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Teoría de Conjuntos: DefinicionesBásicas
Departamento de Matematicas
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.1/27
Definición de Conjunto
Definici on
Un conjunto es una colección o familia de objetos.
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.2/27
Definición de Conjunto
Definici on
Un conjunto es una colección o familia de objetos.Las llaves { } tendrán un uso muy especial y único;
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.2/27
Definición de Conjunto
Definici on
Un conjunto es una colección o familia de objetos.Las llaves { } tendrán un uso muy especial y único;servirán para definir un conjunto.
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.2/27
Definición de Conjunto
Definici on
Un conjunto es una colección o familia de objetos.Las llaves { } tendrán un uso muy especial y único;servirán para definir un conjunto. Para ninguna otracosa más.
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.2/27
Formas de Construir o Definir Conjuntos
Manejaremos dos formas de constrir conjuntos:
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.3/27
Formas de Construir o Definir Conjuntos
Manejaremos dos formas de constrir conjuntos:
Definición de un conjunto por extensión.
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.3/27
Formas de Construir o Definir Conjuntos
Manejaremos dos formas de constrir conjuntos:
Definición de un conjunto por extensión.
Definición de un conjunto por intención.
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.3/27
Definición por Extensión
Definici on
Construir o definir un conjunto por extensiónconsiste en declarar todos lo elementos que loforman.
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.4/27
Definición por Extensión
Definici on
Construir o definir un conjunto por extensiónconsiste en declarar todos lo elementos que loforman.
Ejemplo
{Rosana, Sakura, María del Carmen, Vito Corleone,Pedro }
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.4/27
Definición por Intención
Definici on
Construir o definir un conjunto por intención
consiste en declarar cuáles elementos de un cierto
conjunto con tomados. Esto se lleva a cabo por una
propiedad o predicado P (x).
{x ∈ D|P (x)}
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.5/27
Definición por Intención
Definici on
Construir o definir un conjunto por intención
consiste en declarar cuáles elementos de un cierto
conjunto con tomados. Esto se lleva a cabo por una
propiedad o predicado P (x).
{x ∈ D|P (x)}
EjemploTeorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.5/27
Pertenencia a un Conjunto
Definici on
Un objeto x se dice pertenecer o ser elemento oestar en un conjunto A si
cuando el conjunto A está definido por extensióncuando el elemento x aparece en la lista deelementos del conjunto A
cuando el conjunto A está definido por intencióncuando el elemento x es tomado del universodel discurso y cumple la propiedad establecidapara A
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.6/27
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:
A = { Rosana,Sakura,María del Carmen,Vito Corleone,Pedro}
1. Jonas2. Tomás Tomás3. Agrin4. Lucía5. Pedro6. Pablo Morales
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.7/27
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:
A = { Rosana,Sakura,María del Carmen,Vito Corleone,Pedro}
1. Jonas :Jonas /∈ A
2. Tomás Tomás3. Agrin4. Lucía5. Pedro6. Pablo Morales
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.7/27
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:
A = { Rosana,Sakura,María del Carmen,Vito Corleone,Pedro}
1. Jonas :Jonas /∈ A
2. Tomás Tomás3. Agrin4. Lucía5. Pedro :Pedro ∈ A
6. Pablo Morales
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.7/27
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:
{x ∈ Z| − 2 < x < 5}
1. 32. 63. -34. 1.5
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.8/27
Definición de Subconjunto
Definici on
Diremos que un conjunto A es un subconjunto de el
conjunto B y lo simbolizaremos
A ⊆ B
si todo elemento de A es también un elemento deB.
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.9/27
Ejemplo
En referencia a los conjuntos
R, Q, Z, N
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.10/27
Definición de Subconjunto Propio
Definici on
Diremos que un conjunto A es un subconjunto
propio de el conjunto B y lo simbolizaremos
A ⊂ B
si todo elemento de A es también un elemento deB y además existe un elemento de b que no eselemento de A.
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.11/27
Ejemplo
En referencia a los conjuntos
R, Q, Z, N
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.12/27
Ejemplo
SiA = {c, d, f, i}
B = {a, f}
C = {c, i}
Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:a) B ⊆ B
b) C ⊆ B
c) C ⊆ A
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.13/27
Cuidado con la Notación
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas :1. c ∈ {c}
2. {c} ⊆ {a, b, {c}}
3. {c} ∈ {a, b, {c}}
4. {c} ∈ {{c}}
5. {c} ⊆ {{c}}
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.14/27
Igualdad entre conjuntos
Definici on
Dos conjuntos A y B se dicen iguales si poseen los
mismos elementos. Es decir, todos los elementos
de A son elementos de B y todos los elementos de
B son también elementos de A. En términos
formales:
A = B si y sólo si (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.15/27
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen afirmacionesciertas para los conjuntos:a) D = {a, b, e, f}
b) A = {a, a, f, g, e, g}
c) C = {f, g, a, e}
d) B = {f, b, a, e}
Entre:1. D = C
2. C = A
3. D = B
4. D = A
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.16/27
El conjunto Vacío
Definici on
El conjunto que no tiene ningún elemento se
llamará el conjunto vacío.
Y se simbolizará por:
∅
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.17/27
Ojo con la notación
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas :1. ∅ ∈ {∅}
2. ∅ ⊆ {∅}
3. ∅ ⊂ {∅}
4. ∅ ⊂ ∅
5. 0 = ∅
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.18/27
Ojo con la notación
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas :1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.2. ∅ ⊆ {∅}
3. ∅ ⊂ {∅}
4. ∅ ⊂ ∅
5. 0 = ∅
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.18/27
Ojo con la notación
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas :1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.2. ∅ ⊆ {∅} Cierto: el vacío es subconjunto de
cualquiera3. ∅ ⊂ {∅}
4. ∅ ⊂ ∅
5. 0 = ∅
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.18/27
Ojo con la notación
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas :1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.2. ∅ ⊆ {∅} Cierto: el vacío es subconjunto de
cualquiera3. ∅ ⊂ {∅} Cierto4. ∅ ⊂ ∅
5. 0 = ∅
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.18/27
Ojo con la notación
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas :1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.2. ∅ ⊆ {∅} Cierto: el vacío es subconjunto de
cualquiera3. ∅ ⊂ {∅} Cierto4. ∅ ⊂ ∅ Falso5. 0 = ∅
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.18/27
Ojo con la notación
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas :1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.2. ∅ ⊆ {∅} Cierto: el vacío es subconjunto de
cualquiera3. ∅ ⊂ {∅} Cierto4. ∅ ⊂ ∅ Falso5. 0 = ∅ Falso
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.18/27
Operaciones entre conjuntos: Unión
Definici on
Sean A y B dos conjuntos. La unión de A con B es
el conjunto de aquellos elementos que están en A o
que están en B. Este conjunto se simbolizará por
A ∪ B
Así
x ∈ A ∪ B ↔ (x ∈ A ∨ x ∈ B)Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.19/27
Operaciones entre conjuntos: Intersección
Definici on
Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A
con B es el conjunto de aquellos elementos que
están en A y que están en B. Este conjunto se
simbolizará por
A ∩ B
Así
x ∈ A ∪ B ↔ (x ∈ A ∧ x ∈ B)Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.20/27
Operaciones entre conjuntos: Diferencia
Definici on
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A con B
es el conjunto de aquellos elementos que están en
A y que no están en B. (el orden diferencia de
con importa). Este conjunto se simbolizará por
A − B
Asíx ∈ A − B ↔ (x ∈ A ∧ x /∈ B)
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.21/27
Operaciones entre conjuntos: Complemento
Definici on
Sea A un subconjunto de un conjunto universal U .
El complemento de A son todos aquellos
elementos de U que no están en A. Este conjunto
se simbolizará por
Ac
Asíx ∈ Ac ↔ (x ∈ U ∧ x /∈ A)
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.22/27
Ejemplo
SiU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {2, 5, 6, 7}
B = {1, 2, 4, 6}
C = {4, 5, 6, 8}
Calculea) Bc
b) C − (A − B)
c) A ∩ C
d) B − (A ∪ C)
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.23/27
Ejemplo
SiU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {2, 5, 6, 7}
B = {1, 2, 4, 6}
C = {4, 5, 6, 8}
Calculea) Bc ={3,5,7,8}b) C − (A − B)
c) A ∩ C
d) B − (A ∪ C)
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.23/27
Ejemplo
SiU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {2, 5, 6, 7}
B = {1, 2, 4, 6}
C = {4, 5, 6, 8}
Calculea) Bc ={3,5,7,8}b) C − (A − B) ={4,5,8}c) A ∩ C
d) B − (A ∪ C)
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.23/27
Ejemplo
SiU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {2, 5, 6, 7}
B = {1, 2, 4, 6}
C = {4, 5, 6, 8}
Calculea) Bc ={3,5,7,8}b) C − (A − B) ={4,5,8}c) A ∩ C ={5,6}d) B − (A ∪ C)
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.23/27
Ejemplo
SiU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {2, 5, 6, 7}
B = {1, 2, 4, 6}
C = {4, 5, 6, 8}
Calculea) Bc ={3,5,7,8}b) C − (A − B) ={4,5,8}c) A ∩ C ={5,6}d) B − (A ∪ C) ={1}
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.23/27
Conjunto Potencia
Definici on
El conjunto potencia de una conjunto A es el
conjunto que contiene todos los posibles
subconjuntos de A.
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.24/27
Conjunto Potencia
Definici on
El conjunto potencia de una conjunto A es el
conjunto que contiene todos los posibles
subconjuntos de A. Notación o simbología:
P (A)
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.24/27
Ejemplo
Determinar P ({4, 15}).
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.25/27
El Producto Cartesiano
Definici on
Sean A y B dos conjuntos (posiblemente iguales
pero no vacíos). El producto cartesiano de A con B
(el orden de con importa). Es el
conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b)
donde a ∈ A y b ∈ B.
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.26/27
El Producto Cartesiano
Definici on
Sean A y B dos conjuntos (posiblemente iguales
pero no vacíos). El producto cartesiano de A con B
(el orden de con importa). Es el
conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b)
donde a ∈ A y b ∈ B. Notación:
A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.26/27
Ejemplo
Si A = {1, 4, 14} y B = {1, 3}. Calcular:
A × B
Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.27/27
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