UNIVERSIDAD TCNICA FEDERICO SANTA MARA CAMPUS SANTIAGO LABORATORIO FSICA PRIMER SEMESTRE 2012

ANLISIS Y TEORA DEL ERROR EXPERIMENTALLaboratorios de Fsica, Universidad Tcnica Federico Santa Mara Campus Santiago

IntroduccinUn experimento es una forma usualmente utilizada para comprender la naturaleza de un fenmeno y validar o comprobar lo que tericamente se plantea. Es necesario entonces, seguir una metodologa cientfica para poder medir y analizar los datos que permitan construir un modelo experimental o emprico, para luego compararlo con el modelo terico. El anlisis y los resultados obtenidos deben proporcionar conclusiones claras y concretas que permitan entender el fenmeno en anlisis, as tambin, es importante que todo esto quede reflejado en un documento de carcter cientfico, que permita transmitir el conocimiento adquirido al resto de la comunidad cientfica. Para cumplir con lo anterior se debe tener un conocimiento base sobre los mtodos de medicin, representacin de cifras, generacin de hiptesis y modelos empricos, tratamiento y anlisis de datos y por supuesto generacin de conclusiones. Para disminuir el grado de dificultad del anlisis en el laboratorio se opta por realizar un modelamiento a travs de la representacin grfica, apoyado por un software de planilla de clculo con opciones de anlisis de tendencias.

Cuando la funcin no es lineal o no se conoce con certeza el fenmeno, es recomendable ir graficando a medida que se van tomando datos y decidiendo a tiempo real dnde conviene tomar el siguiente dato, por supuesto hay que ocupar todo el rango posible y tomar an ms datos que en el caso anterior. Todos estos valores van ingresando a una tabla de datos, la cual debe generarse teniendo en cuenta las cifras significativas y las incertidumbres propias del experimento adems de las unidades utilizadas. Se debe recordar que estos valores estn dados principalmente por el mtodo experimental y por los instrumentos de medicin utilizados, un anlisis de esto en profundidad se puede ver en el captulo Mediciones del texto ocupado en Fsica 100. Existen criterios para trabajar con cifras significativas, el experimentador debe ser fiel a estos criterios, mantenindolos siempre en todos los valores que exprese. Una vez recogido los datos experimentales en una tabla, es necesario encontrar una ecuacin que los relacione, para esto existen dos mtodos; matemtico y grfico. Sin embargo, necesitamos determinar si los puntos obtenidos corresponden a una relacin lineal o no, antes de proceder con el anlisis y la obtencin de la ecuacin. La linealizacin es una forma de transformar datos que describen una tendencia no lineal a datos con tendencial lineal, existen varias formas para realizar esta conversin, pero el ms general es aplicando logaritmo a los datos experimentales. Esto nos permite obtener una relacin de tipo lineal entre los logaritmos de las variables en estudio. De esta relacin logartmica de las variables es factible obtener los parmetros de la funcin origen y el coeficiente de correlacin que nos permitirn dilucidar la relacin que existe entre las variables. Al generar un grfico de los logaritmos de las variables deberamos observar una tendencia lineal a simple vista, al realizar este grafico en un software de planilla de clculo esta nos permitir ajustar una tendencia a los puntos y obtener la ecuacin del ajuste realizado (simplificndonos los clculos matemticos que deberamos hacer para obtener la regresin lineal por el mtodo de mnimos cuadrados). Un grfico a tiempo real nos podr dar una idea de cmo es la funcin, siendo una potente herramienta para ir verificando si los datos que se toman concuerdan con lo esperado, y as, asegurar que la medicin realizada no presenta errores graves. Para lo anterior, es necesario tener claro que al generar el grfico se debe considerar en el rango todas las celdas en que se ingresarn los datos (esto permitir que al ir ingresando cada uno de los datos se genere automticamente el nuevo punto en el grfico, auto escalndose los ejes), cuando se tengan 2 datos a lo menos se podr generar la

Plan de TrabajoEl estudio de un fenmeno fsico parte por la correcta eleccin de las variables con las cuales se trabajar, teniendo en cuenta tambin aquellas que se debern mantener bajo control y constantes. Como se plante el fin ltimo de la experimentacin y por ende del trabajo de laboratorio que se desarrollar es entender la fenomenologa presente en un sistema fsico y la correspondencia con los planteamientos tericos, lograr un pensamiento cientfico del experimentador y un reflejo de los conocimientos adquiridos a travs de un informe. El punto de partida entonces es definir las variables a manipular, el rango dentro del cual se pueden variar y la cantidad de datos a cuantificar. Para efectos prcticos, entonces se tratar de ocupar el rango de valores lo ms grande posible, la cantidad de datos depender del conocimiento previo terico del fenmeno en estudio, si se espera una relacin lineal quizs baste con pocos datos. Sin embargo, esto tambin involucra una alta posibilidad de obtener un error grande, es mejor, tomar una cantidad considerable de datos y aplicar algunas tcnicas para minimizar los errores.

lnea de tendencia y pegar la ecuacin y coeficiente de correlacin, la cual tambin se auto ajustar a medida que se va completando la tabla. Es importante destacar que si no se sigue este procedimiento se corre el riesgo de errar en la toma de datos (y errar es humano) y perder valioso tiempo. En un grfico se debe depositar la mayor cantidad de informacin que sea relevante permitiendo una correcta lectura de ste. Un grfico debe explicarse por s slo, en l se debe incluir la ecuacin emprica y el coeficiente de correlacin, el cual entrega que tanto se acerca la funcin hiptesis que se prueba a los datos experimentales, mientras ms cerca del valor 1 mejor es la hiptesis, ciertamente esto permite despejar dudas cuando no est clara la tendencia que presentan los puntos o no se tiene certeza de la relacin terica que relacionan las variables en estudio. Una vez clarificada la relacin existente se puede graficar las variables originales y ajustar la tendencia que corresponda para as comparar la ecuacin emprica obtenida con la ecuacin terica esperada, tanto los exponentes como las constantes involucradas a travs de un medidor llamado error porcentual el cual entrega una comparacin entre un valor y otro. Por lo general el error porcentual se tomar como:

Por cierto, si de un experimento se puede, por ejemplo, desprender 2 3 valores de la aceleracin de gravedad (g), stos deben entregarse claramente en el anlisis y posteriormente en la conclusin se entregar un solo valor experimental de g, basado en el estudio realizado en el anlisis.

Eleccin de las VariablesDe una manera muy general, cuando se estudia un sistema cualquiera, se trata de obtener las variaciones o respuestas del sistema ante ciertas perturbaciones que se aplican de manera controlada. La Figura 1 representa esquemticamente un sistema bajo estudio.

Figura 1: Representacin esquemtica de un sistema al que se estudia las respuestas Yi cuando se vara el conjunto de variables Xi.

En muchas ocasiones se encuentran algunos datos importantes (constantes fsicas) inmersas en las ecuaciones empricas, como la aceleracin de gravedad, la constante de elasticidad de un cuerpo, etc. Estos valores deben ser despejados y comparados con los tericos de igual forma. Una vez hecha las comparaciones se debe realizar un profundo anlisis cualitativo tanto de los grficos como de los resultados, adems de una descripcin y anlisis detallados de los fenmenos fsicos visualizados durante la experimentacin, las consideraciones para realizar la toma de datos y un profundo anlisis de las fuentes de error o discrepancias presentes en la experimentacin. Posteriormente se debe profundizar en un anlisis cuantitativo de los resultados encontrados y los errores porcentuales, para finalizar con un anlisis global del experimento. Es importante entregar dentro del anlisis las ecuaciones y constantes encontradas de forma clara y con las incertidumbres, unidades y cifras adecuadas, esto es la base del anlisis. Del anlisis realizado se deben desprender las conclusiones, las cuales deben estar referidas a los objetivos de la experiencia, y deben contener toda la informacin relevante del experimento incluidas las ecuaciones y constantes encontradas. Tambin se pueden extraer conclusiones de algunos anlisis secundarios que no necesariamente estn indicados en la gua, pero que si se pueden realizar en base a los datos tomados y las comparaciones con predicciones tericas o resultados obtenidos por otros mtodos de medicin. Se debe si tener cuidado de no concluir cosas que no se analizaron o que simplemente no se midieron como podra ser por ejemplo una dependencia respecto a la posicin geogrfica de los datos tomados.

Se designan como Xi a las variables de entrada o variables independientes que se pueden controlar y variar. Ante los cambios de Xi, el sistema revela sus caractersticas o comportamientos a travs de los cambios que sufren las variables Yi, que pueden llamarse las variables de salida o variables dependientes. Por simplicidad, toda vez que se estudia un sistema, ser ms til concentrarse en la respuesta de una de las variables de salida ante las variaciones de slo una de las variables de entrada, lo que es una situacin muy comn en un experimento. Es importante mantener el resto de las posibles variables constantes, y slo trabajar con dos a la vez, una de salida y otra de entrada.

Representacin Grfica de DatosAl analizar los datos, difcilmente de la observacin de la tabla de valores, se podr establecer el tipo de relacin que existe entre las variables. Un mtodo poderoso para estudiarlo es la representacin grfica. A veces ella permite obtener o predecir un modelo matemtico para la relacin entre las variables inmediatamente. El grfico permite observar todos los datos de un vistazo incluyendo los puntos de mximo y mnima inflexin y el tipo general de la curva. La presentacin y anlisis de los resultados experimentales debe considerarse como parte integral de los experimentos. Es realmente til que los datos obtenidos se presenten en un grfico, donde quede resumida la informacin para su apreciacin y anlisis. En la mayora de los casos un grfico es ms til que una tabla de valores, especialmente en los casos en que: Los experimentos se llevan a cabo midiendo una variable Y en funcin de otra X que se vara independientemente y se quiere interpretar la relacin funcional entre ellas. Por ejemplo: medicin del perodo de un pndulo en funcin de su longitud, medicin de la cada de potencial en un alambre en funcin de la corriente aplicada, etc.

Campo Magntico 0.001 [T]

Interesa estudiar si dos variables mantienen una correlacin (causal o no) y cmo es esta vinculacin o grado de interdependencia. Por ejemplo: estudio de la relacin entre el peso y la altura de personas, relacin entre la velocidad mxima que alcanza un velero y su extensin desde proa a popa, etc. Se trata, en primera instancia, de que la informacin que se quiere representar quede expuesta de una manera lo suficientemente clara y explcita como para que la representacin grfica hable por s sola. Lo importante es que un grfico debe servir para un posterior tratamiento de los datos, que lleve a inferir las leyes subyacentes en ellos y ahondar as en las posibles implicaciones y generalizaciones de los resultados obtenidos en los experimentos. Como elemento ordenador de la informacin recolectada en un experimento, un grfico debe construirse sobre la base de una eleccin adecuada tanto de las variables como de las escalas.

solenoide con un instrumento digital en funcin de la distancia usando una huincha mtrica.

3,000 2,500 2,0001,500

B = -0,1368d + 3,248 R = 0,9932

Exp. Tericos

1,000 0,500 0,000 5,000 10,000 Distancia 0.0005 [m] 15,000

Grfico 1: Magnitud del campo magntico en un solenoide de largo fijo en funcin de la distancia, en donde se comparan las graficas terica y experimental.

Diseo de GrficosAdems de la correcta eleccin de las variables y de las escalas, un grfico adquirir una mejor presentacin si se cuidan algunos detalles: Identificacin de los ejes con rtulos bien ubicados que digan qu variables se representan y en qu unidades se miden. Adems, los ejes deben incluir la incertidumbre. La curva debe cubrir la mayor parte del grfico, pero no debe mostrar ms exactitud que la incertidumbre de las mediciones. Las escalas deben estar numeradas claramente para facilitar la lectura. El punto de intercepcin se debe escoger por conveniencia y no necesariamente debe ser cero. Uso de smbolos que ubiquen los datos (cuadrados, crculos, rombos, etc.), en lo posible con sus incertidumbres (barras); que haya una diferenciacin de distintas series de datos cuando se presenten varios resultados, para lo que es recomendable el uso de diferentes smbolos. Inclusin de un epgrafe, que es un texto descriptivo de lo que est representado en el grfico y que adems puede manifestar informacin adicional importante. Carteles interiores al grfico, con informacin complementaria relevante (ecuaciones, coeficiente correlacin) para entender en qu contexto se muestran los datos o sobre las condiciones experimentales particulares bajo las que se los han obtenido. Una clara diferenciacin entre lo que es propio del resultado experimental del trabajo y lo que corresponde a una comparacin con una teora o modelo propuesto (por ejemplo, usar lneas continuas) o a resultados extrados de otras fuentes. A continuacin se muestra un ejemplo de un grfico y su epgrafe. En el Grfico 1 se mide el campo magntico en un

Relaciones LinealesUna relacin entre las variables X e Y del tipo:

es tal vez la ms simple de todas. La representacin grfica de la ecuacin (2) arrojara una lnea recta, de pendiente a y que corta al eje vertical en b. Esta dependencia de Y con X se llama una relacin lineal entre X e Y. La recta es la forma geomtrica ms simple en dos dimensiones. Al mismo tiempo, una relacin lineal entre dos variables cualesquiera es ms fcil de ser identificada a simple vista. Entre una recta y una curva nuestro ojo siempre notar la diferencia, pero no discriminar a la funcin que define la curva. Se puede probar esto con la ayuda del Grfico 2.

Grfico 2: Representacin de dos series de datos. Cul serie aproxima mejor una relacin lineal entre las variables X e Y?

En el Grfico 2 estn representadas dos series de datos. Se inferir cualitativamente cul de las series puede aproximarse por una relacin lineal entre las variables X e Y. Para esto se usa un mtodo prctico: se lleva el papel hasta el nivel de los ojos (se puede cerrar uno como cuando se hace puntera) y se ve si los puntos se encuentran alineados. Este tipo de toma de decisin no debe desdearse en el momento de analizar datos experimentales. La decisin de aceptar o no una relacin lineal entre las variables debe ser tomada por el experimentador, ya sea se espere o no una vinculacin lineal entre las variables en juego. Una vez que decidimos que los datos caen sobre una recta, recin se puede estimar los parmetros (pendiente y ordenada al origen) de la mejor recta que aproxime la relacin funcional. Para

encontrar esta mejor recta se puede dibujar criteriosamente esa recta y definir los valores de la pendiente y la ordenada al origen, o usar mtodos numricos ms generales para encontrarlos.

Funciones PotencialesSe miden pares de valores (X,Y) teniendo conocimiento que la relacin funcional que los vincula es del tipo:

linealizadas de los grficos (X,Y) junto a las distintas maneras de llevar a cabo la linealizacin. A menudo nos confrontamos con situaciones en las que existe o suponemos que existe una relacin lineal entre las variables X e Y. Surge de modo natural la pregunta: cul es la relacin analtica que mejor se ajusta a nuestros datos? El mtodo de mnimos cuadrados es un procedimiento general que nos permite responder esta pregunta. Cuando la relacin entre las variables X e Y es lineal, el mtodo de ajuste por mnimos cuadrados se denomina tambin mtodo de regresin lineal. El Grfico 3 ilustra el caso lineal. La dispersin de los valores est asociada a la fluctuacin de los valores de cada variable. Observamos o suponemos una tendencia lineal entre las variables y nos preguntamos sobre cul es la mejor recta.

donde a y n son constantes. Esta forma funcional potencial es muy comn en las ciencias puesto que sirve como aproximacin del comportamiento en una gran variedad de casos. La constante n suele llamarse exponente de escala y define la escala de variacin de Y segn vara X. Esto es, si X se multiplica por un factor q, Y cambiar consecuentemente qn veces. El significado fsico de la constante a es el de representar el valor que toma Y cuando X vale la unidad. La dimensin de a es tal que da homogeneidad dimensional a la ecuacin.

Linealizacin a travs de la Transformacin de VariablesSi en la ecuacin (3) transformamos las variables haciendo el siguiente cambio:Grfico 3: Datos asociados a un modelo lineal. La cantidad representa la desviacin de cada observacin de respecto del valor predicho por el modelo

oda vez que conozcamos el exponente ny representamos las nuevas variables , lo que obtenemos es una relacin lineal entre las variables transformadas y decimos que hemos linealizado la representacin grfica. En este caso se transforma la variable X, pero bien se podra haber optado por el cambio en la variable dependiente Y, obteniendo tambin una relacin lineal entre las nuevas variables representadas . Est claro que lo anterior es inmediato de realizar si conocemos el valor del exponente n. Adems, observamos que un grfico linealizado nos da el valor de la constante a. Por otra parte si no conocemos el exponente es recomendable usar la funcin logaritmo y representar en funcin de . Esto queda claro si transformamos la ecuacin (3), calculando el logaritmo para ambos miembros se obtiene: (4) Al comparar esta expresin con la ecuacin de la recta podremos determinar la pendiente como n y el intercepto como .

Suponga que se han medido N pares de valores , y que se formula la hiptesis de que la funcin es lineal, es decir, de la forma , donde a y b son valores que se desean determinar. Necesitamos un mtodo que permita: Indicar qu tan buena es la hiptesis de que la funcin es lineal. Calcular los valores de las constantes a y b que mejor representan al conjunto de datos experimentales . Calcular el error de las constantes a y b obtenidas.

Se define el error del punto i-simo, como la diferencia entre el valor medido y el valor terico dado por la ecuacin de la recta.

Regresin Lineal a travs de Mnimos CuadradosHemos enfatizado sobre la importancia de las representaciones grficas y hemos visto la utilidad de las versiones

El mtodo de los mnimos cuadrados, consiste en elegir los valores de a y b tales que la suma de los cuadrados de los errores, , sea mnima. A partir de esta condicin es posible encontrar un algoritmo, que permite calcular los valores ms probables de a y b, los respectivos errores y , y una constante llamada coeficiente de regresin lineal r, que indica qu tan buena es la hiptesis de que la relacin entre las variables es lineal.

Deteccin de Errores SistemticosToda vez que se mide una magnitud con un error sistemtico, los valores medidos difieren de los reales en una cantidad fija. La pericia del experimentador es clave para evaluar las correcciones necesarias de estos datos afectados sistemticamente por un error de medicin. Un ejemplo comn es el error de cero de los instrumentos de aguja. El ejemplo ms familiar es el de una balanza de farmacia que, dado su desgaste, indica 1 kg. an cuando nadie est de pie en la plataforma (a veces, este error de medicin aporta consuelo cuando nos pesamos en una buena balanza). En el laboratorio, el error de cero suele aparecer en instrumentos de mediciones elctricas o cronmetros de aguja. Si con uno de estos instrumentos defectuosos se mide la variable Y en funcin de otra X, un grfico Y(X) resultar desplazado en la vertical una cantidad igual al error sistemtico de cada punto Y. Si la relacin entre estas variables fuese lineal, ecuacin (2), la presencia de tal desplazamiento sistemtico llevar a que aparezca una ordenada al origen falsa. Es decir, cuando , tenemos , en vez de . En un grfico log-log de Y(X) la desviacin de la curva resultante de la recta esperada sin ordenada al origen se descubre con facilidad y ayuda a la correccin de los datos. En ese sentido es interesante notar que si tenemos una relacin entre las variables X e Y de la forma , si representamos X en funcin de Y en escala log-log esta vez no se obtiene una recta.

significado. El asignar a una magnitud un nmero acompaado de una unidad, constituye lo que llamaremos una medida o medicin. En general, toda magnitud fsica susceptible de ser medida depende de muchas variables. Algunas son relevantes (tienen mayor influencia en el valor medido) y otras no lo son. Algunas son fcilmente controlables, mientras que otras no lo son. Adems, existen limitaciones instrumentales, fsicas y humanas que afectan el proceso de medicin. Dado todo lo anterior, si uno mide varias veces la misma magnitud, en las mismas condiciones y con el mismo instrumento, es muy probable que se obtengan valores numricos diferentes. Por definicin, toda medicin tiene asociada una incertidumbre, incerteza o error, y el conjunto de reglas que permite su determinacin se denomina teora de errores. El error se puede concebir como la variacin (dispersin) de las diferentes mediciones con respecto a un valor central. La medicin de una cantidad fsica por s sola, sin la especificacin de su rango de incertidumbre, no resulta til para el quehacer experimental. Se denomina valor verdadero a aquel que se obtendra si no existiesen errores en las mediciones. Si bien se puede mejorar el procedimiento de medicin, jams se podr eliminar completamente el error, por lo que jams se puede esperar la obtencin del valor verdadero. En consecuencia, una de las primeras cosas que hay que tener presente a la hora de tomar mediciones es que los instrumentos no miden el valor verdadero, sino que dan solamente una estimacin de dicho valor. En general, existen tres tipos de incertezas o errores de medicin: a) Errores sistemticos: Se producen por factores indeseables (externos o internos) que interactan consistentemente con el sistema en estudio. No pueden ser detectados y eliminados por simple repeticin del experimento. Ejemplos: Mala calibracin de instrumentos. Malos hbitos de trabajo del experimentador. Errores de paralaje (mala ubicacin del observador al leer los instrumentos, en especial los anlogos. Por ejemplo, reglas e instrumentos con aguja) Efectos de factores no considerados en el experimento. Por ejemplo, despreciar roce con el aire en algunos casos. Para evitar este tipo de errores debemos: Controlar el estado de los instrumentos, en particular su calibracin. Establecer claramente las condiciones de observacin y/o experimentacin. Revisar el fenmeno que se est analizando de manera de tener claro las variables relevantes. b) Errores accidentales o aleatorios: Son usualmente los ms responsables de que se obtengan valores distintos al repetir una medicin. Por ejemplo: Errores de apreciacin. Errores por condiciones fluctuantes. Errores por caractersticas del objeto medido. Para evitar este tipo de errores debemos: Repetir la medicin varias veces y tomar el promedio de los valores obtenidos como el resultado de la medicin.

Coeficiente de CorrelacinEl coeficiente de correlacin puede tomar valores entre 0 y 1 (para rectas de pendiente positiva). El valor significa que las variables no estn relacionadas entre s, entonces, cualquier tendencia a estar en la funcin hiptesis es puramente por azar. Un valor , significara que los puntos estn todos exactamente sobre la funcin hiptesis, entonces, hay 100% de certeza de que corresponde a la funcin esperada. En un experimento nunca obtendremos , porque siempre puede haber algn grado de correlacin, simplemente por casualidad. Tampoco obtendremos en un experimento porque siempre habr errores aleatorios en las mediciones que se efectan.

Teora del Error ExperimentalTodas las ciencias experimentales se basan en la obtencin de informacin mediante la observacin de fenmenos que ocurren en la naturaleza. Dicha informacin resultar incompleta a menos que se trate de una informacin cuantitativa. Tal y como ahora se conciben la ciencia y la ingeniera, toda teora busca fundamentar su validez a travs de la comparacin con la evidencia experimental. La toma de mediciones constituye el corazn del quehacer experimental. En trminos simples, medir es obtener el valor numrico de una magnitud fsica relacionada con algn fenmeno de inters. Para ello, se compara la magnitud medida con otra magnitud patrn denominada unidad, que le da

Usar sistemas de medicin en donde los datos observados sean registrados automticamente por medio de mquinas especializadas. Estas pueden eventualmente trazar grficos para que el experimentador los analice.

Exactitud se refiere a qu tan cercanos quedaron los dardos del blanco. Precisin se refiere al grado de dispersin de los dardos. Mientras ms concentrados estn, ms precisos son.

c) Errores burdos: Errores producto de equivocaciones de procedimiento de parte del experimentador. Por ejemplo: Leer mal un instrumento. Contar mal un nmero de sucesos. Errores de clculo. Para evitar este tipo de errores debemos: Realizar las mediciones con rigurosidad, preocupndose constantemente de hacer y revisar bien cada etapa de la medicin. Con el fin de maximizar la confiabilidad y utilidad de las mediciones, y en consecuencia la validez del experimento, es necesario reducir lo ms posible las influencias de estos factores, y para ello se hace necesario analizar las fuentes de error. En este punto, resulta conveniente mencionar dos conceptos importantes: exactitud y precisin. La exactitud se refiere a la cercana del valor medido al valor exacto o esperado. Los errores sistemticos afectan la exactitud de las mediciones. La precisin se refiere al grado de dispersin de las mediciones. Los errores aleatorios afectan la precisin de las mediciones.

A partir de estas ideas, se puede explicar cada caso ilustrado en la Figura 2: a) Exacto y Preciso: los dardos estn concentrados en un rea pequea alrededor del blanco. Corresponde a un instrumento calibrado y preciso (situacin ideal). b) Inexacto y Preciso: los dardos estn concentrados en un rea pequea, la cual est lejos del blanco. Corresponde a un instrumento preciso, pero descalibrado. c) Exacto e Impreciso: los dardos estn muy dispersos, pero en promedio dan en el blanco. Corresponde a un instrumento calibrado pero impreciso, en cuyo caso conviene promediar mediciones y obtener desviacin estndar. d) Inexacto e Impreciso: dardos muy dispersos y que, en promedio, dan en un punto lejos del blanco. Corresponde a un instrumento descalibrado e impreciso, en cuyo caso no queda otra opcin que descartar las mediciones. Medir una sola vez una variable fsica no proporciona un buen criterio de fiabilidad, dado que todas las variables que influyen en un experimento no pueden ser absolutamente controladas. Es por ello, que las mediciones deben efectuarse muchas veces bajo idnticas condiciones, es decir, deben ser fcilmente reproducibles. Un tratamiento estadstico de las fluctuaciones de estas mediciones efectuadas bajo idnticas condiciones, alrededor de un cierto valor ms probable, proporciona ideas respecto a: La reproducibilidad de la medida. La confiabilidad del mtodo de medicin empleado. La validez de la teora cientfica estudiada.

La exactitud y la precisin son conceptualmente diferentes. Un conjunto de mediciones puede ser preciso o impreciso, y exacto o inexacto. La Figura 2 muestra los cuatro casos posibles y sus implicancias.

La incertidumbre de una medida fsica dice mucho acerca de la tecnologa involucrada en el instrumento de medicin y del mtodo de clculo o modelo empleado en la obtencin de este valor. Una incertidumbre o fluctuacin grande, es decir, del orden de la medida obtenida, permite dudar del mtodo de medicin empleado. Una medida obtenida con una razonable incertidumbre y que arroje un resultado no predicho por la ley, permite dudar de su validez.

Estimacin del Error ExperimentalTodos los resultados, sean de cantidades medidas o calculadas, deben informarse siempre de la siguiente forma, que es usual en ciencia e ingeniera:

Figura 2: Muestra grficamente las diferencias entre los conceptos de exactitud y precisin.

Para entender la analoga de los dardos y el blanco, hay que tomar en cuenta que:

y con el nmero correcto de cifras significativas.

El valor a informar de una cantidad medida N veces, es el promedio de las N medidas. Si la cantidad fsica a medir es x y para ello se hacen N mediciones x1, x2, , xN, el promedio estar dada por:

El error relativo se puede expresar como porcentaje, as el error porcentual est dado por la siguiente ecuacin:

Por ejemplo, considere el siguiente conjunto de mediciones: Para la estimacin del error vamos a considerar dos tipos: el error aleatorio y el error instrumental. El error aleatorio de una serie de mediciones puede estimarse como la desviacin estndar de los datos medidos. La desviacin estndar para una muestra de N elementos o medidas de una poblacin estar dada por: Cul de estas medidas es ms precisa? Evidentemente, la medida hecha con ms precisin fue m3. Estos valores expresados en porcentaje son: El error instrumental corresponde, en general, a la resolucin del instrumento, es decir, la mnima diferencia que es capaz de distinguir. En algunos instrumentos la resolucin est dada por el fabricante. Si no es as, puede estimarse como: de la divisin ms pequea de la escala, para instrumentos analgicos. en el ltimo dgito, para instrumentos digitales. Esta manera de exponer el error relativo permite apreciar las diferencias entre los distintos errores relativos de una medicin.

Propagacin del ErrorLas mediciones que se obtienen en un experimento son en general de dos tipos: Mediciones directas: aquellas que se obtienen directamente de una medicin. Mediciones indirectas: aquellas que son calculadas a partir de operaciones con mediciones directas.

Para cantidades medidas, se informa el error aleatorio, a menos que este ltimo sea menor que el error del instrumento. En este caso, no tiene sentido informar el error aleatorio, sino el error instrumental. Es decir:

El error nos da una medida de la precisin del conjunto de mediciones. Observacin: Las constantes que no provienen de mediciones tales como , el factor en el rea de un tringulo, no tienen error.

Como cada medicin directa tiene asociado un error experimental, cualquier medicin indirecta obtenida a partir de ellas tambin tiene asociada un error experimental. Tal error se denomina error de propagacin, y se estima a partir de los errores de las mediciones directas involucradas. En trminos concretos, sean las mediciones directas A, B, C,, etc. que se expresan como , , , etc. Se pretende calcular la medicin indirecta Y, que es funcin de A, B, C,, etc., es decir, , donde Y se expresa como , donde es el valor medio y el error experimental. La propagacin del error es el conjunto de reglas que permiten asignar un valor de error a la medicin indirecta Y, a partir de las mediciones directas A, B, C,, etc. y dndole a cada una la importancia relativa que le corresponde. El clculo del error propagado se puede hacer desde dos posibles hiptesis: la pesimista y la estadstica. A continuacin se explicarn ambas hiptesis, aunque dejando constancia que el trabajo de laboratorio se har usando la hiptesis estadstica, de uso ms comn en el mundo cientfico.

Errores Absoluto, Relativo y PorcentualEl error absoluto se define como la diferencia absoluta entre el valor medido de una magnitud y el valor verdadero.

en que es la i-sima medicin y el promedio de todas la mediciones. El error absoluto tambin puede corresponder al error aleatorio o instrumental. El error relativo es un parmetro adimensional que permite establecer una comparacin entre un conjunto de mediciones. Corresponde al cociente entre el error absoluto y el valor verdadero:

a) Hiptesis Pesimista En la hiptesis pesimista, se asume que los errores de las mediciones directas no se compensan entre s, por lo que se estima el error mximo posible. Esto se da en el caso de que las mediciones directas sean dependientes o estn relacionadas entre s, de manera que una sobreestimacin (o subestimacin) de la variable X trae como consecuencia una sobreestimacin (o subestimacin) de otra variable Y. Sean , , donde , y son los valores medios y respectivos errores absolutos. i. Suma: tres mediciones, y son los

parcialmente, por lo que la hiptesis pesimista termina entregando una estimacin exagerada del error propagado. En la hiptesis estadstica se supone que las variables son aleatorias e independientes entre s. Asumiendo adicionalmente que las variables se distribuyen en forma normal o gaussiana (y haciendo deducciones que, para su comprensin, requieren de elementos de clculo y lgebra que usted recin est adquiriendo en las asignaturas de matemtica que est estudiando y va a estudiar durante su carrera) se obtienen las expresiones que se explicarn a continuacin, que son las que va a usar en su trabajo experimental. Sean , , donde , y son los valores medios y respectivos errores. tres mediciones, y son los

,

,

Para estimar el error propagado segn la hiptesis estadstica pueden usarse las siguientes frmulas: ii. Resta: i. Suma y Resta. Para una cantidad Q, calculada a partir de sumas y restas de cantidades medidas:

iii.

Multiplicacin:

el error propagado

est dado por:

iv.

Divisin:

Ejemplo: Se han medido los largos de las secciones del eje mostrado en la Figura 3, usando el mismo instrumento. Resulta evidente que la longitud total L del eje es igual a la suma de las longitudes de las secciones a y b, es decir:

av. Potenciacin:

b

Lvi. Radicacin:Figura 3: Eje de largo L, que corresponde a la suma de las longitudes a y b.

Si es el error de a y es el error de b, el error propagado de la longitud del eje estar dado por:

b) Hiptesis Estadstica Como se mencion anteriormente, la hiptesis pesimista siempre se sita en el caso ms desfavorable, en el cual se asumen errores simultneos en todas las variables medidas directamente. Sin embargo, lo ms comn es que las variables sean aleatorias e independientes entre s. En esa situacin, el caso ms desfavorable resulta altamente improbable, por lo que una sobreestimacin (o subestimacin) de la variable X no viene necesariamente acompaada de una sobreestimacin (o subestimacin) de otra variable Y. As, los errores se compensan

ii. Multiplicacin, Divisin, Potenciacin y Radicacin. Para una cantidad Q, calculada a partir de productos y cuocientes de cantidades medidas, y sus potencias:

El error propagado

est dado por:

Ejemplo: Considere un cilindro regular de radio basal r y altura h, Figura 4. El volumen de este cilindro est dado por . El error propagado del volumen del cilindro estar dado por:

Supongamos que vamos a medir el largo de tres mesones y sacar el promedio de las tres mediciones. Las mediciones se harn usando una huincha de medir graduada en [m] y [dm]. Se obtienen los valores 3,60 [m], 3,63 [m] y 3,62 [m]. Al sacar el promedio con una calculadora, el resultado da 3,6166667 [m]. Sin embargo, el instrumento usado permite medir con certeza hasta los centmetros y estimar los milmetros, por lo que cualquier cifra ms all de eso introduce informacin adicional. Para que ese resultado sea vlido como medicin, tendra que obtenerse usando un instrumento graduado hasta los diezmilsimos de milmetro. Por ello, la coherencia con el procedimiento de medicin exige aproximar hasta los centmetros, por lo que el promedio quedara en 3,62 [cm]. En Fsica se toma especial cuidado en expresar las cantidades por nmeros cuyas cifras tengan real significado, esto es, que transmitan informacin til, que sea obtenible directamente o al menos estimable con el instrumento usado. A estas cifras las designamos con el nombre de cifras significativas. Convenios para cifras significativas: 1) Los resultados de una medicin se deben expresar mediante un nmero cuyas cifras reflejen el cuidado o precisin con que se efectu esa medicin.

es el valor medio del radio. es el valor medio de la altura. es el valor medio del volumen. es el error del radio. es el error de la altura.

rh

rFigura 4: Cilindro de altura h y radio basal r.

Por ejemplo, si la medicin se hizo con una regla graduada en [cm], la precisin del nmero no puede ser mayor que la de milmetros. En tal caso, los centmetros son informacin segura y los milmetros se estiman al ojo. En un nmero de medicin, la ltima de las cifras seguras (la que est al lado de la cifra dudosa), representa la graduacin mxima del instrumento, o divisin ms pequea de su escala. Por otra parte, la resolucin de un instrumento es la diferencia ms pequea que ste puede discriminar. Una buena estimacin de la resolucin de un instrumento es de su graduacin mxima. Por ejemplo, en el valor L = 21,78 [cm], la cifra dudosa (el 8) corresponde a las dcimas de milmetro, mientras que la ltima cifra segura (el 7) indica que el instrumento usado tiene graduacin mxima en [mm], y una resolucin de 0.5 [mm]. Usualmente se llama precisin de una serie de mediciones, a la dispersin ms representativa del conjunto de datos, con respecto al promedio. Una buena estimacin de la precisin de una serie de mediciones es la desviacin estndar ( ) de los datos. 2) La forma de realizar una medicin nos determinar el nmero de dgitos que emplearemos para expresar el resultado de ella. Convendremos que sea el ltimo dgito el que exprese la incertidumbre en la medicin. Considere los datos L1 = 14,28 [cm] y L2 = 14,280 [cm]. El nmero L1 tiene 4 cifras significativas. Para L1, la incertidumbre est en el cuarto dgito, correspondiente a la dcima de milmetro. Se dice que L1 podra tener un valor entre 14,27 [cm] y 14,29 [cm]. El nmero L2 tiene 5 cifras significativas. Para L2, la incertidumbre est en el quinto dgito, correspondiente a la centsima de milmetro. Se dice que L2 podra tener un valor entre 14,279 [cm] y 14,281 [cm].

Cifras SignificativasLos nmeros medidos representan magnitudes fsicas. En Fsica, se suelen realizar operaciones con estos nmeros, por lo que los resultados de estas operaciones tambin representan magnitudes fsicas. Tales resultados deben ser coherentes y consecuentes con el procedimiento de medicin usado, es decir, deben poder ser obtenibles por los instrumentos usados. Consideremos el siguiente ejemplo: medir el ancho de una hoja de papel, usando para ello una regla graduada en [cm] y [mm]. Supongamos que un fsico hace la medicin y el resultado le da 21,78 [cm]. De este resultado podemos decir que: Las cifras 2, 1 y 7 (centmetros y milmetros) proporcionan informacin segura, pues se pueden leer directamente del instrumento de medicin La cifra 8 (dcimas de milmetro) es dudosa. Al medir con la regla, el ancho de la hoja qued en un valor entre 21,70 y 21,80 [cm]. Ah, el cientfico hace una estimacin al ojo y como ve que el final de la hoja est muy cerca de 21,80 [cm], agrega el 8. Supongamos que otro fsico dijera que el ancho de la hoja mide 21,786 [cm]. En tal caso, la cifra 6 (centsimas de milmetro) carece de significado, pues no est representando informacin que pueda ser proporcionada por el instrumento de medicin. El fsico puede establecer con certeza los datos proporcionados por la regla, que marca hasta milmetro, y estimar el siguiente grado de precisin, en este caso dcimas de milmetro. Ms all de eso, no puede decir nada, a menos que se consiga un instrumento que permita medir con mayor nivel de precisin.

Aunque ambos valores son aritmticamente iguales, no se pueden obtener usando el mismo instrumento de medicin. 3) No se permite colocar ceros al final de nmeros relacionados con mediciones, aunque se conserve el orden de magnitud de ellos, a menos que estos ceros estn avalados por mediciones o por definiciones. 4) En los nmeros decimales cuyo valor absoluto es menor que la unidad, los ceros a la izquierda no son cifras significativas. 5) El uso de notacin cientfica permite escribir un nmero como el producto de dos factores: uno que contiene las cifras significativas y el otro con la potencia de 10 correspondiente. En la Tabla 1 se muestran algunos ejemplos de estimacin del nmero de cifras significativas, segn los convenios recin descritos. Cantidad 8 60 5000 10,08 7,0 9,50 0,02 0,09 0,090 0,00400 0,3010-7 0,0510-3 18106 47,0 Significado 7 59 4999 10,07 6,9 9,49 0,01 0,08 0,089 0,00399 0,2910-7 0,0410-3 17106 46,9 9 61 5001 10,09 7,1 9,51 0,03 0,10 0,091 0,00401 0,3110-7 0,0610-3 19106 47,1 C.S. 1 2 4 4 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 Notacin Cientfica 8 6,0101 5,000103 1,008101 7,0 9,50 210-2 910-2 9,010-2 4,0010-3 3,010-8 510-5 1,8107 4,70101

Intensidad Elctrica Temperatura Cantidad de Sustancia Intensidad Luminosa Por ejemplo:

amperio kelvin Mol candela

A K mol cd

A K S C

Tabla 2: Magnitudes fundamentales con su unidad y smbolos.

De esta expresin deducimos otra expresin simblica con las dimensiones o sus smbolos denominada ecuacin de dimensiones o ecuacin dimensional:

Se lee, dimensiones de F igual a dimensiones de masa por dimensiones de aceleracin. Pero , o sea, , o sea, las dimensiones de , por lo que: y

Las ecuaciones dimensionales sirven para deducir las unidades fundamentales de las magnitudes derivadas. As, en el S.I. (Sistema Internacional de Unidades): unidad de velocidad: 1 [m/s] = 1 [ms-1] unidad de aceleracin: 1 [m/s2] = 1 [ms-2] unidad de fuerza:1 [kgm/s2] = 1 [kgms-2] = 1 [N]

Tabla 1: Ejemplos segn los criterios de cifras significativas.

Anlisis DimensionalEl anlisis dimensional es un mtodo en el cual se deduce informacin a cerca de un fenmeno, a partir del supuesto que todo fenmeno puede ser descrito por una ecuacin entre ciertas variables, que es correcta desde el punto de vista de sus dimensiones. El resultado del anlisis dimensional a un problema es una reduccin del nmero de variables del problema. El anlisis dimensional es un proceso mediante el cual se examinan las dimensiones de los fenmenos fsicos y de las ecuaciones asociadas, para tener una visin de sus soluciones. A las magnitudes fsicas fundamentales se les asigna un atributo denominado dimensin, que se representa por un smbolo. Las dimensiones de las magnitudes derivadas se obtendrn a partir de cualquier expresin matemtica que relacione dicha magnitud con las fundamentales o con otras magnitudes derivadas, cuyas dimensiones conozcamos. Magnitud Longitud Masa Tiempo Unidad metro kilogramo segundo Smbolo Unidad m kg s Smbolo Dimensin L M T

El teorema fundamental del anlisis dimensional nos dice que en cualquier expresin matemtica que represente el comportamiento de un sistema fsico las dimensiones de los dos miembros de la misma deben ser las idnticas. Este teorema tiene una aplicacin interesante como mtodo para chequear la correccin de una expresin, ya que si no se cumple el teorema podemos estar seguros de que la expresin en cuestin no es correcta. Cuando una magnitud tiene dimensin 1, decimos que la magnitud es adimensional. Una magnitud adimensional no tiene unidad, entonces, su valor ser independiente del sistema de unidades empleado. Los argumentos de funciones trascendentes (exponenciales, trigonomtricas, etc.) tienen que ser adimensionales.

Bibliografa Gil, Rodrguez. Fsica re-Creativa Experimentos de Fsica usando nuevas tecnologas. Primera Edicin. OdaNoda. Introduccin al anlisis grfico de datos experimentales. Laroze, Porras, Muzzio. Conceptos y Magnitudes en Fsica.