Metodos Numricos y Teora del Error1. Introduccin.

En el campo de la ingeniera y ciencias, existen infinidad de fenmenos que requierenrepresentarse mediante modelos matemticos. Desafortunadamente, la gran mayora de estosmodelos no tiene una solucin exacta no es fcil el hallarla. Es estos casos es en donde losmtodos numricos proporcionan una solucin aproximada al problema original. Un mtodonumrico es aquel que obtiene nmeros que se aproximan a los que se obtendran aplicando lasolucin analtica de un problema.

2. EL COMPUTADOR Y SU ARITMETICA

El sistema numrico con el cual estamos familiarizados es el decimal. Lascomputadoras, en su mayora, utilizan en sistema numrico binario, esto se debeprincipalmente a que este sistema solamente utiliza dos dgitos para la representacinde los nmeros. Esta afirmacin puede parecer extraa dado que nosotros noscomunicamos, con la computadora en base 10, ingresamos la informacin en esta basey a su vez la computadora nos responde en la misma base.

Esta situacin cmo se explica?. Al recibir la informacin, la computadora conviertenuestra entrada a base dos (quizs a otras bases como octal, hexadecimal) y en esabase ejecuta las operaciones. Finalmente convierte los datos obtenidos a base 10 yesta es la informacin que nos entrega. Este proceso de conversin de una base a otratiene varios problemas, algunos de los cuales sern analizados en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1: Calcular en una mquina cuya capacidad es de 8 dgitos.

La respuesta que dar es 9999,9945. El valor exacto de esta suma es 10,000.Para entender qu ocurri en este proceso y en general en todos los procesos queejecuta la mquina, es necesario comprender cmo se almacenan los nmeros en lacomputadora y cmo se realizan los clculos numricos.

Teora de Errores

3. Aproximacin numrica y teora de erroresDebemos conformarnos siempre, en la practica de la ingeniera y de las ciencias, con una solucinaproximada a un problema por las siguientes razones: Los modelos matemticos son aproximados; esto es; simplificaciones al problema real. No se

toman en cuenta todos los factores que afectan a un fenmeno. Por ejemplo, en el caso deltiro parablico, se suele despreciar la resistencia del aire, sin embargo, esta puede serimportante.

Los modelos matemticos requieren de parmetros, los cuales la mayora de las vecesprovienen de mediciones experimentales y estas, solo tienen una precisin limitada, quedepende del instrumento de medicin. Por ejemplo la constante de los gases ideales.Tambin pueden provenir de clculos y estos tienen una precisin limitada que dependetanto del mtodo como del instrumento de clculo que se utilicen. Por ejemplo .

Los modelos matemticos resultantes son imposibles de resolver por mtodos analticosy se debe de aproximar la solucin numricamente. Por ejemplo una ecuacin de quintogrado.

Por lo anterior, humildemente tenemos que aceptar que siempre se tendrn presentes errores,estos pueden clasificarse en :

Errores inherentes.Errores de truncamiento.Errores de redondeo.

3.1. Errores inherentesLos errores inherentes son aquellos que tienen los datos de entrada de un problema, y son debidosprincipalmente a que se obtienen experimentalmente, debindose tanto al instrumento demedicin, como a las condiciones de realizacin del experimento. Por ejemplo, s el experimentoes a temperatura constante y no se logra esto mas que en forma aproximada. Tambin puedendeberse a que se obtengan de clculos previos. Por ejemplo el valor calculado es el de un nmeroirracional como .

3.2. Errores de truncamientoLos errores de truncamiento se originan por el hecho de aproximar la solucin analtica de unproblema, por medio de un mtodo numrico. Por ejemplo al evaluar la funcin exponencial pormedio de la serie de Taylor, se tiene que calcular el valor de la siguiente serie infinita :

Ante la imposibilidad de tomar todos los trminos de la serie, se requieretruncar despus de cierto nmero de trminos. Esto nos introduce ciertamenteun error, que es el error de truncamiento. Este es independiente de la manera derealizar los clculos. Solo depende del mtodo numrico empleado.

3.3. Errores de redondeoLos errores de redondeo, se originan al realizar los clculos que todo mtodo numrico o analticorequieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operacionesaritmticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operacin elnmero de cifras que permita el instrumento de clculo que se este utilizando. Por ejemplo alcalcular el valor de , tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3, que manejenuestro instrumento de calculo.

Los errores anteriores tambin suelen denominarse como las fuentes de error.La magnitud del error generada por alguna o todas las fuentes de errormencionadas anteriormente, se puede cuantificar con ayuda de los siguientesparmetros:

Error.Error relativo.Error porcentual.

3.4.3.4.1 Error

El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una aproximacin a este valor Va :

e = Vr - Va

3.4.2. Error relativoEl error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr (s ):

3.4.3. Error porcentualEl error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por ciento (%).

Tambin es usual emplear el valor absoluto en los parmetros anteriores, encuyo caso se denominan respectivamente error absoluto, error relativo absolutoy error porcentual absoluto.

4. Cifras SignificativasEl concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidadde un valor numrico. El nmero de cifras significativas es el nmero de dgitos que se puede usarcon plena confianza. Por ejemplo podemos calcular un numero irracional con varias cifras, pero deellas no todas, sobre todo las ultimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas.Por otro lado, los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicaral punto decimal. Por ejemplo los siguientes nmeros tienen todos 4 cifras significativas:0.00001985, 0.0001985, 0.001985, 1985, 19.85.1 Para asegurar que un cero nos represente unacifra significativa, es comn emplear la notacin cientfica. Por ejemplo los siguientes nmerostienen 3, 4 y 5 cifras significativas: , y . Tambin se suele ponerexplcitamente los ceros. Los siguientes nmeros tienen 5 cifras significativas: 19850, 0.019850,19.850.

5. Precisin y exactitudLos errores asociados con los clculos y mediciones se pueden caracterizar observando suprecisin y exactitud. La mayora de la gente piensa que estos trminos son sinnimos, pero no esas. La precisin se refiere al nmero de cifras significativas que representan una cantidad. Laexactitud se refiere al grado de aproximacin que se tiene de un nmero o de una medida al valorverdadero que se supone representa, es decir, que tan cerca estamos del valor buscado. Porejemplo, s leemos la velocidad del velocmetro de un auto, esta tiene una precisin de 3 cifrassignificativas y una exactitud de 5 Kph.

6. Manejo y representacin de los nmeros en la computadoraPosiblemente estamos acostumbrados hasta el momento a suponer que trabajamos con nmerosreales, al realizar operaciones. Esto es as, por la educacin que hemos recibido, en nuestros

cursos de matemticas previos (lgebra, Calculo Diferencial e Integral, Ecuaciones Diferenciales,etc.). Pero en la realidad nunca es as. Al trabajar con un dispositivo de calculo, como es unacomputadora, estamos trabajando con un conjunto de nmeros, el cual no es el de los nmerosreales. El conjunto de los nmeros reales, tal como lo conocemos tiene las siguientescaractersticas:

Es infinito en ambos extremos.Es continuo.Cada numero puede tener una cantidad ilimitada de cifras.Los nmeros pueden ser tan pequeos como se desee.

En contraste el conjunto de los nmeros que se manejan en una computadora:Es finito en ambos extremos.No es continuo.Cada numero tiene una cierta cantidad mxima de cifras.Los nmeros no pueden ser tan pequeos como se desee.

Lo anterior se debe a como se representan los nmeros en la computadora. Una computadoraalmacena los nmeros en sistema binario, usando un numero determinado de bytes (dependiendodel tipo de dato del que se trate y de la computadora que se emplee). Esto ocasiona que exista unlimite al intervalo de valores que se puede manejar. Tambin se limita la cantidad de cifras que seemplean para representar un numero. Otra consecuencia es que el conjunto de nmeros no seacontinuo sino discreto, esto es, existen huecos entre un numero y otro. Al realizar operaciones esprcticamente inevitable que se tengan errores de redondeo. Estos pueden ocurrir por:

Convertir los nmeros al sistema binario. Ya sea al leerlos o al asignarlos a alguna variable.Al enviar un numero a algn dispositivo, es decir, al imprimirlo.El resultado es muy pequeo y sobrepasa la capacidad de representarlo. Se redondeacomnmente a 0.El resultado es muy grande y puede ocasionar un error al aproximarse al mayorvalor que se pueda representar.

Todo esto ocasiona que se trabaje con lo que se conoce como aritmtica de dgitos finitos. Comose ve mas adelante, puede causar que ciertos hechos que tomamos como ciertos, no lo sean en unmomento dado. Clculos aritmticos que ocasionan mas error

Por lo general, la aritmtica de dgitos finitos lleva a resultados aceptables, haycasos en los cuales no es as. Prcticamente cualquier operacin numrica tienesus casos problemticos. Nos limitaremos por simplicidad solo a las 4operaciones aritmticas bsicas. Los casos problemticos ms comunes son:

Divisin entre nmeros cercanos a 0.Multiplicacin por nmeros grandes.Suma de cantidades de distinto orden de magnitud.Resta de nmeros casi iguales.

7. Tipos de redondeoAl realizar los clculos que todo mtodo numrico o analtico requiere debemos de redondear.Para redondear se emplea usualmente:

Redondeo truncadoRedondeo simtrico.

7.1. Redondeo truncadoEl redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacin al nmero de cifrassignificativas que se estn utilizando. Por ejemplo s redondeamos a 4 cifras significativastenemos 0.7777.

7.2. Redondeo simtricoEl redondeo simtrico consiste en aumentar en uno la ltima cifra retenida s la primera cifradescartada esta entre 5 y 9, o dejarla igual s la primera cifra descartada esta entre 0 y 4. Porejemplo s redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 0.7778.

Por ejemplo: . En la practica puede no ser as. S Realizamos la sumaempleando nicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos deredondeo. Se obtiene:

0.3333+0.6666=0.9999 (Redondeo truncado)

0.3333+0.6667=1.000 (Redondeo simtrico)

Puede demostrarse que por lo general el redondeo simtrico lleva a resultadosms precisos.

8. Propagacin de erroresPor lo regular los mtodos numricos consisten de muchos clculos, y es difcil decir que tantoafecta al resultado el error de redondeo que se acumula en cada operacin. Para estimar el efectodel error de redondeo que se acumula existen varios enfoques:

Uso de la aritmtica de precisin doble. Este consiste en resolver el problema 2 veces, unacon aritmtica de precisin simple y otra con aritmtica de precisin doble. La solucin setoma considerando solo las cifras que no hallan cambiado. El inconveniente es que setoma ms tiempo los clculos con precisin doble que en simple, y adems el hecho deresolver 2 veces el problema.Uso de la aritmtica de intervalo. Consiste en retener en cada paso el valor mspequeo y ms grande que puede tomar el valor buscado, para que al final seobtenga un intervalo que contenga el valor real. Los inconvenientes son que nosabemos a ciencia cierta en que parte del intervalo estar la solucin, aunquecomnmente se supone que a la mitad y adems se consume el doble de tiempo ymemoria al almacenar los lmites superior e inferior en los que puede estar lasolucin.Uso de aritmtica de dgitos significativos. Consiste en retener en cada etapa sololas cifras que se piensa que son significativas. La desventaja es que se pierdeinformacin y no se tiene certeza de que tan significativa es una cifra.Enfoque estadstico. Consiste en suponer un comportamiento aleatorio con unadistribucin de probabilidad conocida.2 La teora involucrada es extensa. De losenfoques mencionados es el que ha dado ms xito.

Los tipos de errores mencionados anteriormente se propagan de distinta manera. Para estudiarcomo se propagan en conjunto los errores hay que introducir 2 conceptos : La estabilidad y laconvergencia.

8.1. Estabilidad y convergenciaLa estabilidad puede definirse comnmente de 2 maneras. Todo problema requiere datos deentrada y nos origina por lo menos una salida. S cambios pequeos en los datos de entradaproducen cambios pequeos en la salida, se dice que el algoritmo es estable (tambin se ledenomina problema bien condicionado) y en caso contrario inestable (o problema malcondicionado).

Por otro lado s en es un error en alguna etapa de un proceso y k es unaconstante independiente de n el nmero de etapa, entonces s el error despusde n operaciones se puede representar por f(n)=kn , se dice que el crecimientodel error es lineal. S en cambio el error se representa por f(n)= para k>1, elcrecimiento del error se dice que es exponencial.El crecimiento del error lineal es por lo general inevitable, y cuando k y n sonpequeos, los resultados son aceptables. El crecimiento del error exponencialdebe ser evitado, ya que el trmino kn ser grande, aun para valoresrelativamente pequeos de n. Por lo tanto s el crecimiento del error es lineal elmtodo es estable y s es exponencial es inestable.La convergencia se refiere al hecho de que los mtodos numricos obtienen ntrminos de una sucesin de valores. Comenzamos con un valor inicial que seauna aproximacin de la solucin de un problema x0. Aplicando un mtodonumrico se obtiene otra aproximacin x1. Se repite el procedimiento paraobtener x2 y as sucesivamente, es decir, se generar la sucesin x0 , x1 ,...,xn(todos los trminos son aproximaciones a la solucin del problema). S lasucesin obtenida al cabo de n iteraciones tiende a un lmite se dice que elmtodo es convergente o divergente en caso contrario.

8.2. Criterio de convergencia.Por la definicin anterior de la convergencia tenemos que s un mtodo numrico es convergente,entonces debe de ocurrir que:

En la practica esto no es posible de conseguir.3 Por esta razn tenemos quedefinir algn criterio que nos permita decidir s existe o no la convergencia.Este criterio se denomina criterio de convergencia. El criterio de convergenciapodemos implementarlo usando los parmetros de cuantificacin del error. Estoes:

Error: en=x-xnError relativo:Error porcentual: epn=100ern

S la convergencia existe entonces debe de ocurrir que:Error:

Error relativo:

Error porcentual:Tal como estn expresados los criterios anteriores no son prcticos, por lo siguiente:

No es posible tomar l limite.No se conoce el valor real x.4No es posible lograr el 0.5

Por estas razones debemos de modificar los criterios. Como no conocemos el valor realempleamos el que este mas cerca, es decir, el valor de la ultima iteracin. Por otro lado, como noes posible lograr el 0 humildemente pedimos que el criterio de convergencia sea menor o igual auna tolerancia. Adems, empleamos valores absolutos para tomar en cuenta el signo del error.Finalmente obtenemos:

Error: en=|xn-xn-1|

Queda por contestar una pregunta. Cul de los criterios anteriores es mejor ?Criterio de convergencia basado en el error. Este criterio, nos da una idea de los decimalesque se han alcanzado. l numero de ceros despus del punto decimal, nos indica cuantosdecimales correctos se tiene. Lo que no nos indica es cuantas cifras significativas setienen. Esto es, el que conozcamos cuantos decimales tiene correctos un cierto numero,no nos dice, cuantas cifras son significativas. Por ejemplo, s en un calculo obtenemos unvalor del error de 0.000586, esto nos dice que podemos esperar 3 decimales correctos. Sinembargo, s el valor del numero que estamos estimando es digamos, 18.65789, tenemos 5cifras significativas.8 S en vez de eso, el valor correcto fuese 0.000000789, tenemos 3decimales correctos pero de ellos ninguno ser una cifra significativa.9 En pocas palabras,este criterio nos indica l numero de decimales significativos, pero no l numero de cifrassignificativas. Con esto podemos concluir que no es lo mismo hablar de que un ciertonumero tienen tantos decimales correctos, que s tiene tantas cifras significativas. Porejemplo, consideremos el conocido numero de Avogadro 6.2217x1023 el cual representa lnumero de molculas que existe en un mol de una sustancia. Este valor esta calculado con5 cifras significativas. S deseramos calcularlo con 5 decimales, tendramos primero quecalcular 17 cifras mas para llegar al punto decimal.10 Piensa en el trabajo para lograr esto.Adems este numero no tiene decimales.11 Finalmente, la tolerancia para este criteriopuede fijarse en primera instancia, como , donde ND es el numero dedecimales deseado. Puesto que no estamos trabajando con el error real (ya que noconocemos el valor real y en su lugar usamos la ultima aproximacin), sino con unaaproximacin a l, es comn pedir por seguridad un decimal adicional, entoncesfinalmente tomaremos .Criterio de convergencia basado en el error relativo. En este criterio, s podemosconocer l numero de cifras significativas alcanzado. Existe un teorema que dice lo

siguiente: . S el error relativo en valor absoluto es menor oigual a , entonces el valor xa coincide con x en al menos NCS cifrassignificativas. Este criterio es mas til que el anterior. Dado que el teorema esvalido solo con el error relativo real, al aplicarlo al criterio de convergencia

obtenemos. . Pedimos una cifra significativa adicionalpor seguridad. La tolerancia por lo tanto podemos tomarla como .Adems este criterio es independiente del tamao de los valores que se manejen.12Solo tiene un problema. No es aplicable s la solucin del problema es 0.13El error porcentual. Esencialmente es equivalente al caso anterior.

8.3. Orden de Convergencia.En la practica adems de que un algoritmo sea convergente, interesa tambin que tan rpido es elalgoritmo para llegar a la solucin. Claramente mientras menor sea l numero de iteracionesrequerido para alcanzar una precisin dada, mayor ser la velocidad de convergencia y viceversa.

Un concepto que ayuda a visualizar esto es el de orden de convergencia. Sedefine con ayuda de la siguiente ecuacin:

donde:en+1=x-xn+1: Error en la iteracin n+1.en=x-xn: Error en la iteracin n.

: Constante de error asinttico.: Orden de convergencia.

La es una constante que depende del mtodo numrico y de la solucin delproblema. Se supone que es distinta de 0. El exponente es una constantedependiente normalmente solo del mtodo numrico. Esta ecuacin puedeescribirse de otra manera, s no tomamos l limite:

Esta ecuacin dice que el error de una iteracin es aproximadamenteproporcional a una potencia del error de la iteracin anterior. S suponemos queexiste convergencia entonces los errores deben de tender a 0. En esta ecuacines mas importante el exponente . Dado que los errores tienden a 0, mientrasmayor sea el valor de , menor ser el numero de iteraciones que serequieren.14 En pocas palabras a mayor orden de convergencia mayor velocidadde convergencia y viceversa. El orden de convergencia normalmente es unvalor constante. Un valor tpico es 1, en cuyo caso se dice que el mtodonumrico tiene convergencia lineal. Otro valor frecuente es 2, en este caso sedice que el mtodo tiene convergencia cuadrtica. Existen mtodos deconvergencia cubica, cuartica, etc., pero a medida que aumente el orden deconvergencia tambin el mtodo es mas complicado. El orden de convergenciano es necesariamente un entero. Por ejemplo existe un mtodo numrico cuyoorden de convergencia es .

9. Ejemplos9.1. Calculo del senoCalcula el valor de la funcin seno mediante su serie de Taylor en los ngulos de: 0.5, 3.1416,25.65634 radianes.

La serie de Taylor es:

Como no es posible realizar la suma debemos de truncarla, s hacemos esto seobtiene la sucesin:

S la denotamos como:

Obtenemos la sucesin:

S0 , S1 , S2 , ...,Sn, ...

En l limite se tendr:

Lo anterior nos define un mtodo numrico para calcular la funcin seno. Parasaber cuando pararnos requerimos de un criterio de convergencia. Se realiz unprograma que hiciera los clculos. Se emplearon los criterios de convergenciabasados en el error y en el error relativo. Se fij l numero de cifrassignificativas y de decimales a calcular en 4. Como mximo de iteraciones seuso 50. Para ilustrar el efecto del error de redondeo, se implementaron losclculos en precisin simple y enPrecisin doble. Se obtuvieron los siguientes resultados:

sen(0.5) Criterio de Convergencia Basado en el Error

Precisin Valor Error IteracinSimple .4794255 .1550099E-5 4Doble .479425519704819 .155009920634921E-5 4sen(0.5) Criterio de Convergencia Basado en el Error Relativo

Precisin Valor Error relativo IteracinSimple .4794255 .3233243E-5 4Doble .479425519704819 .323324300154818E-5 4sen(3.1416) Criterio de Convergencia Basado en el Error

Precisin Valor Error IteracinSimple -.7343389E-5 .7952368E-6 9Doble -.73345031523786E-7 .7952370128533E-7 9sen(3.1416) Criterio de Convergencia Basado en el Error Relativo

Precisin Valor Error relativo IteracinSimple -.736581E-6 .1428089E-5 12Doble -.735692356101936E-6 .1428914700367E-5 12sen(25.65634) Criterio de Convergencia Basado en el Error

Precisin Valor Error IteracinSimple 283.984 .2146577E-8 43Doble -129.162185668945 .2369967586136E-5 40sen(25.65634) Criterio de Convergencia Basado en el Error Relativo

Precisin Valor Error relativo IteracinSimple 283.9879 .4675847E-4 36Doble -129.162185668945 .1863894752092E-8 41Valor real de los senos de los ngulos considerados

Argumento sen(x) Precisin Simple sen(x) Precisin Doble0.5 .4794255 .4794255386042033.1416 -.723998E-7 -.734641020662558E-725.65634 .4999997 .499999130236019Los valores reales fueron calculados con las funciones de librera que proporciona el compilador.

Al analizar los resultados podemos observar que para el sen (0.5), en todos loscasos los resultados son consistentes, es decir, se logr llegar a las cifrassignificativas o dgitos exigidos. Los valores de la precisin doble coincidenbien con los de la precisin simple. Por esto, concluimos que no afectosignificativamente el error de redondeo.Para el sen (3.1416), los resultados del criterio del error respecto al del errorrelativo difieren. De hecho el del error relativo coincide mejor que el del errorcon el valor real. De los clculos de la precisin simple a la doble ya haydiscrepancia. De hecho, inclusive en los valores reales de las funciones debiblioteca hay diferencias. Podemos concluir que es mejor emplear el errorrelativo, adems de realizar los clculos con precisin doble.Finalmente para el sen (25.65634), se observan problemas serios. De acuerdo alo que viste en calculo, esta serie del seno converge para todo x, y el seno estaacotado al intervalo [0,1. Entonces, por que los resultados tan absurdos ?.Estos se deben a la gran cantidad de clculos realizados, razn por la cual elerror de redondeo crece tanto que los valores obtenidos no tienen sentido. Eneste caso el error creci en forma exponencial y por lo tanto el mtodo no fueestable en este caso. La serie del seno converge para todo x suponiendo que noexiste redondeo, pero como en la realidad no es caso, puedes ver losresultados.15

9.2. Resolucin de la ecuacin cuadrticaHasta ahora en las matemticas que se haz visto, se puede demostrar que 2 expresiones soniguales. Esto implica que s se utiliza una u otra para realizar clculos los resultados sernidnticos. Pero en la practica puede no ser as. Ciertamente mientras ms operaciones se tenganque realizar mayor error se tendr. Tambin puede ocurrir que en una expresin se realicen lasoperaciones aritmticas que causan ms error, mientras que en la otra no. Ambos factores no sonmutuamente excluyentes. Por ejemplo la conocida ecuacin del chicharronero para resolver laecuacin cuadrtica, puede tener problemas. La ecuacin cuadrtica

x2+62.10x+1=0

Tiene las races aproximadas x1=-0.01610723, x2=-62.08390. Las soluciones secalculan con

,

Supongamos que usamos una regla de calculo. Solo podemos usar 4 cifras enlos clculos. Calculemos primeramente el determinante

ahora calculemos x1 y x2

,

Podemos observar que x2 coincide muy bien con el valor real a 4 cifrassignificativas. Sin embargo, con x1 no ocurre as. Cul es el problema ? Ladificultad se tiene al restar -62.10+62.06. Estos nmeros son casi iguales en 4cifras significativas. En x2 tenemos una suma de nmeros casi iguales y no nosocasiona problemas.Para arreglar esta dificultad podemos manipular la ecuacin del chicharronero.S racionalizamos el numerador tenemos

S recalculamos x1

Que es el valor real. S por curiosidad usamos esta formula para x2 obtenemos

Aqu adems de restar 2 nmeros casi iguales, dividimos entre un numerocercano a 0, lo cual ocasiona mayor error de redondeo, que en el caso anteriorpara x1.

ResumenLos mtodos numricos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con losmtodos analticos tradicionales, o no sea sencillo aplicarlos. Estos mtodos proporcionan unasucesin de valores que se aproxima a la solucin del problema.

Al resolver un problema siempre tendremos presente errores: El error deredondeo, el error inherente y el error de truncamiento.Al aplicar un mtodo numrico, debemos de emplear un criterio deconvergencia. l ms recomendable es el que esta basado en el error relativo.El orden de convergencia es un valor que nos indica que tan rpido un mtodonumrico puede llegar a la solucin. Mientras mayor sea, es mejor, pero hayque pagar un precio. El mtodo numrico es ms complicado.El error de redondeo es prcticamente inevitable y puede invalidar porcompleto la solucin de un problema. Puede minimizarse su efecto, ya seareduciendo de alguna manera l numero de clculos a realizar, reformulandola solucin de un problema de tal forma que se evite las operaciones aritmticasque ocasionan mas error.La suposicin comn de que trabajamos con nmeros reales al realizar clculos,no es cierta. Puede acarrearnos serias discrepancias entre valores tericos yvalores calculados. Esto se debe a la forma en que se representan y como semanejan los nmeros en la computadora.La precisin y la exactitud no son sinnimos. Una nos indica que tan confiablees un valor, y la otra que tan cerca estamos de el.Existen mtodos numricos que son estables y otros que no. Se prefiere losprimeros.