sistema lineal, porque la ecuacion diferencial tiene coeficientes constantes.Pasaremos este modelo al dominio de la variable compleja de Laplace, con condiciones inicialesigual a cero:

L

md2y

dt2

= m(s2y(s) − sy(0) − y(0))

L

bdy

dt

= b(sy(s) − y(0))

L ky = ky(s)

G(s) =y(s)

f(s)=

1

ms2 + bs + k

Circuito RLCSegun la ley de Kirchoff:

ei(t) = Ldi(t)

dt+ Ri(t) +

eo(t)︷ ︸︸ ︷

1

C

∫

i(t)dt

Aplicando la transformada de Laplace, obtendremos la siguiente funcion de transferencia

10

(FDT):

L

Ldi(t)

dt

= L [si(s) − i(0)]

ei(s) = Lsi(s) + Ri(s) +

eo(s)︷ ︸︸ ︷

1

C

1

si(s)

eo(s) =1

C

1

si(s)

Entrada = ei(s)Salida = eo(s)

i(s) = Cseo(s)

LCs2eo(s) + RCseo(s) + eo(s) = ei(s)

G(s) =eo(s)

ei(s)=

1

LCs2 + RCs + 1

L = inductancia (H)R = resistencia (Ω)C = capacitancia (F)ei = voltaje de entrada (V)eo = voltaje de salida (V)

Estudiando un caso particular en que L = 0 y Ei = 1 tenemos:

G(s) =eo(s)

ei(s)=

1

RCs + 1

L−1

Eo(s) =1

RC

s(s + 1RC

)

eo(t) = 1 − e−1

RCt

Donde hemos usado una entrada escalon.Dado que R y C son valores conocidos, puedes obtener la respuesta en cualquier tiempo quese sustituya. ESTO NO ES COMUN EN SISTEMAS NO LINEALES.

11

1.1.1. SIMNON

SIMNON es un programa de simulacion de sistemas no lineales, es util para obtener un en-tendimiento basico de los sistemas dinamicos. Se debe de estar familiarizado con los terminos Vari-ables de estado, Variables de entrada y Variables de salida.

Para sistemas continuos, se tiene la siguiente forma generica, conocida como ecuacion diferencial:

dx

dt= f(x, u, t)

y = g(x, u, t)

Donde: u → entrada, y → salida, x → estado

En el programa, el sistema se especifica como: CONTINUOUS SYSTEM

Para sistemas discretos, se tiene la siguiente forma generica, conocida como ecuacion de diferen-cias:

x(tk+1) = f(x(tk), u(tk), tk)

y(tk) = g(x(tk), u(tk), tk)

Donde: tk: k=1,2,3. . . → tiempo de muestreo, x → variable de estado

En el programa, el sistema se especifica como: DISCRETE SYSTEM

Tambien se puede trabajar con sistemas mas complejos, como interconexion de subsistemas, yasean continuos o discretos. En este caso se debe declarar como CONNECTING SYSTEM.

El comando de operacion SIMU tiene algunas variantes:

SIMU 0 20 → Simulara el sistema de 0 a 20 segundos

SIMU → Repite la simulacion anterior

SIMU? → Entrega los valores actuales de la simulacion.

Ejemplo: OSCILADOR DE VAN DER POLEste oscilador se representa con la siguiente ecuacion diferencial:

d2y

dt+ a[y2 − b]

dy

dt+ y = 0

12

Para correr este ejemplo en SIMNON, debemos expresar la ecuacion en variables de estado:

y + a[y2 − b]y + y = 0

x1 = y x1 = y = x2

x2 = y x2 = y = a[b− x21]x2 − x1

El codigo en SIMNON para el sistema sera:

CONTINUOUS SYSTEM VDPOLSTATE X1 X2DER DX1 DX2DX1=X2DX2=A*X2*(B-X1*X1)-X1A:1B:1END

Mientras que el codigo para la simulacion es:

SYST VDPOLAXES H -5 5 V -6 6PLOT X1 X2 en este momento aparece la graficaINIT X1:1 por default las condiciones iniciales son ceroSIMU 0 20 en este momento aparece el resultado de la simulacionPAR B:2 cambia el valor del parametro BSIMUDISP muestra los valores actuales de los estados

Para grabar una MACRO hacemos lo siguiente:

MACRO MVDPOLSYST VDPOLAXES H -5 5 V -6 6PLOT X2(X1)FOR i=-4 TO 4 STEP 2INIT X2[VDPOL]:iFOR j=-4 TO 4 STEP 0.2INIT X1[VDPOL]:jSIMU 0 7NEXT jNEXT iEND

Figura 1: Grafica de Plano de Fase que se vera masadelante

13

1.1.2. Sistemas lineales de primer orden

Recordando algunas propiedades logarıtmicas:

ln(xy) = ln(x) + ln(y) ln(expx) = x

ln(exp) = 1

x ln(exp) = x

ln(xy ) = ln(y) − ln(x) expln(x) = x porque

ln(expln(x)) = ln(x)ln(x) ln(exp) = ln(x)

ln(xy) = y ln(x)

Ecuacion diferencial lineal escalar:Homogenea No homogenea

x = ax x = ax + bu

Solucion a la ecuacion diferencial homogenea: (por separacion de variables)

dx

x= adt ⇒

∫ x(t)

x(0)

dx

x= a

∫ t

0

dt ⇒ lnx|x(t)x(0) = at|t0 ⇒ lnx(t) − lnx(0) = at ⇒ ln

x(t)

x(0)= at

⇒ expln(x(t)x(0 ) = expat ⇒ x(t)

x(0= expat ⇒ x(t) = eatx(0)

En un sistema lineal podemos obtener regularmentela expresion analıtica de su respuesta transitoria. Encontraste, en los sistemas no lineales, no es posibleencontrar una expresion analıtica cerrada de su re-spuesta Otra caracterıstica de sistemas lineales in-variantes en el tiempo es que la respuesta temporala la derivada temporal de la entrada del sistema lin-eal se puede obtener derivando la salida del sistemaobtenido con la entrada original. Los sistemas lin-eales variantes en el tiempo y los sistemas no linealesno poseen esta caracterıstica.

Ejemplo de un sistema de primer orden

FDT → C(s)

R(s)=

1Ts

1 + 1Ts

=1

Ts + 1=

1T

s + 1T

14

1. Respuesta al impulso unitario [δ(t)]

Algunas propiedades de la transformada de Laplace:L af(t) = af(s)

L −1

1s+a

= exp−at

r(t) =

1; t = 0

0; t 6= 0

L−→ R(s) = 1

C(s) =1T

s + 1T

· 1 L−1

−−−→ c(t) =1

T· e− 1

Tt

c(t) =1

T· e− 1

Tt

2. Respuesta al escalon unitario

r(t) =

1; t ≥ 0

0; t < 0

L−→ R(s) =1

s

C(s) =1T

s + 1T

· 1

s=

A

s + 1T

+B

s

A =1T

s|s=−

1T

= −1

B =1T

s + 1T

|s=0 = 1

C(s) =1

s− 1

s + 1T

L−1

−−−→ c(t) = 1 − e−1T

t

15

c(t) = 1 − e−1T

t

3. Respuesta a la rampa unitaria

r(t) =

t; t ≥ 0

0; t < 0

L−→ R(s) =1

s2

C(s) =1T

s + 1T

· 1

s2=

A

s + 1T

+B1

s2+

B2

s

A =1T

s2|s=−

1T

= T

B1 =1T

s + 1T

|s=0 = 1

d

ds

[ 1T

s + 1T

1

s2s2

] ∣∣∣∣s=0

=d

ds

[A

s + 1T

s2

] ∣∣∣∣s=0

+d

ds

[B1

s2s2

] ∣∣∣∣s=0

+d

ds

[B2

ss2

] ∣∣∣∣s=0

B2 =d

ds

[ 1T

s + 1T

1

s2s2

] ∣∣∣∣s=0

=d

ds

[ 1T

s + 1T

]

|s=0 = −T

= A

(s + 1

T

)2s− s2 d

ds

(s + 1

T

)

(s + 1

T

)2

∣∣∣∣s=0

+d

dsB1

∣∣∣∣s=0

+d

dsB2s

∣∣∣∣s=0

= B2

C(s) =T

s + 1T

+1

s2− T

s

L−1

−−−→ c(t) = Te−1T

t + t − T

Derivadasddx

uv =

v dudx

−u dvdx

v2

Comprobar la relacion de las salidas derivando las entradas:

r(t) = t → Rampad

dt

[r(t)

]= 1 → Escalon

16

c(t) = Te−1T

t + t − T

Si derivamos con respecto al tiempo la respuesta del sistema a la rampa obtenemos la respuesta alescalon unitario:

d

dt

[Te−

1T

t + t − T]= −T

(1

T

)

e−1T

t + 1 = 1 − e−1T

t

u(t) = 1 → Escalond

dt

[u(t)

]= δ(t) → Impulso

Si derivamos con respecto al tiempo la respuesta del sistema al escalon obtenemos la respuesta alimpulso unitario:

d

dt

[1 − e−

1T

t]= −

(

− 1

T

)

e−1T

t =1

Te−

1T

t

1.1.3. Sistemas lineales de segundo orden

Modelo de un servomecanismo que utiliza un motor de cd

r =referencia de posicion angular

ia =corriente de armadura

Ra =resistencia armadura

La =inductancia armadura

θ =posicion del eje del motor

τ =par ejercido por el motor

c =posicion a la salida del tren de engranajes,

posicion rotacional de la carga

k1 =ganancia del amplificador

ei =senal de error = r − c

Modelo electrico

17

k1ei = Ladiadt

+ iaRa + fcm

k1ei = Ladiadt

+ iaRa + k3dθ

dt

Donde:

fcm = fuerza contraelectromotriz = k3dθ

dtk3 = constante de la fcm

Modelo mecanico

Jod2θ

dt+ fo

dθ

dt= τ

Jod2θ

dt+ fo

dθ

dt= k2ia

Donde:

Jo = momento de inercia del motor,

engranes y carga referido al eje del motor

fo = coeficiente de friccion viscosa

K2 = constante del par

Jod2θ

dt= fuerza para acelerar el cuerpo

fodθ

dt= fuerza para vencer friccion

De los dos modelos, obtenemos ahora la funcion de transferencia:

1. Obtener L con condiciones iniciales iguales a cero de los dos modelos:

LasIa(s) + RaIa(s) + K3sθ(s) = K1ei(s) (1)

Jos2θ(s) + fosθ(s) = K2ia(s) (2)

2. La idea es obtener θ(s)E(s) , por lo que hay que despejar Ia(s) de 1 y sustituirla en 2:

Ia(s)[Las + Ra] + K3sθ(s) = K1E(s)

Ia(s) =K1E(s) − K3sθ(s)

Las + Ra

Jos2θ(s) + fosθ(s) = K2

[K1E(s) − K3sθ(s)

Las + Ra

]

[Jos

2θ(s) + fosθ(s)](Las + Ra) = K1K2E(s) − K2K3sθ(s)

θ(s)[(Jos

2 + fos)(Las + Ra) + K2K3s]= K1K2E(s)

θ(s)

E(s)=

K1K2

s(Jos + fo)(Las + Ra) + K2K3s

3. Se supone que la relacion de engranajes es tal que C(s) = nθ(s), donde n es la relacion deengranajes. Y como E(s) = R(s) − C(s), donde R(s) es la referencia de posicion y C(s) es laposicion a la salida del tren de engranajes.El diagrama a bloques del sistema en lazo cerrado del servomecanismo de posicion resulta:

4. Como se puede observar, resulta un sistema de tercer orden, pero, debido a que regularmenteel valor de la inductancia es pequeno, se despreciara:

C(s)

E(s)=

K1K2n

s[

Ra(Jos + fo) + K2K3

] =K1K2n

RaJos2 + Rafos + K2K3s=

K1K2nRa

Jos2 +[

fo + K2K3

Ra

]

s

18

5. Definimos ahora:

J =Jo

n2→ Momento de inercia referido al eje de salida

f =fo + K2K3

Ra

n2→ coeficiente de friccion viscosa referido al eje de salida

K =K1K2

nRa→ ganancia equivalente referido al eje de salida

De tal manera que la FDT podra ser expresada como:

C(s)

E(s)=

K

Js2 + fs=

K

s(Js + f)subamor

6. La FDT del sistema en lazo cerrado es:

C(s)

R(s)=

Ks(Js+f)

1 + Ks(Js+f)

=K

s(Js + f) + K=

K

Js2 + fs + K

Es conveniente para el analisis temporal de los sistemas de segundo orden, expresar la FDTde lazo cerrado en la siguiente forma:

C(s)

R(s)=

ω2n

s2 + 2ζωns + ω2n

Donde ωn es la frecuencia natural no amortiguada y ζ es el factor de amortiguamiento. Estos

19

valores se encuentran igualando las dos ecuaciones:

C(s)

R(s)=

KJ

s2 + fJ + K

J

=ω2

n

s2 + 2ζωns + ω2n

(3)

ω2n =

K

J→ ωn =

√

K

J(4)

2ζωn =f

J

ζ =f

J

1

2ωn=

f

J

1

2√

KJ

Para obtener la respuesta transitoria, obtendremos las raıces caracterısticas del sistema de se-gundo orden:

s2 + 2ζωns + ω2n = 0

s1,2 =−2ζωn ±

√

(2ζωn)2 − 4ω2

n

2= −ζωn ± 1

2

√

4(ζωn)2 − 4ω2

n

s1,2 = −ζωn ± 1

22ωn

√

ζ2 − 1 = −ζωn ± ωn

√

(−1)(1 − ζ2)

s1,2 = −ζωn ± jωn

√

1 − ζ2

Por tanto se puede expresar la FDT de la siguiente manera:

C(s)

R(s)=

ω2n

(s + ζωn − jωn

√

1 − ζ2)(s + ζωn + jωn

√

1 − ζ2)(5)

Estudiaremos cuatro casos dependiendo del valor del factor de amortiguamiento:

1. 0 < ζ < 1Los polos son complejos conjugados y estan coloca-dos en el semiplano izquierdo de s. Se dice que elsistema es subamortiguado y la respuesta transi-toria presentara varias oscilaciones ante una entradaescalon.

Respuesta transitoria ante una entrada escalon

Para 0 < ζ < 1

La ecuacion (5) puede ser expresada como:

C(s)

R(s)=

ω2n

(s + ζωn − jωd)(s + ζωn + jωd)(6)

20

2. ζ = 1En este caso se dice que el sistema tiene amor-tiguamiento crıtico. Los polos son reales e iguales(s=s2 = −ζωn)

3. ζ > 1Se dice que el sistema es sobreamortiguado, esdecir, no presenta oscilaciones ante una entrada es-calon.

4. ζ = 0La respuesta ante una entrada escalon oscilara per-manentemente, cuya frecuencia sera ωn. Se le conocecomo sistema no amortiguado.

s2 = −ω2n s1,2 = ±jωn

Donde ωd es la frecuencia natural amortiguada y se expresa como: ωd = ωn

√

1 − ζ2.Para el caso de un escalon unitario (R(s) = 1

s ) tenemos pues:

C(s) =ω2

n

(s + ζωn − jωd)(s + ζωn + jωd)· 1

s

Recurrimos a la tecnica de fracciones parciales:

C(s) =α1s + α2

(s + ζωn − jωd)(s + ζωn + jωd)+

α3

s

21

Donde α1, α2, α3 son constantes por calcular.

C(s) =ω2

n

(s + ζωn − jωd)(s + ζωn + jωd)

1

s(s + ζωn − jωd)(s + ζωn + jωd)

∣∣∣∣s=−ζωn−jωd

=α1s + α2

(s + ζωn − jωd)(s + ζωn + jωd)(s + ζωn − jωd)(s + ζωn + jωd)

∣∣∣∣s=−ζωn−jωd

+α3

s(s + ζωn − jωd)

=0︷ ︸︸ ︷

(s + ζωn + jωd)

∣∣∣∣s=−ζωn−jωd

ω2n

s

∣∣∣∣s=−ζωn−jωd

=

[

α1s + α2

]∣∣∣∣s=−ζωn−jωd

ω2n

−ζωn − jωd= (−ζωn − jωd)α1 + α2

Multiplicar por el complejo conjugado para igualar las partes real e imaginaria:

ω2n

−ζωn − jωd· −ζωn − jωd

−ζωn − jωd=

−ζω3n + jω2

nωd

ζ2ω2n + ω2

d

−ζω3n

ζ2ω2n + ω2

d

+jω2

nωd

ζ2ω2n + ω2

d

= (−ζωnα1 + α2) − jωdα1

Igualar los coeficientes de la parte real e imaginaria y encontrar los valores de las tres constantes:

−ζω3n

ζ2ω2n + ω2

d

= −ζωnα1 + α2 yjω2

nωd

ζ2ω2n + ω2

d

= −jωdα1

ω2nωd

ζ2ω2n + ω2

d

= −ωdα1

α1 = − ω2n

ζ2ω2n + ω2

d

= − ω2n

ζ2ω2n + ω2

n(1 − ζ2)= −1

α2 =−ζω3

n

ζ2ω2n + ω2

d

+ ζωn(−1) =−ζω3

n

ζ2ω2n + ω2

n(1 − ζ2)− ζωn =

−ζω3n

ω2n

− ζωn = −2ζωn

α3 =ω2

n

(s + ζωn − jωd)(s + ζωn + jωd)

∣∣∣∣s=0

=ω2

n

ζ2ω2n + ω2

d

=ω2

n

ζ2ω2n + ω2

n(1 − ζ2)= 1

Por tanto:

C(s) =1

s− s + 2ζωn

(s + ζωn − jωd)(s + ζωn + jωd)

Para utilizar las tablas de transformacion inversa de Laplace, es conveniente expresar C(s) como:

C(s) =1

s− s + ζωn

(s + ζωn)2 + ω2d

− ζωn

(s + ζωn)2 + ω2d

22

Las tablas que vamos a utilizar, utilizando el teorema de traslacion, son:

L−1

s + ζωn

(s + ζωn)2 + ω2d

= e−ζωntL

−1

s

s2 + ω2d

= e−ζωnt cos(ωdt)

L−1

ωd

(s + ζωn)2 + ω2d

= e−ζωntL

−1

ωd

s2 + ω2d

= e−ζωnt sin(ωdt)

C(s) =1

s− s + ζωn

(s + ζωn)2 + ω2d

− ζωn

(s + ζωn)2 + ω2d

(7)

c(t) = 1 − e−ζωnt cos(ωdt) −ζωn

ωd

[

e−ζωnt sin(ωdt)

]

(8)

c(t) = 1 − e−ζωnt

[

cos(ωdt) +ζ

√

1 − ζ2sin(ωdt)

]

(9)

c(t) = 1 − e−ζωnt

√

1 − ζ2

[√

1 − ζ2 cos(ωdt) + ζ sin(ωdt)

]

(10)

c(t) tambien puede ser expresado como:

c(t) = 1 − e−ζωnt

√

1 − ζ2sin(ωdt + β)

Donde β = tan−1

(√1−ζ2

ζ

)

Demostracion: Si de un triangulo rectangulo obtenemos las siguientesrelaciones

sin β =√

1 − ζ2

cosβ = ζ

tan β =

√

1 − ζ2

ζ

Podemos expresar entonces c(t):

c(t) = 1 − e−ζωnt

√

1 − ζ2

[

sin β cos(ωdt) + cos β sin(ωdt)

]

Y utilizando la identidad:

sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) = sin(a + b)

Simplificamos:

c(t) = 1 − e−ζωnt

√

1 − ζ2sin(ωdt + β)

Se puede ver que la frecuencia de oscilacion del transitorio es ωd (frecuencia natural amortigua-

da). La frecuencia ωd varıa con la relacion de amortiguacion ya que ωd = ωn

√

1 − ζ2.

23

La senal de error resulta ser:

e(t) = r(t) − c(t) = 1 − 1 +e−ζωnt

√

1 − ζ2sin(ωdt + β)

El error presenta una oscilacion sinusoidal amortiguada:

t → ∞, e(t) → 0

Para ζ = 0

Relacion de amortiguamiento nula. La respuesta es no amortiguada y presenta oscilacion sostenida.Reemplazando ζ = 0 en (9):

c(t) = 1 − cos(ωdt) = 1 − cos(ωn

√

1 − ζ2t)

Resultando finalmente:

c(t) = 1 − cos(ωnt)

ωn representa la frecuencia de oscilacion no amor-tiguada, frecuencia a la que oscilara el sistema si elamortiguamiento se reduce a cero.

Para ζ = 1

La frecuencia natural amortiguada ωd = ωn

√

1 − ζ2 es menor que la frecuencia natural no amor-tiguada. Un incremento en ζ reduce la frecuencia natural amortiguada. Si ζ > 1, la respuesta essobreamortiguada, no produce oscilacion de (5), con ζ = 1, tenemos:

C(s)

R(s)=

ω2n

(s + ζωn)2=

ω2n

(s + ωn)2

24

Para una entrada escalon unitario tenemos:

C(s) =ω2

n

(s + ζωn)2· 1

s=

α1

(s + ζωn)2+

α3

s + ζωn+

α1

s

α1 =ω2

n

s

∣∣∣∣s=−ζωn

=ω2

n

−ζωn= −ωn

ζ

∣∣∣∣ζ=1

α1 = −ωn

α2 =d

ds

ω2

n

s

∣∣∣∣s=−ζωn

=−ω2

n

s2

∣∣∣∣s=−ζωn

=−ω2

n

ζ2ω2n

=−1

ζ2

∣∣∣∣ζ=1

α2 = −1

α3 =ω2

n

s + ζωn)2

∣∣∣∣s=0

=ω2

n

ζ2ω2n

=1

ζ2

∣∣∣∣ζ=1

α3 = 1

C(s) = − ωn

(s + ζωn)2− 1

s + ζωn+

1

s

Las tablas que vamos a utilizar son:

L−1

1

(s + ζωn)2

= e−ζωntL

−1

1

s2

= te−ζωnt

L−1

1

s + ζωn

= e−ζωnt

Por tanto,

c(t) = 1 − ωnte−ζωnt − e−ζωnt

como ζ = 1

c(t) = 1 − e−ζωnt(1 + ωnt)

ωn representa la frecuencia de oscilacion no amor-tiguada, frecuencia a la que oscilara el sistema si elamortiguamiento se reduce a cero.

Para ζ > 1

La respuesta es sobreamortiguada ya que los polos son negativos, reales y distintos. Otra forma deexpresar la FDT:

C(s)

R(s)=

ω2n

(s + ζωn + ωn

√

ζ2 − 1)(s + ζωn − ωn

√

ζ2 − 1)(11)

25

Ante una entrada escalon tenemos:

C(s) =ω2

n

(s + ζωn + ωn

√

ζ2 − 1)(s + ζωn − ωn

√

ζ2 − 1)· 1

s

C(s) =α1

s + ζωn + ωn

√

ζ2 − 1+

α2

s + ζωn − ωn

√

ζ2 − 1+

α3

s

α1 =ω2

n

(s + ζωn − ωn

√

ζ2 − 1)s

∣∣∣∣s=−ζωn−ωn

√ζ2

−1

=ω2

n

−2ωn

√

ζ2 − 1· 1

−ζωn − ωn

√

ζ2 − 1

=ω2

n

2ζω2n

√

ζ2 − 1 + 2ω2n(ζ2 − 1)

=1

2√

ζ2 − 1(ζ +√

ζ2 − 1)

α2 =ω2

n

(s + ζωn + ωn

√

ζ2 − 1)s

∣∣∣∣s=−ζωn+ωn

√ζ2

−1

=ω2

n

2ωn

√

ζ2 − 1· 1

−ζωn + ωn

√

ζ2 − 1

=1

2√

ζ2 − 1(−ζ +√

ζ2 − 1)=

−1

2√

ζ2 − 1(ζ −√

ζ2 − 1)

α3 =ω2

n

(s + ζωn + ωn

√

ζ2 − 1)(s + ζωn − ωn

√

ζ2 − 1)

∣∣∣∣s=0

=ω2

n

ζ2ω2n − ω2

n(ζ2 − 1)= 1

Aplicando la transformada de Laplace tenemos:

c(t) = 1 +e−

“

ζ+√

ζ2−1

”

ωnt

2√

ζ2 − 1(ζ +√

ζ2 − 1)− e

−

“

ζ−√

ζ2−1

”

ωnt

2√

ζ2 − 1(ζ −√

ζ2 − 1)

1.1.4. Definiciones de especificaciones de respuesta transitoria

1. Tiempo de retardo (td) [Time delay]. Es el tiempoque tarda la respuesta en alcanzar por primera vezla mitad del valor final.

26

2. Tiempo de crecimiento (tr) [Rise time]. Es el tiemporequerido para que la respuesta crezca:

del 10 al 90 %

del 5 al 95 %

del 0 al 100 %

3. Tiempo pico (tp)[Peak time]. Es el tiempo requeri-do por la respuesta para alcanzar el primer pico delsobreimpulso.

4. Sobreimpulso maximo (Mp)[Overshoot]. Es el valorpico maximo de la respuesta medido desde la unidad.El maximo sobreimpulso porcentual lo obtenemos:

Mp =c(tp) − c(∞)

c(∞)

5. Tiempo de establecimiento (ts)[Setting time]. Es eltiempo requerido por la respuesta para alcanzar ymantenerse dentro de determinado rango y alrededordel valor final (5 %)

1.1.5. Descomposicion de funciones de transferencia

Descomposicion directa. Metodo util para derivadas en el numerador de la FDT.Suponga:

C(s)

R(s)=

a0s2 + a1s + a2

b0s2 + b1s + b2

27

El objetivo es obtener la ecuacion de estado:

1. Exprese la FDT en potencias negativas de s:

C(s)

R(s)=

s−2[a0s2 + a1s + a2]

s−2[b0s2 + b1s + b2]=

a0 + a1s−1 + a2s

−2

b0 + b1s−1 + b2s−2

2. Multiplicar numerador y denominador por una variable auxiliar X(s):

C(s)

R(s)=

a0 + a1s−1 + a2s

−2

b0 + b1s−1 + b2s−2· X(s)

X(s)

3. Igualar los numeradores y denominadores respectivamente:

C(s) = a0X(s) + a1s−1X(s) + a2s

−2X(s)

R(s) = b0X(s) + b1s−1X(s) + b2s

−2X(s)

4. Exprese X(s) a partir de la ecuacion de entrada:

X(s) =1

b0R(s) − b1

b0s−1X(s) − b2

b0s−2X(s)

5. Dibuje el diagrama de estado. Como es usual, la salida de los integradores definen a las variablesde estado:

Ayudandonos de:

C(s) = a0

[1

b0r(s) − b1

b0s−1X(s) − b2

b0s−2X(s)

]

+ a1s−1X(s) + a2s

−2X(s)

la ecuacion de estado sera:

dX1

dt= X1 = X2

dX2

dt= X2 =

1

b0r(t) − b2

b0x1(t) −

b1

b0x2(t)

c(t) =

[

a2 −a0b2

b0

]

X1 +

[

a1 −a0b1

b0

]

X2 +

[a0

b0

]

r(t)

Sumar todas las ganancias desde los estados.

Simulacion del sistema de segundo orden.

C(s)

R(s)=

ω2n

s2 + 2ζωns + ω2n

(12)

C(s)

R(s)=

ω2ns−2

1 + 2ζωns−1 + ω2ns−2

· X(s)

X(s)

C(s) = ω2ns−2X(s)

R(s) = X(s) + 2ζωns−1X(s) + ω2ns−2X(s)

X(s) = R(s) − 2ζωns−1X(s) − ω2ns−2X(s)

28

Ecuaciones de estado

dX1

dt = X1 = X2

dX2

dt = X2 = R(t) − 2ζωnx2(t) − ω2nx1(t)

c(t) = ω2nX1(t)

Otra forma de expresar en variables de estado la ecuacion (12) es:

[s2 + 2ζωns + ω2n]C(s) = ω2

nR(s)

s2C(s) + 2ζωnsC(S) + ω2nC(s) = ω2

nR(s)

En el tiempo:d2

dt2c(t) + 2ζωn

d

dtc(t) + ω2

nc(t) = ω2nr(t)

Definir c(t) = X1 y X2 = X1 = ddt c(t). Por lo tanto:

X1 = X2

X2 = ω2nr(t) − 2ζωnX2 − ω2

nX1

c(t) = X1

El codigo en SIMNON para el sistema sera:

CONTINUOUS SYSTEM SEGORDEN”Inputs & OutputsOUTPUT C”States derivatives & timeSTATE X1 X2DER DX1 DX2TIME tEquationsDX1=X2DX2=-(WN*WN*X1)-(2*ZETA*WN*X2)+(WN*WN*R)C=X1”Parameter valuesWN:1ZETA:1R:1END

29

Ejemplo del comportamiento de un sistema no linealModelo simplificado de un modelo submarino:

v + |v|v = u

Donde: v: velocidad del vehıculo, u: entrada de control (combustible inyectado)

Aquı intuitivamente, cuando u = 1, implica que la respuesta en estado estacionario (Vss):

0 + |Vss|Vss = 1 → Vss = 1

Ahora, si u = 10:0 + |Vss|Vss = 10 → Vss =

√10 = 3,2

Sistema en simulacion:

CONTINUOUS SYSTEM PRIORDEN”Inputs & OutputsOUTPUT Y”States derivatives & timeSTATE X1DER DX1TIME tEquationsDX1=U-ABS(X1)*X1Y=X1”Parameter valuesY:IF t¡5 THEN 1 ELSE 0END

30

1.2. Analisis y diseno de sistemas no lineales

El problema de diseno de un controlador para un sistema consiste en construir un controladortal que un sistema en lazo cerrado presente ciertas caracterısticas de comportamiento deseadas yespecificadas previamente.Mientras que el problema de analisis radica en que dado un sistema la tarea es encontrar sus ca-racterısticas de comportamiento.Por lo tanto, los problemas de analisis y diseno de los sistemas de control estan intrınsecamenterelacionados.¿Por que el control no lineal?La razon de estudiar sistemas de control no lineales estriba en el hecho de que en la realidad lamayorıa de los sistemas son NO lineales.Un amplia area de aplicacion son: control de robots, control de procesos, control de sistemas meca-tronicos, control de sistemas biologicos, control espacial, etc.Razones de interes para estudiar los sistemas no lineales

1. Mejoramiento de sistemas de control existentes.A diferencia de los metodos de control lineal que trabajan en pequenos rangos de operacion,los controladores no lineales pueden manejar no linealidades en grandes rangos de operacion.

2. Analisis de no linealidades duras.Como friccion de Coulomb, histeresis, saturacion, zonas muertas, backlash (juego mecanico).

3. Tratan con incertidumbres en el modelo.Los controladores lineales suponen que conocen todos los parametros de un modelo; sin embar-go, sabemos que existen modelos que cambian sus parametros durante su operacion normal.Por ejemplo: la masa de una nave aerea (el combustible consumido afecta la masa inicial),masa en el elemento terminal de manipuladores roboticos (cambia el objeto manipulado, desdepequenas piezas hasta un motor por ejemplo), etc. Para estos casos son recomendables sistemasde control no lineal como control robusto y control adaptable.

4. Simplicidad en el diseno.Existen sistemas no lineales en los cuales es mas intuitivo y sencillo usar la dinamica propiano lineal del sistema para modificar su comportamiento a uno no deseado. Por ejemplo: elpendulo simple.

1.2.1. Comportamiento de sistemas no lineales

Los sistemas no lineales son descritos por ecuaciones diferenciales no lineales, donde podemostener no linealidades inherentes (fuerzas centrıpetas, fuerzas centrıfugas en movimientos de rotacion,friccion de Coulomb entre superficies de contacto, saturaciones de par en los motores, etc). Sea unsistema lineal descrito por:

x = Ax

Donde: x ∈ Rn: vector de estado, A ∈ R

n×n: matriz

Si A es no singular [det(A) 6= 0], el sistema tiene un unico punto de equilibrio xe : x = Axe = 0 ∀t ≥ 0).El punto de equilibrio es estable si los valores caracterısticos de A tienen parte real negativa y esindependiente de las condiciones iniciales. La solucion del sistema puede ser calculada en la forma

31

analıtica.En presencia de entrada externa, i.e.

x = Ax + Bu

donde: B ∈ Rn×m u ∈ R

m×1

Se satisface el principio de superposicion

La estabilidad en presencia de u del sistema x = Ax implica que a entradas acotadas tendremossalidas acotadas (limitadas).

El comportamiento de sistemas no lineales es mas complejo:

1. La respuesta de un sistema no lineal no obedece al principio de superposicion de las entradas.

2. A diferentes magnitudes en la entrada, la salida tendra comportamiento diferente.

3. Algunos presentan multiples puntos de equilibrio. Ejemplo:

x = −x + x2

Igualando x = 0

x(x − 1) = 0

x = 0

x = 1

4. Presencia de entradas externas acotadas , la estabilidad puede depender del valor de la entrada.Por ejemplo, sea el sistema bilineal x = xu, si la entrada u = −1:

x = −x y x(t) → 0

o si u = 1:x = x y x(t) → ∞

5. La presencia de ciclos lımites, es decir, oscilaciones aisladas de magnitud fija y periodo fijo sinentrada externa. Por ejemplo: la ecuacion de Van der Pol

mx + 2c(x2 − 1)x + kx = 0

Esta ecuacion puede ser considerada como un sistema masa-resorte-amortiguador. El sistemaresponde de la siguiente manera:

6. Un sistema no lineal puede presentar el fenomeno de bifurcacion, lo cual significa que, si losparametros cambian tambien puede cambiar el numero de puntos de equilibrio.

7. Un sistema no lineal puede tambien presentar el fenomenos de caos o respuestas caoticas, locual significa que la salida es extremadamente sensible a las condiciones iniciales. Ejemplo:

x + 0,05x + x3 = 7,5u(t)

1.3. Analisis con el plano de fase

Sea un sistema de segundo orden:x + f(x, x) = 0 (13)

Se puede presentar la solucion de (13) en forma temporal:

32

Diferentes respuestas con condiciones inicialessimilares.

Otra manera de representar las soluciones es tomar x y x como coordenadas, donde a cada estadodel sistema corresponde un punto en el plano x,x. Esta curva se denomina trayectoria y a este tipode representacion se le denomina en plano de fase.Metodo del plano de fase (introducido por Henry Poincare)Usado para obtener graficamente la solucion de dos ecuaciones diferenciales de primer orden autono-

33

mas o invariantes en el tiempo:

dx1

dt= f1(x1, x2) (14)

dx2

dt= f2(x1, x2) (15)

donde: f1 y f2 pueden ser lineales o no lineales, y x =[

x1x2

].

El plano con coordenadas rectangulares x1 y x2 se le denomina plano de fase o plano de estado.Frecuentemente (14) y (15) toman la forma siguiente:

dx1

dt= x2

dx2

dt= f(x1, x2)

Una ecuacion de estado bien definida se representa por la primera derivada temporal de los estadosen el lado izquierdo de la ecuacion, mientras que en el lado derecho de la ecuacion tendremos a losestados y las entradas.Puntos singularesDel teorema fundamental de unicidad de solucion de ecuaciones diferenciales simultaneas se sabeque la solucion de las ecuaciones (14) y (15) para una condicion inicial dada es unica, siempre ycuando f1(x1, x2) y f2(x1, x2) sean analıticas:

dx1

dt= f1(x1, x2)

dx2

dt= f2(x1, x2)

34

Una funcion es analıtica en un punto dado si es posible obtener un desarrollo en serie de Tayloralrededor del punto dado. Este resultado no se aplica a los puntos en los que simultaneamentef1(x1, x2) = 0 y f2(x1, x2) = 0. Estos puntos se denominan puntos singulares. Los puntos son puntosde equilibrio.Obtencion de ecuaciones diferenciales de primer orden para sistemas de segundo ordenDe (14) y (15) podemos obtener:

dx2

dx1=

f2(x1, x2)

f1(x1, x2)(16)

la cual es una ecuacion diferencial de primer orden que relaciona x1 y x2. Esta ecuacion da lapendiente de la tangente a la trayectoria que pasa por el punto x1,x2. La solucion de (16) es:

x2 = φ(x1) (17)

la cual representa una curva en el plano de fase y se le denomina trayectoria.Diagramas de plano de faseUna familia de trayectorias se denomina diagrama de plano de fase. Importante:

Como hay una y solo una trayectoria que pasa por cualquier punto ordinario en el plano defase, las trayectorias generadas por diversas condiciones iniciales, no se cruzan entre sı, exceptoen los puntos singulares.

En los puntos singulares, dx2

dx1es indeterminado, un numero infinito de trayectorias pueden

aproximarse o abandonar un punto singular.

Ejemplo: sea el sistemax + x + x = 0 (18)

Definimos

x1 = xdx1

dt= x2

dx2

dt= −x2 − x1

La ecuacion (18) da:dx2

dtdx1

dt

=dx2

dx1=

−x2 − x1

x2

Los puntos de equilibrio se encuentran de x2 = 0 y −x1 − x2 = 0, despejando entonces obtenemosun solo punto de equilibrio en el origen del plano de fase:

[x1

x2

]

=

[00

]

Metodos para construir trayectorias: analıtico y graficoLos metodos analıticos son utiles para los sistemas cuyas ecuaciones diferenciales son simples ysegmento-lineales.Los metodos graficos son utiles cuando es tedioso, difıcil o incluso imposible resolver la ecuaciondiferencial dada analıticamente. Se emplea tanto para ecuaciones lineales y no lineales. Estos meto-dos dan directamente diagramas de trayectorias en el plano de fase. No muy exacto si se hacenmanualmente.Metodos analıticos para trazar trayectorias

35

1. Integrar la ecuacion (16) para obtener (17) (aplica solo si la ecuacion es integrable).

2. Obtener x1 y x2 como funciones del tiempo y luego eliminar el tiempo de esas ecuaciones(aplica solo si es facil el procedimiento de eliminar el tiempo).

Ejemplo: sea el sistema de segundo orden

x + ω2x = 0 (19)

Antes de resolver la ecuacion, notese que x puede ser expresada como: x = dxdt

o x = xdx/dtdx/dt

. Por

tanto (19) puede ser expresada como:

xx

dx+ ω2x = 0∫

xdx = −ω2

∫

xdx

x2

2|x(t)x(0) = −ω2 x2

2|x(t)x(0)

x(t)2

2− x(0)2

2= −ω2

[x(t)2

2− x(0)2

2

]

x(t)2

+ ω2x(t)2

= x(0)2

+ ω2x(0)2

x(t)2

ω2+ x(t)

2=

x(0)2

ω2+ x(0)

2

Recordando la ecuacion del cırculo: x2 + y2 = r2

x(t)2

ω2+ x(t)

2= A2

donde A = constante determinada por las condiciones iniciales

A =

√

x(0)2

ω2+ x(0)2

Tambien puede ser resulta por el segundo metodo analıtico:

Lx + ω2x = 0

= s2x(s) − sx(0) − x(0) + ω2x(s) = 0

x(s)[s2 + ω2] = sx(0) + x(0)

x(s) =sx(0) + x(0)

s2 + ω2

x(s) = x(0)s

s2 + ω2+

x(0)

ω

ω

s2 + ω2

Aplicando: L−1

as + b

s2 + ω2

L−1

ω

s2 + ω2

= sen(ωt) L−1

s

s2 + ω2

= cos(ωt)

36

x(t) = x(0) cos(ωt) +x(0)

ωsin ωt

x(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt)

con:

A = x(0)

B = x(0)ω

C =√

A2 + B2

Para esto definimos:

cos(α) =A

C, sen(α) =

B

C

luego tenemos:

tan(α) =sen(α)

cos(α)=

B/C

A/C=

B

A

por tanto:

α = tan−1(B

A)

Luego, podemos expresar:

x(t) = A cos(ωt) + B sen(ωt)

= C cos(α) cos(ωt) + C sen(α) sen(ωt)

= C

[

cos(α) cos(ωt) + sen(α) sen(ωt)

]

Aplicando identidades podemos expresar:

x(t) = C cos(ωt − α)

donde usamos la identidad (formula de adicion)

cos(α) cos(ωt) + sen(α) sen(ωt) = cos(ωt − α)

Donde C y α son constantes a determinar por las condiciones iniciales. Entonces obtendremos lossiguientes valores:

x(t) = −Cω sin(ωt − α)

x(t)2

ω2= C2 sin2(ωt − α)

x(t)2

= C2 cos2(ωt + α)

Por tanto, aplicando la identidad cos2 θ + sin2 θ = 1 para eliminar el tiempo:

x2

ω2+ x2 = C2

Recuerde que la ecuacion de una circunferencia de radio R con centro en x0, y0 es

(x − x0)2 + (y − y0)

2 = R2

37

Ejemplo: sea la siguiente ecuacion diferencial de segundo orden:

x = −M (20)

donde M es constante y las condiciones iniciales son: x(0) = X0 y x(0) = 0. La ecuacion se puedeescribir como:

xdx

dx= −M

∫

xdx = −M

∫

dx

x2

2|x(t)0 = −Mx|x(t)

0

x2(t)

2= −M [x(t) − x0]

x2(t) = 2M [x0 − x(t)]

Notese que la ecuacion de una parabola con eje paralelo al eje x es

(y − y0)2 = 4a[x− x0]

Para M = 1Notese como para x positivas las lıneas van hacia laderechamientras que para −x las lıneas van hacia la izquier-da.

Para M = −1Notese como para x positivas las lıneas van hacia laderechamientras que para −x las lıneas van hacia la izquier-da.

38

Tambien pueden obtenerse las trayectorias eliminando el tiempo en las respuestas temporales delos estados:

Lx = −M

= s2x(s) − sx(0) − x(0) = −M

scomox(0) = 0

x(s) =−M/s + sx(0)

s2= −M

s3+

x(0)

s

Aplicar L−1

1

sn

=tn

(n − 1)!

x(t) = −Mt2

2+ X0 (21)

De aquı obtenemos

x(t) = −Mt

x2(t) = M2t2

t2 =x2(t)

M2

Procedemos ahora a eliminar el tiempo sustituyendo este valor en (21):

x(t) = − · x2(t)

2M+ X0

x2(t) = 2M(X0 − x(t))

Metodos graficos para el trazado de trayectorias

Puede haber simetrıa en los diagramas de plano de fase:

39

Simetrıa con respecto al eje xSea:

x + f(x, x) = 0

xdx

dx= −f(x, x)

dx

dx= −f(x, x)

x

Para que las trayectorias sean simetricas con respecto al eje x, la pendiente dxdx

debe ser igual perode signo contrario en x > 0 y x < 0:

dx

dx= −f(x, x)

x

Para x > 0

−dx

dx= −

[

−f(x,−x)

−x

]

Para x < 0

Por tanto,

−f(x, x)

x= −

[

−f(x,−x)

−x

]

f(x, x) = f(x,−x)

40

Ejemplo: Sea el sistema

x + a|x| + x = 0

x + f(x, x) = 0

f(x, x) = a|x|+ x

f(x,−x) = a| − x| + x

= a|x|+ x

luego:f(x, x) = f(x,−x)

es decir, es simetrico respecto al eje x.

STATE x1 x2DER dx1 dx2x1:0x2:0dx1 = x2dx2 = -a*abs(x2)-x1a = 1Comandos: MACRO MSIM5SYST SIM5AXES H -130 20 V -70 70PLOT x2(x1)FOR i=0 TO 20 STEP 0.5INIT x1[SIM5]:iSIMU 0 8NEXT iENDMSIM5

41

Simetrıa con respecto al eje xEn este caso la pendiente dx

dxdebe ser igual pero de signo opuesto en x > 0 y x < 0:

dxdx = −f(x,x)

x para x > 0

−dxdx = −

[

−f(−x,x)x

]

para x < 0

f(x, x) = −f(−x, x)

Simetrıa tanto al eje x como al eje xEn este caso se deben cumplir simultaneamente las dos condiciones anteriores:

• Para Caso 1, simetrıa con respecto a x

• Para Caso 2, simetrıa con respecto a x

f(x,−x) = −f(−x, x)−f(x,−x) = f(−x, x)

f(−x, x) = −f(x,−x)

Metodo graficos para el trazado de trayectorias. Metodo de las isoclinas

Este metodo es util para trazar el plano de fase sin resolver las ecuaciones diferenciales y se aplicaa ecuaciones de primer orden de la siguiente forma:

dx2

dx1=

f2(x1, x2)

f1(x1, x2)(22)

donde f1 y f2 son analıticas. Aquı la variable independiente es x1 y la dependiente es x2. De laecuacion (22) podemos obtener el lugar de la pendiente constante de las trayectorias. Es decir, ellugar donde

dx2

dx1= α constante (23)

De (22) y (23) tenemos que:f2(x1, x2)

f1(x1, x2)= α

42

Ejemplo: Sea el sistema

x + ω2x = 0

x + f(x, x) = 0

f(x, x) = ω2xf(x,−x) = ω2x

Simetrıa conrespecto aleje x

f(x, x) = ω2x−f(−x, x) = −ω2(−x) = ω2x

Simetrıa conrespecto aleje x

STATES x1 x2DER dx1 dx2x1:0x2:0dx1=x2dx2=-omega*omega*x1omega=1Comandos:MACRO MSIM4SYST SIM4AXES H -15 15 V -15 15PLOT x2(x1)FOR i=1 TO 10 STEP 1INIT x1[SIM4]:iFOR j=1 TO 10 STEP 1INIT x2[SIM4]:jSIMU 0 10NEXT jNEXT iENDMSIM4

43

El lugar de los puntos en que las trayectorias tienen una pendiente dada se denomina una isoclina.Su importancia radica en que si se trazan las isoclinas correspondientes a diversos valores de α sepueden obtener los campos de direcciones de las tangentes a las trayectorias.Ejemplo de un caso tıpico de un sistema de segundo orden

Sea la ecuacion diferencialx + 2ζωx + ω2x = 0 (24)

La cual se puede escribir como:

xdx

dx+ 2ζωx + ω2x = 0

Defina ahora dxdx = α donde α es una constante. Luego tendremos:

αx + 2ζωx + ω2x = 0

[α + 2ζω]x = −ω2x

x = − ω2

α + 2ζωx (25)

Como ω, ζ son constantes y α es el parametro constante de interes; la ecuacion (25) representa unaISOCLINA, y es, en este caso, la ecuacion de una recta.Las isoclinas para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales son lıneas rectas que pasan a travesdel origen del plano de fase.Tome por ejemplo ω = 1, ζ = 0,5; en este caso:

x = − 12

α + 2(0,5)(1)x = − x

α + 1

Para α = −1,2x = 5x

44

Para α = −1:

x =1

−1 + (2)(0,5)(1)x =

Pendiente infinita︷︸︸︷

−1

0x

Ahora para encontrar la pendiente entre dos trayectorias: Al unir A y B con una pendiente de -1.1

Para el punto A sabemos que α = −1Para el punto B sabemos que α = −1,2La pendiente de la trayectoria entre A y B sera:

αA + αB

2=

−1 − 1,2

2= −1,1

y repetir el procedimiento con el resto de las isoclinas formamos la trayectoria mostrada. ENTREMAS PUNTOS, MAS EXACTO.

Otra manera es trazar las rectas isoclinas y luego encontrar α (pendiente de la trayectoria en unpunto dado). Con este fin notese que (25) es equivalente a:

x

x= − ω2

α + 2ζω

Defina ahora xx = tan θ, es decir la pendiente de la recta isoclina.

Por tanto:

tan(θ) = − ω2

α + 2ζω

(α + 2ζω) tan(θ) = −ω2

α tan(θ) = −ω2 − 2ζω tan(θ)

α = − 1

tan(θ)[ω2 + 2ζω tan(θ)

α = −[

ω2

tan θ+ 2ζω

]

45

Ejemplo:Obtener el diagrama de plano de fase de la siguiente ecuacion usando metodo de las isoclinas:

x + a|x| + x = 0

donde a > 0.Especificamente en estos casos donde se involucran valores absolutos o no linealidades duras, esrecomendable construir el plano de fase por tramos:

Para x > 0 tenemos:x + ax + x = 0

Para x < 0 tenemos:x− ax + x = 0

Resulta que en el semiplano superior (x > 0), la ecuacion de la isoclina es:

xdx

dx︸︷︷︸

α

+ax + x = 0

[α + a] x + x = 0

x = − 1

a + αx

y en el semiplano inferior (x < 0), la ecuacion de la isoclina es:

xdx

dx︸︷︷︸

α

−ax + x = 0

[α − a] x + x = 0

x = − 1

(−a + α)x

1.4. Sistemas no lineales de segundo orden

1.4.1. Comportamiento de sistemas no lineales alrededor de los puntos singulares ode equilibrio

Aproximacion de sistemas no linealesSuponemos que las variables se desvıan poco alrededor de un punto de operacion x. Sea y = f(x)en las condiciones de operacion y, x.

46

Desarrollo de Series de Taylor

y = f(x) = f(x) +

[∂f

∂x|x=x · [x − x]

]

+

[1

2!· ∂2f

∂x2|x=x · [x− x]

2

]

+

[

t.o.s

]

donde t.o.s son los terminos de orden superior.

Suponga ahora que y es funcion de dos variables: y = f(x1, x2), donde las condiciones deoperacion x1, x2 son constantes. Su expansion en series de Taylor sera:

y = f(x1 , x2) = f(x1, x2) +

[∂f

∂x1|x1,x2 · [x1 − x1] +

∂f

∂x2|x1,x2 · [x2 − x2]

]

+1

2!·[∂2f

∂x21

|x1,x2 · [x1 − x1]2

+ 2∂2f

∂x1∂x2|x1,x2 · [x1 − x1] · [x2 − x2]

+∂2f

∂x22

|x1,x2 · [x2 − x2]2

]

+

[

t.o.s

]

1.4.2. Analisis de las trayectorias de sistemas de segundo orden en las cercanıas delos puntos singulares

Conociendo:

dx1

dt= f1(x1, x2) (26)

dx2

dt= f2(x1, x2) (27)

Donde f1 y f2 son funciones analıticas de x1 y x2 en las cercanıas del punto de operacion.Supongase que el origen del plano de estado:

[x1x2

]=

[00

]es un punto de equilibrio o punto singular

del sistema conformado por (26) y (27).Se procede ahora a desarrollar la serie de Taylor alrededor del punto x1 = 0, x2 = 0:

dx1

dt= f1(x1, x2) = f1(0, 0) +

[

a1︷ ︸︸ ︷

∂f1

∂x1

∣∣∣∣0,0

·[x1 − 0] +

b1︷ ︸︸ ︷

∂f1

∂x2

∣∣∣∣0,0

·[x2 − 0]

]

+1

2!·[

a11︷ ︸︸ ︷

∂2f1

∂x21

∣∣∣∣0,0

·[x1 − 0]2

+ 2

a12︷ ︸︸ ︷

∂2f1

∂x1∂x2

∣∣∣∣0,0

·[x1 − 0] · [x2 − 0]

+

a22︷ ︸︸ ︷

∂2f1

∂x22

∣∣∣∣0,0

·[x2 − 0]2

]

+

[

t.o.s

]

dx1

dt= f1(x1, x2) = a1x1 + b1x2 + [a11x

21 + a12x1x2 + a22x

22] + t.o.s (28)

dx2

dt= f2(x1, x2) = f2(0, 0) +

[∂f2

∂x1

∣∣∣∣0,0

· [x1 − 0] +∂f2

∂x2

∣∣∣∣0,0

· [x2 − 0]

]

+1

2!·[∂2f2

∂x21

∣∣∣∣0,0

· [x1 − 0]2

+ 2∂2f2

∂x1∂x2

∣∣∣∣0,0

· [x1 − 0] · [x2 − 0]

+∂2f2

∂x22

∣∣∣∣0,0

· [x2 − 0]2

]

+

[

t.o.s

]

47

dx2

dt= f2(x1, x2) = a2x1 + b2x2 + [b11x

21 + b12x1x2 + b22x

22] + t.o.s (29)

En el entorno del origen, en el que x1 y x2 son muy pequenas, (28) y (29) pueden ser aproximadastomando solo en cuenta sus terminos lineales, simplificandose a esta forma:

dx1

dt= a1x1 + b1x2 (30)

dx2

dt= a2x1 + b2x2 (31)

Es util encontrar las trayectorias solucion de (30) y (31) para mostrar su comportamiento en eldiagrama de fase.Las ecuaciones (30) y (31) pueden ser expresadas como una ecuacion diferencial de segundo ordenque ya hemos estudiado:

x + bx + cx = 0 (32)

Donde: x = x1, b = −a1 − b2, c = a1b2 − a2b1.Demostracion de como obtener (32) apartir de (30) y (31) (para esto usaremos el operador derivativop = d

dt).

a1x1 + b1x2 = px1

a2x1 + b2x2 = px2 ⇒ x2(p − b2) = a2x1 ⇒ x2 =a2x1

p − b2

px1 = a1x1 +

b1x2︷ ︸︸ ︷

a2b1x1

p − b2=

(p − b2)a1x1 + a2b1x1

p − b2=

a1px1 − a1b2x1 + a2b1x1

p − b2

p2x1 − pb2x1 = a1px1 − a1b2x1 + a2b1x1

p2x1 + (−a1 − b2)px1 + (a1b2 − a2b1)x1 = 0

Igualando con (32) tenemos que:

x = p2x1, x = px1

b = −a1 − b2

c = a1b2 − a2b1

Lo siguiente es encontrar el comportamiento de las trayectorias x(t), x(t) cerca del punto de equilibrio(en este caso el origen). Esto se vera analizando las raıces caracterısticas de la ecuacion (32). Lasraıces caracterısticas son:

λ2 + bλ + c = 0

λ1,2 =−b ±

√b2 − 4c

2

Suponemos que b y c son constantes diferentes de cero.Tendremos varios casos:

1. λ1, λ2: Raıces complejas conjugadas en el semiplano izquierdo. FOCO ESTABLE.

48

2. λ1, λ2: Raıces complejas conjugadas en el semiplano derecho. FOCO INESTABLE.

3. λ1, λ2: Raıces reales en el semiplano izquierdo. NODO ESTABLE.

4. λ1, λ2: Raıces reales en el semiplano derecho. NODO INESTABLE.

49

5. λ1, λ2: Raıces complejas conjugadas en el eje jω. CENTRAL.

6. λ1, λ2: Raıces reales una en el semiplano izquierdo y otra en el derecho. SILLA DE MONTAR.

50

1.4.3. Ciclos lımites

Representa una oscilacion en estado permanente, a la cual o de la cual convergen o divergentodas las trayectorias vecinas. Los ciclos lımites describen la amplitud y periodo de una oscilacionautosostenida. NOTA: No todas las oscilaciones autosostenidas o curvas cerradas en un plano defase son ciclos lımites.Por ejemplo, un sistema lineal conservativo en el cual no hay amortiguamiento para disipar energıa,no es ciclo lımite porque su diagrama en plano de fase representa una familia continua de curvascerradas, como lo es el caso de CENTRAL visto anteriormente.Un ciclo lımite se presenta en sistemas no lineales y es una autooscilacion aislada (alrededor de ellano hay otros ciclos).

Si tomamos una condicion inicial cerca del ciclo vahacia el, no forma una oscilacion dentro o fuera co-mo en el caso de central

Un sistema dado puede tener mas de un ciclo lımite. Los ciclos lımites son movimientos periodicospresentados unicamente por sistemas no lineales conservativos (que mantienen la energıa).Si el sistema es disipativo, la perdida neta de energıa a lo largo de cualquier trayectoria en el planode fase es positiva y no puede haber ciclo lımite; por tanto, el amortiguamiento debe ser cero paraque exista el ciclo lımite.Ejemplos:

1. Ciclo lımite estable: no importa el punto inicial, siempre tiende al ciclo lımite

x1 = x2 − x1(x21 + x2

2 − 1)

x2 = −x1 − x2(x21 + x2

2 − 1)

2. Ciclo lımite inestable: se mantiene mientras este en la frecuencia de oscilacion, al presentaruna mınima variacion tiende a cero o infinito

x1 = x2 + x1(x21 + x2

2 − 1)

x2 = −x1 + x2(x21 + x2

2 − 1)

3. Ciclo lımite semiestable: si la condicion inicial esta fuera del ciclo lımite tiende a el, pero siesta dentro del ciclo tiende a cero.

x1 = x2 − x1(x21 + x2

2 − 1)2

x2 = −x1 − x2(x21 + x2

2 − 1)2

51

4. Ciclo lımite semiestable: pero ahora, si la condicion inicial esta fuera del ciclo lımite tiende ainfinito, pero si esta dentro del ciclo tiende a el.

x1 = x2 + x1(x21 + x2

2 − 1)2

x2 = −x1 + x2(x21 + x2

2 − 1)2

Un ciclo lımite aislado presenta una oscilacion autosostenida con una amplitud y frecuencia dadas,independientemente de la condicion inicial.Ejemplo de construccion de un diagrama de fase por linealizacion en los puntos sin-

gulares

Obtener un diagrama de plano de fase del sistema:

x + 0,5x + 2x + x2 = 0 (33)

Las variables de estado:

x1 = x

x1 = x2 = x

x2 = x = −0,5x2 − 2x1 − x21

Para puntos singulares:

x2 = 0 ⇒ x1 = 0

−x21 − 2x1 − 0,5x2 = 0 ⇒ x2 = 0

x1(x1 + 2) = 0

x1 = 0 x1 = −2

x2 = 0 x2 = 0

Como se puede observa hay dos puntos singulares, por lo que el plano de fase queda de la siguientemanera:

El punto (0, 0) es un foco estable y el punto (−2, 0)es un punto silla de montar.En simulacion todo lo que esta dentro de la lıneaverde (aquella que toca el punto (−2, 0)) tiende alfoco estable, mientras que lo que esta fuera tiende ainfinito y genera un error.

52

Obtengamos ahora el comportamiento del sistema cerca de los puntos singulares; linealizaremosalrededor de cada punto de operacion.

1. En las vecindades del punto x1 = 0, x2 = 0 tenemos: (formula de expansion de series de Tayloralrededor del origen sin los terminos de segundo orden porque queremos linealizar)

y = f(x1, x2) +

[∂f

∂x1

∣∣∣∣x1,x2

· [x1 − x1]

]

+

[∂f

∂x2

∣∣∣∣x1,x2

· [x2 − x2]

]

y = 0 +

[

[−2x1 − 2]0,0 · [x1 − 0]

]

+

[

[−0,5]0,0 · [x2 − 0]

]

dx2

dt= −2x1 − 0,5x2

Regresando a una ecuacion diferencial de segundo orden:

dx1

dt= px1 = x2

dx2

dt+ 2x1 + 0,5x2 = 0

px2 = −2x1 − 0,5x2

(p + 0,5)x2 = −2x1

x2 =−2x1

p + 0,5

px1 = − 2x1

p + 0,5

p2x1 + 0,5px1 + 2x1 = 0

x + 0,5x + 2x = 0

Las raıces caracterısticas seran:

λ1,2 =−0,5 ±

√

0,52 − 4(2)

2λ1 = −0,25 + j1,391

λ2 = −0,25 − j1,391

Dado que son raıces complejas conjugadas en el semiplano izquierdo, el sistema se compor-tara como un FOCO ESTABLE alrededor del origen.

2. Ahora procedemos a evaluar la serie de Taylor pero en el punto x1 = −2, x2 = 0. Hacemos uncambio de variables en la ecuacion (33), reescribiendola para trasladar el punto de equilibrio

al origen; para esto definimos: y = x − x1 = x − (−2) = x + 2 . Por tanto:

x = y − 2 (34)

x = y (35)

x = y (36)

Sustituyendo estos valores en (33):

y + 0,5y + 2(y − 2) + (y − 2)2 = 0

53

y + 0,5y − 2y + y2 = 0 (37)

Ahora el punto de equilibrio estara en z1 = 0, z2 = 0, y definiremos z1 = y y z2 = y:

z2 + 0,5z2 − 2z1 + z21 = 0

Las variables de estado y la serie de Taylor:

dz1

dt= z2

f =dz2

dt= −0,5z2 + 2z1 − z2

1

dz2

dt= f(z1 , z2) +

∂f

∂z1

∣∣∣∣0,0

· [z1 − z1] +∂f

∂z2

∣∣∣∣0,0

· [z2 − z2]

dz2

dt= 0 +

[

[2 − 2z1]0,0 · [z1 − 0]

]

+

[

[−0,5]0,0 · [z2 − 0]

]

dz2

dt= 2z1 − 0,5z2

z2 + 0,5z2 − 2z1 = 0

y + 0,5y − 2y = 0

Las raıces caracterısticas seran:

λ1,2 =−0,5 ±

√

0,52 − 4(−2)

2

= −0,5

2±

√0,25 + 8

2= −0,25± 1,436

λ1 = 1,18

λ2 = −1,68

Dado que son raıces reales, pero una en el semiplano izquierdo y otra en el semiplano derecho,el sistema alrededor de los puntos x1 = −2, x2 = 0 presenta la forma SILLA DE MONTAR.

Pendulo simple

54

La ecuacion de este sistema es:

ml2 θ + mgl sin θ = 0

θ = −g

lsin θ

Obtener la ecuacion de la trayectoria y luego obtener un diagrama de fase:

θdθ

dθ= −g

lsin θ (38)

∫

θdθ = −g

l

∫

sin θdθ

1

2θ2 =

g

lcos θ + K

1

2θ2 − g

lcos θ = K Ecuacion de la trayectoria

La ecuacion de la isoclina dθdθ = α la obtenemos reescribiendo (38):

α = −ω2 sin θ

θ

donde ω =√

gl

luego la isoclina de (38) sera

θ =−g/l

αsen(θ)

θ = −A sen(θ) → las isoclinas son curvas sinusoidales

A =ω2

α

donde α = pendiente constante, y ω2 = gl. Linealizando tenemos

θ +g

lsen(θ) = 0

definimos

x1 = θ

x2 = θ

55

Aquı se presenta el plano de fase del pendulo simplesin friccion

por tanto

dx1

dt= x2

dx2

dt= −g

lsen(x1)

︸ ︷︷ ︸

f(x1,x2)

Puntos de equilibrio en:[

x1

x2

]

=

[00

]

[x1

x2

]

=

[π0

]

Linealizamos alrededor del punto x1 = 0, x2 = 0:

dx1

dt= x2

dx2

dt= f(0, 0) +

∂f

∂x1

∣∣∣∣ x1 = 0

x2 = 0

[x1 − 0] +∂f

∂x2

∣∣∣∣ x1 = 0

x2 = 0

[x2 − 0]

= 0 +[

−g

lcos(x1)

]

x1 = 0x2 = 0

x1

dx2

dt︸︷︷︸

θ

= −g

lx1

︸︷︷︸

θ

θ +g

lθ = 0

λ2θ +g

lθ = 0

[

λ2 +g

l

]

θ = 0

λ1,2 = ±√

−g

l

56

Haciendo un cambio de variable tenemos alrededor de x1 = π, x2 = 0

y = θ − π

y = θ

y = θ

θ +g

lsen(θ) = 0

Con la variable cambiada tenemos:

y +g

lsen(y + π) = 0

definimos z1 = y, z2 = y, z2 = y

z1 = z2

z2 = −g

lsen(z1 + π)

z2 = f(z1 , z2) = f(0, 0) +∂f

∂z1

∣∣∣∣ z1 = 0

z2 = 0

[z1 − 0] +∂f

∂z2

∣∣∣∣ z1 = 0

z2 = 0

[z2 − 0]

z2 = 0 +[

−g

lcos(z1 + π)

]

z1 = 0z2 = 0

[z1]

z2 = −g

lcos(π)z1 =

g

lz1

dz2

dt︸︷︷︸

y

=g

lz1

︸︷︷︸

y

y =g

ly

y − g

ly = 0

[

λ2 − g

l

]

y = 0

λ1 =

√g

l

λ2 = −√

g

l

57

2. Fundamentos de la teorıa de Lyapunov

2.1. Preliminares matematicas

2.1.1. Simbologıa

∀ Para todo∃ Existe∈ Pertenece a⇒ Implica

⇐⇒ Si y solo siR Conjunto de numeros reales

R+ Conjunto de numeros reales no negativos|x| Valor absoluto de x ∈ R

2.1.2. Vectores

Rn: espacio Euclidiano real de dimension n (vectores de dimension n)

Los vectores x estan formados por n numeros reales en forma de columna:

x =

x1

x2

...xn

donde: x1, x2 . . . xn ∈ Rn

Producto interno de dos vectores x, y ∈ Rn

xT y = x · y =(x1 x2 . . . xn

)

y1

y2

...yn

= x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn

xT y =

n∑

i=1

xiyi

Propiedades del producto interno o producto punto

1. ConmutativaxT y = yT x ∀x, y ∈ R

n

2. DistributivaxT [y + z] = xT y + xTz ∀x, y, z ∈ R

n

Norma Euclidiana

||x||2 = xT x =(x1 x2 . . . xn

)

x1

x2

...xn

= x21 + x2

2 + . . . + x2n

58

||x|| = +

√√√√

n∑

i=1

x2i

Nota: La norma siempre es positiva y en el espacio R3 denota el radio de una esfera.

Propiedades

1. ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0 ∈ Rn

2. ||x|| > 0 ∀x ∈ Rn si x 6= 0 ∈ R

n

3. ||αx|| = |α|||x|| ∀α ∈ R, x ∈ Rn

4. Desigualdad del triangulo: ||x|| − ||y|| ≤ ||x + y|| ≤ ||x||+ ||y|| ∀x, y ∈ Rn

5. Desigualdad de Schwarz: |xT y| ≤ ||x||||y|| ∀x, y ∈ Rn

Desigualdad de Schwarz|xTy| ≤ ||x||||y||

De la definicion de producto punto tenemos:

xT y = ||x||||y|| cosγ (39)

Obteniendo el valor absoluto en ambos lados de 38:

|xTy| = |||x||||y|| cosγ|= ||x||||y||| cosγ|≤ ||x||||y||max| cosγ|= ||x||||y||

Por tanto:|xTy| ≤ ||x||||y|| ∀x, y ∈ R

n

Desigualdad del triangulo:

||x + y|| ≤ ||x||+ ||y|| ∀x, y ∈ Rn (40)

Elevamos al cuadrado el lado izquierdo de la desigualdad 39, usamos la definicion de la normay la desigualdad de Schwarz:

||x + y||2 = [x + y]T [x + y]

= xT x + xT y + yT x + yT y

= xT x + 2xTy + yT y

= ||x||2 + 2xTy + ||y||2

≤ ||x||2 + |2xTy| + ||y||2

≤ ||x||2 + 2||x||||y||+ ||y||2

=(||x||+ ||y||

)2

Ahora lo sustituimos en la original y extraemos la raız cuadrada de ambos lados de la expresion,con ello comprobamos el lado derecho de la desigualdad del triangulo:

||x + y||2 ≤(||x||+ ||y||

)2

||x + y|| ≤ ||x||+ ||y||

59

Para probar el lado izquierdo de la desigualdad note que:

||x|| − ||y|| ≤ ||x + y||

(||x|| − ||y||

)2= ||x||2 − 2||x||||y||+ ||y||2 (41)

||x + y||2 = ||x||2 + 2xT y + ||y||2 (42)

Y de aquı observamos que la ecuacion 40 es menor igual a la ecuacion 41, lo cual demuestra ellado izquierdo de la desigualdad del triangulo:

−2xT y ≤ | − 2xTy|≤ |2xT y|≤ 2||x||||y||

2xTy ≥ −2||x||||y||

2.1.3. Matrices

Se denotan por Rn×m, el conjunto de matrices reales de dimension n × m (n renglones por m

columnas).

A = aij =

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m

......

. . ....

an1 an2 . . . anm

La matriz transpuesta de A:

AT = aji =

a11 a21 . . . an1

a12 a22 . . . an2

......

. . ....

a1m a2m . . . anm

∈ Rm×n

Producto de matrices. Considere las matrices: A ∈ Rm×p y B ∈ R

p×n.El producto de estas matrices C = AB ∈ R

m×n se define como:

C = AB = cij =

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p

......

. . ....

am1 am2 . . . amp

b11 b12 . . . b1n

b21 b22 . . . b2n

......

. . ....

bp1 bp2 . . . bpn

cij =

∑pk=1 a1kbk1

∑pk=1 a1kbk2 . . .

∑pk=1 a1kbkn∑p

k=1 a2kbk1

∑pk=1 a2kbk2 . . .

∑pk=1 a2kbkn

......

. . ....

∑pk=1 amkbk1

∑pk=1 amkbk2 . . .

∑pk=1 amkbkn

Propiedades de matrices

60

1. [AB]T = BT AT ∀A ∈ Rm×p, B ∈ R

p×n

2. En general AB 6= BA

3. A[B + C] = AB + AC ∀A ∈ Rm×p, B, C ∈ R

p×n

4. ABC = A[BC] = [AB]C ∀A ∈ Rm×p, B ∈ R

p×n, C ∈ Rn×r

Matrices particulares

1. A es cuadrada si m = n

2. A ∈ Rn×n es simetrica si A = AT

3. A es antisimetrica si A = −AT (diagonal con ceros). Una propiedad de la matriz anti-simetrica es que: xT Ax = 0∀x ∈ R

n:

[x1 x2

][0 −11 0

] [x1

x2

]

=[x1 x2

][−x2

x1

]

= −x1x2 + x2x1 = 0

4. Matriz diagonal: A = aij ∈ Rn×n donde aij = 0 ∀i 6= j

diaga11, a12, . . . , ann =

a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . ann

∈ Rn×n

5. Matriz identidad

I = diag1 =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

6. Matriz nula de dimension n (matriz de ceros)

diag0 ∈ Rn×n

7. Matriz singular. Una matriz cuadrada A ∈ Rn×n es singular si su determinantes es nulo:

det[A] = 0. Por tanto una matriz singular NO tiene inversa.

Una matriz cuadrada no necesariamente simetrica se dice que es definida positiva si: xT Ax > 0∀x ∈ R

n con x 6= 0. Por ejemplo:

A =

[1 00 1

]

Usamos la definicion para saber si es definida positiva:

xT Ax =[x1 x2

][1 00 1

] [x1

x2

]

=[x1 x2

][x1

x2

]

= x21 + x2

2

61

Este resultado siempre es positivo para x 6= 0 ∈ R2,

por tanto, la matriz A es definida positiva y sedenota: A > 0

Pero como no siempre podemos graficas, necesitamos una demostracion o formula general.Otro ejemplo:

A =

[4 1

−10 3

]

xT Ax =[x1 x2

][

4 1−10 3

] [x1

x2

]

= 4x21 + x1x2 − 10x1x2 + 3x2

2 = 4x21 − 9x1x2 + 3x2

2

Si x =

[11

]

4x21 − 9x1x2 + 3x2

2 = 4(1)2 − 9(1)(1) + 3(1) = −2

NO ES DEFINIDA POSITIVA.

Como decıamos, no es conveniente asumir valores para x, por tanto usaremos el Teorema deSylvester. Sea A ∈ R

n×n, defınase As como :

As = aij =A + AT

2

El teorema de sylvester establece que la matriz A es definida positiva si y solo si:

det[as11] > 0, det

[as11 as12

as21 as22

]

> 0, . . . , det[As] > 0

Continuemos con el ejemplo anterior para demostrar que A no es definida positiva:

As =1

2

[[4 1

−10 3

]

+

[4 −101 3

]]

=

[4 −9

2−9

2 3

]

det[as11] = 4 > 0, det[As] = 12− 81

4< 0

Por tanto A no es definida positiva.El teorema de Sylvester se aplica a matrices cuadradas, no necesariamente simetricas, perosı hay que obtener la parte simetrica de la matriz (As)

62

Una matriz cuadrada A se puede descomponer en su parte simetrica (As) y antisimetrica (Aa):

A = As + Aa =A + AT

2+

A − AT

2

Como la definicion de A definida positiva es que xT Ax > 0 ∀x 6= 0 ∈ Rn, entonces es equivalente

escribir:xT [As + Aa]x > 0 = xT Asx + xTAax = xT Asx > 0

Por eso el teorema de Sylvester usa la matriz simetrica.

Notacion para A definida positiva:A > 0

Cualquier matriz A = AT > 0 (simetrica y definida positiva) es NO SINGULAR (sı existe suinversa).

A = AT > 0 ⇐⇒ A−1 = (A−1)T > 0 (A es simetrica definida positiva, si y solo si, la inversade A es simetrica y definida positiva)

A > 0, B > 0 ⇒ A + B > 0 (la suma de dos matrices definidas positivas tambien es definidapositiva)

A = AT > 0, B = BT > 0 ; AB = (AB)T y tampoco AB > 0 (el producto de dos matricessimetricas definidas positivas no resulta en general simetrico ni definido positivo, sin embargola matriz resultante es no singular). Por ejemplo:

A =

[4 11 3

]

> 0 B =

[2 11 1

]

> 0

AB =

[9 55 4

]

> 0

Es definida positiva.

A =

[5 −2−2 1

]

> 0 B =

[2 11 1

]

> 0

AB =

[8 3−3 −1

]

No es simetrica

ABs =

[8 00 −1

]

Ni definida positiva

Una matriz cuadrada A ∈ Rn×n no necesariamente simetrica es semidefinida positiva si

xT Ax ≥ 0 ∀x ∈ Rn.

Ejemplo:

V (x) =[x1 x2

][

1 −1−1 1

] [x1

x2

]

= x21 − 2x1x2 + x2

2 = (x1 − x2)2

Podemos observar que V (x) = 0 cuando x =

[x1

x2

]

=

[00

]

, pero tambien cuando x1 = x2 ∈ R

Una matriz A ∈ Rn×n es definida negativa si −A es definida positiva.

A ∈ Rn×n es semidefinida negativa si −A es semidefinida positiva.

63

2.1.4. Valores propios, caracterısticos o Eigenvalores

Para cada matriz cuadrada A ∈ Rn×n existen n valores propios (en general numeros complejos)

denotados por λ1A, λ2A, . . . , λnA, los cuales satisfacen:

det[λiAI − A] = 0

para i = 1, 2, . . . , n.Si la matriz es simetrica (A = AT ) se tiene que λ1A, λ2A, . . . , λnA son numeros reales.Denotando los valores propios maximo y mınimo de A por λmaxA y λmınA respectivamente, elteorema de Rayleigh establece que para todo x ∈ R

n se tiene que:

λmaxA||x||2 ≥ xT Ax ≥ λmınA||x||2

Ejemplo:

A =

[2 00 1

]

λmaxA = λ1A = 2

λmınA = λ2A = 1

xT Ax =[x1 x2

][2 00 1

][x1

x2

]

= 2x21 + x2

2

λmınA||x||2 = 1[√

x21 + x2

2

]2= x2

1 + x22

λmaxA||x||2 = 2[√

x21 + x2

2

]2= 2x2

1 + 2x22

2x21 + 2x2

2 ≥ 2x21 + x2

2 ≥ x21 + x2

2

Una matriz cuadrada A ∈ Rn×n es definida positiva, si y solo si, los valores propios de A + AT son

positivos:A > 0 ⇐⇒ λiA + AT > 0

para i = 1, 2, . . . , n.Si A es simetrica entonces se cumple que:

A > 0 ⇐⇒ λiA > 0

para i = 1, 2, . . . , n.

Repaso Valores Propios

x = Ax + bu

y = Cx

y(s) = Cx(s)

sx(s) = Ax(s) + bu(s)

[sI − A]x(s) = bu(s)

x(s) = [sI − A]−1bu(s)

y(s) = C[sI − A]−1b︸ ︷︷ ︸

H(s)

u(s)

64

Sea A =

0 1 00 0 1−6 −11 −6

∈ R3×3

λI − A =

λ 0 00 λ 00 0 λ

−

0 1 00 0 1−6 −11 −6

=

λ −1 00 λ −16 11 λ + 6

det[λI − A] = λ(λ2 + 6λ + 11) + 1(6) + 0 = λ3 + 6λ2 + 11λ + 6 = 0

λ3 + 6λ2 + 11λ + 6 = (λ + 1)(λ + 2)(λ + 3)

Desde el punto de vista de variables de estado, la matriz A anterior esta relacionada con la ecuaciondiferencial de tercer orden siguiente:

...y + 6y + 11y + 6y = 6u

Y entonces la ecuacion de estado serıa:

x1

x2

x3

=

0 1 00 0 1−6 −11 −6

x1

x2

x3

+

006

u

¿Que representan los valores propios de A?Representan las raıces de la ecuacion caracterıstica, es decir, los polos del sistema.Obtengamos ahora la funcion de transferencia de la ecuacion diferencial de tercer orden:

s3Y (s) + 6s2Y (s) + 11sY (s) + 6Y (s) = 6U(s)

[s3 + 6s2 + 11s + 6]Y (s) = 6U(s)

Y (s)

U(s)=

6

s3 + 6s2 + 11s + 6

La ecuacion caracterıstica de la FDT es s3 + 6s2 + 11s + 6 y las raıces de ella son s1 = −1, s2 =−2, s3 = −3 que tambien son los polos del sistema o valores propios de la matriz A de variable deestado PARA SISTEMAS LINEALES!

Otro ejemplo:Sea un sistema homogeneo de segundo orden:

y + by + cy =

u → con entrada

0 → sin entrada

Las ecuaciones de estado:

[x1

x2

]

=

[

0 1

−c −b

][

x1

x2

]

+

[

0

1

]

u → con entrada

[

0 1

−c −b

][

x1

x2

]

+

[

0

0

]

u → sin entrada

65

Los valores propios de la matriz A son los que cumplan:

det [λI − A] = 0

det [λI − A] = det

[ [λ 00 λ

]

−[

0 1−c −b

] ]

= det

[[λ −1c λ + b

] ]

det [λI − A] = λ2 + λb + c = 0

λ1,2 =−b ±

√b2 − 4c

2

Obtengamos ahora la respuesta temporal de y(t) tomando en cuenta las condiciones iniciales:

s2Y (s) − sy(0) − y(0) + b[sY (s) − y(0)] + cY (s) =

u → con entrada

0 → sin entrada

[s2 + bs + c]Y (s) = y(0) + sy(0) + by(0)

Y (s) =y(0) + sy(0) + by(0)

[s2 + bs + c]

Con C.I. = 0 y µ = constante = µ0:

y(s) =µ0

s2 + bs + c

=k0

(s − λ1)(s − λ2)

=k1

s − λ1+

k2

s − λ2

Suponga que λ1 y λ2 son reales negativos, entonces:

y(t) = k1eλ1t + k2e

λ2t

donde k1 y k2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales.

λ1 y λ2 por tanto nos dan la forma de la respuesta transitoria de un sistema lineal

2.1.5. Norma espectral

La norma espectral ||A|| de una matriz A ∈ Rn×m se define como:

||A|| = +√

λmaxAT A

donde λmaxAT A denota el valor propio maximo de la matriz simetrica AT A ∈ Rn×n

Para el caso particular de matrices simetricas A = AT ∈ Rn×n se tiene que:

||A|| = maxi |λiA|

||A−1|| = 1mın

i |λiA|

66

Si A es simetrica A = AT ∈ Rn×n y definida positiva:

||A|| = λmaxA

||A−1|| =1

λmınA

Propiedades

1. ||A|| = 0 ⇐⇒ A = 0 ∈ Rn×n

2. ||A|| > 0 ∀A ∈ Rn×nA 6= 0

3. ||A + B|| ≤ ||A||+ ||B||4. ||αA|| = |α|||A|| ∀α ∈ R y A ∈ R

n×n

5. ||ATB|| ≤ ||A||||B|| ∀A, B ∈ Rn×n

2.2. Puntos fijos

Este concepto es util para determinar condiciones, existencia y unicidad de soluciones para unaclase particular de ecuaciones.Considerese una funcion continua f : R

n → Rn (una funcion vectorial f que tiene n elementos y cada

uno de ellos a la vez tiene n elementos). El vector x∗ ∈ Rn es un punto fijo de f(x) si f(x∗) = x∗.

Si x∗ es un punto fijo de f(x) entonces obviamente x∗ es solucion de f(x) − x = 0 y x − f(x) = 0porque evaluado en x∗ tenemos f(x∗) − x∗ = 0 → f(x∗) = x∗

Algunas funciones tienen uno o mas puntos fijos, pero tambien hay algunas que no tienen.Por ejemplo:

f(x) = sin(x) tiene un unico punto fijo en x∗ = 0.Los puntos fijos pueden ser localizados graficamentedonde se intersectan f(x) y x.

67

f(x) = x3 tiene tres puntos fijos en

x∗

1 = 0

x∗

2 = 1

x∗

3 = −1

f(x) = ex no tiene puntos fijos

f(x) = k · sin(x) donde k > 1Debido a esta constante ahora tendra mas puntosfijos

Considerese ahora la siguiente funcion continua

f : Rn × Ω → R

n

Es decir: [xθ

]

→ f(x, θ)

donde θ ∈ Ω se ve como un parametro, y siendo Ω ⊂ Rm.

Luego x∗ ∈ Rn es un punto fijo de f(x, θ) para cualquier θ ∈ Ω si f(x∗, θ) = x∗ ∀θ ∈ Ω

Ejemplo: f(x, θ) = k sin(x − θ) el punto fijo serıa x∗ si f(x∗, θ) = k sin(x∗ − θ) = x∗ ∀θ ∈ Ω

68

2.2.1. Teorema de contraccion de mapas

De condiciones suficientes para unicidad de puntos fijos de una funcionSea Ω ⊂ R

m, considerese la siguiente funcion continua:

f : Rn × Ω → R

n

[xθ

]

→ f(x, θ)

Supongase que existe una constante no negativa k tal que para todo x, y ∈ Rn y θ ∈ Ω se tiene que:

||f(x, θ) − f(y, θ)|| ≤ k||x− y||Si la constante k es estrictamente menor que la unidad, entonces dando cualquier θ ∈ Ω se tiene quela funcion f(x, θ) posee un unico punto fijo, el cual sera x∗ ∈ R

n

Una interpretacion importante del teorema de contraccion de mapas es la siguiente:Supongase que la funcion f(x, θ) posee un unico punto fijo (satisface la condicion del teorema decontraccion de mapas), entonces f(x, θ) − x = 0 tiene solucion en x y esta, ademas, es la UNICA.Ejemplo:Considerese la funcion h(x, θ)

h(x, θ) = kpx − mgl sin(θ − x)

donde: x ∈ R (variables de estado), kp ∈ R (constante), m ∈ R, g ∈ R, l ∈ R, θ (parametro constantede interes). Encuentre condiciones sobre kp y mgl para que h(x, θ) = 0 tenga una sola solucion.

SOLUCION:El problema de encontrar condiciones sobre kp y mgl para que h(x, θ) = 0 tenga una unica solucion,es equivalente a encontrar condiciones kp y mgl para que

f(x, θ) =mgl

kpsin(θ − x)

tenga un unico punto fijo, es decir que

mgl

kpsin(θ − x) = x

Usaremos ahora el teorema de contraccion de mapas:

|f(x, θ) − f(y, θ)| = |mgl

kpsin(θ − x) − mgl

kpsin(θ − y)|

|f(x, θ) − f(y, θ)| = |mgl

kp|| sin(θ − x) − sin(θ − y)| (43)

Hacemos un pequeno parentesis para enunciar el teorema de valor medio que utilizaremos paraacotar | sin(θ − x) − sin(θ − y)|:Teorema del valor medioConsiderese la funcion continua f : R

n → R. Si f(z1 , z2, . . . , zn) tiene derivadas parciales continuasentonces para dos vectores constantes x, y ∈ R

n tenemos que:

f(x) − f(y) =

∂f(z1,z2,...,zn)∂z1

∂f(z1,z2,...,zn)∂z2

...∂f(z1,z2,...,zn)

∂zn

T

z=ξ

[x− y]

69

Donde ξ es un vector convenientemente seleccionado en el segmento de lınea que une los vectoresx, y.En nuestro caso, tenemos al aplicar el teorema del valor medio:

sin(θ − x) − sin(θ − y) =∂f(sin(θ − z))

∂z|z=ξ[(θ − x) − (θ − y)]

Y obteniendo el valor absoluto en ambos lados de la igualdad tenemos:

| sin(θ − x) − sin(θ − y)| ≤ |∂f(sin(θ − z))

∂z|z=ξ||x + y|

OJO: ∂f(sin(θ−z))∂z = cos(θ − z) pero cos(·) solo toma valores de 1 a -1 y en el valor absoluto |1| =

| − 1| = 1, por lo tanto un valor maximo es 1. Entonces tenemos:

| sin(θ − x) − sin(θ − y)| ≤ 1|x + y| (44)

Ahora sustituimos (44) en (43) y tenemos:

|f(x, θ) − f(y, θ)| ≤ mgl

kp|x − y|

Defınase k = mglkp

, luego si k < 1 tendremos un unico punto fijo o equivalentemente una unica

solucion de nuestra funcion original; k sera menor que 1 si escogemos kp > mgl

2.3. Estabilidad en el sentido de Lyapunov

La teorıa de la estabilidad de Lyapunov tiene como objetivo principal estudiar el comportamientode sistemas dinamicos descritos por ecuaciones diferenciales de la forma:

x(t) = f(t, x(t)) (45)

x(0) ∈ Rn∀t ≥ 0

Donde x(t) representa el vector de estados del sistema y es un vector de Rn, x(0) es el vector de

estado inicial, f : R+ × Rn → R

n es una funcion continua en t y x(t).Se supone que f(t, x(t)) es tal que:

1. Tiene una unica solucion en el intevalo [0,∞) correspondiente a cada condicion inicial x(0)

2. Si x(t) es la solucion de 44 correspondiente a la condicion inicial x(0), entonces x(t) dependede manera continua del estado inicial.

Si la funcion f no depende explıcitamente del tiempo f(t, x(t)) = f(x(t)), se dice que 44 es autonoma.Si la funcion en el tiempo se puede expresar:

f(t, x(t)) = A(t)x(t) + u(t)

con A(t) ∈ Rn×n, siento A(t) y u(t) funciones unicamente del tiempo o constantes, se dice que

x(t) = f(t, x(t)) es lineal. En el caso contrario, sera no lineal.

70

2.3.1. Conceptos basicos de la teorıa de Lyapunov

1. Equilibrio. Se define como un vector constante Xe ∈ Rn, este es un equilibrio o un estado de

equilibrio del sistema x(t) = f(t, x(t)) si f(t, Xe) = 0 ∀t ≥ 0. Como consecuencia tenemos quesi la condicion inicial es justamente el estado de equilibrio, entonces:

x(t) = Xe

x(t) = 0

La trayectoria permanece constante porque la derivada de una constante es cero.Tradicionalmente el equilibrio Xe lo situamos en el origen del espacio de estado. Si ese no esel caso recurrimos a un cambio de variables. Por ejemplo: y = x − Xe.Ejemplos.

Considerese la siguiente ecuacion diferencial lineal:

x(t) = ax(t) + bu(t)

x(0) ∈ Rn, donde a 6= 0 y b 6= 0 son constantes reales y u(t) = R+ → R

n es una funcioncontinua.Si u(t) = µ0 constante, la ecuacion diferencial es autonoma con un equilibrio en:

Xe = − b

aµ0

Sea la ecuacion diferencialx(t) = e−x(t)

x(0) ∈ R. Esta no tienen puntos de equilibrio

Sean

x1(t) = x2(t)

x2(t) = sin(x1(t))

x1(0) ∈ Rn, x2(0) ∈ R

n. Este sistema tiene un numero infinito de puntos de equilibrioporque la condicion x2(0) = sin(x1) = 0 se cumple para nπ.

2. Estabilidad. El origen x = 0 ∈ Rn es un equilibrio estable en el sentido de Lyapunov de

x(t) = f(t, x(t)), si para cada numero ε > 0 se puede encontrar un numero δ > 0 tal que:

71

||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ε ∀t ≥ 0

Ejemplos:

Sea el sistema:

x1 = x2

x2 = −x1

Este es un sistema lineal con un unico punto de equilibrio en el origen, donde las solucionesson:

x1(t) = x1(0) cos(t) + x2(0) sin(t)

x2(t) = −x1(0) sin(t) + x2(0) cos(t)

¿Es el equilibrio Xe =

[00

]

estable?

Sı porque el punto de equilibrio es estable y ası semantiene para todo ε aun cuando avanza el tiempo

Sea la ecuacion de Van der Pol, la cual representa una oscilacion lineal:

x1 = x2

x2 = −x1 + (1 − x1)2x2

Encuentre su punto de equilibrio y la estabilidad de dicho punto

0 = x2

0 = −x1 + (1 − x1)2x2

Xe =

[00

]

72

¿Es el equilibrio Xe =

[00

]

estable?

No, porque no con todos los valores empieza dentrode δ, y se mantiene dentro de ε (como en el casomostrado)OJO: CON LYAPUNOV SER INESTABLE NOSIGNIFICA QUE SE VAYA A INFINITO

3. Estabilidad asintotica. El origen x = 0 ∈ Rn es un equilibrio asintoticamente estable de

x(t) = f(t, x(t)) si:

El origen es estable

El origen es atractivo, es decir existe un numero δ > 0 tal que:

||x(0) < δ ⇒ ||x(t)|| → 0 t → ∞

La estabilidad del origen debe ser intepretada como dada una pequena discrepancia de lacondicion inicial x(0) con respecto al equilibrio (origen), la solucion x(t) correspondiente per-manecera acotada evolucionando relativamente cerca del punto de equilibrio. Por ejemplo, elpunto de equilibrio del pendulo simple localizado en x1e = 0, x2e = 0 es estable porque sipartimos relativamente cerca de el, la solucion x(t) queda muy cerca del punto de equilibrio.

4. Estabilidad en el sentido de Lyapunov

Sistemas dinamicos.x(t) = f(t, x(t)) x(0) ∈ R

n ∀t ≥ 0 (46)

Suponemos:

• Solucion unica correspondiente a una condicion inicial x(0)

• x(t) depende de una manera continua del estado inicial x(0)

Equilibrio. Xe es un vector constante donde f(t, x(t)) = 0 ∀t ≥ 0. Si la condicion inicialx(0) = Xe ∈ R

n, entonces:

• x(t) = Xe ∀t ≥ 0

• x(t) = 0

Estabilidad de equilibrios. Si suponemos que x(0) = 0 ∈ Rn es un equilibrio estable de 45

si para cada ε > 0 se puede encontrar un numero δ > 0, tal que :

||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ε ∀t ≥ 0

5. Estabilidad asintotica global. El origen x = 0 ∈ Rn es un equilibrio asintoticamente estable

en forma global de la ecuacion 45 si:

73

El origen es estable

El origen es atractivo globalmente, es decir desde todo el espacio de estado:

||x(t)|| → 0 t → ∞ ∀ x(0) ∈ Rn

6. Estabilidad exponencial. El origen x = 0 ∈ Rn es un equilibrio exponencialmente estable

en forma global de la ecuacion 45 si existen constantes positivas α y β tales que:

||x(t)|| < α||x(0)||e−βt ∀t ≥ 0 ∀x(0) ∈ Rn

Esto es muy difıcil de encontrar por eso se conformacon estabilidad asintotica.

7. Inestabilidad. El origen x = 0 ∈ Rn es un equilibrio inestable de 45 si NO es estable.

Ejemplos:

1. Sea la ecuacion de Van der Pol:

x1 = x2

x2 = −x1 + (1 − x1)2x2

x1(0) ∈ Rx2(0) ∈ R

Equilibrio:0 = x2

0 = −x1 + (1 − x1)2x2

Xe =

[00

]

74

Punto de equilibrio inestable (porque sale de ε). Sinembargo, notese que la solucion x(t) no crece hastainfinito sino que permanece acotada. El decir queun equilibrio es inestable no significa necesariamenteque la solucion tienda a infinito. Es difıcil obtener laecuacion del ciclo lımite, por lo que se conforma conobtener el dominio de atraccion.

2. Considerese el siguiente sistema polar:

r = 0,5r(1 − r)

θ = sin2

(θ

2

)

Equilibrio del sistema de interes:

0 = 0,5r(1 − r)

0 = −sin2

(θ

2

)

[re

θe

]

=

[00

]

o tambien

[re

θe

]

=

[1

2nπ

]

Graficando en coordenadas polares tenemos:

x1(t) = r cos(θ) → x1 = −r sin θdθ + r cos θ

x2(t) = r sin(θ) → x2 = r cos θdθ + r sin θ

Este es el plano de fase en terminos de x1, x2

Note que todas las trayectorias tienden al punto(1, 0), lo cual podrıa hacernos pensar erroneamenteque dicho punto es asintoticamente estable (ya quelas trayectorias convergen a ese punto atractivo). Sinembargo, el punto de equilibrio (1, 0) falla en el atri-buto de estabilidad (porque sale de ε para llegar alpunto).El equilibrio es inestable pero atractivo

3. Considere el siguiente sistema (oscilador lineal):

x1 = x2

x2 = −x1

x1(0) ∈ Rx2(0) ∈ R

75

Equilibrio en:

0 = x2

0 = −x1

Xe =

[00

]

Punto de equilibrio estable (porque no sale de ε).

4. Pendulo simple

La ecuacion de este sistema sin par τ es:

ml2 q + mgl sin(q) = 0

q(0), q ∈ R

Reescribiremos la ecuacion haciendo un cambio de variables x1 = q y x2 = q:

x1 = x2

x2 = −g

lsin(x1)

Puntos de equilibrio:

0 = x2

0 = −g

lsin(x1)

[x1e

x2e

]

=

[00

]

o tambien

[x1e

x2e

]

=

[nπ0

]

76

Analizamos el origen: Es un equilibrio estable(porque para cada ε existe δ y no sale de ella)Analizamoe el punto (n, π): Es un equilibrio inestable(porque sale de ε)

2.3.2. Comentarios relacionados con los conceptos de estabilidad

Estabilidad de un equilibrio puede interpretarse como, dada una pequena discrepancia dela condicion inicial x(0) con respecto al equilibrio (origen) la solucion correspondiente per-manecera acotada (o evolucionara relativamente cerca del equilibrio)

Estabilidad de un equilibrio no implica necesariamente que las soluciones x(t) permanezcanacotadas para cualquier condicion inicial (como en el caso del pendulo)

Inestabilidad de un equilibrio no implica necesariamente que las soluciones x(t) tiendas ainfinito, es decir, no implica que las soluciones esten desacotadas (como en el oscilador de Vander Pol)

Un equilibrio atractivo no necesariamente implica que es asintoticamente estable (como en elsistema polar)

2.3.3. Definicion de funciones

Funcion definida positiva localmente y funcion definida positiva

W (x1, x2) = x21 + x2

2

Una funcion continua W : Rn → R+ es definida positiva localmente si:

• W (0) = 0

• W (x) > 0 ∀x 6= 0 y ||x|| → 0

Una funcion continua W : Rn → R+ es definida positiva si:

• W (0) = 0

• W (x) > 0 ∀x 6= 0 ∈ Rn

De acuerdo a la definicion de una funcion definida positiva y a la de una matriz definidapositiva, entonces una funcion cuadratica f : R

n → R de la forma:

f(x) = xT Px

con P ∈ Rn×n, es definida positiva, si y solo si, P > 0.

Si W (x) es definida positiva, entonces −W (x) es definida negativa.

77

Funcion radialmente desacotadaUna funcion continua W : R

n → R es radialmente desacotada si:

• W (x) → ∞ cuando ||x|| → ∞

Funcion menguanteUna funcion continua dependiente del tiempo y de los estados V : R+×R

n → R es menguanteglobalmente si existe una funcion definida positiva W : R

n → R+ tal que:

V (t, x) ≤ W (x) ∀t ≥ 0 ∀x ∈ Rn

Funcion definida positiva dependiente del tiempoEs aquella funcion V : R+ × R

n → R+ tal que satisface:

V (t, x) ≥ W (x) ∀t ≥ 0 ∀x ∈ Rn

donde W (x) > 0.

Funcion dependiente del tiempo radialmente desacotada

V (t, x) ≥ W (x) > 0

donde W (x) es radialmente desacotada. Ejemplos:

1. Definida positiva localmente, radialmente desacota-da, no dependiente del tiempo

2. Definida positiva globalmente, radialmente desacota-da, no dependiente del tiempo

78

3. Definida positiva globalmente, no es radialmente de-sacotada, no dependiente del tiempo

4. Definida positiva globalmente, radialmente desacota-da, no dependiente del tiempo

5. W (x1, x2) = x21 + x2

2

Definida positiva globalmente porque W (0, 0) = 0 y W (x1, x2) > 0 ∀[x1 x2

]T 6= 0Radialmente desacotada porque W (x1, x2) → ∞ cuando ||x||2 = x2

1 + x22 → ∞

6. V (t, x1, x2) = (t + a)(x21 + x2

2)Debe cumplir V (t, x) ≥ W (x) > 0, y ya comprobamos (en el ejemplo anterior) queW (x1, x2) = x2

1 + x22 > 0. Por tanto es una funcion dependiente del tiempo definida

positiva globalmente radialmente desacotada. Ahora V (t, x1, x2) no puede ser acotadasuperiormente por una funcion W (x1, x2) para todo t ≥ 0 ni para todo valor de x,entonces NO ES FUNCION MENGUANTE.

7. V (t, x) = [k + sin2(t)]x2 ∀k ≥ 1Para acotarla por abajo: [k + sin2(t)]x2 ≥ x2, porque este valor oscila entre k y k + 1; deesta manera V (t, x) es definida positiva y radialmente desacotada.Para acotarla por arriba: [k + sin2(t)]x2 ≤ [k + 1]x2 donde W2(x) = [k + 1]x2 y portanto: V (t, x) ≤ W2(x) ∀t ≥ 0 ∀x ∈ R

n, es decir, V (t, x) es definida positiva, radialmentedesacotada y menguante.

8. W (x1, x2) = (x1 + x2)2

Hay valores como x2 = −x1 en que W (x1, x2) = 0 y con ello ya no cumple W (x1, x2) > 0

∀[x1 x2

]T 6= 0; por tanto W (x1, x2) es semidefinida positiva.

Funcion candidata de LyapunovUna funcion V : R+ × R

n → R+ es una funcion candidata de Lyapunov para el equilibrio

79

x = 0 ∈ Rn de la ecuacion x = f(t, x) si:

• V (t, x) es una funcion definida positiva al menos localmente

• ∂V (t,x)∂t es una funcion continua con respecto a t y x

• ∂V (t,x)∂x es una funcion continua con respecto a t y x (definida positiva, continuamente

diferencial)

Derivada de la funcion candidata de LyapunovSea V (t, x) una funcion candidata de Lyapunov para x = f(t, x(t)).La derivada de V (t, x) a lo largo de las trayectorias denotada por V (t, x) vendra dada por:

V (t, x) =d

dtV (t, x) =

∂V (t, x)

∂t+

∂(V (t, x))T

∂xf(t, x(t))

Cuando V no depende explıcitamente del tiempo, es decir, es una funcion unicamente delestado V (x), su derivada sera:

V (x) =∂(V (x))T

∂xx =

∂(V (x))T

∂xf(x)

Funcion de LyapunovUna funcion candidate de Lyapunov para x = f(t, x(t)) es una funcion de Lyapunov si suderivada a lo largo de las trayectorias satisface: V (t, x) ≤ 0 ∀t ≥ 0 al menos para ||x|| pequenas.Ejemplo.Sea:

x1

x2

...xn

=

f1(x1, x2, . . . , xn)f2(x1, x2, . . . , xn)

...fn(x1, x2, . . . , xn)

= x = f(x) ∈ Rn

Proponemos una funcion candidata de Lyapunov [f.c.l ] (definida positiva y continuamentediferencial):

V (x1, x2, . . . , xn) =1

2x2

1 +1

2x2

2 + . . . +1

2x2

n

Obtener la derivada temporal de f.c.l.

dV (x1, x2, . . . , xn)

dt=

∂V (x1, x2, . . . , xn)

∂xx

=∂(1

2x21)

∂x1x1 +

∂(12x2

2)

∂x2x2 + . . . +

∂(12x2

n)

∂xnxn

= x1[f1(x1, x2, . . . , xn)] + x2[f2(x1, x2, . . . , xn)] + . . . + xn[fn(x1, x2, . . . , xn)]

Esto es equivalente a obtener el gradiente de V :

V (x) =

[

∂V

∂x

]T

x

80

Obtengamos primero el vector gradiente:

∂V (x1, x2, . . . , xn)

∂x=

∂∂x1

V (x1, x2, . . . , xn)∂

∂x2V (x1, x2, . . . , xn)

...∂

∂xnV (x1, x2, . . . , xn)

=

x1

x2

...xn

Y lo sustituimos:

V (x) =

[

∂V

∂x

]T

x =[x1 x2 . . . xn

]

x1

x2

...xn

= x1x1 + x2x2 + . . . + xnxn

Y llegamos a lo mismo:

V (x) = x1[f1(x1, x2, . . . , xn)] + x2[f2(x1, x2, . . . , xn)] + . . . + xn[fn(x1, x2, . . . , xn)]

La derivada de un escalar con respecto a un vector resulta un vector conocido como vector gradiente

La derivada de un vector con respecto a otro resulta una matriz conocida como jacobiana

2.3.4. Teoremas de estabilidad

Condiciones suficientesEl origen x = 0 ∈ R

n es un estado de equilibrio estable de la ecuacion x(t) = f(t, x(t)) si existeuna funcion candidata de Lyapunov V (t, x) tal que su derivada satisfaga al menos para ||x||pequenas:

V (t, x) ≤ 0 ∀t ≥ 0

Teorema de estabilidad y acotamiento de solucionesEl origen x = 0 ∈ R

n es un estado de equilibrio estable y las soluciones x(t) estan acotadaspara toda condicion inicial X0 ∈ R

n, si existe una funcion candidata de Lyapunov que seadefinida positiva globalmente, radialmente desacotada, tal que su derivada temporal satisfaga:

V (t, x) ≤ 0 ∀t ≥ 0 ∀x ∈ Rn

Ejemplo 1. Sea el sistema:

x1 = x2

x2 = −x1

El equilibrio:

0 = x2

0 = −x1

Xe =

[00

]

Proponemos una f.c.l:

V (x) =1

2x2

1 +1

2x2

2

81

Inmediatamente se ve que es definida positiva porque V (0) = 0 y V (x) > 0 ∀x 6= 0 ∈ R2.

La derivada temporal de la f.c.l.:

d

dtV (x) = x1x1 + x2x2

Evaluamos ahora en las trayectorias del sistema:

d

dtV (x) = x1(x2) + x2(−x1) = 0

Concluimos estabilidad del equilibrio y acotamiento de soluciones

Ejemplo 2. Sea el sistema:

x1 = −x1 + kx2

x2 = −kx1

donde k 6= 0.El equilibrio:

0 = −x1 + kx2

0 = −kx1

Xe =

[00

]

Proponemos una f.c.l:

V (x) =1

2x2

1 +1

2x2

2

Y ahora su derivada temporal evaluada en las trayectorias del sistema:

d

dtV (x) = x1(−x1 + kx2) + x2(−kx1) = −x2

1 ≤ 0

V (x) es semidefinida negativa porque V (x) = 0 ∀ x1 = 0, x2 ∈ R2

Concluimos estabilidad y acotamiento de soluciones

Teorema de estabilidad asintotica globalEl origen x = 0 ∈ R

n es un estado de equilibrio asintoticamente estable en forma global dex(t) = f(t, x) si existe una funcion candidata de Lyapunov V (t, x) definida positiva global-mente, radialmente desacotada y menguante, tal que su derivada temporal satisfaga:

V (t, x) = 0 ∀t ≥ 0

V (t, x) < 0 ∀t ≥ 0 ∀x ∈ Rn

La existencia de un unico estado de equilibrio es una condicion necesaria para que este seaasintoticamente estable en forma global.Ejemplo 1. Sea el sistema:

x = −ax

El equilibrio:

−ax = 0

x = 0

82

Proponemos una f.c.l:

V (x) =1

2x2

La derivada temporal de la f.c.l. evaluada en la trayectoria:

d

dtV (x) = x(−ax) = −ax2 < 0

V (x) es definida negativa ∀x 6= 0

Concluimos estabilidad asintotica global del origen

Teorema de La SalleSupongase un sistema descrito por x = f(x) donde f(0) = 0 ∀t ≥ 0. Si existe una funcioncandidata de Lyapunov tal que:

• V (x) >= 0 (f.c.l definida positiva)

• V (x) ≤ 0 (derivada temporal de f.c.l. semidefinida negativa)

• V (φ(x0)) (la derivada temporal de f.c.l. no desaparece identicamente para cualquier xo 6=0, donde φ(x0) indica la trayectoria solucion que comienza en x0)

entonces el origen es asintoticamente estable.Ejemplo 1. Sea el sistema:

x1 = −x1 + kx2

x2 = −kx1

donde k 6= 0.El equilibrio:

0 = −x1 + kx2

0 = −kx1

Xe =

[00

]

∈ R2

Proponemos una f.c.l:

V (x) =1

2x2

1 +1

2x2

2 > 0

Y ahora su derivada temporal evaluada en las trayectorias del sistema:

d

dtV (x) = x1(−x1 + kx2) + x2(−kx1) = −x2

1 ≤ 0

Semidefinida negativa porque nada mas depende explıcitamente de x1, por tanto V (x) = 0 envalores diferentes del origen. Usando el teorema anterior habıamos concluido hasta el momentoque el equilibrio es estable y las soluciones acotadas.Ahora usaremos el Teorema de La Salle: para concluir estabilidad asintotica global nos enfo-caremos en el tercer punto del teorema. Si V (x) se ha de anular identicamente para todo t ≥ 0porque V (x) = 0 ∀t ≥ 0 es necesario y suficiente que x1(t) = 0 ∀t ≥ 0, lo cual implica quex1(t) = 0. Por lo tanto, de la ecuacion del sistema tenemos:

x1 = x1 + kx2

kx2 = 0

x2 = 0

x2 = 0

83

Por tanto V (x) se anula identicamente y unicamente en:

[x1

x2

]

=

[00

]

Por lo que de acuerdo al Teorema de La Salle, concluimos estabilidad asintotica global

Ejemplo 2. Sea el sistema:

x1 = x2

x2 = −x1 − x2

Pruebe estabilidad asintotica en el origen.El equilibrio:

0 = x2

0 = −x1 − x2

Xe =

[00

]

∈ R2

Proponemos una f.c.l:V (x) = x2

1 + x22 > 0

Y ahora su derivada temporal evaluada en las trayectorias del sistema:

d

dtV (x) = 2x1x1 + 2x2x2 = 2x1(x2) + 2x2(−x1 − x2) = −2x2

2 ≤ 0

Semidefinida negativa porque nada mas depende explıcitamente de x2

Checamos nuevamente el punto 3 del Teorema de La Salle:

V (x) = 0 ∀t ≥ 0 ⇒ x2(t) = 0 ∀t ≥ 0

x2(t) = 0 ⇒ x2(t) = 0

Sustituimos en el sistema:

x2 = −x1 − x2

x1 = 0

x1 = 0

Por tanto V (x) se anula unica e identicamente en:

[x1

x2

]

=

[00

]

Concluimos estabilidad asintotica global

84

2.3.5. Analisis de estabilidad de sistemas lineales invariantes en el tiempo

Sea el sistemas x = Ax; se supone que A no es singular, lo que implica que el unico equilibrio esel origen, porque Ax = 0 ⇒ x = 0.Para probar estabilidad asintotica del origen, propondremos la siguiente f.c.l.

V (x) = xT px

donde p es una matriz simetrica definida positiva y radialmente desacotada.Derivada temporal de V (x) a lo largo de las trayectorias del sistema:

V (x) = xT px + xT px

= (Ax)T px + xT p(Ax)

= xT AT px + xTpAx

= xT (AT p + pA)x

Si definimos AT p + pA = −Q (la llamaremos ası porque p debe ser p > 0), rescribimos entonces laderivada de f.c.l.

V (x) = −xT Qx < 0

V (x) sera definida negativa si Q > 0. Si esto sucede concluimos ESTABILIDAD ASINTOTICAGLOBAL.

Ejemplo. Sea el sistema:[x1

x2

]

=

[0 1−1 −1

] [x1

x2

]

Pruebe estabilidad asintotica global usando el teorema de estabilidad de sistemas lineales.Para proceder con el metodo, proponga Q como matriz definida positiva:

Q =

[1 00 1

]

> 0

De la definicion de Q, vamos a encontrar p:

−Q = AT p + pA[−1 00 −1

]

=

[0 −11 −1

][p11 p12

p12 p22

]

+

[p11 p12

p12 p22

] [0 1−1 −1

]

=

[−p12 −p22

p11 − p12 p12 − p22

]

+

[−p12 p11 − p12

−p22 p12 − p22

]

=

[−2p12 p11 − p12 − p22

p11 − p12 − p22 2p12 − 2p22

]

Igualando los terminos de las matrices podemos encontrar el valor de la matriz p:

p =

[32

12

12 1

]

> 0

Verificar si p > 0:

det[p11] =3

2> 0

85

det[p] =3

2− 1

4=

5

4> 0

Concluimos estabilidad asintotica global.

La ventaja de este metodo comparado con el anterior es que no hay necesidad de usar el Teore-ma de La Salle, sino que llegamos a la conclusion simplemente con verificar que p > 0

86

3. Teorıa de estabilidad avanzada

Anteriormente se vio una metodologıa que da condiciones necesarias y suficientes para probarque el equilibrio de un sistemas lineal x = Ax es asintoticamente estable en forma global. Dondedada cualquier matriz Q > 0 ∈ R

n×n, si existe una matriz p = pT > 0 que satisface −Q = AT p+pAentonces el origen es un punto asintoticamente estable globalmente.

Teorema 1. Estabilidad

1. V (x) > 0 (local o global)

2. V (x) ≤ 0

Teorema 2. Estabilidad y acotamiento de soluciones

1. V (x) > 0 (global)

2. V (x) → ∞ cuando ||x|| → ∞

3. V (x) ≤ 0

Teorema 3. Estabilidad asintotica global

1. V (x) > 0 (local o global)

2. V (x) → ∞ cuando ||x|| → ∞

3. V (x) < 0

Teorema 4. Estabilidad asintotica global (La Salle)

1. V (x) > 0 (local)

2. V (x) → ∞ cuando ||x|| → ∞

3. V (x) ≤ 0

4. V (x(t)) no desaparece identicamente en t ≥ 0para cualquier x0 6= 0

Introduciremos ahora un metodo de analisis de estabilidad que da:

Condiciones necesarias y suficientes para sistemas lineales

Condiciones suficientes para sistemas no lineales

3.1. Teorema de Krasovskii

Sea el sistema x = f(x), donde X ∈ Rn y f : R

n → Rn.

Suponga que f(0) = 0 (el origen es equilibrio) y que f (x) es derivable con respecto a x. La matriz

87

Jacobiana del sistema es:

F (x) =

∂f1(x)∂x1

∂f1(x)∂x2

. . . ∂f1(x)∂xn

∂f2(x)∂x1

∂f2(x)∂x2

. . .∂f2(x)∂xn

......

. . ....

∂fn(x)∂x1

∂fn(x)∂x2

. . . ∂fn(x)∂xn

Defınase:F (x) = F T (x) + F (x)

donde F (x) = F (x)T . Si la matriz simetrica F (x) es definida negativa, el estado de equilibrio x = 0es asintoticamente estable. Una funcion de Lyapunov para ese sistema sera:

V (x) = f(x)T f(x)

Si ademas f(x)T f(x) → ∞ cuando ||x|| → ∞, el equilibrio sera global y asintoticamente estable.

3.1.1. Prueba de una funcion candidata de Lyapunov

V (x) = f(x)T f(x)

1. Prueba de posibilidad de V (x).Por hipotesis tenemos que

F (x) < 0

det[F (x)] 6= 0 ∀x 6= 0

det[F (x)] = 0 si x = 0

Por tanto tendremos unicamente un equilibrio en todo el espacio de estado, entonces:

V (x) = f(x)T f(x)

V (0) = 0

V (x) 6= 0 ∀x 6= 0

2. Prueba de negatividad definida de V (x).

V (x) = f(x)T f(x) + f(x)T f(x)

y como

f(x) =∂f(x)

∂xx = F (x)x

Tendremos que:

V (x) = (F (x)x)T f(x) + f(x)T (F (x)x)

= xT F (x)T f(x) + f(x)T F (x)x

Note tambien que x = f(x)

V (x) = f(x)T F (x)Tf(x) + f(x)T F (x)f(x)

= f(x)T [F (x)T + F (x)]f(x)

= f(x)T F (x)f(x)

88

Si F (x) < 0, entonces:V (x) < 0

Por tanto del teorema 3 visto anteriormente, concluimos estabilidad asintotica global.

Ejemplo. Usando el teorema de Krasovskii determina la estabilidad del origen del sistema siguiente:

x1 = −x1

x2 = x1 − x2 − x32

Donde:

f(x) =

[f1(x)f2(x)

]

=

[−x1

x1 − x2 − x32

]

y x =

[x1

x2

]

F (x) =

[−1 01 −1 − 3x2

2

]

F (x) = F (x)T + F (x) =

[−2 11 −2 − 6x2

2

]

Verificar si F (x) < 0:

−F (x) =

[2 −1−1 2 + 6x2

2

]

det [F11(x)] = 2 > 0

det [−F (x)] = 4 + 12x22 − 1 = 3 + 12x2

2

Por tanto F (x) < 0 y de acuerdo con Krasovskii, el origen es ASINTOTICAMENTE ESTABLE ENFORMA GLOBAL.

3.2. Caso de estudio: Pendulo

Iniciaremos obteniendo el modelo dinamico de un pendulo ideal con el metodo de Lagrange (ecua-ciones de movimiento de Lagrange)

L(q(t), q(t)) = K(q(t), q(t)) − U(q(t))

Donde:

L(q(t), q(t)) ∈ R es el Lagrangiano,

K(q, q) ∈ R es la energıa cinetica,

U(q) ∈ R es la energıa potencial,

L, K, U : Rn × R

n → R,

q ∈ Rn×1 es la posicion o coordenadas generalizadas (estados),

q ∈ Rn×1 es la velocidad.

89

Ecuaciones de movimiento de Lagrange:

d

dt

[

∂L(q, q)

∂q

]

− ∂L(q, q)

∂q= τ

Donde τ ∈ Rn×1 son los pares o fuerzas ejercidos, ası como fuerzas no conservativas (friccion,

resistencia al movimiento de un objeto dentro de un fluido, y en general las que dependen deltiempo o de la velocidad).En el caso de un solo elemento qi ∈ R, tenemos:

d

dt

[

∂L(q, q)

∂qi

]

− ∂L(q, q)

∂qi= τi

3.2.1. Pendulo simple

m = masa concentrada del pendulo [kg]lc = distancia al centro de masa [m]I = momento de inercia del eslabon con respecto aleje que pasa atraves del centro de masa [kg · m2]q = posicion articular [rad] o []

La energıa cinetica del pendulo (o un eslabon) se obtiene como la suma de:

1. El producto de la mitad de su masa por el cuadrado de la rapidez del centro de masa

2. El producto de la mitad de su momento de inercia (referido al centro de masa) por el cuadradode su velocidad angular (referido al centro de masa)

Obtenemos la energıa cinetica del pendulo:

p =

[x1

y1

]

=

[lc sin(q)−lc cos(q)

]

v =d

dtp =

[x1

y1

]

=

[lc cos(q)qlc sin(q)q

]

||v|| = vT v =[x1 y1

][x1

y1

]

= x12 + y1

2 = l2c q2

Aplicando la formula de energıa cinetica obtenemos:

K(q, q) =1

2ml2c q2 +

1

2Iq2

90

Ahora la energıa potencial; consideraremos el punto de referencia de energıa potencial cero en y = 0:

U(q) = −mglc cos(q)

Obtener el Lagrangiano:

L(q, q) =1

2ml2c q2 +

1

2Iq2 + mglc cos(q)

Obtener el modelo del pendulo con las ecuaciones de movimiento de Lagrange:

∂L(q, q)

∂q= ml2c q + Iq

d

dt

[

∂L(q, q)

∂q

]

= ml2c q + Iq

∂L(q, q)

∂q= −mglc sin(q)

La expresion para el modelo dinamico del pendulo simple:

[ml2c + I]q + mglc sin(q) = τ

La ecuacion de estado es:

d

dt

[qq

]

=

q

1ml2c+I

[

τ − mglc sin(q)

]

Los puntos de equilibrio:[00

]

=

q

1ml2c +I

[

τ − mglc sin(q)

]

Equilibrio en:[qq

]

=

[q : τ − mglc sin(q) = 0

0

]

¿Que pasa cuando τ > mglc?La ecuacion de equilibrio no tiene solucion, lo que significa que en ese caso no existe punto deequilibrio.Por tanto una condicion necesaria para que existan puntos de equilibrio es:

τ ≤ mglc

Ahora para el caso cuando τ = 0, es decir, que depende solo de las condiciones iniciales, los equilibriosson: [

qq

]

=

[nπ0

]

; n ∈ N

En forma particular analizaremos la estabilidad del equilibrio:

[qq

]

=

[00

]

∈ R2

91

3.2.2. Analisis de estabilidad

Proponemos una f.c.l.:

V (q, q) =1

2[ml2c + I]q2 − mglc cos(q)

Pero hay que verificar que sea definida positiva:

V (q, q)|0,0 = 0 + [−mglc cos(0)]

Esto no es igual a cero, conviene sumar el termino mglc, y entonces la nueva f.c.l. es:

V (q, q) =1

2[ml2c + I]q2 + [−mglc cos(q)] + mglc

Definida localmenteV (q, q) > 0 ∀q ∈ [−2π, 2π], q 6= 0

Veremos ahora la derivada temporal de V (q, q):

V (q, q) =2

2[ml2c + I]qq + mglc sin(q)q + 0

Sustituyendo q de la ecuacion de lazo cerrado tenemos:

V (q, q) = [ml2c + I]q

[1

ml2c + I

[

τ − mglc sin(q)

]]

+ mglc sin(q)q

= −mglc sin(q)q + mglc sin(q)q = 0

Concluimos estabilidad en el origen, de acuerdo al teorema 1

3.2.3. Pendulo con friccion viscosa

El modelo dinamico del pendulo con friccion:

[ml2c + I]q + fv q + mglc sin(q) = τ

La ecuacion de lazo cerrado con τ = 0 es:

d

dt

[qq

]

=

q

1ml2c+I

[

−fv q − mglc sin(q)

]

92

El equilibrio:[qq

]

=

[nπ0

]

Para analisis de estabilidad, proponemos f.c.l.:

V (q, q) =1

2[ml2c + I]q2 + [−mglc cos(q)] + mglc

Ya probamos que V (q, q) > 0, y encontramos su derivada con respecto al tiempo, solo sustituimos qde la nueva ecuacion de lazo cerrado:

V (q, q) = [ml2c + I]q

[1

ml2c + I

[

−fv q − mglc sin(q)

]]

+ mglc sin(q)q

= q[mglc sin(q) + fv q] + mglc sin(q)q

= fv q2

Entonces V (q, q) ≤ 0, por tanto, vamos a utilizar el teorema 4:V (q(t), q(t)) = 0 ∀t ≥ 0, si y solo si,q(t) = 0 ∀t ≥ 0Pero, para que q(t) = 0 ∀t ≥ 0, implica que d

dt q(t) = q(t) = 0 ∀t ≥ 0.Luego, de la ecuacion del sistema:

q =1

ml2c + I

[

−fv q − mglc sin(q)

]

0 =1

ml2c + I

[

−mglc sin(q)

]

Despejando implica que sin(q(t)) = 0 ⇒ q(t) = 0 ∀t ≥ 0 ∀q ∈ (−2π, 2π); concluyendo ESTABILI-DAD ASINTOTICA LOCAL

93

4. Control Realimentado

Objetivo de control:

1. Regulacion. El objetivo de control es encontrar una ley de control de tal manera que losestados del sistema x tiendan a estados deseados constantes. (xd ∈ R

n).

Encontrar una ley de control u(t) ∈ Rn, tal que:

lımt→∞

x(t) = xd

O equivalentemente es:

Encontrar u(t) ∈ Rn, tal que:

lımt→∞

x(t) = 0

Donde x(t) = xd − x(t) representa el vector de esta-dos

2. Seguimiento. El estado deseado xd depende del tiempo, no es constante. El objetivo de con-trol de seguimiento es:

Encontrar una ley de control u(t) ∈ Rn, tal que:

lımt→∞

x(t) = xd(t)

O equivalentemente es:

Encontrar u(t) ∈ Rn, tal que:

lımt→∞

x(t) = 0

Donde x(t) = xd−x(t) representa el error de estados

4.0.4. Objetivo de regulacion

Usaremos una vez mas el pendulo como caso de estudio:

Modelo dinamico del pendulo simple:

[ml2c + I]q + mglc sin(q) = τ

94

Problema de control es encontrar τ de tal manera que:

lımt→∞

q(t) = qd

Esto implica encontrar una ley de control que estabilice asintoticamente el punto de equilibrio:

[qd − q

q

]

=

[qq

]

=

[00

]

Ley de control propuesta tipo PDLa parte proporcional corrige el error de posicion y la parte derivativa ofrece el termino de disipacionde energıa (equivalente a friccion viscosa):

τ = kp(qd − q) − kvq

La ecuacion de lazo cerrado queda ahora:

d

dt

[qq

]

=

q

1ml2c+I

[

kp(qd − q) − kv q − mglc sin(q)

]

Para encontrar el equilibrio:

[00

]

=

q

1ml2c+I

[

kp(qd − q) − kvq − mglc sin(q)

]

Dado que es un pendulo simple, eliminamos el termino −kv q, y el equilibrio queda para toda q quesatisfaga la siguiente ecuacion:

[qq

]

=

[q : kp(qd − q) − mglc sin(q) = 0

0

]

Nos interesa ver si q = 0, q = qd es punto de equilibrio:

kp(qd − qd) − mglc sin(qd) = 0 ⇒ sin(qd) = 0

Esto no satisface el objetivo de control ya que sin(qd) = 0 solo si qd = nπ y nosotros necesitamosque:

kp(qd − qd) − mglc sin(qd) = 0 ∀t ≥ 0 ∀q ∈ R

Entonces complementamos la ley de control con un termino mas, de tal forma que eliminemos elefecto de gravedad. Ahora la ley de control es:

τ = kp(qd − q) − kvq + mglc sin(q)

La ecuacion de lazo cerrado:

d

dt

[qq

]

=

q

1ml2c+I

[

kp(qd − q) − kv q

]

95

El equilibrio:[00

]

=

q

1ml2c+I

[

kp(qd − q) − kvq

]

⇒

q = 0

kp(qd − q) = 0

Ahora sı q = 0, q = qd es punto de equilibrio ∀t ≥ 0 ∀qd ∈ R

Recorremos al origen el punto de equilibrio. Para esto usaremos un cambio de variable denotan-do el error de posicion:

q = qd − q

Luego la ecuacion de lazo cerrado en la nueva variable es: ( ˙q = −q porque qd es constante)

d

dt

[qq

]

=

−q

1ml2c+I

[

kpq − kvq

]

Donde ahora el unico equilibrio es en el origen (cuando el error sea cero):

[qq

]

=

[00

]

Analisis de estabilidad del punto de equilibrio

Proponer f.c.l.:V (q, q) = K + U

pero esta ya no es suficiente porque el controlador suministra mas energıa. Entonces la nueva f.c.l.eliminando terminos semejantes de V (q, q) = K + U + EC:

V (q, q) =1

2(ml2c + I)q2 +

1

2kpq

2

donde V > 0 y radialmente desacotada.Ahora hay que derivar:

V (q, q) = (ml2c + I)qq + kpq ˙q

Y sustituir de la ecuacion de lazo cerrado:

V (q, q) = (ml2c + I)q

[1

ml2c + I

[

kpq − kvq

]]

+ kpq(−q) = −kv q2

Dado que V (q, q) es semidefinida negativa, aplicamos el teorema 4: V (q, q) = 0 si y solo si q(t) = 0∀t ≥ 0; esto implica que q(t) = 0 ∀t ≥ 0, y en la ecuacion de lazo cerrado:

q(t) = 0

q(t) = 0

∀t ≥ 0

Por tanto V (q, q) = 0 ∀t ≥ 0 y concluimos ESTABILIDAD ASINTOTICA GLOBAL. Con lo cualse satisface globalmente el objetivo de regulacion:

lımt→∞

q(t) = 0

96

NOTAS:Un contrapeso o compensacion de gravedad es el equivalente fısico de la constante que le sumamosal pendulo simple, mientras que un resorte lo serıa para la accion proporcional del controlador y unamortiguador para la accion derivativa.Si utilizaramos un control PID, no necesitarıamos saber los parametros del pendulo lc y m, sino quecon la accion integral serıa la compensacion de gravedad.

4.0.5. Objetivo de seguimiento

Como ejemplo de ilustracion veamos el pendulo simple:

[ml2c + I]q + mglc sin(q) = τ

Para el ejemplo del pendulo propondremos un control linealizante por realimentacion tal que elobjetivo de seguimiento sea satisfecho. La linealizacion por seguimiento consiste en encontrar unaley de control que ademas de conseguir el objetivo de seguimiento convierta al sistema en lazo cerradoen un sistema lineal, la llamaremos: Ley de control linealizante por realimentacion inversa

τ =1

2[ml2c + I][qd + kv(qd − q) + kp(qd − q)] + mglc sin(q)

Definimos los objetivos de control de seguimiento:

Error de posicion: q = qd − q

Error de velocidad: ˙q = qd − q

Error de aceleracion: ¨q = qd − q

97

La ecuacion de lazo cerrado:

1

2(ml2c + I)q + mglc sin(q) =

1

2(ml2c + I)[qd + kv

˙q + kpq] + mglc sin(q)

1

2(ml2c + I)[qd + kv

˙q + kpq] −1

2(ml2c + I)q = 0

1

2(ml2c + I)[qd − q + kv

˙q + kpq] = 0

¨q + kv˙q + kpq] = 0

Esta ultima es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden autonoma.La ecuacion en variables de estado:

d

dt

[q˙q

]

=

[q

−kv˙q − kpq

]

El equilibrio sera en:[q˙q

]

=

[00

]

Para evaluar la estabilidad de dicho equilibrio, ya no sera la funcion de energıa porque la nuevaecuacion de lazo cerrado ya es la diferencial. La nueva f.c.l.:

V (q, ˙q) =1

2˙q2 +

1

2kpq

2

Su derivada temporal evaluada en las trayectorias del sistema:

V (q, ˙q) = ˙q ¨q + kpq ˙q

= ˙q(−kv˙q − kpq) + kpq ˙q

= −kv˙q2

V (q, ˙q) es semidefinida negativa, por lo que aplicaremos el teorema 4: V (q, q) desaparece identica-mente solo en q = 0, ˙q = 0 como lo comprobaremos enseguida:

V (q, q) = 0 ∀t ≥ 0 ⇐⇒ ˙q(t) = 0 ∀t ≥ 0

Luego˙q(t) = 0 ∀t ≥ 0 ⇒ ¨q(t) = 0 ∀t ≥ 0

lo cual de la ecuacion de lazo cerrado:

˙q(t) = 0 ∀t ≥ 0 ⇒ −kp q(t) = 0 ∀t ≥ 0

lo cual a su vez implica queq(t) = 0 ∀t ≥ 0

Es decir, V (q(t), ˙q(t)) unicamente si q = 0, ˙q = 0. Por lo cual concluimos estabilidad asintotica globaldel equilibrio, logrando el objetivo de seguimiento.

98

5. Pasividad

Un sistema pasivo satisface la siguiente propiedad:

E(t1) = E(0) + Es(0, t1] − El(0, t1]

donde: E(t1) es la energıa en el instante de tiempo t = t1, E(0) es la energıa en el instante de tiempot = 0, Es(0, t1] es la energıa externa suministrada en el intervalo de tiempo t = (0, t1] y El(0, t1] esla energıa perdida en el intervalo de tiempo t = (0, t1]Elementos pasivos son aquellos elementos que no producen energıa; por ejemplo: masas, inercias,amortiguadores (en sistemas mecanicos), resistencias, capacitores, inductores (en sistemas electri-cos). Un sistema pasivo contiene unicamente elementos pasivos.Elementos activos son aquellos que pueden entregar energıa externa; por ejemplo: elementos que en-tregan pares y fuerzas externas (en sistemas mecanicos), elementos que entregan voltaje y corrientes(en sistemas electricos).

5.1. Definiciones

Trabajo. El trabajo realizado en un sistema mecanico es el producto de la fuerza por ladistancia (o par multiplicado por el desplazamiento angular)

W = F · Nm

Ejemplo:Resorte traslacional con constante k, el trabajo hecho por un desplazamiento dx es dado por:

W =

∫ x

0

Fdx

Pero como la fuerza ejercida por un resorte es F = kx:

W =

∫ x

0

kxdx =1

2kx2 [Nm]

Energıa. Es la capacidad de realizar un trabajo. Sus unidades son las mismas que las detrabajo (Nm).La energıa potencial de un cuerpo de masa m en un campo gravitacional a una altura x = h[m]

U =

∫ h

0

mgdx = mgh

Energıa en un resorte de constante k:

U =

∫ x

0

Fdx =

∫ x

0

kxdx =1

2kx2

La energıa cinetica es la que un cuerpo tiene como resultado de su velocidad

K =1

2mv2

99

donde: m es la masa del cuerpo (kg), y v es la velocidad lineal del cuerpo (ms )

K =1

2Jθ2

donde: J es el momento de inercia (kgm2) y θ es la velocidad angular ( rads )

Energıa disipada por un amortiguador de constante b de la posicion x1 a la posicion x2:

∆ω =

∫ x2

x1

Fdx =

∫ x2

x1

bxdx = b

∫ t2

t1

xdx

dtdt = b

∫ t2

t1

x2dt

Potencia. Es la tasa de tiempo para desarrollar un trabajo

P =dW

dt

[Nm

s= Watt

]

Potencia requerida para comprimir o estirar un resorte

P =dW

dt=

Fdx

dt= F x = kxx ⇒ P =

dU

dt

Potencia requerida para acelerar una masa m

P =dW

dt=

Fdx

dt= mxx = mvv ⇒ P =

dK

dt

Potencia disipada en un amortiguador

P =dW

dt=

Fdx

dt= bxx = bx2

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES:

Joule

s= Watt = V A = V

C

s=

Nm

s

En sistemas electricos, la energıa se disipa en la resistencia y se almacena en el condensador yla inductancia.

5.2. Sistema pasivo

Un sistema con entrada u y salida y donde u(t) ∈ Rn y y(t) ∈ R

n, es pasivo si existe unaconstante β tal que:

∫ T

0

y(t)T u(t)dt ≥ β ∀T ≥ 0

Si u(t), y(t) ∈ R:∫ T

0

u(t)y(t)dt ≥ β

Teorema. Suponga que existe una funcion continua V (t) ≥ 0 tal que:

V (T ) − V (0) ≤∫ T

0

y(t)T u(t)dt ∀T ≥ 0

Entonces el sistema con entrada u(t) y salida y(t) es pasivo.

Ejemplo:Sea el pendulo simple, demostrar que el sistema es pasivo de τ a q

100

Propondremos una f.c.l. y obtenemos su derivada:

V (q, q) =1

2[ml2c + I]q2 + mglc[1− cos(q)] ≥ 0

V (q, q) = [ml2c + I]qq + mglc sin(q)q

La evaluamos en las trayectorias:

V (q, q) = [ml2c + I]q

[1

ml2c + I

[

τ − mglc sin(q)

]]

+ mglc sin(q)q

= q[τ − mglc sin(q) + mglc sin(q)]

= qτ

Si integramos ambos lados de la ecuacion:

∫ T

0

d

dtV (q(t), q(t))dt =

∫ T

0

q(t)τ (t)dt

Ojo! Hay que cambiar los lımites porque el diferencial es de V y la integral es en t:

∫ V (q(t),q(t))

V (q(0),q(0))

dV (q(t), q(t)) =

∫ T

0

q(t)τ (t)dt

V (q(t), q(t)) − V (q(0), q(0)) =

∫ T

0

q(t)τ (t)dt

CONCLUIMOS POR TEOREMA QUE EL PENDULO ES PASIVO Luego, como V (q(t), q(t)) ≥ 0:

V (q(t), q(t)) − V (q(0), q(0)) ≥ −V (q(0), q(0))

entonces:

−V (q(0), q(0)) ≤∫ T

0

q(t)τ (t)dt

donde: −V (q(0), q(0)) = β

5.3. Funcion descriptiva

La funcion descriptiva de un elemento no lineal, es la relacion compleja entre la componentearmonica fundamental de la salida con respecto a la entrada:

N =y1

x∠φ1

101

donde: N es la funcion descriptiva, y1 es la amplitud de la componente armonica fundamental de lasalida, x es la amplitud de la sinusoide de entrada, φ1 es el desplazamiento de fase de la armonicafundamental de la salida.Por ejemplo: no linealidad ON-OFF

y =

M ; x ≥ 0

−M ; x < 0

Entonces la no linealidad viene dada por:

N =4M

πx

102