10. Ángulos y Triángulos

Introducción

Cada vez que giramos, generamos un ángulo. Lo mismo ocurre cuando abrimos o cerramos una puerta o con el movimiento de las agujas de un reloj. Para la geometría, el ángulo es un conjunto de puntos y por lo tanto una figura de dos lados.

Cuando medimos (con unidades sexagesimales), en realidad estamos midiendo su abertura. Es de fundamental importancia porque su descubrimiento, hace ya miles de años, le ha permitido al hombre resolver problemas científicos y técnicos, por ejemplo la construcción de herramientas, máquinas y obras de ingeniería.

La primera aplicación de los triángulos fue en el antiguo Egipto, cuando los agricultores lo utilizaron para demarcar sus terrenos luego de las inundaciones del rio Nilo, hoy sabemos que es invalorable a la hora de realizar construcción por ser una figura rígida.

[1]

10.1 Angulo

Definición.- “El ángulo es una porción del plano determinado por dos semi –rectas que tienen origen común”.

El origen “O” de las semi- rectas se llama vértice del ángulo y las semi –rectas OA y OB son los lados del ángulo.

Los ángulos se denotan de las siguientes maneras:

Con una letra griega escrita en el interior (α, β, ɵ…). Con tres letras mayúsculas, una en el vértice y dos en los lados, escribiendo al

medio la letra del vértice. Con un número escrito en el interior del ángulo

[2]

Sistemas de medidas de ángulos.- Entre los sistemas más importantes para medir tenemos:

1.- Sistema sexagesimal.- Este sistema divide a la circunferencia en 360 partes iguales. Cada una de esas partes recibe el nombre de grado sexagesimal o simplemente grado y se lo representa mediante un cero pequeño (°), cada grado a su vez se divide en 60 minutos ('), y cada minuto en 60 segundos (”) igual que en el sistema horario.

[9]

Su sistema de numeración es en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

1 h 60 min 60 s

1º   60'        60''

Operaciones en el sistema sexagesimal

Suma

1er paso

Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

2o paso

Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos.

3er paso

Se hace lo mismo para los minutos.

Resta

1er paso

Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

2o paso

Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

3er paso

Hacemos lo mismo con los minutos.

[3]

2.- Sistema Circular.- En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado "radián". Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.Como la longitud de una circunferencia es 2 radianes, es decir 6.28 radianes, dándole a el valor de 3,14.Un radián equivale a 57°18' (se obtiene dividiendo 360° entre 2 )

[4]

3.- Sistema Centesimal.-La unidad de medida angular es igual al grado centesimal, que equivale a la centésima parte del ángulo recto.

1 ángulorecto100

=1G(Un grado centesimal)

Los submúltiplos son:

1G100

=1M (Un minuto centesimal)

1 M100

=1 S (Un segundo centesimal)

Las unidades de arco en este sistema es el grado centesimal, que es el arco que equivale a las 400 ava s partes de la circunferencia.

1 G=100 M

1 M=100 SEste sistema quiso desplazar con su uso al sistema sexagesimal, pero no resulto práctico porque para su empleo era necesario modificar las tablas y cartas geográficas. Náuticas y astronómicas y cambiar la graduación de muchísimos aparatos.Fue ideado por J.C. Borda, un Geodesta francés y en la actualidad dicho sistema se utiliza en el ejército de su país de nacimiento.

[5]

10.1.1 Clasificación de los ÁngulosLos ángulos se clasifican según su Magnitud, su característica ó su posición.

1.- Según su magnitud pueden ser:a) Ángulo Agudo, Son aquellos que miden menos de 90°.b) Ángulo Recto, Son aquellos cuya medida es igual a 90°.c) Ángulo Obtuso, Son aquellos que miden más de 90°.d) Ángulo Llano, Son los que miden 180°e) Ángulo Cóncavo, Son los que miden más de 180° y menos de 360°

2.- Según su característica los ángulos pueden ser:

a) Ángulos Complementarios, Son dos ángulos cuya suma es igual a 90°.

b) Ángulo Suplementario, Dos ángulos son suplementarios cuando su suma de ambos es igual a 180°.

a) b)

3.- Según su posición, los ángulos pueden ser:

a) Ángulos Consecutivos, son aquellos que tienen su vértice y un lado común.

b) Ángulo Adyacente, son dos ángulos consecutivos cuyos lados no comunes son semi restas opuestas.

c) Ángulos opuestos por el vértice, son aquellos por cuyos lados son semi rectas opuestas.

a) b) c)

<BAC es adyacente con <DAC <1 = <3 y <2 = <4

10.1.2 Bisectriz de un Ángulo

Se llama bisectriz de un ángulo a la semi recta que tiene su origen en el vértice del ángulo y divide a éste en dos partes iguales.

Si el ángulo es β la bisectriz OP divide a β en dos partes iguales a β/2.

Propiedades:

1.- Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

2.- Las bisectrices de los ángulos adyacentes son perpendiculares entre sí.

Axiomas, postulados y teoremas

Axiomas.- Son proposiciones que se aceptan como verdad, son necesarias al empezar una teoría y se aplican de manera general.

Entre los más importantes se tiene:

1. El todo es igual a la suma de sus partes.2. El todo es mayor que una de sus partes.3. Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.4. Cualquier cantidad es igual a sí misma.5. Todo puede ser reemplazado por su igual.

β

6. Si a los dos miembros de una igualdad se suma una misma cantidad: la igualdad de mantiene.

7. Si a los dos miembros de una igualdad se resta una misma cantidad: la igualdad se mantiene.

8. Si a los dos miembros de una igualdad se multiplica una misma cantidad: la igualdad se mantiene.

9. Si a los dos miembros de una igualdad se divide una misma cantidad: la igualdad se mantiene.

Postulado.- Son proposiciones que se aceptan como verdaderas, son necesarias al empezar una teoría y se aplica a una rama particular de la matemática.

Entre los más importantes se tiene:

1. Por dos puntos solo puede pasar una recta.2. Dos rectas que se cortan tienen un solo punto en común.3. La recta es la línea de menor longitud que se puede trazar entre dos puntos.4. El punto medio de un segmento de recta es único.5. La bisectriz de un ángulo es única.6. Por un punto de una recta se puede trazar una perpendicular a ella.

Teorema.- Son proposiciones verdaderas que es necesario su demostración para ser aceptadas como tales. Constan de dos partes.

a) Hipótesis, es lo que se asume como verdad (dato).b) La tesis, es la parte que se quiere demostrar(conclusión)

Ejm. Los complementos de un mismo ángulo o de ángulos iguales son iguales. Todos los ángulos rectos son iguales.

Recíproco de un teorema.- Cuando en una proposición se intercambia la hipótesis y la tesis, se llama Proposición Reciproca y cuando la proposición recíproca es también verdadera, recibe el nombre de teorema Recíproco.

Demostración de un teorema.- En la demostración de un teorema se debe seguir el siguiente procedimiento.

Determinar la hipótesis y la tesis

1. Hacer un dibujo apropiado utilizando notaciones y marcas convenientes.2. Anotar el símbolo de la hipótesis (H) y la tesis (T).

10.2 Triángulo

Definición.- Es una porción del plano limitada por tres rectas que se cortan de dos en dos.

Los puntos de intersección son los vértices del triángulo y los segmentos determinados por los puntos de la intersección son los lados del triángulo.

Los ángulos formados por dos lados del triángulo se llaman ángulos interiores y los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro lado se llama ángulos exteriores.

[2]

10.2.1 Elementos

Un triángulo está formado por elementos primarios y secundarios:

Elementos primariosCorresponden al vértice, lados, ángulos interiores y ángulos exteriores.Vértice; son los puntos de origen de los segmentos se denotan con letras mayúsculas A, B, C…Z.

Lados; son los segmentos de la poligonal. Se designan por las dos letras de sus extremos coronadas por un pequeño trazo:

— — — — —AB, BC, CA, ... XY, YZ

o por una letra minúscula (a, b, c) que corresponde a la letra que nombra el vértice opuesto (A, B, C).

Ángulos interiores; Son aquellos formados por cada par de lados consecutivos del triángulo. Se denominan por tres letras mayúsculas de los vértices o por una letra griega ubicada entre los lados del ángulo.Teorema. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

Ángulos exteriores; son ángulos formados por un lado del triángulo y la prolongación de otro hacia la región exterior.

Se denotan generalmente por la letra del ángulo interior adyacente con su sub índice o con letras griegas. Teorema. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°

Elementos SecundariosEn estas se encuentran la Mediana, Bisectriz Interior, Mediatriz y Altura

[6]

10.2.2 Clasificación

Se clasifican por sus lados, por sus ángulos.

1. Por sus ladosa) Triángulo Escaleno, tiene tres lados desigualesb) Triángulo Equilátero, tiene tres lados igualesc) Triángulo Isósceles, tiene dos lados iguales.

a) b) c)

2.-Por sus Ángulos

a) Triángulo rectángulo, un ángulo restob) Triángulo obtusángulo, Un ángulo obtusoc) Triángulo acutángulo, tres ángulos agudos.

a) b) c)

[2]

10.2.3 Base Media

Teorema Si desde el punto medio del lado de un triángulo se traza una paralela al otro lado, ésta paralela pasa por el punto medio del tercer lado.(paralela media) y es igual a la mitad del tercer lado.H) E punto medio de AB EF // ACT) BF = CFEF = AC 2Demostración 1.FG// AB

2. EF//AC3. <ABC = <GFC4. <BEF = <FGC5. AE = FG6. EB = AE = FG7. ▲ BEF = ▲CFG8. BF = CF9. EF = CG10. EF = AG

ConstrucciónHipótesisCorrespondientesLados ParalelosSegmentos entre paralelasE punto medio de ABA.L.ALados homólogosLados homólogosSegmento entre paralelas

10.3 Rectas, segmentos y Puntos notables de un triángulo

En todo triángulo existen puntos que cumplen funciones específicas, los principales son los siguientes.

1.- Mediana.- Es el segmento de la recta que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto de un triángulo. El punto de intersección de las medianas se llama Baricentro.

2.- Bisectriz interior.-Es el segmento de resta que biseca el ángulo interior de un triángulo y llega hasta el lado opuesto.El punto de intersección de las bisectrices se llama Incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita.

3. Mediatriz.- Es la recta perpendicular en el punto medio de cada lado del triángulo. El punto de intersección de las mediatrices se llama Circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita.

4.Altura.- Es el segmento perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto, o la prolongación del mismo. El punto de intersección de las alturas se llama Ortocentro.

10.4 Congruencia de triángulos.

Definición.-Se llama triángulos congruentes a los que tienen igual forma y tamaño. Por lo tanto sus lados y sus ángulos correspondientes son iguales.

10.4.2 Postulados

1.- Dos triángulos son congruentes, si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales (L.A.L).

2.- Dos triángulos son congruentes, si un lado y los dos ángulos continuos de un triángulo son iguales a los correspondientes elementos del otro triángulo (A.L.A).

3.- Dos triángulos son congruentes, si los tres lados de un triángulo son iguales a los correspondientes lados del orto triángulo (L.L.L).

4.- Dos triángulos son congruentes, si dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos son iguales a los correspondientes elementos del otro (A.A.L).

Casos particulares

1.- Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales los ángulos agudos y un cateto.

2.-Dos Triángulos rectángulos son congruentes si tienen la hipotenusa y un ángulo agudo igual.

Propiedades

1.- En todo triángulo equilátero las líneas notables se confunden entre si se traza del mismo vértice.

2.- En todo triángulo isósceles las líneas notables correspondientes al vértice se superponen.

3.- Si los lados de un triángulo son iguales, entonces los ángulos opuestos a ellos también son iguales.

4.- Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

[2]

10.4.3 Aplicaciones

a.- Desde el punto de vista matemático los ejercicios se lo pude plantear de la siguiente manera.

Operaciones con ángulos

Adición

1.- Dados los ángulos: α=25°, β= 30°, ɵ= 40°; realiza la adición.

2.- Dados los ángulos: α=25°, β= 30°, ɵ= 70°; realiza la sustracción gráficamente.

Para realizar gráficamente debes tener en cuanta:

La adición de ángulos es similar al de adición de segmentos para obtener gráfica mente primero se traza uno de los ángulos, luego a partir del lado final de este ángulo se traza el siguiente ángulo.

Trazar el ángulo del minuendo y luego se sobre pone el ángulo del sustraendo a partir del ángulo minuendo la diferencia de ángulos está entre el lado inicial del minuendo y el lado final del sustraendo.

Resuelve

Resuelve

3.- Se tiene a + 40° = 180° y b + 140° = 180° entonces a + b = ?

4.- OD + OA y OC es bisectriz del ángulo AOD. <AOB:< BOC = 2:1, <BOD = ?

Determina la medida de los ángulos X y Y , y justifica tu respuesta-

5.-

a) b)

6.- Determina la medida de los ángulos desconocidos.

a) b)

En el mundo real los ángulos y triángulos nos sirven para la construcción de casas, muebles y diversas formas de edificaciones.

b.- Las profesiones que la aplican son: Arquitecto, Albañil, Carpintero, Ingeniero, manualidades…etc.

10.4.4 Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es considerado como una de las demostraciones más impresionantes de la geometría, este ya había sido descubierto por los babilonios hace miles de años, pero se le atribuye a Pitágoras porque fue quien lo demostró.

Los egipcios lo utilizaron de una forma práctica para la construcción de ángulos rectos, hecho que fue de gran utilidad a la hora de realizar obras arquitectónicas.

La hipotenusa de un triangulo rectángulo es opuesta al ángulo recto y es el lado más largo del triángulo rectángulo, en este caso se representa por la letra “c”.

Los catetos del triángulo rectángulo son los otros dos lados que se representan por las letras “a” y “b”.

El origen de la palabra cateto es griego y significa “perpendicular” o “línea que cae a plomo”.

Demostración.

Este teorema era conocido en China, Mesopotamia y Egipto, mucho antes de los tiempos de Pitágoras. Una de las demostraciones más antiguas es la siguiente. Partiendo de un triángulo rectángulo como el de la figura 1 y utilizando cuatro de ellos, construimos la figura 2.

Figura 1

Figura 2

En la figura 2, el área del cuadrado grande es (a+b)2. Pero la figura 2 se descompone en 4 triángulos y un cuadrado más pequeño. El área que obtenemos sumando las cinco partes es c2+4(ab/2) = c2+2ab. De aquí obtenemos que (a+b)2 = c2+2ab; es decir, a2+2ab+b2 = c2+2ab, y simplificando a2+b2 = c2. (q.e.d.).

[7]

Teorema. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.  

Demostración:

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha. El área de este cuadrado será (b+c)2.

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos.

Se puede poner ahora como  la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules

  Más el área del cuadrado amarillo . Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:

Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

que después de simplificado resulta:

[8]

Ejemplo

¿Cuál es altura del edificio, cuando la sombra que proyecta es de 120 metros y AB mide 156 metros?

Para ello utilizará el teorema de Pitágoras

1) c2=a2+b2

Despejando “a2” tenemos:

2) a2=c2-b2

Sustituyendo valores en la ecuación 2 tenemos:

a2 = (156)2-(120)2

a2 = 24336-14400=9936

a =

a = 99.67 metros

Aplicación

1.-Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

2.-Si un Eucalipto de 16 m. de altura se quiebra por el viento de manera tal que la punta toca al suelo a 6 m. de distancia de la base, ¿ha qué altura a partir del suelo fue quebrado el Eucalipto?

BIBLIOGRAFÍA

CIFUENTES Marisa, LUIS Claudia, “Enciclopedia Estudiantil de la Matemática II”, Ed. Cultural librera Americana, Buenos Aires, 2009. [1]

Lic. MARTIN Moya A, Lic. JOSÉ G. Onte.O “Geometría y Trigonometría”,Universisa Mayor de San Simon. [2]http://www.vitutor.com/di/m/b_1.html 11:18 pm del 18 de marzo [3]http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/medidang.htm 11:22 pm del 18 de marzo[4]Dr. JOSÉ Fernandes C, Dr RDOLFO Sturm Lic. “El mundo de las Matemáticas”,ed.Oceano S.A -Barcelona 1979. [5]

http://es.scribd.com/doc/46984647/Elementos-de-un-triangulo 10:00 am 6 de marzo de 2011 [6]

http://es.scribd.com/doc/46984647/Elementos-de-un-triangulo 10:00 am 6 de marzo de 20011[7]

http://www.terra.es/personal/arey42/pitagora.htm 10: 29 del 18 de marzo [8]

DON BOSCO, “Matemáticas 7 primaria”, Ed. Don bosco[9]