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DISTRIBUCIONES DISCRETAS

IMPORTANTES

Juan Carlos Colonia

BIBLIOGRAFÍA

Walpole, Ronal E., Myres, Raymond H., Myres,

Sharon L.: Probabilidad y Estadística para

Ingenieros. McGraw Hill-Interamericana.

Canavos G. Probabilidad y Estadística,

Aplicaciones y Métodos. México: Editorial Mc

Graw Hill.

ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS

IMPORTANTES

Entre las principales distribuciones discretas

tenemos:

Distribución Binomial

Distribución de Poisson

Distribución Hipergeométrica

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

ENSAYO DE BERNOULLI

Un ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio que tiene únicamente dos resultados posibles.

Observaciones:

1. Los resultados de un ensayo de Bernoulli suelen ser denominados “Éxito” y “Fracaso”; los cuales no tienen connotación de bueno y malo respectivamente.

2. Como el experimento solo tiene dos resultados, el termino “éxito” hace referencia a la ocurrencia del evento de interés y el termino “fracaso” al evento contrario, es decir al complemento.

ENSAYO DE BERNOULLI

Ejemplos:

Al inspeccionar un proceso de producción, si se encuentra algún producto defectuoso el proceso es detenido y sometido a revisión., encontrar un producto defectuoso constituye “éxito“.

Un sistema eléctrico puede que funcione o no, se considera éxito que el sistema funcione y fracaso que no funcione.

Un conmutador en ON/OFF, un servidor con conexión o sin ella, un fusible defectuoso o no defectuoso, etc.

3. El resultado “éxito” toma el valor 1 y “fracaso” el valor 0.

4. La probabilidad de éxito es p y de fracaso (1 – p).

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

Definición:

Una variable aleatoria X tiene distribución de Bernoulli con parámetro p si su función de probabilidad esta dado por:

Notación:

Características numéricas:

1 xx

Xf x p 1 p x 0,1

X B p

E X p V X p 1 p

ENSAYO BINOMIAL

Un ensayo binomial se caracteriza por:

1. Constan de n ensayos de Bernoulli.

2. Los resultados en cada ensayo pueden clasificarse

como éxito o fracaso.

3. Los ensayos son independientes.

4. La probabilidad p de éxito en cada ensayo es

constante.

Es decir un ensayo binomial consiste de n ensayos

independientes de Bernoulli, cada uno de los cuales con

igual probabilidad p de éxito.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Se emplea para conocer la probabilidad de obtener un

número determinado de “éxitos” al realizar n ensayos de

Bernoulli.

Definición:

Una variable aleatoria X tiene distribución Binomial con

parámetros n y p si su función de probabilidad esta

dado por:

Notación:

n xx

X

nf x p 1 p

x

X B n,p

x 0,1, 2, ..., n

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Función de distribución:

Características numéricas:

E X np

V X np 1 p

x

n ii

X

i 0

0 x 0

nF x p 1 p 0 x n

x

1 x 1

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Grafico de la Distribución Binomial con n = 10 y p = 0.5

Grafico Función de Probabilidad Grafico Función de Distribución

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Ejemplo: Si el 20% de las piezas producidas por una maquina son defectuosas, ¿cual es la probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defectuosas? : Número de piezas defectuosas La probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defectuosas es

2

4 x2

X

x 0

4P x 2 F 2 p 1 p 0.9728

x

X B 4 , 0.2

X

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

PROCESO POISSON

Un proceso Poisson se refiere a eventos que ocurren en un intervalo

continuo (intervalo de tiempo, longitud, región de espacio, etc.) que

satisface las siguientes condiciones:

1. El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o en

una región especifica son independientes del número de resultados

que ocurren en cualquier otro intervalo o región.

2. La probabilidad de que ocurra un solo resultado en un intervalo muy

pequeño o región muy pequeña es proporcional a la longitud de

dicho intervalo y no depende del número de resultados que se

produzcan fuera de este intervalo o región.

3. La probabilidad de que ocurran más de un resultado en un intervalo

de tiempo muy pequeño o en una región muy pequeña es

prácticamente nula.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de Poisson se emplea cuando se desea

calcular la probabilidad de ocurrencias de un evento en

un intervalo continuo determinado.

Definición:

Una variable aleatoria X tiene distribución de Poisson

con parámetros si su función de probabilidad esta

dado por:

Donde es el número promedio de resultados y t es el

intervalo continuo.

xt

X

e tf x

x!

x 0,1, 2, ..., n

0

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Notación:

Función de distribución:

Características numéricas:

E X

V X

itx

X

i 0

0 x 0

F x e tx 0

i!

X P

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Grafico de la Distribución de Poisson con λ = 0.5

Grafico Función de Probabilidad Grafico Función de Distribución

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Ejemplo:

Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radiactivas que pasa a través de un contador en un milisegundo es cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de que seis partículas entren al contador en un milisegundo?

: Número de piezas defectuosas

La probabilidad de que entren seis partículas

64

X

e 4P x 6 f 6 0.1041

6!

X P 4

X

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Sea el experimento aleatorio que consiste en seleccionar una muestra aleatoria de tamaño n (n ≤ N) de una población de tamaño N, dividida en dos subpoblaciones disjuntas de tamaños K y (N – K).

Los K elementos de N se puede clasificar como “éxito” y los (N – K) como “fracasos”.

Interesa saber el número de elementos en la muestra de tamaño n que pertenecen a la subpoblación K, es decir el número de “éxitos” en la muestra.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Se emplea para calcular la probabilidad de obtener un número

determinado de “éxitos” en una muestra de tamaño n proveniente

de una población de tamaño N.

Definición:

Una variable aleatoria X tiene distribución Hipergeométrica con

parámetros N, n y k si su función de probabilidad esta dado por:

Notación:

X

k N k

x n xf x

N

n

X H N,n,k

x 0,1, 2, ..., n

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Función de distribución:

Características numéricas:

K

E X nN

K N K N n

V X nN N N 1

x

X

i 0

0 x max 0,n N K

k N k

i n iF x max 0,n N K x min n,K

N

n

1 x min n,K

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Grafico de la Distribución Hipergeométrica con

N = 1,000 K = 200 y n = 10

Grafico Función de Probabilidad Grafico Función de Distribución

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Ejemplo: Una caja contiene 9 baterías de las cuales 4 están en buen

estado. Se toma una muestra de tres baterías. ¿Cuál es la

probabilidad de que se obtenga al menos una batería en buen

estado?

: Número de baterías defectuosas

Probabilidad de que se obtengan al menos una batería en buen

estado

4 9 4

0 3 0P x 1 1 P x 1 1 P x 0 1 0.881

9

3

X H 9 , 3, 4

X