UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N I

“Aprendí a aprender para poder enseñar y aprendí a enseñar para poder aprender”

L. A. Santaló

ANÁLISIS COMBINATORIO

Principio de la Multiplicación.

Si un evento puede ocurrir de “m” formas distintas y un segundo evento puede ocurrir en “n” formas distintas, entonces el número de formas en las que pueden ocurrir ambos o en todo caso uno a continuación del otro, es igual a “m.n”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N I

Ejemplo 1:

¿De cuántas formas se pueden realizar un viaje de A hasta C pasando por B, sabiendo que de A hacia B hay 3 caminos y de B hacia C hay 5 caminos?

Solución:

A (3 formas) B (5 formas) CPara viajar de A a C hay en total:

3.5 = 15 formas.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N I

Ejemplo 2:¿Cuántos números de placa de automóvil de 5 símbolos se pueden hacer, si cada placa comienza con 2 letras distintas (A, B o C) y termina con dígitos cualesquiera?.

Solución: Como las letras (A, B y C) son diferentes y los números se pueden repetir, por el principio de la multiplicación el número de placas esta dado por:

Total = ( 3 ) .( 2 ) .( 10 ).( 10 ).( 10 ) = 6 000

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N I

Principio de la Adición.Si un evento puede ocurrir de “m” formas distintas y un segundo evento puede ocurrir en “n” formas distintas y no es posible ambas ocurrencias simultáneamente, entonces una u otra pueden ocurrir de “m + n” formas distintas.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N IEjemplo3:Gresly Leticia es líder de una empresa constructora y tiene que asistir a un evento, observa en su closet que tiene a su disposición 5 vestidos y 4 conjuntos. ¿De cuántas formas puede vestirse?Solución: Es evidente que Gresly Leticia tiene que elegir una prenda para vestirse, pues es imposible que use las dos prendas a la vez, por consiguiente o se pone el vestido o se pone un conjunto.Por tanto por el principio de la adición, Gresly Leticia puede vestirse de 5 + 4 = 9 formas distintas.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N IEjemplo 4: Guillermo es un coleccionista fanático de ”The Beatles” y una de sus primeras producciones Socorro se venden en 4 tiendas del Jockey plaza, en 5 tiendas de la plaza San Miguel y en 6 stand del Mega plaza. ¿De cuántas formas puede comprar dicha producción?.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N ISolución: Para que Guillermo pueda comprar el CD de los beatles, deberá dirigirse a uno de los centros comerciales mencionados, es decir: En el jockey plaza puede comprar de 4 formas distintas,En la plaza San Miguel puede comprar de 5 formas distintas y en el Mega plaza puede comprar de 6 formas distintas. Como NO es posible que se compre en los tres lugares al mismo tiempo, por el principio de la adición,Se compra de:4 + 5 + 6 = 15 formas distintas.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N I

Factorial de un número Dado n entero positivo, n (se lee factorial de n o n factorial) es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta la misma n, es decir:n! = 1. 2 . 3 . 4 . 5 ..................(n-2).(n-1).nPor ejemplo:

4 = 4. 3. 2.1=24 y 6 = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720,

3 =1.2.3 = 6 y 7 = 1.2.3.4.5.6.7 = 5040

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N IPERMUTACIÓNSon los diferentes arreglos (ordenaciones) que se pueden hacer con una parte o con todos los elementos que pertenecen a un conjunto. En toda permutación lo que importa es el orden, característica fundamental que diferencia uno u otro arreglo. Las permutaciones pueden ser lineales, circulares o con repetición.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N In!nP = ;1 r nr (n - r)!.r!

nrP

Resulta cuando los “n” objetos considerados son distintos y se ordenan linealmente, de los cuales se toman “r” objetos a la vez (1 r n) sin permitir repeticiones, estos arreglos se representan por

o P(n,r) y esta dado por:

Permutación Lineal.

n!nP = ;1 r nr (n - r)!.r!

n!nP = ; 1 r nr (n - r)!

también .( 1).( 2).....( 1)nrP n n n n r

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N I dcba ,,,

( ) ( 1)!cP n n Ejemplo 5:Dado el conjunto a,b,c,d. ¿De cuántas formas se pueden ordenar 2 de las letras sin repetirse?

Solución: Como importa el orden es una permutación:

42

4! 2!.3.44.3 12

(4 2)! 2!P

En efecto las 12 permutaciones son:ab ac ad bc bd cdba ca da cb db dc

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N I

Ejemplo 6:Dado el conjunto ¿De cuántas formas se pueden ordenar las 4 letras, sin repetirse?

Solución: Como importa el orden es una permutación:

, , ,a b c d

44

4! 4!4! 4.3.2.1 24

(4 4)! 0!P

En efecto las 24 permutaciones son:abcd abdc acbd acdb adbc adcbbacd badc bcad bcda bdac bdcacabd cadb cbad cbda cdab cdbadabc dacb dbac dbca dcab dcba

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N IPermutación CircularResulta cuando los “n” objetos considerados son distintos y se ordenan circularmente (alrededor de una mesa, en rondas, etc.) tomados todos a la vez, estos arreglos se representan por Pc (n) y esta dado

por:

( ) ( 1)!cP n n

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N I

Ejemplo 7:Cinco primos: Franco, Oscar, Martín, Carlos y Renzo se van de campamento a Canta, debido al intenso frío preparan una fogata. ¿De cuántas formas pueden sentarse alrededor de la fogata?

Solución: Tomando a Franco como referencia, los 4 primos restantes se pueden ordenar de 4! formas distintasEs decir:Pc ( 5 )= 4! = 1.2.3.4 = 24 formas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N IPermutación con RepeticiónResulta cuando de los “n” objetos considerados n1 son similares de alguna manera, n2 son similares de otra manera,........... ...........nr son similares aun de otra manera. Además el nr 0, y n1 + n2 + ............. +nr = n entonces el total de permutaciones de los “n” elementos está dado por:

1 2 3, , ,...,1 2 3

!

!. !. !..... !r

nn n n n

r

nP

n n n n

donde : n1 + n2 + ............. +nr = n

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N IEjemplo 8:¿Cuántas palabras diferentes sin importar su significado se pueden formar con las letras de la palabra AMABA?

206

120

!1!.1!.3

!5

53,1,1

5! 3!.4.520

3!.1!.1! 3!P

Es una permutación con repetición, pues la letra “A” se repite 3 veces, la M y B una vez

Solución:Las distintas palabras a formarse

son:AMABA AMABAMAABA AMABAMAAAB AMABA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N ICOMBINATORIA:Son los diferentes grupos (selecciones) que se pueden hacer con una parte o con todos los elementos que pertenecen a un conjunto. En toda combinación no importa el orden de sus elementos, característica fundamental que lo distingue. Las combinaciones pueden ser simples o con repetición.

Combinación Simple.Resulta cuando los “n” objetos considerados son distintos y son agrupados de “r” en “r” objetos a la vez (1 r n) sin permitir repetición de los objetos, estas agrupaciones se representan por nCr o y esta dado por:nCr

n!n nnCr =C =( )=r r (n-r)!r!

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N I

44 22

4! 4! 2!.3.4 3.46

(4 2)!2! 2!.2! 2!.1.2 1.2 2!

PC

Ejemplo9:

77 33

7! 7! 4!.5.6.7 5.6.735

(7 3)!.3! 4!.3! 4!.1.2.3 1.2.3 3!

PC

En general:

" "

" "

! .( 1)( 2).............( 1)

( )!. ! ! 1.2.3.4........................................

r factores

nn rr

r factores

Pn n n n n rC

n r r r r

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N IEjemplo9:¿De cuantas maneras se puede escoger una comisión formada por 3 hombres y 2 mujeres, de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?

73C

52C

7 53 2

7.6.5 5.4C xC 350

1.2.3 1.2x

Solución:De los 7 hombres se pueden escoger 3 de maneras De las 5 mujeres se pueden escoger 2 de maneras

Por el principio de la multiplicación, se pueden escoger de:

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N I

Ejemplo 10:Dado el conjunto , ¿De cuántas formas distintas se pueden seleccionar 2 de las letras, sin repetirse?

, , , ,a b c d e

Solución: Seleccionar a a,b es lo mismo que b,a, entonces no importa el orden. Combinando las parejas resultan:ab - ac – ad – ae – bc – bd – be – cd – ce – de (10 formas)En efecto, por fórmula se tiene:

52

5.410

1.2C

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N I

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS

Sea , 0 n k y n k

1.- Combinatorios Complementarios:

Ejemplo 12:

n n

k n k

8 8 8

5 8 5 3

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N I

2.- Incremento de índices

11

11

n nk

k kn

5 64

3 46

11

1

n nn k

k kn

7 7 1 87 1 3 5

3 3 37 1 8

a)Ambos índices

Ejemplo 13:

b) Sólo el índice superior:

Ejemplo 14 :

c) Sólo el índice inferior:

1

1

n nk

k kn k

Ejemplo 15 :

12 12 125 1 6

5 5 1 612 5 7

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N I3.- Disminución de índices

a) Ambos índices:

1

1

n nn

k kk

Ejemplo 16:

5 45

3 23

b) Solo el índice superior:

c) Solo el índice inferior:

1

n nn

k kn k 1

1

n nn k

k kk

Ejemplo 17:

7 7 1 67 7

3 3 37 3 4

Ejemplo 18:

12 12 1212 1 5 8

5 5 1 45 5

UNIVERSIDAD NACIONAL DE IGENIERÍA

C E P R E U N I

GRACIAS POR TU ATENCIÓN………..