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Matemáticas Universitaria. Sesión 10. Funciones polinomiales de
grado superior y racionales.
Contextualización
Las funciones polinomiales son las más básicas en matemáticas porque
se definen solo en términos de suma, resta y multiplicación. En la práctica,
a menudo es necesario dibujar sus gráficas y encontrar(o calcular) sus
raíces.
En esta sesión estudiaremos resultados que sirven para obtener esta
información y luego dirigiremos nuestra atención a los cocientes de
funciones polinomiales; esto es, funciones racionales.
Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/09/RationalDegree2byXedi.gif/250px-RationalDegree2byXedi.gif
Introducción
¿Cómo reconozco la forma de una función?
¿Una función es racional porque representa el cociente de dos polinomios?
¿Las gráficas de las funciones polinomiales y racionales son iguales?
Estas y más preguntas tenemos por responder a través del estudio de las funciones
polinomiales y racionales. Saber obtener y reconocer a través de su forma los dominios
de estas funciones es otro trabajo que realizaremos.
Fuente: http://2.bp.blogspot.com/-JjE0gJabrhY/TX2DdMl61pI/AAAAAAAAABg/f1a3k0oNKnU/s1600/graficas.jpg
Explicación
Función Polinomial.
Si f es una función polinomial con coeficientes reales de grado n, entonces
f(x) = con
Todas las funciones polinomiales son continuas, es decir, sus graficas se
pueden dibujar sin cortes o interrupciones.
El dominio de una función polinomial son todos los valores que “x” puede
tomar, para este caso son todos los números reales. Representado este
intervalo por
01
1
1 ... axaxaxa n
n
n
n
Explicación
Trazo de gráficas.
A continuación se describe una forma rápida de trazar una función polinomial sin necesidad de realizar alguna tabulación.
Ejemplo 1: Trazo de grafica para f(x) = x3 +x2 -4x -4. Grado 3.
Solución: Primeramente se hallaran los valores de las raíces o ceros de la función, se debe de factorizar la función
f(x) = x3 +x2 -4x -4
= (x3 +x2 )+ (-4x -4)
= x2(x+1) -4(x+1)
= (x2-4)(x+1) (x+2)(x-2)(x+1)
A partir de estos factores e igualando a cero cada uno, x toma los valores de -2, 2, -1 los
cuales representan las raíces o ceros de la función.
Gráficamente significa que la función se interseca en x= -2, -1 y 2 y estos puntos dividen
al eje x en cuatro partes, considerando estas partes en intervalos abiertos, tenemos:
Estos intervalos ayudan a crear una tabla de signos:
Explicación
Intervalos
Signo de x+2 - + + +
Signo de x+1 - - + +
Signo de x -2 - - - +
Signo f(x) - + - +
Posición en la
grafica Abajo del eje x Arriba del eje x Abajo del eje x Arriba del eje x
Con base en el signo de f(x)
de la tabla, concluimos que
F(x) > 0
si x esta en U
F(x) < 0
si x esta en U .
Su aspecto grafico es:
Explicación
Función Racional.
Una función es racional si , donde g(x) y h(x) son polinomios.
El dominio de f está definido por todos los números reales, excepto los números
que hacen cero el denominador.
Explicación
Explicación
Ejemplo 2: Encuentra el dominio de las siguientes funciones racionales.
a) 2
1)(
xxf ; dominio: todos los reales excepto -2. ,2()2, U
b) 9
5)(
2x
xxf ; dominio: todos los reales excepto ±3. ,3(),3,3(),3,
c) 4
8)(
2
3
x
xxf ; dominio: todos los números reales. ,
d)
Ejemplo 3: Traza la gráfica de
Solución:
1. Encontrar las intersecciones en x, esto es, los ceros reales del numerador
g(x) y trazar los punto correspondientes en el eje x.
x+1 = 0 x= -1 y trazamos el punto (0, -1 ) en el eje x.
2. Hallar las raíces reales del denominador h(x). Para cada cero real “a”
trazar la asíntota vertical x=a con línea punteada.
x -1 = 0 x = 1, por lo que tenemos la asíntota vertical x = 1. Esta recta
deberá de dibujarse como una línea punteada.
Explicación
Explicación
3. Determinar la intersección en y considerando f(0) si existe, y trazar el
punto (0,f(0)) en el eje y.
y trazamos el punto (0, -1)
4. Si hay una asíntota horizontal y = c, trazarla con línea punteada. Como el
numerador y el denominador tienen el mismo grado 1, los coeficientes
principales son 1 y 1 de modo que la asíntota horizontal es y = 1. Se dibuja
con línea punteada.
5. Graficar f en cada una de las regiones del plano xy definido por las
asíntotas verticales. Si es necesario, usar el signo de valores de función
específicos a fin de señalar si la gráfica está arriba o abajo del eje x o de la
asíntota horizontal.
Explicación
La línea verde en la
grafica es la asíntota
vertical.
La línea roja es la
asíntota horizontal.
Las líneas azules
representan la forma
de la función.
Fuente: http://mathbas.com/imagenes/clip_image024_0007.gif
Conclusión
En esta sesión aprendimos a graficar las funciones polinomiales y racionales
sin necesidad de tabular, siguiendo una serie de pasos pudimos concretar la
gráfica de estas funciones. También aprendimos a encontrar los dominios de
las funciones y los ceros o raíces de la función.
En la siguiente sesión trabajaremos con las Funciones exponenciales y
logarítmicas.
Fuente: http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes5/fig4.gif
Para aprender más
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
Ditutor. (s.f). Función racional. Consultado el 25 de abril de 2013: http://www.ditutor.com/funciones/funcion_racional.html
Funciones polinomiales. (s/f). Consultado el 25 de abril de 2013: http://recursos.salonesvirtuales.com/wp-content/uploads/bloques/2012/08/funciones-polinomiales.pdf
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.
Referencias Bibliográficas.
Swokowski, E., y Cole, J. (2002). Algebra y trigonometría con geometría
analítica. México. Thomson Learning.
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