3. Realimentacin del vector de estados

Es imprescindible entender que, al tratar de establecer leyes de control sobre sistemas reales, y en particular sobre modelos no lineales, en base a modelos lineales aproximados, la validez de tales acciones de regulacin est necesariamente restringida al rango de validez de la linealizacin. No podr por lo tanto pretenderse que un modelo as establecido sea vlido en todo el mbito de posible variabilidad del sistema.

Cabe destacar, sin embargo, que gran parte de la tecnologa de regulacin automtica, diseada para innumerables clases de procesos en la industria durante los ltimos 20 aos, est basada en este solo hecho!

3.1. Motivacin

Es bien conocido que los procesos reales a ser controlados siempre sern afectados por perturbaciones que desvan, de sus puntos de equilibrio, a las variables que caracterizan al sistema. Se hace necesario, por lo tanto, disear mecanismos de control que ayuden a mantener las variables del sistema en sus valores nominales de operacin, a la luz de las perturbaciones reinantes.

Estas perturbaciones pueden provenir del medio ambiente como influencias de carcter aleatorio o generadas por pequeas variaciones de los parmetros que definen el sistema dinmico. En ocasiones, las perturbaciones tambin pueden ser inducidas por operadores humanos en el deseo de conducir experimentos sobre el sistema y su comportamiento controlado, con el objetivo de realizar, por ejemplo, el diseo del modelo matemtico por medio de identificacin, o ajuste tuning en ingls) de los parmetros del controlador.

En cualquiera de los casos enunciados, la linealizacin aproximada puede ser til, en cuanto al diseo del controlador se refiere, pues sta permite obtener un modelo lineal que describe el comportamiento del sistema alrededor de sus valores nominales como respuesta a las perturbaciones que afectan al mismo.

El modelo linealizado exhibe en forma explcita la relacin entre las perturbaciones de entrada y estados iniciales y su efecto en las variables perturbadas de estado y salida del sistema. En consecuencia, este modelo puede servirnos para proponer una perturbacin de caracter controlador a la entrada incremental del sistema. El propsito de disear tal entrada ser el de hacer que el efecto de las posibles perturbaciones en los estados iniciales y variables de estado sea estabilizado a cero. Con esto se lograra que el sistema no lineal original contine operando en su punto de equilibrio nominal. Este captulo se dedica a desarrollar los esquemas bsicos de aplicacin de la linealizacin aproximada en el diseo de estrategias de control.

Presentaremos a continuacin el esquema de diseo de un controlador esttico para un sistema linealizado basado en el conocimiento preciso del vector de estado, al cual generalmente se le conoce con el nombre de controlador por realimentacin del vector de estado.

3.2. Diseo de controladores mediante linealizacin aproximada

Supondremos, en primer lugar, que el valor del estado del sistema y de sus posibles perturbaciones estn disponibles para medicin En este captulo partiremos, entonces, de la suposicin de que tenemos conocimiento pleno de todas y cada una de las variables de estado perturbadas y podemos, por lo tanto, utilizarlas en esquemas de control realimentado.

Figura 3.1: Relacin entre las variables originales y las variables incrementales

Figura 3.2: Sistema lineal que describe, en forma aproximada, el comportamiento de las perturbaciones.

El mtodo que estudiaremos est basado en suponer que los valores de las perturbaciones de estado se describen mediante un sistema lineal obtenido por medio de linealizacin aproximada, a partir del modelo no lineal original, alrededor del punto de equilibrio nominal del sistema. De esta forma, reemplazaremos los valores reales de las perturbaciones por las aproximaciones obtenidas por linealizacin, representadas por un sistema lineal. Sabemos que esta sustitucin es vlida solo cuando los valores de las perturbaciones son suficientemente pequeos.

En efecto, el esquema de la Figura 2.1, reproducido en la Figura 3.1, nos muestra que el comportamiento de los efectos de las perturbaciones sobre el sistema no lineal son reemplazables, en forma aproximada, por un sistema lineal.

Observemos al sistema no lineal de la Figura 3.1 como una relacin entre ). Es evidente que al encontrar un control estabilizante como funcin de las variables perturbadas de estado , entonces este control debe garantizarnos la estabilizacin a cero de dichas variables perturbadas.Entre ) existe una relacin lineal aproximada que podemos representar como se muestra en la Figura 3.2.

Es indudable que si logramos establecer una prescripcin que especifique al control, o entrada incremental, en trminos del estado incremental, nuestro problema no lineal original queda reducido a un problema lineal. Esto es cierto en tanto que las magnitudes de las perturbaciones, a las cuales se ve sometido el sistema original, sean lo suficientemente pequeas como para no desviar significativamente los valores de las variables de estado originales de sus puntos de operacin nominales.

Figura 3.3: Sistema lineal realimentado linealmente

Figura 3.4: Esquema de control lineal por realimentacin del vector de estado para sistemas no lineales

La estrategia a seguir consistir en disear una ley de control lineal para el sistema de la Figura 3.2, de manera de estabilizar a cero las variables de estado perturbadas . El esquema de control, desde el punto de vista lineal, sera el que se muestra en la Figura 3.3. Finalmente, en trminos del sistema no lineal original, el esquema de control sera el representado en la Figura 3.4.

Cabe ahora preguntarnos: cundo ser efectivo utilizar el esquema de control ilustrado en la Figura 3.4? Es decir, qu limitaciones deben existir para que, en ciertos casos, el esquema de control propuesto no funcione satisfactoriamente?Puesto que hemos reemplazado el problema de control no lineal por uno lineal, estas preguntas se reducen a plantear las condiciones bajo las cuales el sistema de la Figura 3.2 es estabilizable mediante realimentacin constante de las variables de estado incrementales. Para ello recordemos el siguiente teorema bsico de la teora de sistemas lineales:

Teorema 3.1: Estabilizabilidad usando realimentacin de estadosLa condicin necesaria y suficiente para que el sistema lineal

Sea estabilizable mediante una ley de control por realimentacin constante del vector de estado, es que el par (A,B) sea controlable. Si el sistema es incontrolable, ste puede an estabilizarse mediante realimentacin si y solo si los modos incontrolables son asintticamente estables.

Este teorema est asociado al muy conocido teorema de colocacin de polos, el cual asevera que los polos de un sistema controlable pueden ser asignados de la manera deseada mediante una realimentacin lineal de las variables de estado.

En la literatura siempre se distingue entre sistemas controlables y sistemas estabilizables. Todo sistema controlable es estabilizable. Sin embargo, no todo sistema estabilizable es per se controlable. De hecho existe, como reza el teorema anterior, la posibilidad de tener un sistema incontrolable que sea estabilizable. La nocin de estabilizabilidad de un sistema representa un requerimiento ms dbil que el implicado por la nocin de controlabilidad. Ms adelante lustraremos estos conceptos mediante el ejemplo Matlab 3.2, en la Seccin 3.3.Afortunadamente, casi todos los sistemas lineales son controlables! Para explicar esta aseveracin debemos decir que si escogemos aleatoriamente los valores numricos que intervienen en la conformacin de la matriz A y los del vector B, entonces, con probabilidad uno1, el sistema resultante es controlable. Esto se debe a que en el espacio de los parmetros del sistema lineal (cuya dimensin es el conjunto de valores de esos parmetros que hacen cero al determinante de la matriz de controlabilidad, es decir, los valores numricos de la matriz A y del vector B que hacen cero la matriz de controlabilidad:

forman una variedad algebraica, es decir, una unin de planos, cuya medida es cero (entendamos por tal medida el hipervolumen). En consecuencia, al escoger un punto aleatoriamente en este espacio de dimensin con probabilidad uno caeremos fuera de esta variedad algebraica. Una forma de ilustrar lo que decimos consiste en dibujar una o varias lneas en una hoja de papel en forma desordenada, luego proponer dos nmeros aleatorios que representen coordenadas adoptadas sobre dos bordes contiguos de la hoja y, por ltimo, ver si los nmeros propuestos al azar representan un punto de alguna de las lneas que hemos trazado. Como es fcil imaginarse, es muy difcil caer exactamente sobre una de las lneas dibujadas. Es posible predecir que, si el experimento se hace adivinando en forma aleatoria, por ejemplo, pidindole a un amigo quien no ve la hoja ni el resultado de sus intentos el decir las coordenadas en cuestin, entonces es casi seguro que de cien intentos que hagamos caeremos cien veces fuera de las Rectas dibujadas!

El resultado anterior y nuestra seguridad de encontrarnos frente a un sistema controlable nos hace concluir que el mtodo tendr limitaciones solamente relativas a la magnitud de las perturbaciones que se requiere controlar, es decir, las mismas debern ser suficientemente pequeas.

Ejemplo 3.1: Realimentacin de estados: sistema de levitacin magnticaConsideremos el Modelo 8, en la pgina 14. Tomaremos como punto de equilibrio aquel parametrizado respecto a X, ver (1.20):

Emplearemos esta parametrizacin pues, de esta manera, la ley de control lineal vendr directamente en trminos del error de la variable que se desea controlar (y no en trminos de una variable que est indirectamente relacionada con ella).Definiremos, como siempre, las variables de estado incrementales utilizando los valores de equilibrio de los estados y los controles:

La evolucin de las perturbaciones de estado estn gobernadas por el sistema de ecuaciones diferenciales lineales obtenido del proceso de linealizacin alrededor de los valores de equilibrio:

= +

Verificamos, entonces, que el sistema linealizado es controlable:

y, por lo tanto, , es decir, el sistema es controlable.Resulta lgico pensar que si mediante una ley de control lineal, dada por:

logramos que el estado incremental tienda a cero asintticamente, habremos logrado que el estado del sistema no lineal se acerque a su valor de equilibrio. Examinemos brevemente la naturaleza del sistema en lazo abierto, es decir, sin control. La matriz A del sistema, extraida directamente de (3.2), est dada por

Figura 3.5: Ubicacin de los polos del sistema (3.2) en lazo abierto

Los autovalores de A determinan la estabilidad del sistema alrededor del origen , cuando . Tales autovalores se obtienen a partir de las races del polinomio caracterstico de la matriz A, el cual se calcula de la manera siguiente:

Las races de este polinomio resultan

El sistema linealizado cuenta, por tanto, con dos races estables (ubicadas en el lado izquierdo del plano complejo) y una raiz inestable (ubicada en el semiplano derecho del plano complejo), tal como se muestra en la Figura 3.5. La respuesta en lazo abierto del sistema linealizado cuenta entonces con trminos exponenciales de la forma . Uno de estos trminos crece de manera indefinida dando lugar a inestabilidad. Ejercicio: Cmo se explica esta inestabilidad desde el punto de vista fsico?

A pesar de que el sistema sea naturalmente inestable, podemos sin embargo, debido a que el sistema es controlable, garantizar la existencia de una ley de realimentacin lineal que hace al sistema en lazo cerrado asintticamente estable. La realimentacin lineal permitir ubicar los polos del sistema en lazo cerrado en puntos pre-seleccionados del plano complejo.Deseamos por ejemplo, que el sistema linealizado (de tercer orden) en lazo cerrado tenga sus polos ubicados en las races del siguiente polinomio caracterstico deseado:

A manera de recordatorio, _ es conocido como relacin de amortiguamiento y !n es la frecuencia natural no amortiguada correspondiente al par de polos complejos conjugados que genera el factor de segundo grado. La Figura 3.6 muestra una posible disposicin de los polos deseados del sistema, en la cual los polos complejos conjugados son dominantes (en la Figura se han tomado El sistema en lazo cerrado est dado por:

Figura 3.6: Polos del sistema (3.2) en lazo cerrado

y su polinomio caracterstico resulta:

Si igualamos este polinomio, trmino a trmino, con el polinomio deseado pd(s) dado por (3.3), obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales para las ganancias de realimentacin ,

de donde resultan:

El esquema de control est representado entonces, al menos conceptualmente, por medio del diagrama mostrado en la Figura 3.7.El controlador lineal queda dado por la siguiente expresin:

Ejemplo 3.2: Diseo del control lineal de un reactor de fisin por medio de linealizacin aproximadaLa linealizacin del Modelo 12, en la pgina 17, alrededor del punto de equilibrio

Figura 3.7: Esquema de realimentacin lineal de estados para el sistema de levitacin magntica

se expresa mediante

As, las matrices del sistema A y de entrada B estn dadas por:

El sistema es evidentemente controlable pues su matriz de controlabilidad es no singular como se puede constatar fcilmente

De esta forma, utilizamos para el sistema lineal la ley de control incremental dada por

lo cual hace que el sistema en lazo cerrado adquiera la forma:

El polinomio caracterstico de este sistema est dado por:

Evidentemente, las ganancias de diseo K1 y K2 pueden escogerse independientemente para hacer que el polinomio caracterstico del sistema en lazo cerrado iguale a un cierto polinomio caracterstico deseado, dado por

Los valores de se obtienen entonces igualando trmino a trmino los coeficientes de los polinomios (3.4) y (3.5):

La ley de control realimentado que estabiliza el modelo incremental se expresa entonces de la manera siguiente

La ley de control lineal que estabiliza al sistema no lineal se consigue sustituyendo las variables incrementales por sus valores:

de donde resulta

3.3. Ejemplos en Matlab (R)

Basados en la tcnica de linealizacin aproximada, a continuacin se presenta el diseo de controladores basados en realimentacin del vector de estados para dos sistemas no lineales: un artefacto espacial y un reactor de fisin. Se ilustra por medio de Matlab (R) la respuesta en lazo cerrado, simulada numricamente, para observar el desempeo de dichos controladores.

Ejemplo 3.3: Diseo del control (lineal) de la orientacin de un artefacto espacial

Consideremos nuevamente el Modelo 6, en la pgina 12:

Bajo la suposicin de que todas las variables de estado son medibles y, por lo tanto, utilizables en cualquier poltica de control realimentado, procedemos a definir las variables perturbadas alrededor de los valores nominales de equilibrio, los cuales, se asume, son coincidentes con las condiciones inherentes a la posicin deseada:

La linealizacin del sistema alrededor de su punto de equilibrio constante est dada por las ecuaciones:

las cuales se reescriben en trminos matriciales en la forma:

A continuacin, algunas caractersticas a notar. El sistema linealizado es independiente del punto de equilibrio. Tambin es fcil ver que el sistema es completamente controlable debido a que la matriz de controlabilidad, dada por:

es de rango completo (es decir, rango C = 3) pues su determinante es distinto de cero. Proponemos una ley de control realimentado del tipo lineal especificada mediante la expresin

Esta ley de control conlleva, en consecuencia, la siguiente expresin para el sistema controladoen lazo cerrado:

Puesto que nuestro inters fundamental est en inducir una dinmica controlada, para el valor de las perturbaciones del estado, de naturaleza asintticamente estable a cero, los valores de las ganancias K1, K2, K3 deben especificarse de tal manera que los autovalores del sistema autnomo anterior (sistema en lazo cerrado) tengan parte real negativa. Con el objeto de obtener esta especificacin calculamos el polinomio caracterstico y lo igualamos a alguno del cual sabemos tiene sus races en el semiplano izquierdo en valores preestablecidos. El polinomio caracterstico del sistema lineal en lazo cerrado est dado por:

Como puede apreciarse, de la conformacin de este polinomio caracterstico resulta que los parmetros de diseo K1, K2 y K3 intervienen independientemente en cada trmino del polinomio. Este hecho permitir obtener estos valores al igualar el polinomio caracterstico a uno deseado cuyos polos se encuentran en el semiplano izquierdo.Supongamos que deseamos contar con una localizacin de polos como la que se muestra en la Figura 3.8. Es decir, deseamos que el polinomio caracterstico pd en lazo cerrado est dado por:

donde a, b y c son conocidos y se escogen de tal manera que la respuesta temporal, por ejemplo, tenga caractersticas deseables (tiempo de ascenso, sobrepaso, tiempo de estabilizacin, etc.).Igualando los coeficientes de las mismas potencias de los polinomios (3.8) y (3.9) obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones para los parmetros de diseo:

Figura 3.8: Ubicacin de polos, en el plano complejo, para el artefacto espacial en lazo cerrado

de donde obtenemos en forma inmediata los valores requeridos de los parmetros de diseo:

La ley de control lineal retroalimentada que estabiliza el modelo incremental alrededor del origen est dada entonces por:

El controlador lineal que estabiliza el sistema a su punto de equilibrio0 y , se obtiene sustituyendo las variables incrementales en el controlador lineal por sus valores en funcin de las variables originales. En este caso, el controlador est dado entonces por:

Es necesario recalcar que

la validez del controlador lineal obtenido anteriormente se circunscribe a valores cercanos al punto de equilibrio deseado.

En virtud de las no linealidades del sistema, cuando se pretende utilizar un control lineal simple que, de por s, no toma en cuenta las complejidades globales del sistema y solo sus expresiones locales, el resultado puede ser un rotundo fracaso en lograr el control del sistema. Esto se ilustra en los prximos prrafos mediante simulaciones numricas realizadas en el computador.

Matlab 3.1: Simulacin del comportamiento en lazo cerrado del artefactoespacial, controlado mediante linealizacin aproximadaLas respuestas del sistema controlado (1.13) en lazo cerrado con la ley de control (3.10) se muestran en la Figura 3.9. En este grfico se presentan la posicin angular de orientacin de la tobera, la velocidad angular de orientacin, la posicin angular de la tobera, as como la seal de control usada en estabilizar el sistema. Note que el sistema tiene como condicin inicial x1(0) = 2 rad, x2(0) = 0 rad/seg, x3(0) = 0 rad. Los valores utilizados en la simulacin fueron: Parmetros del sistema:

Figura 3.9: Comportamiento en lazo cerrado del artefacto espacial controlado

Figura 3.10: Comportamiento del artefacto espacial obtenido por simulacin del sistema controlado, para desviaciones iniciales significativas del punto de equilibrio

Parmetros del controlador:

Como se observa en la Figura 3.9, el controlador (3.10) estabiliza, exitosamente, la posicin angular del artefacto desde una posicin cercana a la posicin deseada.El listado del programa sejem1.m, con el cual se pueden obtener las simulaciones numricas, se presenta en el Listado 3.1. En el programa sejem1.m incluimos los comandos necesarios para la generacin de los grficos. En el Listado 3.2 se transcribe el programa ejemplo1.m, realizado en Matlab (R), donde se presenta el modelo y la ley de control lineal del sistema no lineal.Recordemos que hemos mencionado que el mtodo de la linealizacin aproximada funcionar en tanto las perturbaciones sean suficientemente pequeas. Sin embargo, determinar cuando esto ocurre solo depende del sistema estudiado en particular. Utilizaremos el ejemplo desarrollado para ilustrar nuestro punto. En la Figura 3.10 se ha repetido la simulacin anterior desde una posicin inicial suficientemente alejada de la posicin final de equilibrio, en este caso para x1(0) = 0. Se puede observar que, bajo estas condiciones, el controlador lineal falla en estabilizar el sistema al valor de equilibrio deseado, el sistema ya no se estabiliza alrededor de _ = 2,5 rad. Ejercicio: Explique este hecho. Determine los puntos de equilibrio del sistema en lazo cerrado y observe cules son estables y cules inestables.

Listado 3.1: Programa de simulacin del artefacto espacial sejem1.m

% sejem1.m% Programa de generacion de los graficos del ejemplo1.m% tiempo de simulacionti = 0; tf = 3;%% condiciones iniciales:%% cerca del punto de equilibriox0 = [2 0 0]';%% lejos del p.e.%%x0 = [0 0 0];%% simulacion[t,x] = ode45('ejemplo1',[ti tf],x0);%% Posicion angular (x(1))subplot(2,2,1), plot(t,x(:,1))title('Posicin angular')xlabel('tiempo t')ylabel('theta')%% Velocidad angular (x(2))subplot(2,2,2), plot(t,x(:,2))title('Velocidad angular')xlabel('tiempo t')ylabel('omega')%% Angulo de orientacin de la tobera (x(3))subplot(2,2,3), plot(t,x(:,3))title('Orientacin de la tobera')xlabel('tiempo t')ylabel('beta')%% Variable de control (u)F = 200; L=3; R=20; J =50; a =2; b=3.5; c = 12.75; Theta = 2.5;u = -J*a*(b^2+c^2)/F/L/R*(x(:,1)-Theta)-J*(b^2+c^2+2*a*b)/F/L/R*x(:,2)-...(2*b+a)/R*x(:,3);subplot(2,2,4), plot(t,u)title('Variable de control')xlabel('tiempo t')ylabel('u')% fin de sejem1.m

Listado 3.2: Simulacin del artefacto espacial: modelo ejemplo1.m

function xdot=ejemplo1(t,x)%% ejemplo1.m%%%% Primer ejemplo de simulacion numerica:%% Control de orientacion de un artefacto espacial por medio%% de linealizacion aproximada%%%% Este programa simula la respuesta de un modelo de tercer%% orden, que representa un artefacto espacial del cual se requiere%% una reorientacion angular mediante control de las variables%% de estado: posicion, velocidad y orientacion de la tobera.%% El controlador disen~ado esta basado en linealizacion%% aproximada alrededor del punto de equilibrio deseado.%% parametros del sistemaF = 200; L=3; R=20; J =50;%% parametros del controladora =2.0; b=3.5; c = 12.75; Theta = 2.5;%% Ley de controlu = -J*a*(b^2+c^2)/(F*L*R)*(x(1)-Theta)-J*(b^2+c^2+2*a*b)/F/L/R*x(2)-...(2*b+a)/R*x(3);%% Ecuaciones de estadoxdot = [x(2) ; F*L/J*sin(x(3)) ; R*u];%% Fin de ejemplo1.m

Matlab 3.2: Ejemplo de diseo para un proceso incontrolable de produccin de etanol

La linealizacin del Modelo 14, en la pgina 18, alrededor del punto de equilibrio (1.32)

arroja la siguiente expresin para la dinmica incremental:

Es decir, las matrices del sistema incremental resultante estn dadas por

Es fcil ver que el sistema lineal no satisface la condicin de controlabilidad. En efecto, la matriz de controlabilidad est dada por

de tal forma que su determinante se anula,. En este caso, el procedimiento a seguir consiste en transformar el sistema linealizado, con el objeto de esclarecer cul de los modos del sistema es el modo incontrolable. Es necesario seguir los siguientes pasos porque lo que queremos es determinar si el modo incontrolable es estabilizable (esto es, posee una dinmica asintticamente estable a cero).

Considrese la siguiente transformacin del vector de estados:

la cual es, evidentemente, invertible.Las ecuaciones diferenciales para z_ resultan ser:

De las ecuaciones resultantes, la ltima exhibe claramente a z1_ como modo incontrolable del sistema, mientras que z2_ representa el modo controlable del mismo.Afortunadamente, como se observa, el modo incontrolable del sistema es, evidentemente, asintticamente estable, en virtud de las restricciones, dadas por (1.33), que pesan sobre el valor de E desde un principio, 0 < E < 1. Esto hace que la cantidad 1 1/E, que representa el autovalor asociado a z1_, sea, efectivamente, menor que cero. En conclusin, el valor de esta variable de estado transformada tiende a cero, por s sola, en forma exponencial.

El diseo del controlador se reduce a prescribir una ley de control que estabilice al modo z2_ a cero (z2_ = x1_ = concentracin incremental de etanol.Hacemos, entonces,

de donde resulta un sistema en lazo cerrado de la forma

Igualando el nico autovalor a una cantidad real negativa _, se tiene

Es evidente que el controlador no hace uso de la variable de estado (o modo) incontrolable del sistema.

Como consecuencia de la poltica de control adoptada para el sistema incremental transformado, adems del hecho de que la parte incontrolable del sistema presenta una dinmica asintticamente estable a cero, ambos valores de las variables z1_ y z2_ convergen a cero. Por lo tanto, debido a la transformacin (3.12), x1_ y x2_ convergen tambin a cero. Los estados originales x1 y x2 del sistema convergen, como queramos, a sus puntos de equilibrio.El controlador lineal, que regula al sistema no lineal, est dado entonces por:

En la Figura 3.11 se muestra la simulacin del comportamiento controlado del sistema en lazo cerrado. El punto de equilibrio tomado para la concentracin de etanol es de E = 0,7.

Listado 3.3: Programa de simulacin del proceso incontrolable de produccin de etanol

% sejem2.m% Programa de simulacion y generacion de los graficos del ejemplo2.m% tiempo de simulacionti = 0;tf = 4;%% condiciones iniciales:x0 = [0.1 0.9]';%% simulacion[t,x] = ode45('ejemplo2',[ti tf],x0);%% Concentracion del etanol (x(1))subplot(2,2,1), plot(t,x(:,1))title('Concentracin del etanol')xlabel('tiempo t')ylabel('x1')%% Concentracion del azucar (x(2))subplot(2,2,2), plot(t,x(:,2))title('Concentracin de azcar')xlabel('tiempo t')ylabel('x2')%% Variable de control (u)E = 0.7 ; Ue = (1-E)/E;lambda = 1 ;u = Ue -(1/E)*(lambda-1/E)*(x(:,1)-E) ;subplot(2,2,3), plot(t,u)title('Rata de alimentacin del sustrato')xlabel('tiempo t')ylabel('u')% fin de sejem2.m

Figura 3.11: Respuesta en lazo cerrado del sistema de fermentacin estabilizable

Listado 3.4: Modelo y ley de control ejemplo2.m empleados para la simulacin

function xdot=ejemplo2(t,x)%% ejemplo2.m%%%% Segundo ejemplo con simulaciones numericas del%% libro:%% Control de Sistemas No Lineales%% Hebertt Sira-Ramirez%%%% Control de un proceso incontrolable de produccion%% de etanol por medio del metodo de linealizacion aproximada%%%% parametros del sistemaE = 0.7 ; Ue = (1-E)/E;%% parametros del controladorlambda = 1 ;%% Ley de controlu = Ue -(1/E)*(lambda-1/E)*(x(1)-E) ;%% Ecuaciones de estadoxdot = [ x(2)-x(1)*u ; -x(2)+ (1-x(2))*u ];%% Fin de ejemplo2.m

3.4. Ejercicios propuestos

Ejercicio 3.1: Control del pndulo invertido sobre una plataforma mvil mediante realimentacin del vector de estado en Matlab (R)Disee un controlador por realimentacin del vector de estados basado en linealizacin aproximada para el sistema (2.24). Realice los programas necesarios en Matlab (R) para realizar las simulaciones. Los valores de los parmetros a usar en las simulaciones se presentan en la tabla 3.5.

Tabla 3.5: Parmetros usados en el sistema del pndulo invertido sobre una plataformaMvilParmetroValorParmetroValor

M0.5 [kg]m0.2 [kg]

J0.006 [kgm2]L0.3 [m]

C0.0F0.1 [N/m/seg]

Como requerimiento de diseo, el comportamiento del sistema en lazo cerrado debe ser tal que el tiempo de asentamiento sea inferior a 5 segundos, ts < 5 [seg].

Ejercicio 3.2: Sistema de levitacin magnticaConsidere el sistema de levitacin magntica, Modelo 8, en la pgina 14. Realice las simulaciones correspondientes para el siguiente conjunto de valores de los parmetros del sistema:

Figura 3.12: Sistema de dos conductores acoplados magnticamente

Las especificaciones de diseo se dejan a libre escogencia. Qu criterios utilizara para proponer una colocacin de polos adecuada? Sugerencia: Tome en cuenta los diagramas utilizados en este captulo

Ejercicio 3.3: Control lineal de un aro rotatorio (giroscopio)Disee el controlador lineal por realimentacin del vector de estado del Modelo 16, en la pgina 19, alrededor del punto de equilibrio nominal del sistema. Busque los parmetros fsicos necesarios para poder analizar, mediante simulaciones numricas, el comportamiento del sistema en lazo cerrado. Proponga, con la ayuda del instructor del curso, los objetivos de control necesarios que permitiran definir exactamente la estrategia de control

Modelo 24: Conductores elctricos acopladosUn conductor muy largo se fija en posicin vertical y por l se hace pasar una corriente I que acta como variable de control. Otro pequeo conductor, de longitud L y masa m, tambin se coloca en posicin vertical y se fija a un resorte que puede moverse horizontalmente. Ver Figura 3.12. Por el conductor pequeo se hace circular una corriente i, fija. La fuerza de atraccin o de repulsin que se establece sobre el conductor mvil est dada por:

donde x corresponde a la distancia al conductor pequeo.

Cuando la corriente, el resorte se encuentra en reposo y sin ejercer fuerza alguna a la distancia.La ecuacin del movimiento del conductor pequeo est dada por:

donde a es la distancia que se muestra en la Figura3.12 y k es la constante de elasticidad del resorte. La ecuacin anterior es vlida para. Supondremos, por tanto, que

Supngase que se desea controlar la posicin del conductor pequeo a un valor constante tal que. Escogiendo las variables del sistema como

las ecuaciones de estado del sistema resultan, entonces:

Evidentemente el punto constituye un punto de equilibrio, el cual es claramente estable. Pero estamos interesados en mantener como punto de equilibrio la condicin: con el resorte sujeto a cierta tensin constante. Para tales valores de equilibrio se tiene la siguiente parameterizacin del punto de equilibrio (en trminos de la distancia nominal X):

Ejercicio 3.4: Control lineal de conductores elctricos acopladosCalcule la ley de control por realimentacin del vector de estados, dado un polinomio genrico deseado de segundo orden, para el sistema (3.13), alrededor del punto de equilibrio (3.14).

Modelo 25: Pndulo invertido controlado por un motor de corriente continua a travs de un sistema de engranajeConsideremos, otra vez, el modelo del manipulador robtico mostrado en la Figura 1.8, en la pgina 15, vie ndolo esta vez como un pndulo invertido controlado por un motor de corriente continua. Para obtener el modelo se pueden plantear las siguientes suposiciones:

1. El motor es controlado por armadura.

2. La inercia del motor es insignificante comparada con la inercia del pndulo invertido.

3. , es decir, la inercia del pndulo es calculada como si la masa estuviese concentrada en el extremo del pndulo de longitud l.

4. El sistema de engranajes no presenta histresis (backlash en ingls). Todos sus elementos son rgidos.

5. Se desprecian las fuerzas de roce.

El esquema del motor de corriente continua controlado por armadura se presenta en la Figura 2.3, pgina 40.

Tomando como variables de estado, el modelo queda expresado por las siguientes ecuaciones:

donde Kv es la constante de torque del motor, Kb es la constante de fuerza contra electromotriz (back emf, en ingls) y N es la relacin de engranajes. El punto de equilibrio del sistema, parametrizado en funcin de la corriente de armadura, es el siguiente:

Ejercicio 3.5: Control por realimentacin de estado: pndulo invertido controlado por un motor de corriente continua a travs de un sistema de engranajeTome el modelo precedente y haga un anlisis del sistema linealizado, estudie tanto la estabilidad del sistema en lazo abierto como la controlabilidad. Disee un controlador por realimentacin del vector de estado, asumiendo un polinomio deseado (de qu orden?) y suponiendo que se pueden medir todos los estados (discuta si fsicamente esta hiptesis se puede cumplir.

Ejercicio 3.6: Frmula de AckermannSe sugiere al lector investigar la frmula de Ackermann, un conocido procedimiento utilizado en la demostracin del teorema de colocacin de polos. Muchos textos que tratan la teora de control lineal estudian esta frmula, incluyendo los mencionados ms adelante en Lecturas recomendadas. El texto del autor originario es J. Ackermann, Sampled-Data Control Systems, Springer-Verlag, Berlin, Alemania, 1985.Otra frmula que utilizaremos ms adelante, sobre todo para el mtodo de la linealizacin extendida, es la siguiente:Frmula de Bass-Gura. Esta frmula La presentamos aqu con el objetivo de ser autocontenido Est dada por la siguiente expresin:

donde es el vector formado por los coeficientes del polinomio caracterstico deseado del sistema en lazo cerrado:

y es el vector formado con los coeficientes del polinomio caracterstico de la matriz , es decir,

) es una matriz triangular de Toepliz, dada por

y

es la matriz de controlabilidad del par. El polinomio caracterstico deseado se selecciona de tal manera que presente coeficientes constantes e independientes de U.

Ejercicio 3.7: Controlabilidad de la esfera sobre un rielConsidere el Modelo 17, en la pgina 22. Determine la controlabilidad local del sistema (1.39) alrededor del punto de equilibrio calculado en la Seccin 1.6.

Ejercicio 3.8: Preguntas contenidas en el textoPgina 59: Cmo se explica esta inestabilidad desde el punto de vista fsico? Pgina 66: Explique este hecho. Determine los puntos de equilibrio del sistema en lazo cerrado y observe cules son estables y cules inestables.

3.5. Resumen del captulo y Lecturas adicionales

A partir del modelo linealizado, cuya obtencin ya se describi en el Captulo 2, se plantea un esquema de diseo de leyes de control por realimentacin del vector de estados. Este mtodo es aplicable mientras se disponga de la medicin completa de cada una de las componentes del estado incremental. Como veremos en el prximo captulo, ser posible, sin embargo, obtener valores estimados de las componentes no medidas a partir de la medicin de una o varias variables de salida. Note que, para no ahondar en detalles que escapan a los objetivos de este texto, hemos asumido que el lector posee conocimientos bsicos sobre la realimentacin del vector de estado. Recomendamos al lector dirigirse a la gran variedad de textos sobre sistemas de control lineal que tratan detalladamente este tema, en especial el diseo mediante realimentacin completa del vector de estado.

Lecturas recomendadas

Sobre las consideraciones de diseo de controladores lineales en el espacio de estado, el lector puede consultar, por ejemplo (la frmula de Ackermann se puede encontrar en cualesquiera de los textos mencionados):

1. T. Kailath, Linear Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1980, [Kai80]. Un texto muy completo, con una visin amplia de los diferentes aspectos de la teora de control lineal hasta finales de la dcada de los 70. Es interesante remarcar que la frmula de Bass-Gura se encuentra desarrollada aqua.

2. K. Ogata, Ingeniera de control moderna, Prentice Hall, 1993, [Oga93].

3. Gene F. Franklin, J. David Powell, A. Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, 3ra. Edicin, Addison-Wesley, 1994, [FPEN94].

4. K. Furuta, A. Sano, D. Atherton, State Variable Methods in Automatic Control, Wiley, 1988, [FSA88].

Para una introduccin a mtodos de diseo en el espacio de estados ms avanzados, como es el caso del regulador lineal cuadrtico, llamado diseoLQR, refirase a:

P. Dorato, C. Abdallah, V. Cerone, Linear-Quadratic Control: An introduction, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1995, [DAC95].

Una referencia histrica sobre la asignacin de polos es la siguiente:

W. M. Wonham, On pole assignment in multi-input controllable linear systems, IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 12, pp. 660665, 1967, [Won67].

Una referencia til sobre el uso de Matlab (R) para el caso de sistemas lineales (colocacin de polos, LQR, diseo de compensadores PID, adelanto, adelanto-atraso, H1, etc.) es el libro:

Bahram S., M. Hassul, Control System Design using Matlab, PrenticeHall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1995, [BH95].

4. Observadores dinmicos de estado

Este captulo considera la construccin de un controlador sobre la base de diseo de un observador o reconstructor del vector de estado, cuando slo se dispone del conocimiento de la salida, de la entrada y de la estructura del sistema lineal.En el caso en que se disponga de alguno o algunos de los estados es posible adems plantearse la construccin de observadores de orden reducido. La Seccin 4.5 se dedica al caso de diseo de observadores de orden reducido.

4.1. Introduccin

En los desarrollos anteriores, hicimos la suposicin explcita de que todos Y cada uno de los estados del sistema no lineal estaban disponibles para Su utilizacin en las leyes de control retroalimentadas, las cuales fueron sintetizadas a partir de los errores de equilibrio de tales estados con respecto a sus valores de equilibrio nominales constantes. Esta suposicin no siempre es vlida, pues en una gran cantidad de casos prcticos solo algunos estados estn disponibles fsicamente para llevar a cabo mediciones sobre ellos. En la mayora de los casos, solamente la variable de salida se encuentra a nuestra disposicin y, por lo tanto, con todo lo que contamos es con una relacin (a travs de las ecuaciones) entre el valor de la salida y su dependencia con respecto a los estados. Esta situacin debe resolverse, entonces, tratando de inferir un valor estimado del vector de los estados a partir de nuestro conocimiento del sistema, de nuestra disponibilidad de los valores de la salida y del conocimiento inequvoco de los valores del control que estamos suministrando al sistema. Este proceso de inferencia recibe el nombre de estimacin o reconstruccin del vector de estado. El proceso de estimacin del vector de estado para un sistema no lineal ha sido investigado y resuelto solo recientemente y sus desarrollos requieren de una base adecuada de la geometra diferencial. Restringiremos, sin embargo, nuestra atencin al problema de reconstruir el vector de estado incremental con el objeto de utilizarlo en la ley de realimentacin lineal basada en la linealizacin aproximada del sistema no lineal. Desde este punto de vista, el problema que nos planteamos en este momento es mucho ms sencillo pues se reduce a reconstruir u observar el vector de estados incrementales, o perturbados, que se suceden alrededor de los valores nominales de operacin del sistema no lineal. El modelo que hemos dado en aceptar como vlido para tales valores incrementales del estado es un modelo dinmico lineal (resultante de la linealizacin aproximada), el cual result ser adems invariante en el tiempo. Debido a esto, solamente precisaremos utilizar la solucin del problema de estimacin de sistemas dinmicos lineales. El problema de reconstruccin del vector de estado, o, equivalentemente, de construccin (diseo) de un observador para un sistema lineal fue resuelto a principios de los aos 60 por un profesor americano de nombre David Luenberger [Lue66, Lue71]. En su honor, el observador determinstico de estado recibe en la literatura el nombre de Observador de Luenberger".

4.2. Reconstruccin del vector de estado

Considrese el sistema lineal, que suponemos aproxima dentro de un primer orden los valores de las perturbaciones del vector de estado de un sistema no lineal.

=

Donde es el vector de estado n-dimensional, es un escalar que representa a la variable de control y la variable es la salida (escalar) del Sistema.

Figura 4.1: Esquema de realimentacin lineal con medicin total de las componentes del vector de estado

Figura 4.2: Esquema de realimentacin lineal del sistema aproximado con medicin total de las componentes del vector de estado Como no coincide con el estado del sistema, por cuanto hay una obvia diferencia en cuanto a las dimensiones se refiere, no disponemos del estado incremental para hacer control realimentado del sistema, tal como lo hicimos en la seccin anterior. El valor del estado inicial es, adems, desconocido. Recordemos que en el esquema de control de la Seccin 3.2, tuvimos la necesidad de utilizar el vector de estado incremental completo, esto con el objeto de sintetizar la accin de control realimentada incremental correspondiente que lograba la estabilizacin del sistema no lineal. Este esquema se transcribe nuevamente por razones didcticas en la Figura 4.1. La validez del control lineal reside a en que este diagrama es equivalente, en una primera aproximacin, al de la Figura 4.2.

Figura 4.3: Esquema de aproximacin del comportamiento entrada-salida del sistema no lineal

A diferencia de esa situacin, ahora solo tenemos disponible la salida incremental del sistema no lineal. Es decir, ahora visualizamos la situacin de la manera como se muestra en la Figura 4.3. En esta figura, es el valor nominal (de equilibrio) de la salida. En la prctica, al par de valores nominales (Y,U) se les llama punto de operacin del sistema, stos son precisamente los valores en los cuales el operador est generalmente interesado. Debemos entonces tratar de reconstruir el estado incremental a partir del conocimiento del sistema, es decir, a partir del conocimiento de las matrices A, B y C, de las mediciones realizadas sobre la salida y del innegable conocimiento que seguramente tendremos del valor del control el cual estamos en capacidad de suministrar al sistema (y, por lo tanto, en capacidad de medir y conocer a plenitud). Con este objetivo en mente, debemos entonces

Sintetizar un proceso dinmico de estimacin, es decir, debemos proponer un sistema dinmico el cual acepte por entradas los valores del control y de la salida y produzca como resultado un valor estimado del estado incremental del sistema linealizado.

Al valor resultante de este proceso de reconstruccin del estado incremental lo designaremos mediante . El observador realizar, por ende, la funcin representada en el diagrama de bloques que se muestra en la Figura 4.4. Note que el diagrama se ha dispuesto a propsito de derecha a izquierda y no en la manera habitual, esto debido que este bloque ser mayormente utilizado en el lazo de realimentacin. La idea es utilizar este reconstructor de estado en el esquema de control que propusimos en el captulo anterior (Cap. 3) tal como si el valor del estado reconstruido coincidiera con el valor real (no disponible) del vector de estado . Es decir, nuestra propuesta para controlar el sistema est basada en el diagrama de bloques de la Figura 4.5.

Figura 4.4: Observador dinmico de estado

Figura 4.5: Esquema de realimentacin lineal de salida para un sistema no lineal, utilizando un observador dinmico de estado

Para garantizar la validez de este esquema debemos saber, en primer lugar, bajo qu condiciones el valor del estado estimado converge al valor del estado verdadero del sistema, es decir, bajo qu condiciones el estado estimado se aproxima asintticamente al valor verdadero del estado. Dicho de otra manera, necesitamos saber cules son las condiciones bajo las cuales podemos garantizar que el error de reconstruccin es asintticamente estable a cero. En segundo lugar, durante aquel lapso de tiempo en el cual el valor del estado estimado no coincide en forma precisa con el valor del estado incremental verdadero, debemos garantizar que el sistema incremental, as errneamente controlado (aun cuando de manera temporal), siga siendo asintticamente estable a cero. La primera preocupacin resulta fcil de contestar, mientras que la segunda requerir un poco ms de anlisis. Estudiaremos primeramente el problema de la convergencia del error de estimacin a cero.

4.3. Observador de Luenberger: convergencia

En virtud de que tratamos de estimar el estado de un sistema lineal, no resulta del todo ilgico proponer un reconstructor dinmico que tambin sea lineal. As pues, caracterizaremos este reconstructor, evidentemente, utilizando la representacin de sistemas dinmicos mediante el vector de estado.Tomaremos como nuestro observador de estados, o reconstructor, al sistema dinmico lineal dado por:

donde la matriz y los vectores y L sern determinados en lo sucesivo, de tal manera que sea posible obtener un estimador asinttico de los estados del sistema lineal.Primeramente, definimos el error de observacin como la diferencia entre el valor real del vector de estado del sistema linealizado y el valor estimado de tal vector de estado. Esta definicin, por supuesto, se extiende a los valores iniciales de tales estados. En resumen, se define:

Con valor inicial . Puesto que el valor inicial del estado verdadero es desconocido, no podemos hacer suposicin alguna acerca del valor inicial del error de estimacin. En general tendremos que suponer que tal error inicial es diferente de cero pero no podremos dar calificaciones adicionales sobre la magnitud de esta cantidad vectorial. Es fcil establecer una ecuacin diferencial que describa el comportamiento del vector de error de estimacin en trminos de las matrices y vectores que definen tanto al sistema original linealizado (4.1) como al observador propuesto (4.2). En efecto:

La dinmica del error de observacin (4.3) no debe depender ni de los valores de las acciones de control ni de los valores correspondientes que stas producen en los estados del sistema.Si hemos de manipular para lograr, digamos, la estabilizacin del sistema linealizado hacia el origen de coordenadas, no parece lgico que el error de observacin dependiera de cuan grandes o pequeas deban ser tales acciones de control. El mismo razonamiento nos conduce a concluir que es igualmente inconveniente que el error de estimacin dependa de los valores que va tomando el vector de estado en su camino hacia la estabilizacin, pues la existencia de sus transientes alejara, an ms, el valor del estado estimado del real, actuando como perturbaciones en la dinmica del error. En consecuencia, debemos anular, con una escogencia apropiada de las matrices y vectores , la influencia de los estados y controles del sistema original linealizado.De la ecuacin (4.3) es fcil inferir que se requiere entonces que:

Lo cual hace que el error de observacin evolucione de acuerdo con la dinmica lineal y autnoma dada por:

De esta forma, el error de estimacin e_ solo depender de si mismo y, en particular, de su valor inicial.La solucin de la ecuacin diferencial lineal vectorial de primer orden, la cual representa al vector de error de estimacin, estara dada an en trminos del vector columna desconocido L mediante la siguiente expresin:

En virtud del resultado anterior, estamos en capacidad de predecir el comportamiento cualitativo de , el cual depende principalmente de la naturaleza de los auto valores de la matriz . Nuestro objetivo ser entonces el de imponer, sobre la dinmica autnoma cero del error de observacin del error de estimacin, un comportamiento asintticamente estable a cero a travs de la escogencia juiciosa del vector L. Es decir, debemos escoger L de tal manera que los autovalores de A LC se encuentren en el semiplano izquierdo del plano complejo. Al hacer esto se garantiza, finalmente, que el valor del estado estimado converge, efectivamente, de manera asinttica al valor del estado verdadero del sistema linealizado. Antes de proceder a hallar el vector requerido L, en virtud de que ya hemos determinado algunas matrices inicialmente desconocidas del observador nos permitimos mostrar a continuacin el esquema que va adoptando

Figura 4.6: Estructura del observador dinmico de estado

El mismo. A partir de (4.2) y (4.4), tenemos

Si hacemos

es decir, si damos el nombre de salida estimada al valor que produce el estado estimado cuando es afectado por el mapa de salida C, entonces podemos reescribir las ecuaciones del observador (4.6) como:

al cual llamammos observador dinmico del vector de estado. Note que el sistema resultante representa una especie de copia del sistema lineal original (4.1). El observador (4.7) puede representarse entonces mediante el diagrama de bloques mostrado en la Figura 4.6.La interpretacin que podemos hacer de la estructura del observador es directa: el observador de estado no es ms que una emulacin, con capacidad auto-correctora, de la dinmica del sistema cuyo estado se desea reconstruir.El vector de parmetros L juega un papel de realimentador del error de estimacin en cuanto a su reflejo en los valores de la salida. Precisamente, esta realimentacin del error de salida, ms propiamente llamada inyeccin de la salida, es la que trata de corregir cualquier discrepancia que exista entre el valor verdadero del vector de estado y su valor estimado.Ntese que esta entrada adicional inyectada al modelo emulador del sistema solo puede tomar valores diferentes a cero cuando la salida del sistema no coincide con el valor de la salida estimada y, de hecho, tal error se anula por completo cuando estos valores coinciden. Esto es un indicativo de que el proceso de estimacin se est llevando a cabo en forma correcta, al menos en principio. Sin embargo, debe quedar suficientemente claro que si la salida estimada coincide con la salida del sistema esto no implica, necesariamente, que el estado estimado est coincidiendo con el estado verdadero.En este caso, es enteramente posible que ambos estados (estimado y verdadero) se encuentren temporalmente ocultos por el mapa de salida representado por el vector fila C, es decir, en un subespacio de su subespacio nulo1. La condicin que nos permitira asegurar que no existe dicho subespacio, diferente de cero, donde ambos vectores de estado puedan ocultarse" por coincidencia de los valores que arrojan a la salida es la llamada condicin de observabilidad. Observemos en detalle este caso en los siguientes prrafos.El problema de estabilizar asintticamente el error de estimacin a cero puede verse como un problema de control sobre un sistema al cual daremos el nombre de dual del original (4.1).En efecto, consideremos el sistema realimentado siguiente

y tratemos de responder la siguiente pregunta: Bajo qu condiciones puede estabilizarse a cero el sistema (4.8) por realimentacin lineal del vector de estado? La respuesta es, evidentemente, que el par () debe ser un par controlable. El sistema en lazo cerrado anterior se describe mediante:

Los autovalores que gobiernan la respuesta del sistema (4.9) son los dela matriz del sistema en lazo cerrado, la cual puede reescribirse como:

En otras palabras, como los autovalores de cualquier matriz cuadrada coinciden con los autovalores de su traspuesta, el vector L deber tener la posibilidad de asignarle los polos a la matriz , en lugares prefijados del semiplano izquierdo del plano complejo. Esto es posible siempre y cuando el par sea un par controlable.La relacin de este problema de controlabilidad con nuestro problema de estimacin es inmediata, pues el error de estimacin se encuentra gobernado por la dinmica autnoma (4.5), dada por .Concluimos, por tanto, que el problema de estabilizar a cero el error de estimacin del vector de estado, mediante inyeccin de la salida es factible en tanto que el par de matrices sea un par controlable. Recordemos que la matriz C y la condicin de controlabilidad del par estn dadas por

Puesto que el rango de una matriz iguala al rango de su traspuesta,

es fcil ver que la condicin de controlabilidad (4.10) del sistema dual (4.8) se traduce, entonces, en la siguiente condicin

que es la conocida condicin de observabilidad del sistema linealizado original(4.1).As, concluimos lo siguiente:

La condicin necesaria y suficiente para que exista un vector L de ganancia del observador, el cual coloque los polos del sistema lineal (representado por el error de observacin) en el semiplano izquierdo del plano complejo y, por lo tanto, produzca un error de estimacin asintticamente estable a cero para el observador dinmico de Luenberger, es que el sistema linealizado original sea observable, es decir, que el par (A,C) sea observable.

De manera dual a las nociones de controlabilidad y estabilizabilidad, existen las nociones de observabilidad y detectabilidad. Es posible que el Observabilidad y detectabilidad sistema lineal de base no sea observable, pero que la dinmica que rige la parte inobservable del vector de estado sea, por s sola, asintticamente estable a cero. En ese caso, no tendramos por qu preocuparnos de reconstruir ms que la parte observable del estado del sistema, ya que aquellos estados que no podamos reconstruir, por ser inobservables, tendran por estimado obvio el valor cero ya que estaramos seguros de que, tarde o temprano, estos estados llegarn, irremisiblemente, a tomar este ltimo valor de cero. A tales sistemas se les conoce en la literatura como sistemas reconstruibles o detectables. Como hemos dicho, ellos juegan un papel dual al de los sistemas estabilizables"que estudiamos en la seccin anterior.

Ejemplo 4.1: Detectabilidad del sistema de fermentacin de azcarConsidere el sistema de fermentacin de azcar Modelo 14, en la pgina 18, el cual fu expuesto en la Seccin 1.5.Este sistema est descrito por:

La linealizacin del sistema alrededor de su punto de equilibrio result, ver (3.11) en la pgina 68:

El sistema linealizado no es observable ya que la matriz de observabilidad est dada por:

En equilibrio, el estado tiende a cero, ya que u_ tambin se supone cero en esta condicin. El estado no puede reconstruirse a partir del conocimiento de y u_ ya que no influencia para nada a como es fcil ver de la estructura de las ecuaciones del sistema. En condiciones de equilibrio para y es fcil ver que es tambin asintticamente estable a cero, en la medida en que la cantidad sea positiva, tal y como, efectivamente, hemos supuesto. El sistema estudiado es, por lo tanto, inobservable pero reconstruible. En el momento de disear un observador a este sistema, no tendramos necesidad de reconstruir . Adems, en este caso, el observador para es trivial.