AnualidadesEcon. Guillermo Edmundo Jacobo Pea

Prof. Ada E. Junco

AnualidadEs un conjunto de pagos iguales, hechos a intervalos iguales de tiempo. El termino anualidad parece significar que los pagos se hacen anualmente . En el sentido estricto de la expresion, esto no es necesariamente asi. En matematicas financieras, anualidad significa pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, que pueden ser anuales, trimestrales ,mensuales etc

Trminos bsicos:Antes de entrar de lleno a estudiar las anualidades, es necesario definir algunos trminos bsicos:Renta o pago: Es el pago peridico y de igual valor.Periodo de renta: Es el tiempo que transcurre entre dos pagos

Condiciones para que una serie de pagos sea una anualidadTodos los pagos deben ser igualesTodos los pagos deben ser peridicosTodos los pagos deben ser llevados al principio o final de la serie, a la misma tasa, a un valor equivalente, es decir, la anualidad debe tener un valor presente y futuro equivalente .El numero de pagos debe ser igual al numero de periodos.

Clases anualidadesLas clases de anualidades mas comunes, son las siguientes:

- Anualidad vencida

- Anualidad Anticipada

- Anualidad Diferida

- Anualidad Perpetua

ANUALIDAD VENCIDAEs aquella en que los pagos se hacen al final del periodo. As por ejemplo, el salario mensual de un empleado, las cuotas mensuales iguales y vencidas en la compra de vehculos y electrodomsticos son casos de anualidad vencidas.

Valor presente de una anualidad vencidaEs un valor, ubicado un periodo anterior a la fecha del primer pago, equivalente a una serie de pagos iguales y peridicos. Desde el punto de vista matemtico, es la suma de los valores presentes de todos los pagos

Formula de valor presente de una anualidad vencida

P =A (1+i)n 1 i(1+i)n Donde:P= valor presente equivalenteA= valor de cada pagon= numero de pagos y i= tasa de inters

Ejemplo 1Se compro un vehiculo con una cuota inicial de S/ 1.000.000 en 36 cuotas mensuales iguales de S/ 200,000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehiculo? .Solucin:1 mes2 meses36 meses$200,000$200,000$ 200,000Hoy

Ejemplo 1(cont.) Hallar el monto de una anualidad de 36 pagos mediante la frmula:

Aplicando la formula se calcula el valor presente de las36 cuotas iguales, que quedara ubicado al principio delperiodo en el que se hace el primer pago.

Ejemplo 1(cont.)Usando la frmula para calcular el monto se obtiene:

P = 4.711.250.21 nuevos soles

Ejemplo(continuacion)El valor del vehiculo ser igual al valor presente de los 36 pagos iguales mas la cuota inicial:Valor del vehiculo=S/. 1.000.000+4.711.250.21Valor del vehiculo= S/. 5.711.250.21 nuevos soles

Que significa estos valores?Es equivalente pagar el da de hoy la suma de S/. 5.711.205.21 nuevos soles, que cancelar hoy una inicial de S/. 1.000.000 nuevos soles y 36 cuotas mensuales de S/. 200,000 nuevos soles, si la tasa de inters es de 2.5% mensual

Ejemplo (Continuacion)Este ejercicio tambin se puede resolver planteando una ecuacin de valor con fecha focal en el momento cero de la siguiente forma:

P= S/. 5.711.250.21 nuevos soles

Valor presente de una anualidad vencida con una tasa variableEn muchas ocasiones se deben calcular valores presentes uniformes con tasas variables y en estos casos no aplica la formula, de tal manera que hay que disear un procedimiento con la hoja de calculo Excel para encontrar una solucin.Ejemplo: Calcular el valor presente de 4 cuotas mensuales de $ 200 dadas las siguientes tasas de inters:

ContinuacinMeses:Mes 1= 1%, Mes 2= 1.2%, Mes 3 = 0.8% y Mes 4 = 1.5%Solucin:P= 200/(1+0.01)+200/(1+0.01)(1+0.012)+200/(1+0.01)(1+0.012)(1+0.008)+200/(1+0.01)(1+0.012)(1+0.008)(1+0.015)P= $779.06

Valor de la cuota en funcin del valor presenteConocidos el valor presente(P), la tasa de inters(i) y el numero de pagos(n), podemos calcular el valor de la cuota. Si de la formula del valor presente, despejamos el valor de la cuota A, tenemos: El valor entre llaves se denomina factor de recuperacin de capital.

EjemploUn lote de terreno que cuesta S/. 20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% y 36 cuotas mensuales, con una tasa de inters del 2% mensual. Calcular el valor de la cuota.

Continuacin.A= 706,191.35 nuevos solesDatos:20000,000x0.10= 2000,00020000,000-2000,000= 18000,000

A= 706,191.35 nuevos soles

Valor futuro de una anualidad vencidaEs un valor ubicado en la fecha del ultimo pago, equivalente a toda serie de pagos iguales y periodicos.En forma matematicas, es el valor final que resulta de sumar todos los valores llevados al futuro. El valor entre llaves se denomina cantidad compuesta serie uniforme

ContinuacinPor medio de la formula, se calcula el valor futuro equivalente a una serie de pagos iguales, conocidos el valor de cada pago(A), la tasa de inters(i) y el numero de pagos o ingresos(n). Por la forma como se hallo el valor futuro equivalente a una serie de pagos iguales vencidos queda ubicado en la fecha en la que se hace el ultimo pago.

EjemploSi Juan deposita S/. 12,000 nuevos soles cada fin de mes, durante un ao, en una entidad financiera que paga una tasa del 3 % mensual. Cuanto dinero tendr acumulado al final de este tiempo?.

Ejemplo(Continuacion)

Rpta: S/. 170,304.56 nuevos soles

Valor de la cuota en funcion del valor futuroConocidas el valor futuro equivalente a una serie de pagos iguales(F) la tasa de inters efectiva peridica(i) y el numero de pagos(n), se desea calcular el valor de la cuota igual y peridica. La formula es la siguiente:

Ejemplo(cont.)

Cuanto se debe depositar al final de cada mes, durante dos aos, en una cuenta de ahorros que reconoce una tasa del 2.50% mensual para reunir la suma de S/. 8.500.000 nuevos soles.

Ejemplo(Continuacion)Rpta: A= 262,758.97 nuevos soles.

Calculo del tiempo de negociacinEs el numero de cuotas necesarias para amortizar una obligacin. Para las anualidades vencidas, el tiempo de la operacin, medido en numero de periodos, algunas veces coincide con el numero de pagos, lo cual no siempre se cumple. El numero de cuotas o tiempo de negociacin la podemos calcular a partir de la formula del valor presente y/o futuro, dependiendo del valor que se conozca.Prof. Ada E. Junco

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Formula del tiempo de negociacin

EjemploUna deuda de S/ 1000,000 nuevos soles se debe cancelar con cuotas iguales de S/ 100,000 cada una. Si la tasa de inters cobrada es de 36% capitalizable mensualmente, con cuantos pagos se cancela la deuda?Solucin:1).- Se capitaliza la tasa nominal para conocer la tasa efectiva mensual equivalente:

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Continuacini= j/m= 0.36/12= 0.03= 3% mensual

2).- Para hallar P, se multiplica la tasa de inters(0.03)x 1000,000= 30,000

3).- Aplicar la formula, para hallar nProf. Ada E. Junco

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Ejemplon= 5 4.8450980.012837n= 12

n= 5 4.8450980.012837

Ejemplo Cuantos depsitos mensuales vencidos de $ 156,325 se deben hacer en una institucin financiera que paga el 2% mensual, para tener un valor acumulado de 1500,000?Datos:F= 1500,000i= 0.02 mensualA= 156,325P x i =1500,000x0.02=30,000

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EjemploProf. Ada E. Junco

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Continuacin.Puesto que en las actividades financieras se acostumbra dar soluciones practicas optamos por redondear el numero de depsitos. El resultado obtenido se redondea a un entero y se ajusta el valor de los depsitos(A) de la anualidad.Prof. Ada E. Junco

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EjemploA = 153,773.16Se deben hacer 9 depositos mensuales, para acumular 1500,000

A = 153,773.16

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