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GraficaciónIA7200-T

Bases Matemáticas

Graficación 2

Bases Matemáticas

• Vectores• Producto interno• Determinantes• Producto vectorial• Orientación de 3 puntos• Polígonos

• Punto en un triángulo/polígono/línea

• Distancia/proyección entre punto y línea

• Triangulación de polígonos

Graficación 3

Vectores

Concepto matemático de vector ≠ Java Vector.

Los vectores no se alteran por translaciones

a=b

Graficación 4

Vectores

c=a+b

|a|=longitud de a

0=vector cero

|0|=0

-a: |-a|=|a|, dir. op.

ca: |ca|=c|a|

Dirección de a si c>0

Opuesta si c<0

Graficación 5

Vectores i, j yk - vectores

ortogonales unitariosSistema derecho:

rotación de i en la dirección de j corresponde a girar un tornillo derecho, así k tiene la dirección en que el tornillo avanza

Graficación 6

Vectores

Cualquier vector puede expresarse como:

v=xi+yj+zk

Se escribe:

v=[x,y,z]=(x,y,z)

Graficación 7

Producto Interno

a b = |a| |b| Cos γ Si a,b ≠ 0

a b = 0 otro caso

i i = j j = k k = 1

i j = j i = j k = k j = k i = i k = 0

|a| = √(a a)

Graficación 8

Producto Interno

c(k uv) =ck(uv)

(cu+kv)w = cuw+kvwuv=vuuu=0 solo si u=0

u = [u1 u2 u3] y v = [v1 v2 v3]

uv = u1v1+u2v2+u3v3

Graficación 9

Determinantes

Graficación 10

Determinantes

Graficación 11

Determinantes

Donde Mij (menor), se obtiene de D borrando el renglón i y la columna j.

Graficación 12

Determinantes - Propiedades

Graficación 13

Determinantes - Propiedades

Graficación 14

Determinantes - Aplicación

Elegancia:

Ecuación de línea que pasa por P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

Ecuación del plano que pasa por P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) y P3(x3, y3, z3)

Graficación 15

Determinantes - Aplicación

Graficación 16

Determinantes - Aplicación

Graficación 17

Producto Cruzv = a × b|v| = |a| |b| Sen γSi a = cb, c escalar, v = 0

Graficación 18

Producto Cruz - Propiedades

Graficación 19

Producto Cruz

Graficación 20

Orientación de 3 Puntos

¿(A, B, C) giran con o contra el reloj?

1 -1

0 si son colineales

Graficación 21

Orientación de 3 Puntos

Definimos:•a = CA•b = CB

Si podemos girar a <180° y llegar a b, es positiva

Graficación 22

Orientación de 3 Puntos

Si a y b terminan en (a1, a2,0) y (b1, b2, 0), respectivamente

Graficación 23

Orientación de 3 Puntos

Solución 2D:

α ángulo entre a y x+β ángulo entre b y x+

Respuesta: (β – α) < 180°

Graficación 24

PolígonosSecuencia de puntos• n>=3• sin intersección• vértices sucesivos no colineales

Convexos: ángulos interiores < 180°Cóncavos: no convexos

Graficación 25

Polígonos - Area|a×b| = área del paralelogramo formado por a y b2 área del triángulo formado por a y b

Válido solo si A,B,C van contra el reloj.Si no, tomar el valor absoluto.

Graficación 26

Polígonos - Area

En general, para cualquier polígono, cóncavo o convexo:

Graficación 27

Punto dentro de un Triángulo

P está dentro de ABC si la orientación de ABP, BCP y CAP es la misma que la de ABC

Graficación 28

Punto dentro de un Polígono

Trazar una semilínea:•True si el número de intersecciones es impar•False si el número de intersecciones es par

Ignorar:•Horizontales•Máximos•Mínimos

Graficación 29

Punto dentro de un Polígono

Para ignorar horizontales, máximos y mínimos, incrementar intersecciones si el lado del vértice i al i+1 cumple con:

Considerar el segmento ABsolo si está a la derecha de P.ABP va contra el reloj.

Graficación 30

Punto en una Línea

Para saber si P está en la líneaverificamos que P satisfaga la ecuación

Si se trata de un segmento de línea AB:

= {

Graficación 31

Distancia de un Punto a una Línea

Graficación 32

Distancia de un Punto a una Línea

Si la ec. de la línea es

Donde

Entonces

Donde

Graficación 33

Distancia de un Punto a una Línea

Graficación 34

Proyección de un Punto en una Línea

Dados L y P (no en L), determinar la proyección, P’, de P en L.P’ tiene las siguientes propiedades:• P’ es el punto mas cercano a P en L• La long. de P P’, es la distancia de P a L• P P’ y L son perpendiculares

Graficación 35

Proyección de un Punto en una Línea

Vector unitario en dir. AB:

La long. de AP’:

€

u =1

ABAB

€

λ =AP • u

€

AP'= λu

€

AP'= (AP • u)u = (AP •1

ABAB)

1

ABAB =

1

AB2 (AP •AB)AB

Graficación 36

Proyección de un Punto en una Línea

Graficación 37

Triangulación de Polígonos

Dado un polígono almacenado en un vector de n puntos (ccw), se desea dividirlo en triángulos.El resultado se almacena en un vector de n-2 triángulos.

Repetir n-2 veces:• Recorrer los vértices del polígono ccw.• Para cada tres vértices P, Q y R, donde Q es convexo• Cortar el triángulo PQR si no contiene ningún otro vértice

Graficación 38

Triangulación de Polígonos

Graficación 39

Triangulación de Polígonos

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