lógica proposicional parte 2

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Lógica proposicional … (continuación)

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Page 1: Lógica proposicional parte 2

Lógica proposicional … (continuación)

Page 2: Lógica proposicional parte 2

Condicionalidad “si p entonces q”

• Se considera falsa solo si el antecedente p (es verdadero) y el consecuente q (es falso)

• En cualquier otro caso la proposición condicional se considera verdadera.

• Solo lo que decimos sobre los objetos tiene valor de verdad

Page 3: Lógica proposicional parte 2

CONDICIONAL (si p entonces q)P = me gano la lotería

q = te regalo un auto

• Se representa por el símbolo

Si me gano la lotería entonces te regalo un auto

p q

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Page 4: Lógica proposicional parte 2

BICONDICIONAL La bicondicionalidad de la proposición es verdadera si:

Ambas proposiciones son verdaderas.

Ambas proposiciones son falsas.

Y es falsa, cuando alguna de las proposiciones involucradas es falsa.

• Se representa por p q se lee “p si y solo si q “

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Page 5: Lógica proposicional parte 2

Ejemplos:

• Si apruebo el examen de admisión con la calificación requerida ingresare a la universidad en la carrera que quiero.

Si y sólo si

Habrá cosecha si llueve

El triangulo es equilátero si todos sus lados son iguales

Page 6: Lógica proposicional parte 2

Ejemplo 1:

¿Es C mas grande que el 75% de B?

(1) C = 600

(2) B = 800

Page 7: Lógica proposicional parte 2

Ejemplo 1

Analizando la declaración 1:

Si C es verdadera entonces:

Si C= 600 y si 600 es el 75% de B, entonces:

C = .75 B

B = C/.75

B = 800

Page 8: Lógica proposicional parte 2

Ejemplo 1

Partiendo de la declaración (2)

Si B = 800 y C = .75 B

Entonces C = 600

Page 9: Lógica proposicional parte 2

Consideraciones:

Analizando cada una de las declaraciones:

• ¿ Cuál de ellas me permite llegar a una conclusión?

• ¿Cuál es la conclusión?

• ¿Cumple o no cumple lo que me están preguntando?

• La respuesta a la pregunta es:

Page 10: Lógica proposicional parte 2

Respuestas:

• Analizando cada una de las declaraciones, ¿con cual de ellas llego a la misma conclusión?

CON AMBAS

Page 11: Lógica proposicional parte 2

Respuestas:

• Analizando cada una de las declaraciones, ¿con cual de ellas llego a la misma conclusión?

CON AMBAS

• ¿Cuál es la conclusión?

C = 75% B

Page 12: Lógica proposicional parte 2

Respuestas:

• Analizando cada una de las declaraciones, ¿con cual de ellas llego a la misma conclusión?

CON AMBAS

• ¿Cuál es la conclusión?

C = 75% B

• ¿Cumple o no cumple lo que me están preguntando?

NO

Page 13: Lógica proposicional parte 2

Respuestas:

• Analizando cada una de las declaraciones, ¿con cual de ellas llego a la misma conclusión?

CON AMBAS • ¿Cuál es la conclusión? C = 75% B• ¿Cumple o no cumple lo que me están preguntando? NO• La respuesta a la pregunta es:

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

C no es mas grande que 75% de B, C = .75(B)

Page 14: Lógica proposicional parte 2

Cambiando el enfoque y analizando:

¿Son suficientes los datos que me proporcionan en las declaraciones para contestar?

Page 15: Lógica proposicional parte 2

Ya vimos que si hay elementos para responder.

Ahora, si en lugar de enfocarnos en la respuesta, nos enfocamos en las declaraciones que nos proporcionan la información para obtener una conclusión. ¿Qué podemos decir al respecto?

Page 16: Lógica proposicional parte 2

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

¿Se cumple que?

La declaración (1) por si sola es suficiente y la declaración (2) por si sola no es suficiente.

Page 17: Lógica proposicional parte 2

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

¿Se cumple que?

La declaración (2) por si sola es suficiente y la declaración (1) por si sola no es suficiente.

Page 18: Lógica proposicional parte 2

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

¿Se cumple que?

Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna sola es suficiente.

Page 19: Lógica proposicional parte 2

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

¿Se cumple que?

Cada declaración sola es suficiente

Page 20: Lógica proposicional parte 2

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

¿Se cumple que?

Las declaraciones 1 y 2 no son suficientes

Page 21: Lógica proposicional parte 2

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

Elegir:

A. La declaración (1) por si sola es suficiente y la declaración (2) por si sola no es suficiente.

B. La declaración (2) por si sola es suficiente y la declaración (1) por si sola no es suficiente.

C. Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna sola es suficiente.

D. Cada declaración sola es suficiente

E. Las declaraciones (1) y (2) no son suficientes

Page 22: Lógica proposicional parte 2

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

Page 23: Lógica proposicional parte 2

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

Analizando la declaración 1, concluyo que B = 800

Analizando la declaración 2, concluyo que C = 600

Page 24: Lógica proposicional parte 2

¿Es C mas grande que el 75% de B?(1) C = 600(2) B = 800

Analizando la declaración 1, concluyo que B = 800

Analizando la declaración 2, concluyo que C = 600

Respuesta:

D. Cada declaración sola es suficiente

Page 25: Lógica proposicional parte 2

Ejercicio 2

• Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?

(1) p/3q = 1/6

(2) q = p + 1

Page 26: Lógica proposicional parte 2

Ejercicio 2

• Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?

(1) p/3q = 1/6

(2) q = p + 1

Declaración 1:

p= ½ q q=2p

Sustituyendo:

p/2p < 2p/p, entonces eliminando las p

½ < 2/1 esto es : .5 < 2

verdadero y si cumple

Page 27: Lógica proposicional parte 2

Ejercicio 2

• Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?

(1) p/3q = 1/6

(2) q = p + 1

Declaración 2:

Si q esta dado en función a p, entonces por cada valor que se asigne a p, se obtendrá un valor de q; esto es: Si p = 1 entonces q = 2, aplicando estos valores tendríamos que:

½ < 2/1, por lo tanto se cumple la relación.

Page 28: Lógica proposicional parte 2

Ejercicio 2• Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?

(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

Declaración 1:p= 2q q=2p

Sustituyendo: p/2p < 2p/pEliminando las p, nos queda:½ < 2/1 esto es : .5 < 2 verdadero y si cumple

Declaración 2:Si q esta dado en función a p, entonces por cada valor que se asigne a p, se obtendrá un valor de q; esto es: Si p = 1 entonces q = 2, aplicando estos valores tendríamos que:½ < 2/1, por lo tanto se cumple la relación.

Page 29: Lógica proposicional parte 2

Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

¿Se cumple que?

La declaración (1) por si sola es suficiente y la declaración (2) por si sola no es suficiente.

Page 30: Lógica proposicional parte 2

Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

¿Se cumple que?

La declaración (2) por si sola es suficiente y la declaración (1) por si sola no es suficiente.

Page 31: Lógica proposicional parte 2

Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

¿Se cumple que?

Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna sola es suficiente.

Page 32: Lógica proposicional parte 2

Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

¿Se cumple que?

Cada declaración sola es suficiente

Page 33: Lógica proposicional parte 2

Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

¿Se cumple que?

Las declaraciones 1 y 2 no son suficientes

Page 34: Lógica proposicional parte 2

Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

Elegir:

A. La declaración (1) por si sola es suficiente y la declaración (2) por si sola no es suficiente.

B. La declaración (2) por si sola es suficiente y la declaración (1) por si sola no es suficiente.

C. Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna sola es suficiente.

D. Cada declaración sola es suficiente

E. Las declaraciones 1 y 2 no son suficientes

Page 35: Lógica proposicional parte 2

Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

Analizando la declaración 1, concluyo que p/q < q/p

Analizando la declaración 2, concluyo que p/q < q/p

Page 36: Lógica proposicional parte 2

Si p > 0 y q > 0 ¿Es p/q < q/p?(1) p/3q = 1/6(2) q = p + 1

Analizando la declaración 1, concluyo que p/q < q/p

Analizando la declaración 2, concluyo que p/q < q/p

Respuesta:

D. Cada declaración sola es suficiente

Page 37: Lógica proposicional parte 2

Ejemplo 3:

• Si A, B y C son enteros positivos, ¿Qué porcentaje es A de C?

(1) A es 20% de B

(2) B es 30% de C

Page 38: Lógica proposicional parte 2

Ejemplo 3:

• Si A, B y C son enteros positivos, ¿Qué porcentaje es A de C?

(1) A es 20% de B

(2) B es 30% de C

La declaración 1 no me permite obtener información de A con respecto a C

Page 39: Lógica proposicional parte 2

Ejemplo 3:

• Si A, B y C son enteros positivos, ¿Qué porcentaje es A de C?

(1) A es 20% de B

(2) B es 30% de C

La declaración 2 no me permite obtener información de A con respecto a C

Page 40: Lógica proposicional parte 2

Solución:

La única forma en que se puede resolver es utilizando ambas declaraciones

A = .20 B

B = .30 C

Entonces A = .20 (.30) C

y A = .06 C

Page 41: Lógica proposicional parte 2

Si A, B y C son enteros positivos, ¿Qué porcentaje es A de C?(1) A es 20% de B(2) B es 30% de C

Elegir:

A. La declaración (1) por si sola es suficiente y la declaración (2) por si sola no es suficiente.

B. La declaración (2) por si sola es suficiente y la declaración (1) por si sola no es suficiente.

C. Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna sola es suficiente.

D. Cada declaración sola es suficiente

E. Las declaraciones 1 y 2 no son suficientes

Page 42: Lógica proposicional parte 2

Si A, B y C son enteros positivos, ¿Qué porcentaje es A de C?(1) A es 20% de B(2) B es 30% de C

Analizando la declaración 1, no puedo resolver

Analizando la declaración 2, no puedo resolver

Page 43: Lógica proposicional parte 2

Si A, B y C son enteros positivos, ¿Qué porcentaje es A de C?(1) A es 20% de B(2) B es 30% de C

Analizando la declaración 1, no puedo resolver

Analizando la declaración 2, no puedo resolver

Utilizando la información de ambas declaraciones juntas, obtengo que A =.06 C

Page 44: Lógica proposicional parte 2

Si A, B y C son enteros positivos, ¿Qué porcentaje es A de C?(1) A es 20% de B(2) B es 30% de C

Analizando la declaración 1, no puedo resolver

Analizando la declaración 2, no puedo resolver

Utilizando la información de ambas declaraciones juntas, obtengo que A =.06 C

Respuesta:

C. Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna sola es suficiente.

Page 45: Lógica proposicional parte 2

Ejemplo 4:

Encontrar la razón de z/x si se sabe que:

xy = 6 – x/z

(1) x y z = 20

(2) y z = 10

Page 46: Lógica proposicional parte 2

Ejemplo 4:

Encontrar la razón de z/x si se sabe que:

xy = 6 – x/z

(1) xyz = 20

(2) yz = 10

De (1) podemos deducir que:

20 – z = 6 – x/z

14 = z – (x/z)

Page 47: Lógica proposicional parte 2

Ejemplo 4:

Encontrar la razón de z/x si se sabe que: xy = 6 – x/z(1) xyz = 20(2) yz = 10

De (2) sabemos que y = 10 /z entonces:x(10/z) = 6 –x/z10 (x/z) + (x/z) = 611x/z =611x = 6z por lo tanto z/x = 11/6

Page 48: Lógica proposicional parte 2

Ejemplo 4:

Encontrar la razón de z/x si se sabe que:xy = 6 – x/z

(1) x y z = 20(2) y z = 10

Utilizando ambas declaraciones:x=2 yz=10

20/z = 6 –x/z20/z + x/z = 6 1/z ( 20+x) = 620+x = 6z20 + 2 = 6z22 = 6 zz = 22/6

z/x = 22/6/2/1 = 22/(6*2) = 11/6

Page 49: Lógica proposicional parte 2

Ejemplo 4: (otra forma de resolver)

Encontrar la razón de z/x si se sabe que: xy = 6 – x/z(1) x y z = 20(2) y z = 10

Multiplicando la expresión dada por z para eliminar el denominador:

xyz = 6z – x

De (1) podemos deducir que 20 = 6z – x no permite resolver

De 2 sabemos que yz = 10 entonces:x(10) = 6z –x10 x + x = 6z11x =6z11x = 6z por lo tanto z/x = 11/6

Entonces concluimos que la declaración 2 por si sola es suficiente.

Page 50: Lógica proposicional parte 2

Encontrar la razón de z/x si se sabe que: xy = 6 – x/z(1) xyz = 20(2) yz = 10

Elegir:

A. La declaración (1) por si sola es suficiente y la declaración (2) por si sola no es suficiente.

B. La declaración (2) por si sola es suficiente y la declaración (1) por si sola no es suficiente.

C. Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna sola es suficiente.

D. Cada declaración sola es suficiente

E. Las declaraciones 1 y 2 no son suficientes

Page 51: Lógica proposicional parte 2

Encontrar la razón de z/x si se sabe que: xy = 6 – x/z(1) xyz = 20(2) yz = 10

A. La declaración (1) por si sola es suficiente y la declaración (2) por si sola no es suficiente.

B. La declaración (2) por si sola es suficiente y la declaración (1) por si sola no es suficiente.

C. Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna sola es suficiente.

D. Cada declaración sola es suficiente

E. Las declaraciones 1 y 2 no son suficientes