TALLER I CONTROL NO LINEAL

1.0. Dado el siguiente sistema dinámico obtenga la representación de estados, verifique los puntos y tipos de equilibrio y su estabilidad para el sistema lineal. Verifique el retrato de fase del sistema no lineal y el explique comportamiento cualitativo del sistema:

ψ+ψ=ζ⋅ψ (1−ψ2−ψ2)ζ ∈R

j [ x , y ]=[ 0 1−2 ζ xy−1 ζ−ζx2 y−3 ζx2 ]j [0,0 ]=[ 0 1

−1 ζ ]Cuandoζ=0x= yy=0 y−0 x2 y−0 y3−x

Control no Lineal

Taller No 1. Análisis cualitativo de Sistemas no lineales Nelly Paola Fonseca Jamaica 20081283010

Edwin L. Márquez Sandoval 20091283016

(Marzo de 2010)

x1=ψx2=ψx= yy=ζ⋅y (1−x2− y2)−x=ζy−ζx2 y−ζy3−x

Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y y ' = - x

-15 -10 -5 0 5 10

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

t

x

Cuandoζ=1x= yy=1 y−1 x2 y−1 y3−x

Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y y ' = y - y x2 - y3 - x

-5 0 5 10 15 20 25

-1

-0.5

0

0.5

1

t

x

Cuandoζ=−1x= yy=−1 y+1 x2 y+1 y3−x

Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y y ' = - y + x2 y + y3 - x

-25 -20 -15 -10 -5 0 5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x

2.0.Dada la ecuación de Rayleigh, obtenga la representación de estado, verifique

los puntos y tipos de equilibrio, estabilidad para el sistema lineal. Verifique el

retrato de fase del sistema no lineal y explique comportamiento cualitativo.

x−ξ x(1− x2

3 )+x=0

Cuando

ξ=1ξ=0 .1

x1=xx2= x1

x2=ξx2(1−x223 )−x1x1= y

y1=ξy (1− y2

3 )−x

j [ x , y ]=[ 0 1

−1 ζ (1− y2 ) ]j [0,0 ]=[ 0 1

−1 ζ ]Si ξ=1 , entonces:

x1= y

y1= y−y3

3−x

Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y y ' = y - ((y3)/3) - x

-5 0 5 10 15 20 25

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

x

Si ξ=0 .1 , entonces:

x1= y

y1=0 .1 y−0.1 y3

3−x

Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y y ' = 0.1 y - ((0.1 y3)/3) - x

-40 -20 0 20 40 60 80 100

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

x

3.0. Para el siguiente sistema verificar que el origen es un equilibrio, linealize el sistema alrededor del origen e indique el tipo de equilibrio y la estabilidad del sistema lineal. Encuentre el retrato de fase del sistema no lineal (haga conversión a coordenadas polares):

x1=−x1−

x2ln√ x12+x22

x2=−x2+x1ln √ x12+x22x1=rcos θ

x2=r sinθ

r=√(x1+ x2 )

θ=Tan−1( x2x1)r 2=x1

2+x22

r r=x1 x1+x2 x21

cos2θθ=

x1 x2−x2 x1x12

r r=x1 (−x1−x2ln √x12+x22 )+x2(−x2+x1ln √ x12+x22 )

r r=− x12−x1 x2ln√ x12+x22

−x22+x2 x1ln √ x12+x22

r r=− x12−x2

2=−(x12+x22 )=−r2

r=−r

1

cos2θθ=

x1 (−x2+x1ln√ x12+x22 )−x2(−x1−x2ln √x12+ x22 )

x12

1

cos2θθ=

−x2 x1+x12

ln √x12+x22+ x2 x1+

x22

ln √x12+x22x12

1cos2θ

θ=

x12

ln √x12+x22+x22

ln √x12+x22x12

1

cos2θθ=

x12+x2

2

ln √x12+x22x12

=x12+x2

2

x12⋅ln √x12+x22

=r2

r2cos2θ⋅ln (r )

θ=r2

r2cos2θ⋅ln (r )⋅cos

2θ1

=1ln (r )

r=−r

θ=1ln (r )

Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:

x ' = - x y ' = 1/(log(x))

0 100 200 300 400 500 600 700

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

t

x

j [0,0 ]=[ −1 0

−e

r 20 ]

Grafica de comportamiento en el punto (0,1) en el tiempo:x ' = - x y ' = 1/(log(x))

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

0

10

20

30

40

50

t

x

4.0. Verificar los puntos, tipos de equilibrio y estabilidad para el sistema lineal

x1=x2x2=x1−2 tan

−1( x1+x2)

j [ x , y ]=[ 0 1

1−2

1−( x+ y )2−

2

1−( x+ y )2 ]j [0,0 ]=[ 0 1

−1 −2 ]

Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y y ' = x - 2 atan(x + y)

-2 0 2 4 6 8 10

0

5

10

15

20

25

30

t

x

5.0. El modelo de interacción o acción inhibitoria y ex_citatoria entre dos neuronas

biológicas esta dado por las ecuaciones siguientes, donde x1 es la salida de la

neurona ex_citatoria y x2 la salida de la neurona inhibitoria, la evolución de x1y x2 esta dada por:

j [ x , y ]=[−1+ 2e−λx1

(1+e−λx1)2− 2e

−λx2

(1+e−λx2)2

− 2e− λx1

(1+e− λx1)2−1+ 2e

− λx2

(1+e− λx2 )2]

j [0,0 ]=[−12 −12

−12

−12

]r r=x1 (−1τ x1+tanh ( λx1 )−tanh( λx2 ))+x2(−1τ x2+ tanh( λx1)−tanh ( λx2 ))r r=−1

τx12+x1⋅tanh ( λx1 )−x1⋅tanh ( λx2)−

1τx22+x2⋅tanh ( λx1)− x2⋅tanh( λx2)

r r=−1τ ( x12+x22)+ tanh ( λx1 )( x1+x2 )− tanh( λx2)( x1+x2 )

x1=−1τx1+ tanh( λx1 )−tanh( λx2 )

x2=−1τx2+ tanh( λx1 )−tanh( λx2 )

tanh( λx1)=1−e

−λx1

1+e−λx

1

r r=−1τ

( x12+x22)+( x1+x2 )( tanh( λx1 )− tanh( λx2 ))

r r=−( x12+x22)τ

+(x1+x2 )(1−e−λx11+e−λx

1−1−e

−λx2

1+e− λx

2 )r r=−

( x12+x22 )τ

+(x1+ x2 )((1−e−λx1) (1+e−λx2 )−(1−e− λx2) (1+e−λx1 )

(1+e−λx1) (1+e−λx2 ) )r r=−

( x12+x22 )τ

+(x1+ x2 )(−2e−λx1+2e

−λx2

(1+e−λx1) (1+e−λx2 ) )

r r=−(r2)τ

+2 r (cosθ+sin θ )(−e− λcosθ+e− λ sin θ(1+e−λcos θ) (1+e− λ sin θ) )r=−r

τ+2( cosθ+sin θ )(−e

− λrcos θ+e− λrsin θ

(1+e− λrcos θ) (1+e−λr sinθ ) )

1

cos2θθ=x1 (−1τ x2+ tanh( λx1)−tanh( λx2 ))−x2(−1τ x1+ tanh( λx1 )−tanh( λx2 ))x12

1

cos2θθ=

−x1 x2τ

+ x1⋅tanh( λx1)−x1⋅tanh( λx2)−x1x2τ

−x2⋅tanh( λx1 )+x2⋅tanh( λx2 )

x12

1cos2θ

θ=−2x1 x2τ

+( x1−x2)⋅tanh ( λx1 )−( x1−x2 )⋅tanh( λx2)

x12

1cos2θ

θ=

−2x1 x2τ

+( x1−x2)⋅[1−e−λx11+e− λx1

−1−e− λx

2

1+e− λx2 ]

x12

1

cos2θθ=

−2 r2 senθ cosθτ

+2 r ( cosθ−senθ )⋅(−e−λrcosθ+e− λr sin θ

(1+e−λrcosθ ) (1+e− λr sin θ ) )r2 cos2θ

θ=

−2 rsenθ cosθτ

+2 (cos θ−senθ )⋅(−e− λrcosθ+e− λr sin θ

(1+e− λrcosθ ) (1+e− λr sin θ ) )r

Grafica en el punto (0,0):

x ' = - x + ((1 - exp( - x))/(1 + exp( - x))) - ((1 - exp( - y))/(1 + exp( - y)))y ' = - y + ((1 - exp( - x))/(1 + exp( - x))) - ((1 - exp( - y))/(1 + exp( - y)))

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

0

5

10

15

20

25

t

x

Para

λ=12

τ=1

Paraτ=1λ=2

Grafica en el punto (0,0)x ' = - x + ((1 - exp( - 4 x))/(1 + exp( - 4 x))) - ((1 - exp( - 4 y))/(1 + exp( - 4 y)))y ' = - y + ((1 - exp( - 4 x))/(1 + exp( - 4 x))) - ((1 - exp( - 4 y))/(1 + exp( - 4 y)))

-1 0 1 2 3 4 5 6

-8

-6

-4

-2

0

t

x

6.0. El modelo de sístole y diástole cardiaca(Oscilador van del pol) es dado por las siguientes ecuaciones, en donde x representa la variación de longitud de la fibra muscular cardiaca, v estimulo cardiaco y µ>0 un parámetro del sistema:

x=v−μ(x23 −x)v=−x

μ=0x=vv=−x

Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y y ' = - x

-10 -5 0 5 10

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

t

x

μ=−0 .5

x=v+0 .5⋅x2

3−0 .5⋅x

v=−x

Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:

x ' = y + ((0.5 x2)/3) - 0.5 xy ' = - x

0 5 10 15

-40

-30

-20

-10

0

10

t

x

Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y + ((x2)/3) - xy ' = - x

-4 -2 0 2 4 6 8 10-40

-30

-20

-10

0

t

x

μ=−1

x=v+ x2

3−x

v=−x

Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y + ((x2)) - xy ' = - x

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-40

-30

-20

-10

0

t

x

7.0. Encuentre el tipo de bifurcaciones del sistema para el caso µ1=0 V µ2 cuando este varia.

j [ x , y ]=[ 1 03x2+2xy μ2+x

2 ]

j [0,0 ]=[1 00 μ2 ]

μ=−3x=v+ x2−xv=−x

x= yy=μ1x+μ2 y+x

2−x2 y

μ1=0 μ2=−1x= yy=−1 y+x2−x2 y

Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:

x ' = y y ' = - y + x2 - y x2

-5 0 5 10 15-5

-4

-3

-2

-1

0

t

x

μ1=0 μ2=0x= yy=x2−x2 y

Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:

x ' = y y ' = x2 - y x2

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

t

x

μ1=0 μ2=1x= yy= y+x2−x2 y

Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:

x ' = y y ' = y + x2 - y x2

-15 -10 -5 0 5 10 15

0

2

4

6

8

10

12

14

16

t

x

8.0. Linealize el sistema de tanque cilíndrico (sistema de primer orden) para régimen turbulento alrededor del punto de equilibrio (punto de operación del sistema) cuando , con un valor de restricción en el caudal de salida de y

un valor de capacitancia fluidica C=3.k=2h0=1

(qi−q0 )dt=dv

ℜe>4000 (regimenturbulento )→q=Rh12

ℜe<4000 (regimenlamin ar )→q=Rh

v=πr2hdvdt

=πr 2dhdt

qs ( t )

q i( t )

h( t )

Como πr2=C=3, reemplazando en la anterior ecuación tenemos que:

3dhdt

+12(2)

12=q

Linealizando la ecuación, tenemos que:

3dhdt

+0.7071=q

y− y0=∂ f∂ x

|0Δx

q=Rh12→dq=1

2Rh0

12 dhdt

(q i−Rh12 )=πr2dh

dt

πr2dhdt

+Rh12=q i h0=1

πr2dhdt

+12Rh

12=qi