apéndice fisica gral. lab 02

DESARROLLO DETALLADO DE GRÁFICAS, varias veces propuesto al Lab. Física Gral.

APÉNDICE Lab. Nro. 02

01.- Se diseña una experiencia y las magnitudes a medir son escogidas como : magnitudes independientes tal como x magnitudes dependientes tales como y , z i w.02.- El criterio de escoger la variable independiente y asignarle valores dentro del rango óptimo a

medir lo efectúa el investigador.

03.- Se escribe las mediciones en tablas de funciones matemáticas / x / y /, verticales u horizontales;

x y

xy

04.- Gráficas los pares ordenados que consignan las tablas se llevan a sistemas de ejes coordenados

en papel milimetrado, papel logarítmico o papel semilogarítmico, para observar “la curva” que se obtiene.

4.1 En el papel milimetrado ; consideraciones para llevar los puntos y trazar “la curva “ :

a) Los ejes x e y son tomados de la misma longitud.

b) Las escalas de los ejes son diferentes por lo general.

c) Si la mayoría de todos los puntos están contenidos en una recta, se traza la recta y “ la curva se dice está linealizada “ o se ha “ ploteado la recta entre los puntos” , quedando algunos pocos puntos a cada lado de la recta.

d) Pero si la mayoría de puntos están contenidos en una curva, se traza la curva, la que se puede comparar con las curvas de las funciones matemáticas y así determinar la fórmula que gobierna la experiencia, como primera aproximación nominativa , ejem. es una curva tipo hipérbola, es una curva tipo parábola , es una curva tipo exponencial o es una curva tipo logarítmica etc.

e) Los ejes se trazan a 2 cm de cada borde , en la parte superior estará el título cuyo formato es por ejem. Espacio v.s. Tiempo, (v.s. : versus ) y se puede colocar la o las tablas en horizontal, muchas veces un fenómeno es comparado por su comportamientos en más de dos tablas de medidas por lo que en un mismo sistema de ejes figuran dos o más curvas, que visualmente sugieren unas respuestas primeras de interpretación al investigador.

4.2 En papel logarítmico, de 2x2 ciclos o de 3x3 ciclos. Aquí los ejes son siempre los bordes pintados del papel que tienen en cada ciclo una numeración igual, pero con cuadrícula de espaciamientos diferentes, donde cada intervalo o ciclo corresponde a números racionales en el rango de potencia de 10, la esquina inferior izquierda se inicia para cada eje con el dígito 1 y a continuación al término de cada ciclo siguiente los editores han colocado 10 que nosotros

1Elaborado por LIC. CAROLINA TRUJILLO SÁENZ


podemos considerar como 1, para así a partir del primer 1 del origen de coordenadas se multiplicará el 1 por una potencia de 10 que del origen puede empezar en por ejemplo por 10-1 y continuar correlativamente : por 100 , por 10+1 y por 10+2 en uno de los ejes que convenga por el rango de valores a ubicar y en el otro eje puede empezar con 1 por 10 0 y continuar con las potencias : por 10+1 ,por 10+2 y por10+3 por lo que las medidas que se leerán en cada ciclo serán :

CICLO entre potencias

Los dígitos indican los valores

Los decimales entre los dígitos

10-1 a 100 0,1 ; 0,2 ; 0,3;…;1 0,12 ; 0,18 ; 0,62 ; 0,68 etc.

100 a 10+1 1 ; 2 ; 3 ;……..;10 1,2 ; 1,5 ; 2,5 ; 8,7 ; etc.

10+1 a 10+2 10 ; 20 ; 30; ….; 100 11 ; 14; 17; 35; 42; 44 ; etc.

10+2 a 10+3 100 ; 200 ;…….;1000 120 ; 350 ; 750 ; 950 ; etc.

El título de la gráfica va en la parte superior según la norma antes propuesta.

4.3 En papel semilogarítmico, de 2 x 2 ciclos o de 3 x 3 ciclos, en este papel el eje x es uniforme o milimetrado y e el eje y es logarítmico. Se debe tomar toda la longitud del eje x siempre guiándose de las consideraciones para la graficar en papel milimetrado. Luego el eje logarítmico se le asignará potencias de 10 adecuadas al rango de valores del eje y. El título de gráfica debe ser colocado en la parte superior.

05.- Fórmulas experimentales para la interpretación de gráficas .-5.1 En el papel milimetrado, si la curva es una recta, entonces se puede obtener la

fórmula experimental escribiendo la ecuación de la recta : y = m x + b m : es la pendiente o la constante de proporcionalidad ., b : es una constante o parámetro , cuyo valor está determinado por el punto de

intersección de la recta con el eje y . Los valores que se debe hallar son m y b, para lo cual se tiene varios métodos :

1er. Método por dos puntos escogidos .2do. Método por Mínimos Cuadrados.

A) 1er. Método por los puntos escogidos .-

y

P(x2,y2) b : se lee en la intersección en la gráfica. P(x1,y1) Luego la fórmula empírica o experimental es : y = m x + b

b

x



B) 2do. Método por Mínimos cuadrados, el que se usará.- Deducción de las fórmulas de m y b :

a) Sea la tabla / x / y /

x yx1 y1

x2 y2

x3 y3

: :: :

xp yp

b) Las ecuaciones observables son expresadas con los valores de la tabla y las incógnitas m y b : y1 = m x1 + b y2 = m x2 + b : : :

c) En estas ecuaciones las cantidades constantes m y b , son las incógnitas, y hemos obtenido más ecuaciones que incógnitas ( p > 2 ), con lo que el

sistema se hace incompatible.d) Para salvar la incompatibilidad se procede a formular el sistema de ecuaciones normales, a

partir del sistema de ecuaciones observables :

x1 y1 = x1 m x1 + x1 b

x2 y2 = x2 m x2 + x2 b : : :

e) Fundamento del método : el cálculo de las probabilidades nos dice, que el valor más probable

de los coeficientes de una ecuación, será aquel que dé errores tales que la suma del cuadrados sea mínimo.

f) Si realizamos las sumas de los sistemas de ecuaciones resultarán en forma abreviada y generalizada como sigue : Del Sistema de Ecuaciones normales : xi yi = m xi

2 + b xi … (I) Del Sistema de Ecuaciones observables : yi = m xi + p b ……(II)

g) Resolviendo por determinantes el sistema de ecuaciones (I) y (II), tenemos :

Determinate del denominador : xi

2 xi

= p xi2 - ( xi )2

xi p

Determinante del numerador de m :

xi yi xi



= p xi yi - xi yi

yi p

Determinante del numerador de b :

xi2 xi yi

= xi2 yi - xi xi yi

xi yi

Luego colocando las expresiones en forma de fracciones se obtiene :

5.2 En el papel logarítmico, si la curva es una recta, se plantea la ecuación de la recta en

términos de sus ejes log : log y log y = m log x + log b por log de una potencia y por log de un producto se obtiene : log y = log xm b luego tomando antilog a ambos miembros :

y = b xm () es la fórmula experimental.

log x

Métodos gráficos para hallar la pendiente , se traza un triángulo : la recta es la hipotenusa los catetos son segmentos paralelos a los ejes log, y el triángulo debe quedar en el recuadro de 1 x 1 ciclo, y puede tener vértice en el eje log y

m = medida del cateto y en mm m = tan , ángulo que forma una medida del cateto x en mm recta paralela al eje log x e interseca la recta experimental.Y el parámetro b se lee en la intersección con el eje log y. A) 1er Método por 2 puntos escogidos .- Analíticamente se procede similarmente como en la recta del papel milimetrado :

log b se lee en la gráfica, planteando un sistema de ecuaciones

Luego se lleva esos valores a la fórmula experimental ( ) .


log b


B) 2do. Método por Mínimos cuadrados.- Que se explicará en el párrafo de Uso Práctico del Método de Mínimos Cuadrados.

5.3 En papel semilogarítmico, si se obtiene la gráfica de una recta, se plantea la ecuación

de la recta en términos de los ejes : log y i el eje x ( milimetrado):

log y log y = m x + log b

colocando en el primer miembro los log y quedando mx en el 2do.

log y - log b = mx

aplicando el logarítmo de un cociente

log b por definición de log ejemplo : x 103 = 1000 entonces log10 1000 = 3 luego volviendo se expresa :

…

() es la fórmula experimental

Es más usual tener esta fórmula experimental en términos de e , de los logarítmos neperianos, así se procederá a tener en cuenta :

entonces () queda: (´)A) 1er. Método por los puntos escogidos .- Analíticamente se procede como en el caso del

ecuación de la recta en papel milimetrado :

m = log y2 - log y1

x2 - x1

b : se lee en la intersección de la recta con el eje log y , o se obtiene con un sistema de ecuaciones.

B) 2do. Método por Mínimos cuadrados se explicará en el rubro Método Práctico para resolver por Mínimos cuadrados.

06.- MÉTODO PRACTICO PARA USAR MINIMOS CUADRADOS.-

6.1 En papel milimetrado se confecciona una tabla :

x y x y x2

x1 y1 x1 y1 x12

x2 y2 x2 y2 x22

: : : :xp yp xp yp xp

2

xi yi xi yi xi2

Como hemos obtenido las sumatorias, entonces los llevamos a las fórmulas que hallan m y b , luego expresaremos la fórmula experimental con dichos valores :



y = m x + b , las variables matemáticas son genéricas, ya que las tablas responden a variables físicas, y se debe expresar en dichas variables, por ejemplo :

e = e(t) entonces e = m t + b (ver paper de clases)

En papel logarítmico, se confecciona una tabla similar pero con valores logarítmicos con cuatro decimales ajustados por redondeo : x y log x log y log x log y ( log x )2

x1 y1 log x1 log y1 log 1 log y1 ( log x1 )2

x2 y2 log x2 log y2 log x2 log y2 ( log x2 )2

: : : : : :xp yp log xp log yp log xp log yp ( log xp )2

log xi log yi log xi log yi ( log xi )2

Los valores de las sumatorias se llevan a las fórmulas para hallar m y b , pero se tiene el cuidado que el valor que da b es un b´ ( ver la ecuación de recta que formulamos ) pues corresponde a log b en dicha ecuación, por que hay que tomar el antilogarítmo de b´ para obtener simplemente b (b = antilog b´) , por consiguiente la fórmula experimental es :

y = b xm

6.3 En papel semilogarítmico , se confecciona una tabla similar a la anterior siempre llevando logarítmos ajustados un redondeo de 4 cifras decimales :

x y x log y x log y x2

x1 y1 x1 log y1 x1 logy1 x12

x2 y2 x2 log y2 x2 log y2 x22

: : : : : :xp yp xp log yp xp log yp xp

2

xi log yi xi log yi xi2

Los valores obtenidos en las sumatorias se llevan a las fórmulas de Mínimos Cuadrados que calculan lo valores m y b , igualmente si vemos la ecuación de la recta que se obtiene en papel semilogarítmico, debemos considerar b como b´ ya que corresponde a log b , por lo encontrar b será tomando el antilog al que hemos renombrado como b´, finalmente la fórmula experimental será :

y = b e 2,303 m x donde b = antilog b´

07.- De cómo obtener tablas /x/y/ cuando la tabla original tiene dos variables independientes y una dependiente.

TABLA 2

h (cm) 30 10 4 1

d (cm) tiempo de vaciado t (s)

1,52,03,05,0

73,0 43,0 26,7 13,5 41,2 23,7 15,0 7,2 18,4 10,5 6,8 3,7 6,8 3,9 2,2 1,5

Este cuadro se desdobla en dos bloques de cuatro tablas /x/y/ :

A) Cuando el líquido esta altura constante y varía el diámetro del orificio de salida :



h= 30 cm h= 10 cm h= 4 cm h= 1 cm

d(cm)

t(s)

d(cm)

t(s)

d(cm)

t(s)

d(cm)

t(s)

B) Cuando el líquido el diámetro del orificio de salida permanece constante y varía la altura del líquido en el envase:

d = 1,5 cm d = 2,0 cm d = 3,0 cm d = 5,0 cm

h(cm)

t(s)

h(cm)

t(s)

h(cm)

t(s)

h(cm)

t(s)

Cuando se ha de variar las medidas proponiéndolas a exponentes, para este caso donde z= 1/d2 y se calcula las medidas de la columna x, que se repite en las otras tablas, colocando sus respectivas medidas de sus columnas y así se tiene : t = t (z) :

h= 30 cm h = 10 cm h = 4 cm h = 1 cm

1/d2

(cm-2)t

(s)1/d2

(cm-2)t

(s)1/d2

(cm-2)t

(s)1/d2

(cm-2)t

(s)

Nota para la gráfica considerar el eje x en números enteros multiplicando 1/d2 x 10-2 (cm-2).



El alumno está en condiciones de llenar las tablas propuestas según su Laboratorio de “TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES”

___________________________________________________________________________Elaborado por la Prof. Carolina Trujillo, C. U. 15 de setiembre de 1997 y revisado en Abril de 1999.

ACERCA DE LA GUÍA DEL 2012 - I

Requerimiento: Una hoja de papel milimetrado. Hacer una gráfica de ΔT versus t. Intérprete

Uds. están en condiciones de desdoblar este cuadro en: 2 tablas de T v.s. t , y 4 tablas de T v.s. V. 2 gráficas en una hoja milimetrada, y 4 gráficas en otra hoja milimetrada 2 fórmulas experimentales y otras 4 fórmulas experimentales, que en forma

rápida lo hacen por Método de par de puntos.

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Tabla 1Vagua (ml) 100 150 t (min) ΔT (ºC) ΔT (ºC)

1234

6,513,019,527,0

4,59,0

14,018,0


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Dado por la Jefe del Laboratorio de Mecánica*************** C.U 3 de Abril de 1999.

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