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UNIDAD 3. TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN Y ELEMENTOS

Un triángulo es un polígono de tres vértices.

Tiene tres lados, tres ángulos interiores y

tres ángulos exteriores. Si los vértices son A,

B y C lo denotamos ABC .

CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS

Un triángulo es:

ESCALENO: Si tiene sus tres lados

desiguales.

ISÓSCELES: Si tiene por lo menos un par de

lados congruentes. Si ACAB entonces se

dice que el ABC es isósceles de base BC .

EQUILÁTERO: Si tiene sus tres lados

congruentes.

CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS

Un triángulo es:

ACUTÁNGULO: Si tiene los tres ángulos

agudos.

RECTÁNGULO: Si tiene un ángulo recto. El

lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa

y los lados que lo forman son los catetos.

OBTUSÁNGULO: Si tiene un ángulo obtuso.

EQUIÁNGULO: Si tiene los tres ángulos

congruentes.

TEOREMA: Todo triángulo equilátero es

isósceles. (Ejercicio). El recíproco es falso.

LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

MEDIANA: Es el segmento que une un

vértice con el punto medio M de su lado

opuesto, por ejemplo AM .

ALTURA: Es la perpendicular trazada desde

un vértice a su lado opuesto o a su

prolongación, por ejemplo AH . El lado BC es

la base relativa a dicha altura.

BISECTRIZ INTERIOR: Es la bisectriz de

un ángulo interior, por ejemplo AD .

BISECTRIZ EXTERIOR: Es la bisectriz de

un ángulo exterior, por ejemplo AE .

MEDIATRIZ: Es la perpendicular que pasa

por el punto medio M de un lado, por ejemplo

MNsuur

.

Todo triángulo tiene tres medianas, tres

alturas, tres bisectrices interiores, tres

bisectrices exteriores y tres mediatrices.

Unidad tres triángulos, Página 1 de 38

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN: Dos triángulos son

congruentes si tienen sus tres lados

respectivamente congruentes y sus tres

ángulos respectivamente congruentes:

AB DE A D

ABC DEF BC EF B E

C FAC DF

Dos elementos respectivamente congruentes

son homólogos. Escribiremos: LsHs (Lados

Homólogos) y sHs (Ángulos Homólogos).

TEOREMA: La congruencia de triángulos es

una relación de equivalencia:

1. Reflexiva: ABCABC

2. Simétrica: ABCDEF DEFABC

3. Transitiva:

ABCDEF DEFGHIABCGHI

NOTA: La transitividad será muy útil para

probar que dos triángulos son congruentes.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE S

CRITERIO L.A.L.

AXIOMA: Dos triángulos son congruentes si

tienen un ángulo congruente formado por lados

respectivamente congruentes.

COROLARIOS:

1. En todo triángulo isósceles los ángulos

opuestos a los lados congruentes son

congruentes.

2. Todo triángulo equilátero es equiángulo.

(Ejercicio)

3. En todo triángulo isósceles, la bisectriz

del ángulo opuesto a la base también es

mediana, altura y mediatriz con respecto

a la base.

4. Por un punto exterior a una recta pasa

una y sólo una perpendicular a ella.

5. En todo triángulo, cada ángulo exterior es

mayor que cualquiera de los dos ángulos

interiores no adyacentes.

6. Todo triángulo tiene por lo menos dos

ángulos agudos. (Ejercicio)

Dm:

1. Supongamos que el

ABC es isósceles de

base BC y tracemos la

bisectriz AD del BAC,

con B-D-C.

Tenemos:

L : AB AC hip.

A : BAD CAD const.

L : AD AD reflex.

, luego

por el axioma LAL, ABDACD, y por ángulos

homólogos resulta B = C. 3. También por lados homólogos BD=DC

entonces AD es mediana. Además por sHs

ADB=ADC, pero BDC=180º (por B-D-C),

entonces ADC=90º, luego AD es altura y

como pasa por el punto medio de BC , también

es su mediatriz.


4. Debemos probar tanto la existencia

como la unicidad de dicha perpendicular.

Existencia: Sea A

un punto exterior a la

recta L. Tomemos dos

puntos B y C sobre L y

tracemos AB .

Construyamos el CBD

tal que BD=BA y

CBDCBA, con D en

el semiplano opuesto de

A con respecto a L .

Tracemos AD que corta a L en el punto E. Por

construcción el ABD es isósceles y BE es

bisectriz del ABD, luego BE es altura sobre

AD y en definitiva AD L.

Unicidad: Supongamos

que existe otro punto

F sobre la recta L tal

que AF L, luego

AFB =90º.

Tracemos FD . Por

LAL, ABFDBF,

luego AFBDFB,

(sHs) y entonces

también DFB = 90º.

Sumando resulta AFD = 180º y por lo tanto

A, F y D son colineales. Luego E y F coinciden

porque las rectas AD y L sólo tienen un punto

en común.

5. En el ABC consideremos el ángulo

exterior DAC y veamos que BCADAC .

Tracemos la mediana

BM y prolonguémosla

hasta F de modo que

BM=MF. Tracemos AF .

Por LAL resulta

AMFCMB, luego

FACBCA, (sHs).

Pero AF es interior al CAD, luego

FACDAC y por lo tanto BCADAC .

CRITERIO A.L.A.

TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si

tienen respectivamente congruentes dos

ángulos y el lado común a ellos.

Dm: Consideremos ABC y DEF tales que

BE, BC=EF y CF.

En la semirrecta BA tomemos el punto G tal

que BG=ED y tracemos CG . Por el axioma LAL

se obtiene GBCDEF, luego BCGEFD

(sHs) y como EFDBCA entonces por

transitividad BCGBCA. Por lo tanto G

está sobre la semirrecta CA y debe coincidir

con A y resulta BG=BA. Por transitividad

BA=ED y por el axioma LAL se obtiene

ABCDEF.


COROLARIOS:

1. Si un triángulo tiene dos ángulos

congruentes entonces es isósceles.

2. Todo triángulo equiángulo es equilátero.

(Ejercicio)

Dm: 1. Consideremos el

ABC tal que BC.

Tracemos las bisectrices

BD y CE , tales que A-D-C

y A-E-B. Por el teorema

ALA resulta BCDCBE

luego BD=CE (LsHs), y

BDCCEB (sHs), y por

suplementos BDACEA.

Por el teorema ALA se obtiene BDACEA

luego AB=AC (LsHs).

CRITERIO L.L.L.

TEOREMA: Dos triángulos son congruentes

si tienen sus tres lados respectivamente

congruentes.


AB=DE, BC=EF y AC=DF. Construyamos

FEGCBA con G en el semiplano opuesto de

D y EG=BA y tracemos DG . Por el axioma LAL

se obtiene ABCGEF, luego AC=GF (LsHs) y

BACEGF (sHs).

En resumen se tiene ED=EG y FD=FG y se

forman los triángulos isósceles EDG y FDG,

entonces EDGEGD y FDGFGD.

Sumando EDFEGF y por transitividad

BACEDF. En definitiva, por el axioma LAL

se obtiene ABCDEF.

CRITERIO A1 A2 L1

TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si

tienen dos ángulos respectivamente

congruentes y el lado opuesto a uno de ellos

congruente.


BE, CF y AB=DE. Tomemos sobre la

semirrecta BC el punto G con BG=EF y

tracemos AG . Por el axioma LAL se obtiene

ABGDEF, luego AGBDFE (sHs), pero

DFEACB entonces AGBACB (*).

Debemos probar que G coincide con C. Si no

coinciden entonces G precede a C ó C precede

a G. Si G precede a C entonces en el AGC se

tiene ACBAGB (exterior), lo que

contradice (*). En forma similar se obtiene

una contradicción cuando C precede a G. En

definitiva G y C tienen que coincidir, luego

BC=EF y por el axioma LAL se obtiene

ABCDEF.

CONGRUENCIA DE s RECTÁNGULOS

TEOREMA: Dos triángulos rectángulos son

congruentes si satisfacen alguna de las

siguientes condiciones:

1. RCC: Si tienen respectivamente

congruentes los dos catetos.

2. RCAady: Si tienen respectivamente

congruentes un cateto y el ángulo agudo

adyacente a dicho cateto.


3. RCAop: Si tienen respectivamente

congruentes un cateto y el ángulo agudo

opuesto a dicho cateto.

4. RHA: Si tienen respectivamente

congruentes la hipotenusa y un ángulo

agudo.

5. RHC: Si tienen respectivamente

congruentes la hipotenusa y un cateto.

(Ejercicio)

Dm:

1. Por el axioma LAL

2. Por el teorema ALA

3. Por el teorema A1 A2 L1

4. Por el teorema A1 A2 L1

CONGRUENCIA DE LAS LÍNEAS

NOTABLES HOMÓLOGAS

TEOREMA: Si dos triángulos son

congruentes entonces las medianas, las alturas

y las bisectrices respectivamente homólogas

son congruentes. (Ejercicio)

PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO

ISÓSCELES

TEOREMA:

1. Un triángulo es isósceles si y sólo si tiene

dos ángulos congruentes.

2. En todo triángulo isósceles la mediana, la

altura, la mediatriz (con respecto a su

base) y la bisectriz del ángulo opuesto,

coinciden y recíprocamente. (Ejercicio)

3. Todo triángulo isósceles tiene

respectivamente congruentes dos alturas,

dos medianas y dos bisectrices.

(Ejercicio)

DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO

TEOREMA: Si un triángulo tiene dos lados no

congruentes entonces al mayor de dichos lados

se opone un ángulo mayor y recíprocamente.

Dm:

[] Supongamos que en el

ABC ABAC . Tomemos

D sobre AC con AD=AB y

tracemos BD .

Resulta el ABD isósceles

y ABDADB. Como BD es interior al ABC

entonces ABC ABD luego ABC ADB

. Además ADB DCB (por exterior en el

DBC), y por transitividad ABC DCB , es

decir, en el ABC se obtiene que CB .

[] Supongamos que en el ABC CB (*)

y probemos que ABAC . Supongamos que

ABAC ó AC=AB. Si ABAC entonces por

la primera implicación se obtiene CB lo

que contradice (*). Si AC=AB entonces el

ABC es isósceles y resulta B=C que

también contradice (*). En definitiva se debe

cumplir que ABAC .

COROLARIOS:

1. En todo triángulo rectángulo la hipotenusa

es mayor que cada uno de los catetos.

(Ejercicio)

2. En todo triángulo obtusángulo el lado

mayor es el que se opone al ángulo obtuso.

(Ejercicio)


DESIGUALDAD TRIANGULAR

TEOREMA: En todo triángulo cada lado es

menor que la suma de los otros dos y mayor

que el valor absoluto la diferencia entre ellos.

Dm: En el ABC

tomemos D sobre la

prolongación de BA

tal que AD=AC y

tracemos DC y

obtenemos el ADC

isósceles con

ADC=ACD y como

CA es interior al

BCD resulta BCDACD luego

BCDADC y en el DBC se obtiene

CD , luego ACBABDBC , es decir

BCABBC . De un modo similar se prueba

que BCABAC y que BCACAB .

De las dos últimas desigualdades se obtiene

ABACBC y ACABBC entonces

ACABBC .

COROLARIOS:

1. El camino más “corto” entre dos puntos es

el segmento que los tiene por extremos.

(Ejercicio)

2. Toda poligonal abierta convexa es menor

que cualesquiera otra poligonal abierta

envolvente que tenga sus mismos

extremos. (Ejercicio)

3. Para que un triángulo exista dados sus

tres lados, es suficiente que el lado mayor

sea menor que la suma de los otros dos.

(Ejercicio)

TEOREMA DE LA BISAGRA: Si dos

triángulos tienen dos lados respectivamente

congruentes y el ángulo comprendido desigual

entonces al mayor ángulo comprendido se

opone un mayor tercer lado y recíprocamente.

Dm:

[] Consideremos ABC y DEF tales que

AB=DE, AC=DF y A D y probemos que

EFBC .

Tracemos AG en el interior del BAC tal que

BAGEDF y AG=DF; tracemos el segmento

BG . Por el axioma LAL resulta BAGEDF,

luego BG=EF (LsHs). Tracemos AR bisectriz

del GAC con B–R-C y tracemos RG . Por el

axioma LAL se obtiene GARCAR, luego

RG=RC (LsHs). Además en el BRG se tiene

RGBRBG , luego RGBREF , por lo

tanto BCEF .

[] (Ejercicio)


PERPENDICULARES Y OBLICUAS

TEOREMA: Si desde un punto exterior a una

recta se trazan el segmento perpendicular a la

recta y segmentos oblicuos a ella, con el otro

extremo sobre la recta, entonces:

1. El segmento perpendicular es menor que

cualesquiera de los segmentos oblicuos.

(Ejercicio)

2. Dos segmentos oblicuos son congruentes

sii sus pies equidistan del pie de la

perpendicular. (Ejercicio)

3. Entre dos segmentos oblicuos aquel que

tenga su pie más cercano del pie de la

perpendicular es menor y recíprocamente.

Dm:

3. [] Sean AH L, AB y AC oblicuas

tales que HCHB y probemos que ACAB

Si HCHB entonces

existe un punto D, tal

que D-H-C y HBHD .

Tracemos AD y

entonces los pies de

las oblicuas AB y AD

equidistan del pie de la

perpendicular y por lo

tanto AB=AD, luego el

ABD es isósceles con

ABD=ADB.

Además el ACDADB (ext. al ADC),

luego ACDADB , es decir, en el ABC se

tiene que CB , luego ABAC .

[] (Ejercicio)

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA

RECTA

Se llama “Distancia de un punto P a una

recta L"”, y se denota por “d(P;L)”, a la

medida del segmento PQ L, Q L.

Si el punto P es interior a la recta L entonces

la distancia es cero.

La distancia de un punto a una semirrecta o a

un segmento es la distancia del punto a la

recta que contiene a la semirrecta o al

segmento.

LUGAR GEOMÉTRICO (LG)

Una figura F es el lugar geométrico de una

propiedad P si está formada por todos los

puntos que cumplen la propiedad P y solamente

por ellos, es decir, F es el lugar geométrico

de P si se cumple que:

1. (X) ( X F X cumple P)

2. (X) ( X cumple P X F)

LA MEDIATRIZ COMO LG

TEOREMA: En un plano, la mediatriz de un

segmento es el lugar geométrico de todos los

puntos del plano que equidistan de los

extremos del segmento.

Dm: [] Sea M la mediatriz de AB , entonces

M es perpendicular a AB en su punto medio C.

Sea XM, como AC=CB, los pies de las oblicuas

XA y XB equidistan del pie de la

perpendicular entonces XA=XB.

[] (Ejercicio)


COROLARIO: En un plano, si dos puntos

equidistan de los extremos de un segmento

entonces la recta que ellos determinan es la

mediatriz del segmento. (Ejercicio)

** Este corolario será muy útil para

realizar la construcción de perpendiculares.

LA BISECTRIZ COMO LG

TEOREMA: En un plano, la bisectriz de un

ángulo es el lugar geométrico de los puntos del

interior del ángulo que equidistan de los lados

del ángulo.

Dm: [] Ejercicio

[] Supongamos que un punto P en el interior

del AOB equidista de los lados OAuuur

y OBuuur

, es

decir PQ=PR con PQ OA Y PR OB .

Luego por RHC resulta QOPROP y

entonces AOP=BOP (sHs) y por lo tanto

OPuur

es la bisectriz del AOB.

COROLARIO: Si un punto del interior de un

ángulo, equidista de los lados del ángulo,

entonces pertenece a la bisectriz del ángulo.

CONSTRUCCIONES BÁSICAS

1. Trazar la mediatriz de un segmento.

2. Trazar la perpendicular a una recta por

un punto interior a ella.

3. Trazar la perpendicular a una recta por

un punto exterior a ella.

4. Construir un ángulo congruente con un

ángulo dado.

5. Trazar la bisectriz de un ángulo con

vértice dado.

6. Construir un triángulo dado dos lados y el

ángulo formado por ellos.

7. Construir un triángulo dado dos ángulos y

el lado adyacente a ambos.

8. Construir un triángulo dados sus tres

lados.

9. Construir un triángulo rectángulo dados la

hipotenusa y un ángulo agudo.

10. Construir un triángulo rectángulo dados la

hipotenusa y un cateto.

11. Construir un triángulo dados dos de sus

lados y la mediana relativa al tercer lado.

12. Construir un triángulo dados dos de sus

lados y la altura relativa al tercer lado.

Analizar todas las posibles soluciones.


1/2

CRUCIGRAMA

Triángulos

(Elaboró:Carlos Alberto Ríos Villa)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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2/2

10

30

39

HORIZONTALES

1 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

3 ALA EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

CRITERIO DE CONGRUENCIA PARA CUANDO DOS TRIÁNGULOS TIENEN DOS LADOS Y EL ÁNGULO ENTRE ELLOS, RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES

ESTE SEGMENTO TRAZADO DESDE EL VÉRTICE RECTO, DIVIDE EL

TRIÁNGULO EN DOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES

CRITERIO DE CONGRUENCIA PARA TRIANGULOS RECTÁNGULOS QUE

TIENEN UN CATETO Y LA HIPOTENUSA RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES

8 ESTE PUNTO DEL LA HIPOTENUSA EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES

DEL TRIÁNGULO LADOS O ÁNGULOS RESPECTIVAMENTE

CONGRUENTES DE DOS TRIÁNGULOS CONGRUENTES

SEGMENTO QUE PASA POR EL PUNTO MEDIO DE UN LADO Y ADEMÁS ES

PERPENDICULAR A ÉL

EN UN TRIÁNGULO UN LADO ES MENOR QUE LA SUMA DE LOS OTROS DOS Y MAYOR QUE EL VALOR ABSOLUTO DE SU DIFERENCIA

14 QUE TRIÁNGULO MAS DEFORME

VERTICALES

1 PUNTO DONDE UNA DE LAS RECTAS NOTABLES CORTA AL LADO

EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES LOS ÁNGULOS OPUESTOS A LOS LADOS IGUALES SON IGUALES

AUNQUE NO ES CRITERIO DE CONGRUENCIA EN LOS DEMÁS

TRIÁNGULOS EN EL RECTÁNGULO SÍ Y SE LLAMA........

EN UN TRIÁNGULO, SEGMENTO TRAZADO DE UN VÉRTICE

PERPENDICULAR AL LADO OPUESTO O SU PROLONGACIÓN

9 POLIGONO DE TRES LADOS Y TRES ÁNGULOS

11 TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO TAMBIÉN LO ES

15 ESTE TRIÁNGULO TIENE UN ÁNGULO MUY RECTO

CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS QUE TIENEN DOS

21 ÁNGULOS Y EL LADO OPUESTO A UNO DE ELLOS RESPECTIVAMENTE

CONGRUENTES

EN GENERAL NO ES CRITERIO DE CONGRUENCIA PERO UN DE LAS

25 ESCEPCIONES EN EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y SE CONOCE

COMO RHC

CONCLUYE SOBRE LO QUE SUCEDE EN DOS TRIÁNGULOS QUE TIENEN DOS

16 LADOS RESPECTIVAMENTE IGUALES Y EL ÁNGULO ENTRE ELLOS

DIFERENTE

PUNTO DONDE CONCURREN LAS MEDIANAS DE UN TRIÁNGULO Y QUE TAMBIÉN ES SU CENTRO DE MASA

31 ÚNICO TRIÁNGULO EN EL QUE COINDIDEN TODOS LOS PUNTOS

TRIÁNGULO QUE TIENE AL MENOS DOS ALTURAS, DOS MEDIANAS Y DOS

BISECTRICES CONGRUENTES

18 MÍNIMA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

19 TRIÁNGULO CON LOS TRES ÁNGULOS AGUDOS

20 AQUI SE ENCUENTRAN LAS ALTURAS DE UN TRIÁNGULO

TODOS LOS PUNTOS DEL PLANO QUE EQUIDISTAN DE LOS EXTREMOS DE

UN SEGMENTO

23 ES EL MISMO LADO PARA DOS O MAS TRIÁNGULOS

LÓGICO, SI LOS TRES LADOS SON RESPECTIVAMENTE IGUALES LOS

TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES

26 LO MISMO QUE LAS PARTES CORRESPONDIENTES

EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES ES EL LADO DISTINTO, PERO SI NO ES ISO, SERÁ CUALQUIERA

TODOS LOS PUNTOS INTERIORES AL ÁNGULO QUE EQUIDISTAN DE LOS LADOS DE ÉSTE

29 PROPIEDAD QUE PODRIAMOS RELACIONAR CON LOS TRILLIZOS

CONJUNTO DE PUNTOS QUE CUMPLEN UNA MISMA PROPIEDAD Y

SOLAMENTE ELLOS LA CUMPLEN

ÁNGULO FORMADO POR UN LADO DE UN POLÍGONO Y LA PROLONGACIÓN

DE OTRO

34 EL MISMO ÁNGULO PARA DOS O MAS TRIÁNGULOS

35 PUNTO DONDE CONCURREN LAS MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO

CRITERIO DE CONGRUENCIA PARA DOS TRIÁNGULOS QUE TIENEN DOS

NOTABLES

32 EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES EL ÁNGULO DISTINTO

PROPIEDAD QUE SE REFIERE A QUE TODA FIGURA GEOMÉTRICA ES

CONGRUENTE CON ELLA MISMA

EN UN TRIÁNGULO SEGMENTO QUE DIVIDE UN ÁNGULO EN DOS PARTES IGUALES

42 AAL EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

36 ÁNGULOS Y EL LADO ADYACENTE A ELLOS RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES

37 PUNTO DONDE CONCURREN LAS BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO

TRIÁNGULOS QUE TIENEN RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES SUS LADOS

Y SUS ÁNGULOS

40 PROPIEDAD QUE ME PERMITE CAMBIAR EL ORDEN DEL NOMBRE

EN UN TRIÁNGULO SEGMENTO TRAZADO DEL VÉRTICE AL PUNTO MEDIO DEL LADO OPUESTO

CRITERIO DE CONGRUENCIA PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS QUE

42 TIENEN UN CATETO Y EL ÁNGULO OPUESTO A ÉL, RESPECTIVAMENTE

CONGRUENTES

EN UN TRIÁNGULO SON LOS LADOS ADYACENTES AL ÁNGULO RECTO, SI LO TIENE

44 LAL EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

45 TRIÁNGULO CON UN ÁNGULO OBTUSO

46 AAAAAAH, NO ES CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

47 EN UN TRIÁNGULO ES EL LADO OPUESTO AL ÁNGULO RECTO, SI LO TIENE

5

6

7

2

3

4

12

13

27

17

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33

38

41

43


UNIDAD 3

TRIANGULOS: ELEMENTOS Y CONGRUENCIA

Para afrontar la solucion de los ejercicios correspondientes a esta unidad debes tener

presente la importancia de la gráfica con sus correspondientes datos de tal forma que

puedas determinar fácilmente lo que es hipótesis y lo que es la tesis. En la solucion de los

ejercicios es necesario recordar los siguientes aspecto:

1. Clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos

2. Líneas notables del triangulo

3. Los criterios de congruencia de triángulos (LLL ,LAL ,ALA ,LAL, AAL, HC, CC)

4. Corolarios sobre los triángulos equiláteros e isósceles

5. Teoremas sobre congruencia de las líneas notables

6. Propiedades del triángulo isósceles

7. Teorema de desigualdad en el triangulo

8. Teorema de desigualdad triangular

9. Teorema de la bisagra

Se hace recomendable la realización de un resumen sobre dicho tema.


1. En un ABC equilátero, sobre cada lado a partir del vértice y en el mismo sentido, se

toman A', B' y C' con AA'=BB'=CC'. Probar que el A'B'C' es equilátero.

GRÁFICA 17

AFIRMACION RAZON

1

2

3 ´ ( ) ( )

4

5

6

7 ( )

2. En un ABC isósceles de base BC, se trazan las bisectrices de los ángulos B y C, las

cuales se cortan en I. Probar que el BIC es isósceles.

GRAFICA 18

=* +

AFIRMACION RAZON

1


2 = = = =

( )

3 = = = ( )

4 ( )

3. En un ABC isósceles de base BC, se toman sobre las prolongaciones de los lados BA y

CA los puntos E y D con AE=AD:

Probar que DAB=EAC.

GRAFICA 19

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

4. En un ABC isósceles de base BC, se toman B' y C' sobre AB y AC tales que AB'=AC' y

se trazan B'C y C'B que se cortan en O. Probar que BOB'=COC'.

GRAFICA 20

* +

AFIRMACION RAZON

1

2

3 = ( ) ( )

4


5 =

6 =

7

8 ( ) ( ) ( )

9 ( )

10 ( ) ( ) ( )

5. Sobre los lados AB y AC de un ABC isósceles de base BC, se toman los puntos E y F

tales que AE = AF y se unen con el pie H de la altura relativa a la base. Demostrar que

EHA=FHA y EFH=FEH.

GRAFICA 21

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 ( ) ( )

5

6

7 ( )

8 ( ) ( ) , ( )

9 ( )

10

11 ( ), ( ) ( )

12 ( )

13 ( )

14 ( )

15 ( )


5

6. En un ABC rectángulo en A, se traza la bisectriz CD del C, con D sobre AB. Probar

que DB > DA.

GRAFICA 22

AFIRMACION RAZON

1

2 ( )

3

4

5

6

7

8

7. Sean a, b reales positivos, con a > b. ¿Cuál otra condición deben cumplir para que sean

las medidas de los lados de un triángulo isósceles?.

GRAFICA 23

Determina la hipótesis y la tesis, argumenta

cada una de las afirmaciones.


AFIRMACION RAZON

1 Si los lados iguales miden a

a a + b

2 Si los lados iguales miden b

a + b

8. Dados una recta y dos puntos situados en el mismo semiplano con respecto a ella,

encontrar el camino más corto entre los dos puntos y que pase por la recta dada.

GRAFICA 24

Determina la hipótesis y la tesis

Para resolverlo busquemos en el semiplano

opuesto el B’ talque BD=B’D si unimos A y B’ la

distancia más corta entre ellos es AB’ que corta

a la recta en el punto E, podemos demostrar

fácilmente que EB’=EB luego la distancia más

corta para llegar de A hasta B será:

AE+EB’=AE+EB

Realízalo por afirmación- razón

9. Dados dos puntos y una recta, encontrar sobre ella un punto que equidiste de los puntos

dados. Intuitivamente analizar las posibles alternativas.

GRAFICA 25

Determina la hipótesis y la tesis, argumenta

cada una de las afirmaciones.


AFIRMACION RAZON

1

2

3

10. En un XOY se toman A y B sobre OX y OY. Se trazan las bisectrices de los ángulos

XAB y YBA que se cortan en R. Probar que ROA=ROB.

GRAFICA 26

Determina la hipótesis y la tesis.

AFIRMACION RAZON

1 Tracemos desde R

2

3

4 = ( ) ( )

5

11. Sea OM la bisectriz del XOY. Sobre OX y OY se toman A y B con OA=OB; se unen

A y B con un punto cualquiera C de la bisectriz. Probar que OAC=OBC y AC=BC.

GRAFICA 27

:


AFIRMACION RAZON

1

2 =

3

4

5 ( )

6 ( )

12. Dados dos triángulos ABC y A'B'C' tales que AB=A'B', BC=B'C' y las medianas

AM=A'M', probar que los dos triángulos son congruentes.

GRAFICA 28

AFIRMACION RAZON

1 , BC = B'C'

2

3

4 ( )

5 ( ) ( )

13. Si dos triángulos isósceles tienen las bases y las alturas relativas a ellas

respectivamente congruentes, probar que los triángulos son congruentes.

GRAFICA 29

,


AFIRMACION RAZON

1

2

3

( )

4 ( ) , ,

5 ( )

6 ( ) y

7 ( )

14. Dado un ángulo agudo XOY. Por O y hacia el exterior se levantan OX'OX y

OY'OY. Se toman A, B, C y D sobre OX, OX', OY y OY' tales que OA=OB y OC=OD.

Se trazan AD y BC. Probar que OAD=OBC y AD=BC.

GRAFICA 30

AFIRMACION RAZON

1

2 -

3 ( )

4

5

6 ( )

7 ( )


15. En un ABC ( AB > AC), se traza la bisectriz AD. Se traza la semirrecta DE tal que

ADE=ADC, con E sobre AB. Probar que:

a. DE = DC y AE = AC.

b. AD es la mediatriz de EC.

GRAFICA 31

( ) ( )

AFIRMACION RAZON

1

2

3 AD = AD

4

5 ( )

6 ( )

7


EJERCICIOS UNIDAD 3 – TRIANGULOS

1. En un ABC equilátero, a partir de cada vértice en el mismo sentido, se prolongan

los lados de modo que AA'=BB'=CC'. Probar que el A'B'C' es equilátero.

Grafica 20

1. De acuerdo a la gráfica y al

enunciado del problema determina

la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina

la razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 𝜶=β=θ

02 ∢A’AC’=∢B’BA’=C’CB’

03 AA’=BB’=CC’

04 AB=BC=CA

05 AA’-AB=BB’-BC=CC’-CA

BA’ CB’ AC’

06 Δ A’A’C’ ΔB’BA’’ ΔC’CB’

07 A’C’=B’A’=C’B’

08 Δ A’B’C’ es equilátero


2. En un ABC isósceles de base BC, se trazan las medianas relativas a los lados AB y

AC, las cuales se cortan en G. Probar que el BGC es isósceles.

Grafica 21

1. De acuerdo a la gráfica y al

enunciado del problema

determina la hipótesis y la

tesis

2. Dada las afirmaciones determina

la razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01

02

03 =

04 ∢ABC=∢ACB

05

06 ΔNBC ΔMCB

07 ∢NCB=∢MBC

08 ΔBGC isósceles

09 BG=CG

10 ΔABG AGC

11 ∢BAG ∢ CAG

12 AP=AP

13 ΔBAP Δ CAP

14 BP=CP

15 P es punto medio


3. Desde un punto A sobre el lado OX del XOY, se traza AB perpendicular a la

bisectriz OZ, con B sobre OY. Probar que AB forma ángulos congruentes con los lados

del XOY.

Grafica 22

1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del

problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la razón

de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 ∢AOZ ∢BOZ

02 O O

03 ∢O B ∢O A 90°

04 ΔAO ΔBO

05 ∢ OA OBP

4. En un ABC isósceles de base BC, se traza la secante BD con D sobre AC. Probar que DC < BD.

Grafica 23



2. Dada las afirmaciones determina la razón de

cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 AB=AC

02 BD AD AB

03 BD AD AC

04 BD AD AD DC

05 BD DC


5. Si dos lados de un triángulo miden 2 m y 9 m, hallar el mayor tercer lado posible cuya medida sea

un número entero.

Grafica 24




cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 9 9

02

03 Por lo tanto el mayor lado 0

6. En un ABC se traza la mediana AM y se prolonga hasta D con AM=MD.

a. Probar que BD=CA.

b. Deducir que la mediana es menor AM que la semisuma de los lados que parten desde el

mismo vértice que ella.

Grafica 25

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del



cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 CM=MB

02 AM=MD

03 A C D B

04 ΔA C ΔD B

05 AC BD

06 AD A


07 AB+BD AD

08 AB+BD 2AM

09 AB BD

A

7. Dados un ángulo y dos puntos en su interior, encontrar el camino más corto entre los dos puntos y

que pase por los dos lados del ángulo.

En el siguiente ejercicio te daremos las gráficas y la explicación del mismo, tu trabajo es

realizarlo bajo la afirmación y su respectiva razón.

Grafica 26

La distancia más corta desde un punto a una recta es el segmento perpendicular con p

O , Desde p trazamos ⊥ y por último

Pero observemos el siguiente grafico (2)

Grafica 27


Si trazamos la línea que une los dos puntos simétricos de ( ’, ’) dicho segmento es el

camino más corto para unirlos

Pero además ’S S ’ ’.

Por lo tanto la trayectoria MS+SR+RN=M’N’

Ahora podemos demostrar que cualquier otra trayectoria es mayor a ’ ’ por ejemplo

S S S S ’ ’ ’ pero ’ ’

Observemos además :

’ ’

’ ’

n ’ ’ S S

8. Probar que la semirrecta opuesta a la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos

del plano exteriores al ángulo, que equidistan de los lados del ángulo.

Grafica 28

En el siguiente ejercicio te damos la

gráfica y la explicación del mismo, tu

trabajo es realizarlo bajo la afirmación

y su respectiva razón.

OBSERVEMOS

Todo punto sobre la bisectriz

equidistante de los lados del ∢YOZ y si

tomamos las prolongaciones podemos

decir que P sobre la prolongación de la

bisectriz equidista de las

prolongaciones del ∢YOZ


9. Encontrar un punto que a la vez equidiste de dos puntos dados y equidiste de dos

rectas concurrentes dadas.

Grafica 29

En este ejercicio debemos tener presente dos condiciones

1. Si un punto equidista de dos puntos Ay B entonces dicho punto está sobre la

mediatriz de dicho segmento

2. Si un punto equidista de dos rectas concurrentes entonces esta sobre la bisectriz

del ángulo formado

Unamos los dos aspectos en una sola gráfica Grafica 30

∧

Esta es una de las muchas probabilidades

Ahora trata de ordenarlo por pasos de tal forma que quede la afirmación y la razón.


10. Dadas dos rectas X'OX y Y'OY, sobre OX y OY se toman A y B con OA=OB; sobre OX' y OY' se

toman A' y B' con OA'=OB'. Probar que A'B=AB' y OA'B=OB'A.

Grafica 31

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del



cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 OA=OB

02 OA’ OB’

03 ∢A’OB ∢B’OA

04 ΔA’OB ΔB’OA

05 A’B B’A

06 ∢OA’B ∢OB’A

11. Dados dos triángulos ABC y A'B'C' tales que B=B' , BC=B'C' y las bisectrices BE=B'E',

probar que los dos triángulos son congruentes.

Grafica 32

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la razón de cada paso.


AFIRMACION RAZON

01 BC=B’C’

02 B B

03

B

B ∢ABE ∢EBC ∢A B E ∢E B C

04 BE B’E’

05 ΔEBC ΔE’B’C’

06 C C’

07 ΔABC ΔA’B’C’

12. Si dos triángulos isósceles tienen congruentes los ángulos opuestos a las bases y las alturas

relativas a ellas, probar que los triángulos son congruentes.

Grafica 33

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado

del problema determina la hipótesis y la

tesis

2. Dada la información en cada paso

debes determinar las afirmaciones y

determina la razón de cada uno de ellos.

01 Tenemos que el ΔABC es isósceles con C altura implica que C también es

bisectriz, por lo tanto

∢ ∢ ∢

02 De igual forma si tomamos el Δ DEF obtenemos

∢ ∢ ∢

03 Ahora, recordemos que si dos ángulos son iguales entonces sus mitades son

iguales ∢ ∢ ∢ ∢ ∢ ∢

04 Entonces por el criterio ALA

05 De lo anterior y además ∢ACB ∢ por el criterio LAL

ΔABC Δ DEF


13. Dos triángulos ABC y A'BC están situados en distinto semiplano con respecto a la recta BC, la

cual es bisectriz de los ángulos ABA' y ACA'. Probar que:

a. ABC=A'BC.

b. Para todo punto M de BC, se cumple que AM=A'M.

c. AA'BC

Grafica 34

1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado

del problema determina la hipótesis y

la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la

razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 BC lado común

02 ΔABC Δ A’BC por ALA

03 AB A’B

04 BM BM

05 ΔA’BM ΔABN por LAL

06 A’M AM

07 ΔA’BA isósceles

08 BP bisectriz del ∢A’BA

09 BP altura

10 BC⊥ AA’


14. Por el punto medio O de un segmento AB se traza una recta cualquiera. Desde A y B se trazan las

perpendiculares AC y BD a la recta. Probar que AC=BD. ¿Cuál propiedad tienen los vértices A y

B de un MAB con respecto a la mediana relativa al lado AB?.

Grafica 35




cada paso.

Grafica 36

Podemos concluir con la primera parte que los

vértices del triángulo equidistan en la

mediana

01

∢AOC=∢BOD

∢ACD ∢BOD 90°

ΔAOC ΔBOD

02

03

04

05


EJERCICIOS UNIDAD 3 – TRIÁNGULOS

1. En un ABC equilátero, sobre

cada lado a partir del vértice y

en el mismo sentido, se toman

A', B' y C' con AA'=BB'=CC'.

Probar que el A'B'C' es

equilátero.

2. En un ABC equilátero, a

partir de cada vértice en el

mismo sentido, se prolongan los

lados de modo que

AA'=BB'=CC'. Probar que el

A'B'C' es equilátero.

3. En un ABC isósceles de base

BC, se trazan las bisectrices

de los ángulos B y C, las

cuales se cortan en I. Probar

que el BIC es isósceles.


BC, se trazan las medianas

relativas a los lados AB y AC,

las cuales se cortan en G.

Probar que el BGC es

isósceles.


BC, se toman sobre las

prolongaciones de los lados BA

y CA los puntos E y D con

AE=AD:

a. Probar que DAB=EAC.

b. Se toman B' y C' sobre AB

y AC tales que AB'=AC' y se

trazan B'C y C'B que se cortan

en O. Probar que

BOB'=COC'.

c. Probar que la recta AO pasa

por el punto medio de BC.

6. Desde un punto A sobre el lado

OX del XOY, se traza AB

perpendicular a la bisectriz

OZ, con B sobre OY. Probar

que AB forma ángulos

congruentes con los lados del

XOY.

7. Sobre los lados AB y AC de un

ABC isósceles de base BC, se

toman los puntos E y F tales

que AE = AF y se unen con el

pie H de la altura relativa a la

base. Demostrar que

EHA=FHA y EFH=FEH.


BC, se traza la secante BD con

D sobre AC. Probar que DC <

BD.

9. En un ABC rectángulo en A,

se traza la bisectriz CD del

C, con D sobre AB. Probar

que DB > DA.

10. Si dos lados de un triángulo

miden 2 m y 9 m, hallar el

mayor tercer lado posible cuya

medida sea un número entero.

11. Sean a, b reales positivos, con

a > b. ¿Cuál otra condición

deben cumplir para que sean


las medidas de los lados de un

triángulo isósceles?.

12. En un ABC se traza la

mediana AM y se prolonga

hasta D con AM=MD.

a. Probar que BD=CA.

b. Deducir que la mediana es

menor que la semisuma de los

lados que parten desde el

mismo vértice que ella.

13. Dados una recta y dos puntos

situados en el mismo semiplano

con respecto a ella, encontrar

el camino más corto entre los

dos puntos y que pase por la

recta dada.

14. Dados un ángulo y dos puntos

en su interior, encontrar el

camino más corto entre los dos

puntos y que pase por los dos

lados del ángulo.

15. Dados dos puntos y una recta,

encontrar sobre ella un punto

que equidiste de los puntos

dados. Intuitivamente analizar

las posibles alternativas.

16. Probar que la semirrecta

opuesta a la bisectriz de un

ángulo es el lugar geométrico

de los puntos del plano

exteriores al ángulo, que

equidistan de los lados del

ángulo.

17. En un XOY se toman A y B

sobre OX y OY. Se trazan las

bisectrices de los ángulos

XAB y YBA que se cortan

en R. Probar que

ROA=ROB.

18. Encontrar un punto que a la vez

equidiste de dos puntos dados

y equidiste de dos rectas

concurrentes dadas.

19. Sea OM la bisectriz del

XOY. Sobre OX y OY se

toman A y B con OA=OB; se

unen A y B con un punto

cualquiera C de la bisectriz.

Probar que OAC=OBC y

AC=BC.

20. Dadas dos rectas X'OX y

Y'OY, sobre OX y OY se toman

A y B con OA=OB; sobre OX' y

OY' se toman A' y B' con

OA'=OB'. Probar que

A'B=AB' y OA'B=OB'A.

21. Dados dos triángulos ABC y

A'B'C' tales que AB=A'B',

BC=B'C' y las medianas

AM=A'M', probar que los dos

triángulos son congruentes.

22. Dados dos triángulos ABC y

A'B'C' tales que B=B' ,

BC=B'C' y las bisectrices

BE=B'E', probar que los dos

triángulos son congruentes.

23. Si dos triángulos isósceles

tienen las bases y las alturas

relativas a ellas


respectivamente congruentes,

probar que los triángulos son

congruentes.

24. Si dos triángulos isósceles

tienen congruentes los ángulos

opuestos a las bases y las

alturas relativas a ellas, probar

que los triángulos son

congruentes.

25. Dado un ángulo agudo XOY.

Por O y hacia el exterior se

levantan OX'OX y OY'OY.

Se toman A, B, C y D sobre

OX, OX', OY y OY' tales que

OA=OB y OC=OD. Se trazan

AD y BC. Probar que

OAD=OBC y AD=BC.

26. Dos triángulos ABC y A'BC

están situados en distinto

semiplano con respecto a la

recta BC, la cual es bisectriz

de los ángulos ABA' y ACA'.

Probar que:

a. ABC=A'BC.

b. Para todo punto M de BC, se

cumple que AM=A'M.

c. AA'BC

27. En un ABC ( AB > AC), se

traza la bisectriz AD. Se

traza la semirrecta DE tal que

ADE=ADC, con E sobre AB.

Probar que:

a. DE = DC y AE = AC.

b. AD es la mediatriz de EC.

28. Por el punto medio O de un

segmento AB se traza una

recta cualquiera. Desde A y B

se trazan las perpendiculares

AC y BD a la recta. Probar que

AC=BD. ¿Cuál propiedad

tienen los vértices A y B de un

MAB con respecto a la

mediana relativa al lado AB?.


TALLER N°4- DESIGUALDAD TRIANGULAR

1. Dado un ABC con AB > AC y AM mediana relativa a BC , desde D

perteneciente a AM se trazan BD y DC demostrar que BD > DC

2. Demostrar que en un triángulo cualquiera una altura es menor que la semisuma de

los lados adyacentes.

3. Se tiene un triángulo ABC con el lado AB>AC. Desde el vértice C se traza el

segmento CD, con D sobre AB y desde el vértice B se traza el segmento BF, con F

sobre AC y siendo DB = CF. Demostrar que FB>CD

4. Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triángulo es menor que

su perímetro.

5. En un triángulo ADB isósceles de base AB, DB es mayor que AB; se prolonga AD

hasta C. Probar que el triángulo ABC es escaleno.

6. Demostrar que la suma de las distancias de un punto O dentro de un triángulo a

sus tres vértices es mayor que el semiperímetro y menor que el perímetro del

triángulo.

7. Se tiene el triángulo ABC cualquiera, se traza AE con E sobre BC, se traza BD con

D sobre AE, demostrar que

8. En un triángulo cualquiera ABC, se trazan las bisectrices del <A y <B que se

intersectan en el punto D. Si BC > AC, demostrar que DB > AD

9. Demuestre que para cualquier cuadrilátero convexo ABCD se cumple:

10. Se tienen los puntos colineales en dicho orden, desde un punto no

colineal con dichos puntos se trazan los segmentos tales que

. Demostrar que:

.

11. Dado un triángulo ABC obtusángulo en C, se traza la mediana AM y se toma un

punto cualquiera D sobre ella. Demuestre que DB > CD


12. En un isósceles de vértice A, se traza con sobre tal que

. Demostrar que .

13. El perímetro de toda línea poligonal es mayor que el perímetro de cualquier línea

poligonal interior (aplicación del teorema de la envolvente)

14. En revisión

15. En revisión

16. En revisión

17. Se tiene el triángulo ABC, se traza el segmento BE tal que A-E-C, se traza AD tal

que E-D-B demostrar que ( ) ( )

18. En un triángulo ABC se traza el segmento BE tal que A-E-C, se traza AD tal que

E-D-B, demostrar que sabiendo que FC=DB y

19. En revisión

20. En revisión


Taller adicional de desigualdades.

Ejercicios elaborados por Carlos Alberto Ríos Villa (Excepto el 1 y el 12)

1. (Equivalente al teorema del

ángulo exterior) Los segmentos

RQ y PS se bisecan

mutuamente, se traza PQ y se

prolonga hasta un punto T Probar

que ∢𝑅𝑄𝑇 > ∢𝑃𝑅𝑄

2. En un ∆𝐴𝑃𝐵 isósceles de vértice

A, se traza 𝑃𝐻 ⊥ 𝐴𝐵 con H

sobre 𝐴𝐵 tal que 𝐴𝐻 > 𝐻𝐵 .

Demostrar que ∢𝐵 > ∢𝐴

3. En un ∆𝐴𝑃𝐵 isósceles de vértice

A, se traza 𝑃𝐻 ⊥ 𝐴𝐵 con H

sobre 𝐴𝐵 tal que 𝐴𝐻 > 𝐻𝐵 .

Demostrar que ∢𝐴𝑃𝐻 > ∢𝐻𝑃𝐵

4. Dado un triángulo ABC Iso de

base AC con ángulo vértice

obtuso, se prolonga AB hasta D

t.q AB = BD. Demuestre que AC

es mayor Que CD.


base AC con ángulo vértice

agudo, se prolonga AB hasta D t.q

AB = BD. Demuestre que AC es

mayor Que CD


base BC se prolonga la base

hasta D. Demuestre que AD es

mayor que AB.

7. Demuestre que en la altura

relativa a la hipotenusa de un

triángulo rectángulo es menor

que la semisuma de los catetos.

8. Demuestre que la altura relativa

a la hipotenusa de un triángulo

rectángulo, divide a esta en

segmentos distintos, siempre que

el triángulo no sea iso

9. Probar que en un triángulo, la

suma de las distancias desde un

punto cualquiera a los lados es

menor que la suma de las

distancia desde el mismo punto a

los lados.

10. Probar que en un

triángulo, la suma de las

distancias desde un punto

cualquiera a los lados es menor

que el semiperímetro dl

triángulo.

11. Demuestre que el

perímetro de cualquier polígono

es mayor que de un triángulo que

se encuentre adentro de él.


12. Sea AB el lado mayor del

triángulo ABC escaleno. Si P es un

punto interior a ese triángulo,

entonces PA + PB > PC.

13. Un triángulo Isósceles

tiene lados 5 y 11 ¿es posible

determinar la medida del tercer

lado de manera exacta de modo

que sea un entero?


unidad 3. triÁngulos definiciÓn y …...unidad 3. triÁngulos definiciÓn y elementos un...

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