lógica proposicional parte 2

Lógica proposicional … (continuación)

Condicionalidad “si p entonces q”

• Se considera falsa solo si el antecedente p (es verdadero) y el consecuente q (es falso)

• En cualquier otro caso la proposición condicional se considera verdadera.

• Solo lo que decimos sobre los objetos tiene valor de verdad

CONDICIONAL (si p entonces q)P = me gano la lotería

q = te regalo un auto

• Se representa por el símbolo

Si me gano la lotería entonces te regalo un auto

p q

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

BICONDICIONAL La bicondicionalidad de la proposición es verdadera si:

Ambas proposiciones son verdaderas.

Ambas proposiciones son falsas.

Y es falsa, cuando alguna de las proposiciones involucradas es falsa.

• Se representa por p q se lee “p si y solo si q “

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Ejemplos:

• Si apruebo el examen de admisión con la calificación requerida ingresare a la universidad en la carrera que quiero.

Si y sólo si

Habrá cosecha si llueve

El triangulo es equilátero si todos sus lados son iguales

Ejemplo 1:

¿Es C mas grande que el 75% de B?

(1) C = 600

(2) B = 800

Ejemplo 1

Analizando la declaración 1:

Si C es verdadera entonces:

Si C= 600 y si 600 es el 75% de B, entonces:

C = .75 B

B = C/.75

B = 800

Ejemplo 1

Partiendo de la declaración (2)

Si B = 800 y C = .75 B

Entonces C = 600

Consideraciones:

Analizando cada una de las declaraciones:

• ¿ Cuál de ellas me permite llegar a una conclusión?

• ¿Cuál es la conclusión?

• ¿Cumple o no cumple lo que me están preguntando?

• La respuesta a la pregunta es:

Respuestas:

• Analizando cada una de las declaraciones, ¿con cual de ellas llego a la misma conclusión?

CON AMBAS

Respuestas:

• Analizando cada una de las declaraciones, ¿con cual de ellas llego a la misma conclusión?

CON AMBAS

• ¿Cuál es la conclusión?

C = 75% B

Respuestas:

• Analizando cada una de las declaraciones, ¿con cual de ellas llego a la misma conclusión?

CON AMBAS

• ¿Cuál es la conclusión?

C = 75% B

• ¿Cumple o no cumple lo que me están preguntando?

NO

Respuestas:

• Analizando cada una de las declaraciones, ¿con cual de ellas llego a la misma conclusión?

CON AMBAS • ¿Cuál es la conclusión? C = 75% B• ¿Cumple o no cumple lo que me están preguntando? NO• La respuesta a la pregunta es:

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

C no es mas grande que 75% de B, C = .75(B)

Cambiando el enfoque y analizando:

¿Son suficientes los datos que me proporcionan en las declaraciones para contestar?

Ya vimos que si hay elementos para responder.

Ahora, si en lugar de enfocarnos en la respuesta, nos enfocamos en las declaraciones que nos proporcionan la información para obtener una conclusión. ¿Qué podemos decir al respecto?

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

¿Se cumple que?

La declaración (1) por si sola es suficiente y la declaración (2) por si sola no es suficiente.

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

¿Se cumple que?

La declaración (2) por si sola es suficiente y la declaración (1) por si sola no es suficiente.

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

¿Se cumple que?

Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna sola es suficiente.

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

¿Se cumple que?

Cada declaración sola es suficiente

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

¿Se cumple que?

Las declaraciones 1 y 2 no son suficientes

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

Elegir:

A. La declaración (1) por si sola es suficiente y la declaración (2) por si sola no es suficiente.

B. La declaración (2) por si sola es suficiente y la declaración (1) por si sola no es suficiente.

C. Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna sola es suficiente.

D. Cada declaración sola es suficiente

E. Las declaraciones (1) y (2) no son suficientes

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

Analizando la declaración 1, concluyo que B = 800

Analizando la declaración 2, concluyo que C = 600

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

Analizando la declaración 1, concluyo que B = 800

Analizando la declaración 2, concluyo que C = 600

Respuesta:

D. Cada declaración sola es suficiente

Ejercicio 2

• Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?

(1) p/3q = 1/6

(2) q = p + 1

Ejercicio 2

• Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?

(1) p/3q = 1/6

(2) q = p + 1

Declaración 1:

p= ½ q q=2p

Sustituyendo:

p/2p < 2p/p, entonces eliminando las p

½ < 2/1 esto es : .5 < 2

verdadero y si cumple

Ejercicio 2

• Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?

(1) p/3q = 1/6

(2) q = p + 1

Declaración 2:

Si q esta dado en función a p, entonces por cada valor que se asigne a p, se obtendrá un valor de q; esto es: Si p = 1 entonces q = 2, aplicando estos valores tendríamos que:

½ < 2/1, por lo tanto se cumple la relación.

Ejercicio 2• Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?

(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

Declaración 1:p= 2q q=2p

Sustituyendo: p/2p < 2p/pEliminando las p, nos queda:½ < 2/1 esto es : .5 < 2 verdadero y si cumple

Declaración 2:Si q esta dado en función a p, entonces por cada valor que se asigne a p, se obtendrá un valor de q; esto es: Si p = 1 entonces q = 2, aplicando estos valores tendríamos que:½ < 2/1, por lo tanto se cumple la relación.

Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

¿Se cumple que?

La declaración (1) por si sola es suficiente y la declaración (2) por si sola no es suficiente.

Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

¿Se cumple que?

La declaración (2) por si sola es suficiente y la declaración (1) por si sola no es suficiente.

Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

¿Se cumple que?

Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna sola es suficiente.

Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

¿Se cumple que?

Cada declaración sola es suficiente

Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

¿Se cumple que?

Las declaraciones 1 y 2 no son suficientes

Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

Elegir:

A. La declaración (1) por si sola es suficiente y la declaración (2) por si sola no es suficiente.

B. La declaración (2) por si sola es suficiente y la declaración (1) por si sola no es suficiente.

C. Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna sola es suficiente.

D. Cada declaración sola es suficiente

E. Las declaraciones 1 y 2 no son suficientes

Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

Analizando la declaración 1, concluyo que p/q < q/p

Analizando la declaración 2, concluyo que p/q < q/p

Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

Analizando la declaración 1, concluyo que p/q < q/p

Analizando la declaración 2, concluyo que p/q < q/p

Respuesta:

D. Cada declaración sola es suficiente

Ejemplo 3:

• Si A, B y C son enteros positivos, ¿Qué porcentaje es A de C?

(1) A es 20% de B

(2) B es 30% de C

Ejemplo 3:

• Si A, B y C son enteros positivos, ¿Qué porcentaje es A de C?

(1) A es 20% de B

(2) B es 30% de C

La declaración 1 no me permite obtener información de A con respecto a C

Ejemplo 3:

• Si A, B y C son enteros positivos, ¿Qué porcentaje es A de C?

(1) A es 20% de B

(2) B es 30% de C

La declaración 2 no me permite obtener información de A con respecto a C

Solución:

La única forma en que se puede resolver es utilizando ambas declaraciones

A = .20 B

B = .30 C

Entonces A = .20 (.30) C

y A = .06 C

Si A, B y C son enteros positivos, ¿Qué porcentaje es A de C?(1) A es 20% de B(2) B es 30% de C

Elegir:

A. La declaración (1) por si sola es suficiente y la declaración (2) por si sola no es suficiente.

B. La declaración (2) por si sola es suficiente y la declaración (1) por si sola no es suficiente.

C. Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna sola es suficiente.

D. Cada declaración sola es suficiente

E. Las declaraciones 1 y 2 no son suficientes

Si A, B y C son enteros positivos, ¿Qué porcentaje es A de C?(1) A es 20% de B(2) B es 30% de C

Analizando la declaración 1, no puedo resolver

Analizando la declaración 2, no puedo resolver

Si A, B y C son enteros positivos, ¿Qué porcentaje es A de C?(1) A es 20% de B(2) B es 30% de C

Analizando la declaración 1, no puedo resolver

Analizando la declaración 2, no puedo resolver

Utilizando la información de ambas declaraciones juntas, obtengo que A =.06 C

Si A, B y C son enteros positivos, ¿Qué porcentaje es A de C?(1) A es 20% de B(2) B es 30% de C

Analizando la declaración 1, no puedo resolver

Analizando la declaración 2, no puedo resolver

Utilizando la información de ambas declaraciones juntas, obtengo que A =.06 C

Respuesta:

C. Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna sola es suficiente.

Ejemplo 4:

Encontrar la razón de z/x si se sabe que:

xy = 6 – x/z

(1) x y z = 20

(2) y z = 10

Ejemplo 4:

Encontrar la razón de z/x si se sabe que:

xy = 6 – x/z

(1) xyz = 20

(2) yz = 10

De (1) podemos deducir que:

20 – z = 6 – x/z

14 = z – (x/z)

Ejemplo 4:

Encontrar la razón de z/x si se sabe que: xy = 6 – x/z(1) xyz = 20(2) yz = 10

De (2) sabemos que y = 10 /z entonces:x(10/z) = 6 –x/z10 (x/z) + (x/z) = 611x/z =611x = 6z por lo tanto z/x = 11/6

Ejemplo 4:

Encontrar la razón de z/x si se sabe que:xy = 6 – x/z

(1) x y z = 20(2) y z = 10

Utilizando ambas declaraciones:x=2 yz=10

20/z = 6 –x/z20/z + x/z = 6 1/z ( 20+x) = 620+x = 6z20 + 2 = 6z22 = 6 zz = 22/6

z/x = 22/6/2/1 = 22/(6*2) = 11/6

Ejemplo 4: (otra forma de resolver)

Encontrar la razón de z/x si se sabe que: xy = 6 – x/z(1) x y z = 20(2) y z = 10

Multiplicando la expresión dada por z para eliminar el denominador:

xyz = 6z – x

De (1) podemos deducir que 20 = 6z – x no permite resolver

De 2 sabemos que yz = 10 entonces:x(10) = 6z –x10 x + x = 6z11x =6z11x = 6z por lo tanto z/x = 11/6

Entonces concluimos que la declaración 2 por si sola es suficiente.

Encontrar la razón de z/x si se sabe que: xy = 6 – x/z(1) xyz = 20(2) yz = 10

Elegir:

A. La declaración (1) por si sola es suficiente y la declaración (2) por si sola no es suficiente.

B. La declaración (2) por si sola es suficiente y la declaración (1) por si sola no es suficiente.

C. Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna sola es suficiente.

D. Cada declaración sola es suficiente

E. Las declaraciones 1 y 2 no son suficientes

Encontrar la razón de z/x si se sabe que: xy = 6 – x/z(1) xyz = 20(2) yz = 10

A. La declaración (1) por si sola es suficiente y la declaración (2) por si sola no es suficiente.

B. La declaración (2) por si sola es suficiente y la declaración (1) por si sola no es suficiente.

C. Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna sola es suficiente.

D. Cada declaración sola es suficiente

E. Las declaraciones 1 y 2 no son suficientes