aplicaciones ed

LUIS CABEZAS TITO

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

PARTE I/2

1. SISTEMA MASA - RESORTE

Un sistema Masa Resorte tiene la siguiente ecuacin diferencial:

+ + =

m2

2+

+ = ()

a: aceleracin en m/s2

v: velocidad en m/s

y: desplazamiento vertical en m

m: masa en kg

b: coeficiente de amortiguacin del medio en kg/s

k: coeficiente de restitucin del resorte en N/m

*APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES *PARTE I/2

1. SISTEMA MASA - RESORTE

Dividiendo entre m la anterior ecuacin, se tiene:

2 = b/m 2 = k/m F(t) = f(t)/m

Ecuacin final:

2

2+ 2

+ 2 = ()

Hallar la Ecuacin del Desplazamiento vertical de una masa m situada en el

extremo libre de un resorte de coeficiente de restitucin k (2N/m), si al jalar la

masa hacia abajo se produce tal desplazamiento. El coeficiente de amortizacin

b de la resistencia del medio en que se encuentra (aire) es 2kg/s. El sistema

est afectado por una fuerza f(t) = 12Cos3t + 6Sent (N). Hallar tambin el

Periodo de oscilacin T.

Condiciones iniciales:

y(0) = 0m

y(0) = 2m/s


2. MOVIMIENTO DE UN PNDULO

Un pndulo simple consiste en una partcula de masa m suspendida de una

cuerda o hilo inelstico de largo L y de masa despreciable. Suponiendo que la

cuerda est siempre tensa, que las oscilaciones son en un plano vertical y que

las nicas fuerzas que actan son el peso de la partcula y la tensin en la

cuerda, se desea hallar la ecuacin del movimiento.

s= L Magnitud de la componente tangencial: m.g.sen

2

2=

2

2

Por la segunda Ley de newton:

= 2

2=-mgsen

2

2+

sen=0


2. MOVIMIENTO DE UN PNDULO

La ecuacin no es lineal y no puede resolverse en trminos de funciones

elementales (craso error de la ciencia tradicional!) Para ngulos pequeos se

tiene que ~ sen, entonces se tiene:

2

2+

= 0

=2

= 2


3. VELOCIDAD DE ESCAPE TIERRA - LUNA

Consideremos un viaje a la Luna. Con qu velocidad debe salir una nave de la

Tierra para poder llegar a la Luna?

Ignorando la influencia de la Luna y dems planetas distintos a la Tierra, as

como otras fuerzas de resistencia, se tiene:

1 =

2

2 =

2

=

2=

2


3. VELOCIDAD DE ESCAPE TIERRA - LUNA

r = R, a = -g, de donde g = -k/R2 y k = gR2. = 2

2

Por otra parte, se tiene:

=

=

=

2

2=

Integrando:

2 =22

+ 0

2 = 2 + =? ? ?

2 = 22

+ 0

2 2 Si 0

2 2 < 0 entonces existe un valor de r tal que v ser igual a 0, lo cual implicara

que la velocidad v cambiara de positiva a

negativa y la nave volvera a la Tierra

Por lo tanto, para que la nave escape de la Tierra se debe cumplir: 0 2

Reemplazar valores en dicha ecuacin.


4. MEDICIN DE TEMPERATURAS: LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

En un cuerpo que se est enfriando, la tasa de cambio de temperatura T(t) con

respecto al tiempo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del

cuerpo T(t) y la temperatura TA del medio ambiente. Esto es:

= ( )

Un termmetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es de 70oF y

se lleva al exterior donde la temperatura es de 10oF. Pasado medio minuto el

termmetro indica 50oF. Cul es la lectura cuando t = 1 minuto? Cunto tiempo

se necesita para que el termmetro llegue a 15oF?

= 10 = + 10

En t = 0, T(0) = 70, entonces: = 60 + 10

En t = 0.5, T(0.5) = 50, entonces: = 600.81094 + 10


4. MEDICIN DE TEMPERATURAS: LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

En t = 1:, entonces:

Para T = 15, entonces:

= 600.81094(1) + 10 = 36.67.

15 = 600.81094 + 10 =? ? ?


5. CRECIMIENTO POBLACIONAL

Se sabe que la poblacin de cierta comunidad aumenta en una razn

proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la

poblacin se duplic en cinco aos, en cunto tiempo se triplicar y

cuadruplicar?

P(t): poblacin de la comunidad en el tiempo t.

P0: poblacin inicial en t = 0.

t: tiempo en aos.

dP/dt: rapidez con la que aumenta la poblacin.

k > 0: constante de proporcionalidad.

= =

Para t = 0, P(0) = P0: =P0

Para t = 5, P(5) = 2P0: =P00.13863

Para P(t) = 3P0: 30 =P00.13863 =? ? ?

Para P(t) = 4P0: 40 =P00.13863 =? ? ?

aplicaciones ed

Documents