TRABAJO COLABORATIVO FASE 3

ECUACIONES DIFERENCIALES

PRESENTADO POR:

ANDRES MAURICIO VILLALBA

CODIGO: 1056771241 

PRESENTADO A:

DELFINA REYES

100412_19

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

PROGRAMA INGENIERIA INDSTRIAL

CEAD LA DORADA

DICIEMBRE 3 DEL 2014

SEGUNDA ACTIVIDAD

A continuación se presenta una situación problema que el estudiante con su grupo colaborativo debe buscar la manera de resolver teniendo en cuenta los siguientes elementos: Leer y analizar el problema, realizar una lista de conocimientos previos y de lo que no se conoce, preparación y discusión en grupo, solución del problema.

ProblemaSe lanza un cuerpo de masa m hacia arriba de la tierra con velocidad inicial v0. Suponiendo que no hay resistencia del aire, pero tomando en cuenta la variación del campo gravitacional con la altura, encontrar la menor velocidad inicial v0 que necesita el cuerpo para que no regrese a la tierra. Esta velocidad inicial v0 se le llama velocidad de escape. (Ver figura 1.).

Solución

La ecuación diferencial de un cuerpo de masa m en caída libre cerca de la superficie de la Tierra está dada por:

md2 sd t2 =−mg , o simplemente

d2 sd t 2 =−g

Donde s representa la distancia desde la superficie de la tierra hasta el objeto y se considera que la dirección positiva es hacia arriba. La distancia s es pequeña comparada con el radio R de la tierra, porque la distancia y desde el centro de la tierra al objeto es aproximadamente la misma que R. Se combina la ley de gravitación de Newton y la ley de gravitación universal para obtener la ecuación diferencial en la variable y.

Si la dirección es positiva hacia arriba y se desprecia la resistencia del aire, la ecuación del movimiento es:

md2 yd t 2 =−k

Mmy2 ó

d2 yd t2 =−k

My2

Donde k es una constante de proporcionalidad, y es la distancia desde el centro de la tierra a la masa m.

Cuando y=R → kMmR2 =mg → k= g R2

M

d2 yd t2 =−k

My2

d2 yd t2 =−g

R2

y2

Dado que v=dydt

y v=v o , y=R

dvdt

=−gR2

y2

Por la regla de la cadena: dvdt

=dvdy

dydt

=vdvdy

dvdt

=vdvdy

=−gR2

y2 vdv=−gR2dy

y2 ∫ vdv=−g R2∫ dy

y2

12

v2= g R2

y+c

Como v=v o , y=R :

12

v o2=g R2

R+c

12

v o2=gR+cc=−gR+ 1

2vo

2

12

v2= g R2

y−gR+ 1

2vo

2

Cuando y → ∞,v → 0

0=0−gR+ 12

vo2 12

v o2=gRvo=√2 gR