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Rodrigo Armando Casados Castillo

Registro: 2002415 Clase: 3030 Ing. Electrónica Biomédica

Investigación Bibliográfica 1er Parcial

Materia: Ecuaciones Diferenciales Maestra: Paola Zatarain Gómez

CALIFICACIÓN

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DESCRIPCIÓN DEL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN BIBLIOGRÁFICA:

NOMBRE DE LA

MATERIA:

ECUACIONES DIFERENCIALES

TEMA: SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ED DE PRIMER ORDEN

CUATRIMESTRE: TERCERO GRUPO: IEB- IE

TIPO DE TAREA: INVESTIGACIÓN

DOCUMENTAL GRADO DE

DIFICULTAD:

B

FECHA DE

ENTREGA:

21 de junio de 2010

OBJETIVO DE LA TAREA: El alumno conocerá diferentes métodos numéricos para resolver ecuaciones

diferenciales de primer orden cuya solución es difícil de obtener por métodos analíticos.

DESCRIPCIÓN DE LA TAREA: El alumno realizará una investigación documental, sobre el tema:

Solución Numérica de ED de Primer Orden. Deberá incluir lo siguiente:

1. Descripción del método de Euler y Euler mejorado e incluir 1 ejemplo resuelto de cada uno.

2. Descripción del método de Runge Kutta orden 2 y 4, incluir un ejemplo resuelto de cada uno.

3. Descripción del método de Picard y dos ejemplos resueltos.

4. Finalmente, resuelva el ejercicio que su maestro le indicará en el salón de clase, para el cual deberá

construir una tabla para comparar los valores indicados de y(x) mediante los métodos de Euler

mejorado, RK4 y Picard. Presente los resultados redondeando a 4 decimales. Use h = 0.05. Su

profesor le asignará uno de los 4 siguientes problemas:

a)

CRITERIOS DE EVALUACIÓN:

10 puntos de su calificación del primer parcial, los

cuales se asignarán de la siguiente manera:

Contenido teórico

completo

6 puntos

Ejemplos completos 4 puntos

TOTAL 10 PUNTOS

BIBLIOGRAFÍA:

ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado ,

zill, dennis g., thomson, méxico, 2006

ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la

frontera , trench, wlliam f, international thomson

editores, méxico, 2002

introducción a las ecuaciones diferenciales con

problemas de valor de frontera , campbell, stephen l.,

mc graw hill, méxico, 1998

ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la

frontera , nagle, r. kent, pearson educación, méxico,

2005

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Método de Euler Una de las técnicas más sencillas para aproximar soluciones del problema de valor inicial:

Se llama método de Euler o método de las tangentes. Aplica el hecho que la derivada de una función y(x),

evaluada en un punto x0, es la pendiente de la tangente a la gráfica de y(x) en este punto. Como el problema

de valor inicial establece el valor de la derivada de la solución en (x0,y0), la pendiente de la tangente a la curva

de solución en este punto esf(x0, y0). Si recorremos una distancia corta por la línea tangente obtenemos una

aproximación a un punto cercano de la curva de solución. A continuación se repite el proceso en el punto

nuevo. Para formalizar este procedimiento se emplea la linealización

de y(x) en x = x0. La gráfica de esta linealización es una recta tangente a la gráfica de y = y(x)

en el punto (x0, y0). Ahora se define h como un incremento positivo sobre el eje x. Reemplazamos x con x1=

x0 + h en (1) y llegamos a

0 sea

en donde y0´ = y´(x0) = f(x0, y0) y y1 = L1(x). El punto (x1, y1) sobre la tangente es una

aproximación al punto (x1y (x1) en la curva de solución, esto es, L(x1) = y(x1), o y1 = y(x1) es

una aproximación lineal local de y(x) en x1. La exactitud de la aproximación depende del

tamaño h del incremento. Por lo general se escoge una magnitud de paso “razonablemente

pequeña”. Si a continuación repetimos el proceso, identificando al nuevo punto de partida (x1,

y1) como (x0, y0) de la descripción anterior, obtenemos la aproximación

La consecuencia general es que

en donde x,, = x0 + nh.

Para ilustrar el método de Euler usaremos el esquema de iteración de la ecuación (2) en

una ecuación diferencial cuya solución explícita es conocida; de esta manera podremos

comparar los valores estimados (aproximados) yn con los valores correctos (exactos) y(xn).

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Ejemplo 1:

Para el problema de valor inicial

y’ = 0.2xy, Y(l) = 1,

utilice el metodo de Euler a fin de obtener una aproximación a y(1,5) con h = 0.1 primero y

después h = 0.05.

Solución:

Primero identificamosf(x, y) = 0.2xy, de modo que la ecuación (2) viene a ser

yn+1= yn + h( 0.2 xnyn)

Entonces, cuando h = 0.1, y1 = y0 + (0.1)(0.2 x1y1)= 1 + (0.1)[0.2(1)(1)] = 1.02, que es un estimado del valor

de y(1.1); sin embargo, si usamos h = 0.05, se necesitan dos iteraciones para llegar a 1.1. En este caso:

y1 = 1 + (0.05)[0.2(1)(1)] = 1.01

y2= 1.01 + (0.05)[0.2(1.05)(1.01)] = 1.020605

Observamos que y1 ᴝy( 1.05), y que y2 ᴝ y(l.1). En las tablas 9.1 y 9.2 se ven los resultados

del resto de los cálculos. Cada resultado está redondeado a cuatro decimales.

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Ejemplo 2:

Con el método de Euler obtenga el valor aproximado de y( 1.5) en la solución de

y’ = 2xy, y(l) = 1.

SOLUCIÓN

y= e

x2-1

En este caso, el error relativo de 16% que se obtiene con un tamtio de h = 0.1 al calcular la aproximación

a y( 1.5) es totalmente inaceptable. Si se duplica la cantidad de cálculos, se logra cierta mejora en

exactitud; para ello, se corta a la mitad el tamaño del paso, a h = 0.05.

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Método de Runge-Kutta

Es probable que uno de los procedimientos más difundidos y a la vez mas exactos para obtener

soluciones aproximadas al problema de valor inicial y’ = f(x, y), y(x0) = y0 sea el método

de Runge-Kutta de cuarto orden. Como indica el nombre, hay metodos de Runge-Kutta de

distintos ordenes, los cuales se deducen a partir del desarrollo de y(xn + h) en serie de Taylor

con residuo:

en donde c es un número entre xn y xn + h. Cuando k = 1 y el residuo h2/2 y”(c) es pequeño, se

obtiene la fórmula acostumbrada de iteración

y n+1 = yn + hy´n = yn + hf(xn+yn)

En otras palabras, el método básico de Euler es un procedimiento de Runge-Kutta de primer

orden.

Pasemos ahora al procedimiento de Runge-Kutta de segundo orden. Consiste en hallar

las constantes a, b,ɑ y β tales que la fórmula:

yn+1 = yn + ak1 + bk1 (1)

en la cual

k1 = hf (xn,yn)

k2 = hf (xn + ɑh, yn + β k1),

Coincide con un polinomio de Taylor de segundo grado. Se puede demostrar que esto es posible siempre y

cuando las constantes cumplan con:

a+b=l, bβ = ½ y ɑb = ½ (2)

El procedimiento de Runge-Kutta de cuarto orden consiste en determinar las constantes adecuadas para que la

formula

coincida con un polinomio de Taylor de cuarto grado. Con lo anterior se obtienen ll ecuaciones con 13

incógnitas. El conjunto de valores de las constantes que más se usa produce el siguiente resultado:

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Ejemplo 1:

Con el método de Runge-Kutta con h = 0.1 obtenga una aproximación a = (1.5) para la solución de

y’ = 2xy, y(1)= 1

SOLUCIÓN: Con fines de ilustración, calcularemos el caso en que n = 0. De acuerdo con (3),

Y en consecuencia

Al revisar la tabla 9.7 vemos por qué es tan utilizado el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Si todo lo

que basta es exactitud al cuarto decimal, no se necesita un tamaño menor de paso. En la tabla 9.8 se comparan

los resultados de aplicar los m&odos de Euler, de Euler mejorado y de Runge-Kutta de cuarto orden, al

problema de valor inicial y’ = 2xy, y(l) = 1

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Ejemplo 2:

Analice los errores local y global de truncamiento para el método de Runge-Kutta de cuarto orden aplicado

ay´ = 2xy, y(1) = 1.

Solución: Al diferenciar la solución conocida y(x) = ex2-1

obtenemos

Así, con c = 1.5 , se obtiene una cota de 0.00028 para el error local de truncamiento en cada una de las cinco

etapas, cuando h = 0.1. Obsérvese que, en la tabla 9.7, el error real de y1 es bastante menor que esa cota.

En la tabla 9.9 vemos las aproximaciones a la solución del problema de valor inicial, en x = 1.5, que se

obtienen con el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Al calcular el valor de la solución exacta en x = 1.5,

es posible determinar el error en las aproximaciones. Puesto que el metodo es tan exacto, se requieren muchas

cifras decimales en la solución numérica para apreciar el efecto de reducir a la mitad el tamaño de paso. Es de

notar que cuando h se reduce a la mitad (de h = 0.1 a h = 0.05), el error que dividido por un factor aproximado

de 24 = 16, que era lo que se esperaba.

Hemos explicado que la exactitud de un metodo numérico se mejora disminuyendo el tamaño de paso, h. Está

claro que la mayor exactitud se obtiene a un costo; más tiempo de cálculos y mayores posibilidades de error

de redondeo. En general, en el intervalo de aproximacion pueden existir subintervalos en que baste un tamafío

mayor de paso, y otros subintervalos en que sea menor el tamaño de paso para mantener el error de

truncamiento dentro de cierto límite deseado. Los metodos num&icos que emplean tamtios variables de paso

se llaman métodos adaptativos. Uno de los más difundidos para aproximar las soluciones de ecuaciones

diferenciales es el algoritmo de Runge-Kutta-Fehlberg.

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Método de Picard (o de aproximaciones sucesivas)

El método de Picard toma su nombre del matemático francés Emile Picard (1856 a 1941) quien utilizo la

técnica de aproximaciones sucesivas para estudiar la existencia y unicidad de soluciones de problemas de

valor inicial. En síntesis el método consiste en generar, a partir del valor y0 con el que se define la condición

inicial y habida cuenta de la expresión formal de la solución del problema, la sucesión de funciones:

Bajo ciertas hipótesis de regularidad sobre la función f (t, y), como las recogidas en el teorema siguiente,

puede afirmarse que este método converge hacia la solución del problema de Cauchy.

Teorema 1.2. Siendo (t*; y*) un punto del plano IR2 y suponiendo que en un dominio D = (t, y)/ l t - t* l ≤ ,

l y - y* l <ɗ la función f (t, y) es continua, esta acotada y verifica la condición de Lipschitz respecto a su

segunda variable, y denotando por M a un valor tal que

Por L al valor:

Y por I al intervalo I = (t* - L, t* + L); entonces existe una única función y (t) definida en I que sea solución

del problema de Cauchy:

Además dicha función puede obtenerse como límite de la sucesión de funciones generada mediante:

Los principales inconvenientes para la aplicación practica de este método son que el cálculo de las integrales

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Suele volverse cada vez mas complicado, debiendo estimarse en ocasiones dichas integrales, para valores

concretos de t, mediante aproximaciones numéricas ... con lo que se acaba obteniendo aproximaciones de los

valores de la solución en ciertos puntos ti en lugar de la expresión de la solución. Y ello, como veremos,

puede realizarse de forma más eficiente con los métodos numéricos basados en diferencias finitas.

A favor del método de Picard puede señalarse que es una herramienta de enorme utilidad en el estudio teórico

de la existencia y unicidad de la solución de los problemas de Cauchy. Además algunos métodos que

estudiaremos pueden interpretarse como variantes del método de Picard.

Ejemplo 1.1. Determínese mediante el método de Picard la solución del P.V.I.:

Generemos la sucesión del método:

Como puede apreciarse a medida que aumenta el valor de n también aumenta la complejidad en la evaluación

de la correspondiente integral. Y si bien es cierto que, al crecer el valor de los denominadores de los

coeficientes de dicho polinomio, con “pocos" términos de él se podría obtener una aproximación

razonablemente buena de la solución para valores de t inferiores a 1, no es menos cierto que para valores

mayores de t la aproximación de la función exige calcular las expresiones de yn (t) para valores elevados de n

pues la variable t aparece elevada a exponentes cada vez mayores. Por ejemplo, para t = 3; el término en t11

toma el valor 354294/2079 = 170,4155844 que no es depreciable (y para la potencia 15 el valor es aún mayor:

241,0163265).

Ejemplo 1.1. Determínese mediante el método de Picard la solución del P.V.I.:

Generemos la sucesión del método:

La última integral que aparece no puede evaluarse en términos de funciones elementales. En efecto:

No obstante, para un valor prefijado t = t* la integral puede aproximarse mediante

Alguna fórmula de integración numérica.

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