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3

Lógica Proposicional I

CONJUNTO CONVEXO

1. Lógica proposicional: Es una parte de la lógica que tiene por objeto de

estudio las proposiciones y la relación entre ellas, así como la función que tienen las variables pro-posicionales y los conectivos lógicos.

2. Proposición lógica: También conocida como enunciado cerrado, es

un enunciado que posee valor de verdad. Se le denomina variable proposicional. Ejemplos:

Simples(Atómicas)

* Carlos es despístado

* Carlos es travieso

Compuestas(Moleculares)

* Carlos es travieso y despístado

* Es falso que Daniel sea actor de cine

3. Conectivos lógicos: a) Conjunción:

Conectiva: y/pero/e/sin embargo…..Operador: ∧/.

p ∧ qV V VV F FF F VF F F

b) Disyunción débil:Conectiva: o/u/...o…Operador: ∨

p ∨ qV V VV V FF V VF F F

c) Disyunción fuerte:Conectiva: o….o/o bien/….o bien….Operador: ∆ / ↔

p ∆ qV F VV V FF V VF F F

d) Condicional:

Conectiva: Si…. Entonces/por lo tantoOperador: → / ⇒

p → qV V VV F FF V VF V F

e) Bicondicional:

Conectiva: Si... y solo si.../Entonces y solo entoncesOperador: ↔ / ≡

p ↔ qV V VV F FF F VF V F

f) Negación:Conectiva: no/ni/ no es el caso queOperador: ∼ /

p ∼pF VV F

4

Trabajando en clase

Integral

1. Determina la matriz princi-pal de la siguiente proposición compuesta: (p ∧ q) ∨ q Resolución:

2. Determina los valores de ver-dad de r y p si se sabe que la proposición es falsa: ∼p ∨ r Resolución:

3. Señala la proposición com-puesta:a) Agripino y Cesarina son

hermanos.b) Los Heraldos Negros es una

obra de Cesar Vallejo.c) Joseph-Nicephore tomó la

primera fotografía en blan-co y negro.

d) Carlos y Richard van juntos al cine.

e) Daniel es profesor y Rosa es escritora.

PUCP

4. Simboliza mediante conecto-res lógicos: “Si Daniel y Agri-pina juegan fútbol, Margarito será el árbitro”.Resolución:

Si Daniel y Agripina juegan fútbol, ↓ Condicional

(p ∧ q)

Margarito será árbitro. rRespuesta:(p ∧ q) → r

4. Tablas de valores de verdad:* Evaluar un esquema molecular es obtener la matriz principal.* El número de valores que se asigna a cada variable es «2n», donde «n» es el número de variables.* Es importante jerarquizar los esquemas antes de evaluarlos.

Ejemplo:

p q (p ∧ q) → (p ∆ q)V V V V V F V F VV F V F F V V V FF V F F V V F V VF F F F F V F F F

1 3 222 = 4Valores

Matriz principal: FVVV

5. Clases de matrices principales: a) Tantología:

Todos los valores son verdaderos.

b) Contradicción: Todos los valores son falsos.

c) Contingente: Cuando entre todos los valores de la matriz principal hay por lo menos uno verdadero o uno falso.

5. Simboliza mediante conecto-res lógicos “Si tomas jugo de naranja o fresa, entonces esta-rás lleno”.Resolución:

6. Determina la matriz principal de la siguiente proposición compuesta: (p ∆ q) ↔ ∼r Resolución:

7. Si la proposición compuesta: [(p → q) ∨ (q ∨ ∼r)]

es falsa; determine los valores de verdad de p, q y r.Resolución:

5

UNMSM

8. Si la siguiente proposición es falso: (∼p ∧ q) → [(p ∨ r) ∨ t] determina el valor de la ver-dad de:I. ∼(∼p ∨ ∼q) → (r ∨ ∼t)II. (∼p → t) → (∼q → r)Resolución:( )

∴ p ≡ F q ≡ V r ≡ F t ≡ F

I. ∼(∼p ∨ ∼q) → (r ∨ ∼t) ∼(V ∨ F) → (F ∨ V) ∼V → V F → V ≡ V II. (∼p → t) → (∼q → r) (V → F) → (F → F) F → V ≡ V

9. Si la proposición:(p → ∼q) ∨ (∼r → s)

es falsa, determina los valores de verdad de las siguientes proposiciones:I. (∼p ∧ ∼q) ∨ ∼p II. (p → q) → rResolución:

10. Determina si la siguiente pro-posición es tanto lógica, con-tradictorio o contingente.

[(∼p ∧ q) → r] ↔ [(p ∧ q) ∆ ∼r]Resolución:

11. Determina el valor de verdad de las siguientes proposicio-nes:a) (3 + 5 = 9) ∧ (5 × 2 = 10)

b) 13 1815 5 + =

→ (32 = 5)

c) (23 = 8) ∆ ( 16 = –4) d) (–13 < 8) ↔ (8 + 1 > 9)

12. Dada la proposición: ∼[(r ∨ q) → (r → p)] ≡ V,

donde q es una proposición falsa. Determina el valor de verdad de las siguientes pro-posiciones:I. r → (∼p ∨ ∼q) II. [r ↔ (p ∨ q)] ↔ (q ∧ ∼p)III. (r ∨ ∼p) ∧ (q ∨ p)

(UNI 2013-I)

13. Si la proposición: [(∼p ∨ q) →(q ↔ r)] ∨ (q ∧ s) es falsa y “p” una proposición

verdadera, determina los valo-res de verdad de q, r y s en ese orden.

(UNI 2012-II)

14. Clasifica las siguientes propo-siciones como tautología (T), contradicción (F) o contin-gencia (C):I. (p → q) → ∼q II. (∼q ∨ q) ∆ [p ∆(p ∨ q)]III. (q ∆ ∼p) ↔ (p ∆ q)

Evaluando tu Aprendizaje

Lógica Proposicional II

6

PROPOSICIONES EQUIVALENTES

LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

CIRCUITOS LÓGICOS

Dos proposiciones son equivalentes cuando la bicondicional es una tautología y se denota como.A ≡ B

“A es equivalente a B”

1. Doble negación (involutiva)∼(∼p) ≡ p

2. Idempotencia:

p ∧ p ≡ p

p ∨ p ≡ p

3. Conmutativa:

p ∧ q ≡ q ∧ p

p ∨ q ≡ q ∨ p

4. Asociativa:p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ rp ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r)

5. Distributiva:p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

6. De Morgan:∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q

7. De la condicional: p→ q ≡ ∼p ∨ q p → q ≡ ∼q → ∼p (transposición) 8. De la bicondicional: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

9. Absorción: p ∧ (p ∨ q) ≡ p p ∨ (p ∧ q) ≡ p p ∧ (∼p ∨ q) ≡ p ∧ q p ∨ (∼p ∧ q) ≡ p ∨ q

10. Complemento: p ∨ ∼ p ≡ ∨; p ∧ ∼p ≡ F

11. Identidad: P ∨ V ≡ V P ∨ F ≡ P P ∧ V ≡ P P ∧ F ≡ F

Son, básicamente, un arreglo de interruptores conocido como compuertas lógicas, en el que cada compuerta lógica tiene su valor de verdad.

a) Circuito en serie:

Conjunción

b) Circuito en paralelo:

Disyunción débil

7

Trabajando en clase

Integral

1. Determina el circuito lógico para el siguiente esquema mole-cular: [{∼p ∨ q} ∧ {q ∨ s}]

2. Determina el esquema mole-

cular para el siguiente circuito lógico.

3. Utilizando las leyes del álgebra

de proposiciones, determina el equivalente más simple de la siguiente expresión.(p ∨ q) ∨ [(∼p ∧ ∼q) ∨ p]

PUCP

4. Reduce:

q

Resolución: Realizamos el esquema mole-

cular:

Absorción

(p q) q p (p q)∨ ∧ ∧ ∨ ∧ �

Absorción

q p (p q)∧ ∨ ∧ �

Conmutativa

q ( p q)∧ ∨�

Absorción

q (q q)∧ ∨ �

Rpta.: q

Nivel intermedio5. Reduce:

6. Reduce: [(p → q) ∧ q] ∧ [(q → p) ∧ p] 7. Indica el equivalente de la si-

guiente proposición: “Danie-la no va al cine o Daniela va al cine; pero no va con falda, implica que no va al cine pero tiene puesta su falda”.

UNMSM

8. Determina el esquema molecular de la siguiente proposición y da como respuesta su forma más re-ducida. “Si el triángulo tiene dos lados iguales, entonces el triángu-lo se llama isósceles y el triángu-lo no se llama isósceles, luego el triángulo no tiene dos lados igua-les”.Resolución:p = El triángulo tiene dos la-

dos iguales.q = El triángulo se llama isósceles.

Esquema: [(p → q) ∧ ∼q] → ∼p Ley condicional

[(∼p ∨ q) ∧ ∼q] → ∼p Absorción

(∼q ∧ ∼p) → ∼p Ley del condicional

∼(∼q ∧ ∼p) ∨ ∼p Morgan

(q ∨ p) ∨ ∼p Asociativa

q ∨ (∼p ∨ p) Complemento

q ∨ (∨) identidad

V

9. Determina el esquema mo-lecular de la siguiente propo-sición y da como respuesta su forma más reducida. “Si Saphira es española, entonces es aficionada a la fiesta brava y Saphira no es aficionada a la fiesta brava; por lo tanto, no es española”

10. Se define: p * q ≡ (p ∧ ∼q) ∨ (p ∧ q)

Simplifica: ∼[(p * ∼q) → (∼p * q)]

11. Si: P S q ≡ [(q ∧ p) → ∼p] ∧ ∼q

Simplifica: [(p ∨ q)Sq] → ∼q

12. Determina el equivalente de la siguiente proposición:

(p ∨ q) → (∼p ∧ q)

13. Indica el equivalente de la si-guiente proposición:

(p → ∼q) ∧ (∼q ∨ ∼p)

14. Simplifica:[(p → q) → p] ∧ [∼p → (∼p → q)]

(UNI 2012 – I)


Teoría de conjuntos I

8

NOCIÓN DE CONJUNTO

RELACIÓN DE PERTENENCIA

CARDINAL DE UN CONJUNTO

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

Se entiende por conjunto a una reunión, colección o agrupación de objetos abstractos y/o concretos que pueden o no tener una característica en común, a las cuales llamamos elementos del conjunto.Ejemplos:• Las flores * Los números• Los símbolos = a; b; 3; 8; ...

a. Por comprensión. (Constructiva) Se indica una característica común a los elementos.

b. Por extensión (tabular) Se indica uno por uno a los elementos del conjunto. Ejemplo: A = {x/x es una vocal} Comprensión A = {a; e; i; o; u} Extensión

Elemento conjunto(Pertenece)

∈

Ejemplo: A = {1: 3: {4}; 8}• 1 ∈ A • {4} ∈ A• 9 ∉ A • {8} ∉ A

Es la cantidad de elementos diferentes de un conjunto.Ejemplo:B = {1; 2; 2; 3; 3}→ n(B) = 3

a. Inclusión:

Conjunto Conjunto(Incluido en)

⊂→

Ejemplo:

9

b. Igualdad Dos conjuntos son iguales si sus elementos son iguales. Ejemplo: A = {R; O; M; A} b = {M; O; R; A}

PRINCIPALES CONJUNTOS

CUANTIFICADORES

OPERACIONES

a. Conjunto vacío o nulo: No tiene elementos se denota ∅ o { }

b. Conjunto unitario o singletón: Posee un solo elemento.

c. Conjunto universal: Conjunto que contiene otros conjuntos.

d. Conjunto potencia: Subconjuntos de un conjunto referencial.

Ejemplo: Si A = {x; y} →P(A) = {∅; {x}; {y}; {x; y}} Potencia de A Además = n[P(A)] = 2n(A)

n[P(A)] = 22 = 4

e. Conjuntos numéricos:

Q

Q’

Dónde: : Complejos I: Imaginarios : Reales Q: Racionales Q’= Irracionales : Enteros : Naturales

Clase Se lee

UNIVERSAL Para todoExistencial Existen al menos un

∀∃

1. Unión

2. Intersección

10

3. Diferencia

4. Diferencia simétrica

5. ComplementoCA ' A U A= = −

n(A)’ = n(u) – n(A)

Nota: 1. Conjunto disjuntos =

2. Conjuntos comparables =

Trabajando en clase

Integral

1. Determina el valor de las si-guientes proposiciones a par-tir del conjunto:

A = {0;1;2;3;4;5;{0;1};{3;4;5;{∅}} • 0∈A ( )• 1;2GA ( )• {3;4;5}∈A ( )• {3;4;5}⊂A ( )• ∅⊂A ( )• {∅}∉A ( )• {1;2}⊄A ( )• {∅}⊂A ( )

2. Si U = {1,2,3}, es el conjunto

universal, determina el valor de verdad de:I. 2x, y / x y 1∃ ∀ < + II. 2 2x, y / x y 12∀ ∃ + < III. 2 2x, y / x y 12∀ ∀ + < IV. 2 2x, y / x y 12∃ ∃ + <

3. Determina por extensión los si-guientes conjuntos y da como res-puesta la suma de sus cardinales.

{ }D (3x 1) z / x IN 2 x 5= − ∈ ∈ ∧ − ≤ <

{ }S (3x 1)/ x IN 2 x 5= − ∈ ∧ − ≤ <

PUCP

4. Si: { }24A x / x= ∈ y B y /18 y+ ° = ∈ =

Calcula: n(A) + n(B)

Resolución:

{ }24A x / B y /18 yx+ ° = ∈ ∧ = ∈ =

i) Si 24x

es entero, entonces x

es divisor de 24. A = {±1;±2;±3;±4;±6;±8;±12;±24}

ii) Si: 18 y múltiplo de "y"°= → { }B 1; 2; 3; 6; 9; 18= + + + + + +

n(A n(B)∩ + = Rpta.: 16 + 6 = 22

Nivel intermedio

5. Si: { }36D d / d= ∈ y

S a /20 a+ ° = ∈ =

Calcula: n(D) + n(S)

6. Determina el número de sub-conjuntos propios de M.

{ }x 1M x / x 4−= ∈ =

7. Determina el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:I. ( x R, x x) ( x R, x 1 x)∀ ∈ = ∧ ∃ ∈ + > II. 2( x R, x x) ( x Z, x 1 x 1)∀ ∈ ≠ ∧ ∃ ∈ + ≠ − III. ( x N, x 0) ( x Q, x 0)∃ ∈ ≠ → ∀ ∈ ≠ IV. ( x N, x 3 x) ( x R, x 1 x)∃ ∈ − ≤ → ∀ ∈ − ≥

11

UNMSM

8. Se tiene dos conjuntos donde uno está incluido en el otro si la diferencia de los cardinales de sus conjuntos potencias es 112, indica el número del ele-mentos que posee el conjunto que incluye al otro.

Resolución: Sean: A y B los conjuntos.

n(B) n(A)2 2 112− =

7 42 2 112128 16 112n(B) 7n(A) 4

− =− ===

Rpta.: 7

9. Se tiene dos conjuntos com-parables, cuyos cardinales se diferencian en 3 y la suma de los cardinales de sus conjuntos potencias es 288. DEermina el cardinal del conjunto que po-see menos elementos.

10. Calcula el cardinal de P(N) a partir de los siguientes con-juntos:

{ }D 2x / x ;0 x 6= ∈ < < { }x 4A / x D2

+= ∈

2y 1N / y A3+ = ∈

11. Dados los conjuntos:{ }M x / x esuncuadrilátero=

{ }N x / x esunparale log ramo=

{ }P x / x esun trapecio=

{ }Q x / x esun trapezoide= ¿Cuántas de las siguientes pro-

posiciones son verdaderas?I. P ⊄ MII. M ∈ Q III. Q ⊄ PIV. N ∉ Q V. P ⊂ Q

12. Calcula n(P) – n(Q) si P y Q son conjuntos contenidos en ∪:

{ }x 1 IN /2 x 323+∪ = ∈ < <

{ }P x U / x es par= ∈

{ }Q x U / x 7= ∈ <

13. Calcula n(D) + n(S) si D y S conjuntos contenidos en U

{ }x 3U IN /5 x 172+= ∈ < <

{ }D d U /des par= ∈

{ }S s U / s 8= ∈ ≤

14. Determina: A, B y C son con-juntos

Además: n(B – C) + n(C – B) = n(C)

n(B) = n(C);

(A) (B)n P n P 144 + =

n(A) = n(B) + 3 determina el valor de:

(A) (B C)n P n P ∩ +


Teoría de conjuntos II

12

DIAGRAMA DE VENN-EULER

DIAGRAMA DE CARROLL

Ejemplo:

U = a + b + c + d

No estudia Aritmética = a + dEstudia Aritmética o Álgebra = a + b + cEstudia Aritmética = b + cEstudia Álgebra = b + aEstudia solo un curso = a + c

Ejemplo:Bailan Nobailan Total

Hombres a m xMujeres b n yTotal c p z

Hombres = x = a + m

Mujeres = y = b + n

Bailan = c = a + b

No bailan = p = m + n

z = c + p = x + y = Total

* Por lo general = a = b

(Se baila en parejas)

Solo Álgebra = aSolo Aritmética = cÁlgebra y Aritmética = b

Ni álgebra ni aritmética = dNo estudia Álgebra = c + d

13

Trabajando en clase

Integral

1. Si Agripino sale con Cesarina 20 días y con Cuchita 18 días, durante el mes de setiembre, ¿cuántos días salió con am-bas?

2. En Danylandia se determinó que:• A la cuarta parte de la pobla-

ción no le gusta la natación ni el fútbol.

• A la mitad le gusta la nata-ción.

• A los 5/12 le gusta el fútbol. ¿A qué parte de la población

le gusta solamente uno de los deportes mencionados?

3. En la fiesta de graduación de los alumnos de quinto de se-cundaria de Pamer se observó que 80 mujeres y 70 hombres no bailan. Si asistieron 400 personas, ¿cuántas bailan?

PUCP4. Se hizo una encuesta a 50 per-

sonas sobre preferencias res-pecto a las revistas A y B. Si los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen solo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revis-tas, ¿cuántas personas leen la revista A?

Resolución:

12x

6x + 12x + 4x + 3x = 50 → x = 2 n(A) = 18(2) = 36

5. Se hizo una encuesta a 2257 personas sobre las preferencias respecto a los canales de televi-sión D y N. Se observó que los que no ven ninguno de los ca-nales mencionados son el tri-ple; el cuádruple y nueve veces los que ven solo D, los que ven solo N y los que ven ambos ca-nales, respectivamente. Deter-mina cuántos ven solo un canal de televisión.

6. En una encuesta realizada a los estudiantes se determinó lo si-guiente:• 68 se portan bien• 160 son habladores• 138 son inteligentes• 55 son habladores y se portan

bien• 48 se portan bien y son inteli-

gentes• 120 son habladores e inteli-

gentes• 40 son habladores, inteligentes

y se portan bien¿Cuántos estudiantes son inte-ligentes solamente?

7. En un grupo de 80 estudiantes, se encuentran que los que estudia-ban diversas lenguas eran 72, dis-tribuidos de la siguiente manera:• Alemán solamente 25• Español solamente 12• Francés pero no alemán ni

español, 15• Alemán y francés, 10• Alemán y español 8Además, los que estudiaban espa-ñol y francés eran tantos como los que estudiaban alemán y español. ¿Cuántos estudiaban 2 lenguas solamente o estudiaban las 3 len-guas?

UNMSM

8. De un grupo de amigos, la cuarta parte habla inglés y de estos la cuarta parte también habla francés. De los que no hablan inglés, la tercera parte no habla francés y los demás sí. ¿Cuál es la parte de los ami-gos que habla francés? (UNAC 2011-I)

Resolución:

1x (48k 12k) 12k3= − =

27k 9Francés 48k 16∴ = =

9. De un grupo de amigos, la quinta parte habla castellano y de estos la quinta parte tam-bién habla inglés. De los que no hablan castellano, la sexta parte no habla inglés y los de-más sí. ¿Cuál es la parte de los amigos que habla castellano?

10. De un grupo de 105 personas, 52 son tenistas y 55 nadado-res. Si se sabe también que 15 tenistas practican fútbol y na-tación, y todos los futbolistas son tenistas.Si 12 personas solo practican tenis y 15 personas no prac-tican ninguno de los deportes mencionados, ¿cuántas perso-nas son tenistas y nadadores, pero no futbolistas? (UNMSM 2009)

14

11. El censo de una ciudad dio como resultado lo siguien-te: el 60% de los niños toma leche, el 70% no come carne; los que toman leche y comen carne sumados con los que no toman leche ni comen carne son el 40% y 900 niños comen carne pero no toman leche. ¿Cuántos niños hay en dicha ciudad?

12. De 50 personas, se sabe:• 5 mujeres tiene ojos negros• 16 mujeres no tienen ojos

negros• 14 mujeres no tienen ojos

azules• 10 hombres no tienen ojos

azules o negros¿Cuántos hombres tienen ojos negros o azules?

13. De 100 personas, se sabe:• 10 mujeres tienen ojos negros• 26 mujeres no tiene ojos ne-

gros• 24 mujeres no tienen ojos

azules• 20 hombres no tiene ojos

azules o negros¿Cuántos hombres tiene ojos negros o azules?

14. Una encuesta realizada en 100 viviendas de Danylandia, dio como resultado lo siguiente:• 60 casas tenían TV a color• 30 tenían equipo de sonido• 20 tenían DVD• 21 tenían TV color y equipo

de sonido• 15 tenían TV a color y DVD• 16 tenían equipo de sonido

y DVD¿Cuántas casas, como máxi-mo, no tenían estos aparatos?


15

Operaciones Básicas en Z+

ADICIÓN

SUSTRACCIÓN

MULTIPLICACIÓN

A B C X S+ + +…+ =

Donde: A+B+C+…X: Sumandos S: Suma

Propiedades:1. M+S+D=2M2. Si:

abc –

cba

xyz

a c>

Se cumple: i) x + z = 9 ii) y = 9 ii) a – c = x + 1

Complemento Aritmético:(C.A.)Es la cantidad que le falta a un número para ser igual a

M S D− =

Donde: M = Minuendo S = Sustraendo D = Diferencia

la unidad del orden inmediato superior, con respecto a su cifra de mayor orden.Ejemplos:CA(3) = 101 – 3 = 7CA(13) = 102 – 13 = 87CA(348) = 103 – 348 = 652CA(6321) = 104 – 6321 = 3679

El exponente es la cantidad de cifras.

Método Práctico:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )CA abcd 9 a 9 b 9 c 10 d= − − − − ( ) ( ) ( )CA xy 9 x 10 y= − −

" y " vecesx x x x Z+ + +…+ =

x.y z→ =

Donde: x = Multiplicando y =Multiplicador z = Producto

Ejemplo

384

23

1152Productos parciales

768

8832 Producto final

×

+

→

16

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula:

zyx xzy yxz+ +

Si: x+y+z=18

2. La suma de los términos de una sustracción es 520,¿cuál es el complemento aritmético del minuendo?

3. Si al multiplicando y multipli-cador se le disminuye en 2 y 4,respectivamente,el producto disminuye en 198.Calcula la suma de los factores de dicha multiplicación si su diferencia es 8.

PUCP4. Calcula la cantidad total de

números enteros que al ser divididos por 31,producen un

resto que es el triple del co-ciente que corresponde.

Resolución: Sea “N” uno de dichos números: D d q r= × + N= 31q+3q N=34q 3q 31⇒ <

Además,sabemos que resto<-divisor

q<31/3⇒q =(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10Rpta.: Cantidad de valores es 10.

DIVISIÓN

SUMAS NOTABLES

A) Exacta:D d q= ×

D=dividendo d = divisor q =cociente Nota: residuo = cero

B) Inexacta

Por defecto:

D d qd Rd= × +

1) Primeros números Naturales consecutivos: ( )n n 1

S 1 2 3 n 2+

= + + +…+ =

2) Primeros números Pares consecutivos: S = 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)

3) Primeros Números Impares consecutivos

2x 1S 1 3 5 x 2+ = + + +…+ =

qd= cociente por defecto Rd= Residuo por defecto

Por exceso:D d qe Re= × −

qe = cociente por exceso.Re = Residuo por exceso.

Propiedades:qe = qd + 1 Re + Rd = dR < da) Rmáx=d-1b) Rmín=1

4) Primeros Números Cuadrados perfectos:

( ) ( )2 2 2 2 n n 1 2n 1

S 1 2 3 n 6+ +

= + + +…+ =

5) Primeros Números Cubos perfectos:

( ) 23 3 3 3 n n 1

S 1 2 3 n 2 +

= + + +… =

17

5. Calcula la cantidad total de números enteros que al ser divididos por 49,producen un residuo que es el cuádruple del cociente correspondiente.

6. Calcula:A+B A = 1 + 2 + 3 + … + 40 B = 2 + 4 + 6 + … + 60

7. En una división inexacta por defecto, el divisor y el residuo son 34 y 14 respectivamente, si al divisor se le agrega 5 uni-dades entonces el cociente dis-minuye en 2 unidades. Halla el nuevo residuo sabiendo que es el menor posible.

UNMSM

8. Efectuar:

“n” cifras S 6 66 666 6666 66 66= + + + +…+ …

Resolución Factorizando el:

“n” cifras6(1 11 111 1111 11111..1111+ + + +…+

Multiplicando por (9)

“n” cifras9 : 9S 6(9 99 999 9999 99999 9999= + + + +…+ …

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 n3S 10 1 10 1 10 1 ... 10 12 = − + − + − + + −

( )( ) ( )1 n10 10 13S n 12 10 1

−= + −

−

( )n 12 10 9n 10S 27

− − −=

9. Si “n” es un número entero po-sitivo,el valor de la suma:

"n"cifrasS=3 33 333 3 3+ + +…+ …

10. Determine el valor de N si multiplicar N×236; la suma de los productos parciales es igual a 5258.

11. Un número de tres cifras dife-rentes es tal que la suma de sus cifras extremas es igual a su cifra central,y el número que se forma al invertir el orden de las cifras sobrepasa en 594 al número original. Determina la suma de las cifras del número buscado.

12. En una división;al residuo le faltan 15 unidades para ser máximo y sería mínimo si se le restara 18 unidades. Deter-mina el dividendo si el cocien-te es el doble del residuo por exceso.

13. En una división,le faltan 16 unidades al residuo para ser máximo y sería mínimo si se le restara 17 unidades. Deter-mina el dividendo si el cocien-te es el triple del residuo por exceso.

14. Calcula la suma de todos los números de 12 cifras cuya suma de cifras sea 107. Da como respuesta la suma de las cifras del resultado.


Progresion aritmética

18

DEFINICIÓN

PROPIEDADES

Una progresión (o sucesión) aritmética, también llamada lineal o de primer grado, es una agrupaciónordenada de elementos que poseen una diferencia contante (Razón).

r r r

“La suma de los términos equidistantes es constante”.

Ejemplos:

a)

b)

c) "n" términos "n" términos

8;..................; x ; .................;68

8 68x 2

+=

76x 382→ = =

Dónde:

r = razónan = término enésimo

( )n 1a a r n 1= + −

n = números de términos

n 1a an 1r

−= +

Sn = Suma de los “n” términos

1 nn

a aS n2

+ =

Ejemplos: 1. 4;7;10;13;...;61÷ ↓ Símbolo de una P.A.

I. r = + 3 II. an = 61 ↓ a1 + 3(n – 1) = 61 4 + 3 (n – 1) = 61 3(n – 1) = 57 n – 1 = 19 III. n = 20

IV. 204 61S 202

+ =

S20 = 650 2. Determina el número de términos.

18;21;24;27;...;75÷ 75 18n 1

razón3−= +

→ → n = 20

Nota:1. La razón se obtiene restando 2 términos consecu-

tivos de la forma: a(n) – a(n-1)2. Si la razón es positiva, la sucesión será creciente y

si la razón es negativa, será de creciente.

19

Trabajando en clase

Integral

1. En la siguiente P.A. determinar el trigésimo quinto término.

5; 8; 11; 14; …

2. Determina la suma de los tér-minos de la sucesión lineal mostrada a continuación:

7; 11; 15; 19; …; 83

3. Si a2; 3a2; 10a son términos de una sucesión aritmética, cal-cula la razón.

PUCP4. Determina el término de lugar

ba de la siguiente progresión aritmética:

a8b; a93; b04; ba5 Resolución:

a8b; a93; b04; ba5i) analizamos que la diferen-

cia es constante por lo tan-to la razón es 11.

ii) a = 1 y b = 2iii) t21 = 182 + 11(21 – 1)

= 182 + 11(20) = 182 + 220 ∴ 402 5. Determina el término de lugar

xy de la siguiente progresión aritmética:

x35; 1y6; x77; x(y + 4)8

6. Federico reparte a sus nietos caramelos del siguiente modo: a Paula 2; a Andrea 7, a Sebas-tián 12, a André 17, a Anita 22, así sucesivamente. ¿Cuán-tos caramelos recibirá el nieto número 24?

7. Calcula a + b en la siguiente sucesión aritmética:

ab ; ...; 77; ...; ba

“m

términos”“m

términos”

UNMSM

8. La suma de “n” términos de una progresión aritmética es: Sn = 2n2 + 4. Determina el tér-mino 20 de dicha P.A.Resolución:i) analizando:

Sn – S(n–1) = tnii) S20 – S19 = t20

2(20)2 + 4 – 2(19)2 + 4 = t20 804 – 726 = t20

78 = t20

9. En una progresión aritmética se verifica que la suma de sus “n” primeros términos viene dada por: 4n2 + 2n. Determina a20.

10. De la siguiente sucesión deter-mina el séptimo término ne-gativo.

62; 57; 52; ….

11. José compra galletas de la si-guiente manera: cada día 5 ga-lletas más que el día anterior. ¿En qué día se cumple que lo comprado ese día es 3/2 de lo comprado 4 días antes y ade-más es 3 veces lo comprado el primer día?

12. Determina la suma de los veinte primeros términos de una progresión aritmética, si el tercer término es al octa-vo término como 2 es a 5 y la suma del primer término con el quinto término es 20.

13. Determina la suma de los veinte primeros términos de una progresión aritmética, si el tercer término es al sétimo término como 5 es a 11 y la suma del primer término con el sexto término es 46.

14. ¿Qué lugares ocupan los 2 términos consecutivos de la siguiente sucesión cuya dife-rencia de cuadrados es 640?

6; 10; 14; 18; ... Evaluando tu Aprendizaje

Progresion Geométrica

20

DEFINICIÓN

PROPIEDADES

a) “El producto de términos equidistantes es constante” Ejemplos:

1. 2. 3.

Observación:

2 1 43 3 3= ×

Calcula la suma de los 6 primeros términos de: /3; 6; 12; 24;...÷ ÷

i) q = 2…..razón

ii)

66

2 1S 3 2 1 −= −

66

2 1S 3 1 −=

( )6S 3 64 1= × −

6S 3 63= ×

6S 189→ =

Progresión o sucesión que tiene por razón un cociente constante (de dos términos consecutivos).

Símbolo de una PG.:

• q = razón geométrica

( )n

n 1

tq t −=

• tn = término enésimo

( )n 1n 1t t q −=

• Sn = Suma de los “n” primeros términos

n

n 1q 1S t q 1

−= −

21

Trabajando en clase

Integral

1. Si:a

a 1 a 3 29 ,3 ,3 ,...+ +

es una sucesión geométrica, calcula el valor de “a”.

2. Calcula el séptimo término en la siguiente P.G.18

; 14

; 12

; ...

3. Si la suma de los 5 términos de una P.G. es 484 y la suma de los términos de lugar par es 120, ¿cuál es la razón entera de la progresión?

PUCP4. Si las edades de tres personas están en progresión

geométrica, siendo el producto de las edades 27 000, ¿cuál es la edad de la persona de edad intermedia?

Resolución: Edades: x ; x; xqq

i) ( ) ( )x x xq 27000q =

3x 27000x 30

==

5. Si las edades de tres personas están en progresión geométrica, siendo el producto de las edades 64 000, ¿cuál es la edad de la persona de edad intermedia?

6. A los tres primeros términos de una P.A. de razón 6 se le aumentan 4; 7 y 19, respectivamente, for-mando los resultados obtenidos una P.G.. Calcula el T7 en la P.G.

7. Calcula el primer término de una P.G. si la dife-rencia del tercer término menos el sexto término es 26 y el cociente 27.

UNMSM

8. Calcula el décimo término de una P.G. si la suma de los 3 primeros términos es igual a 6 y la suma del segundo, el tercer y cuarto término es igual a –3.

Resolución:

i) x x xq 6q + + = .......... x = t1

2x xq xq 6q+ + =

( )2x q q 1 6q+ + = ii) 2 3 4t t t 3+ + = −

2x xq xq 3+ + = − ( )2

6q 31q 2

x q q 1 3

=−=−

+ + = −

iii) 1 1 1x 1 64 2 2 − + = −

( )1 2 4x. 34

− += −

x = –4

iv) ( )910 1t t q=

9

101t 8 2

= −

6

10t 2 64= − = − = −

1–3 910t 2 . 2

=

1–610

1t 2 – 64= =

9. Calcula el sexto término de una P.G. si la suma de

los 3 primeros términos es igual a 12 y la suma del segundo, el tercer y cuarto término es igual a –4.

10. La suma de tres números en P.A. es 15, si a estos números se agrega el doble de la razón, excepto al término central, entonces, ahora se encontrarán en P.G. Indica la razón de esta última progresión.

22

11. Señala el valor de:

1 1 1 1 1P 1 ...2 3 4 9 8= − + − + − +

12. Se deja caer una pelota desde una altura de 360m. Si en cada rebote la pelota se eleva 2/5 de la altura de la cual cayó la última vez, ¿qué distancia total recorre la pelota hasta quedar en reposo?

13. Una pelota de ping pong es dejada caer de 24 m de altura, y cada vez que rebota se eleva una altu-ra igual a la mitad de la altura anterior. ¿Cuántos metros recorrió la pelota hasta que quedó teórica-mente estática?

14. Calcula el valor de S.

1 3 7 15S 1 ....3 9 27 81= + + + + +


23

Numeración I

NÚMEROIdea de cantidad.

NUMERALRepresentación escrita del número.

SISTEMA DECIMALTambién llamado «indoarábigo». Es el sistema de base 10. Sus cifras son: 0; 1; 2; 3, 4; 5, 6; 7; 8; 9.

Z Numeral de dos 2 cifras: ab

Z Numeral de 3 cifras: abc

Y Numeral capicúa: Es aquel numeral «espejo», es decir, sus cifras

equidistantes son iguales.

Ejemplos:

abaabba353832238

CONTEO DE NÚMEROSSe utiliza el método combinatorio (preferentemente).Ejemplos:1. ¿Cuántos números de 2 cifras existen?

x↓

123456789

y↓0123456789

9 ×10=90

2. ¿Cuántos números de 3 cifras existen?a↓1234---9

9 ×10×10=900

b↓0123---9

c↓0123---9

3. Calcula cuántos números de la siguiente forma existen:

(a)↓2468

(b)↓01234

(a/2)↓1234

(2b)↓02468

4 × 5 = 20

CONTEO DE CIFRASSea la serie natural:1; 2; 3, ...; NDonde N tiene «k» cifras.

(# de dígitos) = (N + 1)k - 111 ... 111«k» cifras

Ejemplo: 1; 2; 3;...; 78 → # de cifras = (78 + 1) 2 - 11 = 79 2 - 11 = 147

Recuerda

La descomposición polinómica se puede realizar por cifras o en bloques.

24

Integral1. Realiza la descomposición polinómica de los si-

guientes numerales:A) abc =

B) (2a)b(3c)d =

C) (x + 1)(x - 1)(2x + 1)x =

2. Calcula cuántas cifras se han utilizado para escri-bir la siguiente sucesión natural:

1; 2; 3; 4, 5; ...; 295

3. Determina la cantidad de números que existen de la siguiente forma:A) abc

B) abcd

C) (a) a2

(3a)

D) (a)(b)(c) c3

b5

c2

(d)

PUCP4. Calcula m + n si el numeral es capicúa:

(m+1)7a(n+2)(2m)

Resolución:

(m+1) 7 a (n+2)(2m)iguales

m + 1 = 2m n + 2 = 7 m = 1 n = 5

∴ m + n = 6

5. Calcula m + n si el numeral es capicúa:

(m+2)7d(n+1)(3m)

6. ¿Cuántas cifras tiene el numeral cuyo digito de cuarto orden coincide con el de cuarto lugar?

7. ¿Cuántos números de dos cifras resultan ser 2 ve-ces la suma de sus cifras?

UNMSM8. Sea el número de la forma xyy; cuyo C.A. es de la

forma (x+1)(x)(x+1) , calcula x . y. Resolución: C.A.xyy = (x+1)(x)(x+1)

9 - x = x + 1 ∧ 10 - y = x + 1 8 = 2x 10 - y = 4 + 1 4 = x 5 = y

→ x . y = 20

9. Sea el número de la forma xy; cuyo C.A. es de la forma (x+1)(y+1), calcula x . y.

10. Si para excribir un libro se emplean 153 cifras, ¿cuántos tipos más se necesitarían si el libro tu-viera 50 páginas más?

11. Calcula el valor de «a» si el numeral ab0ab (0 = cero) es el producto de 4 números enteros conse-cutivos.

12. Si a un número de 2 cifras se le agrega un 2 a la izquierda, se convierte en un número igual a 5 veces el número original. Calcula la suma de las cifras de dicho número.

13. Si un número de 2 cifras se le agrega un 2 a la

izquierda, se convierte en un número igual a 9 veces el número original. Calcula la suma de las cifras de dicho número.

14. Si a un número de 3 cifras se le altera el orden de las unidades con las decenas, aumenta en 54 unidades; y si se invierten las decenas, disminuye en 360. Determina en cuánto se altera el número si se invierte el orden de las centenas y unidades.

Trabajando en clase


25

Numeración IITrataremos sistemas de numeración distintos al décuplo.

Cambios de base

A) De base «x» a base 10 Ejemplo:

325(6) = 3 × 62 + 2 × 6 + 5

Descomposición polinómica325(6) = 125

Métodode

Ruffini6↑

3↓3

21820

5120125×

214(5) = 2 x 52 + 1 x 5 + 4 214(5) = 59

5↑

2↓

2

11011

45559×

B) De base 10 a base «x» 59 a base 5

59 5

1 24 11 5

59 = 214(5)

Divisionessucesivas

125 a base 6125 6

2 35 20 6

125 = 325(6)

Recuerda

El menor sistema de numeración es el binario y el mayor no está determinado.

Al realizar el cambio de base «x» a bae 10, se recomienda realizarlo por el método de

descomposición polinómica.

Z Observación

Cifra < base

Recuerda

Sistema de numeración Base Binario 2 Ternario 3 Cuaternario 4 Quinario 5 Hexanario 6 Heptanario 7 Octaval 8 Nonario 9 Decimal (décuplo) 10 Undecimal 11

EjercicioSi 2dany8(x) = ROSA

Analizamos:

2dany8(x) > ROSA8 < x < 10

x = 9

Cifra < base

26

Integral

1. Calcula el menor valor posible de m + n. 1331(m) = 1000(n)

2. Calcula: «x».

x75(8) = 25x

3. Calcula m + n + p si los siguientes numerales es-tán correctamente escritos:

n233q(m); p21(n); n3m(6); 1221(p)

PUCP

4. Calcula a + n:

4abbn = mmmm6

Resolución: 1aaa2a(n) = 1123n(4) Analizamos: I. 1aaa2a > 1123n

2 < n < 43

II. 1aaa2a(3) = 11233(4) 1 × 35 + a × 34 + a × 33 + a × 32 + 2 × 3 + a = 1 × 44 + 1 × 43 + 2 × 42 + 3 × 4 + 3 243 + 117a + 6 + a = 367 118a = 118 a = 1 ∴ a + n = 4

5. Determina a + b + c + d + e + n:

2013 = abcden

6. Calcula «n» si el mayor número de 3 cifras de la base «n» se representa en base 5 como 4021.

7. ¿Cuántos números de 3 cifras existen en el sistena quinario?

UNMSM

8. Un ciclista que viaja por una carretera a velocidad constante; parte en el km a0b y una hora después está en el km aab . Si la primera media hora llegó al km ab0, calcula a + b.

Resolución:

V

aob abo aab

1/2 hora

aab - aob

1 hora

aab - aob2

abo - aob=

aab - aob (abo) - (aob)= 2aob = 2(abo) - aab

100a + b = 2(100a + 10b) - (100a + 10a + b) 100a + b = 200a + 20b - 100a - 10a - b 18b = 10 a b

a59= → a × b = 45

9. El cuádruple de un número es de la forma ab, pero si al número se le multiplica por 3 y se le divide entre 2, se obtiene ba . Calcula a – b.

10. Resta los siguientes numerales en el sistema hep-tanario:

6231(7) – 2654(7)

11. Si ANITALAVALATINA es el menor número ca-picúa posible, y se cumple que a letra diferente le corresponde una cifra diferente, calcula:

A+N+I+T+A+L+A+V+A+L+A+T+I+N+A

12. Representa D en base 13: D = 22 × 136 + 10 × 134 + 20 × 13 + 5

13. Expresa D en el sistema senario: D = 4 × 65 + 2 × 6 + 3 × 64 + 5

14. Si 3ab4(6) = 2b53(n), calcular a + b + n si n < 8.

Trabajando en clase


27

Numeración III

NUMERACIÓN III

Sistemadecimal

Cambiode

base

Numerales

Conteo

32(5) = 3 x 5 + 2 = 17

De base «x» a base 10

De base 10 a base «x»

De 2 cifras: xy

De 3 cifras: mnp

Capicúa: abba

4444

3 2

3 17

5 15

17 = 32(5)

17 5

2 3

abc

a b b a

9 × 10 × 10 = 900

9×10 = 90

Z

Z ↓ ↓

28

Integral

1. El número 231 de la base 5, en qué base se escribe como 123.

2. Calcula a + b + c: aab5(7) = babb(5)

3. Calcula a + b + 2: 3243 = abc(6)

PUCP

4. Calcula d + a + n si los números están correcta-mente escritos:

2d3(a) ; 54n(7) ; 213(d) ; 3a1(n) Resolución:

CIFRA < BASE

3 < d < a < n < 7 4 5 6 → d + a + n = 4 + 5 + 6 = 15

5. Calcula m + n + p si los numerales están correc-tamente escritos:

22p(n) ; n31m(6) ; 1002(p) ; 2n1(m)

6. En qué sistema de numeración se cumple lo si-guiente:

23(n) + 54(n) = 110(n)

7. Convierte el mayor número de 4 cifras del siste-ma senario al sistema nonario.

UNMSM

8. Calcula el valor de «d»: 1564(d – 1) = 1172(d) Resolución: 1564(d – 1) = 1172(d) 1(d–1)3+5(d–1)2+6(d–1)+4=1×d3+1×d2+7d+2 1(d3–1+3d–3d2)+5(d2–2d+1)+6(d–1)+4 = d3 + d2 + 7d + 2 d3–1+3d–3d2+5d2–10d+5+6d–6+4 = d3 + d2 + 7d + 2 2d2 – d + 2 = d2 + 7d + 2 d2 = 8d d = 8

9. Calcula el valor de «n»:354(n+1) = 455(n)

10. Al responder una encuesta, un ganadero escribe en la ficha lo siguiente:

N.º de toros : 24 N.º de vacas : 32 Total de cabezas : 100 ¿Qué base del sistema de numeración utiliza el

ganadero?

11. Si hay (2n3 – 5n2) números de 3 cifras en el siste-ma de base «n», ¿cuántos números de «n» cifras hay en el sistema de base 5?

12. Un ciclista que viaja por una carretera a velocidad constante, parte en el km a0b y una hora después está en el km aab . Si en la primera media hora llegó al kilómetro ab0 , calcula a + b.

13. El cuádruple de un número es de la forma ab , pero si al número se le multiplica por 3 y luego se le divide entre 2, se obtiene ba . Calcula a – b.

14. Si el mayor número de 3 cifras en base «b» es lle-vado a la base «b + 1», ¿cuál será la cifra corres-pondiente a las unidades del número escrito en la base «b + 1»?

Trabajando en clase


29

Divisibilidad I

DIVISORUn número es divisor de otro si la división del primero por el segundo es exacta.

MÚLTIPLOUn número es múltiplo de otro si el segundo es el producto del primero por un entero.

Ejemplos:1. Calcula la suma de los 7 primeros múltiplos de 6

(solo naturales). m(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36} Suma = 0+6+12+18+24+30+36 = 6(1+2+3+4+5+6)

= 6 × 726 =126

2. Calcula los divisores de 24 que sean múltiplos de 3. Div(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} Rpta.: 3; 6; 12; 24

LecturaA = °B = BK = m(B)A es múltiplo de BA es módulo de BB es divisor de AA es divisible entre BB es factor de A

K∈Z

Propiedades

1. °n ± °n ± °n ± ... ± °n = °n

Ejemplos: a) 7 + 0 + 14 - 21 + 49 = 49

°7 + °

7 + °7 - °

7 + °7 = °

7 b) 3 - 6 + 18 = 15

°3 - °3 + °3 = °3

2. ( °n ± R)x = °n ± Rx

Ejemplos: a) ( °5+3)2 = °5 + 32 = °5 + 9

b) ( °6 - 2)3 = °6 - 23 = °6 - 8

3. ( °n ± a)( °n ± b)...( °n ± x) =

°n + (±a)(±b)(±c)...(±x)

Ejemplos: a) ( °7 + 2)( °7 + 3)( °7 - 8) =

°7 + (2)(3)(-8) =°7 - 48

4. Si x = °a ± R

x = °b ± R

x = °c ± R

x = °

MCM(a; b; c) ± R Ejemplo: a) x = °5 + 2

x = °3 + 2

x = °

MCM(3; 5) + 2

x = °15 + 2

Recordemos:Mul(2) = {0; 2; 4; 6; 8; ...}Div(18) = {1; 2; 3; 6, 9; 18}

30

Trabajando en clase

1. «El residuo es menor que el divisor» Ejemplo:

Q = °7 + 12

12 7 7 1 5

Q = °7 + ( °7 + 5)Q = °7 + °7 + 5Q = °7 + 5

→

S = °10 - 21

21 1020 2 1

S = °10 – ( °10 + 1)S = °10 - °10 - 1S = °10 - 1

→

2. Rd + Re = d

Rd = residuo por defecto Re = residuo por exceso d = divisor (módulo) Ejemplo:

P = °7 + 4 =

°7 - 3

S = °

10 - 2 = °

10 + 8

Q = °

12 + 3 = °

12 - 9

R = °6 - 6 =

°6 + 4

Recuerda

Integral1. Calcula la suma de los 24 primeros múltiplos en-

teros positivos de 4.

2. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 5?

3. Desde el 23 hasta el 738, ¿cuántos números son múltiplos de 8?

PUCP4. ¿Cuántos enteros divisibles por 3 y por 7 hay en-

tre 100 y 250? Resolución:

100 < ° 21 < 250100 < 21k < 250 21 21 21

4 < k < 11 k = 5; 6; 7; 8; 9; 10

Rpta.: 6

5. ¿Cuántos enteros divisibles por 4 y por 9 hay en-tre 95 y 450?

6. Calcula A . B. C: Si A = ( °7 + 4); B = ( °7 + 3) y C = ( °7 + 2)

7. Si 18A = ( °7 + 2); con A entero. Entonces A nece-sariamente es:

UNMSM8. En una reunión de trabajadores, se observa que

la quinta parte son solteros; si se nombran comi-siones de 7 personas, sobrarían 3 de ellas, sin per-tenecer a alguna. Además, en una votación entre dos propuestas todos votaron y resultó empate. Calcula cuántas personas hay si está comprendi-da entre 200 y 300.

Resolución:

Total: °5 = T 200 < T < 300 T = °7 + 3 T = °2 → T = °2 T = °5

T = °

MCM(2;5)T = °10 + 80

T = °7 + 3 + 77

31

→ T = °10 + 80 T = °

MCM(0;7) + 80T = °70 + 80

T = °7 + 80

200 < T < 300 T = 290

9. En una escuela, se observa que la cuarta parte de alumnos usan lentes, si la profesora de educación los agrupa de 5, sobrarían 3 alumnos, además la tercera parte son varones ¿cuántos alumnos hay en la escuela, si está comprendida entre 40 y 50?

10. Daniel agrupaba sus canicas de 6 en 6, de 8 en 8 y de 10 en 10, y siempre faltaba una para formar un grupo más. ¿Cuántas canicas tiene si es una cantidad máxima pero menor que 500?

11. En un evento deportivo al que asistieron a lo más 200 personas, se observa que la quinta parte de los señores come helado. Si las señoras represen-tan la octava parte de los señores y los niños re-presentan la tercera parte de las señoras, ¿cuántos niños, como máximo, asistieron?

12. Si en una división el divisor es (°

11+ 3) el cociente

es (°

11 + 8) y el resto es (°

11 – 2) , ¿de qué forma es

el dividendo?

13. Si en una división, el divisor es (°

13 + 4) , el resto

es (°

13 + 5) y el divisor es (°

13 + 7) ¿de qué forma

es el dividendo?

14. Calcula el residuo que resulta al dividir la suma

de los 100 primeros números naturales, entre 4.


32

Divisibilidad IIEstudiaremos los criterios de divisibilidadSean: N = abcdef

Sobre la base de N estudiaremos los distintos criterios.

1. Criterio para 2; 4 y 8

N = °2 → f = °2

N = °4 → ef = °4

N = °8 → def = °8

Ejemplo:1. Si 37x es múltiplo de 2, calcula la suma de

los valores de «x». 37x = °2 → x = °2 x = {0; 2; 4; 6; 8}

→ Rpta.: 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 20

2. Criterio para 3 y 9

N = °3 → a + b + c + d + e + f = °3 N = °9 → a + b + c + d + e + f = °9

Ejemplo:

1. Si 67832x = °3 , calcula «x».

6 + 7 + 8 + 3 + 2 + x = °3°3 + 15 + °3 + 2 + x = °3

°3 + 2 + x = °3 - °3 - °32 + x = °3 - °32 + x = °3

↓147

↓369

x = {1; 4; 7}

3. Criterio para 5 y 25

N = °5 → f = 0 ó 5

N = °25 → ef =

°25

ef = {00; 25; 50; 75} Ejemplo:

1. Si x372x = °5

Calcula «x» x = 0 a 5 → x = 5

4. Criterio para 7; 11 y 13

N = °7 → abcdef = °7

N = °11 → abcdef = °11

N = °13 → abcdef = °13 4-3 -1-4-3-1

-2-3-1 2 31

-+-+-+

5. Divisibilidad compuesta

N = °6

°2

°3N = °33

°3

°11

N = °12

°4

°3N = °63

°9

°7

33

Integral

1. Calcula la suma de valores de «a» si el número 4573a es divisible por 4.

2. Calcula el valor de «m» si el número 9a63m es divisible por 8.

3. Calcula «m» si 7m432m es divisible por 11.

PUCP

4. Determina la suma de valores que puede tomar «d» si:

(d - 4)a(n - 1)dn es múltiplo de 25. Resolución: (d - 4)(a)(n - 1)dn = °25

dn = °25

→ dn = 75 d = 7

5. Si a472ba es múltiplo de 25, calcula la suma de valores que puede tomar «b».

6. Calcula ab + c: acb = 11; bac = 5 y cba = 8

7. Determina el residuo que resulta al dividir el nú-mero abcabc entre 7.

UNMSM

8. Si a + aaa + aaaa + aaaaa se divide entre 11, da como residuo 5. Calcula el valor de «a».

Resolución: a + aaa + aaaa + aaaaa

12334a = °11 + 5 (

°11 + 3)a = °11 + 5

°11 + 3a = °11 + 5

3a = °11 + 5 ↓ 9

9. Si a + aaa + aaaa + aaaaa se divide entre 11, da como residuo 3. Determina el valor de «a».

10. ¿Cuál es el valor de «a» para que el número aa79a sea divisible entre 8?

11. Calcula a + b: si 2a79b = m63

12. Si a5b3c = °11 + 4 , ¿cuál es el resto de dividir a8b4c entre 11?

13. Si d7a3n = °11 + 4, ¿cuál es el resto de dividir d6a9n entre 11?

14. Calcula la suma de los valores absolutos de las ci-fras de D y A respectivamente:

D = 3×117 + 2×115 + 9×114 + 13×112 + 8 A = 8×129 + 9×128 + 11×125 + 15×112 + 21

Trabajando en clase


35

Ecuaciones y sistemas lineales ECUACIÓN

CONJUNTO SOLUCIÓN (C.S.)

ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO

Es el conjunto formado por las soluciones de la ecuación.

Ejemplo: x2 – 7x + 6 = 0

Es la igualdad entre dos expresiones matemáticas, en la que se puede reconocer por lo menos una variable.

Ejemplo:5x + 2 = 4x + 8→ 5x + 2 = 4x + 8 es falsa si x = 0→ 5x + 2 = 4x + 8 es verdadero si x = 6

Solución de una ecuaciónEs el valor que toma la variable y que hace que la ecuación se verifique (sea verdadera)

Ejemplo:x = 6 es solución de la ecuación:5x + 2 = 4x + 8Ya que: 5(6) + 2 = 4(6) + 8 32 = 32

Se verifica para x = 6; x = 1

Luego:Conjunto solución: C.S. = {1; 6}

Es la ecuación que al ser reducida se obtiene como mayor exponente de la variable a 1.

Ejemplo: x2 + 2x + 1 = x2 – x + 82x + 1 = –x + 83x = 7 ⇒ x = 7

3

Forma general:ax + b = 0; a ≠ 0

ClasificaciónPor el tipo de conjunto solución, se clasifican de la siguiente manera:

a) Compatible determinada Cuando posee una única solución.

Ejemplo: 5x – 1 = 9 C.S. ={2}

b) Compatible indeterminada Cuando posee infinitas soluciones. Ejemplo: 5(x+1) = 4x + x + 5 5x + 5 = 5x + 5 5 = 5 (verdadera)

Tiene infinitas soluciones.* x = 0 ⇒ 5 = 5* x = –1 ⇒5 = 5* x = 4 ⇒5 = 5∴C.S. = R

c) Incompatible o inconsistente Cuando no tiene solución. Ejemplo: 7(x – 1) = 3x + 4x + 2 7x – 7 = 7x + 2 –7 = 2 (falsa)

Luego la ecuación no tiene solución: C.S. = ∅

36

Trabajando en clase

Integral

1. Resuelve: 4x 1 2x 1 x 15 3 2− + −− =

2. Resuelve: –x + 3 (x – 7) = 2x + 8

3. Resuelve: 5 – 4 (3x – 2)=5(–2x + 3) – 2(x + 1)

PUCP4. Resuelve:

5 1 17 ..........(1)x y 62 6 3..............(2)x y

+ =

+ =

Resolución: Eliminamos la variable “y” para esto multiplica-

mos por (–6) a la ecuación (1) y después suma-mos ambas ecuaciones.

( )5 1 17 6x y 6

+ = − ⇒

30 6– 17 ( )x y2 6 3x y

− = − ↓ +

+ =

2 6 3x y+ =

28 14x− = −

x 2⇒ = + Luego, reemplazamos en (2) Tenemos: 2 6 3 y 32 y+ = ⇒ = C.S. {(2;3)}∴ =

ANÁLISIS DE COMPATIBILIDAD

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

CONJUNTO SOLUCIÓN

Sea:ax + b = 0

• Compatible determinada: a ≠0 ∧ b ∈R • Compatible indeterminada: a = 0 ∧b = 0• Incompatible o inconsistente: a = 0 ∧ b ≠ 0

Un sistema es un conjunto de ecuaciones con dos o más variables. Se llama sistema lineal de ecuaciones porque está compuesto por ecuaciones de primer grado.

Ejemplo: 5x + y = 4 x – y = 14

Está formado por pares ordenados (x0; y0) que verifican las dos ecuaciones simultáneamente.

Por ejemplo: C.S. = {(3; –11)} es el conjunto solución del ejemplo anterior.

Forma general:ax + by = cmx + ny = pDonde: x; y son variables.{a, b, c, m, n, p} son coeficientes.

Análisis de compatibilidadax + by = cmx + ny = p

• Sistema compatible determinado: Posee única solución. Se cumple lo siguiente:

a bm n≠

• Sistema compatible indeterminado Posee infinitas soluciones. Se cumple lo siguiente:

a b cm n p= =

• Sistema incompatible o inconsistente No tiene solución. Se cumple lo siguiente:

a b cm n p= ≠

37

5. Resuelve:

10 9 2x y+ =

7 6 11x y 2− =

6. ¿Cuál es el valor de “b”, para obtener x = 5y? x – 2y = b – 2 2x + y = b + 1

7. Calcula “a” si la siguiente ecuación es inconsisten-te:

3ax + 2 + 5x = 8(x – 2)

UNMSM

8. Calcula “m.n” si el siguiente sistema de ecuacio-nes es compatible indeterminado:

(m – n)x – (3n – m)y = 2 5x + 2y = 1

Resolución: Compatible indeterminada:

m n 2 m n 105 1−→ = → − =

...(1) (I) – (II)

3n m 2 3n m 42 1

− +→ = → − + = ...(2)

2n 6n 3==

Reemplazando en (1); m – 3 = 10 n = 13Luego “m.n” = 39

9. Calcula la suma de valores de “a” y “b” si se sabe que el siguiente sistema de ecuaciones tiene infi-nitas soluciones.ax + y = 8x + by = 9

10. Calcula “n” si el siguiente sistema de ecuaciones es incosistente.

(n + 3)x – (n – 5)y = 4 3x + 5y = 2

11. Determina la relación correcta entre “a” y “a” si el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única.

ax + ay = 17 ax + ay = 8

12. Al resolver el sistema se obtuvo como conjunto solución (2;3):

Calcula: “m + n” si (m + 1)x + (y + 1)n = 8 (x + 1)m + (n + 1)y = 9

13. Calcula “m.n” si al resolver el sistema se obtuvo

como conjunto solución (2;1). mx + ny = 5 m(x – 1) + n(y – 2) = 1

14. Calcula el valor de “y” al resolver el sistema: xz = 250 (x + y)x = 1000 (x + y)z = 100


Leyes de exponentes

38

POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO

Potenciación

Donde:a ∈ Rp ∈ Rn ∈ N Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión llamada potencia, multiplicando un factor denominado base, tantas veces como lo indica un elemento llamado exponente.

Exponente natural

Ejemplo:5

5veces2 2.2.2.2.2 32= =

1. Exponente cero

0a 1 ; a {0}= ∀ ∈ −�

2. Exponente negativo

�1 1a ; a {0}a− = ∀ ∈ −

3. Teoremas

m n m na .a a ; a ; m,n+= ∀ ∈ ∀ ∈� �

( )nm mna a ; a ; m,n= ∀ ∈ ∀ ∈� �

m m nn

a a ; a {0}; m,na

−= ∀ ∈ − ∀ ∈� �

m m m(a.b) a .b ; a, b ; m= ∀ ∈ ∀ ∈� �

m m

ma a ; a ; b {0}; mb b

= ∀ ∈ ∀ ∈ − ∀ ∈

� � �

Radicación

Sea un número real “a” y un número natural “n” mayor que uno “b” se llama raíz enésima de “a” y se denota:b = �

m mn m nn ma a a ; Q;nn= = ∈ ∈ sólo si bn = a, bajo la condición de que si “n” es par, entonces a > 0 y b > 0.

Exponente fraccionario

�m mn m nn ma a a ; Q;nn= = ∈ ∈

Teoremasn n na.b a. b=

nn

na a ; b {0}b b= ∈ −�

n n.mm a a=

p mnpm n m m.nx y z x. y . z=

Ecuaciones exponencialesEs aquella donde la incógnita se encuentra únicamente en el exponente.

TeoremaSi x ya a x y;a 0 a 1= ⇒ = > ∧ ≠

Si x xa b x 0; a b;a; b {0}= ⇒ = ∀ ≠ ∈ −�

39

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula2 12 3E 16 27

− −= ÷

2. Calcula

13 2 1 1 21 2 4 1R 3 5 23 10

− − − − = + + +

3. Simplifica:( )22 23

52 2E

2 1

−−=−

PUCP

4. Calcula “x” en la ecuación:

x 1 x 2 x 32 2 2 112+ + ++ + =Resolución:

x 1 x 2 x 32 2 2 112+ + ++ + =

( )x 2 32 2 2 2 112+ + =

x2 .14 112=

x2 8 x 3= ⇒ =

5. Calcula “x” en la ecuación

x x 1 x 23 3 3 3159+ ++ + = 6. Simplifica:

( )n 3 n 1

n 13 3E72 3

+ +

−−=

7. Si x x x25 4 2.(10)+ = calcula:

( )( )( )x 4 x 2A x 2 − −= −

UNMSM

8. Resuelve: 1

14 n 4 8

n3 3 33 9

+ − = −

Resolución:

8114 n 4 14 n 48 8 8

n n3 3 3 33 33 9 3 9

+ − − −= ⇒ = − −

( )14 n 4 8 n 23 3 3 3 3+⇒ − = −

14 n 4 n 8 103 3 3 3+ +⇒ − = −

14 10 n 8 n 43 3 3 3+ +⇒ + = +

( )10 43 3 1⇒ + ( )n 4 43 3 1+= +

10 n 43 3 += 10 n 4⇒ = + 6 = n

9. Calcula la suma de cifras de “n” si 1

15 n 8

n 4 37 7 77 7−

− = −

10. Calcula a + b si “x” es un número positivo tal que:

143 3 2 ax x x x

− =

( )b 110

b 1 2b

7 33

9 2.3

−

+ =−

Ecuaciones trascendentesEs aquella donde la incógnita se encuentra en la base y el exponente.

Propiedadx yx y x y; xy 0= → = ≠

Ojo: 1 12 41 1

2 4 =

es una excepción a la regla.. n.x nx n x n; x 0= → = ≠...

40

11. Si xy=2 (donde x>0) , calcula el valor de la expre-sión:

( )y

y yx y yx x 2

2y y

4 . x x

2x 6x

−−

−

+

−

12. Resuelve.

( )2 7xx xx 10=

13. Resuelve:

9xxx 33 =

14. Calcula el valor de “b – a” de modo que se cumpla la ecuación

b a b 6a64 8 56.2+− =


41

Polinomios

DEFINICIÓN

POLINOMIOS ESPECIALES

Es aquella expresión algebraica donde los exponentes de las variables son números enteros no negativos. Además, dichas expresiones están definidas para cualquier valor que se de en sus variables.

Ejemplos:P(x,y) = 4x2 + 3xy + y4

M(x,y) = x8 – 2xy + x – y – y2

Valor numérico (V.N.)Es el valor que toma una expresión cuando sus variables adquieren un valor particular.

Si P(x) = 2x2 – 8x + 1Para x = –1; su V.N.:⇒ P(–1) = 2(–1)2 – 8(–1) + 1 P(–1) = 2 + 8 + 1 = 11

Si P(x + 3) =x8 – 3x + 2; calcula P(4)⇒ P(4) = P(1 + 3) = (1)8 – 3(1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 0 ⇒ P(4) = 0

Suma de coeficientescoef P(1)Σ =

Polinomio homogéneoEs aquel polinomio en el cual sus términos tienen el mismo grado.

Ejemplos;P(x,y) = 7y10 + 3x8y2 – 2x4y6

Su grado de homogeneidad es 10.

Polinomio ordenadoLos exponentes de la variable elegida se encuentras ordenados de forma ascendente o descendente.P(x) = 4x4 – 3x2 – x + 2 (orden descendente)

Termino IndependienteT.I. = P (0)

Grados de un monomioB(x,y) = 20x5y6

A) Grado relativo Es el exponente que tiene la variable del término

dado. G.R(x) = 5; GR(y) = 6

B) Grado absolutoEs la suma de los exponentes de sus variables.G.A. = 5 + 6 = 11

Grados de un polinomioN(a;b;c) = 10a3b2c5 – 13a7b5c5 – 13a7b5c3 + 3abc2

A) Grado relativo: Es el mayor exponente de la variable indicada. G.R.(a) = 7; G.R.(b) = 5; GR(c) = 5

B) Grado absoluto: Lo determina el mayor grado que posee uno de

los términos del polinomio. G.A.= 7 + 5 + 5 = 17

P(x) = 3 + x2 – 8x5 + x10 (orden ascendente)

Polinomio completoPresenta a todos los exponentes de la variable, desde el cero hasta el valor del grado.A(x) = 3 + x3 – 2x2 + xB(y) = 4 + xy +y2 – y4 + y3

Polinomios idénticosSon idénticos solo si sus términos semejantes poseen los mismos coeficientes.

42

Trabajando en clase

Integral

1. Si p(x) = 3x + 5 y Q(x) = 2x2 + 5x + 1 Calcula:

(3) (10)

( 3)

P QA Q −

+=

2. Calcula f(g(2)) ; sif(x) = x(x – 6) + 9; g(x) = 2x 5+

3. Calcula P(–8) si P(3x – 5) = x2 – 3

PUCP4. Calcula "P(P(x))" si P(x)= 2x + 1.

Resolución: P(x) = 2x + 1 P(P(x)) = 2(2x + 1) + 1 = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3 ∴ P(P(x)) = 4x + 3

5. Calcula: P(3x2 + 5) Si P(x) = 3x – 7 6. Calcula “m + n” Si: A = 3xm + 4.yn – 5; B = 5x6y8

Son términos semejantes

7. Calcula: a.b a partir del siguiente polinomio:P(x;y) = 3xa–2 yb+5 –3xa–3yb – 7xa–1yb+6

Si: G.R.(x) = 5 ∧ G.A. = 17

UNMSM

8. Calcula la suma de sus coeficientes del siguiente polinomio homogéneo:

( ) ( ) ( )

2 22 a 2 2a a 8P x, y a 1 x a 1 x .y+ −= + + −

Resolución: Como el polinomio es homogéneo. ⇒ 2a 22 2a a+ = + 8− 10 = 2a 5 = a

Suma de coeficientes: ⇒ a2 + 1 + a – 1 = a2 + a = 52 + 5 = 30

9. Calcula el valor de “a” si el siguiente polinomio es homogéneo.

( ) ( ) ( )2 2a 2 a 2 2a 1 a 1A x, y a 1 x y a 1 x y+ − −= + + +

10. Calcula la suma de coeficientes si la siguiente

expresión es un polinomio completo y orde-nado.

P(x)=cdxa–1 – abxb–2 + caxd–3 – bdxc–1 – 2

11. Calcula f(3) a partir de:

2f(x) = x – 1 + f(x)3

.

12. Calcula el valor de 50252a ,

a+ si el siguiente poli-

nomio es idénticamente nulo.

P(x) = (a3 + m – n – 10)x7 + (n – m + 9)50ax

13. Encuentra el valor de a5 – 15a si el siguiente poli-nomio es idénticamente nulo:

P(x) = (a3 + b – c – 10)6ax + (c – b + a)

9ax

14. Calcula P(1; 1) si el polinomio es homogéneo. P(x,y) = bxaya+1 + abxbya + ab.y3

Ejemplo:N(x) = ax2 + bx + cM(x) = mx2 + nx + pSi N(x) ≡ M(x) ⇒ a = m; b = n; c = p

Polinomio idénticamente nuloEs aquel polinomio en el que todos sus coeficientes son iguales a cero.Ejemplo:(m – 2)x2 + (n – 1)x + (p – 4) ≡ 0⇒ m – 2 = 0; n – 1 = 0; p – 4 = 0 m = 2; n = 1; p = 4


43

Productos notables

BINOMIO CUADRADO

A) Binomio suma al cuadrado

( )2 2 2a b a 2ab b+ = + +

Ejemplo:

( )2 2

21 1 1x x 2 xx x x + = + +

221x 2x

= + +

IDENTIDADES DE LEGENDRE

( ) ( ) ( )2 2 2 2a b a b 2 a b+ + − = +

( ) ( )2 2a b a b 4ab+ − − =

B) Binomio diferencia al cuadrado

( )2 2 2a b a 2ab b− = − +

Ejemplo: 2 2

21 1 1x x 2x.x x x − = − +

221x 2x

= − +

DIFERENCIA DE CUADRADOS

( ) ( ) 2 2a b a b a b+ − = −

Ejemplo:

( ) ( ) 2 27 2 7 2 7 2+ − = −

= 7 – 2 = 5

BINOMIO AL CUBO

A) Binomio suma al cubo

( ) ( )3 3 3a b a b 3ab a b+ = + + +

Ejemplo:

3 331 1 1 1x x 3x. xx x x x

+ = + + +

3

31 1x 3 x xx

= + + +

B) Binomio diferencia al cubo

( ) ( )3 3 3a b a b 3ab a b− = − − −

Ejemplo: 3

33

1 1 1 1x x 3x. xx x xx − = − − −

3

31 1x 3 x xx

= − − −

BINOMIO POR TRINOMIO A) Suma de cubos

( ) ( )2 2 3 3a b a ab b a b+ − + = +

Ejemplo:

( )( )2 3 3 3x 1 x x 1 x 1 x 1+ − + = + = +

B) Diferencia de cubos

( ) ( )2 2 3 3a b a ab b a b− + + = −

Ejemplo: ( )( )2 3 3 3x 1 x x 1 x 1 x –1− + + = − =

44

Trabajando en clase

( ) ( ) ( )2x a x b x a b x ab+ + = + + +

Ejemplos: ( ) ( ) 2x 2 x 3 x x 6− + = + −

( ) ( ) 2x 2 x 3 x 5x 6+ + = + +

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN O IDENTIDAD DE STEVIN

TRINOMIO AL CUADRADO

( ) ( )2 2 2 2a b c a b c 2 ab bc ac+ + = + + + + +

TRINOMIO AL CUBO

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3a b c a b c 3 a b b c a c+ + = + + + + + +

CONDICIONAL

Si: a b c 0+ + =

Se cumple: ( )2 2 2a b c 2 ab bc ac+ + = − + +

Integral

1. Calcula: 2 2a b+ Si a + b = 5 ∧ ab = 3

2. Calcula “ab” Si:

2 2a b 5 a b 17− = ∧ + =

3. Calcula a – b

Si: 2 2a b 4 a b 9+ = ∧ + = a < b

PUCP

4. Calcula a – b Si a + b = 6 ∧ ab = 6; a < b

Resolución: ⇒ Aplicamos legendre:

( ) ( )2 2a b a b 4ab+ − − =

( )226 a b 4.6− − =

( )236 24 a b− = −

( )212 a b= −

2 3 a b; si a b± = − <

2 3 a b− = −

5. Calcula a – b Si a + b = 4 ∧ ab = 2

6. Simplifica: ( ) ( ) ( )

( ) ( )2x 1 2 x x 1 2 x x 1

2 x 1 2x x 1 2x

+ + + − + +

+ + + −

7. Dado ( )a b 1 a;b 0b a+ = ≠ Calcula:

4 4

2 2a ba b

+

3 3 3a b c 3abc+ + =

( )24 4 4a b c 2 ab bc ac+ + = + + ( )5 5 5a b c 5abc ab bc ac+ + = − + +

45

UNMSM

8. Determina la expresión simplificada de: ( ) ( ) ( )b b b b 4b 4ba a a a a 1 a− − −+ − + +

Resolución: ( ) ( ) ( )

b b b b 4b 4ba a a a a 1 a− − −+ − + +

( ) ( )

2b 2b 4b 4ba a a 1 a− −− + +

6b 6ba a−−

9. Reduce la siguiente expresión:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 6A x 1 x 1 x x 1 x x 1 x= + − − + + + −

10. Determina el valor de “abc” Si:

1 1a 1 y b 1b c+ = + = sean b 0≠ y c 0≠

11. Si ( )1x x 1 x 0−− = ≠ entonces los valores de

2 2 3 3x x y x x− −+ − son:

12. Determina el valor de “x” que verifica: 3 314 x 14 x 4+ + − =

13. Determina el valor de "x" que verifica:

3 x 3 x 2 2+ + − =

14. Sean los números: 1 1 1 1a ;b2 22 2

= + = − Entonces 1 1a ba b+ + + es igual a:


División y teorema del resto

46

DEFINICIÓN DE DIVISIÓN ALGEBRAICA

CLASES DE DIVISIÓN

Es la operación cuya finalidad es obtener las expresiones algebraicas llamadas cociente y residuo; dadas otras dos expresiones denominadas dividendo y divisor.

D(x) = d(x) . q(x) + R(x)Residuo

CocienteDivisor

Dividendo

1. División exactaR(x) 0≡

Entonces:D(x) = d(x) . q(x)

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN

MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS

1. Existencia de la división algebraica G.A.(D) G.A.(d) G.A.(R)≥ >

2. Grado del cociente G.A.(q) G.A.(D) G.A.(d)= −

3. Grado máximo del residuo G.A. máx. (R) = G.A. (d) – 1

1. Método de W. Horner: Se utiliza para dividir polinomios de cualquier grado. Presenta el siguiente esquema: Esquema:

cociente

2. División inexacta R(x) 0≠

Entonces:

D(x) = d(x) . q(x) + R(x)

47

Trabajando en clase

Integral

1. Divide:

4 3 2

22x 5x 2x 4x 8

2x x 2+ − + +

+ − Calcula el cociente y el residuo

2. De la pregunta anterior, calcula la suma de coefi-ciente del cociente.

3. Divide el siguiente polinomio y da como res-puesta el cociente.

5 2 3

33m 18m 7m 2 m

m m 6+ − + +

+ +

2. Método de Ruffini: Este método es aplicable cuando el divisor es de primer grado de la forma (ax + b); a ≠ 0 Caso I: Cuando a = 1; se tiene (x + b). También aquí operamos solo con coeficientes, ordenado y completando

los polinomios. Dichos coeficientes se escriben en el siguiente esquema de Ruffini. Presenta el siguiente esquema.

Esquema:

Caso II Cuando a ≠ 1; se tiene (ax + b). El procedimiento es el mismo que en el primer caso. ax + b = 0; a ≠ 0

x = – ba

“a”

÷

3. Teorema del resto Este teorema se aplica en divisiones de la forma:

P(x)ax b+

; a ≠ 0

El resto se obtiene calculando el valor numérico del dividendo. Cuando bx a= − , entonces:

Resto = bP a −

Importante

* En la división algebraica generalmente las expresio-nes algebraicas son poli-nomios.

* Si a un polinomio le faltan términos estos se comple-tan con ceros.

48

PUCP4. Calcula m + n si la siguiente división es exacta.

5 3 2

2x 2x 13x mx n

x 3x 3+ − − +

− + Resolución

1÷ 1 0 2 –13 –m n3

–33 –3

9 –924 –24

6 –6× 1 3 8 2 0 0

Entonces: –m – 24 + 6 = 0 ∧ n – 6 = 0 ⇒ m = –18 ⇒ n = 6 ∴ m + n = –12

5. Calcula a + b + c si 5x2 + 11x + 4 es el residuo de la siguiente división:

5 3 2

3 28x 4x ax bx c

2x x 3+ + + +

+ + 6. El polinomio por el cual hay que dividir x3 – 2 para

obtener x – 3 como cociente y 8x + 1 como residuo.PUCP 2008-II

7. Calcula A + B si la siguiente división es exacta:4 3 2

2Ax Bx 14x 8x 3

x 2x 3+ + + +

+ +

UNMSM8. ¿Cuál es el valor de a para que el polinomio

x3 + (a2 + x – 1)x2 + (a – 1)x + a sea divisible por (x + 2)?

UNMSM 2004-IResolución:

Como es divisible entonces es exacto. D(x) = d(x) . q(x) x = –2 ↓

3 2 2

ox ( 1)x ( 1)x (x 2).q(x)+ a + a − + a − + a = +

3 2 2( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) 0− + a + a − − + a − − + a =28 ( 1)(4) 2 2 0− + a + a − − a + + a =

24 4 4 2 8 0a + a − − a + − = 24 3 10 0a + a − =

24 52

a −a +

0 0(4 5)( 2) 0a − a + =

5 ; 24a = a = −

9. Si se divide el polinomio3 2 2 3x 2ax a x 2a+ − + por (x – 2a)

¿cuál debe ser el valor de a2, de modo que el resi-duo sea 2?

UNMSM 2005-I

10. Determina el cociente de la siguiente división:3 24x 4x 3x 8

2x 1− + +

+

11. Divide el siguiente polinomio e indica el cociente y el residuo.

4 3 23x 2 2x 4x 2x 103x 2

+ + + −−

12. Calcula el valor de m + n + p si el polinomio

5 4 3 2P(x) x 2x 6x mx nx p= − − + + +

es divisible por (x – 3) y (x2 – 1)

13. Determina m – n de manera que el polinomio x4 – 3x3 + mx + n sea divisible por x2 – 2x + 4.

14. Determina el cociente al dividir P(x) = 3x4 + x3 + x2 + x – 2 entre (x + 1)(x – 2/3)


49

Factorización

DEFINICIÓN

Es un proceso de transformaciones sucesivas, en el que un polinomio se expresa como una multiplicación indicada de sus factores primos, dentro de un campo numérico.

2x 8x 12 (x 6)(x 2)− + = − −

Factorización

Polinomio primoPolinomio que no acepta transformación o multiplicación indicada de dos o más polinomios no constantes, pertenecientes a dicho campo numérico.

CRITERIO DE FACTORIZACIÓN

1. Criterio del factor común o agrupación de términos

Es el factor que más se repite en todos los térmi-nos de una expresión. Para factorizar se extrae el factor común, pero elevado a su menor potencia.

Ejemplo:

P(a; b) = a2 + ab + ac + bc = a(a + b) + c(a + b) = (a + c) (a + b)

2. Criterio de las identidades. En estos casos, se debe tener en cuenta los diver-

sos casos vistos en productos notables. Ejemplo:

Factoriza:

2 2

2 2

2

x xz y yz 2xy

2x 2xy y xz yz

(x y) z(x y)(x y)(x y z)

− + − +

+ + − −

= + − += + + −

3. Criterio del aspa simple Se utiliza en polinomios que adoptan la forma:

2n n m 2max bx y cy ; abc 0+ + ≠

Ejemplo: Factoriza:

5x2 + 16x + 35x 1 = x (+)x 3 = 15x

16x

Finalmente: (5x + 1)(x+3)

4. Criterio del aspa doble Se utiliza para factorizar polinomios que tienen la

forma:

2n n m 2m n mAx Bx y Cy Dx Ey F+ + + + +

Ejemplo: Factoriza:

3x2 + 10xy + 7y2 + 7x + 15y + 2

3xx

7yy

12

Finalmente: (3x + 7y + 1) (x + y +2)

Se utiliza para factorizar polinomios que adoptan la forma.

4n 3n 2n nAx Bx Cx Dx F+ + + +

50

Trabajando en clase

Integral

1. Factoriza el polinomio e indica un factor primo. P(x, y, z) = a(x – y) + b(x – y) + c(x – y) + d(x – y) + z(x – y) Indica un factor primo.

2. Factoriza el siguiente polinomio e indica un factor primo.

P(a; b; x; y) = ax + bx + ay + by – az – bz

3. Factoriza: P(x; y) = x2 – y2 + x + y

PUCP

4. Factoriza: P(x) = 81x4 – 1 Resolución aplicando diferencia de cuadrados:

P(x) = (9x2 + 1)(9x2 – 1) P(x) = (9x2 + 1)(3x + 1)(3x – 1)

5. Factoriza:P(x) = x8 – 1

6. Factoriza el siguiente polinomio e indica la canti-dad de factores primos.

P(a; b) = 4a2b – 12ab2

7. Factoriza el polinomio e indica la cantidad de fac-tores primos.

P(a;b;c) = a2(a + b) + b2(a + b) – c2(a + b)

UNMSM8. Factoriza el polinomio e indica la suma de sus

factores primos.P(x) = 6x2 + 13x – 5

Resolución: P(x) = 6x2 + 13x – 5 3x –1 2x 5 P(x) = (3x – 1) (2x + 5) ∴ Suma de factores primos: 3x – 1 + 2x + 5 = 5x + 4

9. Factoriza el polinomio e indica la suma de facto-res primos.

P(x) = 8x – 20 + x2

10. Factoriza el polinomio e indica la cantidad de fac-

tores primos.P(m;y) = 34my2 + 119m2y – 68m3

11. Factoriza el polinomio e indica un factor primo.P(x;y) = 12x2 + 20xy + 18x + 3y2 – 5y –12

12. Factoriza el polinomio e indica un factor primo.P(x; y)= 12x2 + 20xy + 18x + 3y2 – 5y –12

13. Factoriza el polinomio e indica un factor primo.2 2p(x; y) 6x 5xy 6y 5x 14y 4= + − − − −

14. Factoriza el polinomio e indica la cantidad de fac-tores primos.

4 3 2P(x) x 3x 4x 3x 1= + + + +

Ejemplo:

4 3 2

2

2

2 2

222

x 5x 9x 11x 6

5x4x

x 4x 3 3x

2xx x 25x

+ + + +

−

=

=

se tiene: (x2 + 4x + 3)(x2 + x + 2), pero aún se puede seguir factorizando, por

aspa simple el factor (x2 + 4x + 3).(x + 3)(x + 1)(x2 + x + 2)

Importante

En el tema de factorización todo proceso operativo estará dado generalmente en los racionales (Q)


51

Fracciones Algebraicas, MCD y MCM

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El MCD de dos o más expresiones algebraicas es la expresión de mayor grado posible contenida como factor, un número entero de veces en dichas expresiones.Para calcular el MCD, se factorizan estas expresiones, y el MCD estará formado por el producto de los factores comunes con su menor exponente.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

FRACCIÓN ALGEBRAICA

El MCM de dos o más expresiones algebraicas es la expresión de menor grado posible que contiene un número entero de veces a dichas expresiones.Para calcular el MCM, se factorizan estas expresiones y el MCM se formará con los productos de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

¡Ojito! Para dos polinomios P y Q se cumple: P(x);Q(x) P(x);Q(x)MCD .MCM P(x).Q(x)=

Una fracción algebraica es la razón indicada de dos expresiones racionales, de las cuales el denominador no debe ser una constante.Ejemplo:

x 1P(x) x 3−∗ =−

x 3R(x)2−∗ =

x 3Q(x)x−∗ =

3x 1A(x) 4

−∗ =

R(x) y A(x)⇒ no son fracciones algebraicas.

1. Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalente cuando adoptan

los mismo valores numéricos para un dominio o conjunto de valores admisibles comunes.

A) Fracción homogénea: Dos o más fracciones serán homogéneas si

tienen el mismo denominador: Ejemplo:

2 3

2 2 2x 1 x 2 x; ;

x 7x 1 x x 1 x x 1− +∗

+ + + + + + B) Fracción heterogénea:

Dos o más fracciones serán heterogéneas si tienen diferentes denominadores.

Ejemplo:

32

x 1 x 2 x 2; ;x 1 x 1x 1

+ + −∗+ +−

C) Fracción valor constante. Llamada también fracción independiente de

sus variables, es aquella que admite el mismo valor numérico al suscribir sus variables por cualquier valor constante permisible.

Propiedad: Si la fracción: ax by c

mx ny p+ ++ +

asume un valor

constante, es decir, es independiente de sus variables.

a b c km n p⇒ = = =

2. Simplificación de fracciones: Simplificar una fracción significa determinar otra

fracción equivalente a ella, cuyos términos sean primos entre sí. Para lograr esto, se deberá facto-rizar numerador y denominador y luego se elimi-narán los factores comunes a ambos términos.

52

Trabajando en clase

Integral1. Determina el MCD y MCM de los siguientes mo-

nomios: A(a; b; c) = 8a2b3c5

B(a; b; c) = 12a5b2c4 C(a; b; c) = 20a4b5c7

2. Calcula el MCD y MCM de los siguientes polino-mios:

P(x) = 6(x – 1)2(x + 1)5(x + 4)6

Q(x) = 8(x – 1)4(x + 1)3(x + 4)7

3. Determina el MCD y el MCM de los siguientes

polinomios. A(x; y) = 2(x + 1)3y2

B(x; y) = 4(x + 1)5y4z2

PUCP4. Calcula el MCD y MCM de los siguientes polino-

mios: A(x) = x2 + 8x + 12 B(x) = x2 – 36

Resolución: A(x) = (x + 6)(x + 2) B(x) = (x + 6)(x – 6) MCD = x + 6 MCM = (x + 6)(x + 2)(x – 6)

5. Calcula el MCD y MCM de los siguientes polinomios: A(x) = x2 – 8x – 20 B(x) = x2 – 5x – 50 6. Calcula el MCD y MCM de los siguientes polino-

mios: P(a) = 4a2 – 81 Q(a) = 2a2 – 9a 7. Calcula MCM

MCD en los polinomios

A(x) = x2 + 4x + 4 B(x) = x2 – 4 C(x) = x2 – x – 6

UNMSM8. Simplifica:

2 2 2

2 2 2x 1 x 5x 6 x 5x 6A

x x 2 x 9 x x 2− + + − += ⋅ ⋅

− − − + −Resolución:( x 1A += )( x 1− )( x 2− )( x 1+

( x 2)

+⋅ )( x 3+ )( x 3+ )( x 3−

( x 2)

−⋅ )( x 3− )( x 2+ )( x 1− )

∴ A = 1

9. Simplifica:

2 2 2

2 2 2a 16 a 5a 6 a 11a 30A

a 7x 12 a 10a 24 a 3a 10− + + − += ⋅ ⋅

+ + − + − − 10. Reduce:

2

2x 2 x 1 4x 6x 3A 3x 1 3 2x 6x 11x 3+ + + += + +− − − +

11. Reduce:

1y1 x yE 1y1 x y

+−

=

−+

12. Calcula A.B si:

2x 7 A B

x 3 x 2x x 6− = +

+ −+ −

13. Calcula AB si se sabe:

24x 5 A B

x 1 x 2x x 2+ = +

− ++ −

14. Calcula A + B.

2

2 2

x 1 x 1x 1 2xx 1 x 1A x 1 x 1 2a 2b a b

x 1 x 1

+ − − +− += ÷ − + − − + + −

2x 1B

x 2(x 2) x 2x x 1

−=++ −−−+


53

Números complejos I

• Unidad imaginaria Es el número que resulta de extraer la raíz cua-

drada al negativo de la unidad.

i = -1 ⇒ i2 = -1

• Cantidad imaginaria Es el número que resulta de extraer la raíz de

índice par a un número real negativo. Si A > 0; n ∈ N

Entonces, -A2n

Ejemplo:

Y -9 = 9(-1) = 9 ⋅ -1 = 3i

Y -11 = 11(-1) = 11 ⋅ -1 = 11 i

• Potencias de la unidad imaginaria Y i1 = i i4k+1 = i1 = i Y i2 = -1 ⇒ i4k+2 = i2 = -1 Y i3 = -i i4k+3 = i3 = -i Y i4 = 1 i4k = i4 = 1

• Propiedades Y i1 + i2 + i3 + i4 = 0 Y i1 + i2 + i3 + i4 + … + i4k-1 + i4k = 0; ∀ k ∈ Z+

Y i-k = (-1)k ⋅ ik

Y i( °4 + n)k = i °4 +nk; 0 ≤ n ≤ 3; n ∈ Z+; k ∈ Z+

• Resultados notables Y (1 + i)2 = 2i Y (1 - i)2 = -2i Y (1 + i)4 = -4 Y (1 - i)4 = -4 Y 1+i

1-i = -i

Y 1-i1+i

= -i

Trabajando en clase

Integral

1. Reduce: A = i4 + i8 + i12

i16 + i20

2. Reduce: A = -9 + -25 + -64 - -100

3. Reduce: B = i + i2 + i3 + i4 + i13 + i14 + i15 + i16

PUCP4. Reduce:

M = i42 + i43 + i44 + i45

i °4 + i °4

Resolución:

M = i°4 + i °4 + i °4 + i °4

i °4 + i °4

M = 1 + 1 + 1 + 11 + 1

= 42

= 2

5. Reduce:

M = i421

+ i432 + i443

+ i454

i465 + i476

54

6. Reduce: P = i-321 + i-400

i20 + i91

7. Reduce: A = 1 + i + i2 + i3 + … + i2014

UNMSM

8. Reduce: A = (1+i)2 + (1+i)4 + (1-i)2

(1-i)4

Resolución: A = 2i - 4 - 2i

-4 = -4

-4 =1

9. Reduce:

A = (1+i)4 + (1-i)4 + (1+i) ⋅ (1-i)2

4

10. Reduce:

A = 1+i1-i

2 + 1-i

1+i

2 +

1 + i1 - 1+i 1 - i

11. Reduce: A = i

100 + i1 - i

+ 1+i1-i

2 + 1-i

1+i

4

12. Reduce: A = (1 + i)3 + (1 - i)4

(1 - i)5 + (1 + i)6 + 6i - 2

13. Reduce:

A = 4i100 - 3i123457 + 5iabcd36

8iPAMER2016 + 7iPAMER2014

14. Reduce:

G = 2 i- i+ i5

Z = i + (1 + i)2

1 - i 1 - 1 - i 1 + 1 + i 1 - i

Calcula: G ⋅ Z


55

Números complejos IIUn número complejo Z es aquel que está formado por la unión de una parte real y otra imaginaria, Su representación es la siguiente:

Z = a + biParte real Parte imaginaria

Números complejos especialesConsiderando el número complejo Z = a + bi, tenemos:

A) Complejo real Es aquel cuya parte imaginaria es nula (b = 0)

B) Complejo puro Es aquel cuya parte real es nula (a = 0)

C) Complejo nulo Es aquel cuya parte real y parte imaginaria son

nulas (a = 0; b = 0)

Representación gráfica de un complejoForma cartesiana de un complejo:

→ Forma binómica: Z = a + bi

→ Forma cartesiana: Z = (a, b)

Im (eje imaginario)

b (a; b)

a Re(eje real)

Z

→ Módulo: Z = a2 + b2

ClasificaciónA) Complejos iguales Dos complejos son iguales si tiene sus partes rea-

les y sus partes imaginarias iguales. Si a + bi = c + di ⇒ a = c ∧ b = d.

B) Complejos conjugados Son aquellos que tienen la misma parte real, pero

de signos contrarios sus partes imaginarias. Así: Sea Z = a + bi Su conjugada será Z = a - bi

C) Complejos opuestos Son aquellos que son iguales, pero de signos di-

ferentes, tanto en su parte real como en su parte imaginaria.

Sea Z = a + bi Su opuesto será: Z* = - a - bi

Operaciones con números complejosSean: Z = a + bi W = c + di; Z; W ∈ CDefinimos las siguientes operaciones:a) Suma Z + W = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

b) Resta Z - W = (a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b - d)i

c) Multiplicación Z ⋅ W = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

d) División z

w = a+bic+di = (ac + bd) + (bc - ad)i

c2 + d2

Potencia de números complejosPor ahora emplearemos exponentes pequeños con el apoyo de productos notables.• Z = 3 – 2i⇒ Z2 = (3 – 2i)2

= 9 – 6i + 4i2

= 9 – 6i – 4 = 5 – 6i

56

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula: A = 3(2 + 3i) – 5(7 – 2i) + (1 + i)2

2. Calcula: B = 3(1 + i)2 + 5(1 - i)2 + (2 + i)(2 - i1)

3. Calcula: C = (3 + i)(2 - i) + (5 – 3i)(2 + i)

PUCP

4. Si 3 + ai5 - i

es un complejo real, calcula «a».

Resolución:

⇒ 3 + ai5 - i

= mcomplejo real

⇒ 3 + ai = 5m - mi

⇒ 3 = 5m ∧ a = -m 3

5 = m ∧a = - 3

5

5. Si Z = 4 + ai7 - 2i

es un complejo real, calcula «a».

6. Si Z = 2 + 3ai1 + i

es un complejo imaginario, calcula «a».

7. Si Z1 = (a + 3) + (b - 5)i Z2 = 2 + 4i son iguales, calcula «ab»

UNMSM8. Si Z = 3 – 2i, calcula: A = Z ⋅ Z + Z*

Resolución: A = (3 + 2i)(3 – 2i) + (-3 + 2i) A = 32 – (2i)2 – 3 + 2i A = 13 – 3 + 2i A = 10 + 2i

9. Si Z = 3 + 4i, calcula: A = Z ⋅ Z + Z*

10. Si Z = (a + 2i)(1 - i) + (1 + i)(b – 3i) es un complejo nulo, calcula «ab»

11. Calcula «a⋅b»: a + 3i + 7 – bi = (3 + 2i)2 + (1 + i)(4 – 3i)

12. Sea:

Im

Re30º60º

( 3; b)

A=(a; 3)

Calcula: a

b

13. Sea:

Im

Re

(a; 1)

(1; b)

30º

60º

Calcula: ab

14. Si Z = 3 + 2i, calcula el módulo de A = Z - Z* ⋅ Z + (Z - 2)2


57

Ecuación de segundo grado

DefiniciónUna ecuación de segundo grado es toda ecuación en la cual una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2.Forma general: ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0

Resolución de ecuaciones cuadráticasCaso 1: Forma: ax2 + bx + c = 0a) Factorización (aspa simple) Si: x2 + 8x + 7 = 0 x 7 x 1

(x + 7) (x + 1) = 0

o o x = -7 ; x = -1

CS = {-7; -1} b) Fórmula general

x1;2 = -b ± b2-4ac

2a

Si x2 – 9x + 2 = 0 a = 1 ; b = -9 , c = 2

x1;2 = 9 ± (-9)2-4(1)(2)

2(1)

x1; 2 = 9 ± 732

∴ x1 = 9 + 732

; x1 = 9 - 732

CS = 9 + 732

; 9 - 732

Caso 2: Forma ax2 – c = 0Si 2x2 – 8 = 0 2x2 = 8 x2 = 4 x = ±2

CS = {-2; 2}

Caso 3: Forma ax2 + bx = 0Si 7x2 + 8x = 0

x (7x + 8) = 0o o

x = 0 7x + 8 = 0 7x = -8 x = - 8

7

CS = 0 ; - 87

PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE

∆ = b2 – 4ac

Z Si ∆ > 0 ⇒ las raíces son reales y diferentes Z Si ∆ = 0 ⇒ las raíces son reales e iguales Z Si ∆ < 0 ⇒ las raíces son complejas y diferentes

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES1. Suma de raíces: x1 + x2 = - b

a

2. Productos de raíces: x1⋅ x2 = ca

3. Diferencia de raíces: x1 - x2 = ± ∆a

Raíces especiales Z Raíces simétricas: b = 0 Z Raíces recíprocas: a = c Z Raíz nula: c = 0 Z Raíces iguales: ∆ = b2 – 4ac = 0

Construcción de una ecuación de segundogradoSi x1 y x2 son las dos raíces,luego la construcción será:x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0

OJOSi 1 + 3 es raíz entonces 1 - 3 también es raíz.Si 2 - 3 entonces 2 + 3 también es raíz.

58

Trabajando en clase

Integral1. Resuelve: (5x + 3)2 = (3x + 5)2

Indica la menor raíz.

2. Resuelve: (2x + 1)2 = (x + 2)2 – 3 + 2x Indica la mayor raíz.

3. Resuelve: (x + 2)2 – (x - 2)2 = x2 + 7

PUCP4. Resuelve: x2 + 3x – 2 = 0 Resolución: Al verificar la ecuación con aspa simple, no se

puede factorizar, entonces se resolverá con la fór-mula general.

x2 + 3x – 2 = 0 a = 1; b = 3; c = -2

x1; 2 = -3 ± 32 - 4⋅1⋅(-2)2(1)

x1; 2 = -3 ± 172

CS = -3- 172

; -3 + 172

5. Resuelve: 3x2 + 5x – 1 = 0

6. Si una raíz de la ecuación px2 – (p + 1)x + 5p – 1 = 0 es –3, calcula P.

7. Si el discriminante de 5x2 – 3x + a – 1 = 0 es 7, calcula «a».

UNMSM

8. Si la suma de raíces es igual a tres veces el produc-to en (m - 1)x2 + (3 - m)x + 2m + 1 = 0

calcula «m». Resolución: ⇒ x1 + x2 = -(3 - m)

m - 1

⇒ x1 ⋅ x2 = 2m + 1m - 1

⇒ x1 + x2 = 3x1 ⋅ x2

-(3 - m)

m - 13(2m+1)

m - 1=

m – 3 = 6m + 3 -6 = 5m

- 65

= m

9. Si la suma de raíces es igual a dos veces el produc-to en (a + 1)x2 + (a - 2)x + 2a + 3 = 0,

calcula «a».

10. Halla la suma de los inversos de las raíces de la ecuación:

2x2 – 3x + 4 = 0 UNMSM 2010-II

59

11. Si z2 = 113 + f(z), halla la suma de los valores de z que resuelven la ecuación 2f(z) = z + 5.

12. Si las ecuaciones: 2 x + 2

x = 5 y ax2 + bx + 8 = 0

tienen las mismas raíces, halla «a + b».

13. Si las ecuaciones: 3 y + 3

y = 10 y mx2 + nx + 9 = 0

tienen las mismas raíces, halla «a + b».

14. Sea la ecuación 4x2 – 2x + 3 = 0 cuyas raíces son «a» y «b», halla otra ecuación cuadrática que ten-ga por raíces (2a - 1) y (2b - 1).


60

Teoría de ecuaciones

Ecuaciones polinomialesDado el polinomio:P(x) = anxn + an-1x

n-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0; an ≠ 0

tenemos, entonces, la ecuación polinomial:anxn + an-1x

n-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0

Teorema fundamental del álgebraTodo polinomio:P(x) = anxn + an-1x

n-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 ; an ≠ 0

puede ser descompuesto en «n» factores de grado 1, esto es:P(x) = an(x - r1)(x – r2) … (x - rn), donde r1; r2; r3; …; rn son raíces de P(x).

Nada impide que haya factores iguales, lo cual originaría que haya raíces iguales. Por lo tanto:

N.º soluciones ≤ N.º raíces

Multiplicidad de raícesConsiderando la ecuación polinomial:(x - 5)3 (x + 3)2(x - 7) = 0; se observa que hay tres raíz 5, dos raíz -3 y una raíz 7. Entonces diremos que 7 es una raíz simple, -3 es una raíz doble y 5 es una raíz triple.

Definción: Diremos que r es una raíz de multiplicidad m, m ≥ 1, de la ecuación polinomial p(x) = 0 solamente si P(x) = (x - r)m Q(x), donde Q(r) ≠ 0.

Teorema de CardanoConste en la recopilación de las relaciones que hay entre las raíces de la ecuación P(x) = 0 y sus respectivos coeficientes.Dada la ecuación:anxn + an-1x

n-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0; an ≠ 0

Cuyas raíces son r1; r2; r3; r4; … ; rn; tenemos:

a) Suma de raíces: r1 + r2 + r3 + … + rn-1 + rn = –

an–1an

b) Suma de productos binarios: r1⋅r2 + r1⋅r3 + r1⋅r4 + … + rn-1 ⋅ rn = an–2

an

c) Suma de productos ternarios: r1r2r3 + r2r3r4 + … + rn-2rn-1rn = – an-3

an ...

d) Producto de raíces: r1r2r3 … rn-1rn = (–1)n . ao

an

Teorema de paridad de raíces Z Teorema 1

P(x) = anxn + an-1x

n-1 + an-2xn-2 + … + a1x + ao ; an ≠ 0

si an1, an-1, an-2, …, a1; a0 ∈ Q; se cumple que si la ecuación tiene una raíz de la forma a + b ( b∉N), entonces la otra raíz será a - b , llamada conjugada.

Z Si la ecuación polinomial P(x) = anxn + an-1x

n-1 + … + a1x + ao; an ≠ 0; si an, an-1, an-2, …, a1, ao ∈R, se cumple que la ecuación admite como raíz al número Z = α + βi; (B ≠ 0) entonces admite como raíz al número Z = α – βi, llamado el conjugado de Z.

Recuerda

Si 5 – 7 es raíz de la ecuación entonces 5 + 7 también será raíz de la ecuación

61

Trabajando en clase

Integral1. Encuentra las relaciones que hay entre los coefi-

cientes de la siguiente ecuación polinomial y sus raíces.

3x4 – 5x3 + 2x2 -7x + 3 = 0 Y x1 + x2 + x3 + x4 = Y x1 x2 + x2 x3 + … + x3 x4 = Y x1x2x3 + … + x2 x3 x4 = Y x1x2x3x4 =

2. Si x4 – 3x3 + 2x – 2 = 0 A = suma de productos binarios B = suma de productos ternarios calcula: A + B

3. Si 3x5 – 2x4 + x3 – 7x2 – 10x + 6 = 0, calcula: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x1x2x3x4x5

PUCP

4. Si una raíz de 2x3 – mx2 + nx + 16 = 0 es 1 - 2 , calcula la raíz entera.

Resolución: Como una raíz es x1 = 1 - 2 → x2 = 1 + 2 x3 = ?? + - + - → 2x3 – mx2 + nx + 16 = 0 Observando los datos, aplicaremos productos de

raíces. x1 ⋅ x2 ⋅ x3 = - 16

2

(1 - 2 ) (1 + 2 ) x3 = -8 (12 - 2 2) ⋅ x3 = -8 (1 - 2) ⋅ x3 = -8 -x3 = -8 x3 = 8

5. Si una raíz de 7x3 – px2 + qx – 21 = 0 es 2 + 3 , determina la raíz entera.

6. Si una raíz de 5x3 – 10x2 + bx + a = 0 es 3i + 2, determina la raíz real.

7. Calcula la tercera raíz en 2x3 – 8x2 + mx – n = 0, si x1 + x2 = 3.

UNMSM

8. Resuelve la ecuación: x7 – 3x6 + 8x5 – 7x4 – 2x3 + 5x2 – 8x – 1 = 0, sa-

biendo que 1 + i es una raíz de la ecuación y de

multiplicidad 3. Da como respuesta la raíz real. Resolución: x1 = 1 + i conjugada x4 = 1 – i x2 = 1 + i conjugada x5 = 1 – i x3 = 1 + i conjugada x6 = 1 – i Calculamos la suma de raíces: 1 + i + 1 + i + 1 + i + 1 – i + 1 – i + 1 - i + x7 = -(-3)

1 6 + x7 = 3 x7 = -3

9. Calcula la raíz real en: 7x7 – 21x6 + 2x5 – 3x4 – 8x3 + 5x2 – 10x – 2 = 0 si 2 – 4i es una raíz de multiplicidad 3.

10. Calcula el valor de «x» en:

2x- x-4 x+4– = 0

62

11. Calcula la suma de las raíces de la ecuación: x – 1 3 x-1= ,

12. La ecuación: x3 – x + 2 = 0 posee raíces: x1; x2; x3. Calcula: x1

3 + x23 + x3

3

13. La ecuación 2x3 – 4x + 6 = 0 tiene raíces x1; x2; x3. Calcula: x1

3 + x23 + x3

3

14. Si la ecuación 2x2 + mx + 30 = 0 y sus raíces son x1 y x2, ¿para qué valores de «m» se cumple la re-

lación x1

x2= 3

5?


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