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Unidad 4

Probabilidad

197

Introducción

En el lenguaje cotidiano, la gente se refiere a la probabilidad como una medida de certeza o de certidumbre sobre lo que puede presentarse en el futuro. De hecho, si uno consulta un diccionario, la probabilidad se define como la posibilidad de que ocurra algo; es decir,

es un indicador que señala qué tan cierto o qué tan posible es que se presente algún suceso o acontecimiento.

Sin embargo, los problemas relacionados con la probabilidad que se presentan en las ciencias sociales y administrativas adquieren una mayor complejidad. Por esta razón, en esta unidad se te proporcionará un primer acercamiento al tema de probabilidad, exponiendo sus conceptos y sus reglas básicas, así como su aplicación en la resolución de problemas en los que se presentan situaciones de incertidumbre.

El estudio de la probabilidad se motiva por dos razones. En primer lugar, en el ámbito social como en el mundo de los negocios es muy frecuente tomar decisiones ante escenarios inciertos. Por ejemplo, en un momento de inestabilidad financiera o de nerviosismo en los mercados, las decisiones deben tomarse de manera ágil y correcta, pues una demora podría ocasionar pérdidas millonarias a una empresa, a un sector o a un país. Al contar con un indicador de certeza o confiabilidad se facilita la toma de decisiones ante escenarios inciertos.

En segundo lugar, si deseamos adentrarnos al estudio de la estadística inferencial primero necesitamos conocer los conceptos básicos de la probabilidad para así poder cuantificar la incertidumbre asociada al proceso de inferencia. Una de las bases fundamentales del estudio de la estadística inferencial consiste en conocer qué tan confiable es la conclusión a la que llegamos para describir una población con la información proporcionada por una muestra.

Como analista de fenómenos sociales o desde una posición en la alta gerencia, en muchas ocasiones utilizarás los conceptos de la probabilidad para tomar decisiones ante escenarios inciertos o para conocer qué tan confiable son tus resultados obtenidos mediante estudios basados en técnicas de la estadística inferencial.

4.1. Conceptos básicos y enfoques de la probabilidad

Como ya se ha mencionado, la probabilidad es un indicador que señala qué tan cierto o qué tan posible es que se presente un suceso o acontecimiento. La probabilidad se expresa mediante la letra P y únicamente puede tomar valores dentro del rango de 0 a 1: 0 P 1

198 ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS

Cuando la probabilidad es muy cercana a 0, interpretamos que es poco probable o poco posible que se presente tal suceso o acontecimiento; en cambio, cuando tenemos una probabilidad muy cercana a uno, señalamos que es muy probable o muy posible que se presente dicho suceso o acontecimiento.

Por otra parte, cuando tenemos una probabilidad igual a 0, se dice que no existe ninguna posibilidad de que ocurra dicho suceso, mientras que cuando se tiene una probabilidad igual a 1, se dice que existe plena seguridad de que el acontecimiento ocurrirá.

Por ejemplo, si la probabi lidad de que se presente un incremento en la Bolsa Mexicana de Valores es de 0.12 y la probabi lidad de que se incremente la Bolsa de Nueva York es de 0.48 se dice que es más probable observar un incremento en la Bolsa de Nueva York que en la de México.

4.1.1. Experimento, espacio muestral y evento

Existen tres conceptos básicos para adentrarse al tema de probabilidad, éstos son: experimento, espacio muestral y eventos.

resultados posibles.

Si en un experimento existe un único resultado posible, se tiene la plena certeza de obtener ese resultado, y no estaríamos hablando de un experimento en probabilidad, pues no tendríamos la presencia de incertidumbre y, por lo tanto, no es interés del estudio de la probabilidad. Por esta razón, los experimentos en probabilidad se llaman experimentos aleatorios, cuyos resultados no pueden predecirse con plena seguridad, pues están sujetos al azar.

Algunos ejemplos de experimentos son los siguientes:

1. Registrar la preferencia de los estudiantes universitarios acerca de tres tarjetas de crédito distintas.

2. Estimar el número de libros de arte que una casa editorial puede vender.

3. Estimar el número de accidentes de trabajo que ocurren anualmente en una empresa dedicada a la producción de medicamentos.

En estos tres ejemplos se habla de un proceso de observación en el cual se obtiene un resultado entre distintos resultados posibles.

El espacio muestral es el conjunto de todos los res ultados posibles que se pueden obtener de un

experimento y es representado mediante la letra .

Los resultados posibles que pueden obtenerse en un experimento también son conocidos como puntos muestrales y cada uno de ellos se representa mediante la letra Ri. De esta manera, el espacio muestral también se define como el conjunto de todos los puntos muestrales que se pueden obtener en un experimento.

199UNIDAD 4. PROBABILIDAD

Ejemplo 1

Si se lanza una moneda al aire una sola vez, encuentra:

a) ¿Cuál es el experimento?b) ¿Cuáles son los resultados posibles o puntos maestrales?c) ¿Cuál es el espacio muestral?

En este caso, el experimento consiste en “ lanzar una moneda al aire una sola vez”, pues se trata de un proceso de observación en el que se obtiene un resultado entre distintos resultados posibles.

En este experimento hay dos resultados posibles o dos puntos muestrales:

R1 : Que sea águila. R

2 : Que sea sol.

El espacio muestral de este experimento se representa de la siguiente manera:

S = {águila, sol

Ejemplo 2

Se pregunta a un directivo de una empresa cuál es la computadora de su preferencia.

a) ¿Cuál es el experimento?b) ¿Cuáles podrían ser los posibles resultados o puntos muestrales?c) ¿Cuál podría ser el espacio muestral?

El experimento es “registrar la preferencia de computadoras que tiene un directivo de una empresa”.

En este experimento podrían existir cuatro resultados posibles o puntos muestrales:

R1: IBM

R2: Hewlett Packard R

3: Compaq

R4: Nec

El espacio muestral de este experimento se representa de la siguiente manera:

S = {IBM, Hewlett Packard, Compaq, Nec}

Ejemplo 3

Un inversionista seleccionará de manera aleatoria y sin reemplazo dos acciones entre un portafolio compuesto por tres acciones: acción A, acción B y acción C. ¿Cuáles son los posibles resultados o puntos muestrales? ¿Cuál es el espacio muestral?

Una selección sin reemplazo es aquella que ocurre cuando una opción ya fue seleccionada y ya no puede volver a ser seleccionada nuevamente, mientras que una selección con reemplazo es aquella que ocurre cuando una opción que ya fue seleccionada, puede volver a ser seleccionada nuevamente. Al ser un experimento sin reemplazo, existen seis posibles resultados:


R1: (A, B) R

4: (B, A)

R2: (A, C) R

5: (C, A)

R3: (B, C) R6: (C, B)

Por ejemplo, en el primer resultado posible R1: (A, B), se señala que la primera y segunda acción seleccionada por el inversionista fueron A y B, respectivamente; mientras que en el cuarto resultado posible R4: (B, A) se indica que la primera y segunda acción seleccionada por el inversionista fueron B y A, respectivamente.

El espacio muestral queda representado de la siguiente manera:

S = { (A, B), (A, C), (B, C), (B, A), (C, A), (C, B) }

Ejemplo 4

Una estudiante adolescente se encuentra platicando en Internet con el propósito de encontrar novio. Existe la posibilidad de que los jóvenes con los que platique sean guapos (G) o feos (F).

a) ¿Cuál es el espacio muestral si se encuentra platicando con un joven?b) ¿Cuál es el espacio muestral si se encuentra platicando con tres jóvenes?

Si la adolescente platica sólo con un joven, entonces existen dos resultados posibles: que el pretendiente sea guapo (G) o que el pretendiente sea feo (F), por lo que el espacio muestral es:

S = {G, F}

Ahora, si la adolescente platica con tres jóvenes simultáneamente, entonces existen ocho resultados posibles pues es una selección con reemplazo (una opción que ya es seleccionada con el primer pretendiente, puede ser seleccionada nuevamente con el segundo pretendiente):

R1: (G, G, G) R5: (G, F, F)R

2: (G, G, F) R

6: (F, G, F)

R3: (G, F, G) R7: (F, F, G)R

4: (F, G, G) R

8: (F, F, F)

Por ejemplo, el primer resultado posible R1: (G, G ,G) señala que los tres jóvenes con los que la

adolescente platica son guapos; mientras que el segundo resultado posible R2 : (G, G, F) indica que el primer y segundo joven son guapos, mientras que el tercer joven es feo.

El espacio muestral queda representado de la siguiente manera:

S = {(G, G, G), (G, G, F), (G, F, G), (F, G, G), (G, F, F), (F, G, F), (F, F, G), (F, F, F)}

Ejemplo 5

Una empresa de mercadotecnia desea conocer la efectividad de anunciar productos por televisión en el horario en que se transmite un famoso programa de talkshow; para esto entrevistó a 10 amas de casa y les preguntó si veían dicho programa de televisión. ¿Cuál es el espacio muestral si lo que se desea observar es el número de amas de casa que ven ese programa?


El experimento sólo tiene el interés de conocer el número de amas de casa que ven el programa, por lo que el espacio muestral es:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

En este caso existen 11 resultados posibles. Puede ocurrir que ninguna ama de casa vea el talkshow, por lo que el resultado posible es 0; o bien, puede presentarse el caso en que las 10 amas de casa entrevistadas vean el programa, cuyo resultado posible se representa como 10.

El concepto evento es muy importante en el estudio de la probabilidad y se define de la siguiente manera:

Un evento en probabilidad se le llama a la colección de uno o varios resultados posibles o puntos

muestrales que pertenecen a un espacio muestral. Es decir, un evento es un subconjunto del espacio

muestral. Generalmente los eventos se representan p or la letra .

Cabe señalar que un evento no debe entenderse como sinónimo de posible resultado o punto muestral. Un evento efectivamente puede tomar en cuenta un resultado posible o punto muestral, pero también puede considerar varios resultados posibles o puntos muestrales.

Tampoco deben confundirse los términos experimento y evento. Un experimento es un proceso de observación en el que se pueden obtener distintos resultados. Un evento es la colección de uno o más de esos resultados que se puede obtener en un experimento y que se encuentra dentro del espacio muestral.

Ejemplo 6

Del experimento en que una estudiante adolescente se encuentra platicando con tres jóvenes con la finalidad de encontrar novio, se pueden observar varios eventos.

Un evento podría ser que “ los tres jóvenes sean guapos”. En este caso, el evento sólo estaría considerando un punto muestral (G, G, G) de los ocho puntos muestrales o resultados posibles de este experimento.

Otro evento podría definirse como “platique con dos jóvenes que sean feos”. En este evento se consideran tres posibles resultados o puntos muestrales: (G, F, F), (F, G, F) y (F, F, G).

Otro evento podría definirse como “al menos dos jóvenes con los que platique sean guapos”. En este evento se considerarían cuatro posibles resultados o puntos muestrales: (G, G, F), (G, F, G), (F, G, G) y (G, G, G).

Como puede apreciarse, el primer evento únicamente consta de un solo punto muestral de los ocho existentes en el espacio muestral, mientas que en los dos últimos eventos se tiene una colección de varios puntos muestrales.

Ejemplo 7

Para analizar el desempeño de un mercado acudimos a un experimento en el que se observan los siguientes precios posibles de un producto: 18, 19, 20, 21 y 22 pesos, por lo que el espacio muestral queda definido de la siguiente manera S = (18, 19, 20, 21, 22). En este caso podemos tener varios eventos, de los cuales se señalan sólo algunos:


E1: Que el precio del producto sea 18 pesos.

E2: Que el precio del producto sea 19 pesos.

E3: Que el precio del producto sea 20 pesos.E

4: Que el precio del producto sea mayor de 20 pesos (21 y 22 pesos).

E5: Que el precio del producto sea de 20 pesos o menos (18, 19 y 20 pesos).

Como podemos observar, los eventos E1, E2 y E3 se encuentran compuestos sólo por un posible resultado o punto muestral. Los eventos E

4 y E

5 se encuentran compuestos por dos y tres posibles

resultados o puntos muestrales, respectivamente.

4.1.2. Enfoques de la probabilidad

En el estudio de la probabilidad resulta inapropiado establecer una definición estricta de su concepto; en su lugar se han desarrollado tres enfoques conceptuales para determinar sus valores: enfoque clásico, enfoque de frecuencia relativa y enfoque subjetivo. Cada uno representa planteamientos distintos en cuanto a la concepción y a la manera de obtener las probabilidades de un evento.

Enfoque clásico

El enfoque de probabilidad clásico predominó en los siglos XVII y XVIII, y se aplicó principalmente en juegos de azar como cartas y dados.

La probabilidad de que ocurra un evento desde el pu nto de vista clásico se calcula dividiendo el númer o

de resultados que son favorables al evento, entre e l número total de resultados del experimento.

Probabilidad de un evento =Número de resultados favorables

Númmero total de resultados

Este enfoque se basa en dos consideraciones: que los resultados son igualmente posibles o que los resultados pueden ser previsibles sin necesidad de efectuarse el experimento.

Ejemplo 8

Considérese que lanzamos un dado una sola vez. Si nos preguntamos ¿cuál es la probabilidad de que caiga uno?, nuestro evento lo definimos como “que caiga uno” y su probabilidad la expresamos como P( ).

En este problema pueden ocurrir seis resultados: que el dado caiga en 1, 2, 3, 4, 5 o 6. También se observa que de esos seis resultados, sólo uno es favorable al evento “que caiga uno”. Aplicando la fórmula del enfoque clásico de la probabilidad el resultado sería el siguiente:

Número de resultados favorables: 1

1 1( )

1 1 1 1 1 1 6P

Número total de resultados: 6

Probabilidad de caer el número uno

16


Ahora si se desea conocer cuál es la probabilidad de que al lanzar el dado una sola ocasión caiga un número par, aplicamos la siguiente fórmula:

Número de resultados favorables: 3

1 1 1 3 1 ( ) 0.5

1 1 1 1 1 1 6 2P par

Número total de resultados: 6

Probabilidad de caer el número par

30.5

6

En este problema también pueden ocurrir seis resultados: que el dado caiga en 1, 2, 3, 4, 5 o 6; de esos seis resultados posibles, tres son favorables al evento “que caiga un número par”, que son los números 2, 4 y 6, por lo que en el numerador de la fórmula se pone el número 3.

Ejemplo 9

Una conocida cadena de tiendas de autoservicio desea promover sus ventas invitando a sus clientes a participar en un concurso denominado “La vida es una tómbola”. En ese concurso, a los clientes se les realizará un descuento de acuerdo con el porcentaje que se indique en cada una de las bolitas que seleccionó de la tómbola. Dentro de la tómbola, existen 100 bolitas clasificadas de la siguiente manera: 1 otorga 100%, 9 otorgan 50%, 10 otorgan 30%, 10 otorgan 20%, 20 otorgan 10% y 50 otorgan 0%.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente obtenga 100% de descuento? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente obtenga 30% de descuento?c) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente obtenga 0% de descuento?

La probabilidad de que un cliente obtenga 100% de descuento es:

P( %)...

.1001

1 1 1 11

1000 01

La probabilidad de que un cliente obtenga 100% de descuento en esta tómbola es de 0.01, es decir, es una probabilidad muy baja. Únicamente existe una bolita que ofrece 100% de descuento entre las 100 que se encuentran en la tómbola.


P( %) .3010100

0 1

Existen diez bolitas que ofrecen 30% de descuento entre las 100 que se encuentran en la tómbola.


P( %) .050

1000 5


Existen cincuenta bolitas que ofrecen 0% de descuento entre las 100 que se encuentran en la tómbola.

A la probabilidad clásica comúnmente se le conoce como probabi lidad a pr iori , esto es debido a que la probabilidad puede ser conocida de manera anticipada, sin necesidad de efectuar un experimento. En el ejemplo anterior no fue necesario efectuar observaciones para saber cuál era la probabilidad de que un cliente obtuviera 100% de descuento, en lugar de esto la probabilidad se calcula conociendo únicamente la composición de la tómbola. Otro ejemplo similar es cuando un joven acude al sorteo para conocer si tendrá que realizar el servicio mi litar de manera activa, pues al inicio del sorteo se señala cuántas bolas negras y blancas existen dentro de la urna.

Enfoque de frecuencia relativa

Existe una gran cantidad de situaciones donde la ocurrencia de posibles eventos no es igualmente probable ni puede ser previsible, sino que existe la necesidad de efectuar observaciones. En estas situaciones la probabilidad es obtenida utilizando el enfoque de frecuencia relativa, el cual se basa en la información que se ha obtenido en experiencias del pasado o en observaciones que se han recolectado a través de una muestra.

La probabilidad de que ocurra un evento se calcula dividiendo el número de veces en que se ha

presentado dicho evento, ya sea en observaciones re alizadas en el pasado o a través de un muestreo,

representados como ( ), entre el número total de observaciones realizada s, que representamos como .

P An AN

( )( )

Donde:n(A) = número de veces en que se ha presentado el evento “A”. N = número total de observaciones realizadas.

Ejemplo 10

Un estudiante que se encuentra cursando materias de tronco común desea conocer cuáles son las expectativas en el campo laboral de estudiar la carrera de contabilidad. Para esto consultó los últimos 50 empleos ofrecidos en una bolsa de trabajo por Internet (www.occ.com.mx) y observó que 12 plazas se ofrecían a contadores, 15 a administradores, 8 a mercadólogos, 10 a infomáticos y 5 a otras carreras.

a) Encuentra la probabilidad de que se solicite un contador público.b) Encuentra la probabilidad de que se solicite un administrador de empresas.c) Encuentra la probabilidad de que se solicite un mercadólogo.d) Encuentra la probabilidad de que se solicite un informático.

Se utiliza el enfoque de frecuencia relativa pues únicamente pueden obtenerse las probabilidades realizando observaciones, en este caso, a través de un muestreo en Internet. Las probabilidades son las siguientes:

http://www.occ.com.mx)


P Cn CN

( )( )

.1250

0 24 Probabilidad de que se solicite un contador.

P An AN

( )( )

.1550

0 30 Probabilidad de que se solicite un administrador.

P Mn M

N( )

( ).

850

0 16 Probabilidad de que se solicite un mercadólogo.

P In IN

( )( )

.1050

0 20 Probabilidad de que se solicite un informático.

Donde:n(C) = número de veces en que se ha observado “contadores”.n(A) = número de veces en que se ha observado “administradores”.n(M) = número de veces en que se ha observado “mercadólogos”.n(I) = número de veces en que se ha observado “informáticos”. N = número total de observaciones realizadas.

Ejemplo 11

De acuerdo con la experiencia, a una empresa de línea electrónica se le solicitan mensualmente 500 productos clasificados de la siguiente manera: 245 televisores, 55 videograbadoras, 100 radiograbadoras y 100 hornos de microondas. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que se encuentra dentro de la tienda dispuesto a comprar un artículo compre un televisor?

Definimos al evento T = que el cliente compre un televisor.Aplicando la fórmula de frecuencias relativas se obtiene:

P Tn TN

( )( )

.245500

0 49

De acuerdo con la experiencia en el pasado, la probabi lidad de que un cliente compre un televisor es de 0.49. La probabi lidad de frecuencias relativas contribuye a mantener los inventarios correctos de esta tienda para el futuro. Por ejemplo, si se abastece a la t ienda con 100 nuevos artículos, el gerente debe solicitar al proveedor 49 televisores, pues al conocer que existe una probabi l idad de 0.49, 49% de los artículos que demandarán los clientes serán televisores.

El enfoque de frecuencia relativa es muy util izado en las ciencias sociales y en los negocios, pues muchas de las decisiones que se toman en estas áreas es con apoyo, en gran medida, en las experiencias que se han observado en el pasado o en la información que se obtiene a través de una muestra.

Enfoque subjetivo

Los enfoques clásico y de frecuencia relativa se determinan con base en hechos observables. Sin embargo, en ocasiones se presentan situaciones en las que no es posible realizar observaciones, ya sea porque resulta muy costoso o porque no existe ningún antecedente en el pasado. En estas condiciones, la probabilidad de ocurrencia de un evento debe evaluarse de manera subjetiva.


Empleando el punto de vista subjetivo, la probabili dad de que suceda un evento es asignada por un

individuo, desde su apreciación personal o con base en el grado de creencia que tiene sobre la ocurren cia

de un evento particular.

Los tomadores de decisiones pueden hacer uso de cualquier evidencia que tengan a la mano y relacionarla con intuiciones personales. Por esta razón, las distintas apreciaciones que tienen las personas hacia un mismo evento pueden derivar en la asignación de distintas probabilidades.

La probabilidad subjetiva generalmente se asigna cuando los eventos se presentan una sola vez o en un número muy reducido de veces. Por ejemplo, cuando una empresa no tiene ningún antecedente sobre el lanzamiento de un nuevo producto y tiene que decidir sobre el éxito de la campaña publicitaria.

Ejemplo 12

De acuerdo con su intuición política, un asesor de la Presidencia de la República considera que en el Congreso hay 230 diputados que votarían a favor de una reforma fiscal propuesta por el Ejecutivo, 120 que votarían en contra y 150 que se abstendrían de votar la iniciativa. ¿Cuál es la probabilidad de que se apruebe la reforma fiscal propuesta por el Ejecutivo Federal?

Como esta información no fue recolectada mediante un cabildeo en el Congreso, sino desde el punto de vista muy personal del asesor presidencial, estamos hablando del enfoque subjetivo. La probabilidad de que se apruebe la reforma fiscal propuesta por el Ejecutivo se obtiene de la forma:

P( ) .sí se apruebe230500

0 46

Sin embargo, el enfoque subjetivo de probabilidad también puede generar opiniones encontradas entre los miembros de un equipo de trabajo en la asignación de la probabilidad hacia un mismo evento. Lo anterior se debe a las distintas apreciaciones que los miembros de ese equipo tienen hacia el mismo evento, sin importar si todos cuentan con la misma información.


1. Es la colección de uno o varios resultados posibles o puntos muestrales que pertenecen al espacio muestral:

a) Experimento aleatorio.b) Espacio muestral.c) Experimento.d) Evento.

2. Es el conjunto de todos los resultados posibles que se pueden obtener en un experimento:


3. Es el proceso de observación del cual se obtiene un resultado:


4. Es el proceso de observación cuyos resultados no pueden predecirse con plena seguridad, pues están sujetos al azar:


5. Un evento puede ser considerado como:

a) Experimento aleatorio.b) El total del espacio muestral.c) Un subconjunto del espacio muestral.d) Un proceso que culmina con la toma de una decisión.

6. Sus supuestos son que los resultados son igualmente posibles o pueden ser previsibles sin necesidad de efectuarse el experimento:

a) Enfoque clásico.b) Enfoque de frecuencia relativa.c) Enfoque subjetivo.d) Enfoque de frecuencia acumulada.


7. La probabilidad es asignada por los individuos desde su apreciación personal o con base en el grado de creencia que se tiene sobre la ocurrencia de un evento:


8. Para obtener la probabilidad es necesario realizar observaciones, ya que los eventos no son previsibles:


9. A la probabilidad subjetiva también se le conoce como probabilidad a priori, debido a que:

a) Puede ser obtenida sin necesidad de efectuarse un experimento.b) Necesariamente deben llevarse a cabo observaciones.c) Es el enfoque de mayor prioridad en un análisis de probabilidad.d) Es la probabilidad que debe obtenerse inmediatamente en un estudio.

10. Es un enfoque en el cual pueden obtenerse distintas probabilidades asignadas por diferentes personas para un mismo evento:


11. A continuación se exponen las probabilidades de tres eventos A, B y C:

P (A) = 0.089P (B) = 0.72P (C) = 0.21

a) ¿Cuál es el evento que tiene más posibilidad de ocurrir?b) ¿Cuál es el evento que tiene menos posibilidad de ocurrir?

12. Un inversionista necesita seleccionar tres opciones de manera aleatoria y sin reemplazo entre un portafolio compuesto por 3 acciones: acción A, acción B y acción C. ¿Cuáles son los posibles resultados o puntos muestrales? ¿Cuál es el espacio muestral?

13. Un encuestador entrevistará a dos distintas personas para conocer su opinión sobre la calidad de un jamón que les mostrará mediante una probada. Las posibles respuestas que puede realizar cada uno de los encuestados son: bueno, regular, malo. ¿Cuáles son los posibles resultados o puntos muestrales? ¿Cuál es el espacio muestral?


14. Un joven de 18 años acude al sorteo del servicio militar a su delegación respectiva. Se sabe que existen 1 000 personas inscritas para el servicio militar, que el sorteo se realizará mediante una urna que contiene 25 bolas blancas y 75 bolas negras, y que al ser seleccionada una bola de determinado color, nuevamente es regresada a la urna para continuar el sorteo. ¿Cuál es la probabilidad de que a este joven le toque “marchar” durante su servicio militar? ¿Qué enfoque de probabilidad se utilizaría?

15. De acuerdo con los últimos meses, la Secretaría de Salud informó que de cada 1 500 muertos en los últimos meses, 50 se debió a accidentes automovilísticos, 200 a cáncer y 280 a problemas cardiacos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muerte de una persona se deba a un accidente automovilístico?b) ¿Cuál es la probabilidad de que la muerte de una persona se deba a problemas cardiacos?c) ¿Qué enfoque se estaría utilizando en este ejemplo?

16. Una empresa de seguros tiene 5 000 estudiantes asegurados por concepto de gastos médicos. Por experiencia, se sabe que 5 de cada 100 estudiantes generan gastos médicos mayores, 10 de cada 100 generan gastos médicos menores y el resto no generan ningún gasto por servicios médicos.

a) Encuentra la probabilidad de que un estudiante asegurado genere gastos médicos mayores.b) Encuentra la probabilidad de que un estudiante asegurado genere gastos médicos menores.c) ¿Qué enfoque se estaría utilizando en este ejemplo?


4.2. Clasificación de eventos y sus probabilidades

En la sección anterior se dijo que un evento en probabilidad es la colección de uno o varios resultados posibles o puntos muestrales que pertenecen a un espacio muestral.

Sin embargo, existe una amplia variedad de eventos que resulta necesario clasificar para tener presente sus diferencias entre sí. De esta manera tendremos la posibilidad de entender sus probabilidades.

Eventos simples y eventos compuestos

Una primera manera de clasificar los eventos es en eventos simples y en eventos compuestos. Ambos tienen diferentes interpretaciones y son muy útiles para analizar el concepto de probabilidad.

Evento simple se le denomina a la colección de un único resultad o posible o un único punto muestral.

Los eventos simples se utilizan regularmente cuando se desea conocer la ocurrencia de un suceso cuyo resultado es único, es decir, que no viene acompañado de otros sucesos. Por esta razón, se dice que los eventos simples ya no pueden ser descompuestos o desagregados en diversos puntos muestrales, pues únicamente considera la colección de un solo punto muestral.

Evento compuesto se le denomina a la colección de dos o más resulta dos posibles o puntos muestrales.

Los eventos compuestos también son llamados eventos conjuntos y pueden descomponerse en varios eventos simples. Por esta razón, a los eventos compuestos se les define como una colección de dos o más eventos simples.

Ejemplo 13

Del ejemplo 6 sobre una estudiante adolescente que se encuentra platicando con tres jóvenes con la finalidad de encontrar novio, se había señalado que el evento “los tres jóvenes sean guapos” únicamente consideraba un punto muestral (G, G, G) de los ocho resultados posibles de este experimento, por lo que se trata de un evento simple.

Por otra parte, en el evento “platique con dos jóvenes que sean feos” estaban considerados tres puntos muestrales (G, F, F), (F, G, F) y (F, F, G), por lo que éste es un evento compuesto o conjunto.

Por último, en el evento definido “al menos dos de los tres jóvenes con los que platique sean guapos” estaban considerados cuatro puntos muestrales (G, G, F), (G, F, G), (F, G, G) y (G, G, G), por lo que también se trata de un evento compuesto o conjunto.

Como puede apreciarse, los eventos compuestos pueden ser desagregados en distintos eventos simples. El evento compuesto “platique con dos jóvenes feos” puede ser desagregado en tres eventos simples (G, F, F) o (F, G, F) o (F, F, G); mientras que el evento compuesto “al menos dos de los tres jóvenes con los que platique sean guapos” puede ser desagregado en cuatro eventos simples (G, G, F) o (G, F, G) o (F, G, G) o (G, G, G).


Ejemplo 14

La Subsecretaría de Negociaciones Comerciales efectuará dos reuniones con representantes de la Organización Mundial de Comercio con el propósito de resolver una controversia sobre la exportación de excedentes de azúcar mexicana hacia Estados Unidos. En cada una de las reuniones a celebrar se puede esperar que las negociaciones sean exitosas o que fracasen.

a) Encuentra el espacio muestral para este experimento.b) Si se define el evento “que ambas negociaciones sean exitosas”, ¿de qué tipo de evento

estamos hablando, simple o compuesto?c) Si se define el evento “que se tenga éxito en al menos una reunión”, ¿de qué tipo de evento

estamos hablando, simple o compuesto?

Si se define E = éxito y F = fracaso, los posibles resultados o puntos muestrales que se obtienen de este experimento son:

R1 : (E, E) R

3 : (F, E)

R2 : (E, F) R4 : (F, F)

Por lo que el espacio muestral queda conformado de la siguiente manera:

S = { (E, E), (E, F), (F, E), (F, F) }

El evento “que ambas negociaciones sean exitosas” se trata de un evento simple, pues únicamente considera un solo punto muestral (E, E).

En cambio, el evento “que se tenga éxito en al menos una reunión” se trata de un evento compuesto o conjunto, pues se encuentra constituido por tres puntos muestrales: (E, E), (E, F) y (F, E).

Probabilidad simple y probabilidad conjunta

Derivado de los eventos simples y compuestos se obtienen las probabi lidades simples y probabi lidades conjuntas.

La probabilidad simple es la posibilidad de que ocurra un evento simple, es decir, es la probabilidad de

que se presente un punto muestral, misma que ya no puede ser descompuesta o desagregada en otras.

Una propiedad muy importante en probabilidad consiste en que la suma de todas las probabilidades simples de un espacio muestral es igual a uno.

P ES

( ) 1

Probabilidad conjunta se denomina a la posibilidad de que ocurra un event o conjunto, es decir, la

probabilidad de que se presenten dos o más puntos m uestrales.


Así como los eventos compuestos pueden ser desagregados en eventos simples, también la probabilidad conjunta puede ser desagregada en distintas probabilidades simples.

Ejemplo 15

El departamento de personal de una empresa dio a conocer que existe una vacante de supervisor en el departamento de control de calidad que se ofrece a sus empleados; existen 4 trabajadores (Juan, Pedro, Luis y Raúl) al interior de la empresa que cubren con el perfil requerido para la vacante.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan sea seleccionado para cubrir la vacante de supervisor, si la selección se hace de manera aleatoria?

b) ¿Qué tipo de probabilidad se trata, simple o conjunta?

El espacio muestral está constituido como S = {Juan, Pedro, Luis, Raúl}, pues son los posibles resultados que la empresa tiene al seleccionar a un trabajador para ocupar la vacante indicada.

La probabilidad de que Juan sea seleccionado para ocupar la plaza de supervisor se obtiene:

P Juan( ) .14

0 25

En este caso se trata de una probabilidad simple, pues es la probabilidad de que sea seleccionado uno de los cuatro puntos muestrales del espacio muestral.

Observa que si sumamos las probabilidades simples de Juan, Pedro, Luis y Raúl, su resultado es igual a uno.

P Juan P Pedro P Luis P Raúl( ) ( ) ( ) ( ) 14

14

14

14

1

Por esta razón se dice que la suma de todas las probabilidades simples o la suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales del espacio muestral es igual a uno.

Ejemplo 16

La aduana de un determinado punto fronterizo seleccionará 4 camiones para inspeccionar sus mercancías. De acuerdo con las últimas inspecciones, se sabe que 50% de los camiones que ingresan al país trae mercancía de contrabando y el otro 50% su mercancía se encuentra en orden.

a) Encuentra los puntos muestrales y la probabilidad de que al realizarse la inspección, dos camiones tengan mercancía de contrabando.

b) ¿Qué tipo de probabilidad se trata en este evento, simple o conjunta?

Si se define S = sí trae contrabando y N = no trae contrabando, los puntos muestrales de inspeccionar 4 camiones son:

R1: (S, S, S, S) R

5: (N, S, S, S) R

9: (S, N, S, N) R

13: (N, N, N, S)

R2: (S, S, S, N) R6: (S, S, N, N) R10: (N, S, S, N) R14: (N, S, N, N)R

3: (S, S, N, S) R

7: (S, N, N, S) R

11: (N, S, N, S) R

15: (N, N, S, N)

R4: (S, N, S, S) R8: (N, N, S, S) R12: (S, N, N, N) R16: (N, N, N, N)


Existen 16 puntos muestrales en este experimento, de los cuales 6 consideran dos camiones que contienen mercancía de contrabando (R

6, R

7, R

8, R

9, R

10, R

11).

Al conocer que 6 de los 16 puntos muestrales consideran que dos camiones traigan mercancía de contrabando, la probabilidad se determina de la siguiente manera:

P dos camiones con contrabando ( ) .6

160 375

Como se puede observar, el evento “dos camiones que tengan mercancía de contrabando” se encuentra compuesto de 6 puntos muestrales, por lo que la probabilidad es de tipo conjunta. Tanto el evento como la probabilidad conjunta pueden ser descompuestos en seis eventos simples y en seis probabilidades simples.

Unión e intersección de eventos

Dos conceptos básicos que establecen la manera en que se relacionan los eventos entre sí son la unión y la intersección de eventos. Estos conceptos serán de gran utilidad para continuar con el estudio de la probabilidad.

La unión de eventos es la colección de puntos muestrales que se encuen tran contenidos en los mismos.

Si se tienen dos eventos, y , la unión de éstos es la colección de puntos muest rales que se encuentran

contenidos en el evento o en el evento B o en ambos y se representa mediante el símbolo U .

Al ser una colección de puntos muestrales, la unión es considerada como un nuevo evento del cual se puede encontrar su probabilidad. Por esta razón, la unión de eventos también puede ser definida como el evento que contiene los puntos muestrales que se encuentran en los mismos.

Ejemplo 17

Del ejemplo anterior, si se definen dos eventos, A es el evento “dos camiones que contengan mercancía de contrabando”, y B es el evento “que el primer camión inspeccionado contenga mercancía de contrabando”, encuentra la unión de los eventos A y B.

De los 16 puntos muestrales, 6 se encuentran contenidos en el evento A “dos camiones que contienen mercancía de contrabando” (R

6, R

7, R

8, R

9, R

10, R

11). Por otra parte, de los 16 puntos

muestrales, 8 se encuentran contenidos en el evento B, “que el primer camión inspeccionado contenga mercancía de contrabando” (R

1, R

2, R

3,,R

4, R

6, R

7, R

9, R

12).

Evento A: “dos camiones que contienen mercancía de contrabando”

R6: (S, S, N, N) R9: (S, N, S, N)R

7: (S, N, N, S) R

10: (N, S, S, N)

R8: (N, N, S, S) R11: (N, S, N, S)

Evento B: “que el primer camión inspeccionado contenga mercancía de contrabando”

R1: (S, S, S, S) R6: (S, S, N, N)R

2: (S, S, S, N) R

7: (S, N, N, S)

R3: (S, S, N, S) R

9: (S, N, S, N)

R4: (S, N, S, S) R12: (S, N, N, N)


La unión de los eventos A y B se encuentra compuesta por 11 puntos muestrales: (R1, R

2, R

3,

R4, R

6, R

7, R

8, R

9, R

10, R

11, R

12). Para encontrar la unión de estos eventos se debe encontrar los puntos

muestrales que se contienen en el evento A o en el evento B. En caso de que un punto muestral se encuentre contenido en ambos eventos, únicamente debe ser señalado una sola ocasión.

R1: (S, S, S, S) R

6: (S, S, N, N) R

10: (N, S, S, N)

R2: (S, S, S, N) R7: (S, N, N, S) R11: (N, S, N, S)R

3: (S, S, N, S) R

8: (N, N, S, S) R

12: (S, N, N, N)

R4: (S, N, S, S) R9: (S, N, S, N)

La unión de estos eventos también puede ser representada mediante un diagrama de Venn.

A B

A BS

Figura 4.1. Unión de eventos A y B.

Observa en este ejemplo que la unión resultante de A y B son todos los puntos muestrales que se encuentran tanto en A como en B. Observa que en A B los puntos muestrales R

6, R

7 y R

9, que

aparecen en ambos eventos únicamente, se señalan una vez. En un diagrama de Venn la unión es representada por el área sombreada que cubre ambos conjuntos, tanto a A como a B.

Adicionalmente, se ha señalado que el resultado de la unión de los eventos A y B es un nuevo evento A B, del cual también se puede encontrar su probabilidad.

P A B( ) . 1116

0 6875 Probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B.

La intersección de dos eventos A y B es el conjunto de todos los p untos muestrales que se encuentran

contenidos en ambos eventos A y B simultáneamente, y es representada por el símbolo A B.

Al ser una colección de puntos muestrales, la intersección también es considerada como un nuevo evento. Se debe destacar que la intersección considera únicamente aquellos puntos muestrales que se encuentran contenidos en ambos eventos; es decir, no pueden ser considerados en la intersección aquellos puntos muestrales que estén contenidos en el evento A, pero que no se encuentren contenidos en el evento B.


Ejemplo 18

Consideremos nuevamente el ejemplo de la verificación aduanal. Si se desea encontrar la intersección de los eventos A “dos camiones que contengan mercancía de contrabando”, y B “que el primer camión inspeccionado contenga mercancía de contrabando”, entonces:

De los 16 puntos muestrales que tiene el espacio muestral, existen tres puntos que se encuentran contenidos simultáneamente tanto en el evento A como en el evento B (R6, R7, R9).

R6 : (S, S, N, N)R

7 : (S, N, N, S)

R9: (S, N, S, N)

La intersección de estos eventos también puede ser representada mediante un diagrama de Venn.

A BS

A B

Figura 4.2. Intersección de eventos A y B.

Observa en este ejemplo que la intersección resultante de A y B únicamente son aquellos puntos muestrales que se encuentran de manera simultánea en los eventos A y B. En el diagrama de Venn la intersección de dos eventos se representa por el área sombreada que cubre únicamente la región donde los eventos A y B son coincidentes.

Adicionalmente, se ha señalado que el resultado de la intersección de los eventos A y B también es un nuevo evento A B, del cual también se puede encontrar su probabilidad.

P A B( ) .3

160 1875

Eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes

Además de clasificar los eventos en simples y compuestos, también resulta necesario para el estudio de la probabilidad definir los eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes.

Un evento complementario , como su nombre lo señala, se denomina a la colecc ión de posibles resultados


Por ejemplo, si ya tenemos definido un evento “A”, entonces el complemento de “A” es la colección de todos aquellos puntos muestrales que no fueron incluidos en el evento “A”. Este evento complementario puede ser denotado como A.

Si tenemos un evento A, cuya probabilidad es P(A), entonces podemos señalar que la probabilidad del complemento de A se encuentra definida mediante la siguiente expresión:

P A P A( ) – ( )1

Dado que:

P A P A( ) ( ) 1

Ejemplo 19

Una empresa de transportes de carga hizo sus estimaciones de ventas para el próximo año. De los resultados obtenidos existe la probabilidad de 0.90 que las ventas alcancen 100%, ¿cuál será la probabilidad de que las ventas no alcancen 100%?

Si se define al evento A “que las ventas alcancen 100%” y si se desea conocer la probabilidad de que las ventas no alcancen 100%, entonces el objetivo consiste en encontrar la probabilidad de P(A), ésta se conoce como el complemento de P(A). Se sabe que P(A) = 0.90, por lo tanto:

Si, P A P A( ) – ( )1

Sustituyendo se tiene que, P A( ) – . .1 0 90 0 10

En conclusión, la probabilidad de que las ventas de la empresa no alcancen 100% es de 0.10.

Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si no tienen puntos muestrales en común; es decir,

que cuando ocurre un evento el otro no puede ocurri r de manera simultánea.

Si tenemos dos eventos A y B, se considera que ambos son mutuamente excluyentes si la presencia de un evento es suficiente para excluir la presencia del otro. Al no contar con ningún punto muestral en común, la intersección de dos eventos mutuamente excluyentes es nula y su probabilidad de esta intersección es 0, es decir, P(A B) = 0. Mediante un diagrama de Venn se puede apreciar que no existe intersección A B para este tipo de eventos.

A B

Espacio muestral "S"

P ( A B) = 0

Figura 4.3. Eventos mutuamente excluyentes.


Ejemplo 20

Una empresa de consultoría desea medir el nivel de audiencia de los dos noticieros televisivos más importantes en cadena nacional. En el horario en que ambos noticieros son transmitidos, la empresa realiza una llamada a un hogar y pregunta cuál es el noticiero que se encuentra viendo en ese momento.

Si se definen los siguientes eventos:

A = Ve el noticiero de la televisora que se encuentra en el Ajusco.B = Ve el noticiero de la televisora que se encuentra en avenida Chapultepec.C = No se encuentra viendo ningún noticiero.

En este caso los eventos son mutuamente excluyentes, pues si la persona se encuentra viendo el noticiero de la televisora del Ajusco implica que no se encuentra viendo el noticiero de la televisora que se encuentra en avenida Chapultepec y viceversa.

En este caso la intersección entre los tres eventos es nula: P(A B C) = 0

Ejemplo 21

Si se tienen los siguientes eventos: el evento A “que la Bolsa Mexicana de Valores tenga un cierre hacia la alza”; el evento B “que la Bolsa Mexicana de Valores cierre hacia la baja” y el evento C “que la Bolsa Mexicana de Valores cierre sin cambios”, ¿son eventos mutuamente excluyentes?

Estos tres eventos sí son mutuamente excluyentes, pues si el evento A ocurre, no pueden ocurrir los eventos B y C en un día determinado. De la misma manera, si el evento B ocurre, no pueden ocurrir los eventos A y C en un día determinado.

Cabe señalar que cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes, la intersección entre ambos es diferente a cero.


1. Se denomina a la colección de dos o más puntos muestrales:

a) Evento simple.b) Evento compuesto.c) Evento complementario.d) Eventos mutuamente excluyentes.

2. Se denomina a la colección de un único punto muestral:


3. Se denomina a la colección de posibles resultados o puntos muestrales del espacio muestral que no fueron incluidos en otro evento ya definido:


4. Cuando dos eventos no tienen puntos muestrales en común o que cuando uno ocurre el otro no puede ocurrir de manera simultánea, se les llama:


5. Es la posibilidad de que se presente un punto muestral, misma que ya no puede ser descompuesta o desagregada en otras probabilidades:

a) Probabilidad simple.b) Probabilidad conjunta.c) Unión de eventos.d Intersección de eventos.

6. Es la posibilidad de que se presenten dos o más puntos muestrales:

a) Probabilidad simple.b) Probabilidad conjunta.c) Unión de eventos.d) Intersección de eventos.


7. Si hay dos eventos, A y B, es la colección de puntos muestrales que se encuentran contenidos en el evento A o en el evento B o en ambos:


8. Si se tienen dos eventos A y B, al conjunto de puntos muestrales que se encuentran contenidos en ambos eventos A y B se le llama:


9. Si se define el evento “que se presente un incremento en la Bolsa Mexicana de Valores” cuya probabilidad es de 0.2, señala el complemento de este evento y su probabilidad correspondiente:

a) “Que se presente un incremento en la bolsa” con probabilidad de 0.8.b) “Que se presente una caída en la bolsa” con probabilidad de 0.8.c) “Que no se presenten cambios en la bolsa” con probabilidad de 0.8.d) “Que no se presente un incremento en la bolsa” con probabilidad de 0.8.

10. Si se tiene un evento conjunto constituido por 4 puntos muestrales y el espacio muestral tiene un total de 10, entonces:

a) El evento conjunto no puede ser descompuesto en eventos simples, pero tampoco se puede obtener eventos simples del espacio muestral.

b) El evento conjunto no puede ser descompuesto en 4 eventos simples y del espacio muestral se puede obtener 10 eventos simples.

c) El evento conjunto puede ser descompuesto en 4 eventos simples y del espacio muestral se puede obtener 10 eventos simples.

d) El evento conjunto puede ser descompuesto en 10 eventos simples y del espacio muestral se puede obtener 4 eventos simples.

11. Si A y B que son mutuamente excluyentes, entonces el conjunto A B:

a) Estará conformado por todos los puntos muestrales del espacio muestral.b) Será nulo o no existe A B.c) Será igual a uno.d) Estará conformado por los puntos muestrales de ambos eventos.

12. Si se tiene n puntos muestrales en un espacio muestral, entonces:

a) Se tendrá en total n eventos simples.b) Se tendrá en total n eventos conjuntos.c) El número de eventos simples es igual al número de eventos conjuntos.d) No se puede estimar el número total de eventos simples.


13. Si se tiene m eventos simples, se puede afirmar que:

a) Los m eventos también son eventos conjuntos.b) No se sabe cuántos puntos muestrales existen en el espacio muestral.c) Los m eventos no son mutuamente excluyentes.d) Los m eventos simples son mutuamente excluyentes.

14. Si se tienen ñ eventos simples, se puede afirmar que:

a) No se sabe cuántos puntos muestrales existen en el espacio muestral.b) La suma de las probabilidades simples de los ñ eventos será 1.c) La suma de las probabilidades de ñ y sus complementos es 1.d) No se sabe cuántos puntos muestrales existen en el espacio muestral.

15. Si se tiene un evento A, se puede afirmar que:

a) El evento A es mutuamente excluyente del evento B.b) El evento A no es mutuamente excluyente del evento B.c) La suma de la probabilidad de A y su complemento es igual a 1.d) La suma de la probabilidad de A y las probabilidades simples es 1.

16. Si se definen los siguientes eventos:

A = {cetes, tipo de cambio, tasa de interés, centenario}B = {cetes, centenario, petróleo, acciones de TELMEX}

a) Encuentra la unión de los eventos A y B.b) Encuentra la intersección de los eventos A y B.

17. Una estudiante adolescente se encuentra chateando en Internet con tres jóvenes con el propósito de encontrar novio. Existe la posibilidad de que los jóvenes con los que platique sean guapos (G) o feos (F). Si se define el evento A “que dos jóvenes sean guapos” y el evento C “al menos dos jóvenes sean guapos”:

a) ¿Qué tipo de eventos son A y B, simples o compuestos?b) ¿Cuál es la unión de los eventos A y B?c) ¿Cuál es la intersección de los eventos A y B?

18. Un inversionista seleccionará de manera aleatoria y sin reemplazo dos acciones entre un portafolio compuesto por 3 acciones: acción A, acción B y acción C. Si se define el evento A “que salga seleccionada la acción A” y el evento B “que salga seleccionada la acción B”, encuentra:

a) La unión de los eventos A y B.b) La intersección de los eventos A y B.c) La probabilidad de la unión de los eventos A B.d) La probabilidad de la intersección de los eventos A B.


19. Un encuestador entrevistará a dos distintas personas para conocer su opinión sobre la calidad de una marca de jamón que les mostrará mediante una probada. Las posibles respuestas que puede realizar cada uno de los encuestados son: bueno, regular, malo. Si se define el evento A “que al menos una persona piense que la calidad es buena”, un evento B “al menos una persona piense que la calidad es mala”.

a) Encuentra la unión de los eventos A y B.b) Encuentra la intersección de los eventos A y B.c) Encuentra la probabilidad de la unión de los eventos A B.d) Encuentra la probabilidad de la intersección de los eventos A B.e) Señala si los eventos A y B son mutuamente excluyentes.f) Señala la probabilidad del complemento de la intersección de A B.g) Señala la probabilidad del complemento de la unión A B.h) ¿Qué tipo de eventos son A y B, simples o compuestos?


4.3. Leyes de probabilidad

Una vez que ya se han clasificado los distintos tipos de eventos, en esta sección se exponen tres leyes y dos definiciones fundamentales de la probabilidad que establecen relaciones entre las probabilidades de distintos eventos. Estas son:

1. La ley de la adición.

2. La probabilidad condicional.

3. La independencia estadística.

4. La ley de la multiplicación.

5. La ley de Bayes.

Estas leyes son muy utilizadas para dar solución a una gran cantidad de problemas que se presentan cotidianamente en los negocios y en las ciencias sociales.

4.3.1. Ley de la adición

En la sección anterior se señaló que la unión de dos eventos, A y B, es la colección de puntos muestrales que se encuentran contenidos en uno o en otro evento. Precisamente, la ley de adición establece la probabilidad de que ocurra la unión de esos dos eventos, es decir, la probabilidad de que se presente el evento A o el evento B.

Existen dos fórmulas de la ley de la adición y su uso depende si los eventos que se estén analizando son mutuamente excluyentes o no.

Si por ejemplo, si se tienen dos eventos que no son mutuamente excluyentes, A y B, la ley de adición sería la siguiente:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Donde:P(A B): es la probabilidad de que se presente el evento A o el evento B.P(A): la probabilidad de que suceda el evento A.P(B): la probabilidad de que suceda el evento B.P(A B): la probabilidad de que sucedan A y B de manera simultánea.Por otra parte, si N eventos son mutuamente excluyentes, la ley de adición queda expresada de

la siguiente manera:

P(A B C … N ) = P(A) + P(B) + P(C) + …+ P(N)

Es decir, por ejemplo, si se tienen dos eventos que son mutuamente excluyentes, A y B, la ley de adición sería la siguiente:

P(A B)= P(A) + P(B)

Recuerda que si dos eventos son mutuamente excluyentes, es imposible que ambos se presenten al mismo tiempo, por lo que la intersección de los mismos es nula. Si se compara con la fórmula


anterior, la única diferencia radica en que la probabilidad de intersección P(A B) es cero cuando los eventos son mutuamente excluyentes.

Cuando se solicite la probabilidad de que ocurra un evento A o un evento B, o dicho de otra manera, la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos eventos, se debe acudir al uso de la ley de la adición.

Ejemplo 22

En el proceso de admisión a las maestrías en negocios durante el año 2000, la Universidad de Stanford admitió a 8.3% de los aspirantes, la Universidad de Harvard admitió a 13.5% de los aspirantes, mientras que 5.1% de los aspirantes fue admitido en ambas universidades (fuente: Best Graduate Schools in Business, www.usnews.com).

¿Cuál es la probabilidad de que un aspirante sea admitido en al menos una de las dos universidades citadas?

Definimos:P(S) = 0.083 Probabilidad de que un aspirante sea admitido en Stanford.P(H) = 0.135 Probabilidad de que un aspirante sea admitido en Harvard.P(S H) = 0.051 Probabilidad de que un aspirante sea admitido en ambas.

Se aplica la ley de la adición para eventos que no son mutuamente excluyentes, puesto que si un aspirante es admitido en Stanford no implica que no pueda ser admitido en Harvard; un aspirante puede ser admitido en ambas universidades de manera simultánea, razón por la cual P(S H) = 0.051.

P( S H ) = P(S) + P(H) – P(S H) = 0.083 + 0.135 – 0.051 = 0.167

La probabilidad de que un estudiante sea admitido en al menos una de las dos universidades o la probabilidad de que un estudiante sea admitido en Stanford o en Harvard es de 0.167.

Ejemplo 23

En el año 2000, una prestigiada universidad en México tenía una población estudiantil de 43 328 alumnos inscritos en cuatro diferentes campi: 19.5% se encontraba matriculado en el campus Atizapán, 33.2% en campus Cuitláhuac, 14.2% en campus Marina y 33.1% en campus Sur. Adicionalmente, 32.7% de sus estudiantes se encontraban matriculados en la División Académica de Ingeniería, 1.1% en la División Académica de Odontología y 66.1% en la División Académica de Administración y Ciencias Sociales. Los estudiantes únicamente pueden estar matriculados en un solo campus y en una división académica.

a) Si se selecciona un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre matriculado en la División Académica de Administración y Ciencias Sociales o en la División Académica de Ingeniería?

b) Si se selecciona un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre matriculado en el campus Cuitláhuac o en el campus Atizapán o en el campus Sur?

Definimos:P(I) = 0.328 Probabilidad de que esté en ingeniería.P(O) = 0.011 Probabilidad de que esté en odontología.

http://www.usnews.com).


P(ACS) = 0.661 Probabilidad de que esté en administración y ciencias sociales.P(A) = 0.195 Probabilidad de que sea de Atizapán.P(M) = 0.142 Probabilidad de que sea de Marina.P(C) = 0.332 Probabilidad de que sea de Cuitláhuac.P(S) = 0.331 Probabilidad de que sea del Sur.

Se utiliza la ley de la adición para eventos mutuamente excluyentes en ambos incisos, pues los estudiantes únicamente pueden estar matriculados en un solo campus y en una sola división académica.

P( ACS I ) = P(ASC) + P(I) = 0.661 + 0.328 = 0.989

La probabilidad de que un estudiante escogido al azar esté matriculado en la División Académica de Administración o Ciencias Sociales o en la División Académica de Ingeniería es de 0.989.

P( C A S ) = P(C) + P(A) + P(S) = 0.332 + 0.195 + 0.331 = 0.858

La probabilidad de que un estudiante escogido al azar esté matriculado en el campus Cuitláhuac o en el campus Atizapán o en el campus Sur es de 0.858.

Ejemplo 24

De acuerdo con la información proporcionada por el INEGI, en el año 1999 se encontraban inscritos en nuestro país 1 481 999 estudiantes en el nivel superior, los cuales se presentan desagregados por sexo y por áreas de estudio en la tabla 4.1. Si se definen los siguientes eventos:

A = “Mujeres que estudian en el nivel superior”. B = “Hombres que estudian en el nivel superior”.C = “Alumnos inscritos en áreas administrativas y sociales”.D = “Alumnos inscritos en un programa de las áreas de ingeniería y tecnología".

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar a un estudiante de nivel superior, estudie en áreas administrativas y sociales o en áreas de ingeniería y tecnología?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de nivel superior seleccionado al azar, sea mujer o estudie en áreas administrativas y sociales?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de nivel superior seleccionado al azar, sea hombre o estudie en áreas de ingeniería y tecnología?

Área de estudio Mujeres Hombres TotalAgropecuarias 9 666 29 093 38 759

Salud 78 934 52 906 131 840Exactas 13 503 16 499 30 002

Administrativas y sociales 412 792 329 699 742 491Educación y humanidades 36 949 20 415 57 364Ingeniería y tecnología 138 456 343 087 481 543

Total 690 300 791 699 1 481 999

Fuente: www.inegi.gob.mx

Tabla 4.1. Estudiantes de nivel superior en México.

http://www.inegi.gob.mx


En el inciso a) se solicita P(C D). Ambos eventos son mutuamente excluyentes, pues de acuerdo con la información proporcionada por el INEGI, un estudiante únicamente puede estar matriculado en un área de estudio, por lo tanto:

P C D P C P D( ) ( ) ( ) .742 491

1 481 999481 543

1 481 9990 501 0

.. .3249 0 8259

De acuerdo con el enfoque de frecuencia relativa, la probabi lidad de que un estudiante de nivel superior estudie en áreas administrativas y ciencias sociales se obtiene dividiendo el número de estudiantes de estas áreas (742 491) entre el total de estudiantes en el nivel superior (1 481 999), dando una probabilidad P(C) = 0.501, mientras que la probabilidad de que un estudiante estudie en áreas de ingeniería y tecnología se obtiene dividiendo el número de estudiantes de estas áreas (481 543) entre el total de los estudiantes en el nivel superior (1 481 999), dando una probabilidad P(D) = 0.3249. La probabilidad de que al seleccionar al azar a un estudiante de nivel superior, estudie en áreas administrativas y de ciencias sociales o en áreas de ingeniería y tecnología es 0.8259.

En el inciso b) se solicita P(A C). A y C son eventos que no son mutuamente excluyentes, pues pueden ocurrir simultáneamente (existen mujeres que se encuentran estudiando en áreas administrativas y sociales), por lo tanto:

P A C P A P C P A C( ) ( ) ( )– ( ) –690 300

1 481 999742 491

1 481 999

4412 792

1 481 999

0 4657 0 501 0 2785 0 6882. . – . .

La probabilidad de que un estudiante de nivel superior sea mujer y estudie en áreas administrativas y ciencias sociales P(A C) se obtiene dividiendo el número de estudiantes que cumplen con ambos eventos (412 792) entre el total de estudiantes en el nivel superior (1 481 999), dando una probabilidad 0.2785. Utilizando la ley de adición, la probabilidad de que un estudiante de nivel superior sea mujer o estudie en áreas administrativas y ciencias sociales es 0.6882.

En el inciso c) se solicita P(B D). Ambos eventos tampoco son mutuamente excluyentes, pues pueden ocurrir de manera simultánea (existen hombres que se encuentran estudiando en áreas de ingeniería y tecnologías), por lo tanto:

P B D P B P D P B D( ) ( ) ( ) – ( )

791 699

1 481 999481 543

1 4481 999343 087

1 481 999

–

0 5342 0 3249 0 2315 0 6275. . – . .

La probabilidad de que un estudiante de nivel superior sea hombre y estudie en áreas de ingeniería y tecnología P(B D) se obtiene dividiendo el número de estudiantes que cumplen con ambos eventos (343 087) entre el total de estudiantes en el nivel superior (1 481 999), dando una probabilidad 0.2315. Utilizando la ley de adición para eventos que no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que un estudiante de nivel superior sea hombre o estudie en áreas de ingenierías y tecnologías es 0.6275.

4.3.2. La probabilidad condicional

Con frecuencia las probabilidades de los eventos se encuentran relacionados de manera tal, que la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos depende si los otros han ocurrido o no. Por ejemplo, es muy probable que la Bolsa Mexicana de Valores experimente un comportamiento hacia la alza dado que se presente un incremento en las bolsas de valores en el resto del mundo.


Otro ejemplo por señalar es el relacionado con las enfermedades en las vías respiratorias. Todo mundo sabe que la probabilidad de que las personas adolezcan de estas enfermedades se incrementa cuando existe la presencia de condiciones climatológicas adversas, por ejemplo en la temporada de frío o de lluvias. Cuando la probabilidad de ocurrencia de ciertos eventos es condicionada o influida por la presencia de otros eventos, existe una relación de dependencia que suele asociarse con la llamada probabilidad condicional.

La probabilidad condicional de un evento es aquella que está condicionada o de terminada por la

presencia de otro evento.

La probabilidad condicional se representa mediante la siguiente fórmula:

P A BP A B

P B( / )

( )( )

Donde:P(A/ B)= Probabilidad condicional de que se presente el evento A dado que ocurra el evento B.P(A B)= Probabilidad de la intersección del evento A con el evento B; es decir, la probabilidad

de que ocurran estos eventos de forma simultánea. P(B)= Probabilidad de que suceda el evento B. Observa que el evento B es el que condiciona

la probabilidad del evento A.

Ejemplo 25

De acuerdo con algunos estudios realizados por analistas de mercado, se sabe que la probabilidad de que exista una devaluación del peso y una caída en la tasa de interés de manera simultánea es de 0.2. Además, la probabilidad de que exista una caída en las tasas de interés es de 0.5. Señala cuál será la probabilidad de que exista una devaluación en el peso dado que se presente una caída en las tasas de interés.

Se desea conocer cuál es la probabilidad de que exista una devaluación del peso influida por la caída en las tasas de interés, por lo que definimos:

Evento A= Devaluación del peso.Evento B= Caída en las tasas de interés.P(A B)= 0.2P(B) = 0.5

P A BP A B

P B( / )

( )( )

.

..

0 20 5

0 4

Se puede señalar que la probabilidad de que se presente una devaluación del peso motivada por

la caída en las tasas de interés es de 0.4.

Hay que resaltar que la probabilidad condicional únicamente procede cuando se trata de eventos que no son mutuamente excluyentes, es decir, cuando la probabilidad de la intersección P(A B) es distinta a cero. En caso de que los eventos sean mutuamente excluyentes P(A B) sería igual a cero y por lo tanto la probabilidad condicional P(A/ B) también sería igual a cero.


4.3.3. La independencia estadística

Cuando se habló de la probabilidad condicional se mencionó que ciertos eventos son influidos o determinados por otros. Sin embargo, también existen eventos que no son influidos por la presencia de otros eventos. Una manera de formalizar esta última idea es mediante el término independencia estadística.

que la probabilidad de un evento es indiferente a l a presencia o no presencia de otro evento.

La independencia estadística entre dos eventos se expresa mediante la siguiente fórmula:

P(A/ B) = P(A)

Por el contrario, cuando los eventos sí se influyen o se determinan entre sí, se dice que no son estadísticamente independientes. En el caso de dos eventos que no son estadísticamente independientes se cumple lo siguiente:

P(A/ B) P(A)

Como se puede apreciar en la fórmula para eventos que son estadísticamente independientes, la probabilidad condicional P(A/ B) es igual a la probabilidad del evento A, es decir, exista o no la presencia del evento B, la probabilidad P(A) no cambia, es indiferente. Por el contrario, cuando los eventos no son estadísticamente independientes se observa que la probabilidad condicional P(A/ B) no es la misma a la probabilidad del evento A, es decir, la presencia del evento B sí influyó en modificar la probabilidad del evento A. Mientras más distinta sean estas probabilidades se dice que el evento B influye mucho sobre A.

Ejemplo 26

Se sabe que 50% de los refrescos que se consumen en una población son de una determinada marca, también se sabe que 60% de la población ha visto por televisión el nuevo comercial de este refresco, y que las personas que consumen esa marca de refresco y que han visto su nuevo comercial representan 30% de la población. Determina si la compra de refrescos de esta marca ha sido estimulada por su nuevo comercial en televisión.

Si se desea conocer la inf luencia del nuevo comercial en la compra de refrescos acudimos al concepto de independencia estadística, para ello definimos:

Evento A = Consumo de refrescos de la marca señalada.Evento B = Nuevo comercial del refresco.P(A) = 0.5P(B) = 0.6P(A B) = 0.3

Se obtiene la probabilidad condicional P(A/ B) mediante la fórmula:

P A BP A B

P B( / )

( )( )

.

..

0 30 6

0 5

Si comparan las probabilidades P(A/ B) = 0.5 y P(A) =0.5, se observa que ambas son iguales 0.5 = 0.5. En este sentido señalamos que el evento A es estadísticamente independiente del evento B, es


decir, la probabilidad de que un cliente consuma refrescos de esta determinada marca no está influida por la presencia del nuevo comercial, por lo que se puede concluir que la publicidad de este refresco no es la adecuada.

Ejemplo 27

En muchas ocasiones se dice que ciertas carreras profesionales atraen en mayor número a las mujeres y otras carreras a un mayor número de hombres. De la información proporcionada en la tabla 4.2 determina si la carrera de comunicaciones atrae a las mujeres.

Carrera Mujeres Hombres Total

Administración 83 970 67 882 151 852Finanzas 1 032 1 248 2 280

Comunicaciones 28 853 17 867 46 720Contabilidad 86 592 66 328 152 920Economía 9 607 13 277 22 884

Mercadotecnia 11 622 8 680 20 302Otras 191 116 154 417 345 533Total 412 792 329 699 742 491

Fuente: www.inegi.gob.mx

Tabla 4.2. Estudiantes de las áreas administrativas y ciencias sociales, según carrera en 1999.

Si se desea conocer la inf luencia que la carrera de comunicaciones tiene en la proporción de las mujeres inscritas en dicho programa, se utiliza la probabilidad condicional, es decir, la probabilidad de que al escoger aleatoriamente un alumno, dado que ya se sabe que estudia ciencias de la comunicación, sea de sexo femenino. Para esto definimos: evento A = mujer y evento B = comunicaciones. Se obtienen sus respectivas probabilidades:

P A( ) .412 792742 491

0 5559

y P B( ) .46 720

742 4910 0629

También se obtiene la probabilidad de la intersección de ambos eventos:

P A B( ) .28 853

742 4910 0388

Ahora encontramos la probabilidad condicional de A dado B, y la comparamos con la probabilidad simple del evento A, para saber si son independientes los eventos entre sí:

P A BP A B

P BP A( / )

( )( )

.

.. . ( )

0 03880 0629

0 6168 0 5559

La probabilidad condicional de A dado B es distinta de la probabilidad simple del evento A, por lo que podemos decir que sí inf luye esta carrera en que exista mayor número de damas inscritas en este programa de estudios.

http://wwp.inegi.gob.mx


4.3.4. Ley de la multiplicación

En la sección anterior se señaló que la intersección de dos eventos es la colección de puntos muestrales que se encuentran contenidos ambos eventos de manera simultánea. La ley de la multiplicación establece la probabilidad de que se presente esa intersección de dos eventos A y B.

Existen dos fórmulas de la ley de la multiplicación y su uso depende si los eventos que se estén analizado sean estadísticamente independientes o no.

Si se tienen dos eventos que son estadísticamente independientes, la ley de multiplicación establece que la probabilidad de que suceda el evento A y de que suceda el evento B de manera simultánea es:

P(A B) = P(A) P(B)

Donde:P(A B): Es la probabilidad de que se presente el evento A y el evento B.P(A): La probabilidad de que suceda el evento A.P(B): La probabilidad de que suceda el evento B.

Por otra parte, si dos eventos no son estadísticamente independientes, la ley de la multiplicación establece que la probabilidad de que suceda el evento A y de que suceda el evento B se obtiene mediante la siguiente fórmula:

P(A B) = P(A/ B) P(B)

Donde:P(A/ B) = Es la probabilidad condicional de que suceda el evento A dado que se presente

el evento B.

Cuando se solicite la probabilidad de que ocurra un evento A y un evento B, o dicho de otra manera, la probabilidad de que ocurran ambos eventos de manera simultánea, se debe acudir al uso de la ley de la multiplicación.

Ejemplo 28

El departamento de mercadotecnia de una empresa realizó un estudio de mercado para saber cuál de dos bebidas refrescantes prefieren los consumidores; la bebida refrescante A tuvo una probabilidad de aceptación de 75%, mientras que la bebida refrescante B tuvo una aceptación de 80%. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bebidas refrescantes tengan aceptación por parte de los consumidores si se supone que ambos eventos son estadísticamente independientes?

La probabilidad de A es de 0.75.La probabilidad de B es de 0.80.Sustituyendo en la fórmula se obtiene:

P A B P A P B( ) ( ) ( ) ( . )( . ) .0 75 0 80 0 6

La probabilidad de que ambas bebidas sean aceptadas es de 0.60.


Ejemplo 29

En el departamento de producción de una empresa se sabe que un conjunto de 10 partes de repuesto contiene ocho partes aceptables (A) y 2 defectuosas (B). Dada la selección aleatoria sin reemplazo de dos partes, ¿cuál es la probabilidad de que las dos partes seleccionadas sean aceptables?

Tenemos que P A( )8

10, dado que se conoce la probabilidad de A, entonces la probabilidad

condicional P B A( / )79

. Recuérdese que cuando se trabajan experimentos sin reemplazo primero se

realiza uno y luego el otro, en este ejemplo primero se toma una parte, la cual ya no se devuelve, de ahí que tanto el numerador como el denominador de P(A) se vean disminuidos en una unidad para el siguiente experimento, por lo tanto:

P A B P A P B A( ) ( ) ( / ) .8

1079

5690

0 6222

La probabilidad de que las dos partes seleccionadas sean aceptadas es de 0.62.

4.3.5. Ley de Bayes

En la mayoría de las aplicaciones reales, las decisiones se actualizan conforme se obtiene nueva información o cuando existe un cambio de escenarios. Por ejemplo, las empresas revisan sus decisiones sobre el nivel de producción una vez que se conoce la presencia de un escenario favorable o desfavorable. Por esto se observa que cuando se manifiestan los primeros síntomas de una crisis económica, las empresas realizan recortes en su producción y en su planta laboral de manera anticipada con el propósito de permanecer en el mercado.

La ley de Bayes proporciona un método mediante el cual la probabilidad de cierto evento que ya es conocido (probabilidad a priori o previa) se va actualizando conforme se obtiene nueva información. Una vez que la probabilidad ha sido actualizada se le llama probabilidad a posteriori (o probabilidad posterior).

La probabilidad condicional determina la forma en que un evento es influido o determinado dada la presencia de otro evento. Por esta razón, las probabilidades a posteriori son probabilidades condicionales, pues han sido actualizadas por la presencia de un nuevo evento al haberse obtenido mayor información. La ley de Bayes se utiliza para obtener probabilidades más precisas que las probabilidades a priori, dada la presencia de un nuevo evento.

La fórmula para encontrar una probabilidad a posteriori es la que se conoce como la ley de Bayes, la cual se expresa de la siguiente manera:

Sea A un evento y A su complemento (información a priori). Si otro evento B ocurre, entonces:

P A BP B A P A

P B A P A P B A P A( / )

( / ) ( )

( / ) ( ) ( / ) ( )

De lo anterior se puede deducir lo siguiente; si el evento A ocurre, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido generado por el evento B?

Donde:P(A/ B) = Probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió B (probabilidad a posteriori).P(B/A) = Probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A.P(A) = Probabilidad del evento A (probabilidad a priori).P(A) = Probabilidad del complemento del evento A (probabilidad a priori).


El teorema de Bayes ofrece un método estadístico importante para evaluar nueva información a partir de información pasada. Si el teorema es utilizado de manera correcta, se hace innecesario reunir grandes cantidades de datos en un periodo largo de tiempo, esto sin lugar a dudas facilita la toma de decisiones.

Ejemplo 30

En una fábrica se tienen dos máquinas que producen pantalones de vestir. La máquina 1 produce 45% del total de pantalones y la 2 produce 55% restante. La máquina 1 produce 10% de pantalones defectuosos y en la máquina 2 el porcentaje de producción defectuosa es de 8%. Si se observa un pantalón defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la máquina 2?

Se puede identificar en el problema las siguientes variables:

A : producción de la máquina 1.B : producción de la máquina 2.X : productos defectuosos.Y : productos de buena calidad.

Para facilitar el análisis se utilizará un diagrama de árbol.

A 45 % 10 %

B 55 %

90 %

08 %

92 %

Sustituyendo en la fórmula de la ley de Bayes, tenemos:

P BP B P B

P B P B P B P BB

B

B B

( / )( / ) ( )

( / ) ( ) ( / ) ( )X

X

X X

( . )( . )( . )( . ) ( . )( . )

( . )( . )

.0 08 0 55

0 08 0 55 0 10 0 450 0440 089

0 49

La probabilidad de que el pantalón defectuoso haya sido producido por la máquina 2 es de 49%.

Ejemplo 31

El departamento de compras de una empresa de plásticos reportó lo siguiente: 80% de material de vinil recibido del proveedor A es de buena calidad mientras que sólo 50% del material recibido del proveedor B es de la misma calidad. Sin embargo, la capacidad de producción del proveedor A es limitada, razón por la cual sólo 40% del material de vinil adquirido por la empresa de plásticos proviene del proveedor A. El restante 60% procede del proveedor B. Al inspeccionar un embarque de material de vinil, se encuentra que es de buena calidad. ¿Cuál es la probabilidad de que el material de vinil haya sido adquirido del proveedor A?


Se puede identificar el problema con las siguientes variables:

A: Proveedor A.B: Proveedor B.X: Buena calidad.Y: Mala calidad.

Como se mencionó anteriormente, los diagramas de árbol son un instrumento muy útil en la solución de este tipo de problemas.

A 40 %

B 60 %

80 %

20 %

50 %

50 %


P AP A P A

P A P A P A P AAA

A B

( / )( / ) ( )

( / ) ( ) ( / ) ( )X

X

X X

= ( . )( . )

( . )( . ) ( . )( . )..

.0 80 0 40

0 80 0 40 0 50 0 600 320 62

0 516

La probabilidad de que el material de vinil haya sido adquirido por el proveedor A es de 51.6%


1. Se sabe que de una población de 100 estudiantes, 50 leen el periódico La Jornada, 50 leen el periódico Reforma y 20 leen ambos. Encuentra la probabilidad de que una persona de esta población, al ser seleccionada de manera aleatoria, lea La Jornada o Reforma.

2. De acuerdo con algunos estudios se sabe que la probabilidad de que exista un incremento en la bolsa de valores y una caída en las tasas de interés es de 0.3, mientras que la probabilidad de que se presente una caída en las tasas de interés es de 0.4.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que exista un incremento en la bolsa de valores dado que se presente una caída en las tasas de interés?

b) Señala qué tipo de probabilidad es la que hemos encontrado en el inciso anterior.

3. En un mercado existe una probabilidad de que los inversionistas compren acciones tipo A de 0.34, una probabilidad de que compren acciones tipo B de 0.2, una probabilidad de que compren ambas de 0.11. ¿Cuál es la probabilidad de que un inversionista compre acciones tipo A dado que ya compró acciones del tipo B?

4. La probabilidad de que una empresa emplee una nueva estrategia de mercado para incrementar las ventas es de 0.54 y la probabilidad de que la nueva estrategia de mercado sea adoptada y que las ventas crezcan a los niveles proyectados es de 0.39, ¿cuál es la probabilidad de que si la compañía emplea la nueva estrategia las ventas crezcan a los niveles proyectados?

5. La probabilidad de que la administración de una empresa trabaje con eficiencia es de 0.80, se ha observado que el buen funcionamiento de la empresa depende en gran medida de la eficiencia de la administración. De acuerdo con estudios realizados se estima que la probabilidad de que la administración sea eficiente y que la empresa trabaje a 100% es de 0.72, ¿cuál es la probabilidad de que si la administración es eficiente la empresa trabaje a 100%?

6. Un inversionista se enfrenta a una cartera que contiene dos instrumentos financieros, un bono gubernamental cuyo riesgo es de 25% y una acción de una importante empresa de telecomunicaciones cuyo riesgo es de 35%, ¿cuál es la probabilidad de que la empresa enfrente el riesgo de una acción dado que ya enfrentó el riesgo del bono gubernamental?

7. En una encuesta que se realizó a 200 cadenas de tiendas de abarrotes, éstas revelaron los siguientes ingresos, después de descontar los impuestos:

Ingresos después de descontar impuestos Número de empresas

Menos de un millón 1021 a 20 millones 61

20 millones o más 37

¿Cuál es la probabilidad de que una cadena de tiendas de abarrotes seleccionada al azar tenga un ingreso entre un millón a 20, o un ingreso de 20 millones o más?

8. Como parte del programa anual de servicio de salud a sus empleados, una empresa de químicos descubrió que 8% de los empleados requiere zapatos especiales, 15% necesita servicio dental y 3% requiere tanto zapatos como servicio dental. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar necesite zapatos especiales y servicio dental?


9. Una empresa productora de llantas sabe que la probabilidad de que un neumático dure 50 000 es de 0.80, ¿cuál es la probabilidad de que cuatro neumáticos duren 50 000 km?

10. El consejo directivo de una empresa de telefonía está constituido por 8 hombres y 4 mujeres. Se va a seleccionar en forma aleatoria un comité con 4 elementos para recomendar a un nuevo presidente de la empresa.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 integrantes sean mujeres?b) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 integrantes sean hombres?

11. Un equipo de béisbol juega 70% de sus partidos por la noche y 30% durante el día. El equipo gana 50% de sus juegos nocturnos y 90% diurnos. De acuerdo con las últimas noticias, ganó el último fin de semana, ¿cuál es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado por la noche?

12. Un productor espera detectar los artículos de mala calidad para quitarlos de los inventarios. Supón que en una determinada planta de manufactura, hacia el final de la línea de producción, el inspector de calidad recoge algunos artículos que le parecen de calidad sospechosa para someterlos a una inspección minuciosa. Si 10% de todos los artículos producidos son defectuosos, 60% de los defectuosos se someten a una inspección minuciosa y sólo 20% de los no defectuosos se someten al examen, calcula la probabilidad de que un artículo sea defectuoso dado que fue inspeccionado.


4.4. Conteo de puntos muestrales

El conteo sigue desempeñando un papel importante en diferentes áreas, todavía se tiene que contar, por ejemplo, cuando se hacen inventarios, cuando se quiere determinar el número de artículos que se desea producir o cuando se elabora un informe que indica en cuántas ocasiones las ventas sufrieron f luctuaciones.

En los apartados anteriores se utiliza ejemplos en los cuales el número total de puntos muestrales en estudio era reducido. Aun cuando esos ejemplos son significativos para ilustrar los objetivos perseguidos, en la práctica la mayoría de los problemas tienen un número mucho mayor de puntos muestrales.

En este apartado, se presentan algunas reglas para realizar el conteo, éstas pueden ser de gran ayuda para resolver problemas de probabilidad cuando es grande el número de puntos muestrales.

Regularmente se utilizan tres reglas: la regla mn, la regla de permutaciones y la de combinaciones.

La regla mn

La regla mn se aplica en situaciones en las que se busca el número de maneras distintas en las que se pueden formar pares de objetos, dichos objetos se seleccionan de dos grupos distintos, esta regla se puede definir de la siguiente manera:

Con elementos 1, 2, 3,…, y elementos 1, 2, 3,…, , es posible formar pares que

contengan un elemento de cada grupo.

Su fórmula es:N = mn

Donde:N: número total de puntos muestrales.

Ejemplo 32

La línea de autobuses Estrella Blanca ofrece recorridos a 50 destinos diferentes y brinda tres tipos distintos de servicio, estos son: de primera, segunda y plus. ¿Cuántos recorridos distintos ofrece esta línea?

En este caso m representa el número de recorridos y n el tipo de servicio. m = 50 n=3N = mn= 50 3 = 150

Por lo tanto, esta línea tiene 150 recorridos distintos.

Ejemplo 33

Un grupo de diez pacientes ingresó a una clínica en donde serán atendidos cada uno, por uno de tres médicos. ¿De cuántas maneras se puede ordenar a los médicos?


En este caso m representa el número de paciente y n el número de médicos.

m = 10 n= 3N = mn 3 = 30

Existen treinta ordenaciones distintas.

Permutaciones

Según se pudo observar, la regla mn se aplicó para determinar posibles arreglos entre dos o más grupos.Con frecuencia el interés se centra en un espacio muestral que contenga como elementos todos

los posibles órdenes o arreglos ordenados de un grupo de objetos. Por ejemplo, se desea conocer cuántos arreglos diferentes son posibles para acomodar a seis personas en seis puestos diferentes, o bien, cuántas formas diferentes existen para sacar dos boletos sorteados de la lotería de un total de 50. Los diferentes arreglos ordenados se denominan permutaciones.

La regla de permutaciones sirve para determinar el número posible de arreglos cuando sólo hay un grupo de objetos.

Permutación : disposición en orden de un conjunto de objetos en el que hay un primero, un segundo, un

tercero, etc., hasta .

La fórmula que se utiliza para contar el número total de permutaciones distintas es:

n rPn

n r!

( ) !

Donde:P: Es el número de permutaciones o formas en que pueden ordenarse los objetos.n: Es el número total de objetos.r: Número de objetos que se van a disponer cada vez.

Es necesario hacer notar que al trabajar ya sea con permutaciones o con combinaciones se utiliza una notación matemática denominada factorial.

El factorial n se describe como n! y significa el producto de n (n–1) (n–2) (n–3),…,((n–(n–1)).Por ejemplo, 4! Se evaluaría por 4 (4 – 1) (4 – 2) [4 (4 – 1)]. Entonces, 4 3 2 1 24 .

Por definición, factorial de cero es igual a la unidad, es decir, 0! = 1Factorial de 3 es 3! = 3 2 1 6Factorial de 6 es 6! = 6 5 4 3 2 1 720 , y así sucesivamente.

Ejemplo 34

El presidente, el vicepresidente, el secretario y el tesorero de una determinada asociación serán elegidos de entre 10 candidatos. ¿De cuántas maneras distintas pueden ocuparse los puestos?

Donde:n = 10 y r = 4

10 410

10 4106

5 040P!

( )!!!

El número de maneras distintas en que puede ocuparse los puestos son 5 040.


Ejemplo 35

En una empresa de lubricantes hay ocho lugares de capacitación administrativa los cuales se asignarán a ocho empleados. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ser asignados los ocho individuos a los ocho lugares distintos?

n = 8 y r = 8

8 88

8 880

40 320P!

( )!!!

Los ocho individuos pueden ser asignados de 40 320 formas diferentes.

Combinaciones

En muchas ocasiones el orden de un grupo de elementos no es lo importante, puede ser que, el interés se centre únicamente en saber cuántas combinaciones se pueden obtener de ese grupo de elementos. Esto es lo que marca la diferencia entre las permutaciones y las combinaciones; mientras que en las permutaciones lo importante es el orden de los elementos de un grupo, en las combinaciones lo relevante es combinar los distintos elementos del grupo.

En consecuencia, el interés en las combinaciones siempre se dirige al número de diferentes subgrupos que pueden formarse con n objetos. El número de combinaciones de n objetos tomados de r a la vez es:

n rCn

r n r!

!( )!

Ejemplo 36

Una agencia de mercadotecnia desea contratar analistas en investigación de mercados, hay 10 aspirantes. ¿De cuántas maneras se puede escoger 4 de los 10 aspirantes?

n = 10r = 4

10 410

4 10 4104 6

210C!

!( )!!

! !

El número total de puntos muestrales es 210.

Ejemplo 37

La Bolsa Mexicana de Valores ofrece 4 tipos de acciones a los inversionistas, ¿de cuántas maneras se puede seleccionar 2 tipos de acciones?

n = 4r = 2

4 24

2 4 24

2 26C

!!( )!

!! !

Los dos tipos de acciones se pueden seleccionar de 6 maneras diferentes.


1. Si se lanzan al aire dos dados, ¿cuántos puntos muestrales pueden observarse en el experimento?

2. Un fabricante desarrolló cinco bases para lámpara y cuatro pantallas que pueden usarse en conjunto. ¿Cuántos arreglos distintos de base y pantalla pueden hacerse?

3. De un total de 30 boletos de una rifa se extraen 5, los cuales serán premiados en orden de importancia. ¿Cuántos puntos muestrales hay asociados a este experimento?

4. Un supervisor administrativo asigna a 10 trabajadores diferentes 10 actividades distintas para desarrollar. ¿De cuántas maneras se puede ordenar a los trabajadores para desarrollar las 10 actividades?

5. Un tejedor de alfombras ha decidido utilizar 7 colores compatibles en su nueva línea de producción. Sin embargo, al tejer una alfombra sólo puede utilizar 5 husos. En su campaña publicitaria desea indicar el número de distintos grupos de colores que están a la venta. ¿Cuántos grupos de colores puede ofrecer, si en cada grupo toma 5?

6. Se llevó a cabo un estudio para determinar las actitudes de las enfermeras de un hospital frente a diversas disposiciones administrativas. Si se seleccionó una muestra de 8 enfermeras de un total de 20. ¿Cuántos grupos combinados de enfermeras se pueden realizar?


4.5 Aplicación de la probabilidad a la solución de problemas en los negocios y de oportunidades de inversión

En el mundo de los negocios existen diferentes formas de tomar decisiones, sin embargo, la experiencia nos ha mostrado que las mejores decisiones siempre han estado apoyadas de manera muy importante por una mezcla estratégica de procesos cualitativos y cuantitativos. En este caso nos toca hablar de la utilización de procesos cuantitativos, es decir, que las decisiones se basen en información que se obtenga de procesos matemáticos o estadísticos, y que ello nos dé una mayor certeza en cuanto a los diferentes caminos que se pueden tomar en la solución o mejora de cierta situación.

Ahora bien, lamentablemente muchas empresas y negocios todavía toman decisiones a partir sólo de presentimientos o percepciones particulares y esto las ha llevado a enfrentar innumerables problemas, que de haber basado su proceso decisorio en cuestiones cuantitativas se hubieran evitado.

Pongamos un ejemplo, imaginemos que cierta persona cuenta con un capital de $1 000 000 y desea invertirlos, y de pronto se acerca a una entidad financiera o bancaria y el ejecutivo de cuenta que lo atiende le comenta que, cierto instrumento de inversión es una buena alternativa, él presiente que este instrumento le dará buenos rendimientos, además cree que el riesgo pudiera ser muy bajo, la pregunta sería ¿tú le recomendarías invertir en ese instrumento? La respuesta parece obvia, ¿verdad?, pues no, porque a aunque muchas veces en cuestiones de inversión no hay una certeza absoluta, sí se puede vislumbrar a partir de probabilidad y manejo de estadísticas el comportamiento del instrumento de inversión.

Sin embargo, cuando el ejecutivo le comenta a nuestro inversionista que él cree y que él presiente, son posiciones con una incertidumbre total, es aquí donde la utilización de cuestiones cuantitativas y formales coadyuva a poder tomar mejores decisiones.

En cambio si llegase a otra entidad bancaria y el ejecutivo de cuenta le muestra un portafolio amplio de productos de inversión, los cuales en primera instancia ya están clasificados por riesgo, además le muestra lo que se puede esperar de esta inversión y utiliza un proceso basado en la probabilidad de rendimientos así como los diferentes escenarios que dentro de la probabilidad financiera y económica pueden ocurrir, entonces la incertidumbre disminuye y el inversionista puede tomar una decisión más objetiva y clara.

A pesar que la situación anterior parece muy obvia, en la realidad suceden acontecimientos en los cuales podemos echar mano de la probabilidad para poder tomar mejores decisiones, pero desafortunadamente en muchas de ellas no lo contemplamos. Consecuentemente con respecto a la probabilidad es importante que se pueda generar una cultura para utilizar estas herramientas matemáticas y estadísticas en los procesos de toma de decisiones de las personas, las empresas y la sociedad.

Ejemplo 38

Una empresa comercializadora de ropa para dama requiere importar ropa de temporada. Las prendas se producen en tres diferentes países, India, Taiwan y España. A continuación se muestra una tabla con información del tiempo aproximado para trámites de importación, el tiempo de traslado de la mercancía desde el país de origen hasta la aduana en México y los tiempos aproximados de liberación de mercancía por parte de la aduana nacional.

País de origen Trámites de importación (días)

Transporte aéreo (días)

Transporte marítimo (días)

Liberación en aduana (días)

India 20 3 9 3 a 5Taiwan 10 2 12 3 a 5España 15 2 5 3 a 5


Para que la empresa cumpla a tiempo con sus compromisos de entregas sin ser penalizada, el producto (la ropa) debe estar en la aduana liberado en un plazo no mayor a 30 días naturales.

a) Determina cuántas opciones de importación tiene la empresa que le permitan cumplir con sus compromisos de entrega.

Solución a)

Para conocer el número de alternativas posibles que la empresa tiene para importar el producto, desarrollaremos la tabla de resultados experimentales (puntos muestrales) donde las cantidades expresan los días de duración de cada actividad.

Origen Permisos de importación

Traslado de mercancía

Liberación en aduana

Notación experimental

Tiempo de importación

India 20 3 3 (20, 3, 3) 26India 20 3 4 (20, 3, 4) 27India 20 3 5 (20, 3, 5) 28India 20 9 3 (20, 9, 3) 32India 20 9 4 (20, 9, 4) 33India 20 9 5 (20, 9, 5) 34

Taiwan 10 2 3 (10, 2, 3) 15Taiwan 10 2 4 (10, 2, 4) 16Taiwan 10 2 5 (10, 2, 5) 17Taiwan 10 12 3 (10, 12, 3) 25Taiwan 10 12 4 (10, 12, 4) 26Taiwan 10 12 5 (10, 12, 5) 27España 15 2 3 (15, 2, 3) 20España 15 2 4 (15, 2, 4) 21España 15 2 5 (15, 2, 5) 22España 15 5 3 (15, 5, 3) 23España 15 5 4 (15, 5, 4) 24España 15 5 5 (15, 5, 5) 25

La notación experimental identifica cada uno de los eventos.posibles, cada número representa el tiempo que dura cada etapa, ejemplo (20, 3, 3) representa el evento con 20 días para la etapa de permisos de importación, 3 días para la etapa de traslado de mercancía y 3 días para la etapa de liberación en aduana.

En total se tienen 18 opciones diferentes; otra forma de determinar el número de opciones es:

Posibles permisos de importación 3Posibles traslados de mercancía 2Posibles plazos de liberación 3

(3) (2) (3) = 18 posibles formas de importar los productos.


Si se cuenta con la siguiente tabla de frecuencia donde se refleja el número de veces en que se han realizado este tipo de operaciones anteriormente:

Origen Notación experimental

Tiempo de importación Frecuencia Origen Notación

experimentalTiempo de

importación Frecuencia

India (20, 3, 3) 26 1 Taiwan (10, 12, 3) 25 9India (20, 3, 4) 27 2 Taiwan (10, 12, 4) 26 10India (20, 3, 5) 28 5 Taiwan (10, 12, 5) 27 8India (20, 9, 3) 32 7 España (15, 2, 3) 20 1India (20, 9, 4) 33 5 España (15, 2, 4) 21 3India (20, 9, 5) 34 9 España (15, 2, 5) 22 2

Taiwan (10, 2, 3) 15 2 España (15, 5, 3) 23 5Taiwan (10, 2, 4) 16 2 España (15, 5, 4) 24 4Taiwan (10, 2, 5) 17 3 España (15, 5, 5) 25 2

b) ¿Cuál es la probabilidad de importar y liberar la mercancía en un plazo menor o igual a 20 días?

Solución b)

Asignaremos la probabilidad de cada uno de los resultados u opciones encontradas. De la tabla anterior obtenemos que el número total de frecuencias es 80, por lo que la probabilidad para la muestra (20, 3, 3) se determina 1/ 80 = 0.0125. El resto de los resultados se presenta en la siguiente tabla:

Origen Notación experimental

Tiempo de importación Frecuencia Probabilidad

India (20, 3, 3) 26 1 0.013India (20, 3, 4) 27 2 0.025India (20, 3, 5) 28 5 0.063India (20, 9, 3) 32 7 0.088India (20, 9, 4) 33 5 0.063India (20, 9, 5) 34 9 0.113

Taiwan (10, 2, 3) 15 2 0.025Taiwan (10, 2, 4) 16 2 0.025Taiwan (10, 2, 5) 17 3 0.038Taiwan (10, 12, 3) 25 9 0.113Taiwan (10, 12, 4) 26 10 0.125Taiwan (10, 12, 5) 27 8 0.100España (15, 2, 3) 20 1 0.013España (15, 2, 4) 21 3 0.038España (15, 2, 5) 22 2 0.025España (15, 5, 3) 23 5 0.063España (15, 5, 4) 24 4 0.050España (15, 5, 5) 25 2 0.025

Total 1.000

Seleccionamos los eventos que cumplen la condición de importar en no más de 20 días y tenemos:

(10, 2, 3) 15 días Probabilidad = 0.025(10, 2, 4) 16 días Probabilidad = 0.025(10, 2, 5) 17 días Probabilidad = 0.038(15, 2, 3) 20 días Probabilidad = 0.013


Para responder a esta pregunta se suman las probabilidades seleccionadas:

0.025 + 0,025 + 0.038 + 0.013 = 0.101

c) Si se requiere que la mercancía esté liberada en un plazo no mayor a 25 días, ¿cuál de todas las opciones es la que minimizaría el riesgo de incumplir con la entrega?

Solución c)

Las opciones que cumplen la condición de liberada en un plazo no mayor a 25 días son:

(10, 2, 3) 15 días Probabilidad = 0.025(10, 2, 4) 16 días Probabilidad = 0.025(10, 2, 5) 17 días Probabilidad = 0.038(10, 12, 3) 25 días Probabilidad = 0.113(15, 2, 3) 20 días Probabilidad = 0.013(15, 2, 4) 21 días Probabilidad = 0.038(15, 2, 5) 22 días Probabilidad = 0.025(15, 5, 3) 23 días Probabilidad = 0.063(15, 5, 4) 24 días Probabilidad = 0.050(15, 5, 5) 25 días Probabilidad = 0.025

Con base en las probabilidades asignadas, la opción que minimiza el riesgo de incumplimiento será la que tenga una probabilidad mayor de cumplimiento, de los eventos seleccionados anteriormente la opción (10, 12, 3) es la que puede darnos la confianza de cumplir a tiempo con el compromiso.

Problema a resolver

El dueño de una refaccionaria debe entregar 3 diferentes pedidos de focos para auto de 12V a 2 diferentes clientes; al cliente A se le deben surtir 2 de los tres pedidos, los pedidos deben ser entregados antes de 10 días o se le cancelarán estos pedidos.

La siguiente tabla nos proporciona información sobre los pedidos enviados durante un año a los clientes en cuestión:

Cliente A Cliente B Totales

Entregados 50 38 88No entregados 5 3 8

Totales 55 41 96

Con base en la tabla anterior determine:

a) ¿Cuál es la probabilidad de entregar el pedido al cliente B si ya fue entregado un pedido al cliente A?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se le entregue el pedido a B?c) ¿Cuál es la probabilidad de que no se le surta uno de los dos pedidos al cliente si ya fue

surtido el pedido del cliente B?


1. El enfoque clásico de la probabilidad se basa en que:

a) Todos los eventos son diferentes.b) Todos los resultados de un experimento son igualmente posibles.c) Todos los resultados son subjetivos.d) Todos los eventos son repetibles.

2. La fórmula del enfoque de frecuencia relativa es:

a) P Anúmero deresultados favorables

número total deresultados( )

P A P A P B( ) ( ) ( )

c) P An AN

( )( )

d) P A P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )

3. ¿Cuál es la probabilidad de que en el lanzamiento de un dado caiga 4?

a)12

b)13

c)16

d)19

4. Un experimento en probabilidad se refiere a:

a) El conjunto de resultados posibles.b) Una colección específica de puntos muestrales.c) Un proceso de observación del cual se espera obtener uno o varios resultados.d) El conjunto de todos los elementos del universo.

5. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador anote un gol si el equipo está compuesto de 11 jugadores y suponemos que todos tienen el mismo nivel para jugar fútbol?

a)111

b)16

c)14

d)12


6. Un evento simple se define como:

a) Un evento constituido por un punto muestral.b) Un evento que se puede subdividir.c) Los eventos que dependen entre sí.d) Aquel que está compuesto por dos o más eventos.

7. La suma de las probabilidades de todos los eventos simples en un experimento debe ser igual a:

a) 10b) 2c) 1d) 5

8. La intersección de dos eventos se refiere a que:

a) Dos eventos ocurran simultáneamente.b) Un evento ocurra y el otro no.c) Contenga todos los puntos muestrales.d) Los dos eventos no ocurran.

9. Si la probabilidad de que llueva es de 26

, ¿cuál es la probabilidad de que no llueva?

a)13

b)23

c)46

d)56

10. La fórmula de la probabilidad condicional de A dado B es:

a) P A BP A B

P B( / )

( )( )

b) P B AP A B

P B( / )

( )( )

c) P A BP A B

P A( )

( )( )

d) P A B P A P B( ) ( ) ( )

11. Dos eventos son mutuamente excluyentes si:

a) Ocurren al mismo tiempo.b) No ocurren al mismo tiempo.b) Ocurre uno y no vuelve a ocurrir.c) Ninguno de los dos ocurren.


12. Cuando la ocurrencia de un evento afecta a la probabilidad de ocurrencia de otro nos referimos a:

a) Eventos simples.b) Eventos dependientes.c) Eventos independientes.d) Eventos compuestos.

13. ¿Cuál es la probabilidad de que en el lanzamiento de dos monedas ambas caigan en águila?

a)14

b)18

c)12

d)13

14. La regla de la multiplicación se aplica a eventos:

a) Mutuamente excluyentes.b) Eventos compuestos.c) Eventos simples.d) Eventos dependientes e independientes.

15. Una diferencia entre las permutaciones y las combinaciones es:

a) Su probabilidad es condicional.b) El número de puntos muestrales.c) Una ordena y la otra combina.d) Una es azarosa y la otra no.


1. d)2. b)3. c)4. a)5. c)6. a)7. c)8. b)9. a)

10. c) 11. a) El evento que tiene más posibilidad de ocurrir es el evento B, pues su probabilidad es la

más alta P(B) = 0.72.b) El evento que tiene menos posibilidad de ocurrir es el evento A, pues su probabilidad es la

menor P(A) = 0.089.

12. Al ser un experimento sin reemplazo, existen seis posibles resultados:

R1: (A, B, C) R

4: (B, A, C)

R2: (A, C, B) R5: (C, A, B)R

3: (B, C, A) R

6: (C, B, A)

Por ejemplo, el posible resultado R1 : (A, B, C) indica que en la primera elección se tomaría

a la acción A, en la segunda a la opción B y en la tercera a la opción C.El espacio muestral queda representado de la siguiente manera:

S = {(A, B, C), (A, C, B), (B, C, A), (B, A, C), (C, A, B), (C, B, A)}

13. Este es un experimento con reemplazo, puesto que si una persona elige un opción determinada (por ejemplo, bueno), no descarta que la segunda persona también pueda elegir la misma opción (bueno), por lo que existen nueve posibles resultados:

R1: (B, B) R4: (B, R) R7: (R, B)R

2: (R, R) R

5: (B, M) R

8:(M, B)

R3: (C, C) R6: (R, M) R9:(M, R)

Donde B señala que el jamón tiene buena calidad, R que el jamón tiene una calidad regular y M que el jamón tiene una mala calidad. El primer espacio indica la elección que haría la primera persona entrevistada, mientras que el segundo espacio señala la elección que haría la segunda persona entrevistada.El espacio muestral queda representado de la siguiente manera:

S = {(B, B), (R, R), (M, M), (B, R), (B, M), (R, M), (R, B), (M, B), (M, R)}

14. Al saber que el sorteo se realizará mediante una urna que contiene 25 bolas negras y 75 bolas blancas, y que al ser seleccionada una bola de determinado color, nuevamente será regresada a la urna para continuar el sorteo, la probabilidad de que este joven le toque “marchar” es:


P blanca( ) .25

25 7525

1000 25

priori, sin necesidad de realizar alguna observación.

15. a) P accidente( ) .50

1 5000 0333

b) P cardiaco( ) .2801500

0 1866

c) Enfoque de frecuencia relativa, pues se tuvo que realizar observaciones en el pasado para obtener estas probabilidades.

16. a) P( ) .gastos médicos mayores5

1000 05

b) P( )= = 0.10gastos médicos menores10100

c) Enfoque de frecuencia relativa, pues se tuvo que realizar observaciones en el pasado para obtener estas probabilidades.

1. b)2. a)3. c)4. d)5. a)6. b)7. c)8. d)9. d)

10. c)11. b)12. a)13. d)14. b)15. c)16. a) La unión de los eventos A y B se encuentra conformada por aquellos puntos muestrales

que se consideran en el evento A o en el evento B o en ambos. Recuerda que si un punto muestral se encuentra considerado en el evento A y también en el evento B, en el resultado de la unión únicamente se cita en una sola ocasión.

A B = {cetes, tipo de cambio, tasa de interés, centenario, petróleo, acciones de TELMEX}


b) La intersección de los eventos A y B se encuentra conformada por aquellos puntos muestrales que se consideran en el evento A y en el evento B, por lo que la intersección de los eventos A y B es:

A B = {cetes, centenario}

17. En este caso, recuerda que existen 8 puntos muestrales en el espacio muestral, que son:

R1: (G, G, G) R5: (G, F, F)R

2: (G, G, F) R

6: (F, G, F)

R3: (G, F, G) R7: (F, F, G)R

4: (F, G, G) R

8: (F, F, F)

El evento A, “que dos jóvenes sean guapos”, se encuentra conformado por 3 puntos muestrales: R2, R3 y R4; el evento B, “al menos dos jóvenes sean guapos”, se encuentra conformado por 4 puntos muestrales: R

1, R

2, R

3 y R

4, por lo que ambos eventos son compuestos, pues están

conformados por varios puntos muestrales. La unión y la intersección de los eventos A y B son:

A B = {R1, R

2, R

3 y R

4}

A B = {R2, R3 y R4}

18. Recuerda que en este caso se tiene seis puntos muestrales en el espacio muestral:

R1 : (A, B) R4 : (B, A)R

2 : (A, C) R

5 : (C, A)

R3 : (B, C) R6 : (C, B)

El evento A, “que sea seleccionada la acción A”, se encuentra constituido por cuatro puntos muestrales: R

1, R

2, R

4 y R

5; mientras que el evento B, “que sea seleccionada la acción B” se encuentra

constituido por R1, R

3, R

4 y R

6; por lo que la unión e intersección de los eventos A y B son:

A B = {R1, R

2, R

3, R

4, R

5, R

6}

A B = {R1, R4}

Las probabilidades de la unión y de la intersección se obtienen dividiendo el número de sus puntos muestrales entre el número de puntos muestrales del espacio muestral:

P A B( ) .66

1 0 Hay plena certeza de seleccionar la acción A o B.

P A B( ) .26

0 33 Probabilidad de seleccionar las acciones A y B.

19. El espacio muestral queda conformado por los siguiente puntos muestrales:

R1: (B, B) R

4: (B, R) R

7: (R, B)

R2: (R, R) R5: (B, M) R8: (M, B)R

3: (M, M) R

6: (R, M) R

9: (M, R)


El evento A “que al menos una persona piense que la calidad es buena” se encuentra compuesto por los puntos muestrales R

1, R

4, R

5, R

7 y R

8. El evento B “al menos una persona piense

que la calidad es mala” se encuentra compuesto por los puntos muestrales R3, R5, R6, R8 y R9

a) A B = {R1, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9 }

b) A B = {R5, R

8}

c) P A B( )89

Probabilidad de la unión de A y B.

d) P A B( )29

Probabilidad de la intersección de A y B.

e) No son mutuamente excluyentes, pues la probabilidad de su intersección es diferente a cero.f) Si la probabilidad de la intersección A B es 2/ 9, entonces la probabilidad del complemento

de esta intersección es 1 – 2/ 9 = 7/ 9.g) Si la probabilidad de la unión A B es 8/ 9, entonces la probabilidad del complemento de

esta unión es 1 – 8/ 9 = 1/ 9.h) Tanto los eventos A y B son eventos compuestos, pues A tiene 8 puntos muestrales mientras

que B tiene 2 puntos muestrales.

1. En este caso podemos etiquetar los eventos de la siguiente manera:

Evento A: que lea La Jornada.Evento B: que lea Reforma.Evento A B = que lea ambos, La Jornada y Reforma.

Si se desea saber la probabilidad de que una persona seleccionada de forma aleatoria lea La Jornada y Reforma, podemos representar esta probabilidad como P(A B). En ese sentido, la probabilidad que deseamos encontrar es una probabilidad conjunta y se encuentra de la siguiente manera:

P A B P A P B P A B( ) ( ) ( )– ( ) – . . – . 5

105

102

100 5 0 5 0 2 0 8.

De esta manera, la probabilidad de que una persona que se seleccione de la muestra lea La Jornada o Reforma es de0.8.

2. Se presentan las siguientes probabilidades:P(A B) = 0.3 Probabilidad de que se presente un incremento en la bolsa (A) y que se presente

una caída en la tasa de interés (B).P(B) = 0.4 Probabilidad de que se presente una caída en la tasa de interés (B).

Se desea conocer cuál es la probabilidad de que se presente un incremento en la bolsa estimulado por la caída de una tasa de interés:

P(A / B) = 0.75P A B

P B( )

( )..

0 30 4


3. Se definen las siguientes probabilidades:

P(A B) = 0.11Probabilidad de que se compre una acción A y una acción B.P(A) = 0.34Probabilidad de que se compre una acción A.P(B) = 0.2Probabilidad de que se compre una acción B.

Se solicita una probabilidad condicional, por lo que se realizan las siguientes operaciones:

P A BP A B

P B( / )

( )( )

..

.0 110 2

0 55

4. Se definen las siguientes probabilidades:

P(A B) = 0.39Probabilidad de que se adopte la estrategia (A) y que las ventas crezcan a los niveles proyectados (B).P(A) = 0.54 Probabilidad de que la empresa adopte la estrategia (A).Se solicita una probabilidad condicional, por lo que se realizan las siguientes operaciones:

P B AP A B

P A( / )

( )( )

.

..

0 390 54

0 72

La probabilidad de que si la compañía emplea la nueva estrategia las ventas crezcan a los niveles de ventas es de 0.72.

5. Se definen los siguientes eventos:

A = Funcionamiento a 100% de la empresa.B = Eficiencia con la que trabaja la empresa.

Por lo que tenemos que:P B( ) .0 80

P A B( ) .0 72

Sustituyendo en la fórmula se obtiene lo siguiente:

P A BP A B

P B( / )

( )( )

.

..

0 720 80

0 90

La probabilidad de que la administración sea eficiente y que la empresa trabaje a 100% es del 0.90.


6. A = Riesgo de la acción.B = Riesgo del bono gubernamental.Por lo que tenemos que:

P A( ) .0 35

P B( ) .0 25

P A B P A P B( ) ( ) ( ) . . .0 35 0 25 0 0875

Sustituyendo en la fórmula se obtiene lo siguiente:

P A BP A B

P B( / )

( )( )

..

.0 08750 25

0 35

La probabilidad de que el inversionista asuma el riesgo de la acción es 0.35.

7. P(A B) = P(A) + P(B) = 0.305 + 0.185 = 0.49

La probabilidad de que las tiendas tengan un ingreso entre un millón y 20, o un ingreso de 20 de 20 millones es de 0.49.

8. P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 0.08 + 0.15 – 0.03 = 0.20

La probabilidad de seleccionar un trabajador que necesite zapatos especiales y servicio dental es de 0.20.

9. P(A) = 0.80P(B) = 0.80P(D) = 0.80P(E) = 0.80P(A y B y D y E) = P(A) P(B) P(D) P(E) = (0.80)(0.80)(0.80)(0.80) = 0.4096

La probabilidad de que cuatro neumáticos duren 50 000 km es de 40.96%

10. a) P(A B) = P(A) P(B/A) no hay reemplazo.

P A B( ) .

412

311

12132

0 091

P A B C P A P B A P C A B( ) ( ) ( / ) ( / )

812

711

610

00 255.

La probabilidad de que en el grupo seleccionado haya dos mujeres es de 9.1% y de que en el grupo seleccionado haya tres hombres es de 0.255.

11. El problema puede identificar las siguientes variables:

A: Partidos que el equipo juega por la noche.B: Partidos que el equipo juega en el día.X: Juegos que el equipo gana.Y: Juegos que el equipo pierde.

Estas variables y sus porcentajes se pueden representar a través de un diagrama de árbol:


A 70 %70 %

B 30 %30 %

X 50 %

Y 50 %

X 90 %

Y 100 %


P AP A P A

P A P A P A P A( / )

( ) ( / )

( ) ( / ) ( ) ( / )X

X

X X

Donde:P(A) = 0.70P(X/AX// ) = 0.50P(A) = 0.30P(X/ A) = 0.90

P A( / )( . ) ( . )

( . ) ( . ) ( . ) ( . )..

.X0 70 0 50

0 70 0 50 0 30 0 900 350 62

0 56445

La probabilidad de que el partido sea por la noche es de 56.45%.

12. El problema puede identificar las siguientes variables:

D: Artículos defectuosos en una planta manufacturera.D : Artículos no defectuosos en una planta manufacturera.X: Artículos defectuosos sometidos a una inspección minuciosa.Y: Artículos no sometidos a una inspección minuciosa.YY

Estas variables y sus porcentajes se pueden representar a través de un diagrama de árbol.

D00 90 %90 %

D 10 %10 %

X 20 %

Y 80 %

X 60 %

Y 40 %


P D MP D P M D

P D P M D P D P M D( / )

( ) ( / )

( ) ( / ) ( ) ( / )


Donde:P(D) = 0.10P(X/ D) = 0.60P(D) = 0.90P(X/ D) = 0.20

P D M( / )( . ) ( . )

( . ) ( . ) ( . ) ( . )..

.0 10 0 60

0 10 0 60 0 90 0 200 060 24

0 25

La probabilidad de que el artículo sea defectuoso dado que fue inspeccionado minuciosamente es del 0.25.

1. N = mnm= 6 n = 6N = 6 6 = 36

En el lanzamiento de 2 dados hay 36 puntos muestrales.

2. m= 5n = 4N = mn = 5 4 = 20

Se pueden hacer 20 arreglos distintos.

3. 30 530

30 517100 720P

!( )!

Existen 17 100 720 puntos muestrales.

4. 10 1010

10 103 628 800P

!( )!

Los trabajadores pueden ser asignados de 3 638 800 maneras diferentes.

5. 7 57

7 52 520P

!( )!

Se pueden ofrecer 2 520 grupos de colores.

6. 20 820

8 20 8125 970C

!!( )!

Hay 125 970 grupos combinados de enfermeras.


1. b)2. c)3. c)4. c)5. a)6. a)7. c)8. a)9. d)

10. a)11. b)12. b)13. a)14. d)15. c)

unidad 4 probabilidad para ne… · 197 introducción en el lenguaje cotidiano, la gente se refiere...

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