aplicaciones de las ed de segundo orden

62

Prof. Alejandro Hernández Espino. Universidad Tecnológica de Panamá

V. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES

Las Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior, que acabamos de estudiar en el contenido anterior, son ecuaciones que tienen una gran variedad de aplicaciones importantes, en particular, las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes, que tienen una gran número de aplicaciones en física e ingeniería mecánica y la ingeniería eléctrica. Dos de estas aplicaciones son las que estudiaremos en este contenido: “los movimientos de una masa que vibra hacia arriba y hacia abajo suspendida en un extremo de un resorte y problemas que involucran la teoría de circuitos”. En esta sección estudiaremos los sistemas lineales dinámicos donde el “modelo matemático” es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes

( ) ( ) ( )

La “función de entrada” o “término no homogéneo” ( ) también llamamos “función fuerza” del sistema. La salida o respuesta del sistema es una solución ( ) de la ecuación diferencial en un intervalo que contiene a “ ” que satisface las condiciones ( ) y ( ) . MOVIMIENTOS VIBRATORIOS EN SISTEMAS MECÁNICOS Tal vez el sistema más simple disponible para estudiar el movimiento vibratorio consiste de un resorte ordinario de peso despreciable, suspendido verticalmente de un soporte fijo. El resorte helicoidal esta suspendido verticalmente en un punto fijo en el techo, viga u otro objeto similar. Una masa esta unida en su extremo inferior y puede encontrarse en reposo en su posición de equilibrio. Después, el sistema se pone en movimiento, ya sea desplazando la masa hacia abajo, a una cierta distancia de su posición de equilibrio (o bien hacia arriba) y a continuación se suelta ya sea con velocidad inicial (puede ser cero “ ( ) ” o distinta de cero “ ( ) ”) empujándola hacia arriba o hacia abajo. Nuestro problema consiste en determinar el movimiento resultante de la masa en el resorte. Con el fin de obtener resultados debemos considerar también otro fenómeno que puede presentarse: podremos suponer que el sistema se encuentra localizado en algún medio (aire, agua, aceite, etc.) que produce una fuerza de resistencia que tiende a retardar el movimiento. Además, algunas fuerzas externas podrían considerarse en el problema, por ejemplo: una fuerza magnética, que actúa sobre la masa desde algún punto exterior al sistema. Luego trataremos de determinar el movimiento de la masa tomando en cuenta tanto la resistencia del aire como las fuerzas externas posibles. Para establecer la Ecuación Diferencial que modela este movimiento, necesitaremos leyes físicas: La Segunda Ley de Newton y la Ley de Hooke. Como ya estudiamos la Segunda Ley de Newton, recordaremos o que nos hace falta de la Ley de Hooke.

63


LEY DE HOOKE Supongamos que una masa “ ” está unida a un resorte flexible delgado, colgado de un soporte fijo rígido. “La distancia de estiramiento o alargamiento” del resorte dependerá naturalmente de la masa. Masas de distintos pesos estirarán al resorte a distintas distancias. De acuerdo a la “Ley de Hooke: el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución“ ” opuesta a la dirección de alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento “ ”:

Donde “k” es la constante de proporcionalidad llamada “constante del resorte” y “s” es la distancia de alargamiento” del resorte debido al peso “w”. 5.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LAS VIBRACIONES DE UNA MASA EN UN RESORTE Analicemos las fuerzas que actúan sobre la masa. Las fuerzas que tienden a empujar la masa “hacia abajo son positivas”, mientras que aquellas que tienden a empujarlo hacia arriba son negativas. 1. la “fuerza de gravedad (peso)”, de magnitud “mg” donde “g” es la aceleración debido a la

gravedad. Como actúa en el sentido hacia abajo, ella es positiva, así que

2. la “fuerza de restitución del resorte”. Como representa la cantidad total de alargamiento, por la Ley de Hooke la magnitud de esta fuerza es ( ).

Cuando la “masa se encuentra por debajo del extremo del resorte no estirado”, esta fuerza “actúa en sentido positivo” así que es “negativa”. También para la masa en esa posición, es

64


“positiva”. En consecuencia, cuando la “masa se encuentra por debajo del extremo del resorte no estirado”, esta fuerza de restitución viene dada por ( )

Cuando la “masa se encuentra por encima del extremo del resorte no estirado”, esta fuerza “actúa en sentido negativo” así que es “positiva”. También para la masa en esa posición, es “negativa”. En consecuencia, cuando la “masa se encuentra por encima del extremo del resorte no estirado”, esta fuerza de restitución viene dada por ( )

Cuando la “masa está en reposo en su posición de equilibrio” la fuerza de restitución es de la

misma magnitud pero en sentido opuesto a la fuerza de gravedad, de modo que ésta viene dada

por – , como en esta posición , la ecuación queda ( ) . Reemplazando en ( ) , se obtiene finalmente que

3. la “fuerza de resistiva del medio”. También se le llama “fuerza de amortiguamiento” y aunque

la magnitud de esta fuerza no se conoce con exactitud, se sabe que para pequeñas velocidades es aproximadamente proporcional a la magnitud de la velocidad:

| | |

|

A la constante se le llama “coeficiente de amortiguamiento”.

Cuando la masa se está moviendo “hacia abajo”, actúa “hacia arriba” (opuesta a la del movimiento), de modo que . También, puesto que la masa “m” se está moviendo “hacia

abajo”, “ ” está aumentando y

es positiva. Entonces al suponer que se cumple con la ecuación

| | |

|, cuando la masa se está moviendo “hacia abajo” la fuerza de amortiguamiento viene

dada por:

( )

Cuando la masa se está moviendo “hacia arriba”, actúa “hacia abajo” (opuesta a la del

movimiento), de modo que . También, puesto que la masa “m” se está moviendo “hacia

arriba”, “ ” está disminuyendo y

es negativa. Entonces al suponer que se cumple con la

ecuación | | |

|, cuando la masa se está moviendo “hacia arriba” la fuerza de

amortiguamiento viene dada por:

(

4. “cualquier fuerza externa que actúe sobre la masa”. Representaremos la resultante de todas

las fuerzas externas en el instante “ ” simplemente por ( ), por tanto:

( )

65


Al aplicar la “Segunda Ley de Newton”

∑

∑

( )

La cual representa la “Ecuación Diferencial del Movimiento de la Masa en el Resorte”. Esta es una Ecuación Diferencial Lineal no Homogénea de Segundo con coeficientes constantes. Si , el movimiento se llama “movimiento no amortiguado” de otra manera se llama

movimiento amortiguado “

Si no existen fuerzas externas, es decir ( ) para toda “t” el movimiento se llama “movimiento libre” de otra manera se llama “movimiento forzado”

Para los desplazamientos de la masa adoptaremos la siguiente convención de signos: “desplazamientos medidos por debajo de la posición de equilibrio son positivos” “desplazamientos medidos por encima de la posición de equilibrio son negativos”

5.2 MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO Como es un “movimiento libre no amortiguado” entonces y ( ) , por tanto la ecuación diferencial nos queda de la siguiente manera:

( )

66


Esta ecuación describe un “movimiento armónico simple” o “movimiento libre no amortiguado”. Las dos condiciones iniciales asociadas con esta ecuación son: ( ) que representa la cantidad de desplazamiento inicial, y ( ) que es la velocidad inicial de la masa. Si y , la masa parte de un punto por debajo de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba. Si decimos que la “masa parte del reposo”. Si y , la masa parte del reposo desde algún punto por encima de la posición de equilibrio. Para resolver esta ecuación diferencial, su ecuación auxiliar nos da: de la que obtenemos las raíces complejas conjugadas por lo que su solución es:

El “período de las vibraciones libres” que describe ( ) es

y la “frecuencia” es

Por ejemplo para ( ) , el periodo es

lo que significa que la gráfica de

( ) se repite cada

y la frecuencia es

que significa que hay 3 ciclos de la gráfica cada

unidades o lo que es lo mismo la masa efectúa

vibraciones completas por unidad de tiempo. El

período

es el intervalo entre dos (2) máximos consecutivos de ( ). Un máximo de ( ) es el

desplazamiento positivo cuando la masa alcanza la distancia máxima debajo de la posición de equilibrio y un mínimo de ( ) es el desplazamiento negativo cuando la masa alcanza la distancia máxima por encima de la posición de equilibrio. Cuando se emplean las condiciones iniciales para determinar las constantes arbitrarias y de ( ) se dice que la solución particular que resulta es “la ecuación del movimiento”. FORMA ALTERNATIVA DE ( ) PARA EL MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO Cuando y la “amplitud A” de las vibraciones libres no se pueden conocer de inmediato examinando la ecuación de ( ), por lo que conviene pasar dicha forma a una más simple:

Donde √

es la “amplitud” y es el “ángulo de fase” definido por

( )

( ) ( )

67


Para trazar la gráfica de ( ) ( ), debemos determinar a. Los Puntos de equilibrio: puntos en los que gráfica pasa por el eje “ ”:

( ) ( ) , luego

b. Los puntos de máximos y mínimos: puntos

en los que ( ) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

68


5.3 MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO El concepto del “movimiento libre no amortiguado o libre armónico” no es realista, pues, asumimos que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre la masa en movimiento. Al menos que la masa se encuentre en un vacío perfecto, al menos habrá una fuerza de resistencia debido al medio que rodea al objeto. La masa pudiera estar suspendida en un medio viscoso o conectado a un dispositivo amortiguador: En mecánica se considera que las “fuerzas de amortiguamiento” que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea. Para nuestros efectos consideramos que esta potencia está expresada en términos de algún

múltiplo constante de la velocidad (

). Cuando no

hay fuerzas externas actuando en el sistema, de acuerdo a la segunda “ley de Newton”

∑

El símbolo es sólo por comodidad algebraica, pues la ecuación auxiliar nos queda

y las raíces son √ y √ por lo que distinguimos tres (3) casos posibles dependiendo del signo algebraico de (discriminante). Puesto que cada solución tiene el factor de amortiguamiento los desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes para valores de muy grandes. 5.3.1 MOVIMIENTO LIBRE SOBREAMORTIGUADO ( ) Aquí el sistema se dice que está “sobreamortiguado” porque el coeficiente de amortiguamiento es grande en comparación con la constante del resorte . Es un movimiento suave y no oscilatorio. La solución correspondiente de la ecuación del movimiento masa resorte es:

( ) ( √

√ )

69


Las dos posibles gráficas para ( ) se muestran a continuación 5.3.2 MOVIMIENTO LIBRE CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO ( ) Se dice que el sistema está “críticamente amortiguado” ya que cualquiera pequeña disminución de la fuerza de amortiguamiento daría origen a un movimiento oscilatorio. La solución correspondiente de la ecuación del movimiento masa resorte es: Las dos posibles gráficas para ( ) se muestran a continuación: Estos movimientos son muy parecidos a los de un sistema “sobreamortiguado” y también podemos observar que la masa puede pasar a lo más una vez por la posición de equilibrio. 5.3.3 MOVIMIENTO LIBRE SUBAMORTIGUADO ( ) Se dice que el sistema está “subamortiguado” porque el coeficiente de amortiguamiento es pequeño en comparación con la constante del resorte. Las raíces de la ecuación auxiliar son complejas (par

conjugado): √ y √ y la solución correspondiente de la ecuación del movimiento masa resorte es:

( ) ( )

( ) ( √ √ )

70


La posible gráfica para ( ) se muestran a continuación: Como se aprecia es un movimiento oscilatorio, pero a causa del coeficiente de amortiguamiento las amplitudes de vibraciones tienden a cero (0) cuando FORMA ALTERNATIVA DE ( ) PARA EL MOVIMIENTO LIBRE SUBAMORTIGUADO Al igual que en el movimiento libre no amortiguado, los desplazamientos (la solución) ( ) de la

ecuación diferencial, es decir, ( ) ( √ √ ) se puede escribir en una forma alternativa que resulta más fácil para graficar los desplazamientos de la masa:

Donde √

, al término se le denomina “amplitud amortiguada” y es el “ángulo

de fase” definido por:

Como ( ) (√ ) no es una función periódica, al número

√ se le

denomina “Cuasiperiodo” y al número √

“Cuasifrecuencia”. El “Cuasiperiodo” es el intervalo de

tiempo transcurrido entre dos máximos consecutivos de ( ).

Para trazar la gráfica de ( ) (√ ), debemos determinar:

a. Los Puntos de equilibrio: puntos en los que gráfica pasa por el eje “ ”:

( ) (√ ) √ , luego

√

√

√

( ) (√ )

71


b. Los puntos de máximos y mínimos: puntos

en los que ( ) alcanza los valores

máximos y mínimos. Sabemos que ( ) , pues, | (√ )| , de lo que

resulta que la gráfica de los desplazamientos ( ) (√ ) es tangente a las

gráficas en los valores

: para los cuales (√ ) , lo que

quiere decir que √ es un múltiplo impar del ángulo

, es decir:

√ ( )

( )

√

5.4 MOVIMIENTO FORZADO Ahora estudiaremos un “caso especial del movimiento forzado” en el que se tomará en cuenta una fuerza externa ( ) de carácter periódico, que actúa sobre una masa oscilatoria en un resorte, que usualmente es para todo y son constantes. Por ejemplo, ( ) podría representar una fuerza que causara un movimiento oscilatorio vertical al soporte del resorte. La inclusión de esta fuerza, como lo presentamos anteriormente nos da la ecuación:

( )

( )

√

√

72


Esta es una ecuación diferencial no homogénea y se debe resolver por el método de los coeficientes indeterminados o variación de parámetros. Cuando la fuerza externa, son funciones periódicas como ( ) ó ( ) la solución general del movimiento forzado para es la suma de una función no periódica ( ) y una función periódica ( ): ( ) ( ) ( ) además ( ) desaparece cuando aumenta el

tiempo: ( ) así para valores grandes en el tiempo los desplazamientos de la masa se aproximan bien a la solución particular ( ). La solución complementaria ( ) se le llama

“término transitorio” ó “solución transitoria” y a la solución particular ( ) que permanece después

de un intervalo de tiempo se le llama “término de estado estable” ó “solución de estado estable”. El movimiento forzado puede ser amortiguado o no amortiguado, dependiendo de la existencia de una fuerza amortiguadora que rodea la masa colocada en el resorte. 5.4.1. MOVIMIENTO FORZADO NO AMORTIGUADO 5.4.2. MOVIMIENTO FORZADO AMORTIGUADO 5.4.2.1. MOVIMIENTO FORZADO SOBREAMORTIGUADO ( )

( )

( )

( )

( ) ( √

√ ) ( )

( ) ( √

√ ) ( )

73


5.4.2.2. MOVIMIENTO FORZADO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO ( ) 5.4.2.3. MOVIMIENTO FORZADO SUBAMORTIGUADO ( ) 5.5. SISTEMAS ANÁLOGOS Una EDLcCC de II orden de la forma:

( )

Puede modelar diversos eventos. Acabamos de ver como dicha ecuación modela los sistemas vibratorios masa-resorte:

( )

También puede modelar fenómenos como el de “resonancia, péndulos y circuitos eléctricos”.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( √ √ ) ( )

( ) ( √ √ ) ( )

74


5.5.1. CIRCUITOS ELECTRICOS EN SERIE Un circuito RLC conectado en serie con una Resistencia “R” un Inductor “L”, un Capacitor “C” y que tienen una FEM (Fuente Electromotriz) “ ( )” que se muestra a continuación:

(a) La caída de voltaje a través de una resistencia es proporcional a la corriente que pasa a

través de la resistencia:

es la caída de voltaje a través de una resistencia¸ es la corriente eléctrica y “R” constante de proporcionalidad llamada “Coeficiente de Resistencia” o simplemente “resistencia”.

(b) La caída de voltaje a través de un inductor es proporcional a la tasa de tiempo instantánea de cambio de la corriente:

es la caída de voltaje a través del inductor y “L” constante de proporcionalidad llamada “Coeficiente de Inductancia” o simplemente “inductancia” (c) La caída de voltaje a través de un condensador es proporcional a la carga eléctrica instantánea

en el condensador:

es la caída de voltaje a través del condensador y “Q” es la carga instantánea “

” constante de

proporcionalidad llamada “Coeficiente de capacitancia” o simplemente “capacitancia” Debemos recordar el hecho de que la corriente eléctrica “ ” es a tasa de tiempo de cambio en la

carga, es decir “

“,

75


LEYES DE KIRCHHOFF Ley de Corriente de Kirchhoff: “La suma algebraica de las corrientes en cualquiera unión de

un circuito es cero (0), es decir, la corriente total que entra en la unión es igual a la corriente total que sale de la unión”.

Ley de Voltaje de Kirchhoff: “La suma algebraica de todas las caídas de voltaje instantáneas,

en torno a un circuito cerrado, siguiendo un sentido específico es cero (0), es decir, la suma de todas las caídas de voltaje a través de los resistores, inductores y capacitores es igual a la fuerza electromotriz (fem) total del circuito cerrado”.

Aplicando las Leyes de Kirchhoff al circuito RLC, obtenemos:

Si derivamos la primera ecuación respecto a “ ”

Por lo que tenemos dos EDL con CC de II orden para la carga “ ” y para la corriente “ ”. Si observamos estas ecuaciones y las comparamos con la Ecuación Diferencial de los Movimientos Vibratorios Masa-Resorte

( )

Vemos que son exactamente las mismas ecuaciones Diferenciales, donde:

MECANICA ELÉCTRICA

( )

( )

Desplazamientos ( ) Carga ( )

Velocidad

Corriente

Fuerza Externa ( ) Fuerza Electromotriz ( ) Masa Inductancia Amortiguamiento Resistencia R Constante del resorte k Capacitancia

76


La ecuación Diferencial:

( )

Modela las vibraciones en el circuito:

( ) se dice que las vibraciones eléctricas del circuito son “libres”.

( ) se dice que las vibraciones eléctricas del circuito son “forzadas”.

La Ecuación Auxiliar de la EDLH Asociada es:

, el circuito es no amortiguado , el circuito es amortiguado, por lo que dependiendo del discriminante nos lleva a

tres (3) soluciones:

Sobreamortiguado

Críticamente amortiguado

Subrmortiguado

En cada caso la solución contiene un factor de amortiguamiento

por lo que ( )

cuando . En el caso “Subamortiguado” cuando la condición inicial ( ) la carga del capacitor oscila a medida que disminuye, es decir, que cuando el capacitor esta cargando y descargando. Cuando ( ) se dice que el circuito no esta amortiguado y las vibraciones eléctricas no llegan a “0” cundo “t” aumenta sin límites; la respuesta del circuito es “armónica simple”. Cuando el Circuito es forzado y tiene amortiguamiento, en la solución ( ) a

se le llama “solución transitoria” y “solución permanente.

aplicaciones de las ed de segundo orden

Documents