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Bosch, M., Gascón, J., Ruiz Olarría, A., Artaud, M., Bronner, A., Chevallard, Y., Cirade, G., Ladage, C. & Larguier, M. (Eds.), Un panorama de la TAD (pp. 431-464) III Congreso Internacional sobre la TAD (Sant Hilari Sacalm, 25-29 enero 2010) Eje 2. Enseñar matemáticas: la profesión y sus problemas CRM Documents, vol. 10, Centre de Recerca Matemàtica, Bellaterra (Barcelona), 2011

Análisis de las praxeologías didácticas: implicaciones en la formación de maestros

Luisa Ruiz Higueras y Francisco Javier García Dpto. Didáctica de las Ciencias, Universidad de Jaén, España

Abstract. This paper addresses the problem of the initial training of prospective primary school teachers. Our aim is to describe and analyse the mathematical and didactic praxeologies in a study process where a dynamic system is modelled. We will focus on

s, in order to draw conclusions for the development of new teacher training initiatives. We will study how

-mathematical and didactic knowledge in the teacher training process. Likewise, we will verify the pertinence and richness of establishing networks between the Theory of Didactic Situations and the Anthropological Theory of the Didactic. Résumé. Ce travail se situe dans le domaine de la formation des professeurs et a pour objectif de décrire et analyser les praxéologies mathématico-di

étude où sont abordé un système dynamique. praxis et du logos didactique du

dispositifs pour la formation des professeurs. En particulier, nous étudierons comment la dialectique des médias et des milieux peut être réinterprétée pour la construction de connaissances mathématiques et didactiques significatives dans le processus de formation des enseignants. De même, nous mettrons en évidence la pertinence et la richesse de la création de liens entre la théorie des situations didactiques et la théorie anthropologique du didactique. Resumen. Este trabajo se ubica en el ámbito de la formación de maestros y tiene como objetivo describir y analizar las praxeologías matemático-didácticas en un proceso de estudio que aborda tareas de modelización de un sistema dinámico de variación. Se hará especial énfasis en la caracterización de la praxis didáctica y del logos didáctico del profesor, con intención de extraer, de este análisis, conclusiones que permitan construir nuevos dispositivos para la formación de maestros, en particular, estudiaremos cómo la dialéctica medios-media puede ser reinterpretada para la construcción con sentido de los conocimientos matemático-didáctico de los maestros. Asimismo, queremos constatar la pertinencia y riqueza del establecimiento de redes entre la teoría de situaciones didácticas y la teoría antropológica de lo didáctico.

Luisa Ruiz Higueras y Francisco Javier García

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Introducción La formación de maestros es uno de los problemas cruciales a los que se enfrenta la didáctica de la matemática. Consideramos que todo intento de construir respuestas adecuadas a este problema implica conocer y analizar en detalle en qué consiste la actividad didáctico-matemática del profesor, tarea que debe ser asumida por la comunidad de investigación. Por ello, nos planteamos como objetivos:

Describir y analizar las praxeologías matemático-didácticas de un proceso de estudio en torno a los primeros conocimientos numéricos, haciendo especial énfasis en la caracterización de la praxis didáctica y del logos didáctico del profesor.

Extraer, de este análisis, conclusiones que nos permitan construir nuevos dispositivos para la formación de maestros. En particular, estamos interesados en estudiar cómo la dialéctica medios-media 1 puede ser reinterpretada para la construcción con sentido de los conocimientos matemático-didáctico de los futuros maestros.

Para ello realizaremos el estudio de un caso concreto: diseño e implementación de un proceso de enseñanza y aprendizaje de la modelización matemática en la educación infantil.2 Aunque la proble-mática asociada no la desarrollaremos aquí en toda su complejidad, mediante el estudio de este caso también abordamos el problema de la transposición didáctica de la modelización matemática en etapas muy tempranas de la educación, problemática que normalmente está ausente en la investigación en el dominio de la modelización y de las aplicaciones. Asimismo, queremos constatar la pertinencia y riqueza del establecimiento de redes entre la teoría de situaciones didácticas (TSD) y la teoría antropológica de lo didáctico (TAD) pues, como afirma Guy Brousseau (2007, p. 50): «La TAD y la TSD se complementan. Pero a mi parecer sería absurdo que nos contentásemos con yuxtaponerlas. En numerosas cuestiones se confunden y deben considerarse al mismo tiempo.»

1. Chevallard (2006). 2. En España, la educación infantil es la etapa educativa que va desde los 3 a los 6 años.

Análisis de las praxeologías didácticas

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1. Estructura praxeológica de la formación de maestros En un trabajo anterior (Ruiz Higueras & García, 2007), presentamos un modelo de referencia que describe cómo se organizan los procesos de estudio mediante los que los maestros en formación construyen los saberes matemático-didácticos. En él se muestra cómo todo maestro en formación se sitúa en la intersección de dos instituciones y de dos sistemas didácticos: uno real, el sistema didáctico de formación (ubicado en una institución de formación de maestros IFM), otro que siempre está presente in absentia, el sistema didáctico escolar (ubicado en una institución escolar IE). La labor principal de la institución IFM es capacitar al maestro en formación para que sea competente en su desempeño profesional en otra institución escolar IE. Esto supone para la insti-tución IFM:

- disponer de un conocimiento adecuado de cómo funciona el sistema de enseñanza de las matemáticas (SEM) y el sistema escolar (SE),

- tener caracterizado el conjunto de saberes didáctico-matemáticos que capacitará profesionalmente al futuro maestro,

- disponer de praxeologías de formación adecuadas para que el alumno-maestro construya con sentido estos saberes y los pueda reconstruir en el medio escolar generando OD que desarrollen una actividad de estudio viva y funcional en la escuela.

Desde el enfoque antropológico se postula que toda actividad de estudio, en cualquier nivel educativo, debe surgir como respuesta a cuestiones cruciales y con suficiente poder generativo. Aplicado a la formación de maestros, se considera necesario, pues, identificar cuestiones proble-máticas de la profesión de maestro lo suficientemente fecundas y «vivas» como para generar procesos de estudio amplios y complejos que eviten, en el medida de lo posible, la atomización, la excesiva compartimen-tación del saber matemático-didáctico objeto de estudio y la monumen-talización 3 de los saberes didácticos.

3. Chevallard (2006) define el fenómeno del monumentalismo como el resultado de la pérdida de las razones de ser de las praxeologías matemáticas que se estudian en la escuela. De forma análoga, consideramos que muy a menudo la formación matemático-didáctica del maestro sufre el mismo fenómeno: la pérdida de las razones de ser que doten


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En este artículo nos aproximamos al problema didáctico y de investigación, formulado desde la TAD:

PFM: Problema de la Formación de Maestros. ¿Cómo concebir, expresar, gestionar y evaluar 4 procesos de estudio (OM, OD) en una institución IFM con el fin de que los sujetos de IFM sean capaces de reconstruir, articular, gestionar y evaluar pares (OM, OD) optimizados en otra institución escolar IE?

Entendiendo que un par (OM,OD) es óptimo si, al menos, satisface los siguientes indicadores 5:

- OM es una praxeología local relativamente completa, - OD es un proceso de estudio que incluye y se desarrolla a partir de la

razón de ser de OM, - OD está diseñado de forma que las diferentes dimensiones o momen-

tos del proceso de estudio estén presentes y desempeñen su adecuada función a lo largo de este proceso.

La investigación desde la TAD ha producido pares (OM, OD) optimizados, pero también gran parte de las ingenierías didácticas diseñadas en el marco de la TSD puede ser considerada como óptima atendiendo a estos criterios.

El problema de la formación de maestros, entendido como un proceso de estudio, se puede modelizar en términos praxeológicos. En Ruiz Higueras y García (2007) propusimos caracterizar la formación de maestros como procesos de estudio 6 de pares (OM, OD). El hecho de

de sentido a los saberes matemático-didácticos que los maestros en formación estudian en las facultades de Ciencias de la Educación. 4. Artaud (2007, p. 244) amplia aún más los verbos de acción: ¿Cómo observar, analizar, evaluar, desarrollar, evitar, y difundir una OM y una OD relativa a esta OM? 5. Estos indicadores son fruto de trabajos de investigación como los de Bolea (2002), Fonseca (2004), García (2005), Rodríguez (2005), Sierra (2006), Ruiz, Bosch y Gascón (2007) o Barquero, Bosch y Gascón (2007). 6. Todo proceso de estudio puede ser descrito en términos de una praxeología didáctica. Para no confundir los procesos escolares de estudio de las matemáticas con los procesos de estudio de los maestros en formación, propusimos denominar a estos últimos praxeo-logías de formación.


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darle una estructura praxeológica, abre una nueva vía para describir, analizar, problematizar, cuestionar, reconstruir, etc. toda propuesta de formación existente y elaborar, mediante un riguroso control científico, nuevas propuestas que puedan completarla y, en suma, optimizarla.

2. Un modelo para describir las praxeologías didácticas Durante un proceso de estudio escolar, un profesor y un conjunto de alumnos participan de forma integrada en un proceso de estudio en el que el profesor lleva a cabo una acción didáctica con el fin de que los estudiantes construyan una organización matemática (en adelante, OM). En la medida en que las características de esta OM condicionan las posibles formas de organizar su estudio (esto es, la organización didáctica OD) y, recíprocamente, las características del proceso de estudio OD condicionan la OM realmente construida, en la TAD se suele describir todo proceso de estudio como un par (OM, OD), lo que permite aprehender de manera conjunta esta dependencia mutua entre lo matemático y lo didáctico.

Describir un proceso de estudio supone pues describir, de forma conectada, la OM en juego y la OD que guía su construcción en el aula. Sin embargo, mientras que la descripción de la OM parece relativamente sencilla y es fácil encontrar descripciones detalladas en muchos artículos y publicaciones relacionadas con la TAD, la descripción de la OD parece mucho más compleja. Las técnicas didácticas parecen más escurridizas. Muy a menudo, tienen una naturaleza básicamente discursiva y, en contraste con las técnicas matemáticas, parecen depender mucho más fuertemente del contexto en el que la acción didáctica se lleva a cabo.

El objetivo de este apartado es elaborar un modelo (tentativo) para la descripción de las praxeologías didácticas, que nos ofrezca una termino-logía común y un conjunto de herramientas teóricas para llevar a cabo esta descripción.

Toda OD implica la existencia de tareas, técnicas, tecnologías y teorías didácticas. Tareas y técnicas didácticas constituyen la praxis didáctica del profesor, mientras que tecnologías y teorías didácticas conforman su logos didáctico. La cuestión que nos planteamos es: ¿con qué elementos describir las praxeologías didácticas? Y en particular,


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¿con qué elementos podemos describir la praxis didáctica? ¿Y el logos didáctico? Para construir este modelo, nos apoyaremos en los trabajos de Gérard Sensevy, Alain Mercier y Maria Luisa Schubauer-Leoni (2000, 2002), de G. Sensevy et al. (2005), de Claire Margolinas (2002) y de C. Margolinas, Lalina Coulange y Annie Bessot (2005).

1.1. Un modelo para describir la praxis didáctica

A la hora de poner en juego un par (OM, OD), el profesor se enfrenta con un conjunto de seis tipos de tareas de acuerdo con las seis dimensiones básicas de todo proceso de estudio 7: «realizar el momento del primer encuentro», «realizar el momento exploratorio», «realizar el momento tecnológico-teórico», «realizar el momento de la institucionalización», «realizar el momento de trabajo de la técnica» y «realizar el momento de la evaluación» (Artaud, 2007).

Con el fin de disponer de herramientas más finas para el análisis de la praxis didáctica del profesor, proponemos usar el modelo desarrollado por G. Sensevy et al. (2000, 2002, 2005). Proponen cuatro elementos que constituyen una estructura básica de la acción del profesor y que pueden ser entendidos como grandes tipos de tareas didácticas: definir, regular, devolver e institucionalizar. Consideramos que esta estructuración básica de la acción, combinada con las seis dimensiones fundamentales del proceso de estudio, nos permite describir con más precisión la praxis didáctica del profesor. Por ejemplo, durante el momento del primer encuentro, el profesor tiene básicamente que definir la situación y los objetos que la integran así como asegurar la devolución 8. Sin embargo, en numerosas ocasiones, el profesor debe reforzar la devolución durante el momento exploratorio e incluso durante el momento del trabajo de la técnica, con el fin de evitar que los alumnos abandonen la situación. Por otro lado, pequeñas institucionalizaciones (de términos, de notaciones, de técnicas, de saberes) son densas en todos los momentos del proceso de estudio. Asimismo, el profesor lleva a cabo la regulación de la relación didáctica de forma continua durante todo el proceso de estudio.

7. Chevallard (2002b). 8. En el sentido de Guy Brousseau (1998).


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Dependiendo del momento didáctico, es responsabilidad del profesor regular las interacciones de los alumnos con la situación de manera que, por ejemplo, exploren la situación y busquen técnicas iniciales (momento exploratorio), o pongan en funcionamiento las técnicas, su alcance, su validez, haciéndolas evolucionar si es necesario (momento de trabajo de la técnica), o se construya un entorno tecnológico-teórico que explique y justifique la actividad matemática realizada (momento tecnológico-teórico).

El modelo de G. Sensevy et al. (2000, 2005) desglosa este primer nivel de estructuración en un segundo nivel en el que se identifican tareas didácticas (o de enseñanza) específicas, entre otras, la tarea de deno-minar, organizar la acción en el medio, analizar la acción, organizar la interacción o la integración de los objetos.

En un tercer nivel de descripción, proponen una categorización de las técnicas didácticas según la tripleta mesogénesis, cronogénesis y topo-génesis (Chevallard, 1985). Sucintamente, para definir, devolver, regular e institucionalizar, el profesor pone en funcionamiento técnicas didác-ticas:

para modificar, cuando es necesario, el medio de la situación (técnicas mesogenéticas),

para organizar, o re-organizar, el reparto de responsabilidades entre profesor y alumnos (técnicas topogenéticas),

para regular el tiempo didáctico (técnicas cronogenéticas).

En una extensión de este modelo, consideramos que también el profesor hace vivir y evolucionar los diferentes momentos didácticos a través de acciones sobre el medio, el topos (suyo y de los alumnos) y controlando el tiempo didáctico. En consecuencia, proponemos usar esta categoriza-ción de las técnicas didácticas para describir y analizar, con más precisión, la praxis didáctica del profesor en el aula.

1.2. Un modelo para describir el logos didáctico

Un marco para estructurar la descripción, explicación y justificación de la praxis didáctica no está explícitamente recogido en el modelo de G. Sensevy et al. (2000, 2002, 2005). Aun cuando los autores se preguntan, en su análisis de secuencias de enseñanza en torno a la


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«carrera al 20», sobre el sistema de creencias del profesor sobre su praxis, consideramos que es necesario un modelo más rico para estructurar y describir el logos didáctico.

C. Margolinas et al. (2005) proponen otro modelo para analizar la actividad del profesor. En un sentido amplio, constituye una referencia para describir las praxeologías didácticas. En su modelo, basado en la estructuración del medio didáctico en la teoría de las situaciones didácticas, los autores proponen cuatro niveles característicos de la acción del profesor (tabla 1).

Nivel +3 Valores y concepciones sobre la enseñanza y el aprendizaje

Es el nivel más general (nivel «noosferiano» o ideológico): reflexión muy general del profesor sobre la enseñanza y el aprendizaje

Nivel +2 Proyecto didáctico global

Concepción general sobre cómo organizar un tema de enseñanza: nociones a estudiar y conocimiento a adquirir

Nivel +1 Proyecto didáctico local Proyecto didáctico específico de una lección o conjunto de lecciones: objetivos y organización del trabajo

Nivel 0 Acción didáctica Interacción con los alumnos, decisiones durante la acción

Nivel 1 Observación de la acción de los estudiantes

Percepción de la actividad de los estudiantes y regulación de su trabajo

Tabla 1. Niveles de la actividad del profesor (Margolinas et al., 2005)

Proponemos usar este modelo para estructurar el logos didáctico del

profesor. Si los niveles 1 y 0 corresponden a acciones que el profesor realiza en el aula, es decir, a su praxis didáctica, y que hemos propuesto analizar a partir del modelo de G. Sensevy et al. (2000, 2002, 2005), los niveles +1, +2 y +3 nos permiten estructurar el porqué de esa praxis, es decir, su logos didáctico.


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2. Descripción de las praxeologías didácticas: el caso de Ana Analizaremos el caso de la profesora Ana 9 usando los modelos teóricos introducidos en el apartado anterior, con el fin de ponerlos a prueba y mostrar su pertinencia para el análisis de la praxeologías didácticas.

Si toda actividad del profesor en el aula puede ser modelizada como un par (OM, OD), entendiendo que OM puede ser una praxeología local (e incluso regional), integrada pues por un conjunto de praxeologías puntuales (respectivamente, locales), entonces no será posible describir y entender la praxeología didáctica de Ana sin explicitar también las praxeologías matemáticas que está reconstruyendo en el aula. Aunque descritas en apartados separados en aras de mayor claridad expositiva, ambas están íntimamente relacionadas.

2.1. Praxeologías matemáticas: un proceso de modelización en torno a un sistema de variación

El proceso de estudio, cuya estructura praxeológica vamos a describir en este apartado, fue diseñado conjuntamente por la maestra y los investiga-dores como un verdadero recorrido de estudio e investigación (García & Ruiz Higueras, 2008). Aunque las limitaciones de espacio no nos permi-ten una descripción detallada de este proceso, consideramos importante, para su comprensión, introducir ciertas características fundamentales de este recorrido de estudio e investigación (REI, en adelante):

Tiene su origen en una cuestión generatriz extra-matemática, que sur-ge en el medio escolar, pero que está relacionada con prácticas que exceden el ámbito escolar.

Introduce un sistema de variación, de origen biológico, que varía en el tiempo, lo que dirige y condiciona toda la actividad matemática, situando en el corazón del proceso de estudio la problemática de la modelización.

Ha sido diseñado para que viva en una institución con características muy especiales, como es la etapa de la Educación Infantil (en España, de 3 a 6 años).

9. Nombre ficticio.


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En el REI que hemos diseñado, el sistema está configurado por una colección de gusanos de seda que va a sufrir una serie de trans-formaciones (metamorfosis) a lo largo de un determinado período de tiempo. Su pertinencia para poder realizar tareas de modelización matemática desde la educación infantil, se justifica porque:

Constituye un medio que provoca gran curiosidad en los niños, lo que permitirá desarrollar una actividad matemática rica y cargada de sentido en esta epata educativa, respetando el principio de enseñanza globalizada de este nivel.

Se trata de un sistema real y auténtico que tiene la gran ventaja de poder «vivir» en el aula para observar su evolución en directo. Además, sus componentes son fácilmente manipulables por los niños, lo que les permitirá validar sus hipótesis y contrastar sus soluciones empíricamente.

Los diferentes estados de este sistema están determinados por diferentes cantidades de magnitudes discretas, es decir, por coleccio-nes de objetos, cuya medida se puede expresar con números naturales.

Se trata de un sistema dinámico: los gusanos de seda se convertirán, pasado cierto tiempo, en crisálidas y, finalmente, las mariposas saldrán de ellas y morirán. Esto significa que los niños deben controlar la evolución en el tiempo de al menos tres colecciones diferentes.

Este primer análisis en la caracterización del sistema constituye un grado 0, paso previo para comenzar el trabajo didáctico por medio del REI. Sin embargo, aún quedan muchas decisiones que tomar, lo que dará lugar a un grado 1.

El grado 1, que correspondió al equipo investigadores-maestra, se identifica con el momento de delimitar las magnitudes que se pondrán en juego y de formular la cuestión generatriz que lance el proceso de estudio del conjunto de praxeologías deseadas. En nuestro caso, para comenzar a articular el trabajo didáctico en el sistema «Gusanos de seda», el primer problema que se plantea es su alimentación, por lo que comenzamos a relacionar entre sí dos magnitudes discretas: gusanos de seda (G) y hojas de morera (H).


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QG: Hoy nos han regalado una caja con gusanos de seda; debemos cuidarlos para que crezcan y se hagan muy grandes ¿Cómo debemos ali-mentar a nuestros gusanos con las hojas de morera para que puedan crecer y desarrollarse adecuadamente?

A partir de esta cuestión, y con objeto de provocar una actividad mate-mática adecuada a las condiciones del sistema didáctico en el que esta tiene que vivir, es necesario introducir ciertas restricciones 10 sobre el sistema:

En primer lugar, se exige una hoja de morera por gusano y día. En segundo lugar, es preciso reponer todas las hojas cada día: sustituir

las hojas viejas por nuevas. En tercer lugar, las hojas de morera hay que pedirlas por escrito al

jardinero del colegio porque subir al árbol es peligroso.

El conjunto de praxeologías u organizaciones matemáticas (OM) a construir depende de cómo se estructure el trabajo de modelización de la comunidad de estudio sobre el sistema «gusanos de seda». Considerando las condiciones en las que esta actividad matemática ha de vivir, hemos identificado, a priori, cuatro organizaciones matemáticas diferentes en torno a los primeros conocimientos numéricos. Antes de describirlas brevemente, es importante destacar que estas praxeologías se construyen de manera integrada a partir del trabajo sobre el sistema, en la medida en que nuevas cuestiones surgen, bien por la evolución del sistema, bien por la acción didáctica de la maestra, bien por ambos factores combinados.

Indicamos a continuación las organizaciones matemáticas mencio-nadas, con sus respectivos tipos de tareas y técnicas:

OM1: Comparación, medida y producción de colecciones (en las familias de conjuntos G y H):

G = Gi | Gi es una colección de gusanos de seda, para i N H = Hi | Hi es una colección de hojas de morera, para i N

10. En general este proceso de estructuración y delimitación del sistema forma parte de todo el trabajo de modelización. Sin embargo, las restricciones de la etapa educativa en la que nos encontramos (educación infantil) nos ha llevado a decidirlo a priori.


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Tipos de tareas: Esta organización matemática surge como primera res-puesta a la cuestión generatriz QG. Contiene tareas problemáticas relativas a la construcción de colecciones equipotentes (en ausencia de una de ellas), comparación de colecciones (diferentes o la misma en dos estados diferentes), cardinación de colecciones, codificación del cardinal de una colección, comparación de mensajes escritos con información cuantita-tiva, etc. Estas tareas, en el nivel educativo en el que nos ubicamos, constituyen verdaderamente cuestiones problemáticas, ya que los niños de Educación Infantil no utilizan espontáneamente la numeración ni emplean óptimamente las técnicas para cardinar (medir) colecciones (como el conteo o el cálculo aritmético, entre otras). Técnicas: Técnicas para comparar y medir colecciones discretas, para codificar y comunicar su medida: correspondencia término a término; correspondencia grupo a grupo; estimación visual, «subitización»; conteo; conteo sobre el soporte «banda numérica» y conteo sobre el soporte «calendario».

OM2: Gestión de un sistema dinámico. Comparación y medida de colecciones en las familias:

11 G = Gi , H = Hi , C = Ci y M = Mi .

En un determinado momento de la evolución del sistema, la colección inicial de gusanos G0 = G(t0) va transformándose en función del tiempo. El sistema, inicialmente estático, se ha convertido en un verdadero sistema dinámico. Desde el punto de vista matemático, la praxeología OM1 en torno a la cuantificación ha evolucionado y se ha ampliado para incluir problemas de estructura aditiva (Vergnaud, 1991). En esta evolución temporal, la colección inicial de gusanos G0 genera las colecciones Gi = G(ti), Ci = C(ti) y Mi = M(ti), de tal manera que hay intervalos temporales en los que coexisten colecciones que pertenecen a las tres magnitudes discretas señaladas, evidentemente, con modifica-ciones en sus respectivas medidas. Se debe controlar la evolución en el tiempo de, al menos, tres colecciones diferentes. En términos de un

11. Las letras de los conjuntos designan gusanos, hojas, crisálidas, mariposas (que poste-riormente se subdividirán en dos colecciones: mariposas vivas y mariposas muertas).


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sistema dinámico, cada estado del sistema se puede describir con el vector (ti, gi, ci, mi), siendo t el tiempo y gi, ci y mi los cardinales de Gi, Ci y Mi respectivamente. Además, una ley conservativa regula el sistema: en cada instante ti, la suma de las medidas de cada colección tiene que ser constante e igual a la medida inicial g0 de gusanos.

Tipos de tareas: En OM2 las tareas se agrupan en torno a la gestión de colecciones en situaciones aditivas (combinación, cambio, comparación). Por ejemplo, dadas dos o más colecciones (visibles o no simultánea-mente), determinar cuál tiene más elementos, determinar la diferencia entre ellas, determinar el cardinal del conjunto unión (Gi Ci Mi); conocido el cardinal de G0, Ci y Mi, determinar el cardinal de Gi, etc. Técnicas: A parte de técnicas para comparar, medir y codificar el cardinal de colecciones discretas (OM1), la actividad matemática se extiende a técnicas de cálculo aritmético: recuperar de la memoria resultados de combinaciones aditivas, técnicas basadas en el conteo (recuento, sobre-conteo, descuento) y técnicas de cálculo.

OM3: Registro de la evolución de diferentes estados del sistema. Construcción de tablas para integrar y gestionar la variación cantidades de las magnitudes: tiempo, gusanos, crisálidas, mariposas.

Esta organización matemática surge como respuesta a la cuestión proble-mática Q3: ¿Cómo describir, registrar y gestionar la evolución de un sistema vivo y dinámico de gusanos de seda?

Tipos de tareas: En OM3 el campo de tareas se amplía con la represen-tación/lectura de datos en tablas y el trabajo sobre la magnitud tiempo: registrar la evolución temporal de diferentes estados del sistema, localizar en una tabla un estado del sistema, determinar la distancia temporal entre dos estados del sistema, determinar y denominar la posición de un estado del sistema dentro de una seriación lineal de estados, etc. Técnicas: En torno a la estructuración de datos en tablas de doble entrada y, recíprocamente, sobre la lectura e interpretación de datos organizados en tabla. En esta situación, una de las razones de ser para la construcción y el trabajo sobre tablas es el registro y la cuantificación del tiempo. Este hecho introduce particularidades importantes al incorporar técnicas primi-


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tivas que los niños usan para cuantificar periodos temporales, basadas en la discretización del tiempo en días y en el empleo del conteo sobre ostensivos como la banda numérica y el calendario.

OM4: Producir conocimiento sobre el sistema (cuando el sistema ya no existe) a partir de los datos del modelo tabular que ha recogido la evolución del sistema.

Esta organización matemática toma pleno sentido en un proceso de estudio como este, en el que la evolución del sistema conduce a su desaparición. Surge como respuesta a la cuestión problemática:

Q4: Una vez que murieron todas las mariposas, ¿cómo podemos construir, entre todos los equipos de la clase, varios murales que muestren con precisión los gusanos, crisálidas, mariposas, que teníamos en una fecha determinada? Tipos de tareas: Producir colecciones que representen al sistema en diferentes momentos de su evolución (estados) a partir de los datos que ofrece la tabla, medir cantidades de tiempo, resolver problemas de estruc-tura aditiva relativos a distintos estados del sistema (combinar, cambiar, comparar), establecer relaciones de comparación entre las informaciones alfa-numéricas contenidas en la tabla Técnicas: Todas las anteriores.

Cabe observar que, en esta última OM, aunque durante todo el proceso de estudio los diferentes objetos matemáticos han ido surgiendo según eran necesarios para controlar la evolución del sistema, ahora toman un sentido muy diferente: en la medida en que el sistema no volverá a existir, los modelos construidos (en especial los modelos tabulares) se convierten en herramientas imprescindibles para aportar datos sobre el sistema.

Por último, consideramos muy importante destacar que el hecho de tomar «en serio» el estudio de una cuestión generatriz implica cierto grado de indeterminación en el proceso de estudio asociado. Por consiguiente, la descripción de tareas y técnicas previas (así como de las tecnologías asociadas, que hemos omitido en este artículo) no debe entenderse como un camino a recorrer por la maestra y los estudiantes,


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sino como la explicitación de las posibilidades que el estudio de un sistema como el de los «Gusanos de seda» ofrece.

2.2. Proceso de estudio: análisis de la praxeología didáctica

El proceso de estudio que aquí analizamos fue implementado por la maestra durante el curso 2008/09. Teniendo en cuenta la riqueza de la cuestión generatriz así como la vida del sistema, el estudio se alargó durante varias semanas por lo que resulta imposible describirlo y analizarlo en su totalidad. En este apartado hemos seleccionado algunos episodios relevantes de dicho proceso de estudio y hemos analizado la praxeología didáctica puesta en funcionamiento por la maestra.

En primer lugar, describiremos y analizaremos los elementos más importantes de la praxis de la maestra cuando estaba dirigiendo el proceso de estudio. En segundo lugar, describiremos y analizaremos los elementos más importantes de su logos didáctico, que explican y justifican su praxis durante el proceso de estudio.

2.2.1. Descripción y análisis de la praxis didáctica de Ana Para analizar la praxis didáctica de Ana identificaremos:

- Las tareas didácticas en función de los momentos de estudio y de las tareas identificadas por Sensevy et al. (2000, 2002, 2005) asociadas a la estructura básica de la acción didáctica: definir, regular, devolver e institucionalizar.

- Las técnicas didácticas en función de su impacto sobre el medio didáctico (mesogenéticas), sobre el topos didáctico (topogenéticas) o sobre el tiempo didáctico (cronogenéticas).

Para describir los episodios, nos basaremos en el auto-relato del proceso de estudio escrito por la propia maestra, en el que recogió no solo la descripción de los acontecimientos, sino también diálogos entre los niños y la maestra, producciones de los niños y sus reflexiones sobre el proceso de estudio vivido (tabla 2).


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EPISODIO 1 Ana: Hoy nos han regalado una caja con gusanos de seda, debemos cuidarlos para que crezcan y se hagan muy grandes. Los niños, durante los días que llevan los gusanos en la clase, al ver que son muy voraces y se comen rápidamente todas las hojas de morera, muestran mucho interés por su alimentación y esto hace que aparezca nuestro primer problema: la gestión del alimento. La maestra, para comenzar a trabajar con los niños en el sistema «Gusanos de seda», el primer problema que plantea es su alimentación, con el propósito de que los niños comiencen a relacionar entre sí cantidades de dos magnitudes discretas: gusanos de seda (G) y hojas de morera (H): QG: ¿Cómo debemos alimentar a nuestros gusanos con las hojas de morera para que puedan crecer y desarrollarse adecuadamente? Ante la gran expectación despertada en los niños y el deseo de poner, sin ningún tipo de control, todos a la vez las hojas de morera en la caja, la maestra indica: Se armó tal confusión, que tuve que mediar. Entonces les dije: Ana: Eh, chicos, ¿qué os parece si ponemos una hoja fresca cada día a cada gusano? Una y solo una para cada gusano. Así, cada uno tiene su comida y todos crecen sin problemas. A todos les pareció una buena idea. Ana: ¿Qué podemos hacer para que todos coman una y solo una hoja y no se nos quede ninguno sin su hoja fresquita diaria? ¿Cómo resolvemos este problema?

TAREAS DIDÁCTICAS

TÉCNICAS DIDÁCTICAS

Realizar el primer encuentro con OM1: Definir la cuestión genera-triz QG del proceso de estudio. Definir el medio: objetos y relaciones entre ellos (sistema de variación). Definir la relación de los alumnos (y la profesora) con el medio: contrato didáctico. Determinar la acción sobre el medio.

Técnicas mesogenéticas: Presentar y describir un medio: la maestra presenta un conjunto de objetos (gusanos) y de declaraciones (cuidar los gusanos, alimentarlos, nuestra responsabilidad ). Enunciar la cuestión problemática QG: iniciación del proceso de devolución. La maestra formula una cuestión muy pertinente con objeto de que los niños se involucren totalmente y «hagan suyo» el problema. Delimitar el sistema e introducir restricciones (una hoja fresca cada día para cada gusano ). Relanzar una nueva cuestión: (¿Qué podemos hacer para que todos coman una y solo una hoja y no se nos


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Devolver el problema: la maestra debe proponer un problema a los niños con la intención de obtener su total adhesión por la gran rele-vancia y significación que tendrá para ellos resolverlo. Llevar a cabo el tránsito entre el primer encuentro y el momento exploratorio. Realizar el momento explo-ratorio (OM1) Re-organizar el medio para la acción. Definir diferentes tipos de problemas. Regular la interacción de los alumnos con el medio.

quede ninguno sin su hoja fresquita diaria?) la maestra, con objeto de clarificar la situación, disminuye la incertidumbre de los alumnos y dota de sentido a la actividad matemática. La maestra cambia el «medio» inicial formulando una nueva cuestión con la intención de que los niños necesariamente modifiquen las técnicas de resolución primitivas del problema propuesto (coger sin el más mínimo control diferentes cantidades de hojas de morera). Técnicas cronogenéticas: Cambiar de momento de estudio: la maestra avanza cuestionamientos nuevos para provocar la emergencia, exploración y construcción de nuevas técnicas. «Esperar el momento propicio»: la maestra deja un tiempo para que «vivan» las técnicas iniciales (sin control numérico) y espera el momento propicio para volver a cambiar el medio, con objeto de provocar la emergencia de técnicas basadas en la cardinación de colecciones. Técnicas topogenéticas: «Fusión topogenética» inicial: la profesora se ubica en el mismo grupo de los alumnos y la disimetría de la relación didáctica es (ficticiamente) borrada (todos debemos, es nuestra responsabilidad ). En este caso realiza un desplazamiento topogenético mediante un «movimiento topogenético descendente». Provoca la organización cooperativa de la actividad en el grupo-clase («los gusanos están bajo nuestra responsabilidad»). Al avanzar el episodio, la maestra ocupa una posición topogenética dual: por un lado, intenta mantenerse en el topos del alumno (ponemos, debemos, resolvemospero, por otro lado, asume su responsabilidad en la gestión de la actividad del aula y reorganiza el medio cuando lo estima oportuno para hacer avanzar el trabajo matemático de los alumnos.

Tabla 2. Análisis de la praxis didáctica de la maestra en el episodio 1


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EPISODIO 2 Cuando se inició la metamorfosis, hubo mucha expectación en toda la clase: Ana: ¿Y cuándo saldrán las mariposas? Raquel: Pues mañana. Mario: No, tardan más días. Ana: ¿Sí?¿Cuántos? Dani: Mi mamá me ha dicho que diez. Ana: Pues yo no lo sé. María: Pues los contamos y cuando salgan ya sabemos cuántos días son. Sobre la marcha la maestra prepara una tabla de doble entrada con la ayuda de los niños y niñas. Y, sin mediar palabra, clava la hoja en el corcho de la asamblea. Mario: ¿Eso qué es? Raquel: ¿Para apuntar? Ana: A ver, he pensado que vamos a apuntar el día de hoy para no olvidarnos, porque

Ana: Aquí apuntaremos la fecha cada vez que tengamos un capullo nuevo. Y cuando salga alguna mariposa, lo apuntamos también. Dani: Eso, a ver si yo tenía razón, verás cómo son diez días. Por suerte, la primera mariposa nació al día siguiente de que el último gusano se encerrara en el capullo. Entonces, la maestra pensó: ¿Cómo conseguir que los niños y niñas fueran autónomos para dar cuenta de la evolución sufrida por la colección de gusanos desde su inicio, señalando todas sus transformaciones? ¿Cómo han ido cambiando? La primera cuestión fue anotar en nuestro cuadrante la fecha y averiguar los días que había tardado la metamorfosis. Para ello fue necesario contrastar las diferentes estrategias que unos y otros ofrecían: Mario: Son tres días. Dani: No, dije yo que diez Dani seguía convencido de que eran diez días; ¿para qué contarlos? María: Los días ya han pasado y no se pueden contar. Ana: Sí que se puede, a ver, ¿cómo sabemos los días que hace que fue mi cumpleaños, que fue hace solo unos días y ya han pasado? Pedro: y unos cuantos se levantaron e iban señalando con el dedo hasta llegar a la fecha de hoy. Ana: Pues esto es igual. A ver, el responsable de hoy, Antonio, dinos tú. Primero tienes que buscar en el cuadro la fecha en que ese gusano hizo el capullo. Antonio: Tiene que ser de los primeros, porque está en la caja marrón. Ana: Antonio: oce días! Todos los niños aceptaron el procedimiento de Antonio para saber los días que tarda la crisálida en transformarse en mariposa.


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TAREAS DIDÁCTICAS TÉCNICAS DIDÁCTICAS

Adaptar la actividad matemática a un medio que evoluciona en el tiempo (sistema dinámico). Realizar los momentos del primer encuentro, exploratorio y de trabajo la técnica (OM3). Regular el medio: Definir y organizar la acción en el medio (nuevas tareas, nuevas reglas, nuevas colecciones, nuevos objetos Institucionalizar técnicas. Redefinir el contrato didáctico. Obtener la adhesión de los alumnos a la nueva situación: mantener la devolución.

Técnicas mesogenéticas: El sistema, puesto que es dinámico, experimenta una evolución que transforma el medio en un doble sentido: Transformación de las colecciones (aparece una nueva colección: «crisálidas»). Emerge el tiempo como una nueva variable del sistema. Relanzar nuevas cuestiones: la maestra produce un nuevo medio caracterizado por: Cuestionamientos nuevos (¿cómo medir el tiempo?). Nuevos objetos (tabla de doble entrada como modelo de la evolución temporal del sistema). Introducción del calendario y banda numérica. En este episodio, la magnitud a cuantificar (tiempo) es intangible. La introducción en el medio de la tabla junto con el calendario y la banda numérica genera la visibilidad de las diferentes cantidades de tiempo y su discretización. De esta forma, la maestra adecua el medio para que el trabajo sobre la magnitud tiempo se pueda realizar a partir de técnicas basadas en el conteo. La maestra gestiona los ostensivos: tabla de doble entrada, banda numérica, calendario. Técnicas cronogenéticas: Cronogenéticamente, la maestra tiene que adaptar el tiempo didáctico a la evolución temporal de un sistema vivo cuyos cambios escapan a su control. Aceleración cronogenética: la maestra debe cambiar de organización matemática al ritmo impuesto por la metamorfosis. Para provocar en los niños la emergencia de una estrategia para medir el tiempo, la maestra procede mediante la técnica didáctica de la resonancia que consiste en provocar la reaparición de una técnica anteriormente utilizada en la clase: recupera una técnica ya conocida (conteo sobre el calendario), recoge de la memoria colectiva de la clase hechos vividos (su cumpleaños), con objeto de ayudar a los niños a disminuir su incertidumbre y reanudar su actividad en busca de estrategias apropiadas. Se trata de la gestión de la memoria didáctica de la clase. Técnicas topogenéticas: Movimiento topogenético ascendente: la maestra asume


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gran parte de la actividad matemática, con objeto de reducir la incertidumbre de los alumnos ante un nuevo medio o ante un nuevo cuestionamiento. Se ubica a gran distancia del topos del alumno, ocupando la posición hegemónica que tiene en el grupo clase, instaurando una diferenciación topogenética extrema. El topos del alumno queda prácticamente limitado a la reproducción de la técnica enunciada por la maestra. El nuevo contrato didáctico establecido deja de ser adidáctico. La maestra, mediante la técnica didáctica de difusión dialógica, retoma una técnica movilizada por un alumno (Antonio) para difundirla a toda la clase, integrándose así en el medio como una técnica institucionalizada (con efecto mesogenético). Sin embargo, observamos que la creación de la técnica por parte del alumno es solo aparente: es en realidad la maestra la que la construye y la presenta a la clase como proveniente de un alumno, minimizando artificialmente la distancia topogenética entre ambos.


EPISODIO 3

A medida que los gusanos se transformaban en crisálidas, y estas ya no las podíamos manipular, porque estaban sujetas con «hilillos» a las paredes de la caja, planteamos la necesidad de cambiar los gusanos a otra caja (de esta forma, conforme los días iban pasando, la colección de gusanos y crisálidas estaba dividida en varias cajas). Ana: ¡Niños! Los capullos no los podemos tocar, no los podemos mover, porque se mueren y no pueden transformarse en mariposas. Cada día que aparecía uno o varios capullos nuevos, los contábamos todos de nuevo, empezando por la primera caja y siguiendo por la segunda, luego, contábamos todos los gusanos que nos quedaban, y escribíamos en una nueva tabla los resultados. Un día hubo una novedad: que Pablo, cuando contaba los capullos, empezaba, sin abrir la primera caja, diciendo «cuatro» y partir de ahí


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seguía contando los de la otra caja. Conservaba el número de capullos de la primera pero no en la segunda, que era la variable. Otros niños y niñas aprendieron a utilizar esta estrategia, era mucho mejor que volver a empezar y ¡salía el resultado bien! TAREAS DIDÁCTICAS TÉCNICAS DIDÁCTICAS

Adaptar la actividad matemática a un medio que evoluciona en el tiempo (sistema dinámico). Realizar los momentos del primer encuentro, explora-torio y de trabajo la técnica (OM2). Regular el medio: Definir y organizar la acción en el medio (nuevas tareas, nuevas reglas, nuevas colecciones, nuevos objetos . Institucionalizar conoci-mientos matemáticos (OM1). Institucionalizar técnicas matemáticas.

Técnicas mesogenéticas: Con el fin de provocar el primer encuentro con OM2, la maestra introduce: Nuevos objetos en el medio (cajas, división de la colección). Una nueva tabla en la que registrar los cardinales de las colecciones según la evolución del sistema. Además, integrado en este nuevo medio, y en relación con el trabajo previo en OM1, la maestra institucionaliza la escritura indoarábiga de los cardinales de las colecciones. En el momento de trabajo de la técnica, un niño usa el sobreconteo. La maestra, mediante la técnica didáctica de difusión dialógica, la presenta al grupo-clase, para que la valide y la acepte. Esta técnica (sobreconteo) queda así institucionalizada (se integra en el medio). Técnicas cronogenéticas: Cronogenéticamente, la maestra tiene que adaptar el tiempo didáctico a la evolución temporal del sistema que escapa a su control. Cambio de organización matemática. La evolución temporal autónoma de este sistema provoca, en este caso, una aceleración cronogenética: la maestra fusiona el primer encuentro con el momento exploratorio, los reduce, asumiéndolos ella, situando directamente a los alumnos en el momento del trabajo de la técnica. Técnicas topogenéticas: Fusión topogenética: la profesora en algunos momentos de este episodio, se ubica como una alumna más en el grupo-alumnos con objeto de borrar (aunque ficticiamente) la disimetría de la relación didáctica («todos contámos», «todos escribimos»conduce a que la maestra, en este episodio, intente llevar a cabo una técnica didáctica de construcción cooperativa de las técnicas matemáticas.



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EPISODIO 4 Ana: Cuando ya se murieron todas las mariposas, decidimos hacer murales gráficos de los diferentes estados de nuestra colección. La maestra eligió cuatro momentos significativos: Cuando solo teníamos gusanos. Cuando comenzaron a hacer crisálidas. Cuando solo teníamos crisálidas. Cuando solo teníamos mariposas, incluidas las muertas que guardábamos para mirarlas después en el microscopio. En su elaboración han intervenido todos los niños pero no todos a la vez, es decir, que han ido pasando por la actividad en grupos de seis o siete, de modo que el mural finalizaba cuando todos los niños de la clase habían aportado su trabajo al mismo.

Lo más interesante de este trabajo es que, cuando un grupo se iba porque acaba su tiempo y llegaba otro, el primer objetivo de este era ver en qué estado se encontraba la tarea, es decir, contar cuántos elementos teníamos ya dibujados, recortados y pegados y cuántos nos quedaban por hacer, por lo que las tablas en las que íbamos anotando las variaciones de la colección

eran imprescindibles, una auténtica herramienta de trabajo. TAREAS DIDÁCTICAS TÉCNICAS DIDÁCTICAS Realizar los momentos del primer encuentro, explora-torio y de trabajo de la técnica (OM4). Organizar y regular el medio. Llevar a cabo una nueva devolución del problema a los alumnos. Dotar de una nueva funcionalidad (razón de ser) a objetos matemáticos previamente construidos. Institucionalizar la tabla de doble entrada como modelo del sistema.

Técnicas mesogenéticas: Construir un nuevo medio, relanzar nuevas cuestiones: una vez que ha desaparecido totalmente el sistema, la maestra tiene que construir un nuevo medio para permitir que siga avanzando la actividad matemática de los niños. Las tablas, que hasta ahora han sido herramientas, se convierten en un auténtico medio a partir del cual la maestra introduce un nuevo problema: reconstruir el sistema en diferentes estados. Integrar organizaciones matemáticas: la maestra articula entre sí OM1, OM2, OM3 constituyendo una nueva praxeología OM4 que amplía e integra entre sí a las anteriores. Reforzar el proceso de devolución: la maestra formula necesariamente nuevas cuestiones para que los niños aborden la tarea de producir colecciones y trata de asegurar la devolución del problema, aún cuando el sistema ya no existe. Gestión de ostensivos: la maestra debe gestionar el ostensivo tabla junto con los ostensivos banda numérica y almanaque.


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Técnicas cronogenéticas: Organiza la reconstrucción del sistema en sincronía con su evolución real en el tiempo pasado. En contraste con la aceleración del tiempo didáctico (aceleración cronogenética) que identificamos en el episodio anterior, ahora la maestra ralentiza el tiempo (ralentización cronogenética), ofreciendo a los niños grandes espacios para desarrollar la actividad matemática (ahora, la presión de la evolución real del sistema ha desaparecido). Promover la secuenciación y articulación progresiva de OM1, OM2, OM3 y OM4. Cambiar de momento de estudio. Técnicas topogenéticas: Construcción cooperativa de las técnicas: la profesora, posicionada como un alumno más, involucra al grupo en la construcción de nuevas técnicas, trata de ponerlo en posición reflexiva e incluso lo hace partícipe en el reparto de tareas. Posición topogenética dual: por una parte la maestra se identifica con el grupo clase y por otra, asume la responsabilidad no compartida de la selección de los estados del sistema a reconstruir.


2.2.2. Descripción y análisis del logos didáctico de Ana En este apartado trataremos de describir y analizar la componente tecnológico/teórica logos didáctico que sustenta la praxis didáctica de Ana. Como afirma Chevallard (2002), las condiciones de la actividad del profesor y las restricciones que pesan sobre ella no se limitan a las que son inmediatamente perceptibles y visibles en la situación de clase, sino que se ubican en niveles anteriores.

Para realizar este análisis utilizaremos el modelo teórico presentado en la sección 3 de este trabajo. La base empírica de nuestro análisis está constituida por la crónica elaborada por la propia maestra y, principal-mente, por las «reflexiones» que escribió al fin de las secuencias vividas en clase, en las que trata de justificar su proceder didáctico. Este análisis descendente del logos didáctico de Ana, nos permitirá aproximarnos a los


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niveles +3, +2, +1 identificados por Margolinas (2005) (el nivel 0, correspondiente a la situación didáctica vivida en clase, ya ha sido analizado en la sección anterior).

La maestra, al comienzo de sus reflexiones, expresa explícitamente sus concepciones sobre la enseñanza y el aprendizaje en general, y de las matemáticas en particular.

«Que sea la propia situación vivida la que provoque que los niños y niñas necesiten la matemática nos parece más que importante, porque facilita un enfoque didáctico alejado del empirismo que tradicionalmente ha estado instalado en la escuela. Nuestros niños y niñas han ido construyendo sus saberes matemáticos para responder a necesidades vitales y utilizándolos para resolver problemas muy importantes para ellos. Debemos huir del empirismo que relaciona error con fracaso. Debemos atender no solo a los resultados, sino sobre todo a los procesos, a las estrategias que los niños y niñas han sido capaces de poner en juego Es muy importante que resuelvan los conflictos en grupo, que se escuchen unos a otros, que razonen en voz alta sus respuestas, que compartan estrategias. Solo así se producirá la mediación y validación entre iguales tan importantes en el enfoque constructivista.» (A, 2008, Anexo 1)

Tras la lectura de estas declaraciones, podemos identificar a la «maestra-noosferiana», Ana, en posición +3: hace explícitas dos tecnologías didácticas basadas en dos modelos diferentes y opuestos de aprendizaje: el modelo que denomina empirista y el modelo constructivista que presenta como óptimo. Si bien, este último no lo nombra explícitamente, sí lo describe, mostrando además, abiertamente, la necesidad de construir con sentido el conocimiento matemático. Tras estas tecnologías didác-ticas que justifican su praxis didáctica, podemos identificar el aprendizaje por adaptación al medio, bajo el marco teórico de la teoría de situaciones didácticas (TSD) (Brousseau, 1998), la significación del proceso de devo-lución en la actividad matemática de los niños y la responsabilidad de la maestra en la generación de conflictos sociocognitivos entre los alumnos (y su posterior validación colectiva).

Es importante señalar que Ana determina explícitamente cuál debe ser la posición de la maestra en la regulación del contrato didáctico: iden-


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tifica con precisión el «topos» del profesor y el «topos» de los alumnos, para hacer vivir en el aula una verdadera situación a-didáctica:

«los niños. Cuanto menos sabe la maestra, más capaces los hacemos a ellos para resolver situaciones problemáticas.»

Estas decisiones y exigencias didácticas revelan que Ana controla su acción didáctica a partir de la TSD y la usa como componente esencial de su logos didáctico. También muestran su determinada opción por el modelo de aprendizaje constructivista, muy valorado en la actualidad por la noosfera para este nivel educativo, lo que evidentemente condiciona su comportamiento y sus decisiones didácticas.

Si descendemos de nivel de análisis, el nivel +2 nos muestra por qué Ana, para que los niños construyan con sentido los conocimientos mate-máticos relativos al dominio de los primeros conocimientos numéricos (en adelante, PCN), proyecta el estudio del sistema «Gusanos de seda» en su evolución temporal y quiere generar toda una serie de situaciones a-didácticas en torno a él.

«Aprovechando que las mariposas ocupaban nuestro quehacer en clase durante estos días, se nos ocurrió llevar gusanos de seda para criarlos, y,

Pero lo que un marco más que idóneo para trabajar el número, la numeración y la aritmética, a partir de los problemas que la crianza de los gusanos nos ofrecía, desde cómo gestionar el alimento hasta cómo llevar el control de los cambios ocurridos en la colección. La cardinación y la numeración han de tener un porqué, una razón precisa, una funcionalidad, tales como conservar los gusanos de seda, poder relatar adecuadamente sus cambios, comparar el número de gusanos con el número de hojas, repartir cantidades, ahorrarnos trabajo en la gestión del alimento de nuestros gusanos, disponer de información precisa sobre todo lo acaecido.» (A, 2008, Anexo 1)

Los conocimientos a los que se refiere Ana pertenecen al dominio de los PCN, considera que los niños los construirán con sentido, ya que responderán a problemas y necesidades vitales, reales y auténticas. Toma


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el sistema «Gusanos de seda» como base idónea para construir toda una familia de situaciones a-didácticas y, así, formar una verdadera situación fundamental en torno a problemas derivados de «criar, alimentar y cuidar gusanos de seda».12 Ana también hace explícita la necesidad de construir las situaciones a-didácticas en torno a dialécticas de acción, formulación y validación:

«Es necesario que los alumnos actúen, hagan, tomen iniciativas, opinen sobre qué posibles maneras hay de resolver un problema: el aprendizaje matemático se basa en la acción, en la comunicación, en la formulación, en la validación.»

Y manifiesta la función del conocimiento matemático como útil de anticipación:

«Hemos de conducir a nuestros niños y niñas desde la manipulación hacia la anticipación, es decir, no debemos solo constatar, o realizar acciones concretas sobre los objetos, sino que debemos usar la matemática para resolver situaciones en ausencia de los objetos: dibujar tantas mariposas como dice el número n del cuadrante sin necesidad de tocarlas, añadir los nuevos capullos a los ya existentes sin necesidad de volver a verlos en las cajas y contarlos otra vez, saber dar cuenta con precisión numérica de todo lo acaecido, cuando ya no existen los gusanos, ni las crisálidas, ni las mariposas.»

Tiene muy en cuenta la necesaria generación de sentido en la construc-ción los conocimientos numéricos que realicen los niños:

«Tenemos que conseguir que los niños acudan al empleo del número y de la numeración porque lo necesiten para resolver un conflicto, una situación, un problema.»

Así como la adecuada gestión que ha de realizar la maestra de conflictos cognitivos:

12. Recordemos la situación fundamental que permite movilizar el número natural como cardinal: una persona debe ir a buscar, en una sola vez, una colección C2 equipotente a una colección de referencia C1. Las colecciones C1 y C2 son visibles y están disponibles simultáneamente en el momento de la validación, pero no en el momento de la construcción. Es decir, mientras la persona construye C2 no puede ver C1.


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«Hemos de diseñar situaciones en que las estrategias antiguas ya no les sirvan para que no tengan más remedio que buscar otras, que les plateen un conflicto cognitivo contra lo que ya saben o dominan, como por ejemplo que no es útil volver a contar los capullos ya contados.»

El análisis del nivel +2 evidencia la significación e influencia que tiene el nivel +3 en la configuración de la acción didáctica de esta maestra. Podríamos postular que Ana llevaría a cabo un proyecto de enseñanza con similares características con cualquier otro conocimiento matemático de este nivel educativo.

Si consideramos que la acción didáctica de la maestra está descrita por un par (OM, OD), confirmamos que Ana ha realizado un verdadero trabajo de transposición didáctica «interna» (Margolinas & Wozniak, 2009) con el fin de elaborar una OD que haga vivir la OM correspon-diente a los PCN. Ha organizado sus sesiones concretas de clase, a partir del sistema «Gusanos», teniendo en cuenta su concepción del aprendizaje matemático (nivel +3) y sus conocimientos sobre la situación funda-mental en torno a los PCN (nivel +2).

Si descendemos hasta el nivel +1, encontramos a Ana ante la necesidad de construir su «proyecto didáctico local». Lo inicia partir de una cuestión generatriz (QG) que permitirá a los niños establecer un primer encuentro con la organización matemática OM1:

QG: Hoy nos han regalado una caja con gusanos de seda, debemos cuidarlos para que crezcan y se hagan muy grandes ¿Cómo debemos alimentar a nuestros gusanos con las hojas de morera para que puedan crecer y desarrollarse adecuadamente?

Con la formulación de esta cuestión, Ana trata de acondicionar un «medio» que provoque en los niños un aprendizaje matemático por adap-tación (TSD), para ello organizando toda una serie de tareas descritas en OM1, OM2, OM3 y OM4 y en los episodios 1, 2, 3 y 4 descritos anterior-mente.

Este conjunto de tareas muestran que Ana, en el nivel +1, pone en relación y hace funcionar los conocimientos matemáticos y didácticos que tiene a su disposición para organizar cada una de las situaciones a-didácticas de la situación fundamental prevista en +2. Además, con


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objeto de provocar una adecuada actividad matemática en los niños, Ana introduce restricciones sobre el sistema, es decir, gestiona adecuadamente las variables didácticas de cada situación, tratando así de que los alumnos las vivan con la máxima adidacticidad posible.

En suma, Ana ha construido un par (OM, OD) óptimo, ya que OM es una praxeología local relativamente completa (OM1, OM2, OM3 y OM4); OD es un proceso de estudio que incluye y se desarrolla a partir de la razón de ser de OM, y, además, OD está diseñado de forma que las diferentes dimensiones o momentos del proceso de estudio están presentes y desempeñan su adecuada función a lo largo del mismo. Más aún, el par (OM, OD) representa un proceso de estudio que permite hacer vivir una verdadera actividad de modelización de un sistema dinámico de variación en la escuela infantil, en el que los alumnos han construido un conjunto de praxeologías matemáticas de complejidad creciente.13

Cabe señalar que Ana no hace referencia, en su crónica, a ningún tipo de documento curricular oficial, lo que se podría interpretar como un indicador del alto grado de libertad que tienen los maestros de este nivel educativo en relación con la organización y progresión de los conoci-mientos matemáticos, con la gestión del tiempo escolar, con la disponi-bilidad y flexibilidad de espacios físicos, con la división de los alumnos en grupos, etc. Esta circunstancia no es nada trivial, ya que ha permitido la «vida» del sistema dinámico «Gusanos de seda» en el aula, sin ninguna restricción institucional (que en otro nivel educativo lo hubiese podido condenar al fracaso). Además, desde la «noosfera», este alto grado de libertad y flexibilidad está legitimado, ya que la sociedad mantiene un contrato con la escuela infantil con cláusulas que no serían aceptables en otro nivel escolar. Por último, destacamos que en este nivel educativo se organizan las diferentes áreas curriculares bajo una perspectiva globaliza-dora, lo que implica que los alumnos puedan realizar recorridos de estudio e investigación sobre sistemas que, en otro nivel, forman parte de áreas desconectadas institucionalmente de las matemáticas. Toda esta ideología «noosferiana», de nivel +3, hace que sea posible realizar una

13. García (2005); García, Bosch, Gascón y Ruiz Higueras (2006).


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verdadera actividad de modelización matemática en el aula de Educación Infantil, tal como lo ha mostrado Ana.

3. Conclusiones: la formación de maestros como una dialéctica de los «medios» y los «media» El trabajo mediante el que Ana genera un proceso de estudio para los primeros conocimientos numéricos en torno al sistema «Gusanos de seda» puede ser reinterpretado a la luz de la dialéctica de los medios y los media (Chevallard, 2006). Como expresa la maestra en su crónica, el objetivo inicial del sistema era el estudio de la metamorfosis. Sin embargo, su intuición sobre las posibilidades (matemático-didácticas) del sistema rápidamente generaron una cuestión problemática crucial, que podemos reformular en los siguientes términos: ¿cómo diseñar un proceso de estudio en torno a los primeros conocimientos numéricos que dé lugar a una actividad matemática significativa a partir del estudio del sistema «Gusanos de seda»?

La maestra construye una respuesta personal R , que hemos descrito ampliamente en los apartados precedentes, retomando y articulando respuestas previas R generadas desde la didáctica de las matemáticas, a las que la maestra ha tenido acceso en su formación inicial y continua.14 Desde el punto de vista del aprendizaje de la maestra, la situación escolar vivida genera un medio no-didáctico a partir del que la maestra ha construido un nuevo saber didáctico-matemático. Como indican Margolinas et al. (2002, 2005), el profesor puede transformar continua-mente su saber en interacción con el medio escolar en el que desempeña su labor profesional. El carácter no-didáctico de este medio hace que las respuestas que genera sean normalmente espontáneas, circunscritas generalmente al nivel de la acción, adquiriendo un carácter implícito y raramente formulado o validado por el profesor, más allá de la mera validación empírica. Sin embargo, en nuestra investigación, el hecho de pedir a la maestra un informe en el que explique y justifique el proceso de

14. Usamos las notaciones R y R en el ámbito de la formación de maestros de modo análogo al uso que figura en Chevallard (2007) en relación con los procesos de estudio de objetos matemáticos.


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estudio diseñado y gestionado en el aula, ha permitido hacerlo explícito, tanto en el nivel de su praxis didáctica como de su logos didáctico.

Este análisis genera una consecuencia inmediata para la formación inicial de maestros: si no deseamos caer en un fenómeno de «monu-mentalismo», que en demasiadas ocasiones impregna la formación didáctico-matemática de los futuros maestros, es necesario hacer que estos saberes surjan con sentido, esto es, como respuestas a cuestiones cruciales para el maestro en formación. Si bien no tenemos una respuesta cerrada sobre cómo organizar las praxeologías de formación de maestros, el análisis precedente nos abre las puertas a dispositivos de formación en los que los maestros en formación construyan respuestas personales R

como resultado de un estudio de respuestas previamente construidas R , en procesos análogos al vivido por Ana. No se trata solo de colocar a los maestros en formación ante la tarea de generar situaciones escolares nuevas sino, de la misma forma que Ana ha mostrado en su protocolo, generar pares (OM, OD) usando con sentido, de manera controlada e intencionada, saberes matemático-didácticos y respuestas previamente construidas.15

El análisis detallado de la praxis didáctica de Ana ha puesto asimismo de manifiesto la enorme complejidad de la tarea profesional de concebir, expresar, poner en funcionamiento y evaluar pares (OM, OD). La gene-ración de una praxis didáctica coherente y explícitamente conectada con un logos didáctico, la sutileza de la gestión de las situaciones en el aula y, en particular, de las técnicas meso-, crono- y topo-genéticas, suponen sin duda un nuevo desafío para la formación inicial y continua de maestros.

Por un lado, resulta ingenuo pensar en poder dotar a priori a los futuros maestros de un repertorio suficientemente amplio de técnicas didácticas meso-, crono- y topo-genéticas. Pero, por otro lado, resultaría irresponsable dejar que ellos las construyan implícitamente (cuando esto sea posible) en su primeros años de ejercicio profesional (como muchos

15. En el caso analizado, tanto las respuestas previas sobre las que Ana ha construido su respuesta como la respuesta misma, están enmarcadas en el marco de la teoría de las situa-ciones didácticas. Sin embargo, consideramos que esta conclusión es generalizable a cual-quier otro marco teórico que ofrezca respuestas previas y permita generar pares (OM, OD) optimizados.


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maestros expresan años después de su paso por las Facultades de Ciencias de la Educación). ¿Cómo resolver este dilema?

Según hemos aprendido en el análisis del caso de Ana, de nuevo proponemos situar la dialéctica medio-media en el centro de la problemática de la formación de inicial del maestro, entendiendo por «media» documentos que recogen el saber que en la actualidad disponemos sobre la generación en el aula de pares (OM, OD) optimizados y por «medio» la generación controlada de situaciones en las que los maestros en formación tengan que estudiar las respuestas proporcionadas por estos «media» con el fin de producir su respuesta personal. Si bien, una vez más, no disponemos de respuestas definitivas sobre cómo llevar a cabo este proceso, consideramos que, análisis detallados de casos como el de Ana constituyen una media privilegiada. Sin embargo, en lo referente al desarrollo de la praxis didáctica de los maestros en formación, y sin intención de caer en un empirismo ingenuo, consideramos indispensables que estos «media» entren en dialéctica con verdaderos «medios escolares», no solo evocados, sino que los maestros en formación puedan vivir. Esto es, dispositivos de formación que integren el trabajo efectivo del maestro en formación dentro del aula escolar y que se conviertan para ellos en un medio antagonista (Margolinas et al., 2002). En este sentido, se podría cuestionar amplia-mente la organización actual del practicum en la formación inicial de los maestros en España así como la concepción «pedagogista» del profesor reflexivo, lo que sin duda excede del propósito de este trabajo.

Este trabajo manifiesta, así mismo, cómo procesos de modelización sobre sistemas de variación complejos pueden vivir en la escuela infantil para que los alumnos de este nivel educativo construyan los primeros conocimientos numéricos. Muestra, además, que los procesos de modeli-zación matemática, desde los primeros niveles escolares, se pueden construir como un proceso de integración y ampliación de praxeologías de complejidad creciente, y que es posible llevar a cabo procesos de estudio estructurados por pares (OM, OD) óptimos. Todo esto constituye, en sí mismo, una aportación significativa puesto que la literatura de investigación en educación matemática en torno a la modelización rara vez considera etapas educativas tan tempranas.


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Agradecimientos Trabajo realizado en el marco del proyecto EDU2008/02750EDUC del Ministerio de Ciencia e Innovación de España.

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