lógica proposicional - wikillerato

Navegacin

PortadaPortal de lacomunidadCambios recientesPgina aleatoriaAyudaFAQs

Herramientas

Lo que enlaza aquCambios enenlazadasSubir archivoPginas especialesVersin paraimprimirEnlace permanente

Bscanos en Facebook

Wikillerato

A 3428 personas les gustaWikillerato.

Me gustaMe gusta

Lgica proposicionalDe Wikillerato

Saltar a navegacin, bsquedaTwittear 0 0Me gustaMe gusta

Una de las razones que motiv la aparicin de la lgica matemtica, fue evitar la ambigedaddel lenguaje natural y transformar el pensamiento en un clculo, segn el modo de operar delas matemticas. Simplificar o simbolizar las oraciones o juicios para poder operar con ellas,as surge el lenguaje formal.

Tabla de contenidos

[ocultar]

1 Lenguaje formal2 Valores de verdad

2.1 Proposicin conjuntiva2.2 Proposicin disyuntiva inclusiva2.3 Proposicin disyuntiva exclusiva2.4 Proposicin condicional2.5 Proposicin bicondicional2.6 Proposicin negativa

3 Proposiciones atmicas y moleculares. Las tablas de verdad tablas veritativas4 Leyes lgicas

4.1 Idempotencia4.2 Asociativa4.3 Conmutativa4.4 Identidad4.5 Absorcin4.6 Distributiva4.7 De Morgan4.8 Doble negacin4.9 Regla de sustitucin

5 Ejercicios5.1 Ejercicio 15.2 Ejercicio 25.3 Ejercicio 35.4 Ejercicio 4

6 El razonamiento o inferencia6.1 Modus ponendo ponens o modus ponens6.2 Modus tollendo ponens6.3 Modus tollendo tollens6.4 Ley conjuntiva6.5 Ley simplificativa

Patrocinado por PHPDocX

Lgica proposicional - Wikillerato http://www.wikillerato.org/index.php?title=Lgica_proposicional&printa...

1 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

6.6 Ley aditiva6.7 Silogismo condicional o ley transitiva6.8 Ley de transposicin6.9 Ley de traslacin6.10 Dilema constructivo6.11 Dilema destructivo

7 Prueba formal de invalidez8 Prueba formal de validez

8.1 Ejemplo 18.2 Ejemplo 28.3 Ejemplo 38.4 Ejemplo 48.5 Ejemplo 58.6 Ejemplo 6

Lenguaje formal

Consiste en abreviar o simbolizar las oraciones o juicios, que en la lgica matemtica sellaman proposiciones. Estas proposiciones se reducen en el lenguaje formal a una sola letra,que llamamos variable, y la simbolizamos con las letras minsculas del alfabeto que van dela hasta el final del abecedario.

Si digo por ejemplo: Antonio ama a Piedad, esta proposicin queda simbolizada en ellenguaje formal mediante la variable o , o

, o .

Adems de estas variables, la lgica proposicional utiliza otros smbolos, llamadosconstantes, cuyo significado siempre es el mismo, ya que modifican o unen a las variables.Estos smbolos constantes se llaman funtores, juntores, conectivas u operadores lgicos.

Cuando el funtor afecta a una sola variable, se llama mondico, como por ejemplo el negador( ) que se lee en el lenguaje natural no, y se sita encima de la letra variable,

, no . Cuando afectan a ms de una variable, son polidicos. Losfuntores ms importantes son:

Conjuntor , y en el lenguaje natural.

Disyuntor , o.

Condicional, si... entonces.

Bicondiconal, si y slo si... entonces.

Disyuncin exclusiva, o... o, una proposicin excluye a la otra.

El negador adems de ser un funtor mondico es decir que afecta a una variable, puedeser polidico, cuando afecta a ms de una variable o a una expresin entera.

Hay que tener siempre en cuenta, que las variables simbolizan oraciones enteras y no slopalabras o nombres:

Ejemplos de simbolizacin de oraciones, del lenguaje natural al lenguaje formal:


2 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

La conjuncin: Juan juega y Pedro estudia.1.La disyuncin: Llueve o nieva.2.El condicional: Si estudias entonces aprendes.3.El bicondicional: Si y slo si tienes dieciocho aos puedes votar.4.La disyuncin exclusiva: O te quedas o te vas.5.La negacin: Manolo no juega limpio.6.

A veces el negador puede afectar a ms de una variable o a la conjuncin, o disyuncin deambas:

Es falso que estudies o trabajes.

Valores de verdad

En la gramtica estamos acostumbrados a ver que las oraciones pueden ser verdaderas ofalsas, segn se ajusten o no a la realidad que expresan, por ejemplo si llueve y digo quehace sol, esa oracin es falsa. En cambio la lgica considera que las proposiciones puedenser verdaderas o falsas con independencia de que en la realidad lo sean; por eso habla devalores de verdad.

Una proposicin [ ] puede ser indistintamente verdadera o falsa; cuando esverdadera, le damos valor 1, cuando es falsa, le adjudicamos el valor 0. Segn esto lavariable , puede tener los siguientes valores:

1 1 0 0

1 0 1 0

Cuando siempre tiene valor 1, hablamos de tautologa de .Cuando siempre es falsa, contradiccin de . Si p es primero verdadera yluego falsa, afirmacin de . Cuando es primero falsa y luego verdadera,negacin de .

Si consideramos los valores de dos variables conjuntamente, las posibilidades aumentansegn el grfico siguiente:

1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0

1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0

Las dos primeras columnas indican los cuatro valores posibles que pueden tener dosproposiciones simples, si se consideran sus valores a la vez: las dos verdaderas, la primera


3 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

verdadera y la segunda falsa, la primera falsa y la segunda verdadera y las dos falsas.

Las restantes diecisis columnas representan los valores de verdad o falsedad, de cada una delas diecisis proposiciones de orden dos.

Entre estas proposiciones, hay algunas que tienen especial inters en lgica, segn los valoresque adoptan las variables cuando estn afectadas por funtores:

Proposicin conjuntiva

1 1 1

1 0 0

0 0 1

0 0 0

La conjuncin es verdadera slo cuando ambas variables lo son y es falsa en los dems casos.

Se lee y .

Proposicin disyuntiva inclusiva

1 1 1

1 1 0

0 1 1

0 0 0

La disyuncin es verdadera en todos los casos menos cuando vale 0 y vale 0.

Se lee .

Proposicin disyuntiva exclusiva

1 0 1

1 1 0

0 1 1

0 0 0

La disyuncin exclusiva es verdadera cuando una variable es verdadera y la otra falsa, y esfalsa en los dems casos.

Se lee excluye a .

Proposicin condicional


4 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

El condicional es verdadero en todos los caso menos cuando vale 1 y vale 0.

Se lee condiciona a .

Proposicin bicondicional

1 1 1

1 0 0

0 0 1

0 1 0

El bicondicional es verdadero cuando ambos son verdaderos o cuando ambos son falsos, y esfalso en los dems casos.

Se lee bicondiciona a .

Proposicin negativa

1 0

0 1

La negacin - que se lee no -, cambia el valor de la variable que se niega:slo es verdadera si es falsa y es falsa si es verdadera.

Proposiciones atmicas y moleculares. Las tablas deverdad tablas veritativas

En Qumica se aprende que los cuerpos estn formados de tomos que se asocian formandomolculas; cuando una proposicin consta de una sola variable la llamamos proposicinatmica, y, cuando consta de muchas variables, proposicin molecular.

Para hallar el valor de verdad de una proposicin molecular, hay que descubrir el funtorcapital, aquel que liga ms, es decir que une o liga toda la expresin.

Un mecanismo sencillo para conocer el valor del funtor capital en una proposicin moleculares el llamado mtodo de las tablas de verdad.


5 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

Sirve de ayuda para localizar al funtor capital, la utilizacin de parntesis y corchetes:

En esta expresin se ve con claridad que el funtor capital es el condicional, que une todo elcorchete con .

El modus operandi es ir encontrando el valor de verdad primero de los funtores que liganmenos, hasta llegar en ltimo lugar al funtor capital.

1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 00 1 1 0 0 1 10 1 0 0 0 1 0

En esta expresin, se comienza hallando el valor del condicional en el primer parntesispuesto que une a la con la ; despus laconjuncin que une el resultado del condicional con la dentro del corchete;y por ltimo el condicional que une el resultado recin hallado de la conjuncin con la ltimavariable .

Cuando en la tabla aparece en todos los lugares de funtor capital el valor 1, la expresin esuna tautologa o identidad. Si en todos los lugares el valor es 0, es una contradiccin.Finalmente cuando en el funtor capital encontramos valores de 1 y de 0, la proposicin esindeterminada.

Dos proposiciones son equivalentes si tienen la misma tabla veritativa:

1 1 1 0 1 11 0 0 0 0 00 1 1 1 1 10 1 1 1 1 0

Segn se observa en este ejemplo, el resultado del condicional en el primer parntesis, es elmismo que el resultado de la disyuncin en el segundo parntesis. Estas proposiciones sonpor tanto, equivalentes; esto quiere decir que pueden ser sustituidas una por la otra.

Dada cualquier expresin, se puede sustituir por otra equivalente, esta afirmacin se conocecon el nombre de principio o regla de sustitucin.

Leyes lgicas

Todas aquellas proposiciones tautolgicas son leyes de la lgica proposicional. Por ejemplo:

1 1 00 1 1


6 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

Es una ley lgica que ya conoci Aristteles con el nombre de tercero excluido o tertioexcluso.

Las leyes lgicas son muy numerosas, pero hay algunas muy importantes que se refieren a laconjuncin, disyuncin y negador (La significa tautologa y la contradiccin):

Idempotencia

Asociativa

Conmutativa

Identidad

Absorcin

Distributiva

De Morgan

Doble negacin


7 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

Para desarrollar la lgica proposicional no es necesario utilizar todos los funtores, essuficiente hacerlo con un nmero mnimo, son los funtores primitivos, a partir de losprimitivos se obtienen los derivados.

La conjuncin, disyuncin y el negador son los primitivos, ya que gracias a la regla desustitucin, los dems funtores como el condicional o el bicondicional se pueden reducir aellos:

Regla de sustitucin

1.

2.

Ejercicios

Hallar la tabla veritativa de las siguientes expresiones:

En primer lugar hallamos los valores del primer parntesis, despus los valores del otroparntesis; finalmente hallamos los valores del condicional relacionando los resultados deambos parntesis. La expresin es una tautologa.

Ejercicio 1

1 0 0 1 1 1 11 1 1 1 0 1 10 0 0 1 1 0 00 0 1 1 0 1 0

Es una tautologa.

Ejercicio 2

1 1 1 1 1 0 01 0 0 1 1 1 10 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1

Ejercicio 3

1 1 1 1 1 0 0


8 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

1 0 0 1 1 1 10 0 1 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0

Es una tautologa.

Ejercicio 4

1 1 1 1 0 0 01 0 0 0 0 0 10 0 1 0 1 0 00 0 0 1 1 1 1

El razonamiento o inferencia

Hasta aqu hemos considerado las proposiciones y sus conexiones. Ahora vamos a observarla relacin interna de las proposiciones y el modo de progresar en el conocimiento,obteniendo conclusiones a partir de proposiciones ya conocidas. Es el razonamiento oinferencia.

Razonar es un proceso progresivo de la mente, que va de unas proposiciones ya conocidasllamadas premisas a otra nueva llamada conclusin. La conclusin est en parte contenida enlas premisas, de modo que para que el razonamiento est bien construido tiene que haber unarelacin de necesidad entre las premisas y la conclusin. La conclusin se derivanecesariamente de las premisas. Por ejemplo, cuando descargo un camin de muebles,extraigo stos del interior, y es en ese momento cuando puedo apreciarlos en su conjunto.Sacar conclusiones es derivarlas de las proposiciones anteriores o premisas:

"Si estudio, aprendo. Es as que estudio, luego aprendo".

La conclusin de un razonamiento es la proposicin que se afirma sobre la base de las otrasproposiciones que nos dan los elementos de juicio o razones para aceptar la conclusin.

En el lenguaje formal la conclusin va precedida del smbolo que se lee "luego".

El razonamiento anterior se simboliza:

1. ( primera premisa )2. ( segunda premisa )

(conclusin)

Un razonamiento bien construido puede ser falso en su contenido material, por ejemplo sidigo:

"Todos los burros vuelan".


9 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

"Platero es un burro".

Luego "Platero vuela".

El razonamiento es materialmente falso pero es vlido lgicamente porque est bienconstruido. A la lgica slo le importa la validez formal.

Otro ejemplo descabellado puede ser:

"La tierra est formada de plastilina".

"Mi brazo forma parte de la tierra".

Luego "Mi brazo est formado de plastilina".

El razonamiento es lgica o formalmente verdadero porque la lgica busca que la conclusinse derive necesariamente de las premisas, y no una verdad de hecho.

Puede darse el caso, sin embargo, de razonamientos que sean verdaderos materialmente yvlidos formalmente, por ejemplo:

"Quien no se presente a examen, suspender".

"Pepa no se ha presentado".

Luego "Pepa suspende".

En resumen, en lgica no interesa tanto la verdad o falsedad de las proposiciones, sino lasrelaciones lgicas que existen entre ellas.

Un razonamiento es vlido cuando la conclusin se deriva necesariamente de las premisas yes invlido cuando la conclusin no se deriva de las premisas.

Ejemplos de razonamiento:

1. 2. 3. 4.

Tambin pueden escribirse: , ; ,etc.

Cmo se puede saber si un razonamiento es o no vlido sin necesidad de traducirlo allenguaje natural?

Podemos hacerlo mediante las tablas veritativas.

Modus operandi:

1. Se hallan las tablas de cada una de las premisas y de la conclusin.2. Si se da el caso de que teniendo valor verdadero las premisas, la conclusin es falsa, lainferencia es invlida.3. Si la conclusin es verdadera al igual que las premisas, el razonamiento es vlido. Por


10 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

ejemplo:


(conclusin)

1 0 11 0 11 1 10 1 0

La columna de la izquierda expresa los valores de la disyuncin de ; los del centro lasegunda premisa que es , y la ltima columna los valores de la conclusin

.

Vemos que no hay ningn caso en que siendo verdaderas ambas premisas, la conclusin seafalsa. Luego el razonamiento es vlido.

Si razonamos as:


(conclusin)

1 1 0 1 1 1 11 0 1 1 1 0 00 1 0 0 1 1 00 0 1 1 0 1 0

En la tercera fila se observa que, siendo verdaderas las dos premisas, la conclusin es falsa,luego el razonamiento es invlido. De este modo podemos comprobar la validez de muchosrazonamientos.

Algunos razonamientos vlidos, son leyes lgicas como las que anteriormente hemosexpuesto, y sirven tambin para calcular la validez de otros razonamientos.

Los ms usados son:

Modus ponendo ponens o modus ponens

,


11 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

Modus tollendo ponens

,

,

Modus tollendo tollens

,

Ley conjuntiva

,

Ley simplificativa

Ley aditiva

Silogismo condicional o ley transitiva

,

Silogismo condicional, es aquel en que la premisa mayor es una proposicin condicional y lamenor una categrica. Por ejemplo:

Si Pedro es mayor de edad, puede emanciparse;

Pedro es mayor de edad,

Luego Pedro puede emanciparse.

Recordando la regla de verdad de las proposiciones condicionales, suceder en este silogismoque de la verdad de la condicin se seguir la del condicionado. Efectivamente, un silogismocondicional no es ms que una proposicin condicional ms desarrollada. En ambasoperaciones mentales la conexin entre el antecedente y el consecuente debe ser necesaria.Las conclusiones deben venir por causalidad lgica.

Ley de transposicin

Ley de traslacin

Dilema constructivo


12 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

,Dilema destructivo

,

Para conocer la validez o invalidez de un razonamiento, existen otros dos procedimientosms rpidos que las tablas de verdad: la prueba formal de invalidez y la prueba formal devalidez.

Prueba formal de invalidez

Se trata de una demostracin indirecta por reduccin al absurdo. Si la conclusin tiene valor0, es falsa, y las premisas pueden tener valor 1, el razonamiento es invlido.

Modus operandi:

Se da valor 0 a la conclusin y se intenta que todas las premisas adquieran valor de verdad -operando como hacamos en las tablas veritativas -. Si las premisas son verdaderas y laconclusin falsa, el razonamiento es invlido.

Por ejemplo:

1.2.3.

Operamos as:

1.1/0 1 1

2.1 1 0

3.1 1 0

0

El razonamiento es invlido, ya que hemos podido dar valor 1 a las premisas, siendo falsa laconclusin.

Consideremos ahora el siguiente razonamiento:

1.0 1 1 1 0

2.1 0 0


13 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

1 0 0

Como la segunda premisa no puede tener valor 1, no se puede probar la invalidez delrazonamiento.

Sin embargo, para probar la validez de un razonamiento, es necesario adems realizar laprueba formal de validez.

Prueba formal de validez

Consiste en obtener la conclusin, a partir de las premisas utilizando las leyes de la lgica ylos razonamientos vlidos expuestos ms arriba.

Modus operandi:

Se numeran las premisas, y tambin cada uno de los pasos que se van dando, indicando a laderecha - en lenguaje natural - la ley lgica que se aplica, hasta alcanzar la conclusin.

Ejemplo 1

Hallar la siguiente conclusin , a partir de las premisas:

1.

2.

Solucin:

3. Sustitucin del condicional en 1.

4. Ley de Morgan en 3.

5. Ley simplificativa en 4.


En este ltimo paso, alcanzamos la conclusin: , luego el razonamiento es vlido.

Ejemplo 2

Demostrar la siguiente conclusin , a partir de las premisas:

1.

2.

Solucin:


4. Sustitucin condicional en 3.


14 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

5. Ley de transposicin en 2.

6. Silogismo condicional o ley de transitividad entre 4 y 5.


Ejemplo 3

Traducir al lenguaje formal y demostrar por el mtodo de validez formal el siguienterazonamiento, tomado libremente de Los hermanos Karamazov de Fedor Dostoievsky:

1. Si Dios no existe, todo estara permitido.

2. Si Dios no existe, no habra normas morales.

3. Es as que hay normas morales.

Luego Dios existe.

En primer lugar transformamos el lenguaje natural en lenguaje formal:

1. Si Dios no existe, todo estara permitido:

2. Si Dios no existe, no habra normas morales:

3. Hay normas morales:

Luego Dios existe:

1.

2.

3.

Solucin:

Intentamos demostrar la conclusin , a partir de las tres premisas:

4. Modus tollendo tollens entre la premisa 2 y la 3.

Ejemplo 4

Demostrar la siguiente conclusin , a partir de las premisas:

1.

2.


15 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

Solucin:


4. Transposicin en 2.

5. Ley de transitividad en 3 y 4.


Ejemplo 5

Traducir al lenguaje formal y probar la validez del siguiente razonamiento:

No es verdad que estudias y trabajas.

Si quieres conseguir dinero entonces trabajas.

Luego si estudias entonces no consigues dinero.

1. No es verdad que estudias y trabajas:

2. Si quieres conseguir dinero entonces trabajas:

Luego si estudias entonces no consigues dinero:

1.

2.

Solucin:



5. Transposicin en 2.

6. Ley de transitividad entre 4 y 5.


Ejemplo 6

Traducir al lenguaje formal y probar la validez del siguiente razonamiento:

O me traes a casa, o no voy a la fiesta.

Si no llueve entonces voy a la fiesta.

Luego si no me traes a casa llueve.

1. O me traes a casa, o no voy a la fiesta:


16 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

2. Si no llueve entonces voy a la fiesta:

Luego si no me traes a casa llueve:

1.

2.

Solucin:


4. Ley de transposicin en 2.

5. Ley transitiva en 3 y 4.


En el momento en el que no pueda llegar a la conclusin de un razonamiento con laspremisas dadas, tiene que resolver el ejercicio por reduccin al absurdo. De esta forma(forma directa) pueden resolverse todos lo ejercicios de lgica proposicional pero siempreque le pidan que llegue a una conclusin debe hacerlo de forma indirecta antes, cuando estseguro de que no se puede hacer pase a hacerlo de forma directa. Para hacerlo de esta forma,tiene que sacar la negacin de la conclusin del razonamiento y utilizarlo como una premisams.

NOTA: cuando se est resolviendo un ejercicio por reduccin, no tiene que llegar a laconclusin, solamente buscar una contradiccin en el ejercicio.

Obtenido de "http://www.wikillerato.org/L%C3%B3gica_proposicional.html"

Twittear 0 0Me gustaMe gusta

Noticias de uso didctico tica y tutora cvicaHerramientas para el debate virtual en el Da de Internet15 May 2014El 17 de mayo se celebra el Da de Internet con objeto de dar a conocer lasposibilidades que ofrecen las nuevas tecnologas y ...

Propuestas para el Da Escolar de la No Violencia y la PazPropuestas TIC para orientar al alumno en el Black FridayHerramientas para el debate virtual en el Da de InternetAsana para fomentar el emprendimiento en el aula


17 de 17 13/03/2015 01:37 a.m.

lógica proposicional - wikillerato

Documents