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Propiedad Intelectual Cpech

Triángulos I

Elementos secundarios

Contenidos

Elementos primarios Clasificación


Es un polígono de tres lados. Posee tres vértices, tres lados, tres ángulos

interiores y tres ángulos exteriores. No posee diagonales.

• Elementos primarios

- Vértices

- Lados

- Ángulos interiores

- Ángulos exteriores

Triángulos


Corresponden a la intersección de dos trazos. Se identifican con letra

mayúscula.

En la figura, los vértices son A, B y C.

A B

C

Vértices

Lados

A B

C

ab

c

AB = c

BC = a

AC = b

Corresponden a los trazos AB, BC y AC. Se identifican con una letra

minúscula.


Ángulos interiores

Son aquellos que se forman por la intersección de dos lados, al interior de

la figura.

A B

C

BAC =

CBA =

ACB =

Son ángulos interiores del triángulo ABC:

Teorema

La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º.

+ + = 180o


Ángulos interiores

Teorema

Ejemplo

Dos ángulos interiores de un triángulo miden 30º y 50º, ¿cuánto mide el

tercer ángulo?

El tercer ángulo mide 100º, ya que 30º + 50º + 100º = 180º.

En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado, y

viceversa.

En el triángulo de la figura:

c > a > b

A B

C

ab

c

Ejemplo


Son los ángulos adyacentes de los ángulos interiores.

`, ` y `

Son ángulos exteriores.

Ángulos exteriores

Teorema

La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º.

` + ` + ` = 360o

En un triángulo se tiene que dos ángulos exteriores miden 120º y 110º,

¿cuánto mide el tercer ángulo exterior?

Ejemplo

El ángulo exterior mide 130º, ya que 120º + 110º + 130º = 360º.


Teorema

Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos

interiores NO adyacentes a él.

’ = +

’ = +

’ = +

Ángulos exteriores


• Altura

• Bisectriz

• Simetral

• Transversal de gravedad

• Mediana

Elementos secundarios


Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su

prolongación.

A B

C

hc

D

En la figura, CD es la altura (hc)

desde el vértice C.

El Ortocentro (H) es la intersección

de las tres alturas (ha,hb ,hc)

A B

C

H

Altura (h)


Es el segmento que “dimidia” un ángulo, es decir, lo divide en dos

ángulos iguales.

En la figura, ACD = DCB =

El Incentro (I ) es la

intersección de las tres

bisectrices (ba,bb ,bc)

B

C

DA

bcCD es la bisectriz (bc) desde el

vértice C.

(I ) :Centro de la circunferencia inscrita.

Bisectriz (b)


En la figura, S es la simetral

levantada desde el punto medio

de AB.

Es la perpendicular levantada desde el punto medio de un lado.

El Circuncentro (E) es el punto

de intersección de las tres

simetrales (Sa,Sb ,Sc)

A B

C

S

(E) : Centro de la circunferencia circunscrita.

Simetral (S)


Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

El Baricentro (G) es el punto

de intersección de las tres

transversales (ta, tb ,tc)

D: Punto medio de AB.

tc: Transversal desde C. tc

(G) : También se conoce como centro de gravedad.

Transversal de gravedad (t)


El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en la razón 2 : 1 (donde

el segmento que llega al vértice mide el doble que el otro segmento).

• Propiedad del Centro de gravedad o Baricentro (G)

D, E, F puntos medios

AE = ta, BF = tb, CD = tc

G centro de gravedad

En la figura anterior, si BG = 10 cm, entonces FG = 5 cm.

Ejemplo

Transversal de gravedad (t)


Es el segmento que une los puntos medios de dos lados. La mediana

es paralela al lado opuesto y mide la mitad de este.

D, E, F puntos medios.

Al trazar las tres medianas de un triángulo, se

forman 4 triángulos congruentes.

DE, EF y DF son medianas

El área de cada uno, es del área total del

triángulo.

1

4

Mediana


Según ángulos Según lados

Acutángulo

Todos sus ángulos

interiores son agudos

(miden menos de 90º).

Rectángulo

Tiene un ángulo

recto (mide 90º).

Obtusángulo

Tiene un ángulo

obtuso (mide más

de 90º).

Escaleno

Todos sus lados y

ángulos son distintos.Ejemplo:

Isósceles

Tiene solo 2 lados

congruentes y el lado

distinto es la base.

(Base)

Equilátero

Tiene todos sus lados y

ángulos congruentes.

Clasificación


¿Cuál es la alternativa

correcta?

A B

C

D40º

40º

E

1. En el triángulo ABC de la figura, A, D, B y E son colineales y CD es

bisectriz del ángulo ACB. ¿Cuánto mide el ángulo EBC?

A) 50º

B) 60º

C) 80º

D) 120º

E) 130º

Apliquemos nuestros

conocimientos


Como CD es bisectriz del ángulo ACB, entonces ACD = 40º.

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolución:

40º

A B

C

D

40º

40º

E

Entonces:

EBC = BAC + ACB (Ángulo exterior del triángulo)

EBC = 40º + 80º

EBC = 120º

Habilidad: Aplicación

D



correcta?

2. En la figura, CD es transversal de gravedad del triángulo ABC, AD = 5 cm,

BC = 8 cm y CD = 6 cm. ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo DBC?

A) 19 cm

B) 20 cm

C) 24 cm

D) 26 cm

E) Faltan datos para determinarlo.

A B

C

D

Apliquemos nuestros

conocimientos


Llevando los datos a la figura:

A B

C

D5 cm

8 cm6 cm

A B

C

D5 cm

8 cm6 cm

5 cm

Como CD es transversal de gravedad del triángulo, entonces D es punto

medio de AB, por lo tanto DB = 5 cm.

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolución:

Perímetro del triángulo BDC = 5 cm + 8 cm + 6 cm

Perímetro del triángulo BDC = 19 cm

Perímetro del triángulo BDC = DB + BC + CD (Reemplazando)


A



correcta?

3. En la figura, el triángulo ABC es equilátero y el triángulo BCD es isósceles

rectángulo en C. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

A) 45º

B) 40º

C) 30º

D) 22,5º

E) 15º

Apliquemos nuestros

conocimientos


Como el triángulo ABC es equilátero, entonces AB = BC = AC.

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolución:

Además, el triángulo BCD es isósceles rectángulo en C, entonces

BC DC.

Por lo tanto, el triángulo ACD es isósceles en C, entonces:

x + x + 60º + 90º = 180º

2x + 150º = 180º

2x = 180º – 150º

2x = 30º

x = 15º

x = 30º2

(Reduciendo términos semejantes)

(Despejando 2x)

(Despejando x)


E



correcta?

4. En el triángulo PQR de la figura, ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 35º

B) 37,5º

C) 40º

D) 45º

E) Faltan datos para determinarlo.P Q

R

S

x α

2αα 105º

Apliquemos nuestros

conocimientos


En la figura, 105º es ángulo exterior del triángulo RSQ, entonces:

α + 2α = 105º

3α = 105º

α = 105º

3

α = 35º

(Reduciendo términos semejantes)

(Despejando α)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolución:

Entonces, en el triángulo PSR tenemos que:

α + x + 105º = 180º

35º + x + 105º = 180º

x + 140º = 180º

(Reemplazando α)

(Sumando)

x = 40º

(Despejando x)


C



correcta?

5. En la figura, Δ ABC isósceles de base AB, D y E son puntos medios de

AB y AC, respectivamente, y BC mide 8 cm. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) FALSA(S)?

I) DE = 4 cm.

II) CD es simetral del triángulo ABC.

III) El área del triángulo ADE es la cuarta parte

del área del triángulo ABC.

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Sólo II y III

D) I, II y III

E) Ninguna de ellas.

A B

C

D

E

Apliquemos nuestros

conocimientos


I) Verdadera, ya que:

A B

C

D

E 8 cm

D y E son puntos medios de AB y AC, respectivamente, entonces DE es

mediana y por lo tanto, mide la mitad de su lado paralelo, es decir,

DE = 4 cm.

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolución:

II) Verdadera, ya que:

D es punto medio de AB y AB CD, entonces CD es simetral del

triángulo ABC.


III) Verdadera, ya que:

Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman cuatro triángulos

congruentes, entonces el área de cada uno de estos triángulos es la cuarta

parte del área del triángulo mayor, que en este caso es el triángulo ABC.

A B

C

D

E

14

34

Por lo tanto, ninguna de ellas es falsa.

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolución:

Habilidad: Análisis

E

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