anualidades esan

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Valera, R. (2012). Anualidades. En Matemática financiera:conceptos, problemas y aplicaciones (pp.71-158)(420p.)(5a ed). Piura : Universidad de Piura. (C37991) Anualidad.es 3.1 Conceptos 3.1 .1 Concepto de Anualidad Es una serie de pagos periódicos, que se hacen en cantidades iguales, y a intervalos regulares de tiempo. Final del periodo de pago R R R R Inicio del pertodo 1 1 1 1 de pago o 1 2 3 4 A=? S=? Periodo o intervalo de pago . Plazo o término de la anualidad El tiempo que transcurre entre el comienzo del primer período de pago y el último período de pago se llama "término o plazo de la anualidad". El tiempo que hay entre cada pago sucesivo se llama período o intervalo de pago , y este plazo, expresado en número de días, meses trimestres etc. , debe ser el mismo entre cada período de pago. 3.1.2 Elementos de una Anualidad Los principa les elementos que conforman una anualidad son los siguientes: 71

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  • Valera, R. (2012). Anualidades. En Matemtica financiera:conceptos, problemas y aplicaciones (pp.71-158)(420p.)(5a ed). Piura : Universidad de Piura. (C37991)

    Anualidad.es

    3.1 Conceptos

    3.1 .1 Concepto de Anualidad Es una serie de pagos peridicos, que se hacen en cantidades iguales, y a intervalos regulares de tiempo.

    Final del periodo de pago

    R R R R Inicio del pertodo

    1 1 1 1 de pago

    o 1 2 3 4

    A=? S=?

    Periodo o intervalo de pago

    ~ . *"''m!!l!r..es}~ Plazo o trmino de la anualidad

    El tiempo que transcurre entre el comienzo del primer perodo de pago y el ltimo perodo de pago se llama "trmino o plazo de la anualidad".

    El tiempo que hay entre cada pago sucesivo se llama perodo o intervalo de pago, y este plazo, expresado en nmero de das, meses trimestres etc. , debe ser el mismo entre cada perodo de pago.

    3.1.2 Elementos de una Anualidad Los principales elementos que conforman una anualidad son los siguientes:

    71

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    R : Pago Peridico es el importe cobrado o pagado, segn sea el caso, en cada perodo y que no cambia en el transcurso de la anualidad.

    S: El Valor Futuro viene a ser la suma de todos los pagos peridicos ( R ), capitalizados al final del ensimo perodo.

    A : El Valor Actual viene a ser la suma de todos los pagos peridicos ( R ), descontados a una tasa de inters o de actualizacin.

    i : Es la tasa de inters efectiva por perodo.

    n : El nmero de perodos se obtiene al multiplicar el tiempo en aos por la frecuencia de capitalizacin de los intereses (n =N*m ).

    3.2 Clasificacin de las Anualidades

    En trminos generales, las anualidades se clasifican en anualidades eventuales y anualidades ciertas.

    e ) r 1

    e VITALICIAS ) e TEMPORALES ) e: TEMPORALES ~ e PERPETUAS )

    3.2.1 Anualidades Eventuales o Contingentes

    Pertenecen a este grupo aquellas anualidades en las que el comienzo o el final de la serie de pagos son imprecisos y dependen de algn acontecimiento previsible pero sin exactitud.

    72

  • Anualidades

    Ejemplo: Un contrato hecho por una compaa de seguros de vida, en la que se obliga a pagar, a partir de una determinada fecha, una cierta cantidad de dinero a una ersona mientras sta viva.

    Estas anualidades a su vez pueden ser:

    Vitalicias: Son las anualidades que tienen vigencia mientras dure la vida del rentista. Podra ser el caso de una pensin por jubilacin.

    Temporales: Son, en esencia, anualidades vitalicias que terminan despus de un determinado nmero de pagos, an cuando el rentista contine con vida. Un ejemplo podra ser el seguro que cubra los estudios universitarios de una persona.

    3.2.2 Anualidades Ciertas

    Reciben este nombre aquellas anualidades en las que la duracin de la serie de pagos, no depende de alguna eventualidad externa, sino que se estipula en trminos concretos por adelantado. Las anualidades ciertas, de acuerdo a su duracin, se clasifican en perpetuas y temporales.

    Temporales: Son aquellas que tienen un plazo de duracin determinado. Por ejemplo, un crdito hipotecario a pagar mensualmente durante veinte aos.

    Perpetuas: Son las que tienen duracin ilimitada, quiere decir que el fm del horizonte temporal no est determinado. Por ejemplo, la emisin de un tipo de bonos que pagan una renta a perpetuidad.

    Las anualidades ciertas y eventuales pueden ser a su vez:

    Vencidas u Ordinarias: Cuando las rentas se efectan al final del perodo.

    Anticipadas o Adelantadas: Cuando las rentas se efectan al comienzo del perodo.

    7?.

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    3.3 Clculo del Valor de una Anualidad

    Podemos calcular el valor de una anualidad, en cualquiera de los tres casos siguientes:

    Al fmal del plazo de la anualidad, entonces el valor hallado es el monto o valor futuro (S).

    Al comienzo del plazo de la anualidad, entonces el valor hallado es al valor actual (A).

    En un punto intermedio del plazo de la anualidad.

    3.4 Anualidad Vencida u Ordinaria

    Se caracteriza porque sus pagos peridicos iguales, se hacen al final de cada intervalo de pago.

    3.4.1 Clculo del Monto o Valor Futuro (S)

    Consiste en hallar la suma de todos los pagos peridicos a una misma tasa de inters por periodo, y al fmal del plazo de la anualidad. Con un ejemplo se detallar la forma com.o se obtiene este monto.

    1 Ejemplo: Hallar el monto de una anualidad con pagos peridicos de S/. 100 1~ fmal de cada trimestre, durante un ao, al 9% efectivo trimestral.

    Datos: R =lOO i = O. 09 trimestral n=4 S=?

    o

    74

    1

    100

    2

    100

    3 lOO

    4

    lOO

  • Solucin: S=100(1+0.o9Y +100(1+0.09Y +100(1+0.o9Y +100 S= 457.31

    Deduccin de la frmula:

    Simblicamente tenemos:

    S= R(l +if +R(l +if +R (1 +iY +R

    Anualidades

    Sacando factor comn R e invirtiendo el orden de los factores tenemos que:

    Y obtenemos una progresin geomtrica, dentro del corchete, a la que le hallamos su razn geomtrica ( r ), para luego hallar la suma de sus trminos.

    Primer trmino: a = 1 ltin1o trmino: u (1 + iY La frmula de la suma de los trminos de una progresin geomtrica finita es:

    (u * r )- a ( 1 + i f * ( 1 + i) -1 ( 1 + i) 4 -1 S - - - -'----'---- (r-1) - (l+i)-1 - i

    Por lo tanto, reemplazando en la frmula general se tiene que:

    [(l+ir-11 S=R .

    l

    cuando cuatro ( 4) es el nmero de perodos y de pagos.

    75

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    Por lo tanto, la frmula del monto de una anualidad ordinaria cuyos pagos (R) son pagaderos al final de cada perodo, durante n perodos y a una tasa de inters i , sera:

    En el ejemplo visto tenemos que:

    s = 1 oo[.....;_(1_+ o_. o---'9 )_4 -_1 J 0.09

    S =457.31

    3.4.2 Clculo del Valor Actual (A)

    Consiste en hallar la suma de los valores actuales de todos los pagos peridicos al comienzo del plazo de la anualidad.

    Con los datos del ejemplo anterior, hallar el valor actual o presente de dichos pagos.

    A=?

    1 1 o 1 2

    100 100

    3

    100

    4

    100

    A= 100(1 + O.o9r1 + 100(1 + 0.09r2 + 100(1 + 0.09r3 + 1 00(1 + 0.09r4

    A =323.97

    Deduccin de la frmula:

    Simblicamente tenemos:

    76

  • Anualidades

    Sacando factor comn R e invirtiendo el orden de los factores tenemos que:

    A =R[ (1 +ir1 +(1 +i)-2 +(1 +ir3 +(1 +i)-4 J y obtenemos una progresin geomtrica, dentro del corchete, a la que le hallamos su razn geomtrica ( r ), para luego hallar la suma de sus trminos.

    Pri.rner trmino: a= (1 + i)-4 ltimo trmino: u= (1 +i)-1

    Q' )1 1 + i 1 r= =(l+i) (1 + i ) 2

    La frmula de la suma de los trminos de lma progresin geomtrica finita

    (u*r)-a (1+ir1 *(l+iY -(l+i)-4 1-(l+i)-4 S = (r -1) = (1 + ii -1 - l

    Por lo tanto, reemplazando en la frmula general se tiene que:

    ll- (1+ i r4 J A=R l cuando cuatro (4) es el nmero de perodos y de pagos.

    La frmula para calcular el valor actual de una anualidad ordinaria cuyos pagos ( R ) son pagaderos al final de cada perodo, durante n perodos y a una tasa de inters i, sera:

    77

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    En el ejemplo visto tenemos que:

    S=lOOrl-(1+0.09)-41

    S l 0.09 S =323.97

    3.4.:i Clculo de una Anualidad en un Punto Intermedio

    Para una mejor ilustracin del clculo de una anualidad en un punto intermedio usaremos un ejemplo

    Ejemplo: Se tiene una anualidad ordinaria con pagos trimestrales de1 S/. 5 000 durante dos aos, pactados a una tasa efectiva trimestral del 7 .5%. Hallar el valor de la anualidad al final del primer ao.

    Datos: R = 5 000 i = O. 07 5 trimestral n=4*2=8 X =valor buscado al fmal del primer ao

    o 1 2 3 4 5 000 5 000 5 000 ' 5 000

    S=?

    1

    A=?

    1

    Solucin:

    5 6 7 8

    5 000 5 000 5 000 5 000

    Hallar el monto S al final del primer ao de los pagos anteriores a la fecha; inclusive el pago en esa fecha:

    78

  • Anualidades

    5 ooo[ (1+0.075r -1] S= = 22 364.60

    0.075

    Hallar el valor actual A al fmal del primer ao de los pagos posteriores a la fecha.

    5 ooo[l-(1+0.075r4 ] A= = 16 746.63

    0.075

    El valor de la anualidad al fmal del primer ao (..W es:

    S + A = 22 3 64 .6 O + 16 7 46 .6 3 = 3 9 111.2 3

    3.4.4 Problemas Resueltos de Anualidades Vencidas

    l. Qu monto obtendr si deposito S/. 500 al fmal de cada mes durante cuatro aos, si la tasa efectiva mensual es del 0.5%?

    Datos:

    R=500 i = 0.005 mensual Plazo =4 aos n=4*12=48 S=?

    Solucin:

    s = soo[ (1 +O.oos)" -1 J 0.005

    S= 27 048.91

    2. Qu cantidad de dinero tendr que depositar hoy da en un banco para poder disponer de S/. 500 al fmal de cada m_es durante tres aos, si el banco paga una tasa efectiva mensual del 0.5~1,?

    Datos: R=500 i=0.005 Plazo =3 aos n 3*12=36 A=?

    Solucin:

    A= soo[1- (1 +o.oosr"] 0.005

    A =16 435.5

    79

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    80

    3. La empresa ABC hace un prstamo al banco, que se cancela mediante pagos semestrales vencidos de S/. 20 000 durante dos aos a una tasa efectiva semestral del 18%. Cunto deber ABC al cabo de un ao despus de haber cancelado los dos primeros pagos?

    o

    20000

    Datos:

    R=20 000 i =18% semestrnl n=2*2=4 A=?

    2 20000

    3

    20 000

    Solucin:

    4 20 000

    20 ooo[l-(1+0.18r2 ] A=--------

    0.18 A =31 312.84

    4. Una empresa azucarera reserva S/. 15 000 al fmal de cada mes durante tres aos en un fondo que gana 12% de inters compuesto mensualmente. Cul ser el valor del fondo al fmal del tercer ao, y cunto ser el monto 2.5 aos despus de hacer el ltimo depsito?

    Datos: R=15 000 i =12%/ 12=1 %~nsual n=3*12=36 S=?

    Solucin:

    15 000 [ (1 +O. O 1 Y6 -1] S=----=------

    0.01 8=646153.17

    S=C(1+iY n = 12 * 2. 5 = 30

    8=64{) 153.17(1+0.0lj0

    S= 870 916.85

    5. Se solicita un crdito por $ 100 000 al Banco Regional. Se cancelar con pagos mensuales vencidos durante dieciocho meses.

  • Anualidades

    La tasa de inters del mercado es 2.8436% efectivo mensual. De cunto ser cada pago?

    Datos: A= lOO 000 n =18 meses i =2.8436% trensual R=?

    Solucin:

    R[1- c1 + o.o28436r18 J 1 ()() 000 = ---=---------=-

    0.028436 R=7175.08

    6. Terry recibe un crdito de$ 7 000 pagaderos por medio de cuatro pagos semestrales vencidos, a una tasa del1.5% efectivo mensual:

    a) Cunto pagar semestralmente? b) A cunto ascenderan estos pagos si es que se acordase pagar

    mensualmente?

    Solucin:

    a) Datos:

    i =0.015 rrensual n=2x 12=24

    12 2 (1+0.015) =(1+i) i =9.3443% sem.

    b) Datos:

    i =0.015 rrensual n= 2 x 12 = 24

    Solucin;

    R [t-(1 + 0.093443)-4] 7 000 = ---='-------=

    0.093443 R =2 177.03

    Solucin:

    R [1-(1 + o.093443 r24 J 7 000=

    0.093443 R= 349.46

    7. Qu cantidad de dinero tendr que invertir en una financiera, para obtener un pago de $ 3 500 al final de cada ao durante cuatro aos, si la financiera paga el 9% anual capitalizable mensualmente?

    81

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    Datos: Solucin: R=3 500 i =O. 09112 = 0.0075 mensual (1 + 0.0075Y2 = (1 +TEA y

    3 5oo[1-(1+0.093807)-4] A= 0.093807 A= 11 244.91

    TEA=9.3807%

    8. Valeria desea comprar un equipo de sonido que al contado cuesta SI. 2 800. El vendedor le ofrece que no pague nada de cuota inicial, sino que haga un solo pago de S/. 3 500 al fmal de seis meses; sin embargo ella prefiere hacer pagos mensuales iguales, acordando con el vendedor efectuarlos al fmal de cada perodo. De cunto debera ser cada pago peridico? Datos: Solucin:

    C=2 800 S=3 500 n=6 i=?

    S=C(l+ir 3 500 =2 800(1 + i)6

    i =3.7891% mensual

    Para hallar el pago peridico, usamos la frmula del Valor Futuro o la frmula del Valor Actual.

    82

    Datos: A=2 800 n=6 i =3.7891% R=?

    Solucin:

    R[ 1- (1 + 0.03 7891 )-6] 2 800 = -------

    0.037891 R=530.47

    9. Cuando Pa cumpli catorce aos, su abuela decide depositarle al fmal de cada trimestre la cantidad de S/. 550 en una cuenta de ahorros en el Banco Amrica que paga el 3.5~ efectivo mensual. Si tiene pensado hacer estos depsitos durante ocho aos consecutivos, calcular la cantidad que tendr Pa en su cuenta al cumplir veintitres aos, si se sabe que la tasa de inters permaneci invariable hasta que cumpli veinte aos, fecha en que la tasa efectiva trimestral subi al 16%.

    Datos:

    R=550 n=24 i=3.5%

    (1 + o.o35Y = (1 + iY i= 10.871788% trimestral

  • Anualidades

    Solucin:

    14 aos

    o 1 2 3

    i = 10.8718% n = 24

    4 5 6 7

    j = 16% n=8

    8 9

    i = 16%

    n =4

    ,,," R=550 ~~ ~ ~s, s,

    Por lo tanto:

    sso[ (1+0.10871788)24 -1] S,= 0.10871788 S1 =55 164.667

    S, = 55 164.66 7 (1 + O .16 i 2 SI = 327 458.95

    R=550 n=8 i=l6% ' '

    Por lo tanto:

    5 50 [ ( 1 + o .16) 8 -1 J S - --=----- 2

    - 0.16 S2 =7 832.05

    S2 = 1 832.05 (1 + o.16)4

    s2 = 14 181.02

    Entonces, Pa al cumplir veintitrs aos tendr en su cuenta:

    ST = s, +S2 ST = 327 458.95 + 14 181.02 ST =341 639.97

    83

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    84

    10. Jorge ahorr en una A.FP $ 100 mensuales, durante toda su vida laboral que dur treinta aos, los cuales incluyen dos aos de inactividad por falta de trabajo. Al final de estos treinta aos se jubila. Pero durante los aos catorce y veintiun no pudo ahorrar los $ 1 00 al mes ya que no tuvo trabajo. Si la tasa es del 0.5o/ mensual, y si se estima que Jorge vivir quince aos ms despus de su jubilacin, cunto deber recibir mensualmente en su ancianidad durante esos quince aos?

    Solucin:

    Primero, tenemos que calcular el monto acumulado hasta el ao trece, en que Jorge dej de trabajar: R=100 n = 13 * 12 =156 meses

    ' i = 0.005 mensual

    aos

    o 1 2 3 13

    Ahora debemos calcular el monto que se acumul el ao que dej de trabajar, aunque no aport los $ 100 mensuales durante ese ao, el monto acumulado hasta ese ao sigui ganando intereses de la siguiente manera:

    R[(l+i) -1] Ioo[(l+o.oo5Y 56 -1] s13 = = = 23 544.73

    i 0.005

    Acumulado hasta el ao 14:

    e= 23 544. 73; n = 1 * 12 = 12 meses

    s14 =23 544.73(l+O.oosY 2 = 24 996.92

    Lo que se acumul hasta el ao veinte ser:

    e= 24 996.92; n = 6 * 12 = 72 meses

  • 14 15 16

    S= 24 996.92(1 + 0.005)72 = 35 796.41

    1 oo[ (1 + o.oo5)72 -1 J S= =8 640.89

    0.005 s2o =35 796.41+8 640.89 S20 = 44 437.3

    Anualidades

    aos

    20

    Ahora, calcularemos el monto que se acumul en el segundo ao que no trabaj, que es el ao veintiuno. El tnonto hasta ese momento es el siguiente:

    C= 44 437.3; n = 1 * 12 = 12 meses

    12 S= 44 437.3(1 +0.005) = 47 178.09

    Finalmente hallaremos el monto total acumulado hasta el ao treinta:

    e= 47 178.09;

    21 22 23

    n = 9 * 12 = 1 08 meses

    24

    s = 47 178.09 (1 + o.oo5i08 = 80 849.07 too[ (1 + o.oo5yos -1 J

    S= = 14 273.98 0.005

    aos

    30

    85

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    86

    El monto total acumulado durante los treinta aos de su vida laboral es:

    S30 = 80 849.07 + 14 273.98 S30 = 95 123.06

    El monto que va a percibir mensualmente, durante los prximos quince aos:

    A= 95 123.06; n=15*12=180 meses

    R[1-(1+irn J A = --=------=-

    l

    R[ 1- (1 + o.oo5r180 J 95123.06 = --=------=-

    0.005 R=802.70

    11. La compaa "ERLI S.A." ha decidido cancelar las doce ltimas cuotas mensuales de un prstamo contrado con la Caja Municipal. S las cuotas pendientes de pago son fijas y cada una de ellas asciende a S/. 15 000.

    a) Cunto tendra que cancelar hoy, si la TEA con la que fueron calculadas las cuotas es del 18%, pero se sabe que para recalcular la deuda se toma la TEA vigente que es del 15%?

    b) Le favorece o le perjudica que para recalcular su deuda tomen una TEA menor?

    a)

    o 1 2 A = ? 15 000 15 000

    12

    15 000

  • Anualidades

    (1+0.15j =(l+ij2 i =0.011714917 mensual

    A= 15 ooo[1- (1 + o.Ol1714917r'2 J 0.011714917

    A = 167 011.14

    b) Si no hubiese variado la TEA, tendra que pagar lo siguiente:

    ( 1 + o .18 i = (1 + i i 2 i =0.0138888 mensual

    A = 15 ooo[ 1- ( 1 + o .o 1388 88 r' 2 J 0.0138888

    A= 164 751.20

    Con lo cual vemos que, si para recalcular la deuda se hubiese tomado la TEA del 18% y no la TEA del 15%, se hubiera ahorrado S/. 2 259.94.

    12. Mara Luca compr un departamento por el cual debe hacer un pago peridico n:tensual de $ 550 durante diez aos; pactndose una tasa efectiva anual del 11.5%.

    a) Si al efectuar el trigsimo pago desea liquidar el saldo de su deuda con un pago nico Cunto deber pagar adicionalmente en esa fecha para liquidar su deuda?

    b) Cul ser el valor al contado del departam.ento?

    Datos:

    R=550 n=~

    (1 +ir = (1 +TEA j (1+iY2 =(l+o.usy

    i = 0.9112% mensual

    87

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    88

    Solucin:

    a)

    b)

    A= 550[1- c1 +O.o09mr"' J 0.009112

    A =33 678.13

    55o[1-c1 + o.o09u2r120 J A=--=---------=

    0.009112 A=40034.32

    13. Luis Perales desea comprar dos camionetas para distribuir gaseosas. En DAEWOO, el precio al contado de ambas camionetas es de S/. 120 000, pero le proponen un crdito con las siguientes condiciones: Sin cuota inicial y cuotas mensuales iguales para pagar al fmal de cada mes por S/. 6 712.59 a una tasa efectiva del 3% mensual. Calcular en cuntos meses se pagarn las camionetas.

    Datos:

    A=120 000 R=6 712.59 i =O. 03 trensual n=?

    Solucin:

    6 712.59[1- (1 +O.o3rn J 120 000 = -----=------=

    0.03 3 60016 712.59 = 1- (Lo3rn

    0.463694 = (t.o3r, log (0.463694)=-n * log (1.03)

    n=26meses

    14. El Sr. Sergio Garca decide comprar una mquina ABSX 30 para complementar su gimnasio; el vendedor le ofrece un plan de cuotas, en la que mensualmente tendra que desembolsar $ 930, acordndose una tasa efectiva anual del 18%. Si su deuda est actualmente valorizada en $ 7 817.18. Determinar el nmero de meses que le restan para cancelar su deuda.

  • Datos: (l+TEAi =(1+ii2 (1 + o.t8Y = (1 + iY2

    Anualidades

    R=930 A=7 817.18 TFA=18% Solucin:

    i =0.01388843 mensual

    930[1- (1 +0.01388843rn J 7 817.18 = --=----------=-

    0.01388843

    0.883295 = (1.01388843 rn log (0.883295) = -n * log (1.01388843)

    n =9 meses

    15. Juan Ruiz desea realizar sus estudios de Master en Direccin de Empresas. Despus de averiguar el costo de estos estudios, se dio con la sorpresa que seran de$ 16 000. Juan solamente contaba con $ 6 000 ahorrados, por lo que se vio en la necesidad de prestar $ 1 O 000 al banco con las siguientes condiciones:

    Prstamo $ 10 000 TEA 18% Plazo 4 aos Forma de pago cuotas mensuales

    a) Hallar a cunto asciende la cuota de cada pago mensuaL

    b) Al finalizar el primer ao, luego de efectuar el pago correspondiente a ese perodo, Juan Ruiz desea saber cul es el saldo de su deuda luego de amortizar $ 2 000 de sta.

    e) Si la TEA al comenzar el segundo ao aumt~nt en 2% A cunto ascendern las cuotas restantes?

    Solucin:

    a) (1 +TEA} = (1 + i }2 (1+0.18) =(l+i)2

    i = 1.3 88843~/o mensual

    89

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    90

    b)

    R [1-(1 + 0.01388843 )-48 ] 1 o 000= --=---------=-

    0.01388843 R= 286.8259

    286.8259[1- (1 +0.01388843r36 ] A=---=--------=

    0.01388843 A=8 082.61

    Como decide amortizar $ 2 000, su deuda ser de:

    e)

    8 082.61-2 000 = 6 082.61

    (1 + TEAY = (1 +ij2 (1 + 0.20i = (1 + ii2

    i =1.530947% mensual

    R [1- (1 + o.ol50947r36 ] 6 082.61 =~-------=

    0.0150947 R =221.03

    16. Un alumno que recin termina la Univ.ersidad, est planeando comprarse un departamento cuyo precio al contado es de$ 40 000. Para ello, se pone en contacto con el Banco Amrica que le ofrece financiar el 75% del valor del departamento, exigindole a cambio cuotas mensuales de $ 360.05 cada una durante 15 aos. Cul es el costo del financiamiento anual?

    Datos:

    A =40 000 * 0.75 = 30 000 R = 360.05 n = 15 * 12 = 180 i=?

  • Solucin: 360.05[1-(1 + i)-ISO]

    30 000 = ---==-----i

    Anualidades

    La i se puede hallar rpidamente con la ayuda de una calculadora financiera o con una hoja de clculo. Manualmente el clculo hay que hacerlo por el mtodo de prueba y error que consiste en probar aleatoriamente con distintas tasas de inters hasta que encontremos una tasa que satisfaga esta ecuacin.

    El primer paso sera igualar la ecuacin a cero.

    360.o5[1-(1 + ir180J --=-----=--30 000 =o

    l

    Probamos con i = 5% , y esto es igual a: S/. -22 800.1; resultado que al ser negativo quiere decir que la tasa que estamos buscando es menor al 5%.

    Ahora probamos con i = 0.5%, y esto es igual a S/. 12 667.19; resultado que al ser positivo quiere decir que la tasa que estamos buscando es mayor al 0.5%; entonces ya sabemos que la tasa que estamos buscando se encuentra dentro de este rango hasta que finalmente encontramos que una i igual al 1% ( i = 1% ) logra satisfacer esta ecuacin, haciendo que sta sea igual a cero.

    A continuacin, hallamos el costo anual del financiamiento (TEA):

    (1+TEAY = (l+O.otY2

    TEA= 12.6825%

    17. La Ca. San Andrs contrae una deuda con el banco por $ 200 000 pagaderos en diez aos mensualmente, a una tasa del 1.5% efectivo mensual (TEM). Al fmalizar el cuarto ao luego de haber efectuado el pago correspondiente a dicho mes, se plantea lo siguiente:

    a) Cunto tendra que pagar en ese momento para liquidar su deuda?

    91

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    92

    b) Cunto tendra que pagarle al banco en ese momento para que en el futuro sus cuotas de pago mensuales asciendan slo a $2 500?

    e) Afecta que al calcular el valor actual de mi deuda considere una tasa efectiva mensual menor, por ejemplo del1 %?

    Solucin:

    a)

    o 2

    b)

    A=?

    3 48 49 50

    R [1- c1 + o.o15r120 J 200 000 = ~-------=-

    0.015 R =3 603.704

    118 119 120

    A = 3 603 .704[ 1-(1 +0.015f'2 ] 48 0.015

    A48 =158 003.20

    2 soo[1- (1 +o. o t5r72 ] A=----~--------~

    0.015 A =109 611.66

    Pagara: 158 003.20-109 611.66 = 48 391.54

    e) R = 3 603.704; n=72 '

    i=1%

    A = 3 603.704[1-(1+0.01f'] 48 0.01

    A48 = 184 3 30.870

    meses

  • Anualidades

    184 330.870 vs 158 003.201

    Aparentemente, esta situacin parecera favorable al cliente; sin embargo, al calcular a cunto ascendera el valor actual de su deuda en el caso de que las cuotas se recalculen con una tasa menor, en este caso del 1 %, podemos observar que se le estara perjudicando, como se ve al comparar los valores actuales calculados con las tasas mensual del 1.5% y del 1%. Esto ocurre porque las cuotas pactadas fueron calculadas inicialmente con una tasa mayor y al calcularlas con una tasa menor estaramos castigndolas menos y obteniendo, por lo tanto, un mayor valor actual.

    18. Hoy da se contrae una deuda por $ 11 000, con el acuerdo de pagarla en 24 meses con una TEM del4%. Luego de efectuado el sexto pago y ante la aparicin de problemas financieros, se plantea al acreedor:

    a) El deseo de seguir pagando siempre y cuando la deuda pendiente se la refmancien a 3 aos, contados a partir de ese momento. Cunto sera el pago mensual que tendra que asumir?

    b) Le afecta que le bajen la tasa de inters al 3%, al momento de recalcular las cuotas pendientes de pago.

    Solucin:

    a)

    A=?

    o 6 23 24

    93

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    94

    b)

    o

    R[ 1-(1 + o.04r24 J 11 000 = --=------=

    0.04 R= 721.44

    721.44[ 1- (1 + o.04 r18 J 4

    = 0.04 4, = 9 133.08

    R R R R R R

    -+---+---1 1 2 3 34 35

    R[l- c1 + o.o4 r36 J 9 133.08=------

    0.04 R=483

    R [1- (1 + o.o3r36 J 9 133.08 =---=------=-

    0.03 R =418.32

    36

    Como se puede apreciar habra una reduccin significativa en las cuotas, disminuyendo$ 64.68 (483 - 418.32).

    19. El Sr. Pelayo desea adquirir una mquina cuyo precio al cash es de $ 100 000. Al solicitar informacin sobre el fmanciamiento el vendedor le dice lo siguiente:

    ~ Cuota inicial: $ 15 000 y 3 alternativas de pago: 12 mensualidades de$ 8 037.56 c/u. 18 mensualidades de$ 5 669.67 c/u. 24 mensualidades de$ 4 494.00 c/u.

    Luego de escuchar al vendedor, el Sr. Pelayo le plantea una alternativa de pago diferente que se resume en lo siguiente:

  • Anualidades

    Cuota inicial: $ 15 000 Al fmalizar el primer mes $ 5 000 Al finalizar el segundo mes $ 1 O 000 A partir del tercer mes diecisis pagos iguales.

    El vendedor se preguntaba a cunto ascendera ese pago teniendo en cuenta que el costo mensual de financiamiento de esa casa comercial es del2%.

    100 000 A=?

    ~ o 1 2 3 16 17 18

    15 000 5000 10000 R R R R

    A cunto ascender cada pago R ?

    100 ooo= 15 ooo+ 5 oooc1 +o.02r1 + 1 o oooc1 +0.02)-2 R[ 1- (1 + 0.02r16 ]

    + ----------------------- * 1.02-2 0.02

    R = 5 401.06

    20. Suponer que la Ca. PIQUET desea adquirir cuatro camiones de 3~ Ton. c/u. cuyo precio cash es de $ 20 500 c/u. El costo mensual del fmanciamiento ofrecido es del 4.25%, por lo que las alternativas de pago son las siguientes:

    Cuota inicial de$ 6 500 y tres formas de pago:

    12 mensualidades de$ 1 513.45 c/u. 24 mensualidades de$ 941.87 c/u. 36 mensualidades de$ 766.25 c/u.

    a) Si compro cuatro camiones utilizando el crdito de la casa comercial. Cunto pagara mensualmente en total si el plazo para pagar fuese de 24 meses, adems de la cuota inicial que en total sera de $ 26 000?

    95

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    b) Adems de pagar la cuota inicial, cunto hubiese tenido que pagar mensualmente por la compra de cinco camiones de ese mismo tipo, si el fmanciamiento se hubiese hecho por el saldo y a travs de un Banco que tiene un costo del18% anual?

    Solucin:

    a) El costo de la casa comercial ser el siguiente:

    Mensual: 4.25~/o Anual: (1 + 0.0425Y2 -1= 64.78%

    Y por la compra de cuatro camiones pagar lo siguiente:

    941.87 * 4 = 3 767.48 mensualmente

    b) Por la compra de cinco camiones pagara lo siguiente:

    (1 + 0.18 y = ( 1 + i y2 i =1.3888%

    A =14 000* 5= 70 000

    R[ 1- (1 +0.013888r24 J 70 000 = ---:=.., ______ _::. 0.013888

    R=3 449.74

    3.4.5 Problemas Propuestos de Anuaiidades Vencidas

    96

    l. Luca tiene en su poder los siguientes docmnentos:

    Catorce letras de S/. 8 000 cada una. La primera vence al comenzar el noveno mes; a partir de la fecha, las siguientes vencen con intervalo de un mes.

  • Anualidades

    Adems tiene diez letras de S/. 6 000 cada una: La primera vence al fmal del sptimo mes; a partir de la fecha, las siguientes vencen con intervalos de dos meses. Si la tasa de liquidacin de estos documentos es del 12.6825(% anual, y le ofrecen S/. 150 000 por todo el paquete de documentos. Debera aceptar la ofetta o no?

    Rpta: Tericamente no conviene la oferta, ya que S/. 150 000 es mayor que S/. 148 283.20, que es el valor actual de esas letras el da de hoy.

    2. El Sr. Surez compr un auto, pagando una cuota inicial de $ 5 000 y comprometindose a pagar $ 200 cada tres meses durante los prximos diez aos. Se pact una tasa efectiva trimestral del1.5%.

    Cul era el valor de contado del auto? Rpta: $ 10 983.169

    Si el Sr. Surez omitiera los primeros doce pagos, Cunto tendr que pagar en el vencimiento del dcimo tercer pago para ponerse al corriente? Rpta: $ 2 847.36

    E,) Despus de haber hecho m;ho pagos, el Sr. Surez desea liquidar el saldo existente mediante un pago nico en el vencimiento del noveno pago. Cunto deber pagar adems del pago regular vencido? Rpta: $4 929.22

    Si Surez omite los primeros diez pagos, Cunto deber pagar cuando venza el dcimo primer pago para liquidar el total de su deuda? Rpta: $ 7 047.86

    3. El Sr. Dulanto viene depositando en el Banco lVIundo cuotas de $ 1 527.18 al fmal de cada mes, con el propsito de que a] final de su rnuerte sea entregado dicho dinero a su hijo. Dos meses despus de la muerte del Sr. Dulanto se le notific a su hijo que era acreedor de $ 35 000, habindose pactado una TEA del 15% durante cuntos m.eses ha estado depositando dinero el Sr. Dulanto? Rpta: 20 meses.

    97

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    98

    4. El Sr. Lira decide adquirir un departamento valorizado en$ 50 000. Al investigar en la inmobiliaria acerca de las formas de pago, le proponen tres alternativas de pago, a pagar en un lapso de cinco aos.

    Alternativa 1: Sin cuota inicial y sesenta mensualidades de $ 1 142.13 c/u. Alternativa 2: Una cuota inicial de $ 5 000 y sesenta mensualidades de$ 946.62 c/u. Alternativa 3: Una cuota inicial de $ 10 000 y sesenta mensualidades de$ 868.4 c/u.

    Cul ser la mejor alternativa de crdito para el Sr. Lira? Rpta: Al Sr. Lira le conviene la alternativa nmero dos, ya que el costo efectivo anual de su fmanciamiento, es el menor (10%).

    5. Ciro Bazn desea comprar un nuevo motor que cuesta S/. 2 000 al contado. El dueo le ofrece que haga un solo pago de S/. 3 000 dentro de seis meses. Pero Ciro le propone pagar una cuota inicial de S/. 700, y el resto a pagarlo en cuotas iguales al fmal de cada mes durante doce meses. Cul ser el pago peridico que Ciro tendra que hacer? Rpta: El pago peridico debera ser de S/. 163.59.

    6. Tres jvenes deciden emprender un negocio de venta de artesanas para lo cual necesitan un capital inicial de $ 15 000; monto que solicitan a un prestamista a pagar en cinco aos. El prestamista les asigna cuotas mensuales a una tasa capitalizable mensualmente del 98%. Al fmal del segundo ao, el negocio obtiene considerables utilidades por lo cual los socios deciden cancelar el 50% de su deuda en ese momento y el saldo pagarlo en doce cuotas quincenales.

    a) Cunto pagarn los socios al fmal del segundo ao y a cunto ascendern las nuevas cuotas a pagar? Rpta: Lo que tendrn que pagar es de $ 7 119.77, y las nuevas cuotas ascendern a 759.77

    1

    b) En cuntos pagos mensuales de $ 707.1907 cancelaran el saldo de la deuda a partir del tercer ao? Rpta: Sera en 22 pagos mensuales.

  • Anualidades

    e) Si los socios estn dispuestos a pagar como mximo cuotas quincenales de$ 750 y el prestamista incrementa su tasa activa a 1 0% efectivo mensual Aceptara el incremento propuesto por el banco? Rpta: Probablemente no, porque el monto de la cuota sera de $797.9.

    7. S deposit $ 2 000 en la Caja Rural Piura al fmal de cada mes esperando recibir un monto de $ 56 486.4. Cunto tiempo tendr que estar el dinero en dicha entidad fmanciera, si se sabe que la tasa efectiva anual que paga la Caja Rural Piura es del12.6825? Rpta: 25 meses.

    8. Un recin egresado de la UDEP empieza a trabajar en una consultora a partir del 1 de Enero de 2005, ganando $ 600 mensualt::, y se propone dentro de tres aos hacer una maestra a tiempo parcial que tiene un valor de$ 21 000. Se sabe que el Banco Financiero al comenzar su maestra le puede fmanciar el 50~ del costo. Cunto deber ahonar mensualmente para poder pagar el otro 50%, sabiendo que la TEA en ahorros es del 2%? Rpta: Lo que debera ahorrar mensualmente es de $ 283.32.

    9. Ernesto Gallo percibe mensualmente un sueldo de $ 7 000. Con ocasin de querer viajar, pidi un prstamo al Banco Econmico por un monto de$ 70 000. El sectorista del banco le comunic que su crdito haba sido aceptado y que el inters anual que se le cobrarla seria del 18% pagadero en cinco aos, a travs de cuotas mensuales iguales. Despus de un ao y medio de recibido el prstamo y despus de cancelada la cuota respectiva correspondiente a ese perodo; Ernesto Gallo encontr una propuesta mejor en el Banco de NY (que recin llegaba a la ciudad) y decidi renunciar, amortizando con una parte de su CTS el 35% del importe recibido como prstamo; la amortizacin se realiz el n1ismo mes en que el Sr. Gallo renunci. Ernesto Gallo quisiera saber, cunto tendra que pagar mensualmente a partir del siguiente mes y durante el resto del tiempo que le queda hasta cumplir los cinco aos inicialmente pact:'ldos? Rpta: Tendra que pagar $ 953.31

    99

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    100

    1 O. Juan Lpez abre una libreta de ahorros el da de hoy con S/. 8 000 en el Banco Popular, el cual paga una tasa anual del 19.5618%. El Sr. Lpez est viendo la posibilidad de comprarse unos artefactos para implementar su hogar y se ha dado un plazo de doce meses para acumular en su libreta S/. 20 000 y as poder comprar al contado los artefactos posibles. Cunto tendr que depositar mensualmente el Sr. Lpez para que al doceavo mes Hegue a recaudar el monto propuesto? Rpta: Tendr que depositar S/. 800.16

    11. La Universidad de Piura piensa adquirir un mnibus para transpotte del alumnado, que tiene un valor de S/. 50 000. Debido a la reciente falta de liquidez, el activo podra ser pagado en cuotas trimestrales durante seis aos, para lo cual la empresa comercializadora plantea una TEA del 38%. Al final del tercer ao la Universidad de Piura decide refmanciar a cinco aos con cuotas semestrales el monto que an tiene por pagar, aceptndose un inters del 20% semestral. A cunto ascender la nueva cuota a pagar? Rpta: La nueva cuota ascender a S/. 8 640.23

    12. Cueto tiene una deuda de S/. 12 000, que deber pagar en doce cuotas iguales de S/. 1 100.16 al final de cada 1nes. A cunto ascenderan dichas cuotas si quisiera cancelarlo en treinta y seis mensualidades? Rpta: Los pagos seran de S/. 433.83

    13. Guilletmo desea adquirir un auto del a.o. La empresa Velculos Grau les hace una propuesta de un carro marca Toyota Yaris, cuyo precio al cash es de $ 14 000. La empresa les propone lm financiamiento de tres aos, que consiste en diecisis pagos tnensuales iguales de$ 2995 seguidos de veinte pagos de $ 400, La ,empresa trabaja con una tasa de inters del 26.075% anuaL Guillermo desea saber cul ser el monto total que habrn pagado tma vez que haya cancelado todos sus pagos, considerando el costo del dinero en el tiempo. Rpta: El monto total cancelado ser de$ 17 838.57

    14. Pilar desea adquirir un televisor, con la condicin de que el pago se realice al crdito. El vendedor le informa que segn el plan de pagos deber cancelar una cuota mensual de $ 915 durante dieciocho meses, pactndose una tasa de inters del 3% efectivo

  • Anualidades

    mensual. Pilar desea saber cunto tendr que pagar el dcimo octavo mes, si se sabe que a partir del dcimo tercer mes dej de pagar. Rpta: Tendr que pagar$ 5 918.60.

    15. Jaime desea adquirir una mquina cuyo precio al cash es de $ 60 000. Luego de escuchar al vendedor sobre las alternativas de fmanciarniento que ofrece, Jaime le plantea una alternativa de pago diferente que se resume en lo siguiente:

    Cuota inicial: $ 1 O 000, a pagar al fmal del primer mes. s Al comenzar el tercer mes $ 5 000 A partir del quinto mes, seis pagos mensuales iguales.

    El vendedor se preguntaba a cunto ascendera ese pago, teniendo en cueni que la TEA que cobra por el financiamiento esa casa comercial es del 60.1032% Rpta: El pago mensual sera de$ 10 212.41

    16. Martha solicita a liD banco un prstarr1o de $ 480 para adquirir un equipo de sonido. La forma de pago propuesta es de diecisiete cuotas mensuales, calculadas con una tasa del 59.89% compuesta trimestralmente. De otro lado, la casa cmnercial le ofreci una alternativa de crdito, consistente en pagar quince cuotas de $ 53 mensuales. Cul de estas dos opciones le convendr a Martha? Rpta: Le convendr un crdito del banco porque le cobra una tasa menor.

    17. Hoy da Marlene contrae una deuda, con intereses al 7% convertible trimestralmente, por la que se compromete a pagar lo siguiente: durante los prximos cinco aos pagar$ 500 al fmal de cada tres meses, seguidos de pagos de $ 600 cada tres meses por los siguientes tres aos. Hallar el impmte de la deuda actuaL Rpta: La deuda actual es de S/. 12 931.027

    18. Cierta compaa constructora vende casas en las siguientes condiciones:

    : SI. 50 000 al realizar el contrato. o 12 mensualidades de S/. 5 000 cada una, abonndose el

    pago de la primera al tnes de fnmaclo el contrato.

    101

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    102

    S/.125 000 al momento de la entrega de las llaves, que est prevista para dentro de un ao.

    96 pagos mensuales de S/. 4 800 cada uno, a continuacin de la fmalizacin de los primeros doce pagos de S/. 5 000.

    Si la tasa de inters que aplican es del 6.5% anual capitalizable mensualmente. Se pide:

    a) Hallar el valor del inmueble en el momento de entrega de las llaves. Rpta: S/. 598 746.13

    b) Hallar el valor de contado del departamento. Rpta: S/. 561 163.94

    19. Pedro tiene tres deudas: una de S/. 10 000 pagadera dentro de dos aos pactada al 4% efectivo mensual, otra deuda de S/. 8 000 que vence dentro de tres aos pactada al 50% capitalizable semestralmente y una tercera deuda de S/. 5 000 que vence dentro de cuatro aos con una tasa del 60% efectivo anual. S despus de veinticinco meses plantease pagar el 50% de sus tres deudas y el saldo en seis cuotas trimestrales; y si adems, la tasa con la que le fuesen a liquidar sus deudas fuese del 60% efectivo anual. A cunto ascenderan dichas cuotas trimestrales considerando la TEA del 60%? Rpta: S/. 7 369.58

    20. La Ca. Ford ofrece las siguientes alternativas para comprar un automvil:

    a) Valor al contado$ 12 920 b) Hacer ocho pagos cada treinta das de $ 1 820 cada uno, y uno

    de $ 1 116.94 a los trecientos sesenta das. e) Un solo pago de$ 14 98938 luego de transcurridos noventa y

    cinco das.

    Si la tasa efectiva diaria que cobra esta casa comercial es del 0.15% qu alternativa de compra le convendr ms al cliente? Rpta: La ms barata es "b", ya que su valor actual seria de $ 12 607.13

  • Anualidades

    21. Pa alquila un local comercial durante cinco aos por un importe trimestral de $ 3500. Pa recibe como alternativa del usuario la propuesta de efectuarle un pago de $ 19 000 al inicio del contrato. Considerando que Pa puede invertir el importe de los alquileres que percibir a una tasa efectiva mensual del 5% le convendr la alternativa propuesta? Rpta: No le conviene, por que el valor actual de los pagos es mayor que $ 19 000

    22. Con la fmalidad de disponer de $ 20 000 dentro de dos aos, una persona piensa realizar depsitos mensuales iguales en una entidad financiera que paga una tasa una tasa efectiva mensual del 2.5~1>

    a) Calcular el importe de los depsitos que tendra que efectuar para poder reunir lo planeado. Rpta: $ 618.25

    b) Si despus de haber cumplido con realizar los depsitos hallados en el apartado "a" durante un ao, la TEA baja al 19.56%, se pide hallar los nuevos depsitos por realizar con la fmalidad de disponer de los $ 20 000 planeados inicialmente. Rpta: $ 751.64

    23. Se tiene una deuda de $ 90 000 pagadera mensualmente, durante cinco aos, a una TEA del 16%.

    a) Suponga que luego de transcurridos dos aos, desde que se desembols el prstamo, usted tuvo problemas econmicos que le impidieron pagar las seis cuotas siguientes Cunto tendra que pagar, para ponerse al corriente con el banco, vencido la trigsima cuota? Rpta: $ 13 233.70

    b) Con los datos del apartado anterior, cunto tendra que pagar en ese momento para cancelar el total de su deuda? Rpta: $ 66 487.14

    e) Si suponemos que no cancel las primeras doce cuotas cunto deber pagar cuando venza el dcimo tercer pago para liquidar el total de su deuda? Rpta: $ 105 699.27

    103

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    104

    24. Rafael solicita un prstamo de $ 5 000 el 15 de febrero de 201 O, a pagar mensualmente (plazo fijo)~ en un perodo de dos aos, pactndose una tasa efectiva mensual del 1.6878%. El primer pago se hara en marzo de 20 1 O y el ltimo pago se hara en febrero de 2012, acordndose pagar doble cuota los meses de julio, y diciembre.

    a) Calcule el importe mensual a pagar para los meses ordinarios y para los meses extraordinarios de julio y diciembre. Rpta: $ 219.2 y $ 438.4

    b) Calcule el importe mensual a pagar, para los meses ordinarios y para los meses extraordinarios de julio y diciembre, suponiendo que se le conceden dos perodos de gracia; tanto para el pago del principal como para el pago de intereses. Rpta: $ 239.69 y $ 479.38

    25. Un conocido banco de la localidad vende computadoras en las siguientes condiciones:

    Precio Cash $ 943 fmanciado en 36 meses a travs de cuotas mensuales de $ 39 cada una, a la mejor tasa del mercado (1.1715% mensual).

    A cunto ascendera la cuota mensual a pagar, "s efectivamente me estuviesen cobrando" dicha tasa de inters mensual? Rpta: R = $ 32.21

    26. Mario contrae una deuda con el banco por $ 1 O 000 pagaderos mensualmente, durante cinco aos, a una tasa efectiva anual del 26.8242 %. Al fmalizar el segundo ao, luego de haber efectuado el pago correspondiente a dicho mes, se plantea lo siguiente:

    Cunto tendra que pagarle al banco en ese momento, para que a futuro sus cuotas de pago mensuales asciendan slo a $ 200? Rpta: $2 234.86.

    27. Usted contrae una deuda con el banco por$ 40 000 pagaderos en 5 aos mensualmente a una tasa efectiva anual (TEA) del12.6825%. Suponga que luego de cancelar la cuota correspondiente al vigsimo cuarto mes, usted tiene problemas fmancieros que le

  • Anualidades

    obligan a pedir un refmanciamiento, consistente en pagar su deuda pendiente en seis aos. A cunto ascendera el nuevo pago mensual a pagar, luego de aceptarse el refmanciamiento de la deuda, a la TEA inicialmente pactada? Rpta: $ 523.72

    28. S mis ingresos slo me permiten pagarle al banco $ 300 mensuales, y deseo endeudarme por un lapso de 2 aos. Cunto es lo mximo que podra pedirle prestado a dicha institucin, teniendo en cuenta que la tasa efectiva mensual que me cobran es del 1.25 %? Rpta: $ 6 187.27

    29. Se quiere comprar al crdito una camioneta cuyo precio cash es de $ 20 000, bajo las siguientes condiciones: cuota inicial de$ 5 000 y el saldo a pagar en 24 mensualidades iguales con un inters mensual del 2%. Al preguntar el cliente a cunto ascenderan las cuotas mensuales a pagar, el vendedor procede a efectuar su clculo de la siguiente manera:

    R = 15 000+15 000*0.02*24 =925 24

    El cliente dubitativo se pregunta lo siguiente:

    a) Cul es el costo efectivo mensual de este crdito? Rpta: 3.407082%

    b) A cunto ascenderan las cuotas mensuales a pagar si, efectivamente, me estuviesen cobrando un inters mensual del 2%? Rpta: $793.06

    30. Usted contrae una deuda con el banco por $ 40 000 pagaderos mensualmente, durante diez aos, a una tasa efectiva anual del 19.5618 %. Suponga que usted dej de pagar las cuotas 36, 37, 38 y 3 9 y que desea cancelar, al fmal del periodo cuarenta, todas ellas junto con las restantes. Cunto tendra que pagar en total para liquidar su deuda? Rpta: $ 37 161.06

    31. David Alczar solicita un crdito por S/. 120 000, a pagar mensualmente durante un ao, a una tasa efectiva mensual del3%.

    105

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    106

    Suponga que junto con el pago de la cuarta mensualidad desea prepagar (amortizar) S/. 30 000 adicionales de su crdito.

    a) Calcular el saldo de su deuda despus de realizado el prepago. Rpta: S/. 54 625.55

    b) Calcular la nueva cuota mensual a pagar en los ocho meses restantes. Rpta: S/. 7 781.76

    e) S despus del prepago el seor Alczar desea seguir pagando la misma cuota mensual que vena pagando, en cuntos meses ms terminara de cancelar su crdito, y a cunto ascendera la ltima cuota mensual a pagar. Rpta: Terminara de pagar aprox. dentro de cinco meses, y la ltima cuota mensual a pagar ascendera a S/. 11 3 77 .41.

    d) S despus de realizado este prepago de S/. 30 000, hubiese acordado con el banco continuar pagando a partir del mes ocho, De qu importe tendran que ser las cuatro cuotas restantes, para que el banco no afecte a su rentabilidad? Rpta: S/. 13 033.76

    e) S al fmalizar el cuarto mes hubiese cancelado el valor actual de las cuotas cinco, seis y siete (S/. 34 100.18), y adems hubiese acordado con el banco continuar pagando a partir del mes ocho, De qu importe tendran que ser las cuatro cuotas restantes, para que el banco no afecte a su rentabilidad? Rpta: S/. 12 055.45.

  • Anualidades

    3.5 Anualidad Ade~antada o Anticipada Es una anualidad cuyo pago peridico se hace al principio de cada intervalo de pago.

    3.5.1 Clculo del Monto o Valor Futuro (S ) Ejemplo: Hallar el monto de una anualidad con pagos peridicos de SI. 1 00 son pagaderos al principio de cada trimestre durante un ao, a una tasa efectiva trimestral del9%.

    Datos: R =100 i = 0.09 trimestral n=4 S=?

    1

    o 100

    Solucin:

    1

    100 2

    100 3

    100 4

    s = IOO(l + o.o9y + 1 oo (1 + o.o9) + 1oo(1 + o.o9f + 1 oo(1 + o.o9y S= 498.47

    Deduccin de la frmula:

    Simblicamente tenemos:

    S= R(1 +i)4 + R(l +iY +R(l +i) + R(l+iY

    Sacando factor comn R e invirtiendo el orden de los factores tenemos que:

    107

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    [ 4 3 2 1] S=R (1+i) +(l+i) +(l+i) +(l+i) Y obtenemos una progresin geomtrica, dentro del corchete, a la que le hallamos su razn geomtrica ( r ), para luego hallar la suma de sus trminos.

    (1 + i)4 r= =1+i (1 +if .

    Primer trmino: a= (1 + i) ltimo trmino: u= (1 + tY La frmula de la sruna de los trminos de una progresin geomtrica fmita es:

    (u* r )-a (1 + i)4 * (1 + i)- (1 + i) (1 + iJ - (1 + i) S= = =~~-~~ (r-1) (1+i)-1 i

    Por lo tanto, reemplazando en la frmula general se tiene que:

    Cuando cuatro es el nmero de perodos; aumentndose n en 1 (n=4+1=5).

    La frmula del monto de una anualidad adelantada cuyos pagos ( R ) son pagaderos al inicio de cada perodo, durante n perodos y a una tasa de inters i , sera:

    [

  • S = 1 OO [..;_(1_+ _o. 0_9~)'*_1 -_(;:.._1 +_O_. 0__:.9 )] 0.09

    8=498.47

    3.5.2 Clculo del Valor Actual (A)

    Anualidades

    Con los datos del ejemplo anterior, hallar el valor actual de dicha anualidad:

    100 100 100 100

    A= 100+ 100 (1 + O.o9r1 + 1 00(1 + 0.09r2 + 100 (1 + O.o9r3 A= 353.13

    Deduccin de la frmula:

    Para obtener la frmula del valor actual, seguimos el mismo procedimiento que seguamos para hallar el monto de una anualidad.

    A= R + R(1+ir1 +R(1 +ir2 +R(l+i)-3

    Sacando factor comn R e invirtiendo el orden de los factores tenemos que:

    A=R[ 1 +(1+ir1 +(1 +ir2 +Cl +ir3 ] Y obtenemos una progresin geomtrica, dentro del corchete, a la que le hallamos su razn geomtrica (r), para luego hallar la smna de sus trminos.

    1 1 . r= = +z (1 +tri 109

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    Primer trmino: a= (1 + ir3

    ltimo tnnino: u = 1

    La fnnula de la suma de los trminos de una progresin geomtrica fmita es:

    (u*r)-a l*(l+i)-(1+ir3 (I+i)-(l+ir3 S- - - ....:.-.-___;..---:.._-'--- (r -1) - (1 + i) -1 - 1

    Por lo tanto, reemplazando en la frmula general se tiene que:

    A= R[-(1 +_i )_i_(l +_i )_' ]

    Cuando cuatro es el nmero de perodos; por lo que disminuye n en 1 (n= 4-1 =3).

    La frmula para calcular el valor actual de una anualidad adelantada, cuyos pagos ( R) son pagaderos al inicio de cada perodo durante n perodos y a una tasa de inters i sera:

    [(1 + i )- (1 + i r(n-l)J

    A=R . l

    Tomando como referencia el ejemplo anterior, tenemos que:

    A= 100[

  • Anualidades

    Datos: A==30 000 n ==4* 4==16

    (1 +TEAi = (1 +i)4

    (1 + o.25i = (1 + i)4 i = 5. 73 7126% trimestral

    Solucin: R[ (1 + o.o5737126)- c1 + o.o5737126r

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    112

    3. Una empresa de confecciones necesita adquirir una nueva mquina para poder incrementar su produccin por lo que har un prstamo de $ 75 000 al Banco Norte que cobra una TEA del 25%. Si las cuotas mensuales iguales anticipadas son de $ 5 676.74. En cuntas mensualidades podr cancelar este crdito? Solucin:

    (1 + o.25Y = {1 + iY2 i =0.018769 mensual

    5 676.74[ {1+0.018769)-{1+0.018769)-{n-l)] 75 000 =----=------------=::.

    0.018769 -o. 77080 =-(1 + o.o18769r

  • Anualidades

    5. CRASA ha lanzado al mercado una campaa para la venta de lavadoras de marca Moraveco, ofreciendo las siguientes condiciones:

    Precio Cash: $ 460, con dos modalidades de pago:

    a) Una cuota adelantada de $ 135 como cuota inicial y cuatro cuotas trimestrales restantes por la misma cantidad.

    b) Una cuota adelantada de $ 11 O como cuota inicial y seis cuotas trimestrales restantes por la misma cantidad.

    Determinar qu alternativa de crdito es la ms barata.

    Solucin:

    a)

    b)

    460

    1------+------+-----l---------11 trimestres o

    135 1

    135 2

    135 3

    135

    135 [ (1 + i) -(1 + i)-(S-l)] 460= .

    l

    4 135

    Se iguala la ecuacin a cero y luego, mediante iteraciones sucesivas o usando una calculadora fmanciera, se obtiene el valor de i que en este caso es igual a:

    i = 23.93% trimestral

    460

    + 1 trimestres o 1 2 3 4 5 6

    110 110 110 110 110 110 110

    11 o[(l + i)-(1 + i)-

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    114

    Le conviene la alternativa "b", ya que cobra una tasa de inters menor.

    6. Miguel Ferr adquiri un prstamo por cinco aos el cual ira pagndolo poco a poco, por medio de pagos de $ 500 al inicio de cada mes. Luego d~ haber cancelado las cuotas correspondientes a tres aos, 11iguel se plantea cancelar el total de su deuda a esa fecha. Cunto tendra que pagar en ese momento para poder liquidarla si se tiene en cuenta que las cuotas fueron calculadas con una tasa de inters del 1.5% efectivo mensual?

    Datos: R=500 n = 2* 12= 24 i = 1.5% mensual

    o

    R

    2

    ,.

    3

    A=?

    34 35 36 58 59 60

    ~

    Solucin:

    500[ (1 + 0.015)- (1 + 0.0 15r

  • - Anualidades

    cierta cantidad de dinero, que es de S/. 800, y por consiguiente quiere pagar todas las cuotas restantes. Podr cancelar dicha deuda con lo que ha sido beneficiado?

    Solucin: R [ (1 + 0.08 )- (1 + 0.08 )-{s-l)]

    1 000= -=---------= 0.08

    R = 231.9041

    Hallamos el valor actual del total de la pensin al segundo mes:

    A= 231.9041[ (1 +0.08)- (1 +0.08)~~~)] 008

    A = 829.53 No podr cancelar el total de su deuda

    8. Pedro tiene que pagar cinco letras, al comienzo de cada mes, por un importe de $ 500 cada una, pactndose una tasa del 3% mensual. Tambin posee en otro banco siete letras con vencimiento cada treinta das de $ 200 cada una, a una tasa de inters del 2.5% mensual, las cuales se empezarn a pagar al fmal de este mes. Si Pedro quisiera pagar todas sus deudas al fmal del quinto mes. Cunto tendra que desembolsar?

    Datos: ~ = 500; R2 =200 i = 0.03; i2 = 0.025 n1 =5; n2 = 7

    115

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    116

    f l TT i SA =? 1 -i

    o 1 2 3 4 5 6 7 500 500 500 500 500

    200 200 200 200 200 200 200

    1 1 l JLlJ t I Solucin:

    x = soo[ (1+ o.m)"1 -(1+ o.m)t 2oo[(1+0.025)' -1 J 0.03 0.025

    2oo[ 1- (t + o.025r2 J +--~----------~

    0.025 %=4170.95

    9. Financiera Continental asigna un prstamo al Sr. Torres por un monto de S/. 22 000, acordando pagarlo en tres aos mediante cuotas mensuales iguales a una TEA del 35.7'%. Luego de efectuado el dcimo octavo pago, dada su insolvencia econmica, el Sr. Torres pide al banco se le otorgue un perodo de gracia de cinco meses, tanto para el pago del principal como para el pago de los intereses. Transcurrido este perodo de tiempo, propone efectuar doce pagos iguales al comienzo de cada bimestre, por el saldo pendiente. El Banco acepta la propuesta del Sr. Torres, pero considerando un aumento de la TEA en un 6.35% aplicados solamente a los doce pagos restantes. A cunto ascendern dichos pagos?

    Datos: A= 22 000 n = 3 * 12 = 3 6 m eses TEA=35.7% R=?

    (t+0.37sy =(l+iY2 i =2.5766% mensual

  • Solucin:

    R[ 1- (1 + 0.025766f36 ] 22 000 = ___:::.. _____ --=::, 0.025766

    R=945.045

    A= 945.045[1- c1 +O.o25766r" J 0.025766

    Anualidades

    A = 13 47 5.42 (Deuda al dcimo octavo mes)

    Deuda al vigsimo tercer mes: S= 13 475.42(1 +0.025766) S= 15 303.25

    Calculamos la i bimestral:

    ( 1 + o .420 5 y = ( 1 + i y i= 6.0247% bimestral

    Por lo tanto: R[ c1 + o.060247 )- c1 + o.o6024 1r(l2-l)]

    15 303.25 = ___:::.. _________ _ 0.060247

    R =: 1 723.93 bimestral

    1 O. Caf Perales reserva $ 15 000 al principio de cada ao, durante cinco aos, para crear un fondo para una futura expansin. Si el fondo gana el 8% efectivo anualmente. Cul ser el monto acumulado al trmino del quinto ao?

    Datos: R =15 000 n=5 i = 0.08

    Solucin: 15 ooo[ (I +O.o8f+l - (1+0.os)]

    S=-------- --0.08

    S ::= 95 038.93

    117

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    3.5.4 Problemas Propuestos de Anualidades Adelantadas

    118

    l. Se desea realizar un viaje a Huaraz, el cual al contado cuesta$ 800. Una agencia de viajes, deseando facilitar el pago, propone no pagar nada ahora y realizar un nico pago de $ 926.1 O a fmales del tercer mes; o si no se desea esta forma de pago, propone realizar diez pagos mensuales al inicio de cada mes. Sabiendo que el cliente acept esta ltima alternativa de pago y que posteriormente desea cancelar el saldo de su deuda al fmal del cuarto mes. Cunto tendra que cancelar para liquidar su deuda, incluyendo la cuota correspondiente a dicho perodo? Rpta: Para liquidar su deuda tendr que cancelar$ 525.84

    2. Un arrendador esperaba recibir el primer da de cada mes una renta de S/. 205 durante cinco aos por una propiedad en usufructo, pero aparece un comprador del inmueble y le ofrece darle S/. 1 O 500 el mes entrante. Aceptara la cantidad y cederle el usufructo del bien por los cinco aos? El costo de oportunidad del dinero es del 9% anual. Rpta: S le conviene aceptar la oferta porque la cantidad ofrecida tiene un valor actual de S/. 1 O 424.86 que es mayor a los SI. 10 028.86 que es el valor actual de la renta esperada en cinco aos.

    3. El Seor Corcuera necesita tener en liD futuro una entrada mensual con el fin de cubrir los estudios universitarios de su hijo. Para esto decide colocar un determinado capital en un banco con el objeto que dentro de cinco aos, al comienzo de cada mes durante ses aos, pueda retirar S/. 600 al mes. Si la tasa efectiva anual es del 15%. Cul es el capital inicial que deber colocar? Rpta: El capital que se deber colocar es de S/. 14 624.38

    4. Juan dej una herencia a su hijo, la cual se invini para ganar una tasa efectiva trimestral del 2%, recibiendo $ 4 469 al principio de cada ao. S gasta dicho monto anual la herencia slo durar doce aos. Cunto fue lo que Juan le dej a su hijo de herencia? Rpta: Juan le dej$ 36 000.

    5. Se vende un inmueble valorizado en $ 500 000, pagndose una cuota inicial de $ 150,000. El comprador acuerda pagar el saldo con un inters del 1.5% efectivo mensual, mediante cuarenta y

  • Anualidades

    ocho pagos mensuales iguales cada uno, al inicio de cada mes. El primero con vencimiento dentro de un ao. Hallar el pago mensual. Rpta: $ 12 110.78.

    6. Koky Rojo se est preparando para dar la Prueba PAE, que de:cidir su ingreso directo a la Universidad de Piura (UDEP). El deseara, a futuro, estudiar su maestra en administracin de empresas en la UDEP y sabe que para ello, adems de ser buen alumno, debe contar con recursos econmicos. Koky deseara cubrir una parte del costo a travs de sus ahorros. Koky quiere saber cunto necesitara ahorrar mensualmente, a partir del 1 de enero de 2005, de rrmnera que cuando termine su carrera tenga ahorrada la tercera parte de lo que ahora cuesta el Master($ 21 000). Tome como referencia que la Caja Rural paga una TEA del 12.6825%; adems, que Koky termina su carrera dentro de cinco aos y que el 1 de enero de 2005 tena ahorrado slo $ 800. Rpta: Necesitara ahorrar mensualmente $ 67 .24.

    7. Sandro Navarro desea adquirir una casa de playa valorizada en $ 40 000. Por contar slo con el20% del valor de la casa, se ve en la necesidad de pedir un fmanciamiento al Banco Espaol, quien le presenta la siguiente modalidad de pago: prstamo por $ 32 000 a pagar en un plazo de cinco aos, a travs de cuotas adelantadas mensuales, calculadas con una TEA del 11.5%.

    a) A cunto ascender cada cuota que tiene que cancelar? Rpta: La cuota ascender a $ 688.45

    b) Pasados dos aos, debido a problemas econmicos, Sandro no puede cancelar las cuotas 25, 26, 27. Si al momento de cancelar la 28 cuota, Sandro decide cancelarla conjuntamente con las cuotas atrasadas. A cunto ascender el pago total? Rpta: El pago total ser de$ 2 791.66

    8. La Sra. Chvez quiere adquirir un departamento y le ofrecen dos alternativas de fmanciamiento:

    Inicial de $ 1 O 000 y 120 cuotas de $ 4 00 mensuales, con una TEA del 9%.

    o Inicial de $ 15 000 y 96 cuotas mensuales adelantadas de $ 400 cada una con una TEA del 9o/o. Cul alternativa le conviene ms?

    119

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    120

    Rpta: Le conviene la primera alternativa.

    9. El Sr. Miano desea obtener un seguro confiable para su fbrica. El gerente fmanciero tiene en su poder tres propuestas que tendr que analizar:

    a) Seguro pagado al contado, cuyo costo anual es de$ 50 000. b) Seguro con pago a plazos durante veinticuatro meses, a una

    tasa nominal del 24% capitalizable mensualmente y eon una cuota constante pagada por adelantado de$ 2695.39

    e) Seguro constituido por una cuota de $ 1 846.26, pagada por anticipado durante treinta y seis meses, a una TEA del

    26,8242

  • Anualidades

    primer retiro lo hace seis meses despus de haber realizado el ltimo depsito. Rpta: R = 1 258.03

    12. Maria Luca hipoteca su casa por un valor de $ 25 000, comprometindose a efectuar pagos mensuales de $ 300 por adelantado, durante veinte aos.

    a) Cul es la TEA que cobra el Banco? Rpta: TEA= 14.4 7%

    b) Al trmino del sexto ao se omiti el pago de las dos cuotas siguientes. Cunto debe cancelar al siguiente perodo para continuar sus pagos normales? Rpta: Debe cancelar$ 910.22

    e) Al trmino del ao doce, antes de cancelar la cuota correspondiente a ese perodo, decide pagar el 50% de la deuda pendiente y cancelar $ 297,40 mensuales a partir de la fecha. Por cunto tiempo ms tendr que pagar hasta cancelar el saldo total de su deuda? Rpta: 36 meses.

    13. La empresa "Zurita." contrae una deuda con el banco por$ 150 000, pagaderos en cinco aos mensualmente y por adelantado, a una tasa del 1.5% efectiva mensual. Al finalizar el tercer ao y despus de haber efectuado el trigsimo sexto pago, se plantea lo siguiente:

    a) Cunto tendra que pagar en ese momento para liquidar su deuda? Rpta: $ 76 296.1

    b) Cunto tendra que pagarle al banco en ese momento para que en el futuro sus cuotas de pago mensuales asciendan slo a $ 2500 y que stas se paguen al final de cada mes? Rpta: $26 220.08

    121

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    122

    14. Perico tiene en su poder los siguientes documentos:

    e Diez letras de S/. 7 000 cada una. La primera vence al comenzar el octavo mes; a partir de la fecha, las siguientes vencen con intervalo de dos meses

    e Adems tiene ocho letras de S/. 9 000 cada una: la primera vence al final del sexto mes; a partir de la fecha, las siguientes vencen con intervalos de tres meses.

    Si la tasa de liquidacin de estos documentos es del 2% mensual, y le ofrecen S/. 100 000 por todo el paquete de documentos Debe aceptar la oferta o no? Rpta: N o debe aceptar la oferta.

    15. El Sr. Campos desea adquirir una mquina cuyo precio al cash es de $ 100 000. Al solicitar informacin sobre el fmanciamiento el vendedor le plantea lo siguiente: Cuota inicial de $ 15 000 y tres alternativas de pago:

    Doce mensualidades de$ 8 037.56 c/u. Dieciocho mensualidades de$ 5 669.67 c/u Veinticuatro mensualidades de$ 4 494.00 c/u

    Luego de escuchar al vendedor, el Sr. Campos le plantea una alternativa de pago diferente que se resume en lo siguiente:

    e Cuota inicial de $ 15 000 e Al fmalizar el segundo mes $ 5 000 Q) Al finalizar el cuarto mes $ 1 O 000 0 A partir del final del quinto mes, ocho pagos adelantados

    iguales bimestrales.

    El vendedor se preguntaba a cunto ascendera ese pago teniendo en cuenta que el costo mensual del fmanciamiento de esa casa comercial era del2%. Rpta: $ 11 202.44

  • Anualidades

    3.6 Anualidades Perpetuas

    Una perpetuidad se define como una anualidad cuyo pago se inicia en una fecha fija y contina para siempre.

    3.6.1 Anualidades Perpetuas Constantes

    Se tiene un pago peridico R al fmal de cada perodo con una tasa efectiva i por perodo:

    A=? R R R R

    t t t t o 1 2 3 4

    El valor actual vendra dado por:

    R R R A= + + +

    (l+iY (1+iY (1+iY Multiplicando ( 1) por (1 + i) :

    Pero,

    A(l+i)=R+ R + R + (l+iY (l+if

    R R R A = + + + .... (1 + i y ( 1 + i y ( 1 + i y

    Entonces remplazando en (2):

    Simplificando:

    A(l+i)=R+A

    A+Ai=R+A

    A= ~

    (1)

    (2)

    123

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    Ejemplo: Calcular el valor terico de una accin, de la que se espera que se pague eternamente unos dividendos ( R) de S/. 0.20 por accin, y cuyo costo de capital ( i ) es del 12%.

    Datos: R =0.20 i= 12% A=?

    Solucin: A=020

    0.12 A =1.6667

    De aqu podemos deducir que una renta uniforme perpetua vencida es el flujo de efectivo que genera en un perodo de tiempo a una tasa de inters sobre una cantidad A donde el nmero de perodos capitalizados es indeterminado.

    Ejemplo: Calcular el importe mensual que se percibir indefinidamente por un depsito a plazo fijo de$ 496 284.57, si se sabe que la TEA que paga J dicha institucin de crdito es del 7 .5%.

    Datos: A= 496 284.57 TEA= 7.5% R =?

    Solucin:

    (1+o.o75Y =(1+iY2

    R=A*i R =496 284.57 * 0.006045 R=3 000

    i = 0.6045% mensual

    Ejemplo: Un padre de familia al fallecer dej en un baneo una cuenta de $ 1 000 000. Si la tasa de inters que se pacto con el banco fue de 8%. Cunto recibir anualmente la familia por intereses?

    Solucin:

    124

    R=A*i R = 1000000 *0.08 R =80000

  • Anualidades

    3.6.2 Anualidades Perpetuas con Crecimiento

    Se tiene una perpetuidad con crecimiento constante g. El flujo se produce al flnal de cada perodo y la tasa efectiva por perodo es i ; por lo que esquemticamente se ilustra de la siguiente manera:

    A=?

    1

    o 1 2 3 4

    El valor actual es: 1 2

    R R (1 + g) R (1 + g) A = + + +

    . (l+ii (1+i)2 (1+i)3

    Multiplicando (3) por ( 1 + i ) tenemos que: l+g

    Pero, 1 2

    R R (1 + g) R (1 + g) A= + , + + ..

    (l+iY (l+iY (l+iY

    Entonces, reemplazado en (4):

    A(~)= R +A l+g (l+g) Agrupando trminos y luego simplificando:

    00

    (3)

    (4)

    125

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    Acl:; )-A= (l:g) A[(::;)-1]- (l:g)

    A(1 +i-1-g )= R 1+ g (1+ g) A(i -g)=R

    A=_B__ l-g

    Ejemplo: Se tienen los siguientes flujos de caja proyectados:

    Ao 1 2 3 4 S 6 flujo 100.00 10S.OO 108.00 110.00 112.00 120.00

    Si la tasa de inters anual es del11 %:

    ... 00

    ... 120.00

    a) Cul ser el valor actual de los flujos proyectados, si se sabe que a partir del ao seis se tiene una perpetuidad? Rpta: 1 040.61

    b) Tomando como referencia los flujos proporcionados en el apartado "a", calcule el valor actual de los flujos proyectados, si se sabe que a partir del ao doce los flujos crecern con una tasa anual del2%? Rpta: 1 125.98

    Ejemplo: Se tienen los siguientes flujos de caja proyectados:

    Ao 1 2 3 4 S 10~.121 ... 110;121 flujo 100.00 102.00 104.04 106.12 106.12 ... A partir del ao cuatro los flujos permanecern constantes hasta el ao doce; fecha a partir de la cual los flujos crecern a una tasa anual del 1%. A cunto ascender el valor actual de los flujos proyectados si se sabe que la tasa de inters anual es del 12%? Rpta: 897.22

    Ejemplo: A cunto ascender el valor actual de un flujo de $ 15 000 despus de un ao y una serie de flujos perpetuos $ 1 O 000 a partir del

    126

  • Anualidades

    segundo ao si el costo de oportunidad es de 10% y la tasa de crecimiento de las perpetuidades es 6%?

    Solucin:

    A =15oooct+o.tr1 + 10000 (0.1-0.06) A =13636.36+250000 A =263636.36

    3.6.3 Anualidad Perpetua Constante Adelantada

    El valor actual de una perpetuidad cuyos pagos uniformes se efectan por adelantado, es igual al valor actual de una perpetuidad vencida, a la que se le adiciona la renta producida en el momento cero, o sea:

    R A=R+-.

    l

    Tambin se puede hallar A , de la siguiente manera:

    R i A=- donded=-d' l+i

    Entonces, para el clculo de la renta uniforme que al mismo tiempo es perpetua y anticipada, lo haremos a partir de:

    Ejemplo: Una universidad recibi de una organizacin $ 50 000 para la construccin de un nuevo edificio y adems recibir cada fin de ao de forma permanente el rnismo monto. Si la TEA es 15%, a cunto asciende la donacin?

    R C=R+-1

    e = soooo + 50000 0.15

    e =383333.3

    127

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    Ejemplo: Cul debera ser el precio de venta de un terreno por el cual S"el recibe un alquiler anual adelantado de$ 35 000, si el costo de oportunidad es de 1.5% mensual?

    Datos:

    R =$35000 TEA=(1+0.015)12 -1 TEA= 19.56% i = l. 5 mensual

    C=35000 + 35000 0.1956

    C= 213936.6

    3.6.4 Ejercicios Propuestos de Anualidades Perpetuas

    128

    l. Una compaa de seguros vende una pliza de seguros con las siguientes caractersticas: cobro de una prima constante de $ 80 mensuales durante doce aos; a cambio, la compaa de seguros ofrece pagarte $ 5 000 en el ao trece y de abi en adelante $ 100 mensuales de por vida. Es conveniente tomar el seguro si la tasa de inters es de 9% efectiva anual? Rpta: No le conviene tomar el seguro.

    2. Una madre de familia gana actualmente S/. 3 500, y desea ahorrar desde ahora para poder afrontar gastos cuando sus hijos ingresen a la universidad. A partir del siguiente mes se propone ahorrar el 1 0% de su sueldo en una cuenta bancaria que le paga una TEA del 12%, y el banco le ofrece las siguientes alternativas de pago:

    a) Retirar todo el dinero en el ao quince, para lo cual el banco le asegura una TEA preferencial de 15%.

    b) Retirar el dinero en cuotas mensuales despus de quince aos de aporte, en el cual el banco se compromete a pagarle S/. 400 mensuales que se incrementarn en 0.1% cada mes y de por vida. Qu alternativa recomendara? Rpta: Le recomendara la primera alternativa.

  • Anualidades

    3. Juan Pablo acaba de ganarse la lotera, y en breve tendr que decidir cmo va a cobrar el dinero ganado. La empresa que le vendi la lotera le ofrece las siguientes alternativas de pago:

    a) Quince cuotas mensuales de S/. 60 000. b) Cobrar mensualmente y de manera perpetua cuotas de

    S/. 5 000. e) Solamente cobrar ocho cuotas anuales de S/. 130 000. d) Cobrar un milln de soles despus de tres aos. Si la TEA es del 8.75% Qu alternativa le recomendara? Rpta: Le recomendara la primera alternativa.

    4. Como ganador de un concurso de cereales para desayuno, usted puede elegir uno de los siguientes premios:

    a) $ 100 000 ahora. b) $ 180 000 dentro de cinco aos. e) $ 12 000 anuales a perpetuidad. d) $ 19 000 durante cada uno de los prximos diez aos. e) $ 7 600 el prximo ao, y aumentar despus los pagos en un

    5% anual durante toda la vida.

    Si el tipo de inters es de 12% anual Cul es el premio ms valioso? Rpta: El premio ms valioso es del apartado "e".

    5. El Sr. lvarez recibi una herencia de su hermano, mediante la cual se le entregarn el da de hoy $ 100 000 y al final de cada mes recibir $ 30 OO. Considerando una tasa de inters de 1.5% mensual. Determinar el monto total de la herencia que recibi el Sr. lvarez. Rpta: El importe de la herencia es de$ 2 100 000.

    6. Cul es la tasa de inters que se debe exigir a una inversin de S/. 30 000 para recibir al fmal de cada ao S/. 8 500? Rpta: Una TEA de 24.25%

    3.6.5 Aplicaciones de Anualidades Perpetuas enAcciiones y Bonos

    Generalmente cuando se transan diferentes activos fmancieros, tales como bonos y acciones, estos tienen como caracterstica especial de que, a veces,

    129

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    los flujos se consideran perpetuos; por lo que es necesario la aplicacin de las formulas de anualidades perpetuas que hemos deducido anteriormente:

    Acciones:

    Una accin es un instrumento de renta variable y de mayor riesgo en comparacin con otros activos fmancieros. Las acciones suelen defmir el pago de un dividendo como retribucin al capital invertido por los accionistas de la empresa. A veces, este dividendo se considera perpetuo, ya que la empresa tiene una vida til ilimitada. Utilizando la fonnula de Gordon & Shapiro, se puede encontrar el precio tentativo de una accin teniendo en cuenta los pagos de dividendos futuros que realizar la empresa para los siguientes aos:

    n _ rrA _ Div1 Div2 Div3 Div4 r, - r .11 - + + + +

    o (1+i) (1+iY (1+iY (1+iY Donde

    Po : Precio de la accin.

    i : Tasa de inters que sirve para actualizar los pagos de dividendos futuros.

    Div 1 : Dividendo que paga la empresa en el periodo l.

    Div2 : Dividendo que paga la empresa en el periodo 2.

    Si consideramos que el dividendo que paga la empresa en cada perodo es constante, entonces tenemos:

    n rr'A Div1 Div 2 Div 3 Div 4 r 0 =r .. = + + + -+ (1 + i) ( 1 + i y ( 1 + i y ( 1 + i y

    Donde se deduce que esta sumatoria que tiende al infinito se puede simplificar a la siguiente expresin:

    R = Div1 o .

    l

    De esta ecuacin se podra deducir la rentabilidad esperada de una accin, conociendo el precio y el dividendo que se paga en el perodo 1 es:

    130

  • Anualidades

    . Div1 1=--~ Fa

    Muchas empresas generalmente no pagan dividendos constantes sino que establecen un dividendo diferenciado, donde ste va creciendo de acuerdo a una tasa de referencia que se asume y que viene dada por la variable g ; entonces nuestra derivacin de la frmula quedar expresada de la siguiente manera:

    De acuerdo a la derivacin anterior se conoce que esta sumatoria se simplifica a la siguiente expresin:

    P = Div 1 ; donde se debe cumplir que i > g o

    z-g

    Si se desea conocer la rentabilidad esperada de la accin que paga un dividendo que crece a tasas constantes dadas por g, tenemos:

    . Div1 1=--+g Po

    Esta valorizacin de acciones nos permite tomar decisiones de inversin en un mercado de capitales. Por ejemplo, si se compara el precio de la accin obtenido por la fnnula de Gordon & Shapiro con el precio que se lista en una Bolsa de Valores ( Pm ) podemos decir si la acein esta subvaluada o sobrevaluada, vea:mos:

    Si ~ > P,.n se dice que la accin se encuentra subvaluada, lo que es recomendable cmnprar la accin ya que se espera que aumenten por los fluj os de dividendos que ofrece pagar a futuro.

    Si Po < Pm se dice que la accin se encuentra sobrevaluada por lo que es recomendable vender para aprovechar la oportunidad que me est brindando el mercado, ya que su verdadero precio es menor de acuerdo al flujo de dividendos que se esperan obtener.

    131

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    Donde

    Po= Precio de la accin obtenido aplicando la frmula de Gordon & Shapiro.

    p : Precio de mercado de la accin que se lista en una bolsa de valores. m

    Ejemplo: La empresa Backus est pagando actualmente un dividendo de S/. 1.5 y espera que crezca de manera perpetua a una tasa del3% anual. Si hoy la tasa de inters es del 8% anual y se est cotizando en la bolsa de valores a un precio de S/. 25 Qu decisin debera tomar el inversionista?

    Solucin: Div0 = 1.5 Div1 = Div0 (1 + g )= 1.5 (1 + 0.03)= 1.545

    Fa = Divt = 1.545 = 30.90 i- g 0.08-0.03

    Lo que debera hacer el inversionista es comprar la accin ya que se encuentra subvaluada y tiene la oportunidad de comprarla a S/. 25, cuando su verdadero precio es de S/. 30.90

    1 Ejemplo: Los nuevos accionistas de la empresa Ferreyros esperan que el dividendo que se pat,TUe el siguiente ao sea de S/. 4.8, y que ste crezca de manera perpetua a tasas del 5% anuaL Ellos han pagado por la accin S/. 52.5 y consideran que es un precio justo. Cul es la rentabilidad anual esperada por los nuevos accionistas de Ferreyros?

    Solucin:

    i = Div1 + g = 48 +0.05=0.1414 Po 52.5

    Los accionistas esperan obtener tma rentabilidad anual de 14.14%.

    -l Ejemplo: Se tiene la siguiente informacin burstil de los diferentes 1 activos financieros que posee en cartera un inversionista: ___ j 132

  • Anualidades

    Acciones Precio Bolsa Div0 G ------------------- -

    -

    - - --- --

    VOL CAN 50.8 3.5 2% EDEGEL 4.2 0.8 o TEXTIL PlURA 2.8 0.5 o BUENAVENTURA 18.6 3.6 2% UNIVER'iAL TEXTIL 12.5 4.8 1%

    Si hoy la tasa de mercado es de 2% efectiva mensual. Y los dividendos se cancelan una vez al ao. Qu acciones le recomendara vender al inversionista?

    Solucin:

    Como los dividendos que se estn cancelando se estn desembolsando en el ao cero, tenemos que encontrar los dividendos que se cancelaran en el ao 1 aplicando la siguiente frmula: Div1 =Div0 *(1 + g) Entonces, calculando los dividendos para cada accin y el precio de la accin de

    acuerdo a la formula de Gordon y Shapiro que es, p = Div1 tendramos los o 1-g

    siguientes resultados: -.

    Acciones Div 1 g Precio Tenco . .

    ----- ____ !..._ _____ --------------------- --

    VOL CAN 3.57 2% 14.38 EDEGEL 0.8 o 2.98 TEXTIL PIURA 0.5 o 1.86 BUENAVENTURA 3.672 2% 14.79 UNIVERSAL TEXTIL 4.848 lo/o 18.77

    Para el clculo del precio terico se ha tomado la tasa de mercado anual (TEA) que es de 26.82%. De los resultados obtenidos se recomienda al inversionista vender las siguientes acciones: VOLCAN, EDEGEL, TEXTIL PIURA y BUENAVENTURA ya que el precio terico es menor al precio que se negocia en bolsa, por lo tanto la accin est sobrevaluada y debe aprovechar la oportunidad que le da el mercado para venderlas y obtener una ganancia adicional. La accin de UNIVERSAL TEXTIL se encuentra subvaluada porque su precio es mayor al precio que se negocia en bolsa lo cual debe mantenerla en cartera hasta encontrar una oportunidad de ganancia adicional.

    133

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    Bonos:

    Un bono es un instrumento de renta fija que se caracteriza por realizar pagos cada cierto periodo al tenedor del bono; estos pagos son los intereses que cobra el tenedor del bono por haber adquirido este instrumento de fmanciacin. La tasa de inters que paga el bono se denomina tasa cupn y generalmente se cancela en periodos mensuales, trimestrales, semestrales y anuales; adems para efectos de facilitar la negociacin con los inversionistas extranjeros, la tasa de cupn puede ser efectiva o nominal.

    El bono es tm instrumento de fmanciacin, generahnente de largo plazo, y al mismo tiempo es una deuda que adquiere la empresa emisora del bono, ya que tiene que pagar intereses (tasa de cupn) y el principal de la deuda (valor facial). La mayora de bonos tienen un vencimiento defmido, pero hay otro tipo de bonos que se emiten con un vencimiento perpetuo, es decir que pagan el cupn de manera perpetua al tenedor del bono, y a este tipo de bonos es que nos vamos a referir en este captulo.

    Los bonos perpetuos, todava no existen en nuestra economa, pero se emiten y se negocian en economas desarrolladas, tales como las de EE.UU.

    Caractersticas de los bonos perpetuos:

    134

    .,. Valor facial o Valor non1inal (VN ): es el valor de referencia del bono para calcular los intereses que se va a cancelar.

    e Tasa de cupn (a ): es la tasa de inters que se tiene que capitalizar al periodo de pago del cupn para definir el inters que recibir el tenedor del bono, esta tasa puede ser efectiva o nominal.

    Cupn: es el inters recibido por el tenedor del bono.

    Vencimiento: se consideran bonos perpetuos.

    Tasa de mercado (i ): es la tasa de inters que sirve para actualizar los flujos futuros que devenga el bono, siempre se expresa en trminos efectivos, tambin es conocido como el YTM (yield to maturity).

  • Anualidades

    La valorizacin de un bono perpetuo se realiza de la siguiente manera:

    E = VA = Cupn + Cupn + Cupn + Cupn + ... o (1 + i) (1 + iY (1 + i)3 (1 + i)4

    p =VA= Cupn o .

    l

    para d clculo de los cupones se tiene que tomar en cuenta la tasa de cupn, el periodo de pago y el tipo de inters que se paga es decir si es nominal o efectiva.

    Si la tasa de cupn es efectiva: Cupn= [ (1 +a i'm -1 J * VN

    Si la tasa de cupn es nominal: Cupn= !!... * VN m

    Donde m es el periodo de capitalizacin; es decir:

    m= 12 si el pago de los intereses es mensual. m= 4 si el pago de los intereses es trimestral. m = 2 si el pago de los intereses es semestral. m = 1 si el pago de los intereses es anual.

    Muchas veces el inversionista desea saber cul ha sido su rentabilidad anualizada de la negociacin de un bono. Para ello, es necesario definir el periodo de tenencia del bono que es aquel periodo expresado en das, meses o aos desde que compra el bono hasta que lo vende. En base a este periodo de tenencia se calcula el rendimiento corriente de la transaccin (RCYTM) aplicando la siguiente frmula:

    Donde:

    360

    RCYTM = (Ingresos J r -1 Egresos

    T : Es el periodo de tenencia del bono.

    Ingresos : Total de ingresos recibidos por la transaccin del bono que incluye el precio de venta ms los cupones cobrados, llevados a la fecha de venta.

    135

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    Egresos : Es el precio de compra del bono.

    Para calcular los cupones cobrados llevado a la fecha de venta se tiene que aplicar la siguiente frmula:

    , [(1 +i y -1] Cupones cobrados = Cupon * ~ Donde:

    P : Es el nmero de cupones cobrados.

    im : Es la tasa de inters de mercado al momento de la compra, capitalizada al periodo de pago del cupn.

    Ejemplo: Se ha emitido un bono perpetuo con un valor nominal de US$ 1 O 000 que paga una tasa de cupn del 9% nominal anual con pagos trimestrales. Si hoy la tasa de mercado es de 10% efectiva anual A qu precio se estar negociando el bono? S despus de un ao desea vender el bono cuando la tasa de mercado es de 8% efectiva anual A qu precio lo vendera? Encuentre la ganancia o prdida de la transaccin.

    Datos: VN= US$ 10 000 a = 9 nominal anual Perodo de pago = trimestral i = 10% efectiva anual

    Solucin:

    Cupn- 009 * 10 000 = US$ 225 4

    Convertimos la tasa de mercado anual a tasa trimestral:

    i =[ (1 +O.IO(' -1 J = 0.024113689 225 Po= 0.024113689 =9330.80; precio de compra del bono.

    Si despus de un ao lo desea vender cuando la tasa de mercado es de 8% efectiva anual, el precio de venta sera:

    136

  • i= [ (1 +O. os/< -1 J =0.019426546

    Po= 225 = 11582.09; precio de venta del bono. 0.019426546

    Encontrando la ganancia o prdida de la transaccin tenemos:

    Ganancia o prdida = ingresos - egresos

    Ingresos= precio de venta+ cobro de los cupones Egresos = precio de compra

    Anualidades

    Ganancia o prdida= 11 582.09 + 225 * 4-9 330.80= 3 15129

    Si se desea conocer la rentabilidad de la transaccin se tiene que aplicar la siguiente frmula:

    Rentabilidad = mgresos - egresos * 100 egresos

    En este caso la rentabilidad es de 33.77%.

    Ejemplo: Si tenemos la siguiente informacin de un instrumento emitido por una Empresa local.

    Emisor: Telefnica del Per. Tipo: Bono corporativo. Fecha de emisin: Hoy Tasa de cupn: 12.88% efectiva anual pagadero trimestralmente. Periodo de Veto: Perpetuo. Valor facial: S/. 5 000

    a) Si un inversionista desea comprar bonos Cul es el precio del bono, si la tasa de mercado es de 11 .5% efectiva anual?

    b) Si despus de dieciocho meses de haberlo comprado desea vender ej. bono y espera que la tasa de mercado sea del 1 0.24o/, cul ser su RCYTM?

    137

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    Solucin:

    Primero tenemos que calcular el cupn que paga la empresa:

    Cupn= [ (1+0.1288)'~ -1]* 5 000= 153.76 Luego tenemos que convertir la tasa de mercado anual a trimestral:

    =[ (1 +O. uso(< -1] = o.027587273 Con esta informacin, ya podemos calcular el precio de compra del bono:

    p = 153 76 =5573.61 o 0.027587273

    Como existe una nueva tasa de mercado al momento de la venta, se debe capitalizar esta nueva tasa de mercado a trimestral:

    i =[o +0.1024Y~ -1] =0.02467184 Entonces el precio del bono al momento de la venta es:

    R = 15376 =623223 o 0.02467184

    Para el clculo del RCYTM nos falta calcular el valor de los cupones cobrados a la fecha de venta: El inversionista desde que compr el bono hasta que lo vendi, cobr 6 cupones por los 18 meses de tenencia del bono.

    Cupones cobrados= 153.7 6 * = 9 88.58 [(1 + 0.027587273 )6 -1]

    0.027587273

    Aplicando la frmula del RCYTM tenemos

    138

  • 12/

    RCYTM=(6 232.23+988.58)118 -1=0.1884 5 573.61

    La rentabilidad corriente anualizada del inversionista es de 18.84%.

    Anualidades

    Ejemplo: Hace un ao el Banco de Crdito emiti un bono subordinado al 88.5% de su valor facial y con un vencimiento perpetuo. El valor facial del bono es de S/. 10 000 y paga una tasa de cupn del 5.55% efectiva anual pagadero semestralmente. Si despus de dos aos de haberlo comprado lo desease vender cuando la tasa de inters de mercado fuese del 6.96% efectiva anual, cul sera su RCYTM?

    Solucin:

    Primero tenemos que calcular el cupn que paga el Banco:

    Cupn=[(1+0.0555)'V, -1}10 000=273.75

    Como el problema ya nos est dando el precio de compra que es el 88.5% de su valor facial entonces el inversionista habr pagado por cada bono 8 850 nuevos soles.

    Para encontrar el precio de venta tenemos primero que encontrar la tasa de mercado capitalizada semestralmente; o sea:

    i= [ (1 +0.0696)v, -1 ]=0.034214677

    Con esta infor.macin ya podemos calcular el precio de venta del bono:

    p = __ l-73 7~-- = 8000.95 o 0.034214677

    Para el cleulo del RCYT.IVI nos falta calcular el valor de los cupones cobrado a la fecha de venta:

    El inversionista desde que compr el bono hasta que lo vendi cobro cuatro cupones por los dos aos de tenencia del bono, pero nos hace falta la tasa

    139

  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

    de inters de mercado a la cual se negociaron los bonos en el momento de la compra la cual la podemos hallar de la siguiente manera:

    Donde la tasa de mercado semestral al momento de la compra fue de 0.030932203 que es la tasa que utilizaremos para llevar los cupones cobrados a la fecha de venta.

    Cupones cobrados =273.75 * =1146.86 [(1 +0.030932203) -1]

    0.030932203

    Aplicando la frmula del RCYTM tenemos:

    V

    RCYTM =(8 000 95 + 114686 J2 -1=0.016686316 8 850

    La rentabilidad corriente anualizada del inversionista es de 1.67%.

    3.6.6 Ejercic~os Propuestos de Anualidades Perpetuas con Acciones y Bonos

    140

    l. Backus est a punto de pagar un dividendo de tres soles por accin. Los inversionistas prevn que el dividendo anual se incrementar un 6% cada ao y para siempre. La tasa de inters aplicable es del 11% Cul sera el precio de la accin el da de hoy? Rpta: 63.6

    2. La empresa Calixto se disculp ante sus accionistas, en su informe corporativo ms reciente, por no haber pagado un dividendo.. El informe indicaba que la gerencia pagara un dividendo de dos soles, el prximo ao. A partir de entonces, el dividendo se incrementara 4% cada ao de manera perpetua. Cunto debera pagar por una accin Calixto, si la tasa de descuento es del 12%? Rpta: 25

  • Anualidades

    3. Se espera que Telefnica pague un dividendo de 5.5 soles por accin el prximo ao. Tambin se espera que este dividendo crezca a una tasa anual del 8% y de manera perpetua. Qu precio esperara que tenga la accin de Telefnica, si la tasa de descuento apropiada es del12%? Rpta: 137.5

    4. Suponga que un inversionista acaba de pagar cincuenta soles por accin del capital de la empresa Casa Grande. Este capital pagar un dividendo de dos soles por accin el prximo ao. Se espera que este dividendo crezca con una tasa anual de 10% para el futuro inmediato. El accionista piensa que pag el precio adecuado, considerando su valoracin de los riesgos de la empresa. Cul es la tasa anual de rentabilidad que espera este accionista? Rpta: 14%

    5. Si tenemos la siguiente informacin de un instrumento emitido por una Empresa local:

    Emisor: Backus Tipo: Bono Corporativo Fecha de emisin: Hoy Tasa de cupn: 8.12% nominal anual pagadero trimestralmente Periodo de vencimiento: indeterminado Valor facial: US$ 5 500 Tasa de mercado (TEA): 9.6%

    A qu precio he comprado el bono? Si despus de tres aos lo deseo vender cuando la TEA de mercado sea del 12%. Encuentre el precio de venta. Cul ha sido la ganancia o prdida de la transaccin? Rpta: ~ =4 816.36; ~ =3 885.188; Ganancia =408.628

    6. Un inversionista ha comprado un bono perpetuo en$ 9 859.79 hace nueve meses y este bono tiene un valor facial de $ 1 O 000 que paga una tasa de cupn del 5.96% efectiva anual con una periodicidad mensual. Si hoy lo desea vender y la tasa de mercado es de 7% efectiva anual. Ha sido beneficiosa la transaccin para el inversionista? Rpta: No ha sido beneficiosa la negociacin.

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  • MATEMTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

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    7. Encontrar el precio a la cual se est negociando un bono perpetuo que paga una tasa de cupn del 12% efectiva anual con pagos semestrales y tiene un valor facial de $ 1 000 si la tasa de mercado es de 11% efectiva anual. Rpta: 1 088.3896

    8. Hoy se est negociando un bono perpetuo con las siguientes caractersticas:

    Valor facial: US$ 5000 Tasa de cupn: 6.89% nominal anual Periodo de pago: anual

    Si actualmente las tasas de mercado ascienden a 8% anual Cul es el precio que debe pagar un inversionista por adquirir los bonos? Si despus de tres aos de haber comprado el bono, desea venderlos y la tasa de mercado es de 7.3% anual, encuentre la rentabilidad de la transaccin. Rpta: ~ =4 306.25; RCYTM=10.67%

  • Anualidades

    3.7 Factores financieros