análisis real vol 1 - elon lages lima

Lima, Elon Lages

Analisis Real, Volumen 1.

Instituto de Matematica y Ciencias Afines, UNI, 1997.240pp. (Coleccion Textos del IMCA)

Textos del IMCA

Analisis Real

Volumen 1

Elon Lages Lima

Traducido por Rodrigo Vargas

IMCA Instituto de Matematica y Ciencias Afines

Copyright c, 1997 by Elon Lages LimaImpreso en Chile / Printed in ChileCaratula: Rodolfo Capeto y Noni Geiger

Textos del IMCA

Editor: Cesar Camacho

Con esta serie de textos el IMCA inicia sus trabajos contribu-yendo a la difucion de la cultura matematica por medio de unaliteratura de alta calidad cientfica.

Esta coleccion busca poner a disposicion de alumnos y profe-sores universitarios, libros escritos con rigor y claridad, que sirvancomo textos de cursos de graduacion.

La publicacion de este libro conto con el apoyo decidido de laSociedad Brasileira de Matematica y de la Universidad Nacional deIngeniera del Peru que compartieron su costo. A estas institucio-nes damos nuestro agradecimiento.

El Editor

Prefacio

Este libro pretende servir de texto para un primer curso de Anali-sis Matematico. Los temas tratados se exponen de manera simpley directa, evitando digresiones. As espero facilitar el trabajo delprofesor que, al adoptarlo, no necesitara perder mucho tiempo se-leccionando los temas que tratara y los que omitira. Grupos espe-ciales, estudiantes avanzados, lectores que deseen una presentacionmas completa y los alumnos, por as decirlo, normales que busquenlecturas complementarias pueden consultar el Curso de AnalisisMatematico, vol. 1que trata de la misma materia con un enfoquemas amplio, y que tiene aproximadamente el doble de tamano.

Los lectores que tengo en mente son alumnos con conocimientosequivalentes a dos perodos lectivos de Calculo*, ya familiarizadoscon las ideas de derivada e integral en sus aspectos mas elemen-tales, principalmente los calculos con las funciones mas conocidasy la resolucion de ejercicios sencillos. Tambien espero que tenganuna idea suficientemente clara de lo que es una demostracion ma-tematica. La lista de prerrequisitos termina diciendo que el lectordebe estar habituado a las notaciones usuales de la teora de con-juntos, tales como x A, A B, A B, A B, etc.

Una parte importante de este libro son sus ejercicios, que sirvenpara fijar ideas, desarrollar algunos temas esbozados en el texto ycomo oporunidad para que el lector compruebe si realmente ha en-tendido lo que acabo de leer. En el captulo final se presentan lassoluciones, de forma completa o resumida, de 190 ejercicios selec-cionados. Los restantes son, en mi opinion, bastante faciles. Natu-ralmente, me gustara que el lector solo consultase las solucionesdespues de haber hecho un serio esfuerzo para resolver cada pro-

*N.T. dos cuatrimestres

blema. Precisamente es este esfuerzo, con o sin exito, el que nosconduce a buenos resultados en el proceso de aprendizaje.

El procesamiento del manuscrito, por el sistema TEX, lo rea-lizaron Mara Celano Maia y Solange Villar Visgueiro, supervisa-das por Jonas de Miranda Gomes, al que debo bastantes consejos yopiniones sensatas durante la preparacion del libro. La revision deltexto original en portugues la hicieron Levi Lopes de Lima, Ricar-do Galdo Camelier y Rui Tojeiro. A todas estas personas debo misagradecimientos cordiales.

La publicacion de la edicion original brasilena fue financiada porla CAPES; con su director, profesor Jose Ubirajara Alves, estoy endeuda por el apoyo y la compresion demostrados.

Rio de Janeiro

Elon Lages Lima

Prefacio a la edicion en espanol

La iniciativa de editar este libro en espanol se debe al ProfesorCesar Camacho que, con su empeno caracterstico, tuvo la idea,superviso la traduccion, cuido de la impresion y aseguro la publi-cacion. Es a el, por lo tanto, que tengo la satisfacion de manifestarmis agradecimientos.

Tambien estoy agradecido a Lorenzo Diaz Casado, que hizo latraduccion y a Roger Metzger y Francisco Leon por el trabajo derevision.

Rio de Janeiro, noviembre de 1997.

Elon Lages Lima

Indice general

Captulo 1. Conjuntos finitos e infinitos 11. Numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64. Conjuntos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Captulo 2. Numeros reales 131. R es un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132. R es un cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . 153. R es un cuerpo completo . . . . . . . . . . . . . . . . 185. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Captulo 3. Sucesiones de numeros reales 251. Limite de una sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . 252. Lmites y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . 293. Operaciones con lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . 304. Lmites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Captulo 4. Series de numeros 411. Series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412. Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . 443. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 454. Reordenaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Captulo 5. Algunas nociones de topologa 531. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9

10 INDICE GENERAL

3. Puntos de acumulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4. Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Captulo 6. Lmites de funciones 69

1. Definicion y primeras propiedades . . . . . . . . . . . 69

2. Lmites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3. Lmites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Captulo 7. Funciones continuas 83

1. Definicion y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . 83

2. Funciones continuas en un intervalo . . . . . . . . . . 86

3. Funciones continuas en conjuntos compactos . . . . . 90

4. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Captulo 8. Derivadas 101

1. La nocion de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2. Reglas de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3. Derivada y crecimiento local . . . . . . . . . . . . . . 107

4. Funciones derivables en un intervalo . . . . . . . . . . 109

5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Captulo 9. Formula de Taylor y aplicaciones de la de-rivada 117

1. Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2. Funciones concavas y convexas . . . . . . . . . . . . . 121

3. Aproximaciones sucesivas y el metodo de Newton . . . 127

5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Captulo 10. La integral de Riemann 135

1. Revision de sup e nf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4. Condiciones suficientes para la integrabilidad . . . . . 145

5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Captulo 11. Calculo con integrales 1511. Teorema clasicos del Calculo Integral . . . . . . . . . . 1512. La integral como lmite de sumas de Riemann . . . . . 1553. Logaritmos y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . 1574. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Captulo 12. Sucesiones y series de funciones 1711. Convergencia puntual y convergencia uniforme . . . . 1712. Propiedades de la convergencia uniforme . . . . . . . . 1753. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804. Series trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Captulo 13. Soluciones de los ejercicios 193

Lecturas recomendadas 223

1Conjuntos finitose infinitos

En este captulo se establecera con precision la diferencia entre con-junto finito y conjunto infinito. Tambien se hara la distincion entreconjunto numerable y conjunto no numerable. El punto de partidaes el conjunto de los numeros naturales.

1. Numeros naturales

El conjunto N de los numeros naturales se caracteriza por lassiguientes propiedades:

1. Existe una funcion inyectiva s : N N. La imagen s(n) decada numero natural n se llama sucesor de n.

2. Existe un unico numero natural 1 N tal que 1 6= s(n) paratodo n N.

3. Si un conjunto X N es tal que 1 X y s(X) X (esto es,n X s(n) X) entonces X = N.

Estas afirmaciones pueden ser reformuladas as:

1

2 Conjuntos Finitos Cap. 1

1. Todo numero natural tiene un sucesor, que tambien es un nume-ro natural; numeros diferentes tienen sucesores diferentes.

2. Existe un unico numero natural que no es sucesor de ninguno.

3. Si un conjunto de numeros naturales contine el numero 1 y tam-bien contiene el sucesor de cada uno de sus elementos, entoncesese conjunto contiene a todos los numeros naturales.

Las propiedades 1, 2, 3 de arriba se llaman axiomas de Peano.El axioma 3 es conocido como principio de induccion. Intuitiva-mente, este significa que todo numero natural puede obtenerse apartir del 1, tomando su sucesor s(1), el sucesor de este, s(s(1))y as en adelante, en un numero finito de etapas. (Evidentementenumero finito es una expresion que, en este momento, no tienetodava significado. La formulacion del axioma 3 es una maneraextraordinariamente habil de evitar la introduccion de un nuevoprincipio hasta que la nocion de conjunto finito este dada).

El principio de induccion es la base de un metodo para demos-trar teoremas sobre numeros naturales, conocido como el metodo deinduccion (o recurrencia), que funciona as: si una propiedad P esvalida para el numero 1 y si, suponiendo P valida para el numeron, como consecuencia se tiene que P tambien es valida para su su-cesor, entonces P es valida para todos los numeros naturales.

Como ejemplo de demostracion por induccion, probaremos quepara todo n N, se tiene s(n) 6= n. Esta afirmacion es verdedaracuando n = 1, porque el axioma 2 se tiene 1 6= s(n) para todo n,luego, en particular, 1 6= s(1). Si suponemos verdadera la afirma-cion para algun n N, se cumple n 6= s(n). Como la funcion s esinyectiva, entonces s(n) 6= s(s(n)), esto es, la firmacion es verdade-ra para s(n).

En el conjunto de los numeros naturales se definen dos opera-ciones fundamentales, la adicion, que asocia a cada par de numerosnaturales (m,n) su suma m + n, y la multiplicacion que hace co-rresponder al par (m,n) su producto m n. Estas dos operacionesse caracterizan por las siguientes igualdades, que sirven como defi-

Seccion 1 Numeros naturales 3

nicion:

m+ 1 = s(m) ;

m+ s(n) = s(m+ n), esto es, m+ (n+ 1) = (m+ n) + 1;

m 1 = mm (n + 1) = m n+m.Con otras palabras: sumar 1 a m significa tomar su sucesor. Y

una vez conocida la suma m+ n tambien es conocido m+ (n+ 1),que es el sucesor de m + n. En cuanto a la multiplicacion: multi-plicar por 1 no altera el numero. Y conocido el producto m n esconocido m (n+ 1) = m n+m. La demostracion de la existenciade las operaciones + y con las propiedades anteriores, as comosu unicidad, se hace por induccion. Los detalles se omiten aqui. Ellector interesado puede consultar el Curso de Analisis Matemati-co, vol. 1, o las referencias bibliograficas de dicho libro, donde sedemuestran (inductivamente) las siguientes propiedades de la adi-cion y la multiplicacion:

asociativa: (m+ n) + p = m+ (n+ p), m (n p) = (m n) p;distributiva: m (n+ p) = m n+m p;conmutativa: m+ n = n+m, m n = n m;ley de corte: m+ n = m+ p m = p, m n = m p n = p.

Dados dos numeros reales m,n se escribe m < n cuando existep N tal que m + p = n. Se dice que m es menor que n. La no-tacion m n significa que m < n o m = n. Se puede probar quem < n y n < p m < p (transitividad) y que dados m,n Ncualesquiera, se cumple una, y solo una, de estas tres posibilidades:m < n, m = n o m > n.

Una de las propiedades mas importantes de la relacion de ordenm < n entre numeros naturales es el llamado principio de buenaordenacion, enunciado y probado a continuacion.

Todo subconjunto no vaco A N posee un menor elemento,esto es, un elemento n0 A tal que n0 n para todo n A.

Para probar esta afirmacion llamemos, para cada numero n N,In al conjunto de los numeros naturales n. Si 1 A entonces


1 es el menor elemento de A. Si 1 / A entonces consideramos elconjunto X de los numeros naturales n tales que In NA. ComoI1 = {1} N A, vemos que 1 X . Por otra parte, como A noes vaco, conclumos que X 6= N. Luego la conclusion del axioma 3no es valida. Se sigue que debe existir n X tal que n + 1 / X .Entonces In = {1, 2, . . . , n} NA y n0 = n+1 A. Por lo tanton0 es el menor elemento del conjunto A.

2. Conjuntos finitos

Continuaremos usando la notacion In = {p N; p n}. Unconjunto X se dice finito cuando es vaco o bien existen n N y unabiyeccion f : In X . Escribiendo x1 = f(1), x2 = f(2), . . . , xn =f(n) tenemos X = {x1, . . . , xn}. La biyeccion f se llama enume-racion de los elemento de X , y el numero n se llama numero deelementos o cardinal del conjunto finito X . El Corolario 1 masadelante prueba que el cardinal esta bien definido, esto es, que nodepende de la enumeracion f escogida.

Lema 1. Si existe una biyeccion f : X Y , entonces dados a Xy b Y tambien existe una biyeccion g : X Y tal que g(a) = b.Demostracion: Sea b = f(a). Como f es sobreyectiva, existe a X tal que f(a) = b. Definamos g : X Y como g(a) = b, g(a) = by g(x) = f(x) si x X no es igual ni a a ni a b. Es facil ver que ges una biyeccion.

Teorema 1. Si A es un subconjunto propio de In, no puede existiruna biyeccion f : A In.Demostracion: Supongamos, por reduccion al absurdo, que elteorema sea falso y consideremos n0 N el menor numero na-tural para el que existen un subconjunto propio A In0 y unabiyeccion f : A In0 . Si n0 A entonces, por el Lema, existe unabiyeccion g : A In0 con g(n0) = n0. En este caso la restriccion deg a A {n0} es una biyeccion del subconjunto propio A {n0} enIn01, lo que contradice la minimalidad de n0. Si, por el contrario,tuviesemos n0 / A entonces tomaramos a A con f(a) = n0 y la

Seccion 2 Conjuntos finitos 5

restriccion de f al subconjunto propio A {a} In01 sera unabiyeccion en In01, lo que de nuevo contradice la minimalidad den0.

Corolario 1. Si f : Im X y g : In X son biyecciones, entoncesm = n.

En efecto, si tuviesemos m < n entonces In sera un subconjuntopropio de In, lo que violara el Teorema 1, pues g

1 f = Im Ines una biyeccion. Analogamente se demuestra que no es posiblem < n. Luego m = n.

Corolario 2. Sea X un conjunto finito. Una aplicacion f : X Xes inyectiva si, y solo si, es sobreyectiva.

En efecto, existe una biyeccion : In X . La aplicacion f :X X es inyectiva o sobreyectiva si, y solo si, 1f : In Inlo es. Luego podemos considerar f : In In. Si f es inyectivaentonces tomando A = f(In) tendremos una biyeccion f

1 : A In. Por el Teorema 1, A = In y f es sobreyectiva, Recprocamente,si f es sobreyectiva entonces, para cada x In podemos escogery = g(x) In tal que f(y) = e. Entonces g es inyectiva y, por loque acabamos de probar, g es sobreyectiva. As, si y1, y2 In sontales que f(y1) = f(y2), tomamos x1, x2 con g(x1) = y1, g(x2) = y2y tendremos x1 = f g(x1) = f(y1) = f(y2) = f(g(x2)) = x2, dedonde y1 = g(x1) = g(x2) = y2, luego f es inyectiva.

Corolario 3. No puede existir una biyeccion entre un conjuntofinito y una parte propia de este.

El Corolario 3 es una mera reformulacion del Teorema 1.

Teorema 2. Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.

Demostracion: En primer lugar probaremos el siguiente caso par-ticular: si X es finito y a X entonces X{a} es finito. En efecto,existe una biyeccion f : In X que, por el Lema, podemos su-poner que cumple f(n) = a. Si n = 1 entonces X {a} es finito.Si n > 1, la restriccion de f a In1 es una biyeccion en X {a},luego X {a} es finito y tiene n 1 elementos. El caso general seprueba por induccion sobre el numero n de elementos de X . Este es


evidente si X = o n = 1. Supongamos el Teorema verdadero paraconjuntos de n elementos, sean X un conjunto de n + 1 elementose Y un subconjunto de X . Si Y = X no hay nada que probar. Encaso contrario, existe a X tal que a / Y . Entonces tambien secumple Y X {a}. Como X {a} tiene n elementos, se sigueque Y es finito.

Corolario 1. Dada f : X Y , si Y es finito y f es inyectivaentonces X es finito; si X es finito y f es sobreyectiva entonces Yes finito.

En efecto, si f es inyectiva entonces es una biyeccion de X enel subconjunto f(X) del conjunto finito Y . Por otra parte, si fes sobreyectiva y X es finito entonces, para cada y Y podemoselegir x = g(y) X tal que f(x) = y. Esto define una aplicaciong : Y X tal que f(g(y)) = y para todo y Y . Se concluye queg es inyectiva luego, por lo que acabamos de probar, Y es finito.

Un subconjunto X N se dice acotado cuando existe p N talque x p para todo x X .Corolario 2. Un subconjunto X N es finito si, y solo si, esta aco-tado.

En efecto, si X = {x1, . . . , xn} N es finito, tomando p =x1 + + xn vemos que x X x < p, luego X esta acotado.Recprocamente, si X N esta acotado entonces X Ip paraalgun p N, por tanto del Teorema 2 se sigue que X es finito.

3. Conjuntos infinitos

Se dice que un conjunto es infinito cuando no es finito. As, X esinfinito cuando ni es el conjunto vaco ni existe para ningun n Nuna biyeccion f : In X .

Por ejemplo, en virtud del Corolario 2 del Teorema 2, el conjuntoN de los numeros naturales es infinito. Por el mismo motivo, sik N entonces el conjunto k N de los multiplos de k es infinito.Teorema 3. Si X es un conjunto infinito, entonces existe una apli-cacion inyectiva f : N X .

Seccion 4 Conjuntos numerables 7

Demostracion: Para cada subconjunto no vaco A X escoge-mos un elemento xA A. A continuacion, definimos f : N Xinductivamente. Hacemos f(1) = xX y, suponiendo ya definidosf(1), . . . , f(n), escribimos An = X {f(1), . . . , f(n)}. Como X esinfinito An no es vaco. Entonces definimos f(n + 1) = xAn . Estocompleta la definicion de f . Para probar que f es inyectiva, seanm,n N, por ejemplo m < n. Entonces f(m) {f(1), . . . , f(n 1)} mientras que f(n) X {f(1), . . . , f(n 1)}, luego f(m) 6=f(n).

Corolario. Un conjunto X es infinito si, y solo si, existe una bi-yeccion : X Y es un subconjunto propio Y X .

En efecto, sea X infinito y f : N X una aplicacion inyec-tiva. Escribimos, para cada n N, f(n) = xn. Consideremos elsubconjunto propio Y = X{x1}. Definimos entonces la biyeccion : X Y tomando (x) = x si x no es ninguno de los xn y(xn) = xn+1 (n N). Recprocamente, si existe una biyeccion deX en un subconjunto propio entonces X es infinito, en virtud delCorolario 3 del Teorema 1.

Si N1 = N {1} entonces : N N1, (n) = n + 1, esuna biyeccion de N en su subconjunto propio N1 = {2, 3, . . .}. Deforma general, dado p N podemos considerar Np = {p + 1, p +2, . . .} y definir la biyeccion : N Np, (n) = n + p. Estetipo de fenomenos ya eran conocidos por Galileo, el primero enobservar que hay tantos numeros pares como numeros naturales,que demostro que si P = {2, 4, 6, . . .} es el conjunto de los numerospares entonces : N P , dada por (n) = 2n, es una biyeccion.Evidentemente, si I = {1, 3, 5, . . .} es el conjunto de los numeroimpares, entonces : N I, (n) = 2n 1, tambien es unabiyeccion. En estos dos ultimos ejemplos, N P = I y N I = Pson infinitos, mientras que N Np = {1, 2, . . . , p} es finito.

4. Conjuntos numerables

Un conjunto X se dice numerable cuando es finito o cuando exis-te una biyeccion f : N X . En este caso, f se llama numeracion delos elementos de X . Si escribimos f(1) = x1, f(2) = x2, . . . , f(n) =xn, . . . se tiene entonces X = {x1, x2, . . . , xn, . . .}.


Teorema 4. Todo subconjunto X N es numerable.Demostracion: Si X es finito no hay nada que demostrar. Encaso contrario, numeramos los elementos de X tomando x1 = me-nor elemento de X . Suponiendo definidos x1 < x2 < < xn,escribimos An = X {x1, . . . , xn}. Observando que A 6= , puesX es infinito, definimos xn+1 = menor elemento de An. EntoncesX = {x1, x2, . . . , xn, . . .}. En efecto, si existiese algun elemento deX diferente de todos los xn tendramos que x An para todo n N,luego x sera un numero natural mayor que todos los elementos delconjunto infinito {x1, . . . , xn, . . .}, lo que contradice el Corolario 2de Teorema 2.

Corolario 1. Sea f : X Y inyectiva. Si Y es numerable Xtambien lo es. En particular, todo subconjunto de un conjunto nu-merable es numerable.

En efecto, basta considerar el caso en que existe una biyeccion : Y N. Entonces f : X N es una biyeccion de X enun subconjunto de N, que es numerable, por el Teorema 4. En elcaso particular X Y , tomamos f : X Y igual a la aplicacioninclusion.

Corolario 2. Sea f : X Y sobreyectiva. Si X es numerableentonces Y tambien lo es.

En efecto, para cada y Y podemos tomar x = g(y) Xtal que f(x) = y. Esto define una aplicacion g : Y X tal quef(g(y)) = y para todo y Y . De donde se concluye que g esinyectiva. Por el Corolario 1, Y es numerable.

Corolario 3. El producto cartesiano de dos conjuntos numerableses un conjunto numerable.

En efecto, siX e Y son numerables entonces existen aplicacionessobreyectivas f : N X y g : N Y , luego : N N X Ydada por (m,n) = (f(m), g(n)) es sobreyectiva. Por tanto, essuficiente probar que N N es numerable. Para esto consideremosla aplicacion : N N N dada por (m,n) = 3m 2n. Por launicidad de la descomposicion de un numero en factores primos, es inyectiva. Se concluye que N N es numerable.

Seccion 4 Conjuntos numerables 9

Corolario 4. La union de una familia numerable de conjuntos nu-merables es numerable.

Tomando X =

n=1Xn, definimos la aplicacion sobreyectivaf : N N X haciendo f(m,n) = fn(m), El caso de union finitase reduce al caso anterior ya que X = X1X2 XnXn+1 .

El Teorema 3 significa que el infinito numerable es el menordelos infinitos. En efecto, el teorema se puede reformular como sigue:

Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numera-ble.

Ejemplo 1. El conjunto Z = {. . . ,2,1, 0, 1, 2, . . .} de los nume-ros enteros es numerable. Se puede definir una biyeccion f : N Zcomo f(n) = (n 1)/2 si n es impar y f(n) = n/2 si n es par.

Ejemplo 2. El conjunto Q = {m/n : m,n Z, n 6= 0} de losnumeros racionales es numerable. En efecto, si escribimos Z =Z {0} podemos definir una funcion sobreyectiva f : Z Z Qcomo f(m,n) = m/n.

Ejemplo 3. (Un conjunto no numerable). Sea S el conjunto detodas las sucesiones infinitas formadas con los smbolos 0 y 1, comopor ejemplo s = (0 1 1 0 0 0 1 0 . . .). Con otras palabras, Ses el conjunto de todas las funciones s : N {0, 1}. Para cadan N, el valor s(n), igual a 0 o 1, es el n-esimo termino de lasucesion s. Afirmamos que ningun subconjunto numerable X ={s1, s2, . . . , sn, . . .} S es igual a S. En efecto, dado X , indiquemosmediante snn el n-esimo termino de la sucesion sn X . Formamosuna nueva sucesion s X tomando el n-esimo termino de s iguala 0 si snn = 0. La sucesion s

no pertenece al conjunto X porquesu n-esimo termino es diferente del n-esimo termino de sn. (Esteargumento, debido a G. Cantor, es conocido como metodo de ladiagonal).

En el proximo captulo demostraremos que el conjunto R de losnumeros reales no es numerable.


5. Ejercicios

Seccion 1: Numeros naturales

1. Usando el metodo de induccion, pruebe que

(a) 1 + 2 + + n = n(n + 1)/2.(b) 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n2.

2. Dados m,n N con n > m, pruebe que o n es multiplo de m oque existen q, r N tales que n = mq + r, r < m. Pruebe que qy r son unicos con esta propiedad.

3. Sea X N un subconjunto no vaco tal que m,n X m,m+n X . Pruebe que existe k N tal que X es el conjunto de losmultiplos de k.

4. Dado n N, pruebe que no existe x N tal que n < x < n+ 1.5. Obtenga el principio de induccion como consecuencia del princi-

pio de buena ordenacion.

Seccion 2: Conjuntos finitos

1. Indicando mediant card X el numero de elementos del conjuntofinito X , pruebe que:

(a) Si X es finito e Y X , entonces card Y card X .(b) Si X e Y son finitos, entonces X Y es finito y

card (X Y ) = cardX + card Y card (X Y ).

(c) Si X e Y son finitos, entonces X Y es finito y

card(X Y ) = cardX card Y.

2. Sea P(X) el conjunto cuyos elementos son los subconjuntos deX . Pruebe, usando el metodo deinduccion, que si X es finito

entonces card P(X) = 2cardX .3. Sea F(X ; Y ) el conjunto de las funciones f : X Y . Si cardX =

m y card Y = n, pruebe que card (F(X ; Y )) = nm.

Seccion 4 Ejercicios 11

4. Pruebe que todo conjunto finito X de numeros naturales poseeun elemento maximo (esto es, existe x0 X tal que x x0 x X).

Seccion 3: Conjuntos infinitos

1. Dada f : X Y , pruebe que:(a) Si X es infinito y f es inyectiva entonces Y es infinito.

(b) Si Y es infinito y f es sobreyectiva entonces X es infinito.

2. Sean X un conjunto finito e Y un conjunto infinito. Pruebe queexiste una funcion inyectiva f : X Y y una funcion sobreyec-tiva g : Y X .

3. Pruebe que el conjunto P de los numeros primos es infinito.4. De un ejemplo de una sucesion decreciente X1 X2

Xn de conjuntos infinitos cuya interseccion

n=1Xn seavaca.

Seccion 4: Conjuntos numerables

1. Defina f : NN N mediante f(1, n) = 2n1 y f(n+1, n) =2n(2n 1). Pruebe que f es una biyeccion.

2. Pruebe que existe g : N N sobreyectiva tal que g1(n) esinfinito para cada n N.

3. Escriba N = N1 N2 Nn como union inifnita desubconjuntos infinitos disjuntos dos a dos.

4. Para cada n N, sea Pn = {X N : card X = n}. Prue-be que Pn es numerable. Concluya que el conjunto Pf de lossubconjuntos finitos de N es numerable.

5. Pruebe que el conjunto P(N) de todos los subconjuntos de N noes numerable.

6. Sea Y numerable y f : X Y sobreyectiva tal que, para caday Y , f1(y) es numerable. Pruebe que X es numerable.

2Numeros reales

El conjunto de los numeros reales se denotara por R. En este captu-lo haremos una descripcion completa de sus propiedades; estas,as como sus consecuencias, se utilizaran en los proximos captu-los.

1. R es un cuerpo

Esto significa que en R estan definidas dos operaciones, llamadasadicion y multiplicacion, que cumplen ciertas condiciones, especifi-cadas a continuacion.

La adicion hace corresponder a cada par de elementos x, y R,su suma x + y R, mientras que la multiplicacion asocia a estoselementos su producto x y R.

Los axiomas a los que obedecen estas operaciones son:

Asociatividad: para cualesquiera x, y, z R se tiene (x + y) + z =x+ (y + z) y x (y z) = (x y) z.

Conmutatividad: para cualesquiera x, y R se tiene x+ y = y + xy x y = y x.

Elementos neutros: existen en R dos elementos distintos 0 y 1 talesque x+ 0 = x y x 1 = x para cualquier x R.

13

14 Numeros reales Cap. 2

Inversos: todo x R posee un inverso aditivo x R tal quex + (x) = 0 y si x 6= 0, tambien existe un inverso multiplicativox1 R tal que x x1 = 1.

Distributividad: para cualesquiera x, y, z R se tiene x (y + z) =x y + x z.

De estos axiomas resultan todas las reglas familiares del calculocon numeros reales. A ttulo de ejemplo, establecemos algunas.

De la conmutatividad resulta que 0 + x = x y x+ x = 0 paratodo x R. Analogamente, 1 x = 1 y x1 x = 1 cuando x 6= 0.La suma x+ (y) se indicara con x y y se llama diferencia entrex e y. Si y 6= 0, el producto x y1 tambien se representara por x/yy se llamara cociente entre x e y. Las operaciones (x, y) x yy (x, y) x/y se llaman, respectivamente, substraccion y division.Evidentemente, la division de x por y solo tiene sentido cuandoy 6= 0, pues el numero 0 no tiene inverso multiplicativo.

De la distributividad se concluye que, para todo x R, se tienex 0 + x = x 0 + x 1 = x (0 + 1) = x 1 = x. Sumando x aambos miembros de la igualdad x +x = x obtenemos x 0 = 0.

Por otro parte, si x y = 0 podemos concluir que x = 0 o y = 0.En efecto, si y 6= 0 entonces podemos multiplicar ambos miembrosde la igualdad por y1 y obtenemos x y y1 = 0 y1, de dondex = 0.

Tambien es resultado de la distributividad la regla de los sig-nos: x (y) = (x) y = (x y) y (x) (y) = x y. Enefecto, x (y) + x y = x (y + y) = x 0, sumando (x y)a ambos miembros de la igualdad x (y) + x y = 0 se tienex (y) = (x y). Analogamente, (x) y = (x y). Luego(x) (y) = [x (y)] = [(x y)] = x y. En particular(1) (1) = 1. (Observacion: la igualdad (z) = z, anterior-mente usada, resulta al sumar z a ambos miembros de la igualdad(z) + (z) = 0.)

Si dos numeros reales x, y tienen cuadrados iguales, entonces

Seccion 2 R es un cuerpo ordenado 15

x = y. En efecto, si x2 = y2 entonces 0 = x2y2 = (xy)(x+y),y como sabemos, el producto de dos numeros reales solo es cero sial menos uno de los factores es nulo.

2. R es un cuerpo ordenado

Esto significa que existe un subconjunto R+ R llamado con-junto de los numeros reales positivos, que cumple las siguientes con-diciones:

P1. La suma y el producto de numeros reales positivos son positi-vos. O sea, x, y R+ x+ y R+ y x y R+.

P2. Dado x R se verifica una, y solo una, de las 3 alternativassiguientes: o x = 0, o x R+ o x R+.Si indicamos mediante R al conjunto de los numeros x, don-

de x R+, la condicion P2 nos dice que R = R+ R {0}, y quelos conjuntos R+, R y {0} son disjuntos dos a dos. Los numerosy R se llaman negativos.

Todo numero real x 6= 0 tiene cuadrado positivo. En efecto,si x R+ entonces x2 = x x R+ por P1. Si x / R+ en-tonces (como x 6= 0) x R+, luego, tambien por P1, tenemosx2 = (x) (x) R+. En particular, 1 es un numero positivo,pues 1 = 12.

Se escribe x < y, y se dice que x es menor que y, cuandoy x R+, esto es, y = x + z donde z es positivo. En este ca-so, tambien se escribe y > x, y se dice que y es mayor que x. Enparticular, x > 0 significa que x R+, esto es, que x es positivo,mientras que x < 0 quiere decir que x es negativo, esto es, quex R+.

Se tiene las siguientes propiedades para la relacion de ordenx < y en R:

O1. Transitiva: si x < y e y < z entonces x < z.

O2. Tricotoma: dados x, y R, ocurre una, y sola una, de lassiguientes alternativas siguientes, o x = y, o x < y o x > y.


O3. Monotona de la adicion: si x < y entonces, para todo z R,se tiene x+ z < y + z.

O4. Monotona de la multiplicacion: si x < y entonces para todoz > 0 se tiene x z < y z. Si, por el contrario, z < 0 entoncesx < y implica x z > y z.

Demostracion: O1. x < y e y < z significan y x R+ ez y R+. De P1 se sigue que (y x) + (z y) R+, estoes, z x R+, o sea, x < z.

O2. Dados x, y R, o y x R+, o y x = 0 o y x R (estoes, x y R+). En el primer caso se tiene x < y, en el segundox = y y en tercero y < x. Por P2 estas posibilidades se excluyenmutuamente.

O3. Si x < y entonces y x R+, de donde (y + z) (x + z) =y x R+, esto es x+ z < y + z.

O4. Si x < y y z > 0 entonces y x R+ y z R+, luego(y x) z R+, o sea, yz xz R+, lo que significa que xz < yz.Si x < y y z < 0 entonces y x R+ y y z R+, de dondexz yz = (y x)(z) R+, lo que significa que yz < xz.

En general, x < y y x < y implican x + x < y + y puesyy xx = yy yx + yx xx = y(y x) + (y x)x > 0.

Si 0 < x < y entonces y1 < x1. Para probar esto observeprimero que x > 0 x1 = x(x1)2 > 0. A continuacion multi-plicando ambos miembros de la desigualdad x < y por x1y1 setiene y1 < x1.

Como 1 R es positivo, se sigue que 1 < 1+1 < 1+1+1 < .Entonces podemos considerar N R. Se tiene Z R, pues 0 Ry n R n R. Ademas, si m,n Z, donde n 6= 0, entoncesm/n = mn1 R, lo que no permite concluir que Q R. As,N Z Q R.

En la proxima seccion veremos que la inclusion Q R es propia.

Seccion 2 R es un cuerpo ordenado 17

Ejemplo 1. (Desigualdad de Bernoulli) Para todo numero realx 1 y todo n N, se tiene (1 + x)n 1 + nx. Esto se de-muestra por induccion respecto a n. La desigualdad es obvia sin = 1. Suponiendo la desigualdad valida para n, multiplicamosambos miembros por el numero (1 + x) 0 y obtenemos

(1 + x)n+1=(1 + x)n(1 + x) (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx+ x+ nx2= 1 + (n+ 1)x+ nx2

1 + (n+ 1)x .

Usando el mismo argumento se puede ver que (1 + x)n > 1 + nxcuando n > 1, x > 1 y x 6= 0.

La relacion de orden de R nos permite definir el valor absoluto(o modulo) de un numero real x R como sigue: |x| = x si x > 0,|0| = 0 y |x| = x si x < 0. Con otras palabras, |x| = max{x,x}es el mayor de los numeros reales x y x.

Se tiene |x| x |x| para todo x R. En efecto, la desigual-dad x |x| es obvia, mientras que |x| x resulta al multiplicarpor 1 ambos miembros de la desigualdad x |x|. As podemoscaracterizar |x| como el unico numero 0 cuyo cuadrado es x2.

Teorema 1. Si x, y R entonces |x+y| |x|+|y| y |xy| = |x||y|.

Demostracion: Sumando miembro a miembro las desigualdades|x| x e |y| y se tiene |x|+ |y| x+ y. Analogamente, de |x| x y |y| y resulta |x|+|y| (x+y). Luego |x|+|y| |x+y| =max{x + y,(x + y)}. Para probar |x y| = |x| |y| es suficientedemostrar que estos dos numeros tienen el mismo cuadrado, puesambos son 0. Ahora bien, el cuadrado de |x y| es (x y)2 = x2 y2,mientras que (|x| |y|)2 = |x|2 |y|2 = x2 y2.

Teorema 2. Sean a, x, R. Se tiene |x a| < si, y solo si,a < x < a+ .

Demostracion: Como |xa| es el mayor de los dos numeros xay (xa), afirmar que |xa| < es equivalente a decir que se tienexa < y (xa) < , o sea, xa < y xa > . Al sumar a seconcluye: |xa| < x < a+ y x > a a < x < a+.


De modo analogo se puede ver que |x a| a x a+ .

Usaremos la siguiente notacion para representar tipos especialesde conjuntos de numeros reales, llamados intervalos:

[a, b] = {x R : a x b} (, b] = {x R : x b}(a, b) = {x R : a < x < b} (, b) = {x R : x < b}[a, b) = {x R : a x < b} [a,) = {x R : a x}(a, b] = {x R : a < x b} (a,+) = {x R : a < x}

(,+) = RLos cuatro intervalos de la izquierda estan acotados, sus extre-

mos son a, b; [a, b] es un intervalo cerrado, (a, b) es abierto, [a, b) escerrado por la izquierda y (a, b] cerrado por la derecha. Los cincointervalos a la derecha son no acotados : (, b] es la semirrectacerrada a la derecha con origen en b. Los demas tienen denomina-ciones analogas. Cuando a = b, el intervalo [a, b] se reduce a ununico elemento y se llama intervalo degenerado.

En terminos de intervalos, el Teorema 2 afirma que |x a| < si, y solo si, x pertenece al intervalo abierto (a , a + ). Analo-gamente, |x a| x [a , a + ].

Es muy util imaginar el conjunto R como una recta (la rectareal) y los numero reales como sus puntos. Entonces la relacion x 0 tal que x X |x| k.

Sea X R acotado superiormente y no vaco. Un numero b Rse llama supremo del conjunto X cuando es la menor de las cotassuperiores de X . De forma explcita, b es el supremo de X cuandose cumple las dos condiciones siguientes:

S1. Para todo x X se tiene x b.S2. Si c R es tal que x c para todo x X , entonces b c.

La condicion S2 admite la siguiente reformulacion

S2. Si c < b entonces existe x X tal que c < x.En efecto, S2 afirma que ningun numero real menor que b puede

ser una cota superior de X . A veces S2 se escribe as: para todo > 0 existe x X tal que b < x.

Escribimos b = supX para indicar que b es el supremo del con-junto X .

Analogamente, si X es un conjunto no vaco acotado, inferior-mente se dice que un numero real a es el nfimo de X , y se escribea = nfX , cuando es la mayor de las cotas inferiores de X . Esto esequivalente a las dos afirmaciones siguientes:

I1. Para todo x X se tiene a x.I2. Si c x para todo x X , entonces c a.

La condicion I2 se puede formular tambien as:


I2. Si a < c entonces existe x X tal que x < c.De hecho, I2 nos dice que ningun numero mayor que a es una

cota inferior de X . Equivalentemente: para todo > 0 existe x Xtal que x < a + .

Se dice que un numero b X es el maximo del conjunto Xcuando b x para todo x X . Esto quiere decir que b es unacota superior de X que pertenece a X . Por ejemplo b es el maximodel intervalo [a, b], sin embargo el intervalo [a, b) no posee maximo.Evidentemente, si un conjunto X posee un maximo este es su supre-mo. La nocion de supremo sirve precisamente para substituir a laidea de maximo de un conjunto cuando este no existe. El supremodel conjunto [a, b) es b. Se pueden hacer consideraciones totalmenteanalogas con relacion al nfimo.

Afirmar que el cuerpo ordenado R es completo significa afirmarque todo conjunto no vaco y acotado superiormente X R poseeun supremo b = supX .

No es necesario postular tambien que todo conjunto no vaco yacotado inferiormente posee un nfimo. En efecto, en este caso elconjunto Y = {x : x X} no es vaco y esta acotado superior-mente, luego posee un supremo b R. Entonces, como se puede verfacilmente, el numero a = b es el nfimo de X .

A continuacion veremos algunas consecuencias de la completitudde R.

Teorema 3.

i) El conjunto N R de los numero naturales no esta acotadosuperiormente;

ii) El nfimo del conjunto X = {1/n : n N} es igual a 0;iii) Dados a, b R+, existe n N tal que n a > b.Demostracion: Si N estuviese acotado superiormente, existirac = supN. Entonces c 1 no sera una cota superior de N, estoes, existira n N tal que c 1 < n. De donde c < n + 1, luego

Seccion 3 R es un cuerpo completo 21

c no sera una cota superior de N. Esta contradiccion prueba i).Respecto a ii): 0 es, evidentemente, una cota inferior de X . Enton-ces basta probar que cualquier c > 0 no es un cota inferior de X .Ahora bien, dado c > 0, existe, por i), un numero natural n > 1/c,de donde 1/n < c, lo que prueba ii). Finalmente, dados a, b R+usamos i) para obtener n N tal que n > b/a. Entonces na > b, loque demuestra iii).

Las propiedades i), ii) y iii) del teorema anterior son equivalentesy significan que R es un cuerpo arquimediano. En realidad, iii) sedebe al matematico griego Eudoxo, que vivio algunos siglos antesque Arqumedes.

Teorema 4. (Principio de los intervalos encajados) Dadauna sucesion decreciente I1 I2 In de intervaloscerrados y acotados, In = [an, bn], existe al menos un numero realc tal que c In para todo n N.Demostracion: Las inclusiones In In+1 significan que

a1 a2 an bn b2 b1 .

El conjunto A = {a1, a2, . . . , an, . . .} esta, por tanto, acotado supe-riormente; sea c = supA. Evidentemente, an c para todo n N.Ademas, como cada bn es una cota superior de A, tenemos c bnpara todo n N. Por tanto c In para todo n N.Teorema 5. El conjunto de los numeros reales no es numerable.

Demostracion: Demostraremos que ninguna funcion f : N Rpuede ser sobreyectiva. Para esto, suponiendo f dada, construire-mos una sucesion decreciente I1 I2 In de intervaloscerrados y acotados tales que f(n) / In. Entonces, si c es un nume-ro real que pertenece a todos los In ningun valor de f(n) puedeser igual a c, luego f no es sobreyectiva. Para obtener los inter-valos, comenzaremos tomando I1 = [a1, b1] tal que f(1) < a1 y,suponiendo obtenidos I1, I2, . . . , In tales que f(j) / Ij , considera-mos In = [an, bn]. Si f(n + 1) In, al menos uno de los extremos,por ejemplo an, es diferente de f(n + 1), esto es, an < f(n + 1).En este caso tomamos In+1 = [an+1, bn+1], donde an+1 = an ybn+1 = (an + f(n+ 1))/2.


Un numero se llama irracional cuando no es racional. Comoel conjunto Q de los numeros racionales es numerable, del teore-ma anterior resulta que existen numeros irracionales y, aun mas,como R = Q (R Q), los irracionales constituyen un conjuntono numerable (por tanto son la mayora de los numeros reales)pues la union de dos conjuntos numerables es numerable. Eviden-temente, se pueden exhibir numero irracionales explcitamente. Enel Captulo 3, Ejemplo 15, veremos que la funcion f : R R+,dada por f(x) = x2, es sobreyectiva. Luego existe un numero realpositivo, expresado por

2, cuyo cuadrado es igual a 2. Pitagoras

y sus discpulos demostraron que ningun numero racional puede te-ner cuadrado igual a 2. (En efecto, si (p/q)2 = 2 entonces 2q2 = p2,donde p y q son enteros, lo que es absurdo pues el factor primo2 aparece un numero par de veces en la descomposicion de p2 enfactores primos y un numero impar de veces en la de 2q2).

Corolario 1. Todo intervalo no degenerado no es numerable.

En efecto, todo intervalo no degenerado contiene un intervaloabierto (a, b). Como la funcion f : (1, 1) (a, b), definida comof(x) = 1

2[(b a)x + a + b], es una biyeccion, basta probar que

(1, 1) no es numerable. Ahora bien, la funcion : R (1, 1),dada por (x) = x/(1 + |x|), es una biyeccion cuya inversa es :(1, 1) R, definida mediante (y) = y/(1|y|), pues ((y)) =y e ((x)) = x para cualesquiera y (1, 1) y x R, como sepuede ver facilmente.

Teorema 6. Todo intervalo no degenerado I contiene numeros ra-cionales e irracionales.

Demostracion: Obviamente I contiene numeros irracionales, puesen caso contrario I sera numerable. Para probar que I contienenumeros racionales consideramos [a, b] I, donde a < b se puedentomar irracionales. Tomemos n N tal que 1/n < b a. Losintervalos Im = [m/n, (m+1)/n], m Z, cubren la recta real, estoes, R =

mZ Im. Por lo tanto existe m tal que a Im. Como a es

irracional, tenemos m/n < a < (m + 1)/n. Como 1/n, la longituddel intervalo Im, es menor que b a, se tiene que (m + 1)/n < b.Luego el numero racional (m+ 1)/n pertenece al intervalo [a, b], ypor tanto al intervalo I.


5. Ejercicios

Seccion 1: R es un cuerpo.

1. Pruebe las siguientes unicidades:

(a) Si x+ = x para todo x R entonces = 0;(b) Si x u = x para todo x R entonces u = 1;(c) Si x+ y = 0 entonces y = x;(d) Si x y = 1 entonces y = x1.

2. Dados a, b, c, d R, si b 6= 0 y d 6= 0 pruebe que (a/b + c/d) =(ad+ bc)/bd y (a/b)(c/d) = (ac/bd).

3. Si a, b R, a 6= 0 y b 6= 0, pruebe que (ab)1 = a1 b1 yconcluya que (a/b)1 = b/a.

4. Pruebe que (1xn+1)/(1x) = 1+x+ +xn para todo x 6= 1.Seccion 2: R es un cuerpo ordenado

1. Para cualesquiera x, y, z R, pruebe que |xz| |xy|+|yz|.2. Pruebe que ||x| |y|| |x y| para cualesquiera x, y R.3. Dados x, y R, si x2 + y2 = 0 pruebe que x = y = 0.4. Pruebe por el metodo de induccion que (1 + x)n 1 + nx +

[n(n 1)/2]x2 si x 0.5. Para todo x 6= 0, pruebe que (1 + x)2n > 1 + 2nx.6. Pruebe que |a b| < |a| < |b|+ .7. Usando que el trinomio de segundo grado f() =

ni=1(xi +

yi)2 es 0 para todo R pruebe la desigualdad de Cauchy-

Schwarz: (ni=1

xiyi

)2(

ni=1

x2i

)(ni=1

y2i

)

Pruebe tambien que se tiene la igualdad si, y solo si, existe talque xi = yi para todo i = 1, . . . , n.


8. Si a1/b1, . . . , an/bn pertenecen al intervalo (, ) y b1, . . . , bn sonpositivos, pruebe que (a1 + + an)/(b1 + + bn) pertenecea (, ). Con las mismas hipotesis, si t1, . . . , tn R+, pruebeque (t1a1 + + tnan)/(t1b1 + + tnbn) tambien pertenece alintervalo (, ).

Seccion 3: R es un cuerpo ordenado completo

1. Se dice que una funcion f : X R esta acotada superiormentecuando su imagen f(X) = {f(x) : x X} es un conjunto aco-tado superiormente. Entonces se escribe sup(f) = sup{f(x) :x X}. Pruebe que si f, g : X R estan acotadas superior-mente ocurre lo mismo con la suma f + g : X R; ademas setiene sup(f + g) sup(f) + sup(g). De un ejemplo en el quesup(f + g) < sup(f) + sup(g). Enuncie y pruebe un resultadoanalogo con nf.

2. Dadas funciones f, g : X R+ acotadas superiormente pruebeque el producto f g : X R es una funcion acotada (superiore inferiormente) tal que sup(f g) sup(f) sup(g) e nf(f g) nf(f) nf(g). De ejemplos en los que se tenga < en vez de =.

3. Con las hipotesis del ejercicio anterior demuestre que sup(f 2) =sup(f)2 e nf(f 2) = nf(f)2.

4. Dados a, b R+ con a2 < 2 < b2, tome x, y R+ tales quex < 1, x < (2 a2)/(2a + 1) e y < (b2 2)/2b. Pruebe que(a+ x)2 < 2 < (b y)2 y (b y) > 0. A continuacion, considereel conjunto acotado X = {a R+ : a2 < 2} y concluya que elnumero real c = supX cumple c2 = 2.

5. Pruebe que el conjunto de los polinomios con coeficientes enteroses numerable. Un numero real se llama algebraico cuando es razde un polinomio con coeficiente enteros. Pruebe que el conjuntode los numeros algebraicos es numerable. Un numero real sellama trascendente cuando no es algebraico. Pruebe que existennumeros trascendentes.

6. Pruebe que un conjunto I R es un intervalo si, y solo si,a < x < b, a, b I x I.

3Sucesionesde numeros reales

En este captulo se introducira la nocion de lmite en su forma massimple, el lmite de una sucesion. A partir de aqu, todos los con-ceptos importantes del Analisis Matematico, de una forma u otrase reduciran a algun tipo de lmite.

1. Limite de una sucesion

Una sucesion de numeros reales es una funcion x : N R queasocia a cada numero natural n un numero real xn, llamado n-esi-mo termino de la sucesion.

Se escribe (x1, x2, . . . , xn, . . .) o (xn)nN, o simplemente (xn), pa-ra indicar la sucesion cuyo n-esimo termino es xn.

No debe confundirse la sucesion (xn) con el conjunto {x1, x2, . . . ,xn, . . .} de sus terminos. Por ejemplo, la sucesion (1, 1, . . . , 1, . . .) noes lo mismo que el conjunto {1}. O de otra forma: las sucesiones(0, 1, 0, 1, . . .) y (0, 0, 1, 0, 0, 1, . . .) son diferentes pero el conjunto desus terminos es el mismo, igual a {0, 1}.

Una sucesion (xr) se dice acotada superiormente (respectiva-mente inferiormente) cuando existe c R tal que xn c (respec-tivamente xn c) para todo n N. Se dice que la sucesion (xn)

25

26 Sucesiones de numeros reales Cap. 3

esta acotada cuando esta acotada superior e inferiormente. Estoequivale a decir que existe k > 0 tal que |xn| k para todo n N.Ejemplo 1. Si a > 1 entonces la sucesion (a, a2, . . . , an, . . .) esta aco-tada inferiormente pero no superiormente. En efecto, multiplican-do ambos miembros de la desigualdad 1 < a por an obtenemosan < an+1. Se sigue que a < an para todo n N, luego (an) esta aco-tada inferiormente por a. Por otra parte, tenemos a = 1 + d, cond > 0. Por la desigualdad de Bernoulli, para todo n N se tienean > 1+nd. Por tanto, dado cualquier c R podemos hacer an > csiempre que tomemos 1 + nd > c, esto es, n > (c 1)/d.

Dada una sucesion x = (xn)nN, una subsucesion de x es la res-triccion de la funcion x a un subconjunto infinito de N = {n1 n0.Ejemplo 2. Dado un numero real a < 1, consideremos la sucesion(an)nN. Si N N es el conjunto de los numeros pares y N es elconjunto de los numeros impares entonces la subsucesion (an)nNsolamente esta acotada superiormente.

Se dice que un numero real a es el lmite de la sucesion (xn)cuando para todo numero real > 0, dado arbitrariamente, se pue-de obtener n0 N tal que todos los terminos xn con ndice n > n0cumplen la condicion |xn a| < . Se escribe entonces a = lm xn.

Esta importante definicion significa que, para valores muy gran-des de n, los terminos xn permanecen tan proximos a a cuando sedesee. Mas precisamente, estipulandose un error > 0, existe unndice n0 N tal que todos los terminos de la sucesion con ndicen > n0 son valores aproximados de a con un error menor que .

Con smbolos matematicos, se escribe:

a = lm xn > 0 n0 N;n > n0 |xn a| < ,

Seccion 1 Limite de una sucesion 27

en donde el smbolo significa que lo que sigue es la definicionde lo que antecede, significa para todo o cualquier que seay significa existe. El punto y como quiere decir tal que y laflecha significa implica.

Es conveniente recordar que |xn a| < es lo mismo quea < xn < a+ , esto es, xn pertenece al intervalo (a , a+ ).

As, decir que a = lm xn significa que cualquier intervalo abiertocentrado en a contiene todos los terminos xn de la sucesion exceptoun numero finito de estos (a saber, los de ndice n n0, donde n0se escoge en funcion del radio del intervalo).

En vez de a = lm xn, tambien se escribe a = lmnN

xn, a = lmn

xn,

o xn a. Esta ultima expresion se lee xn tiende a a o xnconverge a a. Una sucesion que posee lmite se llama convergente.En caso contrario se llama divergente.

Teorema 1. (Unicidad del lmite) Una sucesion no puede con-verger a dos lmites diferentes.

Demostracion: Sea lm xn = a. Dado b 6= a podemos tomar > 0tal que los intervalo abiertos I = (a , a+ ) y J = (b , b+ )sean disjuntos. Existe n0 N tal que n n0, implica xn I.Entonces, para todo n n0, tenemos xn / J . Luego no se tienelm xn = b.

Teorema 2. Si lm xn = a entonces toda subsucesion de (xn) con-verge a.

Demostracion: Sea (xn1 , xn2, . . . , xnk , . . .) una subsucesion. Dadocualquier intervalo abierto centrado en a existe n0 N tal quetodos los terminos xn, con n n0, pertenecen a I. En particular,todos los terminos xnk con nk n0, tambien pertencen a I. Luegolm xnk = a.

Teorema 3. Toda sucesion convergente esta acotada.

Demostracion: Sea a = lm xn. Tomando = 1 vemos que existen0 N tal que n > n0 xn (a 1, a + 1). Sean b el mayor y cel menor elemento del conjunto finito {x1, x2 . . . , xn0 , a 1, a+ 1}.


Todos los terminos xn de la sucesion estan contenidos en [c, b], luegola sucesion esta acotada.

Ejemplo 3. La sucesion (2, 0, 2, 0, . . .), cuyo n-esimo termino esxn = 1 + (1)n+1, esta acotada. Sin embargo no es convergenteporque posee dos sucesiones constantes, x2n1 = 2 y x2n = 0, conlmites diferentes.

Ejemplo 4. La sucesion (1, 2, 3, . . .), con xn = n, no es convergenteporque no esta acotada.

Una sucesion (xn) se llama monotona cuando se tiene xn xn+1para todo n N, o bien xn xn+1 para todo n N. En el pri-mer caso se dice que (xn) es monotona creciente, y en el segundocaso que (xn) es monotona decreciente. En particular, si tenemosxn < xn+1 (respec. xn > xn+1) para todo n N decimos que la su-cesion es estrictamente creciente (respc. estrictamente decreciente).

Toda sucesion monotona creciente (resp. decreciente) esta aco-tada inferiormente (respec. superiormente) por su primer termino.Para que este acotada es suficiente que tenga una subsucesion acota-da. En efecto, sea (xn)nN una subsucesion acotada de una sucesionmonotona (supongamos creciente) (xn). Tenemoos, xn c para to-do n N. Dado cualquier n N existe n N tal que n < n.Entonces xn xn c.

El proximo teorema nos da una condicion suficiente para queuna sucesion converja. Cuando intentaba demostrarlo mientras pre-paraba sus clases, a mediados del siglo XIX, R. Dedekind percibio lanecesidad de una formalizacion rigurosa del concepto de numeroreal.

Teorema 4. Toda sucesion monotona y acotada es convergente.

Demostracion. Sea (xn) monotona, supongamos que creciente, yacotada. Escribimos X = {x1, . . . , xn, . . .} y a = supX . Afirmamosque a = lm xn. En efecto, dado > 0, el numero a no es unacota superior de X . Luego existe n0 tal que a < xn0 a. As,n > n0 a < xn0 xn < a+ , de donde lm xn = a.

Analogamente, si (xn) es decreciente y acotada entonces lm xnes el nfimo del conjunto de valores xn.

Seccion 2 Lmites y desigualdades 29

Corolario. (Teorema de Bolzano.Weierstrass) Toda suce-sion acotada de numeros reales posee una subsucesion convergente.

En efecto, basta demostrar que toda sucesion acotada (xn) poseeuna subsucesion monotona. Decimos que xn es un termino destacadode la sucesion (xn) si xn xp para todo p > n. Sea D el conjunto dendices n tal que xn es un termino destacado. Si D es un conjuntoinfinito, D = {n1 < n2 < < nk < }, entonces la subsucesion(xn)nD es monotona decreciente. Por el contrario, si D es finitosea n N el mayor de los n D. Entonces xn1 , donde n1 = n + 1,no es destacado, luego existe n2 > n1 tal que xn1 < xn2 . A suvez, xn2 no es destacado, luego existe n3 > n2 con xn1 < xn2 1, del Ejem-plo 1 se deduce que, dado > 0 arbitrario existe n0 N tal que(1/a)n0 > 1/, o sea, an0 < . Se sigue que lm an = nf{an;n N} = 0.

2. Lmites y desigualdades

Sea P una propiedad referente a los terminos de una sucesion(xn). Diremos que para todo n suficientemente grande xn cumple lapropiedad Ppara significar que existe n0 N tal que n n0 xncumple la propiedad P.

Teorema 5. Sea a = lm xn. Si b < a entonces, para todo n suficien-temente grande, se tiene b < xn. Analogamente, si a < b entoncesxn < b para todo n suficientemente grande.

Demostracion: Tomando = a b, tenemos > 0 y b = a .Por la definicion de lmite, existe n0 N tal que n > n0 a 0 entonces, para todo nsuficientemente grande, se tiene xn > 0. Analogamente, si a < 0entonces xn < 0 para todo n suficientemente grande.

Corolario 2. Sean a = lm xn y b = lm yn. Si xn yn, para todon suficientemente grande entonces a b. En particular, si xn bpara todo n suficientemente grande entonces lm xn b.

En efecto, si tuviesemos b < a entonces tomaramos c R talque b < c < a y tendramos, por el Teorema 5, yn < c < xn paratodo n suficientemente grande, contradiciendo la hipotesis.

Observacion: Si tuviesemos xn < yn no podramos concluir quea < b. Basta considerar xn = 0 e yn = 1/n.

Teorema 6. (Teorema del Sandwich.) Si lm xn = lm yn = a yxn zn yn para todo n suficientemente grande entonces lm zn =a.

Demostracion: Dado cualquier > 0, existen n1, n2 N talesque n > n1 a < xn < a + y n > n2 a < yn < a + .Sea n0 = max{n1, n2}. Entonces n > n0 a < xn zn yn 0 tal que |yn| c para todo n N.Dado cualquier > 0, existe n0 N tal que n > n0 |xn| < /c.Entonces, n > n0 |xn yn| = |xn| |yn| < (/c) c = . Luegolm(xnyn) = 0.

Ejemplo 7. Si xn = 1/n e yn = sin(n) entonces (yn) no es conver-gente, sin embargo como 1 yn 1, se tiene lm(xn yn) =lm(sin(n)/n) = 0. Por otra parte, si lm xn = 0 pero (yn) noesta acotada, la sucesion producto (xn yn) puede ser divergente(tome xn = 1/n e yn = n

2) o tender a cualquier valor c (tomexn = 1/n e yn = c n).

Seccion 3 Operaciones con lmites 31

Para uso posterior, observamos que, como resultado directo dela definicion de lmite, se tiene:

lm xn = a lm(xn a) = 0 lm |xn a| = 0.Teorema 8. Si lm xn = a y lm yn = b entonces:

1. lm(xn yn) = a b2. lm(xn yn) = a b3. lm

xnyn

=a

bsi b 6= 0.

Demostracion: 1. Dado cualquier > 0, existen n1, n2 N talesque n > n1 |xn a| < /2 y n > n2 |yn b| < /2. Sean0 = max{n1, n2}. Entonces n > n0 n > n1 y n > n2, luego|(xn + yn) (a+ b)| = |(xn a) + (yn b)| |xn a|+ |yn b| 0 para todo n N y lm(xn+1/xn) = a < 1entonces lm xn = 0. En efecto, tomemos c R con a < c < 1.Entonces 0 < xn+1/xn < c para todo n suficientemente grande.Se sigue que 0 < xn+1 = (xn+1/xn)xn < cxn < xn, luego, paran suficientemente grande, la sucesion (xn) es monotona y acotada.Sea b = lmxn. De xn+1 < c xn para todo n suficientemente grande


resulta, haciendo n, que b c b, esto es, (1 c)b 0. Comob 0 y 0 < c < 1, conclumos que b = 0.Ejemplo 9. Como aplicacion del ejemplo anterior, se obtiene que,si a > 1 y k N son constantes, entonces:

lmn

nk

an= lm

an

n!= lm

n!

nn= 0.

En efecto, escribiendo xn =nk

an, yn =

an

n!y zn =

n!nn

resulta yn+1/yn =a/n + 1, luego lm(yn+1/yn) = 0 y, por el Ejemplo 8, lm yn = 0.

Tambien tenemos xn+1/xn =(1 + 1

n

)k a1, por tanto (por el Teore-ma 8) lm(xn+1/xn) = 1/a < 1. Del Ejemplo 8 se deduce lm xn = 0.Finalmente, zn+1/zn = [n/(n + 1)]

n, de donde lm(zn+1/zn) = 1/e.(vea el Ejemplo 12 mas adelante). Como 1/e < 1, se sigue quelm zn = 0.

Ejemplo 10. Dado a > 0 demostraremos que la sucesion dada porxn = n

a = a1/n tiene lmite igual a 1. En efecto, se trata de una

sucesion monotona (estrictamente decreciente si a > 1 y crecientesi a < 1) y acotada, por lo tanto existe L = lm

na1/n. Se tiene

L > 0. En efecto, si 0 < a < 1 entonces a1/n > a para todo n N,de donde L a. Sin embargo, si a > 1 entonces a1/n > 1 para todon N, de donde L 1. Consideremos la subsucesion (a1/n(n+1)) =(a1/2, a1/6, a1/12, . . .). Como 1/n(n+1) = 1/n1/(n+1), el Teorema2 y el apartado 3 del Teorema 8 nos dan:

L = lm a1/n(n+1) = lma1/n

a1/(n+1)=

L

L= 1.

Ejemplo 11. Sea 0 < a < 1. La sucesion cuyo termino generales xn = 1 + a + + an = (1 an+1)/(1 a) es estrictamen-te creciente y acotada, pues xn < 1/(1 a) para todo n N.Ademas, lm

n(1/(1 a) xn) = lm

nan/(1 a) = 0, por lo tanto

lmn

xn = lm(1 + a + + an) = 1/(1 a).

La igualdad anterior tambien es valida cuando se tiene 1 p:

bn 1+1+ 12!

(1 1

n

)+ + 1

p!

(1 1

n

)(1 2

n

) (1 p 1

n

).

Tomando un p cualquiera y haciendo n, de la ultima desigual-dad obtenemos lm

nbn 1+ 1

2!+ + 1

p!= ap. Como esta desigual-

dad es valida para todo p N, se sigue que lmn

bn lmp

ap = e.

Pero como ya hemos visto que ba < an para todo n N, entonceslm bn lm an. Esto completa la prueba de lm bn = e.


Ejemplo 14. Consideremos la sucesion cuyo n-esimo termino esxn = n

n = n1/n. Tenemos xn 1 para todo n N. Esta sucesion

es estrictamente decreciente a partir del tercer termino. En efecto,la desigualdad n

n > n+1

n + 1 es equivalente a nn+1 > (n + 1)n,

esto es, n > (1+1/n)n, que es verdad si n 3 pues, como acabamosde ver, (1+ 1/n)n < 3 para todo n. Por tanto existe L = lmn1/n yse tiene L 1. Consideremos la subsucesion (2n)1/2n tenemos:

L2 = lm[(2n)1/2n]2 = lm[21/n n1/n] = lm 21/n lmn1/n = L,

(cfr. Ejemplo 10.) Como L 6= 0, de L2 = L resulta L = 1. Conclui-mos por tanto que lm n

n = 1.

Ejemplo 15. (Aproximaciones sucesivas de la raz cuadrada.)El siguiente metodo iterativo para obtener, con error tan pequenocuanto se desee, races cuadradas de un numero real a > 0 yaera conocido por lo babilonios 17 siglos antes de la era cristiana.Se toma de forma arbitraria un valor x1 > 0 y se define induc-tivamente xn+1 = [xn + a/xn]/2. Para demostrar que la sucesion(xn) as obtenida converge a

a primero observamos que, para

todo x 6= 0, se tiene [x + a/x]2 4a. En efecto, desarrollandoel cuadrado y pasando 4a al primer termino, vemos que esta de-sigualdad es equivalente a afirmar que (x a/x)2 0, lo quees obvio. De aqu resulta x2n+1 = [xn + a/xn]

2/4 a para todon N. Ademas, si x2 a entonces [x + a/x]2/4 = x2. En efecto,a x2 [x + a/x]2/4 [x + x2/x]2/4 = x2. Como x2n+1 apara todo n, se sigue que x2n+2 x2n+1, luego xn+2 xn+1, puesestos numeros son 0. Por lo tanto, inclusive si x1 0 posee una raz cuadrada real. Mas aun, el proceso iterativoxn+1 = [xn + a/xn]/2 muestra rapidamente buenas aproximacionesdea, como se puede verificar tomando ejemplos concretos.

4. Lmites infinitos

Dada una sucesion (xn), se dice que el lmite de xn es mas infi-nito y se escribe lm xn = +, para significar que, dado cualquier

Seccion 4 Lmites infinitos 35

A > 0, existe n0 N tal que n > n0 implica xn > A.

Analogamente, lm xn = significa que, para todo A > 0dado, se puede encontrar n0 tal que n > n0 xn < A.

Se debe enfatizar que + y no son numeros y que, silm xn = + y lm ym = , las sucesiones (xn) e (yn) no sonconvergentes.

Como lm(xn) = + lm(xn) = , limitaremos nuestroscomentarios al primer caso.

Si lm xn = + entonces la sucesion (xn) no esta acotadasuperiormente. El recproco es falso. La sucesion dada por xn =n+(1)nn no esta acotada superiormente, sin embargo no se tienelm xn = +, pues x2n1 = 0 para todo n N. No obstante si (xn)es creciente, entonces (xn) no es acotada lm xn = +.

En el Ejemplo 1 demostramos que las potencias a, a2, a3, . . . deun numero a > 1 forman una sucesion que no esta acotada y real-mente probamos que lm an = +.Teorema 9.

(1) Si lm xn = + y (yn) esta acotada inferiormente entonceslm(xn + yn) = +.

(2) Si lmxn = + y existe c > 0 tal que yn > c para todo n Nentonces lm(xnyn) = +.

(3) Si xn > c > 0, yn > 0 para todo n N y lm yn = 0 entonceslm xn

yn= +.

(4) Si (xn) esta acotada y lm(yn) = + entonces lm xnyn = 0.

Demostracion: (1) Existe c R tal que yn c para todo n N.Dado cualquier A >=, existe n0 N tal que n > n0 xn >a c. Se sigue que n > n0 xn + yn > A c + c = A. Luegolm(xn + yn) = +.(2) Dado cualquier A > 0, existe n0 N tal que n > n0 xn >A/c. Luego n > n0 xnyn > (A/c) c = A, de donde lm(xnyn) =


+.(3) Dado A > 0, existe n0 N tal que n > n0 yn < c/a. Entoncesn > n0 xn/yn > c A/c = A, de donde lm(xn/yn) = +.(4) Existe c > 0 tal que |xn| c para todo n N. Dado cualquier > 0, existe n0 N tal que n > n0 yn > c/. Entoncesn > n0 |xn/yn| < c /c = , luego lm(xn/yn) = 0.

Las hipotesis de los diversos apartados del teorema anterior tie-nen por objeto evitar algunas de las llamadas expresiones indeter-minadas. En el apartado (1) se intenta evitar la expresion +.De hecho, si lm(xn) = + y lm(yn) = nada puede afirmarsesobre lm(xn+ yn). Este lmite puede no existir (como en el caso enque xn = n+ (1)n e yn = n), puede ser igual a + (si xn = 2ne yn = n), puede ser (tome xn = n e yn = 2n) o puede serun valor cualquiera c R (por ejemplo, xn = n + c e yn = n).Debido a este compartamiento erratico, se dice que + esuna expresion indeterminada. En los apartados (2), (3) y (4), lashipotesis excluyen los lmites del tipo 0 (tambien evitado enel Teorema 7), 0/0 y /, respectivamente, que constituyen ex-presiones indeterminadas en el sentido que acabamos de explicar.Otras expresiones indeterminadas frecuentes son 0, 1 y 00.

Los lmites mas importantes del Analisis Matematico casi siem-pre aparecen en forma de expresiones indeterminadas. Por ejemplo,el numero e = lm

n(1 + 1/n)n es de la forma 1. Y, como veremos

mas adelante, la derivada es un lmite del tipo 0/0.

Proseguimos con una afirmacion sobre el orden de magnitud. Sik N y a es un numero real > 1 entonces lm

nnk = lm

nan =

lmn

n! = lmn

nn. Todas estas sucesiones tienen lmite infinito. El

Ejemplo 9 nos dice que, para valores muy grandes de n, tenemosnk an n! nn, donde el smbolo quiere decir es una frac-cion muy pequena de o es insignificante en comparacion con.Por eso se dice que el crecimiento exponencial supera al polinomial,el crecimiento factorial supera al exponencial con base constantepero es superado por el crecimiento exponencial con base creciente.Por otro lado, el crecimiento de nk (inclusive cuando k = 1) superaal crecimiento logartmico, como demostraremos a continuacion.


En el Captulo 9 probaremos la existencia de una funcion es-trictamente creciente log : R+ R, tal que log(xy) = log x+ log yy log x < x para cualesquiera x, y R+. De aqu resulta quelog x = log(

x x) = 2 logx, de donde logx = (log x)/2.

Ademas, log x = log 1 + log x, de donde log 1 = 0. Como log es es-trictamente creciente, se tiene log x > 0 para todo x > 1. Tambiense cumple log(2n) = n log(2), por tanto lm

nlog(2n) = +. Como

log es creciente, se sigue lmn

log n = +.

Probaremos ahora que lmn

logn

n= 0.

Para todo n N, tenemos logn < n. Como logn =12logn, se deduce que logn < 2

n. Dividiendo por n resulta que

0 < log n/n < 2/n. Haciendo n se tiene lm

nlogn

n= 0.

5. Ejercicios

Seccion 1: Lmite de una sucesion.

1. Se dice que una sucesion (xn) es periodica cuando existe p Ntal que xn+p = xn para todo n N. Pruebe que toda sucesionperiodica convergente es constante.

2. Dadas las sucesiones (xn) e (yn), defina (zn) como z2n1 = xn yz2n = yn. Pruebe que si lm xn = lm yn = a entonces lm zn = a.

3. Pruebe que si lm xn = a entonces lm |xn| = |a|.4. Si una sucesion monotona tiene una subsucesion convergente,

pruebe que entonces la propia sucesion es convergente.

5. Un numero a se llama valor de adherencia de la sucesion (xn)cuando es el lmite de alguna subsucesion de (xn). Para cada unade los conjuntos A,B y C dados a continuacion encuentre suce-siones que tengan dichos conjuntos como valores de adherencia:A = {1, 2, 3}, B = N, C = [0, 1].

6. Para que un numero real a sea valor de adherencia de la sucesion(xn) es necesario y suficiente que, para todo > 0 y k N, existan > k tal que |xn a| < .


7. Para que un numero real b no sea valor de adherencia de lasucesion (xn) es necesario y suficiente que exista n0 N y > 0tales que n > n0 |xn b| .

Seccion 2: Lmites y desigualdades

1. Si lmxn = a, lm yn = b y |xnyn| para todo n N, pruebeque entonces |a b| .

2. Sean lm xn = a y lm yn = b. Pruebe que si a > b entonces existen0 N tal que n > n0 xn < yn.

3. Si el numero real a no es el lmite de la sucesion acotada (xn),pruebe que existe alguna subsucesion convergente de (xn) conlmite b 6= a.

4. Pruebe que una sucesion acotada es convergente si, y solo si,posee un unico valor de adherencia.

5. Cuales son los valores de adherencia de la sucesion (xn) definidapor x2n1 = n y x2n = 1/n? Es esta sucesion convergente?

6. Dados a, b R+ defina inductivamente las sucesiones (xn) e(yn) como x1 =

ab, y1 = (a + b)/2 y xn+1 =

xnyn, yn+1 =

(xn + yn)/2. Pruebe que (xn) e (yn) convergen al mismo lmite.

7. Se dice que (xn) es una sucesion de Cauchy cuando, para todo > 0, existe n0 N tal que m,n > n0 |xm xn| < .(a) Pruebe que toda sucesion de Cauchy esta acotada.

(b) Pruebe que una sucesion de Cauchy no puede tener dos va-lores de adherencia distintos.

(c) Pruebe que una sucesion (xn) es convergente si, y solo si, esde Cauchy.

Seccion 3: Operaciones con lmites

1. Pruebe que, para todo p N, se tiene lmn

n+pn = 1.

2. Si existen > 0 y k N tales que xn nk para todo nsuficientemente grande, pruebe que lm n

xn = 1. Use esto para

calcular lmn

nn + k, lm

nn

nn, lm

nnlog n y lm

nnn logn.


3. Dado a > 0, defina inductivamente la sucesion (xn) mediantex1 =

a y xn+1 =

a + xn. Pruebe que (xn) es convergente y

calcule su lmite:

L =

a+

a+

a +

4. Sea en = (xn a)/a el error relativo de la n-esima etapa

del calculo dea. Pruebe que en+1 = e

2n/2(1 + en). Concluya

que en 0, 01 en+1 0, 00005 en+2 0, 00000000125 yobserve la rapidez de la convergencia del metodo.

5. Dado a > 0, defina inductivamente la sucesion (xn) como x1 =1/a y xn+1 = 1/(a + xn). Considere c la raz positiva de laecuacion x2 + ax 1 = 0, el unico numero positivo tal quec = 1/(a + c). Suponga que x1 < c (El caso x1 > c se puedetratar de forma analoga). Pruebe que x1 < x3 < < x2n1 < < c < < x2n < < x4 < x2 y que lm xn = c. El numeroc se puede considerar como la suma de la fraccion continua:

1

a+1

a+1

a +1

a+ . . .

6. Dado a > 0, defina inductivamente la sucesion (yn) mediantey1 = a e yn+1 = a + 1/yn. Demuestre que lm yn = a + c, dondec esta definido como en el ejercicio anterior.

7. Defina la sucesion (an) inductivamente como a1 = a2 = 1 yan+1 = an+1 + an para todo n N. Escriba xn = an/an+1 ypruebe que lm xn = a, donde a es el unico numero positivo talque 1/(a + 1) = a. El termino an se llama n-esimo numero deFibonacci y a = (1+5)/2 es el numero de oro de la GeometraClasica.

Seccion 4: Lmites infinitos

1. Pruebe que lm nn = +.


2. Si lm xn = + y a R, pruebe que:

lmn

[log(xn + a) logxn] = 0 .

3. Dados k N y A > 1, determine el lmn

n!

nk an . Suponiendo

que a > 1 y a 6= e, calcule lmn

an n!nn

y lmn

nk an n!nn

.

4. Demuestre que lmn

log(n+ 1)/ log(n) = 1.

5. Sean (xn) cualquier sucesion y (yn) una sucesion estrictamen-te creciente tal que lm yn = +. Suponiendo que lm(xn+1 xn)/(yn+1 yn) = a, pruebe que lm xn/yn = a. Concluya quesi lm(xn+1 xn) = a entonces lm xn/n = a. En particular, delm log(1 + 1/n) = 0, concluya que lm(logn)/n = 0.

6. Si lm xn = a y (tn) es una sucesion de numeros positivos talque:

lm(t1 + + tn) = + ,entonces pruebe que:

lmt1x1 + + tnxnt1 + + tn = a .

En particular, si yn =x1++xn

n, tambien se tiene lm yn = a.

4Series de numeros

Una serie es una suma s = a1 + a2 + + an + con un numeroinfinito de sumandos. Para que esto tenga sentido escribiremos s =lmn

(a1 + + an). Como todo lmite, este puede existir o no. Poreso hay series convergentes y divergentes. Aprender a distingir lasunas de las otras es el objetivo principal de este captulo.

1. Series convergentes

A partir de una sucesion (an) de numeros reales dada formamosuna nueva sucesion (sn), donde

s1 = a1, s2 = a1 + a2, . . . , sn = a1 + a2 + + an, etc .Los numeros sn se llaman sumas parciales de la serie

an. El

sumando an es el n-esimo termino o termino general de la serie.

Cuando existe el lmite s = lmn

sn, decimos que la serie

an

es convergente y s =

an =

n=1 an = a1 + a2 + + an + se llama suma de la serie. Si lm sn no existe decimos que

an es

una serie divergente.

A veces es conveniente considerar series del tipo

n=0 an queempiezan en a0 en vez de a1.

Ejemplo 1. Como ya hemos visto (Ejemplos 11 y 12, Captulo 3),cuando |a| < 1 la serie geometrica 1 + a + a2 + + an + esconvergente y su suma es 1/(1 a) y la serie 1 + 1 + 1/2! + +1/n! + tambien es convergente, y su suma es igual a e.

41

42 Series de numeros Cap. 4

Ejemplo 2. La serie 1 1 + 1 1 + , cuyo termino general es(1)n+1, es divergente, pues la suma parcial sn es cero si n es par,e igual a 1 si n es impar. Por lo tanto no existe lm sn.

Ejemplo 3. La serie

1/n(n + 1), cuyo termino general es an =1/n(n+ 1) = 1/n 1/(n+ 1), tiene como n-esima suma parcial:

sn =

(1 +

1

2

)+

(1

2 1

3

)+ +

(1

n 1n+ 1

)= 1 1

n+ 1.

Por lo tanto lm sn = 1, esto es,

1/n(n+ 1) = 1.

Si an 0 para todo n N, las sumas parciales de la serie

anforman una sucesion creciente. Por lo tanto una serie

an cuyos

terminos no son negativos, converge si, y solo si, existe una cons-tante k tal que a1+ +an k para todo n N. Por esto usaremosla notacion

an < + para expresar que la serie

an, tal que

an 0, es convergente.

Si an 0 para todo n N y (an) es una subsucesion de (an)entonces

an < + implica

an < +.

Ejemplo 4. (La serie armonica) La serie

1/n es divergente.De hecho, si

1n

= s fuese convergente entonces

12n

= t y1

2n1 = u tambien lo seran. Ademas sn = tn + un, haciendon tendramos s = t + u. Pero t = 1

2n= 1

2

1n= s

2, por lo

tanto u = t = s2.

Por otra parte

u t = lmn

(un tn)

= lmn

[(1 1

2

)+

(1

3 1

4

)+ +

(1

2n 1 1

2n

)]

= lmn

(1

1 2 +1

3 4 + +1

(2n 1)2n)> 0 ,

luego u > t. Lo que nos da una contradiccion.

Teorema 1. (Criterio de comparacion) Sean

an y

bnseries de terminos mayores o iguales a 0. Si existen c > 0 y n0 Ntales que an cbn, para todo n > n0, entonces la convergenciade

bn implica la de

an, mientras que la divergencia de

animplica la de

bn.

Seccion 1 Series convergentes 43

Sin perdida de generalidad podemos suponer que an cbn paratodo n N.

Demostracion: Las sumas parciales sn y tn, de

an y

bn res-pectivamente, forman sucesiones crecientes tales que sn ctn paratodo n > n0. Como c > 0, (tn) acotada implica (sn) acotada, ysi (sn) no esta acotada entonces (tn) tampoco esta acotada, puestn sn/c.

Ejemplo 5. Si r > 1, la serie

1/nr converge. En efecto, sea cla suma de la serie geometrica

n=0(2/2

r)n. Demostraremos quetoda suma parcial sn de la serie

1nr

es menor que c. Sea n tal quem 2n 1. Entonces

sm 1 +(1

2r+

1

3r

)+

(1

4r+

1

5r+

1

6r+

1

7r

)+

+ +(

1

(2n1)r+ + 1

(2n 1)r),

sm < 1 +2

2r+

4

4r+ + 2

n1

(2n1)r=

n1i=0

(2

2r

)i< c .

Como la serie armonica diverge, del criterio de comparacionresulta que

1nr

tambien diverge cuando r < 1 pues, en este caso,1/nr > 1/n.

Teorema 2. El termino general de una serie convergente tiene cerocomo lmite.

Demostracion: Si la serie

an es convergente, entonces escri-biendo sn = a1 + + an, existe s = lm

n+sn. Consideremos la

sucesion (tn) con t1 = 0 y tn = sn1 cuando n > 1. Evidentemente,lm tn = s y sn tn = an. Por lo tanto lm an = lm(sn tn) =lm sn lm tn = s s = 0.

El criterio contenido en el Teorema 2 es la primera cosa que sedebe verificar cuando se quiere saber si una serie es convergente ono. Si el termino general no tiende a cero, la serie diverge. La seriearmonica demuestra que la consicion lm an = 0 no es suficientepara garantizar la convergencia de

an.


2. Series absolutamente convergentes

Una serie

an se dice absolutamente convergente cuando |an|

converge.

Ejemplo 6. Una serie convergente cuyos terminos son todos delmismo signo es absolutamente convergente. Cuando 1 < a < 1,la serie geometrica

n=0 a

n es absolutamente convergente, pues|an| = |a|n, con 0 |a| < 1.

El ejemplo clasico de serie convergente

an tal que |an| =

+ es dado por(1)n+1/n = 1 12+ 1

3 1

4+ . Cuando tomamos

la suma de los valores absolutos, obtenemos la serie armonica, quediverge. La convergencia de la serie dada se deduce del siguienteresultado:

Teorema 3. (Leibniz) Si (an) es una sucesion monotona decre-ciente que tiende a cero entonces

(1)n+1an es una serie conver-

gente.

Demostracion: Sea sn = a1 a2 + + (1)n+1an. Entoncess2n = s2n2 + a2n1 a2n e s2n+1 = s2n1 a2n + a2n+1. Luego lassumas parciales de ndice par forman una sucesion creciente (puesa2n1 a2n 0) y las de ndice impar una sucesion decreciente(pues a2n+a2n+1 0). Ademas, como s2n = s2n1a2n, tenemoss2n1 s2n = a2n 0. Esto demuestra que

s2 s4 s2n s2n1 s3 s1y que lm s2n = lm s2n1, pues lm an = 0. Luego (sn) converge y elteorema esta probado.

Ejemplo 7. Por el Teorema 3, la serie

(1)n+1 log (1 + 1n

)es

convergente. Sin embargo no es absolutamente convergente pues lan-esima suma parcial de la serie

log(1 + 1/n) =

log(n+1n

)es

sn = log 2 + log

(3

2

)+ log

(4

3

)+ + log

(n+ 1

n

)= log 2 + log 3 log 2 + log 4 log 3 + + log(n+ 1) log(n)= log(n+ 1) .

Por tanto, lm sn = +.

Seccion 3 Criterios de convergencia 45

Una serie convergente

an tal que |an| = + se llama con-

dicionalmente convergente.

El proximo teorema se puede interpretar de la siguiente manera:si tomamos una serie convergente cuyos terminos son todos 0 y,de forma completamente arbitraria, cambiamos el signo de algunosterminos (inclusive de un numero infinito de estos), obtenemos unaserie que tambien es convergente.

Teorema 4. Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Demostracion: Sea |an| convergente. Para cada n N, defini-

mos los numeros pn y qn del modo siguiente: pn = an, si an 0 ypn = 0 si an < 0; analogamente, qn = an si an 0 y qn = 0 sian > 0. Los numero pn y qn se llaman, respectivamente, parte posi-tiva y parte negativa de an. Entonces pn 0, qn 0, pn+ qn = |an|(en particular pn |an| y qn |an|) y pn qn = an. (Observe que,para cada n N, al menos uno de los numeros pn y qn es cero). Porel Teorema 1 las series

pn y

qn son convergentes. Luego tam-

bien es convergente la serie

an =

(pnqn) =

pn

qn.

Dada la serie

an, acabamos de definir los numeros pn =max{an, 0} y qn = max{an, 0}, las partes positiva y negativade an. Si

an es condicionalmente convergente, necesariamente

pn = + y

qn = +. En efecto, si solo una de estas dos se-ries fuese convergente (por ejemplo, la primera), tendramos

an =

pn

qn = a = . Y si ambas,

pn y

qn, fuesenconvergentes tendramos

|an| = pn + qn < +, y la seriesera absolutamente convergente.

3. Criterios de convergencia

Teorema 5. Sea

bn una serie absolutamente convergente tal quebn 6= 0 para todo n N. Si la sucesion (an/bn) esta acotada (enparticular, converge) entonces la serie

an es absolutamente con-

vergente.

Demostracion: Si para algun c > 0 tuviesemos |an/bn| c, seacual fuere n N, entonces |an| c|bn|. Por el criterio de compara-cion (Teorema 1) la serie

an es absolutamente convergente.


Corolario. (Criterio de dAlambert) Sea an 6= 0 para todon N. Si existe una constante c tal que |an+1/an| c < 1 paratodo n suficientemente grande (en particular, si lm |an+1/an| < 1)entonces la serie

an es absolutamente convergente.

En efecto, si para todo n suficientemente grande se tiene|an+1/an| c = cn+1/cn, entonces |an+1|/cn+1 |an|/cn.

As la sucesion de numeros mayores o iguales a cero |an|/cn esdecreciente a partir de un determinado ndice, luego esta acotada.Como la serie

cn es absolutamente convergente, se deduce del

Teorema 5 que

an converge absolutamente. En el caso particularen que existe lm |an+1|/|an| = L < 1, escogemos un numero c talque L < c < 1 y as tendremos |an+1|/|an| < c para todo n sufi-cientemente grande (Teorema 5 del Captulo 3). Estamos entoncesen el caso ya demostrado.

Observacion: Cuando se aplica el criterio de dAlambert, en ge-neral se intenta calcular lm |an+1/an| = L. Si L > 1 entonces laserie es divergente pues se tiene |an+1/an| > 1, de donde |an+1| >|an| para todo n suficientemente grande y as el termino general anno tiende a cero. Si L = 1 el criterio nada nos permite concluir; laserie puede ser convergente (como en el caso

1/n2) o divergente

(como en el caso

1/n).

Ejemplo 8. Sea an = 1/(n23n1). Considerando la serie conver-

gente

1/n2, como lm[(n22n+1)/n2] = lm[1/(13/n+1/n2)] =1, concluimos que la serie es convergente.

Ejemplo 9. Se sigue del Ejemplo 9 del Captulo 3 y del criterio dedAlambert que las series

(an/n!),

(n!/nn) y

(nk/an), esta

ultima con a > 1, son convergentes.

Teorema 6. (Criterio de Cauchy) Si existe un numero real ctal que n

|an| c < 1 para todo n N suficientemente grande(en particular, si lm n

|an| < 1) la serie an es absolutamenteconvergente.

Demostracion: Si n|an| c < 1 entonces |an| cn para todo n

suficientemente grande. Como la serie geometrica

cn es conver-gente, del criterio de comparacion se deduce que

an converge ab-

solutamente. En el caso particular en que existe lm n|an| = L < 1,

Seccion 3 Criterios de convergencia 47

escogemos c tal que L < c < 1 y tendremos n|an| < c para todo

n suficientemente grande (Teorema 5, Captulo 3) y estamos as enel caso anterior.

Observacion: Cuando se aplica el criterio de Cauchy tambien seintenta calcular lm n

|an| = L. Si L > 1, la serie es divergente. Enefecto, en este caso se tiene n

|an| > 1 para todo n suficientementegrande, de donde |an| > 1, luego la serie

an es divergente pues

su termino general no tiende a cero. Cuando L = 1, la serie pue-de ser divergente (como en el caso

(1/n)) o convergente (como

(1/n2)).

Ejemplo 10. Sea an = (logn/n)n. Como n

an = log /n tiende a

cero, la serie

an es convergente.

El proximo teorema relaciona los criterios de dAlambert yCauchy.

Teorema 7. Sea (an) una sucesion cuyos terminos son diferentesde cero. Si lm |an+1|/|an| = L, entonces lm n

|an| = L.Demostracion: Para simplificar la notacion supondremos quean > 0 para todo n N. En primer lugar consideremos el casoL 6= 0. Dado > 0, fijamos K, M tales que L < K < L n0 L < K n y M n

< L+ . Entonces

n > n0 L < nan < L + . Si L = 0 es suficiente considerarexclusivamente M en la prueba del caso L 6= 0.Ejemplo 11. Del Teorema 7 resulta que lmn/ n

n! = e. En efecto,

escribiendo an = nn/n! se tiene n/ n

n! = n

an. Ahora bien,

an+1an

=(n + 1)n+1

(n + 1)!

n!

nn=

(n+ 1)(n+ 1)n

(n+ 1)n!

n!

n n =(n+ 1

n

)n,

luego lm(an+1/an) = e, y de aqu lm nan = e.


4. Reordenaciones

Una serie

an se dice incondicionalmente convergente si, paracualquier biyeccion : N N, haciendo bn = a(n), la serie

bn

es convergente. (En particular, tomando (n) = n, vemos que

anes convergente). Como consecuencia de los resultados que demos-traremos mas adelante, se tiene que si

an es incondicionalmente

convergente, entonces

bn =

an, independiente de la biyeccion. Esta es la manera mas precisa de afirmar que la suma

an no

depende del orden de sus terminos. No obstante, esto no ocurresiempre.

Ejemplo 12. La serie

s = 1 12+

1

3 1

4+

converge, pero no incondicionalmente. En efecto, tenemos

s

2=

1

2 1

4+

1

6 1

8+ .

Entonces podemos escribir

s = 1 12+

1

3 1

4+

1

5 1

6+

1

7 1

8+

s

2= 0 +

1

2+ 0 1

4+ 0 +

1

6+ 0 1

8+ .

Sumando termino a termino

3s

2= 1 +

1

3 1

2+

1

5+

1

7 1

4+

1

9+

1

11 1

6+ .

La ultima serie, cuya suma es 3s2, tiene los mismos terminos que

la serie inicial, cuya suma es s, pero en orden diferente.

Teorema 8. Si

an es absolutamente convergente entonces paratoda biyeccion : N N, haciendo bn = a(n), se tiene

bn =

an.

Demostracion: Supongamos inicialmente que an 0. Escribimossn = a1+ +an y tn = b1+ +bn. Para cada n N, los numeros

Seccion 4 Reordenaciones 49

(1), . . . , (n) pertenecen al conjunto {1, 2, . . . , m}, donde m es elmayor de los (i). Entonces:

tn =n

j=1

bn mj=1

aj = sm .

As, para cada n N existe m N tal que tn sm. Recprocamen-te, (considerando 1 es vez de ) para cada m N existe n Ntal que sm tn. Se sigue que lm tn = lm sn, esto es,

bn =

an.

En el caso general, tenemos

an =

pn

qn, donde pn es laparte positiva y qn la parte negativa de an. Toda reordenacion (bn)de los terminos an determinan reordenaciones (un) de los pn y (vn)de los qn, de forma que un es la parte positiva y vn la parte negativade bn. Por lo que acabamos de ver

un =

pn y

vn =

qn.

Luego

an =

un

vn =

bn.

El proximo teorema implica que solamente las series absoluta-mente convergentes son incondicionalmente convergentes.

Teorema 9. (Riemann) Alterando convenientemente el orden delos terminos de una serie condicionalmente convergente es posiblehacer que su suma sea igual a cualquier numero real prefijado.

Demostracion: Sea

an la serie dada. Escogido un numero c,empezamos a sumar los terminos positivos de

an, en su orden

natural, uno a uno, parando cuando, al sumar an1 , la suma superepor primera vez a c. (Esto es posible por que la suma de los termi-nos positivos de

an es +). A esta suma anadimos los terminos

negativos, tambien en su orden natural, uno a uno, parando encuanto al sumar an2 (< 0) la suma resulte menor que c (lo que esposible porque la suma de los terminos negativos es ). Prosi-guiendo analogamente, obtenemos una nueva serie, cuyos terminosson los mismos de

an en orden diferente. Las sumas parciales de

esta nueva serie oscilan alrededor de c de forma que (a partir delndice n1) la diferencia entre cada una de ellas es inferior, en va-lor absoluto, al termino ank donde tuvo lugar el ultimo cambio designo. Ahora bien, lm

kank = 0 pues la serie

an converge. Luego

las sumas parciales de la nueva serie convergen a c.


5. Ejercicios

Seccion 1: Series Convergentes

1. Dadas las series

an y

bn, tales que an =n+ 1 n y

bn = log(1 1n), demuestre que lm an = lm bn = 0. Calculeexplcitamente las n-esimas sumas parciales sn y tn de dichasseries y demuestre que lm sn = lm tn = +, luego las seriesdadas son divergentes.

2. Use el criterio de comparacion para probar, a partir de la con-vergencia de

2/n(n+ 1), que

1/n2 es convergente.

3. Sea sn la n-esima suma parcial de la serie armonica. Pruebe quepara n = 2m se tiene sn > 1 +

m2y concluya de aqu que la serie

armonica es divergente.

4. Demuestre que la serien=2

1

n logndiverge.

5. Demuestre que si r > 1 la serien=2

1

n(log n)rconverge.

6. Pruebe que la serie log n

n2converge.

7. Pruebe que si a1 an y

an converge, entonceslmn

nan = 0.

análisis real vol 1 - elon lages lima

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