TEXTO N 2M E C N I C A

ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO

F S I C A

Conceptos Bsicos Clculo de Errores Ajuste de una Recta

Edicta Arriagada D. Victor Peralta A Diciembre 2008 Sede Maip, Santiago de Chile

1

IntroduccinEl objetivo fundamental de esta unidad es aplicar los conceptos fundamentales

M E C N I C A

de Teora de Error; para lo cual comenzaremos dando una explicacin de la Teora de Errores, lo ms somera posible y fundamentalmente prctica, que pueda servir al alumno cuando efecte sus trabajos tericos o prcticos en el Laboratorio de Fsica, y tener en todo momento conciencia de la realidad de los valores que va determinando y entre que lmites se est moviendo con relacin al valor verdadero de los valores que obtiene. Por mucho que sea la diligencia y cuidado al realizar cualquier determinacin prctica fsica, y por muy sensibles y precisos que sean los aparatos utilizados, es prcticamente imposible el evitar errores, considerando a stos como la variacin entre los valores hallados y el real o verdadero, el cual generalmente nos es desconocido.

F S I C A

Tampoco el error, aunque lo conociramos, nos dara una medida cierta de su importancia, ya que sta depender no de la magnitud de dicho error, sino de la magnitud de la medida a valorar y de la necesidad de aproximacin a su valor real. Una diferencia, por ejemplo, de 0,1 mm en la medida del espesor de un cabello, no se podr considerar como buena, pero esa misma diferencia en la medida de la distancia entre Santiago y Valparaso podra considerarse como extraordinaria. No se entrara en desarrollos matemticos complejos en esta explicacin, sino que va a definir los errores que servir al alumno para saber en que grado de aproximacin se encuentra con el valor verdadero, apoyndose en las mediciones obtenidas. Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta imprecisin debida a las imperfecciones del aparato de medida o a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos, que deben registrar la informacin. El principal objetivo de la teora de errores consiste en acotar el valor de dichas imprecisiones denominadas errores experimentales.

2

Instrumentos de medida: exactitud, precisin y sensibilidad La parte fundamental de todo proceso de medida es la comparacin de cierta

M E C N I C A

cantidad de la magnitud que deseamos medir con otra cantidad de la misma que se ha elegido como unidad patrn. En este proceso se utilizan los instrumentos de medida que previamente estn calibrados en las unidades patrn utilizado. Un instrumento de medida se caracteriza por los siguientes factores: Exactitud: Se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y el valor experimental, de modo que un aparato es tanto ms exacto cuanto ms aproximado es el valor de la medida realizada al valor verdadero de la magnitud medida. Precisin: Hace referencia a la concordancia entre varias medidas de la misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales. Es por

F S I C A

tanto un concepto relacionado con la dispersin de las medidas, de modo que un aparato ser tanto ms preciso cuanto menor sea la diferencia entre distintas medidas de una misma magnitud

Sensibilidad: Es la variacin de la magnitud a medir que es capaz de apreciar el instrumento. Mayor sensibilidad de un aparato indica que es capaz de medir variaciones ms pequeas de la magnitud medida.

Clasificacin de los errores El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente. Los errores siguen una ley determinada y su origen reside en mltiples causas, y respecto a ellas se pueden clasificar en dos grandes grupos: 1. Errores sistemticos: Tienen que ver con la metodologa del proceso de medida (forma de realizar la medida):

3

Calibrado del aparato. Normalmente errores en la puesta a cero. En algunos casos errores de fabricacin del aparato de medida que desplazan la escala. Una forma de arreglar las medidas es valorando si el

M E C N I C A

error es lineal o no y descontndolo en dicho caso de la medida.

Error de paralaje: cuando un observador mira oblicuamente un indicador (aguja, superficie de un lquido,...) y la escala del aparato. Para tratar de evitarlo o, al menos disminuirlo, se debe mirar perpendicularmente la escala de medida del aparato.

2. Errores accidentales o aleatorios: Se producen por causas difciles de controlar; por ejemplo momento de iniciar una medida de tiempo, colocacin de la cinta mtrica, etc. Habitualmente se distribuyen estadsticamente en torno a una medida que sera la correcta. Para evitarlo se deben tomar varias medidas de la experiencia y realizar un

F S I C A

tratamiento estadstico de los resultados. Se toma como valor o medida ms cercana a la realidad la media aritmtica de las medidas tomadas.

Clculo de errores: Error Absoluto, Error Relativo. Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una frmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los clculos:

Error absoluto (Ea.): Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto (valor verdadero o valor probable). Puede ser positivo o negativo, segn si la medida es superior al valor real o inferior a el, (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

4

Si llamamos x a la medicin y V al valor verdadero o valor probable, el error absoluto ser:

M E C N I C A

Ea = x VObservacin: Se define tambin como error absoluto de una magnitud tomada de un conjunto de datos, como la semi diferencia entre los valores extremos (el mayor valor menos el menor valor de las mediciones realizadas, es decir.

Ea =

xMayor xMenor 2

F S I C A

Error relativo (Er): Es el cociente (la divisin) entre el error absoluto y el valor verdadero o probable. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error o error porcentual. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (segn lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades. El "Error Relativo", definido por el cociente entre el error absoluto y el valor real, est dado por la frmula:

El Error Porcentual se obtiene al multiplicar por 100 el Error Relativo; es decir:

Error Porcentual =

100%

5

Clculos con datos experimentales: En las Ciencias Experimentales, las reglas que generalmente se adoptan en el clculo con datos experimentales son las siguientes:

M E C N I C A

Una medida se deber repetir tres cuatro veces para intentar neutralizar el error accidental.

Se tomar como valor real o valor probable (que se acerca al valor exacto) la media aritmtica simple de los resultados o promedio de las mediciones.

El error absoluto de cada medida ser la diferencia entre cada una de las medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmtica).

El error relativo de cada medida ser el error absoluto de la misma dividido por el valor tomado como exacto (la media aritmtica).

F S I C A

Ejemplo 1.- Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s Valor que se considera exacto o real (V):

V=

3,01 + 3,11 + 3,20 + 3,15 12,47 = = 3,1175 3,12 s 4 4

Errores absoluto y relativo de cada medida: Medidas 3,01 s 3,11 s 3,20 s 3,15 s Errores absolutos 3,01 - 3,12 = - 0,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s Errores relativos -0,11 / 3,12 = - 0,036 (- 3,6%) -0,01 / 3,12 = - 0,003 (- 0,3%) +0,08 / 3,12 = + 0,026 (+ 2,6%) +0,03 / 3,12 = + 0,010 (+ 1,0%)

6

Ejemplo 2: En el siguiente cuadro se muestran los resultados de siete mediciones de distancia (N=7) recorrida por un carrito de laboratorio:

M E C N I C A

Medicin N 1 2 3 4

Medicin (x) cm 2,83 2,85 2,87 2,84 2,86 2,84 2,86

F S I C A

5 6 7 Determinar: a) El valor probable o verdadero (V).

b) Error absoluto, error relativo y error porcentual de la 3 y 4 medicin. c) Comparar los errores y decir que medida es mejor d) Calcula la distancia ms probable y el error cometido

7

Solucin (a) Valor probable o verdadero V

M E C N I C A

V=Es decir:

2,83 + 2,85 + 2,87 + 2,84 + 2,86 + 2,84 + 2,86 19,95 = = 2,85 7 7

Valor Verdadero V= 2,85cm. Solucin (b)

Clculo del error absoluto de las mediciones 3 y 4 Si x3= 2,87 y V= 2,85 al reemplazar en Ea = x V

Se obtiene el error absoluto:

F S I C A

Ea3= 2,87 2,85 Ea3= 0,02

Si

x4= 2,84

y V= 2,85 al reemplazar en Ea= x V

Se obtiene el error absoluto: Ea4= 2,84 2,85 Ea4= - 0,01 Clculo del error relativo de las mediciones 3 y 4 Si V= 2,85 y Ea3=0,02 al reemplazar en

Er =

Ea x

Se obtiene el error relativo:

8

Er =Dividiendo se obtiene el error relativo:

0,02 2,85

M E C N I C A

E r = 0,007Si V= 2,85 y Ea4=-0,01 al reemplazar en

Er =

Ea x

Se obtiene:Er = - 0,01 2,85

Dividiendo se obtiene el error relativo:E r = 0,0035

F S I C A

Clculo de error porcentual de la medida 3

E 3 Porcentual = E r 100Entonces:

E 3 Porcentual = 0,007 100 = 0,7%Clculo de error porcentual de la medida 4

E 4 Porcentual = E r 100 E 4 Porcentual = 0,0035 100 = 0,35%

9

Solucin (c) Como el error de la tercera medicin es un error por exceso de un 0,7% y el de la cuarta medicin es un error por defecto de un 0,35%. Se puede afirmar que la mejor medicin es la cuarta Solucin (d)

M E C N I C A

Para el clculo del error absoluto de todas las mediciones aplicaremos la dispersin de las medidas (mtodo estadstico) El Valor Verdadero de la medicin es V= 2,85cm Clculo de la desviacin media o error absoluto de las mediciones

Ea = Ea =

xVN

F S I C A

(2,83 2,85) + (2,85 2,85) + (2,87 2,85) + (2,84 2,85) + ... ... + (2,86 2,85)7 Ea = 0,08 = 0,011 0,01 7

El resultado anterior significa que el carrito recorri una distancia de 2,85 metros y en la medicin se produce un error absoluto de aproximadamente 0,01m

Cifras significativas: Las cifras significativas de una medida estn formadas por los dgitos que se conocen no afectados por el error, ms una ltima cifra sometida al error de la medida. As, por ejemplo, si decimos que el resultado de una medida es 3,72 m, sern significativas las cifras 3, 7 y 2; donde los dgitos 3 y 7 son cifras exactas y el dgito 2 puede ser errneo. O sea, el aparato de medida puede medir hasta las centsimas de metro (centmetros), aqu es donde est el error del aparato y de la medida. Por tanto, el alumno ha de tener en cuenta:

10

Que en fsica y en qumica el nmero de dgitos en el resultado de una medida (directa o indirecta) es importante. No se puede anotar todos los dgitos que da la calculadora. Los resultados no pueden ser ms precisos

M E C N I C A

que los datos de donde se obtienen, es decir, los resultados deben tener tantas cifras significativas o menos que los datos de procedencia.

No es lo mismo 3,70 m que 3,7 m. En el primer caso queremos decir que se ha precisado hasta la centsima mientras que en el segundo caso slo hasta la dcima, es decir la primera medicin es ms precisa. decmetros.

Un aparato de medida debera tener el error en el ltimo dgito que es capaz de medir. As si tengo una regla cuya escala alcanza hasta los milmetros, su error debera ser de ms o menos algn milmetro. Si el error lo tuviese en los centmetros no tendra sentido la escala hasta los milmetros.

F S I C A

Cuando el resultado de una operacin matemtica nos d como resultado un nmero con demasiados dgitos hemos de redondearlo para que el nmero de cifras significativas sea coherente con los datos de procedencia. Ejemplo. Se mide cinco veces la distancia entre dos puntos y se obtienen como resultados 4,56 m; 4,57 m; 4,55 m; 4,58 m; 4,55 m. Si calculamos la media aritmtica (sumamos todas las medidas y dividimos por el total de medidas, cinco en este caso) da como resultado 4,562 m. Como el aparato no sera capaz de medir milsimas, redondeamos y nos queda 4,56 m como medida real.

11

EJERCICIOS RESUELTOS TEORIA DE ERRORES 1)

M E C N I C A

Un alumno quiere determinar el volumen de gas desprendido, para ello realiza la experiencia cuatro veces. Los resultados obtenidos son: 100,0 cm3 ; 98,0 cm3 ; 101,0 cm3 ; 97,0 cm3 Determinar el error absoluto y relativo de la medida 101,0 cm3 Valor real o probable del volumen del gas V :

V=

(100,0 + 98,0 + 101,0 + 97,0)cm 34

= 99cm 3

F S I C A

Error absoluto E a :Ea = x V E a = 101,0 99,0 E a = 2,0

Error relativo E r :Er = Ea 100 V

Er =

2,0 100 = 0,0202 100 = 2,02% 99,0

12

2) Calcular el error absoluto, si al medir 10,2537 gr. de una sustancia se obtiene un valor de 10,2100 gr. Solucin:

M E C N I C A

Clculo de error absoluto de la medicin Como x= 10,2100 y la medida verdadera es V= 10,2537, se obtieneEa = x V E a = 10,2100 10,2537 E a = 0,0437

El signo negativo significa que es un error por defecto.

F S I C A

3) Calcular el error relativo cometido si al medir 10,2357gr de una sustancia obtenemos un valor de 10,21gr. Solucin: El error relativo se define como E r = YE a = x V = 10,21 - 10,2357 = 0,0257Ea V

Entonces el error relativo es:Er = - 0,0257 = 0,00251 10,2357

Es decir el error porcentual de la medicin es de un -0,251%

13

4) Al medir una mesa con una cinta mtrica de 1mm de resolucin se obtiene un resultado de 115,2 cm. Calcular el error absoluto y el error relativo cometido Solucin:

M E C N I C A

El valor real de la medicin corresponde a: V = 115,2cm y el error absoluto corresponde a: E a= 1mm = 0,1cm Como el error relativo se define obtiene:Er = Ea al reemplazar los datos se V

Er =

0,1 = 0,000868 115,2

Es decir el error porcentual es de 0,0868%

F S I C A

5) Al masar 2,2558 kg de una sustancia obtenemos un valor de 2,24kg. Hallar el error absoluto y el error relativo porcentual de esta medida. Solucin: Clculo del error absoluto: E a = x VE a = 2,24kg 2,2558kg E a = 0,0158

Clculo del error relativo porcentual: E r =

Ea 100 V

EP =

0,0158 100 = 0,700 2,2558

Es decir, el error porcentual corresponde a un 0,7% por defecto

14

6) Al masar un objeto tres veces hemos obtenido los siguientes resultados: 20,08g, 19,87g y 20,05g. Calcular el error absoluto y relativo de la segunda medicin.

M E C N I C A

Solucin: Clculo del valor probable o verdadero V

V =

(20,08 + 19,87 + 20,05)g3

= 20,00 g

Clculo del error absoluto E a = 19,87g 20,00g E a = 0,13g Clculo del error relativo porcentual

F S I C A

EP =

0,13 100 = 0,65% 20,00

Es decir el error por defecto de la segunda medicin es de 0,65%

7) Tres personas han medido la distancia recorrida por un mvil y han anotado los siguientes resultados: 37,5 m, 37,8 m y 37,4 m. Calcular la medida ms probable, el error absoluto y relativo cometido en la medicin. Solucin: Medida ms probable:

V =

xN

i

=

37,5 + 37,8 + 37,4 = 37,566 37,6 3

Es decir la distancia medida ms probable es aproximadamente de 37,6 cm.

15

Error absoluto: En este caso como existe un conjunto de datos, se utilizar la semi diferencia entre los valores mximo y mnimo, es decir:

M E C N I C A

Ea =

x Mayor x Menor 2

=

37,8 37,4 = 0,2 2

Error relativo:

Er =

Ea 0,2 = = 0,0053 37,6 V

Esto significa que en la medicin se ha cometido un error por exceso de 0,53%

F S I C A

16

AJUSTE DE UNA RECTAMuchas veces se deben representar los datos obtenidos en una medicin y

M E C N I C A

hallar la funcin que describe su comportamiento. Cuando esta funcin es una recta de la forma y=mx +n, se emplea el Mtodo de los Mnimos Cuadrados, que nos da el valor de los coeficientes m y n con su error, es decir:m= N S XY S X S Y N S XX S X S X

(1)

(2) Donde:S XY = xi y i

n=

S XX S Y S X S XY N S XX S X S X

F S I C A

S XX = xi xi = ( xi )2 S X = xi, SY = yi

Para medir la calidad de este ajuste, es decir, si los datos estn ms o menos cerca de los valores tericos que nos da la recta calculada, se emplea el coeficiente de correlacin (r), que est acotado entre -1 y 1. Este coeficiente es tanto mejor cuanto ms se acerque a alguno de estos valores y peor cuanto ms se acerque a cero. La frmula de coeficiente de correlacin es:

r=

[N S

N S XY S X S YXX

(S X )2 NS YY (S Y )2

][

]

Supongamos que hemos obtenido N medidas independientes de dos magnitudes fsicas x e y, y que tericamente, estn relacionadas por medio de una cierta funcin en la que aparecen varios parmetros: Y = f(x, a, b) Donde:

17

a, b son parmetros, que pueden representar magnitudes fsicas constantes. (Xi , Yi) con i = 1,2, , n medidas experimentales.

M E C N I C A

Ejemplo: Y = a x + b. Una funcin de este tipo la encontramos en la prctica de un Movimiento Rectilneo Uniforme, donde Y es la distancia d recorrida por un mvil; x el tiempo t empleado en recorrerla. El parmetro a ser entonces, la velocidad media o constante del mvil que designamos por v m y b debe ser nulo, lo que expresamos:

d = vm tPara fijar ideas vamos a efectuar un ajuste a una recta, cuya funcin es Y = a x + b , cuyos datos y clculos estn representados en la siguiente tablai 1 2 3 4 5 6 7 8 N=8 Xi 1 2 3 5 6 8 9 10 SX = 44 Yi 1,5 2,0 4,0 4,6 4,7 8,5 8,8 9,9 SY = 44 Xi Yi 1,5 4,0 12,0 23,0 28,0 68,0 79,2 99,0 SXY = 314,9 X2 i 1,0 4,0 9,0 25,0 36,0 64,0 81,0 100,0 SXX =320 Y2 i 2,25 4,00 16,00 21,16 22,09 72,25 77,44 98,01 SYY =313,2 (n+mX i - Y i)2 0,042 0,052 0,699 0,187 1,606 0,440 0,000 0,037 S = 3,063

F S I C A

Parmetros de ajuste:

m=

N S XY S X S Y 8 314,9 44 44 = = 0,935 N S XX S X S X 8 320 44 44

n=

S XX S Y S X S XY 320 44 44 314,9 = = 0,36 8 320 44 44 N S XX S X S X

18

Clculo del coeficiente de correlacin:

M E C N I C A

r=

[N S

N S XY S X S YXX

(S X ) NS YY (S Y )2

][

2

]

Sacando los valores de la tabla se tiene:8 314,9 44 442

r=

[8 320 (44) ] [8 313,2 (44) ]2

= 0,978

Esto significa que el modelo es aceptable ya que representa un 97,8% al ajuste realizado.

F S I C A

Grfico correspondiente a los datos de la tabla

Y

19

Ahora aplicamos los valores de m y n en la nueva recta de regresin: Yi = m xi + n para cada punto ( x i , y i ) de la tabla.

M E C N I C A

xi

Yi = mxi + n

1 2 3 5 6 8 9 10

1,30 2,23 3,17 5,04 5,97 7,84 7,78 9,71

La grfica con su respectivo ajuste est representada en la siguiente imagen:

F S I C A

20

EJERCICIOS PROPUESTOS CALCULO DE ERROR

M E C N I C A F S I C A

1) Determinar el error absoluto y el error relativo, si al pesar 50,06 kg de masa de una sustancia se obtuvo un valor de 50,3 kg Sol: 0,24kg , 0,48% 2) En un circuito cerrado de velocidad se desea determinar el tiempo que tarda un automvil en pasar de 0 a 100 km /h a mxima potencia. Previamente se asume que la experiencia tendr errores experimentales difciles de eliminar, tales como: tiempo de reaccin del conductor, respuestas especficas del motor, tiempo atmosfrico (humedad, viento), etc. Para intentar reducirlas se ha repetido la experiencia cinco veces, dando como resultado los siguientes tiempos: 11,2 s; 10,9 s; 11,1 s; 11,0 s; 10,8 s. a) Qu cifra debes poner como tiempo que tarda el vehculo en pasar de cero a 100 km / h? b) Cul es el error absoluto de cada medida? c) Cul es el error relativo porcentual de cada medida? 3) Para un cubo cuya arista es de 10,5 0,5 cm, calcular el error relativo y porcentual de la superficie y el volumen. Respuesta: 0,095 y 9,52 % 0,143 y 14,3 %

4) Calcular el error absoluto cometido si al pesar 10,2537 g de una sustancia obtenemos un valor de 10,21 g. Respuesta: 0,0437 g

5) Calcular el error relativo y el error relativo porcentual cometido si al pesar 10,2537 g de una sustancia obtenemos un valor de 10,21 g. Respuesta: 0,00426 0,426% 6) Al medir una mesa con una cinta mtrica de 1 mm de resolucin se obtiene un resultado de 115,2 cm. Calcular el error absoluto y el error relativo cometidos. (Como no podemos calcular la dispersin, el Ea es igual a la resolucin del aparato, por tanto: Ea = 0,1 cm.) Respuesta: 0,1 cm. 8,710-421

M E C N I C A

7. En el laboratorio se tomaron las mediciones del tiempo (xi) que demora una bolita al desplazarse (yi) en una superficie sin roce, con movimiento rectilneo uniforme (M.R.U.) Completar la tabla, graficar y ajustar la recta resultante

i1 2 3 4 5 6 7 8 N =8

xi1,0 2,0 3,2 4,1 5,1 6,2 7,0 8,0 Sx =

yi2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 Sy =

xi y i

xi

2

yi

2

F S I C A

S xy =

S xx

S yy

Solucin:

i1 2 3 4 5 6 7 8 N =8

xi1,0 2,0 3,2 4,1 5,1 6,2 7,0 8,0 S x = 36,6

yi2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 S y = 72,0

xi 2 2,0 1,0 8,0 4,0 19,2 10,24 32,8 16,81 51,0 26,01 74,4 38,44 98,0 49,0 128,0 64,0 S xy = 413,4 S xx = 209,5

xi y i

yi 2 4,0 16,0 36,0 64,0 100,0 144,0 196,0 256,0 S yy = 812,0

Ecuacin de regresin Y = mx + n = 1,990 x 0,138

x Y

1,0 1,85

2,0 3,84

3,2 6,23

4,1 8,02

5,1 10,01

6,2 12,20

7,0 13,79

8,0 15,78

22

F S I C A

M E C N I C A

BIBLIOGRAFA

23

- Pal E. Tippens

- Fsica, Conceptos y Aplicaciones Mc Gaw Hill, Quinta Edicin, 1996 - Fsica , Vol. 1 CECSA, 4 Edicin 1999 - Fsica, Tomo I Mc Gaw Hill, 4 Edicin 1999 - Fsica Universitaria, Vol. 1 Ed. Pearson, 9 Edicin 1996 - Fundamentos de Fsica, Tomo I - Mecnica Vectorial para Ingenieros. Esttica Mc Gaw Hill, 6 Edicin. 2000 Fsica Addison Wesley, 1995

M E C N I C A F S I C A

- Halliday Resnick Krane

- Raymond A. Serway

- Sears Zemansky - Young - Freedman

- Frederick Bueche - F. Beer R. Johnston

- M. Alonso E Finn

24