Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales a la carrera de “Mecatrónica”

Hace mucho tiempo, desde el tiempo de los griegos, se quería encontrar la forma de trabajar con curvas. Nadie sabia con exactitud como calcular el área de una curva, o la pendiente de una curva en un punto dado. ¿Pero quién quiere saber eso? Los matemáticos desde luego....

Pero en realidad las implicaciones de resolver un problema tan complicado como este, tienen alcances extraordinarios. Tan vastos como la misma computadora en la que estoy escribiendo este ensayo, y el mismo papel en el cual usted lo esta leyendo. En la travesía de resolver estos dos simples problemas nació el cálculo, y muy asociado a este, la noción de las ecuaciones integro-diferenciales.

Para fines del siglo XVIII la revolución industrial fue uno de los primeros frutos de la ciencia aplicada especialmente en el área de ingeniería. En esta época las máquinas se acomodaron en el mundo y las ecuaciones diferenciales estaban en el corazón de su diseño.

Solo que ahora existía un nuevo reto, la automatización. “adj. Dicho de un mecanismo: Que funciona en todo o en parte por sí solo. U. t. c. s.” (RAE, 2001)

¿Quién, en siglos anteriores al nuestro, no tendría deseos de poseer un molino de pan que lo produjera sin que nadie moviera un solo dedo? Pues para esa época era un sueño muy lejano, había mucho trabajo por hacer. Para ilustrar el progreso de las ecuaciones diferenciales a través de los años y sus aplicaciones a la mecatrónica estudiaremos un caso práctico a lo largo de este ensayo y le iremos agregando elementos conforme transcurre la historia.

Imaginemos que usted quiere mantener la temperatura de un cuarto con el propósito de que este dispositivo sea utilizado en automóviles, aviones, laboratorios, hoteles y muchos otros lugares en los cuales la temperatura del medio ambiente es hostil o inadecuada. Necesita que este dispositivo sea automático, de tal forma que si la temperatura exterior sufre un cambio nadie tenga que estar recalibrándolo.

Fig 1.

Primer diseño de automatización:

En los primeros trabajos teóricos en automatización se trabajó sobre dispositivos determinísticos. Muchos científicos de principios del siglo XVIII creían que se podía construir un dispositivo que a través de correctas mediciones iniciales podría mantener las condiciones deseadas por mucho tiempo. El diseño aún sigue en pie, pero es muy poco práctico, porque funciona solo para sistemas en los cuales un dispositivo tenga que controlar un pequeño número de variables y en condiciones ideales.

Además la mayoría de veces lleva más esfuerzo idealizar el sistema que lo que cuesta el dispositivo controlador.

José Alberto Morán Tobar carne 07054 Ecuaciones Diferenciales

Segundo diseño de automatización:

Digamos que la temperatura que se desea son 10 C. Si la temperatura ambiente es de 20 C entonces el dispositivo tendría que extraer calor a una tasa constante hasta que la temperatura llegue a 10 C. Esto lo sabría mediante un sensor de temperatura. Este diseño de automatización se muestra en la Fig 2 y sus construcciones en serie corresponden a principios del siglo XVIII. Tuvo sus orígenes en el trabajo de James Clerk Maxwell en 1868 con la construcción de un controlador de centrífuga. (Kilian, 2005)

Fig 2

Rápidamente usted se dará cuenta que es un diseño ineficiente, puesto que si la diferencia de temperatura entre el ambiente y la deseada es grande el dispositivo tardaría mucho tiempo en lograrla como se muestra entre las unidades de tiempo 2 y 3 de la Fig 2. Podría pasar que, en el transcurso, el ambiente cambie y la trayectoria del dispositivo sea incorrecta, desestabilizando todo el sistema. Los primeros estudios de estabilidad fueron hechos por Edward John Routh siendo discípulo de Maxwell y por Adolf Hurwitz. Esto tendría grandes implicaciones en el camino de la automatización. (Kilian, 2005)

Tercer diseño de automatización:

Se podría pensar en un diseño en el cual la taza de extracción de calor sea proporcional a la diferencia de temperatura entre el ambiente y la temperatura deseada. Este diseño es denominado PI, y su implementación corresponde a mediados del siglo XIX. Uno de los principales problemas que se observó es que los dispositivos PI son extremadamente difíciles de calibrar. Porque un pequeño cambio en su calibración los vuelve muy sensibles a los cambios de temperatura, esto ocasiona una persecución del ideal, como se puede observar en la Fig 3. (Sellers, 2005)

Es decir el dispositivo constantemente esta cambiando su taza de extracción de calor lo que ocasiona una gráfica oscilante. Este constante cambio aplica mucho estrés a los mecanismos que terminan fallan-do o en necesidad de recalibración cada pequeño período de tiempo.

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Fig 3

Cuarto Diseño de automatización:

Aquí entra el concepto de ecuaciones integro-diferenciales y el criterio de estabilidad. Por sistema estable entendemos aquel que tiene una respuesta natural que decae de manera exponencial hacia cero conforme el tiempo tiende al infinito. (Barbastahis, 2007) Para introducir este diseño comencemos analizando su forma general:

Kp : ganancia proporcional del dispositivoKi : ganancia integral del dispositivoKd : ganancia diferencial del dispositivoα : desviación proporcional al nivel deseado

En términos simples es un sistema en el cual la salida es controlada por tres términos. Uno proporcional uno integral y uno diferencial. Es denominado PID.

El término que contiene la integral revisa a la desviación acumulada sobre el tiempo y ajusta la salida del dispositivo para tratar de eliminarla como se observa en la Fig 4 (comparada con un sistema con solo el primer término). En nuestro caso si la temperatura se aleja el sistema este trata de acercarse lo más rápido posible hacia la temperatura objetivo.(Sellers, 2005)

El término que contiene la derivada revisa la taza a la que la desviación cambia con el tiempo y ajusta la salida del dispositivo para minimizarla. En nuestro caso minimizaría cambios abruptos en la extracción de calor si el ambiente cambia drástica y repentinamente, dándole un suave aterrizaje hacia la temperatura deseada. Esto se observa en la figura 5 (comparada con un sistema sólo con el primer término).(Sellers, 2005)

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Fig 4

Fig 5

Entonces el lector estará de acuerdo en afirmar que este es un poderoso sistema para controlar situaciones que requieren automatización, es eficiente y estable. Usted podría pensar que todo esto suena interesante pero que no hemos hablado sobre aplicaciones aparte de un dispositivo para controlar la temperatura. Se debe a que se necesita primero una fuerte base física y matemática, en este caso utilizando una ecuación diferencial bien estructurada para construir sobre ella.

El sistema de control crucero de un automóvil recae sobre un controlador PID para mantener la velocidad mientras usted transita por las calles. Su funcionamiento es muy similar al sistema ilustrado en la figura 6. Un tacómetro sirve de sensor y conexión con las condiciones de la carretera. Una serie de compuertas lógicas (usualmente una computadora) implementan la ecuación diferencial y la salida es ejecutada por un acelerador.

El sistema de su impresora personal tiene un servomotor con un controlador PID que le permite a la máquina saber la posición del carrete sobre el papel, mediante el número de vueltas que ha dado proporcional al movimiento horizontal de la banda. Además sabe la posición del papel mientras se mueve a través de la impresora mediante el número de vueltas del rodillo dispensador. (HowStuffWorks, 2008)

Con la llegada de los circuitos integrados y los microprocesadores, las computadoras se encargan de muchas de las funciones de un controlador PID, sin embargo el concepto está inmiscuido en el software y la ecuación diferencial mantiene la misma importancia.

El reproductor de discos compactos que usted utiliza en su computador o estéreo necesita cambiar la velocidad angular conforme se mueve la cabeza láser en dirección radial. Esto permitió almacenar grandes cantidades de memoria sin perder fiabilidad. Antes de la aplicación del controlador PID los discos de Vinyl mantenían una velocidad angular de 33 rpm lo que hacía que la información musical se compactara cada vez más conforme la punta lectora se alejaba del centro de la espiral, dando a lugar errores y limitantes en la capacidad de almacenamiento.

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Fig 6

Fig 7

Fig 8

Cualquier sistema que utilice servomotores tiene implicado desde raíz un controlador PID en sus muchas formas y en las distintas variedades en las que viene. ¿Imaginaría usted un mundo sin servomotores? Esa es la envergadura que tienen las aplicaciones del concepto PID al mundo en el que vivimos.

Incluso nos mantiene vivos, literalmente.

El dispensador de medicina y el filtrador de sangre en un hospital utilizan un controlador PID para mantener la concentración de medicamento, o impedir que la concentración de toxicidad en la sangre suba a un nivel mayor a lo tolerable.

El flujo magnético en una maquina MRI (Mapeo de resonancia magnética) es controlado mediante un complejo sistema de PIDs que permiten crear una imagen tridimensional del cuerpo para así ayudar a los doctores a realizar diagnósticos más precisos y tratamientos más eficaces. (Lewin, 1999)

La mecatrónica trata todos estos sistemas en los cuales involucra un sensor, un procesador y un actuador. Entre los muchos elementos que involucran están los controladores PID, que como hemos visto están presentes en muchos aspectos de la humanidad hoy en día.

Como última aplicación quisiera mencionar el mayor experimento en la física moderna, el LHC. Cabe mencionar que este acelerador de partículas tiene el potencial de hacer la ciencia ficción una realidad y llevarnos al siglo XXI con un futuro muy prometedor a nivel de microescala, y no podrían faltar los controladores PID en muchos de sus mecanismos.

Para finalizar quisiera recordar una anécdota que me compartió un físico con motivo de la inauguración de este experimento. Con especial dedicatoria a aquellas personas que duden de las aplicaciones de la ciencia y entre ellas, las ecuaciones diferenciales.

Cuando J.J. Thompson estaba en una entrevista para conseguir financiamiento, para realizar lo que después se convertiría en el descubrimiento del electrón. El financista de parte del gobierno le dice en tono poco prometedor “...pero después de todo esto que me has planteado, ¿que posible aplicación podrá tener esa investigación en el mundo?”

Thompson respondió “No tengo idea, pero estoy seguro que en el futuro ustedes le cobrarán impuesto”.

Thompson tenía razón, es así como funciona nuestra economía, a través del electrón.

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Fig 9

Fig 10

Bibliografía

1. Real Academia Española. Diccionario. XXII Edición. España. 2001. [consultado Nov 2008]http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=autom%E1tica

2. Agarwal Anat, Foundations of Analog and Digital Electronic Circuits (The Morgan Kaufmann Series in Computer Architecture and Design). II Edición. MIT. 2005.

3. Lewin Walter PhD. Electricity and Magnetism. OpenCourseWare. Code 6.02. Massachusetts Institute of Technology. Estados Unidos. 1999.

4. Mattuck, Arthut Prf. Miller, Haynes Prf. Differential Equations. OpenCourseWare. Code 18.03. Massachusetts Institute of Technology. Estados Unidos. 2006.

5. Barbastahis, George, et al. Systems, Modeling, and Control II. OpenCourseWare. 2.004. Massachusetts Institute of Technology. Estados Unidos. 2007.

6. Sellers David Eng. An Overview of Proportional plus Integral plus Derivative Control and Suggestions for Its Successful Application and Implementation. Portland Energy Conservation Inc, Portland, Oregon. Estados Unidos. 2005

7. Stauffer Yves. Analog PID module . Semester Project. Autonomous System Lab, ETH Zurich. 2004

8. Raymond, Serway. Fisica para ingenieros. VI Edición. Thomson Learning. México. 2005

9. Kilian Christopher. 2005. Modern Control Technology. Thompson Delmar Learning.

10.Imagenes tomadas bajo licencia FairUse, o CreativeCommons según el caso.

11.HowStuffWorks. Discovery Communications. 2008. [consultado Nov 08]http://computer.howstuffworks.com/inkjet-printer.htm

12.Wikipedia. Control Theory. Nov 2008. http://en.wikipedia.org/wiki/Control_Theory

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