aperturas

ANTENAS 1

Antenas de apertura

Las antenas de dimensiones pequeas comparadas con la longitud de onda, como lo dipolos, espiras, monopolos, yagis , etc se analizan a partir de la distribucin de corrientes.

Cuando las antenas miden varias longitudes de onda, y especialmente si existen superficies metlicas de formas curvadas, es complicado calcular el vector de radiacin de las corrientes. Esto sucede a frecuencias de microondas, cuando la longitud de onda es del orden de los centmetros.

En las denominadas antenas de apertura se conocen con un cierto grado de aproximacin los campos en la antena. El caso ms simple es la gua de ondas rectangular, que propaga el modo fundamental y que se deja en circuito abierto. Se puede suponer que los campos en la boca de la gua son los mismos que en el interior.

Otros ejemplos de antenas de apertura son las bocinas, que permiten aumentar la directividad de las bocas de gua. Los campos en la apertura se pueden calcular de forma simple a partir de los modos de las guas, junto con trminos de fase que tienen en cuenta la propagacin.

Las antenas de apertura se utilizaron de una manera amplia a partir de la segunda guerra mundial, con el desarrollo de los sistemas de radar y los sistemas de comunicaciones de microondas

Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politcnica de Valencia

ANTENAS 2

Principio de Huygens

El comportamiento de las antenas de microondas se puede explicar a partir de conceptos generales de ptica geomtrica (trazado de rayos). Aunque dicha teora tiene limitaciones importantes.

Por ejemplo se podra analizar la incidencia de una onda plana sobre un cilindro metlico mediante trazado de rayos. Las reflexiones en la superficie supondran una dispersin de las ondas, y un efecto de sombra como el indicado en la figura.

Dicho anlisis lleva a conclusiones incorrectas. Un anlisis electromagntico exacto, basado en la resolucin de las ecuaciones de onda para los campo lleva a la siguiente solucin para un cilindro de 3 longitudes de onda de dimetro. Se puede observar la interferencia entre la onda incidente y las reflejadas y el efecto de sombra .

Los fenmenos bsicos de difraccin de la luz fueron explicados por Huygens en el ao 1690.

En el principio de Huygens se plantea que cada punto de un frente de onda se comporta como un radiador secundario de ondas esfricas, de forma que la envolvente de estas ondas forman a su vez un nuevo frente de onda.


ANTENAS 3

Mediante el principio de Huygens se puede explicar la formacin de franjas de interferencia en una cmara oscura con una pequea abertura. Tambin se puede explicar el efecto de las zonas de penumbra en los eclipses.

Una antena se puede encerrar en un volumen que contenga todas las fuentes, aplicando a continuacin los conceptos de superposicin de ondas a cada punto de la superficie.

Desde un punto de vista matemtico la solucin de una ecuacin diferencial en un volumen sin fuentes es nica si se conocen las condiciones de contorno en la superficie.

En los fenmenos electromagnticos es necesario fijar las condiciones de contorno para las componentes tangenciales del campo elctrico y el campo magntico, equivalentes desde un punto de vista circuital a generadores de tensin y de corriente.

Ecuaciones de Maxwell generalizadas con fuentes magnticas

En las ecuaciones de Maxwell los campos se relacionan con las cargas y corrientes elctricas, pero no existen los equivalentes de cargas y corrientes magnticas de conduccin. Las ecuaciones permiten explicar la totalidad de fenmenos de radiacin, pero en algunos casos, como en el de las antenas de apertura conviene sustituir los campos elctricos y magnticos por unas fuentes equivalentes. La introduccin del concepto de corriente magntica simplifica los clculos, como por ejemplo en las espiras, donde el problema del hilo elctrico circular podra estudiarse como una corriente magntica perpendicular a la superficie que contiene a la espira.

Las ecuaciones de Maxwell generalizadas, con cargas y corrientes magnticas M seran.

E

H H j E J E jH M

Las ecuaciones se pueden descomponer en los dos casos, elctricos y magnticos y resolverlas por analoga.


ANTENAS

Soluciones generalizadas

Ecuaciones elctricas

Ecuaciones de Maxwell

E

H 0 H j E J E jH

Definicin de los potenciales

H 1 A E j A

Solucin de los potenciales

1 G(r , r ')(r ')dv ' v' A G(r , r ')J (r ')dv ' v'

Vector de radiacin

Ae jkr N4 r

N J (r ')e jkrr 'dv ' v'

Campos radiados

H jk r A

Ecuaciones magnticas

E 0

H H j E E j H M

E 1 F

H j F

1 G(r , r ') (r ')dv ' v' F G(r , r ')M (r ')dv ' v'

Fe jkr L4 r

L M (r ')e jkrr 'dv ' v'

E jk r F

4

E j( A r A) j(r (r A)) H j(F r F ) j (r (r F )) E(H r) E(H r)


ANTENAS 5

Condiciones de contorno generalizadas

La aplicacin de las ecuaciones de Maxwell en su forma integral a la discontinuidad entre dos medios permite obtener las condiciones que deben cumplir los campos

n H1 H 2 J s

nD D12

s

Es decir, en el caso de tener una lmina de corriente elctrica aparece un salto en el campo magntico.

En las ecuaciones generalizadas aparecen las condiciones de contorno adicionales

n E1 E2M s nB B12s

Es decir que para tener un salto en el valor del campo elctrico entre dos regiones, es necesario que exista una corriente magntica laminar.

Dualidad

Las ecuaciones anteriores son duales, es decir que si se conoce la solucin del caso elctrico se puede pasar a la solucin del caso magntico intercambiado los valores del campo elctrico por el magnticos, o en general las siguientes parejas de valores

EHAJDB

HE FMBD

El dual del plano conductor perfecto, es el plano conductor magntico.

Las condiciones de contorno duales son

n E 0 n H 0


ANTENAS 6

Radiacin de corrientes elctricas y magnticas laminares

Supongamos una lmina de corriente elctrica constante situada en un plano en el espacio libre.

La solucin para los campos sern dos ondas que se propagarn en las direcciones perpendiculares al plano. El problema es equivalente a una lnea de transmisin en la que se conecta una fuente de corriente.

HH 1 Js n 2EH n Js nE Js HE2E

IIV I Z0 222I

Si la lmina fuese de corriente magntica, la solucin tambin seran dos ondas planas, y el equivalente sera una lnea de transmisin con una fuente de tensin.

E

H

Ms

E

I

Hn

I

E 1 Ms n 2H 1nE

H 21 Ms V IZ 2

0

V


ANTENAS 7

La superposicin de los dos problemas anteriores crea una onda plana de amplitud 2 que se propaga en un solo sentido. En la lnea de transmisin aparece propagacin en un solo sentido.

E, H 0 HH Js n 1 Ms nE n MsJs E

V,I 0 IV IZ 0 VI

Si se desea que haya propagacin en un solo sentido utilizando slo fuentes de tensin o de corriente es necesario aadir un cortocircuito (plano conductor elctrico) o un circuito abierto (plano conductor magntico).

V IZ 0 I0 II

V IZ 0 I0 IV

Las anteriores consideraciones nos llevan a las tres formulaciones del teorema de equivalencia.


ANTENAS 8

Teorema de unicidad

El teorema de unicidad establece las condiciones que se deben cumplir para garantizar que la solucin a un problema regido por las ecuaciones de Maxwell es nica. Esto es siempre importante y especialmente ahora que vamos a empezar a resolver problemas sin emplear las fuentes reales y empleando en su lugar un conjunto de corrientes equivalentes, cuyas caractersticas quedarn claras en el punto siguiente cuando enunciemos el teorema de equivalencia.

El teorema establece la siguiente condicin: Dado un volumen V encerrado por una superficie S en cuyo interior no hay fuentes de ningn tipo, si se conocen las componentes tangenciales a S de E y/o H producidas por las fuentes exteriores a V, entonces la solucin que se obtenga para cualquier punto de V es nica.

Para demostrar el teorema, se emplea el mtodo de reduccin al absurdo, partiendo de la suposicin de que existen dos soluciones posibles en el interior de V, dado un conjunto de componentes tangenciales de los campos en S.

Sean dos soluciones ( E1 , H1 ) y ( E2 , H2 ) que satisfacen las ecuaciones de Maxwell en V

E1 0 E2 0 H1 0 H2 0 H1 j E1 H2 j E2 E1 jH1 E2 jH2

Adems ambas soluciones toman el mismo valor en la superficie S, n E y n H

Si construimos una solucin nueva, combinacin de ambas, tal como E2 E1 y H2 H1 tambin debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell.

Si tomamos la divergencia del vector de Poynting asociado a esta nueva solucin,

E2 E1 H2 H1 H2 H1 E2 E1 E2 E1 H2 H1 **

j H2 H1 j E2 E1 22

*


ANTENAS 9

Si ahora integramos en todo el volumen V y aplicamos el teorema de la divergencia al lado izquierdo de la identidad anterior

E *22

2

S

2

VV E1 H2 H1 n dS j H2 H1 E2 E1 dV E2 E1 dV

Sobre S, ambos conjuntos de campos son iguales por lo que la integral de superficie es nula.

222VVj H2 H1 E2 E1 dV E2 E1 dV 0

2Dado que E2 E1 0 , necesariamente E1 E2 para que la integral sea nula, y anlogamente con el campo magntico.

Teorema de equivalencia

El teorema de equivalencia permite sustituir las fuentes originales por otras equivalentes que conducen a la misma solucin de las ecuaciones de Maxwell en una regin determinada. El teorema de equivalencia se apoya en el teorema de unicidad cuando establece cmo son estas corrientes equivalentes ya que deben elegirse de modo que se obtenga la misma solucin que con las fuentes originales. Observando la figura, y suponiendo que las nicas fuentes presentes son las encerradas por la superficie S, los campos elctricos y magnticos en el exterior de S se pueden calcular a partir de las corrientes J , o bien, por el teorema de unicidad, si se conocen las componentes tangenciales a S de los campos elctrico y magntico, tambin ser posible obtener dicha solucin en el exterior de S. Por eso, si eliminamos las fuentes originales y aadimos unas nuevas, stas deben asegurar que se satisfacen las condiciones de contorno existentes en S. Con este propsito podemos escoger precisamente como corrientes equivalentes las proporcionadas por las condiciones de contorno generalizadas, y que estn asociadas a la existencia de una discontinuidad en el campo elctrico y magntico tangencial, M sn E1 E2 y Js n H1 H2 , siendo 1 el medio externo y 2 el medio interno y n un vector unitario que apunta a la regin donde se desea obtener la solucin; en este caso la 1. Dado que slo estamos interesados en obtener la solucin en el medio 1, es posible simplificar la obtencin de las corrientes equivalentes obligando a


ANTENAS

que

el

J

E, H

Et , H t

J0

E, H 0

E, H

10

campo en la regin 2 (regin interna) sea nulo. En cuyo caso podemos escribir las corrientes equivalentes ms sencillamente como

J s n Ht

M sn Et

Alternativamente tambin es posible utilizar un modelo de equivalencia en el que la regin interna se rellena de un conductor perfecto, lo que cortocircuita las corrientes elctricas equivalentes

Js n H

M sn E

M sn E

J0

E, H 0

En el primer caso las corrientes equivalentes Js , M s radian en espacio libre, en el segundo caso las corrientes M s radian en presencia de un cuerpo metlico de superficie S. el teorema de equivalencia asegura que eligiendo las corrientes como se ha indicado, ambos problemas proporcionan la misma solucin y que adems sta es igual a la que proporciona el problema original en la regin .


ANTENAS 11

Aperturas planas

El teorema de equivalencia permite determinar las corrientes equivalentes a los campos de la apertura de la figura n

Js n H Ea,Ha M sn E

Los vectores de radiacin elctrico y magntico se calculan a partir de las corrientes equivalentes

N Je jkrr 'ds ' Jse jkrr 'ds ' v' s'

L Me v'

jkrr ' ds ' M se jkrr 'ds ' s'

Los campos radiados se calculan a partir de las componentes tangenciales de los vectores de radiacin.

Los campos radiados de las corrientes elctricas son

E j A A

H j A A

Y los campos radiados por las corrientes magnticas son

H j F F E j F F

La superposicin de ambos efectos es

E j

2r jkr e jkrN L

E j e N L2r EH

H E


ANTENAS 12

Campos radiados por una apertura plana (polarizacin horizontal)

y

Ea x

En una apertura con campos polarizados horizontalmente

E Ex x

H H y Ex yyZ0 Las corrientes equivalentes son

J s n H Ex zy Z0 M s n E E x Ex zx y

Los vectores de radiacin

s'Z 0Nx Ex

e jkxx'e jky y'dx ' dy '

LyEx e jkxx'e jky y'dx ' dy ' s'

Para determinar los campos radiados es necesario realizar un cambio del sistema de coordenadas cartesiano al esfrico.

xyzN N N sin cos N N Ncos cos cos sin sin xy

L L L L

Las componentes del vector de radiacin se obtienen a partir de la proyeccin en los vectores unitarios en esfricas


ANTENAS 13

Los campos radiados, en funcin de los potenciales vectores elctrico y magntico son

jkr E j eNx cos Ly cos2r jkr E j eNx Ly cossin2r

Finalmente, la expresin final para los campos radiados por una apertura plana de forma arbitraria, con polarizacin horizontal es

jkr

2 r 0 Z s' E j e cos cos1 E x ', y ' e jkxx'e jky y'dx ' dy '

E j

2 r 0 Z s' e jkr sin cos E x ', y ' e jkxx'e jkyy'dx ' dy '

Campos radiados por una apertura plana (polarizacin vertical)

En una apertura con campos polarizados verticalmente

E Ey y

H Hx xxZ0 Ey

Se puede realizar el desarrollo equivalente, o de una forma ms simple realizar un giro de 90 grados en los ejes coordenados en cartesianas. La solucin para los campos radiados es

jkr

2 r 0 Z s' E j e sin cos1 E x ', y ' e jkxx'e jkyy'dx ' dy '

jkr

2 r 0 Z s' E j e cos cos E x ', y ' e jkxx'e jky y'dx ' dy '


ANTENAS 14

Apertura elemental

En una apertura elemental en el espacio libre, con polarizacin horizontal

E E0 x

H H y E0 yy

Los campos se pueden calcular teniendo en cuenta que los desfases son despreciables

jkr


jkr

2 r 0 Z E j e sin cos E x ', y ' e jkxx'e jkyy'dx ' dy ' s'

Calculando las integrales y sustituyendo la impedancia de la onda por la del espacio libre, queda

e jkr cos1 cos Es 2r 0 jkr E j

E j e sin1 cos E0s 2r

La densidad de potencia radiada es mxima en la direccin perpendicular a la apertura, con un nulo en la direccin opuesta. El diagrama es tipo cardioide.


ANTENAS 15

P ,

E0s21 cos2E0s2 cos4 4 2 r 2 2 r 2 2

La potencia total radiada se calcula a partir de la integral de la densidad de potencia en una esfera que encierre a las fuentes

E0s2 21 cos2 sin d d42s' 00 Wt P ,ds '

WtE0s 42

2 3

La Directividad, calculada a partir de la densidad de potencia y la potencia total radiada es D=3

Aperturas uniformes de forma arbitraria

En general los campos radiados por una apertura se pueden expresar como el producto de una onda esfrica, el diagrama de la apertura elemental y un trmino de interferencia que es proporcional a la transformada de Fourier bidimensional de los campos en la apertura.

E , E E x ', y ' e jkrr 'dx ' dy ' E x ', y ' e jkxx'e jky y'dx ' dy ' s' s'

Si el campo en la apertura es constante el diagrama se puede calcular a partir de la integral

xmax

jkx x '

jky y '

jk x x '

f2x jky y'

Fkx,ky e s'

e

dx ' dy '

xmin

e

e dy ' dx ' f1x

f2 xy

Ea f1 x

x

xmin xmax


ANTENAS 16

Transformadas de Fourier de la iluminacin uniforme

Cuadrado de lado a

Hexgono de lado a

Cuadrado girado 450


ANTENAS 17

Margen visible de las aperturas

Se ha visto que los campos radiados son directamente proporcionales a la transformada de Fourier bidimensional. El diagrama de radiacin ser funcin de las variables de frecuencia espacial

kx k sin cosky k sinsin

Los valores mximos y mnimos de las variables kx,ky son -k y +k.

En general los valores de k estarn en el interior de un crculo de radio k en el plano kx,ky,

El crculo corresponde a la interseccin de la esfera con el plano kx,ky

k 2 k 2 sin2 cos2xk 2y k 2 sin2 sin2

k 2 k 2y k 2 sin2 k 2 x


ANTENAS 18

Los cortes del diagrama de radiacin corresponden, para aperturas con fase constante a planos cte . Los valores en el plano frecuencial corresponden a la recta

ky kx tan

La zona que se encuentra fuera del margen visible no contribuye a la radiacin, pero supone una energa reactiva almacenada. Se cumple la condicin

k 2 k 2y k 2 x

La posicin del mximo de la transformada de Fourier bidimensional determina la direccin del espacio del diagrama km tanm ym kx

sinm k x2 k y2kk


ANTENAS 19

Apertura rectangular

Los campos radiados por una apertura rectangular de dimensiones a,b con campos con polarizacin horizontal son

jkr


jkr

2 r 0 Z s' E j e sin cos E x ', y ' e jkxx'e jkyy'dx ' dy '

En el caso de una apertura con distribucin de campos separables en el producto de dos funciones las expresiones de los campos se pueden simplificar

Ex', y'e s'

jkx x '

e jky y'dx ' dy '

E x ', y ' E0 f x ' g y '

Ex', y'e s'

jkx x '

e jky y'dx ' dy ' E0 f x ' e jkxx'dx ' g y 'e jky y'dy ' x' y'

Las dos integrales unidimensionales son transformadas de Fourier de la distribucin de campos a2

F (k x , a)

G ( k y , b)

f x ' e a 2b2 g y ' e b

jkx x '

jky y '

dx '

dy '

2Diagrama de radiacin en el plano E

El plano E est definido por la direccin de mxima radiacin (eje z) y el campo elctrico en dicha direccin (eje x)

Por lo tanto el plano E es el plano XZ, las nmeros de onda son

kx k sin cos k sin cos0 k sinky k sinsin k sinsin0 0


ANTENAS 20

El diagrama de radiacin es

E j

e jkr

cos1 E F k , a G 0,b

E 0

2r

0 Z

0x

Diagrama de radiacin en el plano H

El plano H est definido por la direccin de mxima radiacin (eje z) y el campo magntico en dicha direccin (eje y)

Por lo tanto el plano H es el plano YZ, las nmeros de onda son

kx k sin cos k sin cos 0 2

ky k sinsin k sinsin k sin2El diagrama de radiacin es

E 0

e jkr

E j

2 r

0 Z 0y cos E F 0, a G k ,b

Campo radiado en la direccin del mximo

La direccin del mximo de radiacin es el eje z, para una apertura plana de forma arbitraria es

Em 11 Eads '

2 r Z 0 s '

En el caso particular de una apertura rectangular con distribucin de campo separable el campo en la direccin del mximo es

Em 11 E0 f x ' dx ' g y ' dy '

2r Z0 x'

y'

Em 11 E0F0, aG0,b

2r Z0


ANTENAS

Potencia total radiada

La potencia total radiada en una apertura arbitraria es

Wt 1 Ea 2 ds s'

En el caso de una apertura separable

Wt E0 2 f x ' dx ' g y ' dy ' 22x' y'

21

Transformadas de aperturas rectangulares

Las aperturas rectangulares separables pueden tener distribuciones de campos distintas de la uniforme, por ejemplo los diversos modos una gua de onda.

a2F (k x , a) f x ' e jkx x ' dx ' a 2b2G ( k y , b) g y ' e jky y ' dy ' b 2

Las transformadas de algunas funciones (uniforme, triangular, coseno, coseno cuadrado) se detallan en la siguiente tabla, para las transformadas segn x: u kx a . El clculo de los anchos de haz y 2nivel de lbulo pricipal a secundario se calcula de forma similar al proceso seguido para distribuciones lineales de corrientes.

Los valores de u mximo y mnimo para el eje x, son umax=ka/2 , umin=-ka/2. Al igual que en antenas unidimensionales o agrupaciones el ancho de haz disminuye proporcionalmente a las dimensiones de la apertura.


ANTENAS 22

Distribucin Transformada Ancho haz -3 dB NLPS (dB)

1sinuau50.6 a

13.2

1 2 x 'a sin u2 a22u273.4 a

26.4

cos x 'aacosu22 2u 268.8 a

23.2

cos x '2a sinu 22 u 2 u283.2 a

31.5

00

t1( u)

t2( u)

t3( u)

10

20

30

40 40 0246810 0u10

Grfica comparativa de las transformadas de las funciones uniforme, coseno y triangular, en escala logartmica.

Las dimensiones de las aperturas estn relacionadas directamente con el ancho de haz. En la siguiente grfica se comparan los diagramas de radiacin para una apertura cuadrada uniforme en funcin de sus dimensiones normalizadas a la longitud de onda.


a=4 a=8 ANTENAS 23

Tambin se comparan los diagramas 3D para distintas dimensiones de una apertura rectangular.

1x1 2x2 3x3

b=4 b=8


ANTENAS 24

Directividad de las aperturas

La directividad se puede obtener a partir del campo radiado en la direccin de mxima radiacin y de la potencia total radiada, en el caso de aperturas en el espacio libre

2Pm 4 r2 E E2

D W tWt 4 r2 2

4' a E x ', y ' ds '

D 2 s

Ea x ', y ' 2 ds ' s' La directividad en caso de aperturas separables es

a2

2 b2

2

f x ' dx ' g y ' dy '

a

b

D 42 a 2

2

2

b

f 2 x ' dx ' 2 g 2 y ' dy '

a 2

b 2

Las integrales se pueden expresar de forma ms compacta utilizando los cambios de variable

a2

2

12

2

f x ' dx '

a 2

f s ds1

s x' a

2 a

2 a

2 1

f 2 x ' dx '

a 2

1 f 2 s ds

b2

2

2

12

2

g y ' dy '

b 2

gt dt1

t y' b

2 b

2 b

2 1

g 2 y ' dy '

b 2

1 2 g 2t dt

La frmula final para la directividad es


ANTENAS 25

D 42 abilxily 42 abil 42 Aef

Las eficiencias de iluminacin se calculan a partir de las distribuciones

12

2

12

2

f s ds

1

g t dt

2 ilx 1

1 2 ily 1

b

2

2

f 2 s ds

1 2

g 2 t dt

1 2

1s 1 22 12 2 f s ds1 2 12 f 2 s ds1 2

ilx

fs 1 111

fs1 2 s1/4 1/3 3/4

f s1 2 s2 1/144 1/80 0.55

fs cos s(2/)2 1/2 8/2


uniforme coseno triangular ANTENAS 26

Tabla comparativa de diagramas de radiacin de aperturas cuadradas en funcin de la distribucin de campos.

uniforme coseno triangular


aperturas

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