apuntes 1

Definiciones importantes

Figura geometrica: se denomina figura a todo conjunto de puntos. Por ejemplo, una recta es unafigura, ya que se la considera formada por puntos. Tambien son figuras las semirrectas, los semiplanos,los angulos, el plano, etc.Punto exterior a una figura: se dice que un punto es exterior a una figura si dicho punto no pertenecea la figura. Por ejemplo, un punto exterior a una recta es un punto que no se encuentra sobre dicharecta.Puntos alineados (o colineales): tres o mas puntos estan alineados (o son colineales) si se encuentrantodos sobre una misma recta.

Semirrecta: un punto en una recta divide a esta en dos partes llamadas semirrectas.

El punto O se denomina origen de la semirrecta r1. La semirrecta r2 es la semirrecta opuesta a r1.El unico punto en comun entre dos semirrectas opuestas es su origen. Dados dos puntos A y B, se

escribiraAB para denotar a la semirrecta de origen A que pasa por B.

Segmento: dados dos puntos A y B, se llama segmento AB a la interseccion de las semirrectasAB

yBA.

Los puntos A y B se llaman extremos del segmento AB.

Semiplano: una recta divide al plano en dos partes llamadas semiplanos.

1

La recta r se denomina frontera del semiplano pi1. El semiplano pi2 es el semiplano opuesto a pi1. Losunicos puntos en comun entre dos semiplanos opuestos son los que forman su frontera.

Angulo convexo: sean r1, r2 dos semirrectas con origen comun O pero no opuestas. Se llama anguloconvexo r1r2 a la interseccion del semiplano respecto a r1 que contiene a r2, con el semiplano respectoa r2 que contiene a r1.

El punto O se denomina vertice del angulo convexo r1r2. Las semirrectas r1, r2 se denominan lados

del angulo convexo r1r2. Si A, B, C son tres puntos no alineados, se escribira ABC para denotar al

angulo convexo de vertice B y ladosBA y

BC.

Angulo llano: se denomina angulo llano a cualquiera de los semiplanos que determinan dos semirrec-tas opuestas.

Angulos adyacentes: dos angulos con el mismo vertice, un lado en comun y los otros lados formadospor semirrectas opuestas, se denominan angulos adyacentes.

2

Angulos opuestos por el vertice: dos angulos con el mismo vertice y tales que los lados de uno sonlas semirrectas opuestas de los lados del otro, se denominan angulos opuestos por el vertice.

Si prolongamos los lados de un angulo cualquiera, vemos que este tiene exactamente dos angulosadyacentes y uno opuesto por el vertice.

Angulos formados por dos rectas cortadas por una tercera: sean a, b dos rectas cualesquiera, y sea cotra recta (llamada transversal), que corta a las anteriores en los puntos A y B, respectivamente.

As, quedan determinados ocho angulos: los cuatro angulos comprendidos entre las rectas a y b (esdecir, los angulos , , , ) se denominan internos, y los cuatro restantes (es decir, los angulos, , , ) se denominan externos.Si tomamos un angulo con vertice A y otro con vertice B, entonces:- Si ambos son internos y estan en el mismo semiplano respecto de c, dichos angulos se denominanconjugados internos. Por ejemplo, los angulos y .- Si ambos son externos y estan en el mismo semiplano respecto de c, dichos angulos se denominanconjugados externos. Por ejemplo, los angulos y .

3

- Si ambos son internos y estan en semiplanos opuestos respecto de c, dichos angulos se denominanalternos internos. Por ejemplo, los angulos y .- Si ambos son externos y estan en semiplanos opuestos respecto de c, dichos angulos se denominanalternos externos. Por ejemplo, los angulos y .- Si uno de ellos es interno y el otro externo, y ambos estan en el mismo semiplano respecto de c,dichos angulos se denominan correspondientes. Por ejemplo, los angulos y .

Angulo recto: un angulo es recto si es igual a uno de sus angulos adyacentes.

Angulos agudos: un angulo se llama agudo si es menor que un angulo recto.

Angulos obtusos: un angulo se llama obtuso si es mayor que un angulo recto.

Angulos suplementarios: dos angulos son suplementarios si uno es igual a un angulo adyacente alotro.(alt.) Dos angulos son suplementarios cuando la suma de ambos es igual a un angulo llano.Angulos complementarios: dos angulos son complementarios cuando la suma de ambos es igual a unangulo recto.

Rectas paralelas: dos rectas son paralelas si son coincidentes o si no se cortan en ningun punto.Rectas secantes: dos rectas son secantes si se cortan en un unico punto.Rectas perpendiculares: dos rectas son perpendiculares si son secantes y uno de los angulos queforman (y por consiguiente los cuatro) es recto.(alt.) Dos rectas son perpendiculares si son secantes y determinan cuatro angulos iguales.(alt.) Dos rectas son perpendiculares si son secantes y determinan un par de angulos adyacentesiguales.Decimos que dos semirrectas o dos segmentos son paralelos (o perpendiculares) si lo son las rectasque los contienen.

Triangulo: sean A, B, C tres puntos no alineados. Se llama triangulo4

ABC a la interseccion de los

angulos ABC, BCA y CAB.

Los puntos A, B, C se denominan vertices del triangulo. Los segmentos AB, BC, CA se denominan

lados del triangulo. Denotamos por A, B, C los angulos interiores CAB, ABC y BCA, respecti-vamente. El lado opuesto a un vertice (o a un angulo) es aquel que tiene por extremos a los dos

vertices restantes. Por ejemplo, en el triangulo4

ABC, el lado opuesto al vertice A (o al angulo A) esel lado BC.

4

Igualdad de triangulos: diremos que dos triangulos son iguales si existe una correspondencia entresus vertices para la cual cada par de angulos y lados correspondientes son iguales. La expresion

4ABC =

4ABC significara que los triangulos

4ABC y

4ABC son iguales bajo la correspondencia

A 7 A, B 7 B, C 7 C .

Clasificacion de triangulos segun sus lados:- Un triangulo es equilatero si sus tres lados son iguales.- Un triangulo es isosceles si tiene al menos dos lados iguales.- Un triangulo es escaleno si sus lados son desiguales dos a dos.

Clasificacion de triangulos segun sus angulos:- Un triangulo es obtusangulo si tiene un angulo obtuso.- Un triangulo es rectangulo si tiene un angulo recto.- Un triangulo es acutangulo si todos sus angulos son agudos.

Catetos e hipotenusa: En un triangulo rectangulo, los lados perpendiculares se llaman catetos, y ellado opuesto al angulo recto se llama hipotenusa.Base de un triangulo isosceles: En un triangulo isosceles, se llama base al lado opuesto al vertice quecomparten dos lados iguales. Si un triangulo isosceles tiene mas de una base, entonces es equilatero.

Punto medio de un segmento: todo segmento AB contiene un unico punto M que cumple AM =

MB, y se lo llama punto medio del segmento.Mediatriz de un segmento: la mediatriz de un segmento AB es la recta perpendicular a AB que pasapor su punto medio.Bisectriz de un angulo: dado un angulo rs existe una unica semirrecta m contenida en el, tal querm = ms, y se la llama bisectriz del angulo.

Segmentos notables de un triangulo:

Mediana de un triangulo: segmento que une un vertice con el punto medio del lado opuesto.

Altura de un triangulo: segmento que une un vertice con la interseccion entre la recta que contieneal lado opuesto, y su perpendicular por dicho vertice.

5

Bisectriz de un triangulo: segmento que une un vertice con la interseccion entre la bisectriz de suangulo correspondiente y el lado opuesto.

Mediatriz de un triangulo: segmento que une el punto medio de un lado con la interseccion entrela mediatriz de dicho lado y uno de los dos lados restantes.

Aclaracion: dependiendo del contexto, es posible que la mencion de alguno de estos elementos hagareferencia no a un segmento sino a la recta o a una semirrecta que lo contenga.

Cuadrilateros

Cuadrilatero: Sean A, B, C, D cuatro puntos en el plano que cumplen las propiedades siguientes:- No hay tres de ellos alineados.- Cada una las rectas AB, BC, CD y DA situan a los dos puntos exteriores restantes en un mismosemiplanoEntonces se denomina cuadrilatero convexo ABCD a la figura formada por las intersecciones de los

angulos ABC, BCD, CDA y DAB.

6

Los puntos A, B, C, D de llaman vertices del cuadrilatero, los segmentos AB, BC, CD y DA se

llaman lados del cuadrilatero, y los angulos ABC, BCD, CDA y DAB se llaman angulos interioresdel cuadrilatero.Los segmentos AC y BD se llaman diagonales del cuadrilatero.Dos lados son contiguos si tienen un vertice en comun. En caso contrario, se dicen que son opuestos.Dos vertices son contiguos si son los extremos de un lado. En caso contrario, se dicen que sonopuestos. Vease que dos vertices opuestos son los extremos de una diagonal.Dos angulos son contiguos si sus vertices lo son. En caso contrario, se dicen que son opuestos.

Tipos de cuadrilateros (convexos)

Paralelogramo: Un cuadrilatero es un paralelogramo si sus lados opuestos son paralelos.Romboide: Un cuadrilatero es un romboide si tiene dos pares de lados consecutivos iguales.Rectangulo: Un cuadrilatero es un rectangulo si tiene cuatro angulos rectos.Rombo: Un cuadrilatero es un rombo si tiene sus cuatro lados iguales.Cuadrado: Un cuadrilatero es un cuadrado si tiene sus cuatro lados y sus cuatro angulos iguales.

El diagrama nos muestra como se relacionan los distintos tipos de cuadrilateros. As, todo rombo es unromboide y un paralelogramo; todo rectangulo es un paralelogramo; y todo cuadrado es un rombo yun rectangulo. Cada tipo de cuadrilatero hereda las propiedades del tipo de donde proviene la flecha(los rombos heredaran las propiedades de los romboides y de los paralelogramos; los rectangulosheredaran las propiedades de los paralelogramos, etcetera.)

7

Igualdad, desigualdad, y operaciones con segmentos y angulos

Sean a, b, c, d segmentos. Se cumplen las siguientes propiedades:

a = a (propiedad reflexiva de =) Si a = b, entonces b = a (propiedad simetrica de =) Si a = b y b = c, entonces a = c (propiedad transitiva de =) Si a < b y b < c, entonces a < c (propiedad transitiva de b.

Si a = b y c = d, entonces a+ c = b+ d (propiedad uniforme de +) a+ b = b+ a (propiedad conmutativa de +) (a+ b) + c = a+ (b+ c) (propiedad asociativa de +) a < a+ b Si a < b y c = d, entonces a+ c < b+ d Si a < b y c < d, entonces a+ c < b+ d

Para que la resta a b exista, debe necesariamente ser a > b. (a+ b) b = a (a b) + b = a Si a > b, entonces a > a b Si a = b y c = d, entonces a c = b d Si a < b y c = d, entonces a c < b d Si a = b y c < d, entonces a d < b c Si a < b y c < d, entonces a d < b cConsecuencias directas (simplificacion): Si a+ b = c+ b, entonces a = c Si a b = c b, entonces a = c Si a+ b < c+ b, entonces a < c Si a b < c b, entonces a < c

Las propiedades anteriores son validas tambien cuando a, b, c, d son angulos y las operaciones +, representan la suma y resta de angulos. Cabe destacar que, a diferencia de la suma de segmentos,dos angulos solo pueden sumarse si uno de ellos es menor o igual al suplementario del otro (es decir,la suma de dos angulos no debe superar a un angulo llano).

Notese que estas propiedades para segmentos y angulos son identicas a las que se cumplen para losnumeros naturales 1, 2, 3, . . . , lo que facilita su aplicacion en forma intuitiva.

8

Varios resultados utiles para las demostraciones:

- Los angulos adyacentes son suplementarios.- Si dos angulos adyacentes son iguales, entonces son rectos.- Dos rectas son paralelas si y solo si forman angulos alternos internos (o externos) iguales al sercortadas por una transversal.

(es decir, paralelas = alternos iguales y alternos iguales = paralelas)- Dos rectas son paralelas si y solo si forman angulos conjugados internos (o externos) suplementariosal ser cortadas por una transversal.- Dos rectas son paralelas si y solo si forman angulos correspondientes iguales al ser cortadas poruna transversal.- Por un punto exterior a una recta pasa una unica paralela a dicha recta.- Por un punto perteneciente o exterior a una recta pasa una unica perpendicular a dicha recta.- Dadas tres rectas r, s y t, se cumple:

a) Si r s y s t, entonces r tb) Si r y s son secantes, y s t, entonces r y t son secantes.c) Si r s y s t, entonces r t.d) Si r s y s t, entonces r s

(donde significa es perpendicular a..., y significa es paralela a...)Quinto postulado de Euclides: sean a, b y c tres rectas tales que c corta a y b en los puntos A

y B respectivamente. Sean A y B puntos en a y b respectivamente, ubicados ambos en el mismosemiplano respecto de c. Entonces los angulos AAB y BBA suman menos de 180 si y solo si lasrectas a y b se cortan en un punto ubicado en el mismo semiplano respecto de c que A y B.

- Criterios de igualdad de triangulos:

1er criterio (LAL1): Si dos triangulos tienen dos lados y el angulo comprendido respectivamenteiguales, entonces son iguales.

9

2do criterio (ALA): Si dos triangulos tienen un lado y dos angulos respectivamente iguales, entoncesson iguales.

3er criterio (LLL): Si dos triangulos tienen los tres lados respectivamente iguales, entonces soniguales.

4to criterio (LAL2): Si dos triangulos tienen dos lados desiguales y el angulo opuesto al mayor deellos respectivamente iguales, entonces son iguales.

10

Demostraciones

Resultados auxiliares para las demostraciones:R1) Los angulos adyacentes son suplementarios.R2) Los angulos alternos internos entre paralelas son iguales.

Con fines ilustrativos, aqu estan los enunciados alternativos correspondientes:R1) Sean , dos angulos adyacentes. Entonces + = 1 llano.R2) Sean a, b dos rectas paralelas, y c una recta que corta a cada una de ellas en los puntos A y Brespectivamente. Si es un angulo de vertice A, y es un angulo de vertice B, y ambos son alternosinternos, entonces = .

S1) Los angulos opuestos por el vertice son iguales.Enunciado alternativo: Sean , dos angulos opuestos por el vertice. Entonces y son iguales.Hipotesis: , angulos opuestos por el vertice.Tesis: = Demostracion:Sea un angulo adyacente a , como indica la figura:

Por R1, tenemos+ = 1 llano ()

Por otro lado, tambien es adyacente a . Entonces, por R1,

+ = 1 llano ()

De (*) y (**) se desprende que+ = +

Restando a ambos miembros de la igualdad, tenemos

=

as, llegamos a la tesis, y por lo tanto se ha demostrado el teorema.

S2) La suma de los angulos interiores de cualquier triangulo es igual a un angulo llano.

11

Enunciado alternativo: Sea4

ABC un triangulo. Entonces A+ B + C = 1 llano.

Hipotesis:4

ABC triangulo

Tesis: A+ B + C = 1 llanoDemostracion:Sea r la recta paralela al lado AC que pasa por B. Quedan as determinados dos angulos y comoindica la figura:

Por un lado, los angulos y A son alternos internos entre paralelas. Entonces por R2, tenemos

= A ()Por otro lado, los angulos y C tambien son alternos internos entre paralelas, con lo cual, por R2,se cumple

= C ()Los angulos , B, suman 1 llano:

+ B + = 1 llano

Por lo tanto, usando las igualdades (*) y (**), tenemos

A+ B + C = 1 llano

S3) Todo angulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los angulos interiores no adyacentes.


ABC un triangulo, y un angulo exterior de4

ABC adyacente a A.Entonces = B + C

Hipotesis:4

ABC triangulo, angulo exterior de4

ABC adyacente a A

Tesis: = B + CDemostracion:

12

Como es adyacente a A, tenemos por R1

A+ = 1 llano

Por otro lado, por S2 tenemosA+ B + C = 1 llano

Por lo tanto, de ambas igualdades se desprende

A+ = A+ B + C

Restando A a ambos lados de esta igualdad, tenemos

= B + C

S4) En todo triangulo isosceles, los angulos de la base son iguales.


ABC un triangulo isosceles, que cumple a = b (donde a = BC y b = AC).

Entonces A = B.

Hipotesis:4

ABC triangulo, a = b

Tesis: A = BDemostracion:Sea D el punto medio del lado AB. Trazamos el segmento CD. Quedan as determinados dos

triangulos4

ACD y4

BCD, como muestra la figura.

Los triangulos4

ACD y4

BCD comparten el lado CD, que cumple

CD = CD ()

Como D es el punto medio del lado AB, tenemos

AD = BD ()

Y por hipotesis a = b, es decirAC = BC ( )

13

Por el criterio LLL de igualdad de triangulos, a partir de las igualdades (*), (**) y (***) se deduce

que los triangulos4

ACD y4

BCD son iguales (bajo la correspondencia A 7 B, C 7 C, D 7 D). Enparticular, se cumple

A = B

S5) Si en un triangulo dos lados son desiguales, a mayor lado se opone mayor angulo.


ABC un triangulo. Si a < b (donde a = BC y b = AC), entonces A < B.

Nota: Este teorema implica que los angulos de un triangulo satisfacen las mismas desigualdades que sus respectivoslados opuestos. De ah la conveniencia de llamar a cada lado de un triangulo con la misma letra, pero en minuscula,

de su vertice opuesto. As, en un triangulo4

ABC, los lados a, b, c designan a los lados opuestos a los angulos A, B yC, respectivamente.

Por la ley de tricotoma para segmentos y angulos, el teorema del enunciado (junto al resultado S4) permite relacionar

pares de lados con pares de angulos en un triangulo4

ABC de la siguiente forma:

a = b A = B

a < b A < Ba > b A > B

Hipotesis:4

ABC triangulo, a < b

Tesis: A < BDemostracion:

Sobre la semirrectaCA marcamos un punto D tal que CD = CB. Como por hipotesis CB < CA,

tenemos CD < CA, con lo cual el punto D se encuentra sobre el segmento CA. Llamemos y alos angulos CBD y CDB.

14

Como el segmento BD se encuentra dentro del angulo B, tenemos que

B > ()

Por otro lado, como CD = CB, el triangulo4

CBD es isosceles, con base BD. Entonces, por S4tenemos

=

De esta igualdad y de la desigualdad (*) se desprende

B > ()

El angulo es adyacente al angulo BDA y exterior al triangulo4

BDA. Entonces, por S3 tenemos

> A

Y de esta desigualdad, junto a la desigualdad (**), se deduce

B > A

S6) En todo triangulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos, y mayor que su diferencia.


ABC un triangulo. Entonces a < b + c. Y si ademas b > c, entoncesa > b c.Hipotesis:

4ABC triangulo, b > c

Tesis: a < b+ c y a > b cDemostracion:

1era parte: Sobre la semirrecta opuesta aAC marcamos un punto D tal que AD = AB.

15

El triangulo4

ABD es isosceles con base BD, con lo cual

ABD = ADB

y como las semirrectasDA y

DC coinciden, tenemos ADB = CDB, con lo cual

ABD = CDB ()

Como el segmento BA se encuentra dentro del angulo CBD, tenemos que

CBD > ABD

De esta desigualdad y de (*) se desprende

CBD > CDB

Como esta desigualdad relaciona dos angulos del triangulo4

CBD, por S5 tenemos

CD > CB

Entonces, como CD = CA+ AD y ademas AD = AB, se cumple

CA+ AB > CB

es decirb+ c > a

2da parte: Por lo demostrado en la primera parte, cada lado del triangulo4

ABC es menor que lasuma de los otros dos. Entonces, en particular

b < a+ c ()Como por hipotesis b > c, podemos restarle c a ambos lados de la desigualdad (*), y as obtenemos

b c < a

T1) Si un triangulo tiene un angulo recto u obtuso, los otros dos son agudos.


ABC un triangulo. Si A es mayor o igual a un recto, entonces B y Cson agudos.

Hipotesis:4

ABC triangulo, A 1 recto.Tesis: B < 1 recto, C < 1 recto.Demostracion:Como los angulos de un triangulo suman 1 llano, entonces

A+ B + C = 1 llano

Restando A a ambos lados de la igualdad, y teniendo en cuenta la desigualdad de la hipotesis A 1recto, tenemos

B + C 1 recto

16

Entonces, o bien B y C son complementarios, o bien la suma de ambos angulos es aguda. En amboscasos B y C son angulos agudos, es decir, B < 1 recto y C < 1 recto.

T2) Si dos triangulos tienen dos angulos respectivamente iguales, los terceros tambien son iguales.

Enunciado alternativo: Sean4

ABC,4

DEF dos triangulos que cumplen A = D y B = E. EntoncesC = F .

Hipotesis:4

ABC y4

DEF triangulos, A = D, B = E

Tesis: C = FDemostracion:Como los angulos de un triangulo suman 1 llano, tenemos

A+ B + C = 1 llano

D + E + F = 1 llano

con lo cualC = 1 llano (A+ B)F = 1 llano (D + E)

Como por hipotesis A = D y B = E, tenemos

F = 1 llano (A+ B)

Por lo tantoF = C

T3) En todo triangulo rectangulo, los angulos agudos son complementarios.


ABC triangulo, tal que A = 1 recto. Entonces B y C son complementa-rios.

Hipotesis:4

ABC triangulo, A = 1 recto

Tesis: B + C = 1 recto.Demostracion:Como los angulos de un triangulo suman 1 llano, tenemos

A+ B + C = 1 llano

Como por hipotesis A = 1 recto, y 1 llano = 2 rectos, entonces

1 recto + B + C = 2 rectos

Restando 1 recto a ambos miembros de la igualdad, tenemos

B + C = 1 recto

17

T4) En todo triangulo rectangulo, la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.


ABC triangulo, tal que A = 1 recto (por lo tanto a es la hipotenusa y b,c son los catetos). Entonces a > b y a > c.

Hipotesis:4

ABC triangulo, A = 1 recto.Tesis: a > b, a > cDemostracion:Por el teorema anterior, tenemos que los angulos B y C son agudos. Por lo tanto, como el angulo Aes recto, tenemos

A > B

A > C

Entonces, como en todo triangulo a mayor angulo se opone mayor lado, tenemos

a > b

a > c

Criterios de congruencia de triangulos rectangulos

1er criterio (CC): Si dos triangulos rectangulos tienen los catetos respectivamente iguales, entoncesson iguales.


ABC,4

DEF dos triangulos tales que A y D son angulos rectos, AC =

DF y AB = DE. Entonces4

ABC =4

DEF

Hipotesis:4

ABC,4

DEF triangulos, A = 1 recto, D = 1 recto, AC = DF , AB = DE

Tesis:4

ABC =4

DEFDemostracion:Como los angulos A y D son rectos, tenemos

A = D

Por hipotesis, tenemosAC = DF

18

AB = DE

Ademas, A es el angulo comprendido entre AC y AB, y lo mismo sucede con el angulo D y los ladosDF y DE. Por lo tanto, por el criterio LAL1 de igualdad de triangulos, tenemos

4ABC =

4DEF

2do criterio (CA): Si dos triangulos rectangulos tienen un cateto y un angulo agudo respectivamenteiguales, entonces son iguales.


ABC,4

DEF dos triangulos tales que A y D son angulos rectos, AC =

DF y B = E. Entonces4

ABC =4

DEF . (Nota: en esta demostracion, tomamos como angulo agudo al

angulo opuesto al cateto AC; alternativamente podramos haber tomado al angulo C, y tendramoscomo hipotesis C = F , siendo la prueba muy similar a la que damos aca).

Hipotesis:4

ABC,4

DEF triangulos, A = 1 recto, D = 1 recto, AC = DF , B = E

Tesis:4

ABC =4

DEFDemostracion:Como los angulos A y D son rectos, tenemos

A = D

Por hipotesis, tenemosAC = DF

B = E

Por lo tanto, por el criterio ALA de igualdad de triangulos, tenemos

4ABC =

4DEF

3er criterio (HA): Si dos triangulos rectangulos tienen la hipotenusa y un angulo agudo respectiva-mente iguales, entonces son iguales.


ABC,4

DEF dos triangulos tales que A y D son angulos rectos, BC =

EF y B = E. Entonces4

ABC =4

DEF

19

Hipotesis:4

ABC,4

DEF triangulos, A = 1 recto, D = 1 recto, BC = EF , B = E

Tesis:4

ABC =4

DEFDemostracion: Como los angulos A y D son rectos, tenemos

A = D

Por hipotesis, tenemosBC = EF

B = E

Por lo tanto, por el criterio ALA de igualdad de triangulos, tenemos

4ABC =

4DEF

4to criterio (HC): Si dos triangulos rectangulos tienen la hipotenusa y un cateto respectivamenteiguales, entonces son iguales.


ABC,4

DEF dos triangulos tales que A y D son angulos rectos, BC =

EF y AC = DF . Entonces4

ABC =4

DEF

Hipotesis:4

ABC,4

DEF triangulos, A = 1 recto, D = 1 recto, BC = EF , AC = DF

Tesis:4

ABC =4

DEFDemostracion:

20

Como los angulos A y D son rectos, tenemos

A = D

Por hipotesis, tenemosBC = EF

AC = DF

Ademas, A es el angulo opuesto al mayor de los lados BC y AC (que es el lado BC), y lo mismosucede con el angulo D y los lados EF y DF . Por lo tanto, por el criterio LAL2 de igualdad detriangulos, tenemos

4ABC =

4DEF

T5) En un triangulo isosceles, la mediana correspondiente a la base coincide con la bisectriz, la alturay la mediatriz, todas correspondientes a la base.


ABC un triangulo, tal que AB = BC (con lo cual, el lado b es unabase del triangulo). Si denotamos por mb, bb, hb y eb a la mediana, bisectriz, altura y mediatrizcorrespondientes a la base, respectivamente, entonces se cumple que mb, bb, hb y eb coinciden.

Hipotesis:4

ABC triangulo, AB = BCTesis: mb, bb, hb y eb coincidenDemostracion:SeaD el punto medio del lado AC. Trazamos el segmento BD, que representa la medianamb respecto

a la base. Quedan as determinados dos triangulos4

ABD y4

CBD.

Como D es el punto medio de AC, tenemos

AD = CD

Por hipotesis, tenemosAB = CB

y siempre se cumpleBD = BD

Por lo tanto, por el criterio LLL de igualdad de triangulos, tenemos

4ABD =

4CBD

21

En particular, tenemos

BDC = BDA

y como dichos angulos son adyacentes, entonces ambos angulos son rectos, es decir

BDC = 1 recto

BDA = 1 recto

Por lo tanto, la mediana BD une perpendicularmente el vertice B con la base, con lo cualmb coincidecon la altura hb.La mediana mb une el punto medio de AC, con la interseccion entre la mediatriz de AC y el ladoBC (que es el vertice B), por lo tanto mb coincide con la mediatriz eb.

De la igualdad4

ABD =4

CBD obtenida, se desprende en particular que

ABD = CBD

por lo tanto el segmento BD biseca al angulo B, con lo cual la mediana mb coincide con la bisectrizbb.

W) En todo paralelogramo, los angulos opuestos son iguales.

Enunciado alternativo: Sea ABCD un paralelogramo. Entonces A = C y B = D.Hipotesis: ABCD cuadrilatero, AB CD, AD BCTesis: A = C y B = DDemostracion:Vamos a probar la primera igualdad de la tesis. Para ello, trazamos la diagonal AC, y quedandeterminados cuatro angulos 1, 2, 1, 2 como muestra la figura

Entonces tenemosA = 1 + 2

C = 1 + 2

Como por hipotesis AB CD, entonces1 = 1

por ser angulos alternos internos entre paralelas (tomando como transversal a la diagonal).Analogamente, como por hipotesis AD BC, entonces

2 = 2

22

por ser angulos alternos internos entre paralelas.Por lo tanto, A = 1 + 2, con lo cual

A = C

La segunda igualdad de la tesis (B = D) se prueba en forma analoga, trazando la diagonal BD yrazonando de manera identica a lo realizado anteriormente.

Demostracion alternativa: (mas simple que la anterior)

Sea B un angulo adyacente a B como indica la figura:

Como por hipotesis AD BC, entoncesA = B

por ser angulos alternos internos entre paralelas (tomando como transversal a la recta AB).Y como por hipotesis AB CD, entonces

B = C

por ser angulos correspondientes entre paralelas (tomando como transversal a la recta BC).Entonces, de ambas igualdades se deduce

A = C

La segunda igualdad de la tesis (B = D) se prueba en forma analoga.

23

Construcciones con regla y compas

- Construir un angulo igual a otro dado:Datos: el angulo dado esta formado por dos semirrectas r1 y r2, ambas con el mismo origen O.

1) Con el compas apoyado sobre O y con una abertura cualquiera, trazamos un arco de circunferenciaque corte a r1 y r2.

2) Marcamos las intersecciones entre el arco y cada uno de los lados.

3) Trazamos una semirrecta arbitraria r, con origen O.

4) Con el compas apoyado sobre O y con una abertura OA, trazamos un arco de circunferencia quecorte a r.

24

5) Marcamos la interseccion entre el arco y r.

6) Con el compas apoyado sobre A y con una abertura AB, trazamos un arco de circunferencia quecorte al arco azul.

7) Marcamos la interseccion entre el arco azul y el arco verde.

8) Trazamos la semirrecta de origen O que pasa por B.

25

El angulo rs construido es igual al angulo r1r2. Vease que todo el procedimiento realizado puederesumirse en un solo grafico:

- Construir la mediatriz de un segmento AB:

1) Con el compas, trazamos los arcos rojos y azules como indica la figura.

26

2) Marcamos las intersecciones entre dichos arcos (puntos C y D).3) Con la regla trazamos la recta que pasa por C y D. Esta recta es la mediatriz del segmento AB,la cual corta a dicho segmento por su punto medio E.

- Construir la perpendicular a una recta r por un punto exterior A:

1) Con el compas apoyado sobre A, trazamos un arco de circunferencia que corte a la recta por dospuntos distintos B y C.2) Construimos la mediatriz del segmento BC siguiendo el procedimiento anterior. Esta recta esperpendicular a la recta r y pasa por el punto A.

- Construir la perpendicular a una recta r por un punto A ubicado sobre la recta:

1) Con el compas apoyado sobre A, trazamos un arco de circunferencia que corte a la recta por dospuntos distintos B y C.2) Construimos la mediatriz del segmento BC. Esta recta es perpendicular a la recta r y pasa porel punto A.

- Construir la bisectriz de un angulo dado:Datos: el angulo dado esta formado por dos semirrectas r1 y r2, ambas con el mismo origen O.

27

1) Con el compas apoyado sobre O, trazamos un arco de circunferencia que corte ambas semirrectas,y marcamos las intersecciones A y B.2) Con la regla trazamos el segmento AB.3) Construimos la mediatriz del segmento AB. Esta recta pasa por O y corta al segmento AB en supunto medio C.

4) Con la regla trazamos la semirrectaOC, que es la bisectriz del angulo r1r2.

- Construir la paralela a una recta r por un punto exterior A:

1) Con la regla trazamos una recta s que pase por A y corte a r en un punto B.2) Sobre la recta r, marcamos un punto arbitrario C distinto de B.

3) Tomando como lado la semirrectaAB, construimos un angulo igual al angulo CBA, de manera

que y CBA queden en semiplanos opuestos respecto de s.4) Con la regla trazamos la recta que contiene al lado t del angulo construido en el punto anterior.Esta recta es la paralela a r que pasa por el punto A.

Construccion alternativa: (mas simple que la anterior)

1) Sobre la recta r marcamos dos puntos distintos B y C.2) Con el compas apoyado en A y con una abertura BC trazamos un arco de circunferencia dentrodel semiplano respecto de la recta AB que contiene a C.3) Con el compas apoyado en C y con una abertura AB trazamos un arco de circunferencia dentrodel semiplano respecto de r que contiene a A.4) Marcamos la interseccion entre dichos arcos (punto D).5) Con la regla trazamos la recta AD. Esta recta es la paralela a r que pasa por A.

28

apuntes 1

Documents