probabilidades,permutaciones y combinaciones
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1
PROBLEMA 1
PROBLEMA 3
PROBLEMA 2
PROBLEMA 4
PROBLEMA 7
PROBLEMA 6PROBLEMA 5
ESTÁNDARES
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
PROBLEMA 8
PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
PERMUTACIONES CIRCULARES
TERMINAR
PANTALLA
COMPLETA
PERMUTACIONES: ELEMENTOS REPETIDOS
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ESTÁNDAR 18
Los estudiantes usan principios
fundamentales de conteo para calcular
permutaciones y combinaciones.
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Permutaciones
Un arreglo de cosas en un order dado; constituye una permutación. En
una permutación EL ORDEN ES IMPORTANTE.
Los arreglos de n objetos en una línea es una permutación lineal. El
número de permutaciones lineales de n objetos tomados r a la vez es
representado por P(n, r). En tanto que los objetos se distingan
perféctamente; cambiando aún un objeto crea una permutación
distinta. P(n,r) tiene el valor dado por la fórmula:
P(n, r) = n!
(n – r )!nPr =
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n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)…(2)(1) es el factorial de un número.
6! = 6x5x4x3x2x1 = 720
8! = 8x7x6x5x4x3x2x1 = 40320
El facorial de 0 en uno: 0! = 1
4
Permutaciones vs combinaciones
Tenemos letras a, b, c, y d; y tomamos 3 a la vez. ¿Cuántas permutaciones y
cuántas combinaciones tenemos?
a
b
c
d
c
d
b
d
b
c
b
a
c
d
c
d
a
d
a
c
c
a
b
d
b
d
a
d
a
b
d
a
b
c
b
c
a
c
a
b
Encontremos los distintos grupos de 3 letras:
dcb24cdb18bdc12adc6
dca23cda17bda11adb5
dbc22cbd16bcd10acd4
dba21cba15bca9acb3
dac20cad14bad8abd2
dab19cab13bac7abc1
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Permutaciones vs combinaciones
Tenemos letras a, b, c, y d; y tomamos 3 a la vez. ¿Cuántas permutaciones y
cuántas combinaciones tenemos?
a
b
c
d
c
d
b
d
b
c
b
a
c
d
c
d
a
d
a
c
c
a
b
d
b
d
a
d
a
b
d
a
b
c
b
c
a
c
a
b
Encontremos los distintos grupos de 3 letras:
dcb24cdb18bdc12adc6
dca23cda17bda11adb5
dbc22cbd16bcd10acd4
dba21cba15bca9acb3
dac20cad14bad8abd2
dab19cab13bac7abc1
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Permutaciones vs combinaciones
Tenemos letras a, b, c, y d; y tomamos 3 a la vez. ¿Cuántas permutaciones y
cuántas combinaciones tenemos?
dcb24cdb18bdc12adc6
dca23cda17bda11adb5
dbc22cbd16bcd10acd4
dba21cba15bca9acb3
dac20cad14bad8abd2
dab19cab13bac7abc1
• Tenemos 24 permutaciones distintas donde el orden es importante.
• Cuando el orden no importa; solo tenemos 4 diferentes
combinaciones. Estas estan en los colores: rojo, azul, verde y negro.
• Por ejemplo, las que son rojas tienen las letras a, b, y c ordenadas
en formas distintas; pero siendo las mismas letras y por ello solo son
una combinación.
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7
Permutaciones vs combinaciones
Tenemos letras a, b, c, y d; y tomamos 3 a la vez. ¿Cuántas permutaciones y
cuántas combinaciones tenemos?
dcb24dca18dba12cba6
dbc23dac17dab11cab5
cdb22cda 16bda10bca4
cbd21cad15bad9bac3
bdc20adc14adb8acb2
bcd19acd13abd7abc1
P(4, 3) = 4!
(4 – 3 )!
Permutaciones:
P(4, 3) = 4x3x2x1
1
P(4, 3) = 24
P(n, r) = n!
(n – r )!
Combinaciones:
C(n, r) = n!
(n – r )!r!
C(4, 3) = 4!
(4 – 3 )!3!
C(4, 3) = 4x3x2x1
1x3x2x1
C(4, 3) = 4
nCrnPr
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8
¿De cuántas formas distintas podemos acomodar 4 sólidos geométricos en
una repisa; si los ecogemos de entre 9 sólidos geométricos diferentes?
Este es un evento dependiente y una permutación; porque una vez que
colocamos el primer sólido en la repisa este afecta las opciones de los
demás; y así sucesivamente. El orden es importante.
P(9, 4) = 9!
(9 – 4 )!
P(9, 4) = 9x8x7x6x5x4x3x2x1
5x4x3x2x1
P(9, 4) = 3024
Permutaciones:
P(n, r) = n!
(n – r )!
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¿De cuantas formas distintas podemos poner 4 sólidos geométricos en una
bolsa; si los escogemos de entre 9 sólidos distintos?
Esta es una combinación, pues la posición de los sólidos geométricos en
la bolsa no es importante. Es dependiente porque el mismo sólido no se
puede escoger repetidamente.
C(9, 4) = 9!
(9 – 4 )!4!
C(9, 4) = 9x8x7x6x5x4x3x2x1
5x4x3x2x1x4x3x2x1
C(9, 4) = 126
Podemos poner 126 diferentes
combinaciones de sólidos en la bolsa.
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10
De un grupo de 8 soldados del ejército, y 7 soldados de la guardia
nacional; se formará una unidad de 4 soldados del ejército y 3 de la
guardia. ¿Cuántas unidades distintas pueden formarse?
Esta es una combinación, pues no importa en que orden se escojan.
Es dependiente pues un soldado no se puede seleccionar 2 veces en la
unidad.
Combinaciones:
C(n, r) = n!
(n – r )!r!
C(8, 4) = 8!
(8 – 4 )!4!
C(8, 4) = 8x7x6x5x4x3x2x1
4x3x2x1x4x3x2x1
C(8, 4) = 70
Formas de escoger a los
soldados del ejército:
C(7, 3) = 7!
(7 – 3 )!3!
C(7, 3) = 7x6x5x4x3x2x1
4x3x2x1x3x2x1
C(7, 3) = 35
Formas de escoger a los soldados de
la guardia nacional:
Formas de integrar la unidad:
70x35= 2450
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11
Algunas veces tenemos que no todos los objetos se distinguen; este hecho se
debe tomar en cuenta al contar el número de permutaciones. Si x son
indistinguibles, y son también indistinguibles; entonces la cantidad de
permutaciones lineales de n objetos esta dado por la fórmula:
n!
x!y!
¿De cuantas maneras las letras en TELEVISION se pueden arreglar?
objetos distinguibles = T, L, V, S, O, N
objetos indistinguibles = E,E, and I, I
10!
2!2!=
10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
2x1x2x1= 907200
Este es un evento dependiente.
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¿De cuantas formas las letras en PARALLEL se pueden arreglar?
objetos distinguibles = P, R, E
objetos indistinguibles = A, A, y L, L, L
8!
2!3!=
8x7x6x5x4x3x2x1
2x1x3x2x1
= 3360
Este es un evento dependiente.
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13
• Si n objetos distinguibles son arreglados en forma circular; esto
constituye una permutación circular. En una permutación circular ahy
solo (n – 1)! permutaciones circulares de n objetos.
• Una permutación circular implica que no hay un punto fijo en el
círculo. Si tenemos dicho punto; entonces la permutación circular es
considerada permutación lineal y tenemos n! permutaciones.
(5 – 1)! = 4!
= 4x3x2x1 = 24
PUNTO FIJO
5! = 5x4x3x2x1 = 120
NOTA: Ambos casos de arriba, implican que no podemos voltear el arreglo.PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
14
(5 – 1)! = 4!
= 4x3x2x1 = 24
Si podemos voltear el arreglo, entonces; tenemos reflexiones. Cada arreglo
tiene una reflexión; pero es contado como solo una permutación. Por ello
dividimos el número de permutaciones entre 2.
24
2= 12
lín
ea d
e re
flex
ión
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15
PUNTO FIJO
5! = 5x4x3x2x1 = 120
Si podemos voltear el arreglo con un punto fijo, entonces; tenemos
reflexiones. Cada arreglo tiene una reflexión; pero es contado como solo una
permutación. Por ello dividimos el número de permutaciones entre 2.
lín
ea d
e re
flex
ión
PUNTO FIJO
120
2= 60
NOTA: Podemos voltear llaveros y brazaletes; ¡pero no podemos voltear
una mesa con gente!PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
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Una permutación de objetos arreglados en líne; también se divide
entre dow si se determina que existen reflexiones para el arreglo. Esto
pasa por ejemplo cuando en un cine tenemos gente sentada en una fila
y son vistos desde la izquierda y derecha.
Vistos desde la
derechaVistos desde la
izquierda
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6! = 6x5x4x3x2x1 720
720
2= 310
17
¿De cuántas formas 6 miembros de una familia, pueden ser formados
lado a lado en el tramo recto de las gradas de un estadio; si el padre y la
madre tienen que estar sentados junto al pasillo. Con el padre en el
extremo izquierdo?
(1)(1)(4)(3)(2)(1) = 24
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18
Escogemos 5 libros de una repisa conteniendo 14 libros. ¿Es
esto una combinación o un permutación? ¿De cuántas formas se
puede hacer?
C(14, 5) = 14!
(14 – 5 )!5!
C(14, 5) = 2002
Es una combinación pues orden no es importante.
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19
¿De cuántas formas distintas podemos escoger 7 cartas de un juego
de 52 cartas? ¿Es esto una combinación o una permutación?
Puesto que el orden no es importante es combinación.
C(52, 7) = 52!
(52 – 7 )!7!
C(52, 7) = 133,784,560
¿De cuántas formas distintas se pueden poner en línea, sobre una
mesa, estas cartas¡
Esta es permutación pues el orden es importante.
P(7, 4) = 7!
(7 – 4 )!
P(7, 4) = 840
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20
¿Cuántos comités distintos de 5 administradores, 8 maestros, y 4
estudiantes; pueden ser formados de entre 10 administradores, 30
maestros, y 10 estudiantes?
Esta es combinación pues el orden no tiene importancia.
C(10, 5) = 10!
(10 – 5 )!5!
C(10, 5) = 252
Formas de escoger 5 administradores:
C(30, 8) = 30!
(30 – 8 )!8!
C(30, 8) = 5,852,925
Formas de escoger 5 maestros:
C(10, 4) = 10!
(30 – 4 )!4!
C(10, 4) = 210
Formas de escoger 4 estudiantes:
Formas distintas de integrar el comité:
(252)(5,852,925)(210) = 309,736,791,000
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