aplicaciones del número e

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Aplicaciones del número e Veremos ahora varios ejemplos de aplicaciones del número e en diversas ciencias, he escogido algunas que nos pueden parecer más próximas a nuestra vida cotidiana y que, quizás, os sorprenderán: · Intervención del número e en un asesinato: Una aplicación del número “e” es poder determinar en un asesinato el momento de la muerte. Es necesario aplicar la ley de Newton sobre el enfriamiento que establece que la velocidad a la que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno. Esto quiere decir que cuando un objeto está mucho más caliente que el aire exterior, su velocidad de enfriamiento es alta, de manera que se enfría muy rápidamente; cuando un cuerpo está un poco más caliente que su entorno, su velocidad de enfriamiento es baja y se enfría lentamente. Una persona viva no se enfría continuamente. El metabolismo humano asegura el mantenimiento de la temperatura del cuerpo alrededor de los 36ºC (98,6º F). Pero una persona muerta deja de producir calor y, por tanto, comienza a enfriarse siguiendo la ley de Newton que se aplica con la fórmula matemática siguiente: T = T aire + (T cos – T aire ) / e k·t Dónde T es la temperatura, t es el tiempo en horas después de medianoche y k es una constante. Ahora aplicaremos esta fórmula en el asesinato de una persona. Su temperatura en un momento dado después de su muerte era de 85º F y la temperatura del aire era de 68º F. A las dos de la madrugada la temperatura del cuerpo había disminuido hasta los 74º F. A partir de esto nos interesa determinar cuando murió esta persona. Sabemos que la temperatura normal del cuerpo es de 98,6ºF, se puede calcular el momento de su muerte operando así: 98,6º = 68º + (85º - 68º) / e 0,5207·t Operando los términos resulta: (30,6º) · e 0,5207·t = 17º e 0,5207·t = 17º / 30,6º = 0,5556 Por tanto, si aplicamos el cálculo de logaritmos resulta: 0,5207 · t = L(e 0,5207·t ) = L(0,5556) = -0,5878 t = -0,5878 / 0,5207 = -1,13 horas = -68 minutos Con esto sabemos, gracias a la ayuda del número e, que esta persona murió 68 minutos antes de las doce de la noche, es decir, a las 22:52 h. · En matemática financiera se utiliza para calcular el interés continuo: La fórmula del interés continuo es: C = c · (1 + r / m) m·t dónde C = capital final, c = capital inicial, r = interés anual, m = periodos de capitalización, t = número de periodos. Veremos la aplicación del número e en matemática financiera a partir de un ejemplo concreto. Veamos lo que producen 1000 euros a un interés compuesto del 20% anual en

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APLICACIONES DEL NUMERO E

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Page 1: Aplicaciones Del Número e

Aplicaciones del número e

   Veremos ahora varios ejemplos de aplicaciones del número e en diversas ciencias, he escogido

algunas que nos pueden parecer más próximas a nuestra vida cotidiana y que, quizás, os

sorprenderán:

· Intervención del número   e   en un asesinato:

    Una aplicación del número “e” es poder determinar en un asesinato el momento de la muerte.

    Es necesario aplicar la ley de Newton sobre el enfriamiento que establece que la velocidad a la

que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la

temperatura del entorno.

    Esto quiere decir que cuando un objeto está mucho más caliente que el aire exterior, su

velocidad de enfriamiento es alta, de manera que se enfría muy rápidamente; cuando un cuerpo

está un poco más caliente que su entorno, su velocidad de enfriamiento es baja y se enfría

lentamente.

    Una persona viva no se enfría continuamente. El metabolismo humano asegura el

mantenimiento de la temperatura del cuerpo alrededor de los 36ºC (98,6º F). Pero una persona

muerta deja de producir calor y, por tanto, comienza a enfriarse siguiendo la ley de Newton que se

aplica con la fórmula matemática siguiente:

T = Taire + (Tcos – T aire) / ek·t

    Dónde T es la temperatura, t es el tiempo en horas después de medianoche y k es una

constante.

    Ahora aplicaremos esta fórmula en el asesinato de una persona. Su temperatura en un

momento dado después de su muerte era de 85º F y la temperatura del aire era de 68º F. A las dos

de la madrugada la temperatura del cuerpo había disminuido hasta los 74º F. A partir de esto nos

interesa determinar cuando murió esta persona. Sabemos que la temperatura normal del cuerpo

es de 98,6ºF, se puede calcular el momento de su muerte operando así:

        98,6º = 68º + (85º - 68º) / e0,5207·t

    Operando los términos resulta: (30,6º) ·  e0,5207·t = 17º

        e0,5207·t = 17º / 30,6º = 0,5556

    Por tanto, si aplicamos el cálculo de logaritmos resulta:

        0,5207 · t = L(e0,5207·t) = L(0,5556) = -0,5878

        t = -0,5878 / 0,5207 = -1,13 horas = -68 minutos

    Con esto sabemos, gracias a la ayuda del número e, que esta persona murió 68 minutos antes

de las doce de la noche, es decir, a las 22:52 h.

· En matemática financiera se utiliza para calcular el interés continuo:    La fórmula del interés continuo es:    C = c · (1 + r / m)m·t     dónde C = capital final, c = capital inicial, r = interés anual, m = periodos de capitalización,

    t = número de periodos.

    Veremos la aplicación del número e en matemática financiera a partir de un ejemplo concreto.

    Veamos lo que producen 1000 euros a un interés compuesto del 20% anual en un año, y a

interés continuo.

    a) Primer caso: Cuando el periodo de capitalización es 1 año:

        C = c · (1 +  r / 1 )1 = 1000 · (1 + 20/100)1 = 1000 · 1,2 = 1200 euros

    b) Segundo caso: Cuando el periodo de capitalización es 1 mes, es decir, hay 12 periodos de

capitalización al año, entonces la fórmula es:

        C = c · (1 +  r / 12 )12 = 1000 · (1 + 0,2 / 12)12 = 1219,39 eur os

Page 2: Aplicaciones Del Número e

    c) Tercer caso: Cuando el periodo de capitalización es 1 dia, es decir, hay 365 periodos de

capitalización al año tenemos que:

        C = c · (1 +  r / 365 )365 = 1000 · (1 + 0,2 / 365)365 = 1221,34 euros

    Si nos fijamos vemos que cuantos más periodos de capitalización haya al año, el capital final

producido es mayor, pero parece que tiende a estabilizarse al aumentar el número de periodos

porque, por ejemplo, la diferencia entre el capital final del segundo y tercer caso es menor que la

del primer y segundo caso.

    Cuando el número de periodos de capitalización m tiende a infinito, el interés se denomina

continuo.

    La fórmula de este tipo de interés es, por tanto:

    Ahora haremos una serie de transformaciones con el fin de poder calcular este límite a partir

del número e.

    Si consideramos que r / m = 1 / (m / r) y ahora sustituimos m / r = n, y además tenemos en

cuenta que el límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la

función, obtenemos:

        C = c · lim  (1 + 1 / n)n·r·t

                   n->w

    Que podemos transformar siguiendo las propiedades de los límites en:

        C = c ·[ lim  (1 + 1 / n)n]r·t

                    n->w

    y como hemos visto, a la definición del número e:

    Por lo cual llegamos a la fórmula final del interés continuo:

        C = c · er·t

    Entonces, si los 1000 euros los tenemos ahora a interés continuo, el capital final será:

        C = c · er·t= 1000 · e0,2·1 = 1221,40 euros

    El interés continuo es, por tanto, el de máxima producción.

    ¿Habíais imaginado alguna vez que vuestros ahorros estaban bajo el control del número e?

· En ingeniería:

    Cuando se cuelga una cadena o un cable por los extremos, tiende a adoptar una forma que se

relaciona con el número e. La fórmula es la siguiente:

    Así que, a partir de ahora, cada vez que veáis un cable, una cuerda, etc. colgado por los

extremos, pensad que ¡el número e está allí dándole la curvatura correspondiente!

Page 3: Aplicaciones Del Número e

· El carbono 14:

    Para determinar de una manera aproximada la antigüedad de un objeto que está formado por materia

orgánica se mide la cantidad de carbono 14 que contiene. Los seres vivos tienen una cantidad de

carbono 14 constante.

    Cuando un ser vivo muere esta cantidad se va desintegrando. La función que regula la desintegración

se determina con la siguiente fórmula:

            Q = Qo · e-0,000124·t

    Dónde Q es la cantidad de carbono 14 final, Qo es la cantidad de carbono 14 inicial, t es el

tiempo.

· Espiral logarítmica:

    En los seres vivos hay curvas relacionadas con el número e. Una de ellas es la espiral

logarítmica, la fórmula de la cual es:

            r = ea·j

· Absorción de los rayos X per la materia. Ley de Bragg-Pierce:

            I = Io · e-m·x

    Dónde  I es la intensidad final del rayo después de atravesar el cuerpo, Io es la intensidad inicial

de los rayos X, m es el coeficiente de absorció, x es el grueso del cuerpo.

· Crecimiento exponencial:

    Una de las numerosas aplicaciones en biología del número e es el crecimiento exponencial.

Este tipo de crecimiento surge cuando no hay factores que limiten el crecimiento. Pueden

experimentar un crecimiento exponencial las especies pioneras que llegan, por ejemplo, a zonas

despobladas como una superfície boscosa en recuperación después de un incendio.

     Para este tipo de crecimiento se aplica la siguiente fórmula:

            N = No · et

     Esto nos permite adivinar cuál será la población N en un tiempo t a partir de la población

inicial No.

· Crecimiento logístico:

    Otro tipo de crecimiento es el logístico. Muchas veces las circunstancias, como, por ejemplo, la

intervención del gobierno o las condiciones extremes de supervivencia, limitan el crecimiento. Este tipo

de crecimiento viene dado por la siguiente fórmula:

            f(x) = k / (1 + a · e-b·x)

    Dónde k, a y b són constantes que se hallan experimentalmente, dependen de cada aplicación

concreta.