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Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 1/30

Matemáticas DiscretasTC1003

Grafos: Recorridos y CircuitosDepartamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

Recorridos y Circuitos: definiciones

Consideremos un grafo G(V,E) cualquiera.

Consideremos un grafo G(V,E) cualquiera.■ Un camino (WALK) de u a w es una sucesión

finita y alternada de vértices adyacentes y ladosque los conectan de G. Así, éste tiene la forma:

u = uo e1 u1 e2 u2 · · · en un = w

■ Un camino trivial de u a u consta de sólo elvértice u.

u = uo e1 u1 e2 u2 · · · en un = w

■ Un recorrido (PATH) de u a w es un camino de u

a w que no contiene lados repetidos.

u = uo e1 u1 e2 u2 · · · en un = w

■ Un recorrido (PATH) de u a w es un camino de u

a w que no contiene lados repetidos.

■ Un recorrido simple (SIMPLE PATH) de u a w esun camino de u a w que no contiene v erticesrepetidos.

■ Un camino cerrado (CLOSED WALK) de u a w

es un camino que inicia y termina en el mismovértice.

■ Un circuito (CIRCUIT) es un camino cerrado queno contiene lados repetidos.

■ Un circuito simple (SIMPLE CIRCUIT) es uncircuito que no contiene vértices repetidosexcepto los extremos.

Tabla de Restrticciones

Lados Vértices Extremos

Repetidos? Repetidos? Iguales?

Camino Permitido Permitido Permitido

Recorrido No Permitido Permitido

Recorrido Simple No No No

Camino Cerrado Permitido Permitido Si

Circuito No Permitido Si

Circuito Simple No Primero y último Si

Solamente Si

Notación De Caminos

Cuando no exista duda omitiremos o vértices o ladosde un camino.

Ejemplo 1

Clasifique los caminos dados:

v5 v4e6

■ v0 e1 v1 e2 v2

■ v2 e2 v1 e2 v2 e7 v4

■ v2 e2 v3 e5 v4 e6 v4

■ v2 e4 v3 e5 v4 e6 v4

■ v2 e4 v3 e5 v4 e8 v5

■ v1 e10 v5 e8 v4 e6 v4 e7 v2 e2 v1

■ v0 e1 v1 e10 v5 e9 v2e2 v1

■ v2

■ v2 v3 v4 v5 v2 v4 v3 v2

■ e5 e8 e10 e3

Ejemplo 2

Clasifique los caminos dados:v1 v3

■ v1 e2 v2 e3 v3 e4 v4 e5 v2 e2 v1 e1 v10

■ v2 v3 v4 v5 v2

■ v4 v2 v3 v4 v5 v2 v4

■ v2 v1 v5 v2 v3 v4 v2

■ v0 v5 v2 v3 v4 v2 v1

■ v5 v4 v2 v1

Ejemplo 3

Considere el siguiente grafo:

v1 v2 v3 v4

■ Cuántos recorridosexisten desde v1 hastav4?

■ Cuántos recorridossimples existen desde v1

hasta v4?■ Cuántos caminos existen

desde v1 hasta v4?

Ejemplo 4

Considere el siguiente grafo:

v1 v2 v3

■ Cuántos recorridosexisten desde v1 hastav3?

■ Cuántos recorridossimples existen desde v1

hasta v3?■ Cuántos caminos existen

desde v1 hasta v3?

CONEXIDAD: Definición

Sea G un grafo.

Sea G un grafo.■ Dos vértices u y w de G se dicen conectados si y

sólo si existe un camino de u a w.

Sea G un grafo.■ Dos vértices u y w de G se dicen conectados si y

sólo si existe un camino de u a w.■ G se dice conexo si y sólo si para cualquier par

de vértices de G están conectados.

Ejemplo de Grafo Conexo

Ejemplo de Grafo NO Conexo

Componentes Conexas

Sea G un grafo.

Componentes Conexas

Sea G un grafo. Un grafo H de G se dice unacomponente conexa del grafo G si

Componentes Conexas

Sea G un grafo. Un grafo H de G se dice unacomponente conexa del grafo G si■ H es un subgrafo de G,

Componentes Conexas

Sea G un grafo. Un grafo H de G se dice unacomponente conexa del grafo G si■ H es un subgrafo de G,■ H es conexo, y

Componentes Conexas

Sea G un grafo. Un grafo H de G se dice unacomponente conexa del grafo G si■ H es un subgrafo de G,■ H es conexo, y■ Ningún otro subgrafo de G que sea conexo

contiene a H.

Componentes Conexas

Sea G un grafo. Un grafo H de G se dice unacomponente conexa del grafo G si■ H es un subgrafo de G,■ H es conexo, y■ Ningún otro subgrafo de G que sea conexo

contiene a H.Digamos que una componente conexa de unagrafo es un subgrafo conexo de G que es lo másgrande posible.

Grafo con Una Componente Conexa

Grafo con Dos Componentes Conexas

Grafo con Tres Componentes Conexas

Circuito de Euler

Sea G un grafo.

Circuito de Euler

Sea G un grafo. Un circuito de G se llama Circuitode Euler si contiene todos los lados y todos losvertices del grafo.

Circuito de Euler

Sea G un grafo. Un circuito de G se llama Circuitode Euler si contiene todos los lados y todos losvertices del grafo.

Resultado importante:

Un grafo contiene un circuito de Euler si ysólo si el grafo es conexo y todo vértice tienegrado par.

Ejemplo

Encuentre un Circuito de Euler para el grafo:

e12 Acumulado: ε

Iniciamos con un circuitocualquiera:

e11e12e6e9

Acumulado: e11e12e6e9

Si no abarca todos los la-dos, sobre los verdes gene-ramos otro circuito con unpunto en comun con el cir-cuito que se tiene.

e5e3e4

Acumulado: e11e12e6e9

Nuevo: e5e3e4

Se combinan los circuitospara hacer uno mayor. Re-cuerde que los vértices re-petidos no importan. El vér-tice en común sirve en elenlace.

e11e12e4e3e5e6e9

Acumulado:e11e12e4e3e5e6e9

Como hay lados sin abar-car (verdes) se busca otrocirtuito (verdes) con unpunto en común con elllevado:

e1e8e7e2

Acumulado:e11e12e4e3e5e6e9

Nuevo: e1e8e7e2

Se combinan los circuitospara hacer uno mayor.Recuerde que los vérticesrepetidos no importan. Elvértice en común sirve enel enlace. Como hay ladossin abarcar (verdes) sebusca otro cirtuito (verdes)con un punto en comúncon el llevado:

e11e12e4e3e5e6e8e1e2e7e9

Acumulado:e11e12e4e3e5e6e8e1e2e7e9

Si hay lados sin abarcar sebusca otro circuito (en losverdes) con un vértice encomún con lo acumulado.

Circuito de Euler:

e11e12e4e3e5e6e8e10e1e2e7e9

Nodos Puente: Definición

En un grafo G un nodo se dice puente si cuandose remueve del grafo junto con los lados queinciden en él, el grafo resultante aumenta sunúmero de componentes conexas.

Nodos Puente: Definición

En un grafo G un nodo se dice puente si cuandose remueve del grafo junto con los lados queinciden en él, el grafo resultante aumenta sunúmero de componentes conexas. En el caso deque el grafo original fuera conexo, esto quieredecir que el grafo se vuelve no conexo.

Determine los vértices puente del grafo:

v1 v2 v3 v4

Respuesta : v2 y v3.

v0 v1 v2

Respuesta : v1, v3, v4 y v7.

Circuitos de Hamilton Definición

Dado un grafo G, un circuito de hamilton es uncircuito simple que incluye todos los v ertices del grafo .

Dado un grafo G, un circuito de hamilton es uncircuito simple que incluye todos los v ertices del grafo .Es decir, es un camino cerrado que pasa por todoslos vértices una vez, excepto el primero y el últimoque deben ser iguales.

Aunque el grafo debe ser conexo y todo vérticedebe tener al menos grado dos,

Aunque el grafo debe ser conexo y todo vérticedebe tener al menos grado dos, No existe uncriterio definitivo para determinar si un grafo poseeo no un circuito de Hamilton.

Un criterio que a veces ayuda es “si tiene vérticespuente entonces el grafo no tiene un circuito deHamilton”. La recíproca no es cierta.

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