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Toda ciencia o materia de estudio tiene un objeto o tema de investigación. Así, la ética estudia la conducta moral;la biología, los fenómenos vitales o de la vida misma;la sociología, los fenómenos sociales;la física aborda entre sus temas la naturaleza del calor y la luz pero ¿qué estudia la lógica?, ¿hacia qué temas orienta sus investigaciones?...La palabra lógica proviene del vocablo griego “logos”, que significa “pensamiento”, aunque también se ha entendido como “palabra”, “razón” y “ciencia”.

De acuerdo con su etimología, la lógica sería una “ciencia o tratado del pensamiento”. Hay que advertir que esta definición es demasiado amplia para caracterizar a la lógica, porque en realidad a nuestra disciplina sólo le interesa un aspecto o una parte del pensamiento, que llamaremos aspecto formal.

En efecto, la lógica es una disciplina formal porque se ocupa de las meras formas o estructuras del pensamiento. Se dedica a investigar cómo se encuentra estructurado el pensamiento con el fin de estudiar las leyes o principios que reglamentan la validez lógica del propio pensamiento.

Cuando la lógica estudia las proposiciones o juicios, como por ejemplo:”El pizarrón es verde”, no se interesa por lo que se enuncia o dice de ellas, en este caso concreto no se interesa por el objeto pizarrón ni por el hecho de que sea verde, esto significa que la lógica centra su atención en la forma lógica que adoptan los pensamientos.

De la misma manera, cuando en la clase de aritmética se explica que “Dos naranjas más tres naranjas suman cinco naranjas”, no se habla en sí de las naranjas, sino de la suma:”2+3=5”. En esta operación se ha abstraído o eliminado el contenido para quedarse con la forma.

La aritmética, pues, como la lógica, son disciplinas que manejan formas:sumas, símbolos, en el caso de las matemáticas;conceptos, juicios, razonamientos, símbolos lógicos como las conectivas lógicas en el caso de la lógica.

De esta manera, tanto la lógica como la matemática son ciencias formales, de acuerdo con la naturaleza de los objetos que estudian.

La lógica es la ciencia del correcto razonar, es la ciencia del razonamiento. Estudia los métodos y leyes que permiten distinguir un razonamiento válido de un razonamiento no válido.

La lógica es el sistema de comunicación entre personas y máquinas y ha sido aplicada al automatismo y control, la robótica y la inteligencia artificial

Los elementos de lógica que se expondrán son importantes para la precisión en la comunicación. El estudio de este tema, permite estructurar en un sistema de reglas lógico-deductivas, el lenguaje, la simbología, vocabulario, etc., para la comunicación con las máquinas electrónicas digitales.

Además de su importancia en el razonamiento matemático, la lógica tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación. Las reglas de la lógica se usan en el diseño de

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circuitos electrónicos, la construcción de programas informáticos, la verificación de que un programa está bien construido y en muchas otras aplicaciones.

Ahora bien, como disciplina formal que es, la lógica tiene como tarea construir lenguajes formales que contengan claridad, precisión y univocidad.

El área de la lógica que trata de proposiciones se llama cálculo proposicional o lógica proposicional. Fue desarrollada sistemáticamente por primera vez por el filósofo griego Aristóteles

La lógica en general, y la lógica simbólica en particular, es el estudio sistemático del proceso de razonamiento preciso. No es, sin embargo, un sustituto del razonamiento preciso;manipular símbolos, que es uno de los procedimientos de la lógica, no es la misma cosa que pensar. Lo que los métodos de la lógica pueden hacer por nosotros es clarificar nuestros tipos de pensamientos, guiarnos en la corrección de nuestros procesos de razonamiento y ayudarnos a cometer errores. La finalidad de la lógica simbólica es la de reducir procedimientos verbales complicados en simples dispositivos de letras y símbolos.

A grosso modo, podemos comparar eso al uso de los numerales y los signos de la aritmética para ayudarnos a simplificar lo que, de otro modo, sería muy largo e incluiría enunciados verbales acerca de los números. Para probar las ventajas de los símbolos en aritmética bastará que el lector intente poner los conceptos numéricos expresados por 3+4 +5=12 en palabras. Exactamente lo mismo que los números son los elementos básicos de la

aritmética, las proposiciones simples son los elementos de la lógica.

Comenzamos nuestras experiencias aritméticas con un sencillo conjunto de números naturales, y construimos estructuras más complicadas, como, por ejemplo, el sistema de los números racionales.

Análogamente, comenzamos en lógica con las proposiciones simples, y usamos luego éstas para formar proposiciones más complicadas. En la lógica aprendemos las reglas para la manipulación de las sentencias.

El lenguaje natural es muy rico, redundante y ambiguo por su relación intrínseca entre la interpretación del sistema emisor-receptor y el referente del mensaje. Con el lenguaje construimos oraciones en las que las palabras significan las cosas mediante los conceptos mentales que nos construimos de nuestro mundo, pero al mismo tiempo, dichas palabras las utilizamos para significar las cosas que nos rodean. De esta manera, el lenguaje tiene una dimensión sintáctica las relaciones que se establecen entre los signos para construir unidades con sentido completo la oración y una dimensión semántica las relaciones del signo con las cosas significadas Podemos utilizar la estructura de nuestro lenguaje, con sus mecanismos sintácticos que permiten tratarla para obtener conclusiones válidas sobre nuestro entorno o bien, establecer relaciones entre los símbolos de dicho lenguaje y los referentes de su entorno, para establecer el valor de verdad de sus enunciados.

Para poder construir enunciados acerca del mundo debemos disponer de un lenguaje. Este lenguaje será un lenguaje formal, acotado y más limitado que el lenguaje natural, mediante el cual podremos escribir enunciados simples o compuestos con que denotaremos hechos proposiciones acerca del mundo.

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Primero trataremos el lenguaje de la lógica proposicional, que es aquella que trata las proposiciones, es decir, entidades gramaticales con estructura oracional compuesta de sujeto y predicado que se unen a otras para construir oraciones complejas.

La lógica proposicional distingue dos tipos de proposiciones:

Las no se componen de más proposiciones y carecen de términos de enlace o conectivos.

La matemática es una ciencia formal

La lógica es una ciencia

Las también conocidas como se componen de dos o más proposiciones simples y, además, como rasgo distintivo tienen términos de enlace o conectivos lógicos.

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-La lógica es una ciencia y la matemática lo es también.

-La Tierra es un planeta si y sólo si gira alrededor del Sol.

-No es cierto que la lógica es difícil.

A la derecha de cada proposición escribe si la proposición es simple o si es compuesta.

C

C

S

S

C

S

Enunciado o aserción verbal es cualquier colección de símbolos o sonidos que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez. La certeza o falsedad de un enunciado se llama

Por ejemplo, considere las expresiones:

Las expresiones y son enunciados la primera es falsa y la segunda verdadera. Las expresiones no son enunciados porque no son ni verdaderas ni falsas.

Algunas proposiciones están formadas por y varias partículas conectivas. A estas proposiciones se les llama

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La propiedad fundamental de un enunciado proposición compuesto es que su valor de verdad queda determinado completamente por los valores de verdad de sus enunciados y por la forma en que están conectados para formar el enunciado compuesto. A tal efecto utilizamos las que son representaciones gráficas que sirven para determinar la verdad o falsedad de una proposición compuesta dada.

En el lenguaje natural este conectivo se expresa con los siguientes términos:

Las proposiciones pueden ser simples o compuestas. Para designarlos se emplean letras minúsculas: Para negar una proposición simple se emplea el símbolo de tal forma que y es tal, que si es será y viceversa. El operador negación también se denomina por razones obvias.

T F

F T

En lenguaje cotidiano se expresa con términos como los siguientes: La conjunción de dos proposiciones simples p q es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas. La conjunción es una conectiva lógica que se denomina el

y representa el

T T T

T F F

F T F

F F F

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La disyunción de las proposiciones simples es falsa si ambas proposiciones son falsas. El operador lógico disyunción también se denomina y representa la Hay situaciones que requieren el uso de la disyunción pero en el sentido excluyente o exclusivo. Cuando cualquiera de las proposiciones, mas no ambas, sea verdadera. Estamos hablando de la disyunción exclusiva Es muy importante distinguir estos dos casos de la disyunción. La disyunción inclusiva y la disyunción exclusiva

T T T

T F T

F T T

F F F

T T F

T F T

F T T

F F F

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En la implicación el primer término se denomina antecedente, hipótesis o premisa, y el segundo , consecuente, tesis o conclusión. La implicación es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. La implicación no tiene denominación especial, pero puede expresarse en función de otros conectivos, como se verá más adelante. La implicación es una conectiva lógica que se notará con una flecha Así se puede leer de las siguientes maneras:

;

q q p q

T T T F F T

T F F T T F

F T T F F T

F F T T F T

q p

T T F F T T T T

T F F T F F T T

F T T F T T F F

F F T T T T T T

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Una implicación es una sentencia de la forma que nos dice que si se cumple la condición entonces resulta inevitable tener como resultado Por ejemplo la sentencia lógica “Si soy venezolano entonces soy latinoamericano” es verdadera. ¿Cómo funciona? Fácil. Si necesitas saber si una persona es latinoamericana basta con preguntarle si es venezolano. Si la persona es venezolana, entonces sabes inmediatamente que es latinoamericano. Esto quiere decir que para saber si una persona es es suficiente saber que es venezolana.

Por eso decimos que la proposición es condición suficiente en la implicancia.

¿Qué sucede si la persona te responde que no es venezolano? ¿Podemos afirmar que no es latinoamericano? Por supuesto que no. Porque podría ser argentino o peruano y ser latinoamericano.

Un error común que cometen muchas personas ajenas a la lógica es afirmar

Por esto mismo la condición ser venezolano es condición

suficiente, pero no es condición necesaria. Es decir, no es ser venezolano para ser

Lo que si sabemos es que si una persona no es entonces no es argentino. Esto es lo que entendemos como

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Debido a esto decimos que es condición necesaria en la sentencia.

Si sabemos que alguien es no podemos asegurar que sea Argentina pero es una condición básica, una condición necesaria para serlo, que si no se cumple, no se puede tener que la persona sea Argentina.

Otro ejemplo:En la existencia de derivadas parciales en todas las direcciones del espacio es condición necesaria para que la función sea diferenciable.Si no existe una de ellas, la función ya no es diferenciable, pero aún existiendo todas, no podemos asegurar directamente la diferenciabilidad de la función.

Una condición suficiente es aquella que, de cumplirse, implica directamente el cumplimiento de otra. De no cumplirse, no podemos afirmar nada, y debemos seguir buscando.

Un ejemplo de condición necesaria y suficiente nos lo da el criterio de Leibniz para la convergencia de series numéricas alternadas:

Si el límite cuando tiende a infinito de vale cero, y, cada término es, en valor absoluto, mayor o igual al término siguiente, la serie alternada converge.

y es condición suficiente para es decir, que un triángulo sea equilátero es suficiente para asegurar que sea isósceles.

Por otra parte, T es equilátero sólo si es isósceles; es decir que un triángulo sea isósceles es necesario para que sea equilátero.

La aserción P es necesario para Q es familiar al equivalente “Q no puede ser verdad a menos que P es verdad”.

Para decir que P es suficiente para Q es decir eso de por sí, sabiendo que P es verdad es argumento adecuado para concluir que Q es verdad.

Se expresa la relación lógica como “ y puede también ser expresado como

Varias condiciones suficientes pueden, ser tomadas juntas, y constituir una sola condición necesaria.

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Una ocurrencia del trueno es una condición suficiente para la ocurrencia del relámpago en el sentido que al oír el trueno, es inequívoco el reconocimiento de él como tal, y justifica el concluir que ha habido un relámpago.

Los conceptos de condiciones necesarias y suficientes nos ayudan a entender y aclarar las diferentes conexiones entre conceptos, y cómo las condiciones están relacionadas entre sí.

Decir que X es una condición necesaria para Y es decir que es imposible tener Y sin X. En otras palabras, la ausencia de X garantiza la ausencia de Y.

A la condición necesaria, a veces, se le llama una “condición esencial”. Veamos algunos ejemplos:

-Tener cuatro lados es necesario para ser un cuadrado.

-Ser valiente es condición necesaria para ser buen soldado.

-No ser divisible por cuatro es condición necesaria para ser un número primo.

-Para mostrar que X no es condición necesaria para Y, simplemente buscamos una situación en la que Y esté presente pero X no lo está.

-Ser rico no es necesario para ser feliz, puesto que una persona pobre puede ser feliz también.

-Ser chino no es una condición necesaria para residir en Hong Kong, puesto que una persona no china puede ser residente, si ha vivido en Hong Kong, durante siete años.

Notas adicionales sobre condiciones necesarias

-Usamos, la noción de condición necesaria frecuentemente, en nuestra vida diaria, si bien podemos usarla en diferentes contextos. Por ejemplo, cuando decimos que

” esto equivale a decir que la presencia de oxígeno es condición necesaria para la existencia de la vida.

Decir que X es condición suficiente para Y, es decir que, la presencia de X asegura la presencia de Y. Es decir, es imposible tener X sin Y. Si X está presente, entonces Y debe estar también presente. Nuevamente, algunos ejemplos:

-Para ser un cuadrado es suficiente tener cuatro lados.

-Ser divisible por 4 es suficiente ser número par.

Para mostrar que X no es suficiente para Y, nos encontramos con casos donde X está presente pero no Y.

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-Amar no es condición suficiente para ser amado a . Una persona que ama puede no ser amada, quizás porque es una persona antipática.

-La lealtad no es condición suficiente para la honestidad porque podríamos tener que mentir con la intención de proteger la persona a la cual se es leal.

MÁS ACERCA DE CONDICIÓN SUFICIENTE

-Expresiones tales como “Si X entonces Y”, o “X es condición suficiente para Y”, puede ser entendido como decir que X es una condición suficiente para Y.

-Algunas situaciones pueden tener más que una condición suficiente. Ser azul es suficiente para ser de color, pero por supuesto ser verde, ser rojo, también son condiciones suficientes para ser de color.

Más ejemplos

-Tener 4 lados es condición necesaria pero no suficiente para ser un cuadrado .

-Tener un hijo es condición suficiente pero no necesaria para ser padre

-Ser hombre no casado es tanto condición necesaria como suficiente para ser soltero.

-Ser una persona alta ni es necesario ni suficiente para ser una persona exitosa.

La regularidad de la naturaleza puede expresarse a base de proposiciones de condición–condicionales–que indiquen conexiones existentes entre los fenómenos. Ya sabemos lo que significa la conectiva de condición, y la forma de analizar la proposición que la contiene. Las proposiciones que expresan condición pueden ser de la forma "si...entonces...", "sólo si... entonces...", o "si y sólo si...entonces...". En el primer caso se expresa la idea de condición suficiente; en el segundo, la de condición necesaria; y en el tercero, la de condición suficiente y necesaria.

Decimos que A es condición suficiente de B cuando es verdadera la proposición "si A entonces B"; en este caso basta que se dé A para que se dé también B. Decimos que A es condición necesaria de B cuando es verdadera la proposición inversa "si B entonces A", o lo que es igual "sólo si A entonces B"; en este caso, de no estar dado A tampoco estará dado B. Decimos que A es condición necesaria y suficiente de B cuando son verdaderas las dos proposiciones indicadas, o sea "si A entonces B" y "si B entonces A"; en este caso, de no darse uno de los elementos tampoco se da el otro y si se da uno de ellos se da también el otro.

Aplicando esto a la ciencia, "A" y "B" representan fenómenos entre los cuales se da una conexión. La ciencia busca como una meta ideal establecer condiciones necesarias y suficientes para todos los fenómenos; no obstante, en muchos casos tiene que conformarse con una u otra de las condiciones débiles: sólo condición suficiente o sólo condición necesaria.

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La demostración es análoga a la anterior.

Es condición necesaria y suficiente para que la inversa de una función f sea otra función es que

f sea biyectiva.

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Las relaciones nos sugieren que unas cosas participan en la aparición de otras, que condicionan su existencia: A condiciona la existencia de B; B depende de A. Al preguntar por una causa, preguntamos por las condiciones que explican la aparición del efecto. Estas condiciones pueden ser de dos tipos:

Si percibimos que dos acontecimientos diferentes se siguen con rigurosa regularidad,

decimos que el primero es causa o condición suficiente del segundo:

-Cuando nos visita mi cuñado mengua el coñac.

Decimos:A es condición suficiente de B; basta con la aparición de A para que surja B; A causa B.

-Si tomo café, no duermo.

Las apariciones del efecto pueden ser constantes siempre que aparece A le sigue B o

no generalmente cuando aparece A, le sigue B de lo que derivan las correspondientes

matizaciones en nuestra conclusión inductiva:

A siempre causa B.

A habitualmente causa B.

Puede ocurrir sin embargo que en ocasiones aparezca B sin que le preceda A.

No he tomado café, pero he dormido muy mal.

Si aparece A, surge B

Si no aparece A, también surge B

Esto significa que, además de A, existe alguna otra causa capaz de producir el mismo efecto.

Si tomo café, no duermo.

Si estoy preocupado, no duermo.

Si me sienta mal la cena, no duermo.

A, B y C causan D.

Las condiciones suficientes de un mismo efecto pueden ser múltiples, con lo cual puede faltar

una determinada y producirse el efecto por otra.

— ¿Llamaba el señor?

— Sí. Vaya usted al cuarto de la señora y entérese a ver qué pasa, que no sé si se ha caído o es

que está cantando.

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En suma, llamamos condición suficiente a la que, siempre o casi siempre, provoca la

aparición de otro suceso. Cuando está presente, asegura el efecto. Su ausencia no lo impide,

porque puede existir otra condición suficiente capaz de producirlo. Así, la enconada lucha que

la ciencia sostiene contra el cáncer está a punto de garantizarnos la oportunidad de morir por

cualquier otra causa.

La señora al farmacéutico—Vengo a devolverle el matarratas que me vendió el otro

día. Ya lo no necesito, porque mi marido se ha muerto solo.

Hay otras condiciones que intervienen en el proceso de causalidad porque son

indispensables para que aparezca el efecto, aunque se muestran incapaces de producirlo por sí

mismas.

Por ejemplo: para que me toque la lotería es necesario que compre un décimo, pero

nadie me garantiza el premio.

Si no riego las plantas se mueren, pero si las riego no todas viven. A estas condiciones

incapaces de producir el efecto pero que no pueden faltar, las llamamos condiciones necesarias,

Apretar el interruptor de la radio es una condición necesaria, pero no suficiente para

que el aparato suene.

Un título universitario es condición necesaria para determinados puestos de trabajo,

pero no suficiente para lograrlos.

Condición necesaria para soñar es dormir.

Si falta A, no aparece B

Si se da A, puede aparecer B

Cuando una condición necesaria no produce el efecto no es suficiente entendemos

que falta algo, generalmente otras condiciones igualmente necesarias, para que se complete una

condición suficiente.

Es necesario viajar al trópico para coleccionar enfermedades pintorescas, pero no

basta. Es necesario leer un libro para entenderlo, pero no basta; se precisan más cosas, como un

carro necesita algo más que gasolina para funcionar.

Si falta una sola de las condiciones necesarias, no se forma la condición suficiente y el

efecto no se produce. No es posible hacer una tortilla sin huevos, sin aceite, sin sartén, sin fuego.

Un carro está lleno de piezas necesarias, y es preciso que funcionen todas para que arranque.

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Si no suena tu equipo de sonido puede ser que:

estés sordo, no haya luz,no esté enchufado el aparato

no lo hayas encendido,estén desconectados los altavoces,te hayan timado con la copia pirata…

Una importante condición necesaria suele ser la oportunidad.

Procura sacar de él cuanto puedas, y que sea pronto, porque no suelen durar mucho

las buenas disposiciones.

De suyo, la condición necesaria no es suficiente y precisa el concurso de otras

condiciones necesarias. Pero puede ocurrir lo contrario:que, además de necesaria, sea

suficiente. Este es el caso de las condiciones suficientes que son únicas:El rayo es condición

suficiente y necesaria del trueno:

Si ocurre A, se da B

Si no ocurre A no se da B

Lo mismo sucede, por ejemplo, cuando se cumplen todas las condiciones necesarias

para determinado efecto, menos una. Esta última condición opera simultáneamente como

suficiente y necesaria. Es suficiente porque con agregarla bastará para producir el efecto es la

única que falta y es necesaria porque si no se agrega no surgirá el efecto.

Es suficiente porque si aparece A, se produce B.

Es necesaria porque si no aparece A no se produce B.

Es el caso de la gasolina en un carro que funciona bien, de la polinización primaveral

para un alérgico al polen, o de la gota que colma el mezquino vaso de nuestra paciencia. Del

mismo modo, cuando todos los medios están dispuestos, la llegada del momento oportuno se

convierte en condición suficiente y necesaria.

Toda particular existencia es a la vez, condicionada y condición.

Llamamos causa a lo que produce un efecto, y sospechamos una relación causal cuando percibimos una relación de sucesión o coexistencia entre dos fenómenos. Decimos que uno de ellos es condición del otro.

Por la manera de intervenir unos sucesos en la aparición de otros, distinguimos:

la que asegura la producción de un efecto. Pueden ser una o varias.

la indispensable para la producción de un efecto, pero incapaz de producirlo por sí sola. Habitualmente, varias condiciones necesarias concurren para formar una condición suficiente.

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Es la que siendo necesaria se basta para la producción del efecto porque todas las demás condiciones están cumplidas.

En lógica, las palabras, necesario y suficiente, describen la relación que mantienen dos proposiciones o estado de cosas, si una es condicionante de la otra. Por ejemplo, alguien puede decir:

El tomar agua regularmente es necesario para que un humano se mantenga con vida.

El saltar es suficiente para despegarse de la tierra.

El tener una credencial de identificación es una condición necesaria y suficiente para ser admitido.

Este artículo discute solamente la relación lógica implícita en las palabras necesario y suficiente. El significado causal de estas palabras es ignorado. Esto es potencialmente engañoso, ya que estas palabras a menudo implican causalidad en su uso normal.

Al decir que A es necesaria para B, estamos diciendo que B no puede ser verdadera a menos que A sea verdadera, o que cuando quiera, donde quiera, o como sea, B es verdadera, si A lo es.

En pocas palabras: Si el antecedente es falso, el consecuente tiene que ser falso.

Nosotros podemos decir que el tener por lo menos 18 años es necesario para tener una licencia de conducir.

En el sentido en el que utilizamos aquí la palabra «necesario», podemos decir también «el humo es necesario para el fuego». Esto es confuso, desde el momento en que el humo viene después del fuego; pero todo lo que nosotros estamos diciendo es que donde quiera que exista B, ahí existe A, es decir, el fuego no puede ocurrir sin que exista humo Estamos tratando de no decir nada acerca de la dirección del tiempo. En el lenguaje ordinario diríamos «El humo es una consecuencia necesaria del fuego».

En cada caso, lo importante es notar que una cosa es asumida el fuego, una licencia y una segunda cosa es derivada como «necesaria consecuentemente». El tener 18 es una condición necesaria en el segundo caso; el humo es una condición necesaria en el primer caso sin embargo, nuevamente, originariamente no deberemos llamar esto una «condición»

Es importante saber que es muy posible que una condición necesaria ocurra por sí sola, por ejemplo, uno puede tener 18 años y no tener la licencia de conducir, y hay formas de generar humo sin fuego.

Si A es una condición necesaria para B, entonces la relación lógica entre A y B se expresa: «si B entonces A» o «B sólo si A» o «B → A».

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Al decir que A es suficiente para B, estamos diciendo precisamente lo contrario: que A no puede ocurrir sin B, o cuando sea que ocurra A, B ocurrirá. Es decir, que el hecho de que exista fuego es suficiente para que haya humo.

En pocas palabras si el antecedente es verdadero, el consecuente tiene que ser verdadero.

Las condiciones necesarias y suficientes consecuentemente están relacionadas. A es una condición necesaria para B sólo en el caso de que B sea una condición suficiente para A.

En el sentido en el cual utilizamos la palabra «suficiente», podríamos también decir «tener una licencia es suficiente para tener 18 años». Esto es confuso, desde el momento en que tener una licencia no «causa» que tengas 18 años; no obstante, la percepción común es que si tú tienes una licencia, tú debes tener 18 años consideramos la licencia como una prueba de edad debido a que la consideramos «suficiente» para demostrar la edad en algo como en el sentido expuesto Trate de ignorar la relación causal y la dirección del tiempo: Estamos poniendo atención sólo en la relación lógica.

En todo caso, note que una cosa es asumida fuego, una licencia y «esta misma cosa» la identificamos como la condición suficiente para otra cosa humo, edad -suficiente en el sentido de «lo justo adecuado para que la otra exista».

Debemos considerar que, una condición suficiente, por definición, es aquello que no puede ocurrir sin aquello para lo que es condición, así que, no puedes tener una licencia sin tener 18 años.

Si A es una condición suficiente para B, entonces la relación lógica entre ellas es expresada como «Si A entonces B» o «A sólo si B» o «A → B».

Decir que A es necesaria y suficiente para B es decir dos cosas simultáneamente:

Por ejemplo, Si Alicia siempre come bistec el lunes, pero nunca en otro día, podemos decir que «El hecho de que sea lunes es una condición necesaria y suficiente para que Alicia coma bistec». Lo contrario también es verdadero:«El hecho de que Alicia esté comiendo bistec es una condición necesaria y suficiente para que sea lunes». De este modo, en el momento en que A es necesaria y suficiente para B, B es necesaria y suficiente para A.

Una vez más, esto es confuso, desde que la acción de Alicia de comer bistec no causa que sea lunes.

Desde que la frase «necesaria y suficiente» puede expresar una relación entre oraciones o entre estado de cosas, objetos, o eventos, esta no debe ser combinada demasiado rápido con equivalencia lógica. El hecho de que Alicia esté comiendo bistec no es equivalentemente lógico para que sea lunes. Sin embargo, «A es necesario y suficiente para B» expresa la misma cosa que «A si y sólo si B».

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Para que una matriz tenga inversa es suficiente que su determinante sea cero.

Para que su determinante sea diferente de cero, es suficiente que la matriz tenga inversa.

Para que su determinante sea cero es necesario que la matriz no tenga inversa.

Una matriz tiene inversa si y sólo si su determinante no es cero.

Una matriz tiene determinante nulo solamente si no tiene inversa.

p:Una matriz tiene inversa q:Su determinante es 0

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T T T

T F F

F T F

F F T

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Cuando se tiene una proposición compuesta con varias conectivas lógicas cómo sabemos la prioridad de aquéllas. Es decir, cuáles conectivas deben evaluarse primero, cuáles después. Por ejemplo, las proposiciones compuestas no tienen necesariamente los mismos valores de verdad. Y como ambas conectivas tienen igual jerarquía, habrá que tener cuidado dónde se debe colocar el paréntesis.

Esta tabla muestra la jerarquía de las conectivas lógicas. En la misma se indica cuándo se debe utilizar o no paréntesis, y el orden de evaluación en la proposición compuesta. La conectiva es la de mayor jerarquía Luego le siguen la y la

con prioridades A continuación la y Finalmente, los y

1-La proposición se puede transformar en ya que la conectiva

∧ tiene prioridad y la conectiva prioridad sobreentendiendo que la proposición simple y la negación unidas con la conectiva se deberán evaluar antes que, su resultado, unido a la proposición simple con la conectiva Sin embargo, no podemos aplicar la misma transformación a ya que si eliminásemos el paréntesis, la negación sólo se aplicaría sobre la proposición simple cambiando radicalmente el significado de la sentencia compuesta. En el ejemplo se está utilizando este paréntesis para forzar la prioridad de evaluación de la disyunción respecto a la negación. Con estas dos reglas sintácticas lo que buscamos es, que no aparezcan dos conectivas adyacentes, y definir una relación de prioridad entre conectivas cuando hay más de una dentro de un mismo nivel de agrupamiento dentro de un paréntesis.

2-La proposición muestra problemas en su interpretación, ya que los dos operadores pertenecen al mismo nivel de prioridad. Se debe insertar un paréntesis para indicar el orden de prioridad de evaluación de las proposiciones que la componen, y no se puede interpretar de la misma forma y

Los dos tipos más importantes de tautologías son las equivalencias lógicas y las implicaciones lógicas. Las primeras tienen la utilidad de poder ser utilizadas como esquemas de sustitución en procesos de razonamiento, mientras que las segundas como esquemas de razonamientos válidos. Un esquema es una fórmula que contiene identificadores variables que representan expresiones.

La fórmula se puede representar mediante las sustituciones, y en el esquema

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La traducción del lenguaje natural al lenguaje formal no es un proceso mecánico. No hay reglas que nos indiquen de forma automática y única cómo debe realizarse dicha transformación, sólo nos podemos basar en una serie de reglas generales, las que ya hemos visto, en combinación con la intuición y la experiencia previa.

La siguiente proposición es una utilizada para transformar una implicación en una expresión equivalente: cuya tabla de verdad es:

¿Qué tipo de expresión lógica es la siguiente ?

T T F T T F F

T F F F F T F

F T T T T F F

F F T T T F F

La expresión lógica anterior es una Para realizar las tablas de verdad de proposiciones compuestas, de 3 simples, se deben construir 8 renglones para cada una de sus combinaciones de verdad y falsedad.

Hacemos

T T T F F T F F F F F T

T T F F T T F F F T T T

T F T T F T F F T F T T

T F F T T F T T T T T T

T T F T F T T

T F T F T F T

F T F T F T T

F F T T F T T

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F T T F F T F F F F F T

F T F F T T F F F F F T

F F T T F T F F F F F T

F F F T T F T F F F F T

Esta proposición es una

T T T F F F F T T F T F F F

T T F F F T T T T F F T T T

T F T F T F T T F T T F T T

T F F F T T T T F T F T T T

F T T T F F F F T F T F F T

F T F T F T T T T F T F F F

F F T T T F T T T F T F F F

F F F T T T T T T F T F F F

1-Sean Describa con un enunciado verbal las siguientes proposiciones:

Hace frío y está lloviendo; Hace frío o está lloviendo

Hace frío si y sólo si está lloviendo; Si hace frío, entonces no está lloviendo; Está lloviendo o no hace frío; No hace frío y no está lloviendo;

Hace frío si y sólo si no está lloviendo;

Si hace frío y no está lloviendo, entonces hace frío.

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2-Sean Escriba cada una de las siguientes proposiciones en forma simbólica:

Ella es alta pero no bonita: Es falso que ella es baja o bonita:

Ella no ni alta ni bonita: Ella es alta o es baja y bonita:

3-Sean Dé ejemplos de declaraciones verbales que describan cada uno de los enunciados siguientes:

Hace frío y está lloviendo. Hace frío o está lloviendo

Está lloviendo o no hace frío ”No hace frío y no está lloviendo” o lo que es equivalente:”Ni hace frío ni está lloviendo”.

4-Se dan las siguientes proposiciones

Escriba cada una de las siguientes sentencias en su forma simbólica.

Ana lee Meridiano o Líder, pero no ABC

Ana lee Meridiano y Líder o no lee Meridiano y ABC

Es falso que Ana lee Meridiano, pero no ABC

Es falso que Ana lee Abc o Líder, y no ABC

5-Determine el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados:

6-Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

7-Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

8-Elabore las tablas de verdad de las siguientes proposiciones:

9-Elabore las tablas de verdad de las siguientes proposiciones y diga si son

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C

T

C

CT

10-

11-Escriba las siguientes proposiciones sin usar el condicional

Si hace frío, él se pone un sombrero. Téngase en cuenta que la proposición

Si la productividad aumenta, entonces los salarios se incrementan:

12-

:

13-Demuestre que implica lógicamente

14-Determine el valor de verdad de cada proposición:

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La lógica es, en gran medida, el estudio del razonamiento, de la argumentación. Un razonamiento es una afirmación de que de un conjunto de proposiciones dado llamadas se deduce otra proposición llamada

Un razonamiento se presenta así

Un razonamiento es válido si es verdadera siempre que todas las premisas son verdaderas.

Se denomina a todo

El razonamiento es válido si y sólo si la proposición es una tautología.

Las proposiciones son verdaderas simultáneamente, si y sólo si, es verdadero. De manera que el razonamiento es válido si y sólo si es verdadero siempre que es verdadero o, de forma equivalente, si la proposición es una

Una de las más importantes tareas de un lógico es poner a prueba los argumentos o razonamientos. Por argumento queremos decir afirmación de una cierta proposición

se infiere de otras proposiciones De un argumento diremos que es válido si y sólo si la conjunción de las premisas implica la conclusión, es decir, si las premisas son todas verdaderas, la conclusión debe ser también verdadera. Es importante percatarse de que la verdad de la conclusión es independiente de la prueba de validez del argumento o razonamiento. Una conclusión verdadera no es necesaria ni suficiente para la validez del argumento o

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razonamiento. Los dos ejemplos que se siguen muestran esto, y muestran también la forma en que estableceremos los argumentos, es decir, establecemos primero las premisas, trazamos en seguida una línea, y luego establecemos la conclusión.

Si nos damos cuenta que la primera premisa es falsa, la paradoja desaparece. No hay nada sorprendente en la correcta deducción de una conclusión falsa partiendo de premisas falsas. Si un argumento es válido, entonces la conjunción de las premisas implica la conclusión. Por eso, si todas las premisas son verdaderas T entonces también la conclusión es verdadera. Sin embargo, si son falsas F una o más de las premisas, de modo que la conjunción de todas las premisas es falsa, entonces la conclusión puede ser cierta o falsa. En efecto, podrían todas las premisas ser falsas, la conclusión verdadera, y el argumento válido, como el ejemplo siguiente lo hace ver.

Cada uno de estos ejemplos subraya el hecho de que ni el valor de verdad ni el contenido de las proposiciones que figuran en un argumento afectan la validez del argumento. Las figuras y son dos formas válidas de argumentos.

El símbolo significa “por tanto, entonces, luego, por consiguiente”. También se usará el símbolo para separar las premisas de

la conclusión

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Las tablas de verdad para estas formas de argumentos aparecen en la figura siguiente.

T T T T T T F F 1

T F F T F F T F 2

F T T F T T F T 3

F F T F F T T T 4

Para el argumento de la figura vemos que hay sólo un caso en que ambas premisas son verdaderas y en este caso la conclusión es verdadera, por eso el argumento es válido. Similarmente, en el argumento de la figura ambas premisas son verdaderas y en este caso la conclusión es verdadera también, por eso el argumento es válido. Un argumento que no es válido se llama Dos ejemplos de falacias son las siguientes formas de argumentos.

En ambas premisas son verdaderas en las de la tabla de verdad, pero la conclusión es falsa en así que el argumento no es válido. Similarmente, en

vemos que ambas premisas son verdaderas pero la conclusión es falsa en Decimos que un argumento depende sólo de su forma en el sentido de que no importa

cuáles sean las componentes del argumento. Las tablas de verdad de la figura superior muestran que si las dos premisas son verdaderas, entonces las conclusiones de los argumentos son verdaderas también. Para las falacias anteriores, las tablas de verdad muestran que es posible escoger verdaderas las dos premisas sin hacer verdadera la conclusión, a saber, escoger una falsa y una verdadera.

Considérese el argumento siguiente.

La tabla de verdad del argumento aparece a continuación.

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1 T T T T T T

2 T T F T F F

3 T F T F T T

4 T F F F T F

5 F T T T T T

6 F T F T F T

7 F F T T T T

8 F F F T T T

Ambas premisas y son verdaderas de la tabla de verdad. Puesto que en cada uno de estos casos la conclusión también es verdadera, el

Cuando hemos descubierto que una cierta forma de argumento es válida, podemos usarla para sacar conclusiones. Ya no es necesario entonces construir tablas de verdad. Presumiblemente, esto es lo que hacemos cuando razonamos en la vida diaria, aplicamos una variedad de formas válidas conocidas nuestras por experiencias anteriores. Sin embargo, el método de la tabla de verdad tiene una gran ventaja, siempre es aplicable y es puramente automático. Y podemos además conseguir una computadora para probar la validez de argumentos que implican proposiciones compuestas.

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A continuación, estudiaremos cómo la utilización sistemática de las tablas de verdad permite afrontar problemas lógicos mediante un verdadero y apropiado cálculo.

Consideraremos, para empezar, el siguiente razonamiento:

Al transcribirlo al lenguaje simbólico adquiere la forma siguiente:

Según la tabla de verdad, una proposición implica tautológicamente una proposición si y sólo si la condicional es una tautología. Así, una implicación tautológica es una tautología cuya forma es la de una proposición condicional. Ahora, un razonamiento es válido si implica la conclusión. Cuando se dice que una conclusión es de implicación tautológica, se indica con ello que la condicional correspondiente es una tautología. Si nos fijamos detenidamente en la traducción del razonamiento anterior podemos ver cómo su fórmula proposicional corresponde a una condicional. Por lo tanto, si podemos demostrar que la condicional correspondiente es una tautología, entonces podemos afirmar que el razonamiento es válido.

Por consiguiente, someteremos a prueba el razonamiento anterior:

T T T T T

T F F F T

F T T F T

F F T F T

Siendo la conclusión una implicación tautológica, podemos concluir que el razonamiento anterior es válido. De esta manera, mediante la tabla de verdad podemos demostrar la validez o no validez de un razonamiento. Cuando se afirma que un razonamiento es válido, se indica con

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ello que la condicional correspondiente es una tautología. Por lo tanto, un razonamiento es válido sólo si la condicional correspondiente es una tautología. Traduzca el siguiente razonamiento y demuestre su validez mediante la tabla de verdad:

T T T T F T F T

T T F T T T T T

T F T F F T F T

T F F F T F F T

F T T F F T F T

F T F F T F F T

F F T F F T F T

F F F F T F F T

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Formalice el argumento y diga si es válido o no válido.

T T T F T T T T T

T T F F T F T F T

T F T F T T T T T

T F F F T T T T T

F T T T T T T T T

F T F T T F F F T

F F T T F T T F T

F F F T F T F F T

1-Si las habitaciones son escasas o la gente quiere vivir con sus padres, entonces no es negocio. Las habitaciones son escasas o la gente quiere vivir con sus padres. Por lo tanto, no es negocio.

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⊤

2-Estudio si y sólo si me llevan a París en las vacaciones. Me llevan a París en las vacaciones. Por lo tanto, estudio.

⊤

3-Si dos gases tienen la misma temperatura entonces sus moléculas tienen el mismo promedio de energía cinética Volúmenes iguales de dos gases tienen el mismo número de moléculas Las presiones de dos gases son iguales si es el mismo su número de moléculas y sus energías cinéticas son iguales. Por consiguiente, si dos gases tienen la misma temperatura y el mismo volumen, tienen la misma presión.

⊤

4-Todo número entero o es primo o es compuesto Si es compuesto es un producto de factores primos y si es un producto de factores primos es divisible por ellos. Pero si un número entero es primo no es compuesto aunque es divisible por sí mismo y por la unidad y consiguientemente, también divisible por números primos. Por tanto, todo número entero es divisible por números primos.

⊤

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La lógica se aplica principalmente en tres aspectos:

argumen

Dos importantes cuestiones que aparecen en el estudio de las matemáticas son:

Ahora bien, un es una secuencia o serie de proposiciones en la que una de ellas, llamada se infiere o se obtiene de las En lo que sigue intentaremos resolver estas dos preguntas describiendo varios tipos de argumentos matemáticos, correctos e incorrectos.

Un es una sentencia que se puede verificar que es verdadera. A veces a los teoremas se les llama

Demostramos que un teorema es verdadero mediante una secuencia de sentencias que constituyen un argumento llamado Para construir demostraciones se necesitan métodos para derivar sentencias nuevas a partir de las conocidas. Las sentencias que se utilizan en una demostración pueden incluir axiomas o postulados, que son suposiciones que subyacen a las estructuras matemáticas, hipótesis del teorema o teoremas demostrados previamente.

Las que son los medios usados para deducir conclusiones a partir de otras afirmaciones, enlazan los pasos de una demostración. En lo que sigue hablaremos sobre las reglas de inferencia, lo que ayudará a clarificar cómo construir una demostración correcta. Presentaremos varios métodos que se utilizan comúnmente para demostrar teoremas. El término o se emplea para cierto tipo de teoremas.

Un es un teorema sencillo utilizado en la demostración de otros teoremas. Demostraciones complicadas son a veces más fáciles de entender haciendo uso de lemas, los cuales se demuestran por separado.

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Un es una proposición que se puede establecer directamente a partir de un teorema que ya ha sido demostrado.

Una es una sentencia cuyo valor de verdad es desconocido. Cuando se encuentra una demostración para una conjetura, ésta se convierte en teorema. Muchas veces las conjeturas resultan ser falsas, por lo que no llegan a ser teoremas.

Los métodos de demostración que se describen a continuación son importantes no sólo porque se usan para demostrar teoremas matemáticos, sino por sus muchas aplicaciones en ciencias de la computación. Entre ellas, podemos citar:

Por consiguiente, entender las técnicas que se utilizan en las demostraciones es esencial tanto en las matemáticas como en las ciencias de la computación. Anteriormente usamos el método de la tabla de verdad, el cual es en el fondo un método semántico. La validez o no validez viene definida mediante el cálculo de las funciones de verdad de las proposiciones.

en cambio, propone un método que mediante reglas adecuadas sigue válidamente una conclusión partiendo de un conjunto de premisas. Este paso lógico de las premisas a la conclusión es una La conclusión que se obtiene es una consecuencia lógica de las premisas, si cada paso utilizado para obtener dicha conclusión es permitido por una regla. Y estas reglas, que permiten concluir válidamente una conclusión, son las

El procedimiento es el siguiente:se empieza con un conjunto de proposiciones simbolizadas que se denominan Luego se aplican las reglas de inferencia de una manera tal que nos permiten inferir, de esas premisas, una conclusión. Con el raciocinio, la verdad sólo se obtiene si se cumplen las dos condiciones siguientes:

Así, el conocimiento obtenido de proposiciones verdaderas preestablecidas, sin recurrir de manera directa a la experiencia y aplicando dichas leyes a estas premisas, se denomina conclusión.

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“Si una implicación es verdadera y además también es verdadero su antecedente, entonces su consecuente es necesariamente verdadero”. Simbólicamente:

⊤

“Si una implicación es verdadera y es falso su consecuente, entonces su antecedente será necesariamente falso”. Simbólicamente:

⊤

“Si una disyunción es verdadera y una de sus proposiciones es falsa, entonces necesariamente la otra proposición será verdadera”. Simbólicamente:

⊤ ⊤

El argumento denominado silogismo hipotético se enuncia así:

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⊤

“El consecuente de una premisa es el antecedente de otra y así sucesivamente. La conclusión contiene el antecedente de la primera premisa y el consecuente de la última”.

⊤ ⊤

“Si en un argumento cualquiera tenemos como premisa una proposición cuya conectiva es una conjunción, podemos anotar como conclusión, una de las dos proposiciones conjuntadas”.

"

La forma del argumento sería:

⊤

Dadas dos proposiciones cualesquiera, como premisas, aplicando la ley de conjunción puede formularse, como conclusión, una proposición que sea justamente la conjunción de las premisas.

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La forma del argumento es:

Dada una proposición cualquiera que se establece como premisa, la ley de adición permite obtener, como conclusión, una proposición disyuntiva en la que una de las alternativas es la premisa, en tanto que la otra disyuntiva puede ser cualquier otra proposición.

Esquema del argumento:

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Existen argumentos que exigen la aplicación de otras leyes, como las llamadas las cuales tienen como conectivo principal una

lo que indica que los enunciados son equivalentes.

El símbolo no es un conector lógico. Sin embargo, a veces, se usa este símbolo matemático en vez del conector lógico por comodidad.

1-Simbolice cada uno de los siguientes razonamientos, y demuestre si la conclusión de cada uno de ellos es consecuencia lógica de las premisas:

1.1-Si llueve y hace frío, entonces no iremos al cine. Llueve y hace frío. Por lo tanto, no iremos al cine.

1.2-Si estudio, entonces apruebo los exámenes. Si apruebo los exámenes, entonces me graduaré de médico. Si me gradúo de médico, entonces podré salvar muchas vidas humanas. Estudio. Por lo tanto, podré salvar muchas vidas humanas.

2-Simbolice y demuestre que las conclusiones de los siguientes razonamientos son consecuencia lógica de las premisas:

2.1-Si un ángulo de un triángulo es mayor de 90 grados, entonces la suma de los otros dos ángulos es menor de 90 grados. La suma de los otros dos ángulos no es menor de 90 grados. Por lo tanto, un ángulo de un triángulo no es mayor de 90 grados.

2.2-Si llueve, entonces no voy a tu casa. Voy a tu casa. Por lo tanto, no llueve.

2.3-Si el arrendatario se comporta correctamente, entonces el inquilino es responsable de las reparaciones. Si el inquilino es responsable de las reparaciones, entonces, el arrendatario se beneficia. El arrendatario no se beneficia. Por lo tanto, el arrendatario no se comporta correctamente.

3-Demuestre que las conclusiones son consecuencia lógica de los siguientes razonamientos:

3.1-O llueve o hace frío. Si llueve, entonces nos mojaremos. Si hace frío, entonces nos resfriaremos. Por lo tanto, nos mojaremos o nos resfriaremos.

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3.2- O la lógica es difícil o no le gusta a muchos estudiantes. Si la matemática es fácil, entonces la lógica no es difícil. Por lo tanto, si la matemática es fácil, entonces la lógica no le gusta a muchos estudiantes.

La demostración es un razonamiento que prueba la validez de un nuevo conocimiento. Es el enlace entre los conocimientos recién adquiridos y los conocimientos anteriores. Los procedimientos de demostración permiten establecer la conexión lógica entre las proposiciones fundamentales de la teoría, sus consecuencias sucesivas, hasta deducir la conclusión o tesis que así se demuestra. Los principales tipos de demostración son:

La demostración directa de una proposición es un conjunto de proposiciones o premisas que son postulados o proposiciones de validez aceptada y de las cuales se infiere como consecuencia inmediata.

Se realiza una demostración indirecta cuando se establece la validez de una tesis probando que las consecuencias de su contraria son falsas.

Se realiza cuando la tesis se prueba por medio de inducción matemática. A estos tipos de demostración se oponen dos métodos de refutación.

Razonamiento que prueba la falsedad de una hipótesis o la inconsecuencia de su supuesta demostración. Los métodos de refutación son:

⊥

⊥

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⊥

42

43

⊥

⊥

⊥

⊥

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⊥

⊥

⊥

⊥ ⊥

⊥ ⊥

⊥

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⊥

⊥

⊤

⊤

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⊤

⊤

┬

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Cuando a todas las variables de una función proposicional se le han asignado valores, la sentencia resultante se convierte en una proposición con un cierto valor de verdad. No obstante, hay otra forma importante, llamada cuantificación, de crear una proposición a partir de una función proposicional. Hablaremos acerca de dos tipos de cuantificadores, cuantificador universal y cuantificador existencial. El área de la lógica que trata con predicados y cuantificadores se llama cálculo de predicados o lógica de primer orden.

Los símbolos y se utilizan en matemáticas para enunciar proposiciones lógicas relativas a objetos matemáticos. A una palabra o una frase que indique cuántos objetos cumplen con determinada propiedad se le llama

Sea un conjunto y una proposición o propiedad que hace referencia a un elemento

Muchas sentencias matemáticas imponen que una propiedad es T para todos los valores de una variable en un dominio particular universo del discurso o dominio

Tales sentencias se expresan utilizando un cuantificador universal. La cuantificación universal de una función proposicional es la proposición que afirma que p x es T para todos los valores x del dominio. El dominio especifica los posibles valores de la variable x.

La expresión se lee así

Para todo x que pertenece a A, se verifica p x p x es T para todos los valores x del dominio para cada x, p x es T o para cualquier x p x

Cuál es el valor de verdad de la cuantificación donde el dominio consiste en todos los números reales

Como es T para todo número real x, la cuantificación es T.

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1-Halle un contraejemplo para cada uno de los enunciados siguientes, donde

2-Halle un contraejemplo para cada enunciado, donde conjunto universal:

3-Denotemos por la sentencia ¿Cuáles son los valores de verdad siguientes?

4-Denotemos por la sentencia ¿Cuáles son los valores de verdad siguientes?

5-Sea la sentencia Si el dominio consiste en todos los enteros, ¿cuáles son los valores de verdad?

6-Sea el conjunto universal. Determine el valor de verdad de cada enunciado: