Visite: http://economistasonline.blogspot.com 1 | P g i n aECONOMISTAS ONLINE ANUALIDADESGENERALES Victor Hugo Carranza Serna Visite: http://economistasonline.blogspot.com 2 | P g i n aECONOMISTAS ONLINE ANUALIDADES GENERALES Mientras que en una anualidad simple es un conjunto dedos o ms flujos de efectivo, en el que a partir del segundo, los periodos de esta tasa y de renta son del mismo plazo y losimportes de cada flujo o renta son uniformes, una anualidad general es aquella en la cual: Losperiodosdetasaylosperiodosderentanosonnecesariamentedelmismo plazo. Losimportesdelasrentasquecomponenelhorizontetemporalpuedeser uniformes o variables. Figura 1.1.- Anualidad simple cuyos periodos de tasa, perodo de renta y susrespectivos importes es uniforme. RR RR RR

0 12 3 4 56 ii ii ii Figura 1.2.- Anualidad general con varios periodos de tasa por uno de renta e importes de rentas uniformes. R 0 1 23 4 56 i ii i i i Visite: http://economistasonline.blogspot.com 3 | P g i n aECONOMISTAS ONLINE Figura 1.3.- Anualidad general con varios periodos de renta por uno de tasa e importes de rentas uniformes. RRRRR R 0 1 2 3 4 5 6 ii Figura1.4.-Anualidadgeneralconperiodosdetasayperiodosderenta iguales, pero con importes de rentas variables. R`R` RR RR 01 23 45 6 Figura 1.5.- Anualidad generales con periodos de tasa y periodos de una renta de diferentes plazos, cuyos importes de renta son variables.Renta5 Renta1Renta7Renta2 Renta3Renta4Renta6 0 123 4 5 67 i = TEA i = TEMi = TETi = TES Visite: http://economistasonline.blogspot.com 4 | P g i n aECONOMISTAS ONLINE Figura 1.6.- Anualidad general cuyos periodos de tasas y periodos de rentas son uniformes y los importes de rentas son variables cada cierto periodo de renta. RR RR R R 0123456 iii iii Como habrpodido verse en los diagramas de series de flujo de renta anteriores al tomarencuentalosimportesdelasrentas,losplazosderentaylosplazosdetasa, puedenpresentarsevarios casos de anualidades generales: Anualidadescuyosimportesderentassonuniformes,perocuyoperiododetasa de renta son diferentes. Pueden presentarse los siguientes casos: -Varios perodos de tasa por periodo de renta, como se presenta en la figura 1.2, enque hay tres periodos de tasa por cada periodo de renta. -Variosperiodosderentaporperiodosdetasa,comosepresentaenla figura 1.3 en que hay tresperiodosde rentapor periodode tasa. -Anualidades cuyos importesde rentas son diferentes, pero cuyos periodos de tasa y periodos de renta son iguales, como se presenta en la figura 1.4, enquelasdosltimasrentasuniformessondiferentesdelascuatro anteriores. -Anualidadescuyos importesde rentasson variables y cuyos periodos de tasayperiodosderentatambinsonvariables,comosepresentaenla figura1.5,enlaquehaycuatroperiodosdetasaysieteperiodosde renta. -Anualidades cuyos periodos de tasa y de renta son uniformes, perocuyos importesderentassonvariablesdeacuerdoconunaleypreviamente establecida(crecientes,decrecientes,variablescadaciertoperiodo, etc.)como sepresenta en la figura 1.6, en que los importes de renta crecen cada dos periodos de renta. Visite: http://economistasonline.blogspot.com 5 | P g i n aECONOMISTAS ONLINE MONTO Y VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD GENERAL Demodosimilaralotrabajadoenlasanualidadessimples,enunaanualidadgeneral puede hallarse su valor futuro, su valor presente y convertir sus rentas variables en rentas uniformes, para transformarlas en anualidades simples. No se generalizanen la utilizacin de factores financieros para hallar el monto y el valor presentedeunaanualidad;sinembargo,silaanualidadgeneralpresentelas caractersticasdelosdosprimeroscasos,cuyoscorrespondientesdiagramassonlas figuras1.2y1.3,laanualidadgeneralpuedeconvertirseenunaanualidadsimpledel siguiente modo: Al transformar las rentas vencida en una renta equivalente vencida que coincida con el periodo de la tasa de inters con el FDFA con factor de distribucin y el FCS con factor de agrupamiento. Si las rentas son anticipadas puede utilizarse el FRC con factor de distribucin de rentas anticipadas y el FAS como factor de agrupamiento de rentas anticipadas. Al transformar la tasa de inters dada, en una tasa equivalente que coincida con el perodo de renta. Efectuandoestaconversinlesonaplicableslasformulasdelasanualidades simples ya sean vencidas, anticipadas o diferidas. Figura1.7.-FDFAaplicadoaRparaconvertirlasenrentasvencidas equivalentesdeimportedexquecoincidenconelplazodela tasa de inters. R R X? x?x? x?x?x? 0 123456 Visite: http://economistasonline.blogspot.com 6 | P g i n aECONOMISTAS ONLINE Figura1.8.-FCSaplicadoaRparaconvertirlasenrentasvencidas equivalentes de importe X que coinciden con el plazo de la tasainters. x? x? RR RRR R

0 123 456 ii Figura1.9.-FRCaplicadoaRaparaconvertirlasenrentasvencidas equivalentes de importante X que coinciden con el plazo de la tasa de inters. Ra Ra X? x?x? x?x?x? 01 23456 i iiiii Figura1.10.-FASaplicadoaRparaconvertirlasenrentasanticipadas equivalentesdeimportexquecoincidenconel plazodela tasa de inters. x=?x=? RaRa Ra Ra RaRa 01 23456 ii Visite: http://economistasonline.blogspot.com 7 | P g i n aECONOMISTAS ONLINE Para hallar las equivalencias financieras, se sugiere convertir la anualidad general en una anualidadsimplealtransformarelplazodelatasadeintersenelplazodelarentay luegohallarsurespectivomontoovalorpresente,comosepresentanenlossiguientes ejemplos. MONTO DE UNA ANUALIDAD GENERAL De acuerdo con lo indicado ya, el monto de una anualidad general se calcularadespus de convertir el plazo de la tasa de la renta (esto significa transformar la anualidad general en una anualidad simple); mediante el FCS. EJEMPLO: Halle el monto quincenal de una serie de depsitos de un 3000, realizados a fin de ao en un banco que los remunera con una TET de 3%. Solucin:laanualidadgeneralconrentasanualesytasatrimestralse transformaenanualidadsimplealconvertirlaTETaTEAyconlosdatos anuales:R=3000;n=5;TEA=1.0341=0.12550881puedeobtenerseSal aplicar la frmula: s? 3000 30003000 30003000 012 3 4n5 aos [[]

] ) ) Visite: http://economistasonline.blogspot.com 8 | P g i n aECONOMISTAS ONLINE VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD GENERAL Sisetransformalaanualidadgeneralenunaanualidadsimplesuvalorpresentese calcula con el FAS. EJEMPLO: Calculeelvalorpresentedeunaanualidadencuyohorizontetemporal anual se realizan pagos vencidos uniformes trimestrales de 2000 um. Utilice una TEM de 1%. Solucin:laanualidadgeneralconrentastrimestralesytasamensualse transformaenanualidadsimplealconvertirlaTEMenTETyconlosdatos trimestrales: R = 2000; n = 4; TET = 1.013 1= 0.030301 se obtiene P al aplicar la frmula [)

)

] 2 000 2 000 2 0002 000 01 2 3 4 [)

)

] ) ) RENTAS DE UNA ANUALIDAD GENERAL Silaanualidadgeneraltienelascaractersticasdelosdosprimeroscasos,se calculasusrentasuniformesalconvertirlaanualidadgeneralenunaanualidadsimpley mediante los factores financieros: FCS, FDFA, FRC o FAS. EJEMPLOS 1.- Remplace pagos de 5000um que deben realizarse al final de cada trimestre por pagosequivalentesqueserealizaranalfinaldecadaquincena,conunaTEAde 15%. Visite: http://economistasonline.blogspot.com 9 | P g i n aECONOMISTAS ONLINE Solucin:laanualidadgeneralconrentastrimestralesytasaanualsetransforma en anualidad simple al convertir la TEA en TEQ y con los datos R = 5000; n=6; TEQ = 1.1516/360 1 = 0.005840403 puede obtenerse la renta uniforme vencida quincenal de importe X con la frmula ( )((

+=1 1niiS R 5 0005 000 x=?x=? x=?x=? x=?x=?x=?x=? x=?x=? x=? x=? n = 2 trim. [ )

]) ) 2.-calculeelimportedelarentacuatrimestraluniformevencidaquedurantedos aos amortice una deuda de 8000um. Para estos efectos utilice una TEA de 15%. Solucin:laanualidadgeneralconrentasuniformesvencidascuatrimestralesse transforma en anualidad simple al convertir la TEA en TEC y con los datos P= 8000; n=6;TEC=1.15120/3601=0.047689553puedeobtenerselarentauniforme vencida cuatrimestral con la frmula 4. R =? R =? R =? R =? R =?R =? 0 123 45 6 P = 8000 R = 80000.047689553 1.0476895536 = 8000 0.1955641365 = 1564.51 Visite: http://economistasonline.blogspot.com 10 | P g i n aECONOMISTAS ONLINE 1.0476895536 1 = FRC (TE1 a TE2 (15%; 360; 120); 6; 8000) ANUALIDADESCUYOSIMPORTESDERENTAS,PLAZOSDERENTAYDETASA SON VARIABLES Existendiversosprocedimientosycombinacionesdefactoresfinancierosquepueden utilizarse para dar respuesta directa al problema plateado; no obstante, en la medida de lo posible, se sugiere tener en cuenta los siguientes pasos: Dibujareldiagramadeflujodecajadelasrentas,ubicarenstetodassus variables y colocar un interrogante en la variable a obtener. Verificar quelosplazosderentayde tasaseanuniformes;siestosplazosno se refieren a una misma unidad de tiempo, se sugiere transformar el plazo de la tasa que corresponde con el plazo de la renta. Silosflujosnosonuniformes,hayquetratardeformarrentasuniformesal descomponerlasdemodoqueformeenelhorizontetemporalanualidades simples, en la medida de lo posible. Establecerlasecuacionesdeequivalenciayresolverlasmediantefactores simples. Losfactoresmltiplessonlosfactoresfinancierosquepuedenagruparse convenientementedeacuerdoconlascaractersticasdelasrentasytasasque intervienen en una anualidad. EJEMPLO 1.-conunaTETde2.5%serequierehallarelvalorpresentedelosflujosdecaja que se realizaran en los das en que se representa en el siguiente diagrama: 20001900 1600 10001000 040 100 170 210360 P =? TET= 2.5%TET = 2.5%TET = 2-5% TET = 2.5% Visite: http://economistasonline.blogspot.com 11 | P g i n aECONOMISTAS ONLINE Solucin: dado que los importes de los flujos de caja y los plazos de renta son variables,puedehallarseelvalorpresenteconelFSAsiseaplicatasas equivalentes para cada uno de los flujos de caja que se hallan en los das 40, 100, 170,210 y 360 respectivamente. P=2000/1.02540/90+1000/1.025100/90+1000/1.025170/90+1600/1.025210/90 +1900/1.025360/90

P = 1978.17 + 972.94 + 954.43 + 1510.42 + 1721.31 P = 7137.26 2.- El 30 de junio la compaa Progreso S.A. estaba reprogramando su presupuesto deremuneracionesalpersonal,elcualascendaa5000umhastaelmesde diciembre.Adicionalmenteaesosimportes,enjulionecesitaran5000umyen diciembre7000um,parapagosde ratificaciny horasextras.Silaempresapuede percibir una TEA de 8% por sus depsitos en un banco, Qu importe colocado hoy 30 de junio le permitir retirar a fin de cada mes los importes de las planillas que se devengaran mensualmente a partir del 30 de junio?. Solucin: 12000 10000 500050005000 5000 30/0631/0731/08 30/09 31/10 30/1131/12 Dado que los importes de los flujos de caja y los plazos de renta son variables, puede hallarse el valor presente con el FSA al aplicar tasas equivalentes para cada uno de los flujos de caja que se hallan al final de cada mes. P = 10000 + 5000 +5000 +5000 +5000 +12000 1.0831/3601.0862/360 1.0892/360 1.08123/3601.08153/360 1.08184/360 P = 9933.95 + 4934.17 + 4902.62 + 4870.24 + 4839.10 + 11537.14 P = 41017.21Visite: http://economistasonline.blogspot.com 12 | P g i n aECONOMISTAS ONLINE 3.- Calcule el precio a pagar por un bono con valor nominal de 10000 um redimible dentrodedosaos,elcualrindeunaTEAde12%ycuyosinteresessepagan trimestralmente. El inversionista desea devengar una TEM DEL 1.5%. Solucin:larectatrimestrales287.37=10000[1.1290/360-1],latasade descuentatrimestraleses0.045678375=1.01531y conelvalorde redencindelbonoalfinaldelsegundoaosetieneeldiagramadeflujode caja siguiente. 10 287.37 287.37 287.37 287.37 287.37 287.37 287.37 287.37 01 23 45678 P =? P =287.371.0456783757 1+ 10 287.371 0.045678375 1.04567837571.0456783758 P = 1689.19 + 7196.47 P = 8885.66 = FAS(TE1 a TE2(1.5%;30;90);7:287.37) + FSA(TE1 a TE2(1.5%;30;90);8;10287.37). CALCULO DE n E i EN UNA ANUALIDAD GENERAL Cuandounaanualidadgeneralhapodidotransformarseenunaanualidadsimple,el clculo de n e i se hace de igual manera que las anualidades simples; sin embargo, si los importes de las rentas, los plazos de las rentasy plazos de tasas son variables, el valor deipuedecalcularsealgortmicamentemediantelafuncinfinancieradeExcel TIR.NO.PER, que en todos los casos devuelve la TEA para un ao de 365 das. EJEMPLO: Un prstamo de 7000 um debe amortizarse en un plazo de 400 das con las cuotas cuyosimportesyvencimientossemuestranenelsiguientediagrama.Serequiere conocer la TEA (en 360 das) que se aplico en esta operacin. Visite: http://economistasonline.blogspot.com 13 | P g i n aECONOMISTAS ONLINE 20001900 1000 1000 1600 0 40100 170 210 400 P = 7000 Solucin:puedeelaborarseunmodeloyutilizarlafuncinfinanciera TIR.NO.PERparacalcularlaTEAde365dasyluegolafuncin personalizada TE1 a TE2 para hallar la tasa equivalente de 360 das, que en presente caso es 14.01%.