introducción a la probabilidad medida numérica de certidumbre. escala entre 0 y 1 mecanismo para...
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Introducción a la Probabilidad Medida numérica de
certidumbre. Escala entre 0 y 1 Mecanismo para tomar
decisiones de eventos futuros.
1 2 3 4 5
Probabilidad de Ocurrencia
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Enfoques conceptuales
Enfoque clásico
Enfoque de frecuencias relativas
Enfoque clásico
Este enfoque se basa en el supuesto de que cada resultado es igualmente probable.
Dado el enfoque es determinar valores de probabilidad antes de que sean observados cualesquiera eventos muestrales.
Ejemplo:
13
1
52
4
)(
)()(
SN
ANAP
Enfoque de Frecuencias Relativas
Esta probabilidad se determina con base en la proporción de veces en las que ocurre un resultado favorable en cierto número de observaciones o experimentos.
También conocido como enfoque empírico.
n
n(A)AAP
muestra la de tamaño
de socurrencia de núm)(
Expresión de la probabilidad La probabilidad de un evento se
expresa como “P”, así P(A) denota la probabilidad que ocurra A.
El menor valor de un enunciado de probabilidad es cero (0) y el mayo uno (1).
0<=P(A)<=1
Expresión de la probabilidad Se expresa:
Probailidad de Ocurrencia = P(A) Probailidad de no ocurrencia = P(A’)
Por tanto: P(A) + P(A’) = 1
A’
A
Variable Aleatoria
Es una descripción numérica del resultado de un experimento.
Se dividen en: Variable aleatoria discreta: cantidad
finita de valores. Ejemplo: Sexo de los clientes.
Variable aleatoria continua: cantidad infinita de valores: Ejemplo: Ingresos de los clientes.
Ejemplos de Variables Aleatorias
Edad
Provincia en la que reside en cliente
Ingresos familiares
Educación
Porcentaje terminado de los manuales de riesgo
Cantidad de clientes que visitan el banco por día
Distribuciones discretas de probabilidades
Probabilidad puntual Función uniforme de
probabilidades
nxf
1)(
variablelaasumir puede que valores
:
ndonde
f(x)
.40
.30
.20
.10
xCantidad de créditos colocados por día
0 1 2 3 4 5
Distribución binomial
Distribución discreta de probabilidades sobre eventos binomiales
Propiedades de los eventos binomiales Consiste en una sucesión de n intentos idénticos Solo dos posibles resultados, éxito o fracaso. La probabilidad de éxito es p, y de fracaso 1-p Independencia sobre los resultados
Los resultados acumulativos me arrojan probabilidades de obtener el resultado o menos.
Aplicatividad
Permite extrapolar el comportamiento de variables aleatorias discretas (éxito o fracaso)
Ejemplo: Probabilidad de Default o no Default Determinar el número observaciones
necesarias para alcanzar los objetivos planteados.
Ejercicio
El Banco de Crecimiento se dedica a financiar proyectos de inversión en proyectos inmobiliarios, según datos históricos el 70% de los proyectos financiados son exitosos. Bajo un nuevo producto estudian 100 clientes que han solicitado financiamiento.
Cuál es la probabilidad de que los 100 proyectos sean exitosos.
Cuál es la probabilidad de que los 100 fracasen. Determine cuantos proyectos serán exitosos con un
95% probabilidad. Según análisis financiero se requiere al menos 80
proyectos operando, cual es la probabilidad de alcanzar 80 o más proyectos exitosos.
Función de Probabilidad binomial
fracaso de adprobabilid)1(
exito de adprobabilid
intentos de cantidad
intentosn en exitos de adprobabilid la)(
:
)1()!(!
!)( )(
p
p
n
xf
Donde
ppxnx
nxf xnx
Ejemplo Factorial de 4 = 4*3*2*1
Distribución binomial en Excel
Distribución binomial con Minitap Digite en C1 el
número de exitos posibles según n
Paso 1: Seleccione “Calc”
Paso 2: Seleccione “Probability distributions”
Paso 2: Seleccione “Binomial”
EjemploEjemplo
Distribución de probabilidades de Poisson
Se utiliza para estimar la cantidad de sucesos u ocurrencias en determinado intervalo de tiempo o espacio
Propiedades: La probabilidad de una
ocurrencia es igual en dos intervalos cualesquiera de igual longitud
La ocurrencia o no en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no en cualquier otro intervalo.
Función de probabilidades de Poisson
2.71828
intervaloun en socurrencia de promedio de cantidad
intervaloun en socurrencia x de adprobabilid
e
xf
Dondexe
xfx
)(
:!
)(
2.71828
intervaloun en socurrencia de promedio de cantidad
intervaloun en socurrencia x de adprobabilid
e
xf
Dondexe
xfx
)(
:!
)(
Aplicatividad
Determinar la probabilidad de ocurrencias en un determinado período de tiempo, especial para riesgo operativo.
Ejemplo: Probabilidad de incidentes con el
sistema informático por año. Llegadas de clientes a ventanilla por día Cualquier evento en intervalos de
tiempo.
Ejercicio
Suponga que como parte de sus funciones como encargado de la unidad de riesgo se le ha solicitado determinar la probabilidad de ocurrencia de caídas en el sistema informático. Según datos históricos mensualmente ocurren 10 incidentes. La Administración desea conocer la probabilidad de reducir los incidentes a 2. Determine la probabilidad de lograrlo.
Poisson con Excel Función: =Poisson(….)
Poisson con Minitap
Distribución Normal de Probabilidades
Distribución más utilizada Características
Cada distribución tiene su propia media y desviación estándar
Simétrica media=moda=mediana Media puede ser cualquier valor numérico.
-10 100 μ
σ=10
σ=5
Función de densidad normal de probabilidad
71828.2
14159.3
:2
1)(
2
2)(
2
e
estándardesviación
promedio
donde
exfx
Distribución Estandarizada de Probabilidades Media = Cero
Desviación estándar = 1
Se utiliza la letra z para identificarla
Facilita el proceso de análisis de datos al estandarizarlos bajo una misma densidad
estándardesviación
media
datox
Donde
xz
:
estándardesviación
media
datox
Donde
xz
:
Conversión a la distribución normal
Distribución estandarizada
Área bajo la curvaÁrea bajo la curvaEs igual a 1Es igual a 1
0
Distribución Normal con Excel Funciones:
=DISTR.NORM(...) =DISTR.NORM.ESTAND.INV(...) =NORMALIZACION()
Ejemplo
Promedio= 36.500 Desviación=5.000 Calcule:
Probabilidad de que x sea mayor de 40.000
X menor en un 10% de los casos
Modelo de regresión lineal simple
Permite establecer la relación que existe entre dos variables.
xy 10Variable DependienteVariable Dependiente
Constante BetaConstante Beta
SensibilidadSensibilidad
Variable IndependienteVariable Independiente
ErrorError
Modelo de regresión Lineal simple
xy 10
E(y)
X
La pendiente B1 es positivaLa pendiente B1 es negativaLa pendiente B1 es cero
Bo
Método de los cuadros mínimos
También llamado mínimos cuadrados Utilizado para determinar Bo y B1 que
minimizan la suma de los cuadrados de las desviaciones entre los valores observados.
nxx
nyxyxb
ii
iiii
221
nxx
nyxyxb
ii
iiii
221 xbybo 1 xbybo 1
Análisis de datos Mínimos cuadrados Suma de cuadrados debido al error
(SSE): determina el cuadrado de los errores entre el dato y la estimación con la línea de regresión.
Suma de cuadrados debido a la regresión (SSR):
Cuadrado promedio del error (MSE)
SSE
Suma de cuadrados debido al error (SSE): determina el cuadrado de los errores entre el dato y la estimación con la línea de regresión.E(y)
X
Σ2 2
2
2
2
222
2
2
2
2
Según datos utilizados
SST
Suma total de cuadrados: suma de los cuadrados de los errores entre la observación dependiente y el promedio de la variable dependiente.
E(y)
X
Σ2 2
2
2
2
222
2
2
2
2
Según datos utilizados
Media de y
SSR
SSR= SST-SSE
E(y)
X
Media de y
SSESST
SSR
SST / SSR / SSE
Estimadores que permiten determinar la bondad del ajuste para la ecuación de regresión.
SSE = 0 ajuste perfecto Relación por tanto entre SSR y SST
sería unitaria.
SST / SSR / SSE
Estimadores que permiten determinar la bondad del ajuste para la ecuación de regresión.
SSE = 0 ajuste perfecto
Relación por tanto entre SSR y SST sería unitaria.
E(y)
X
SSESST
SSTSSR
Coeficiente de determinación R2
Permite establecer numéricamente el ajuste entre las variables
R2 cercano a cero significa que “y” no se explica a partir del compramiento de “x”
R2 cercanos o iguales a 1 que y se explica por el comportamiento de “x”
Coeficiente de determinación R2
Estimadores que permiten determinar la bondad del ajuste para la ecuación de regresión.
SSE = 0 ajuste perfecto
Relación por tanto entre SSR y SST sería unitaria.
E(y)
X
SSE
SST
SSTSSR
SSTSSR
SSTTendiente a cero
Análisis de datos mínimos cuadrados
Regression Analysis: Ingresos Mensuales versus Población
The regression equation isIngresos Mensuales = 60.0 + 5.00 Población
Predictor Coef SE Coef T PConstant 60.000 9.226 6.50 0.000Población 5.0000 0.5803 8.62 0.000
S = 13.8293 R-Sq = 90.3% R-Sq(adj) = 89.1%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 14200 14200 74.25 0.000Residual Error 8 1530 191Total 9 15730
Regression Analysis: Ingresos Mensuales versus Población
The regression equation isIngresos Mensuales = 60.0 + 5.00 Población
Predictor Coef SE Coef T PConstant 60.000 9.226 6.50 0.000Población 5.0000 0.5803 8.62 0.000
S = 13.8293 R-Sq = 90.3% R-Sq(adj) = 89.1%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 14200 14200 74.25 0.000Residual Error 8 1530 191Total 9 15730
S = 13.8293 R-Sq = 90.3% R-Sq(adj) = 89.1%S = 13.8293 R-Sq = 90.3% R-Sq(adj) = 89.1%
Ingresos Mensuales = 60.0 + 5.00 PoblaciónIngresos Mensuales = 60.0 + 5.00 Población
Source DF SS MS F PRegression 1 14200 14200 74.25 0.000Residual Error 8 1530 191Total 9 15730
Source DF SS MS F PRegression 1 14200 14200 74.25 0.000Residual Error 8 1530 191Total 9 15730
Predictor Coef SE Coef T PConstant 60.000 9.226 6.50 0.000Población 5.0000 0.5803 8.62 0.000
Predictor Coef SE Coef T PConstant 60.000 9.226 6.50 0.000Población 5.0000 0.5803 8.62 0.000
Ejercicio
Según datos contenidos en el “Regresión linea 2.mtw” evalúe la información y responda las siguientes preguntas: ¿Existe relación entre las variables? ¿Cual es la línea de regresión? ¿Qué tipo de asociación existe o positiva,
negativa? ¿Cual es el factor de sensibilidad de la
variable independiente sobre la variable dependiente?
Ejercicio
Regression Analysis: Morosidad versus Tasa de Desempleo Abierto
The regression equation isMorosidad = - 1013292 + 220312 Tasa de Desempleo Abierto
Predictor Coef SE Coef T PConstant -1013292 129493 -7.83 0.000Tasa de Desempleo Abierto 220312 24524 8.98 0.000
S = 12157.7 R-Sq = 89.0% R-Sq(adj) = 87.9%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 11928828666 11928828666 80.70 0.000Residual Error 10 1478096331 147809633Total 11 13406924998
Regression Analysis: Morosidad versus Tasa de Desempleo Abierto
The regression equation isMorosidad = - 1013292 + 220312 Tasa de Desempleo Abierto
Predictor Coef SE Coef T PConstant -1013292 129493 -7.83 0.000Tasa de Desempleo Abierto 220312 24524 8.98 0.000
S = 12157.7 R-Sq = 89.0% R-Sq(adj) = 87.9%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 11928828666 11928828666 80.70 0.000Residual Error 10 1478096331 147809633Total 11 13406924998
Uso de la Regresión
La relación está basada exclusivamente en los datos analizados. Gráfico
Debe existir juicio del analista para determinar efecto de causa y efecto
Establecimiento de supuestos entorno al modelo
De ser posible fundamentación teórica
Uso de la Regresión
La relación está basada exclusivamente en los datos analizados. Gráfico
Debe existir juicio del analista para determinar efecto de causa y efecto
Establecimiento de supuestos entorno al modelo
De ser posible fundamentación teórica
Uso de la Regresión
Uso de un intervalo de confianza para determinar la probabilidad de que la variable dependiente se comporte según la variable independiente.
Predicted Values for New Observations
NewObs Fit SE Fit 95% CI 95% PI 1 198422 6471 (184004, 212839) (167735, 229109)
Predicted Values for New Observations
NewObs Fit SE Fit 95% CI 95% PI 1 198422 6471 (184004, 212839) (167735, 229109)
Intervalo media de las observacionesIntervalo puntual
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