GraficaciónIA7200-T

Algoritmos Clásicos

Graficación 2

Una Línea Ideal

• Solo podemos lograr una aproximación

• Iluminar pixeles tan cerca a la línea ideal como sea posible– Pixel {0,1}

Graficación 3

Linea Ideal

• Recta y continua– Solo es posible a 0 y 45o

• Se debe interpolar• Debe ser eficiente

– Se requiere dibujar muchas!!!

Graficación 4

Linea Simple

Basada en la ecuación:

y = mx + b

Solución:

incrementa x, resuelve para y

Se require aritmética de Punto Flotante

Graficación 5

Funciona?Sí, para líneas con m<=1.

Si m>1, la línea se hace muy discontinua.

Se requiere mas de 1 pixel por columna

Solución? - simetría.

Graficación 6

Modificar algoritmo por octante

o incrementar en x si dy<dx, si no, incrementar en y

Graficación 7

Algoritmo DDA

• DDA = Digital Differential Analyser– Differencias finitas

• Tratar la linea como una ecuación paramétrica en t :

)()(

)()(

121

121

yytyty

xxtxtx

−+=−+=

),(

),(

22

11

yx

yxInicio -Fin -

Graficación 8

Algoritmo DDA

• Empezar en t = 0

• En cada paso, incrementar t en dt

• Elegir un valor para dt

• Asegurar que se nos pasan pixeles:– Implica y

• dt = maximum(dx, dy)

)()(

)()(

121

121

yytyty

xxtxtx

−+=−+=

dt

dyyy

dt

dxxx

oldnew

oldnew

+=

+=

1<dtdx

1<dtdy

Graficación 9

Algoritmo DDAline(int x1, int y1, int x2, int y2)

{float x,y;int dx = x2-x1, dy = y2-y1;int n = max(abs(dx),abs(dy));float dt = n, dxdt = dx/dt, dydt = dy/dt;

x = x1;y = y1;while( n-- ) {

point(round(x),round(y));x += dxdt;y += dydt;}

}

n – rango de t.

Graficación 10

Algoritmo DDA

• Aun se necesitan muchas operaciones de PF.– 2 ‘round’s y 2 adds por pixel.

• Hay una manera más simple?

• Podemos usar solo aritmética entera?– Mas fácil de implementar en hardware

Graficación 11

Observación en Líneas

while( n-- ) {draw(x,y);move right;if( below line )move up;}

Graficación 12

Arriba o Debajo de la Línea?

• Test para pixel• Escribir la línea en forma implícita:

0),( =++= cbyaxyxF•F<0 para puntos arriba de la línea, F>0 para puntos debajo.

Graficación 13

Testing for the side of a line.

• Need to find coefficients a,b,c.• Recall explicit, slope-intercept form :

• So:

0),( =++= cbyaxyxF

bxdx

dyybmxy +=+= so and

0..),( =+−= cydxxdyyxF

Graficación 14

Variable de Decisión

Pixel anterior(xp,yp)

Posible pixelactual

Posiblespixeles

siguientes

Evaluar F ent M

Se llama variable de decisión

)2

1,1( ++= pp yxFd

M

NE

E

Graficación 15

Variable de Decisión

Evaluatar d para el siguiente pixel. Depende si se elige E o NE:

Si se elige E:

cybxayxFd ppppnew ++++=++= )21

()2()21

,2(

Recuerden:

cybxa

yxFd

pp

ppold

++++=

++=

)21

()1(

)21

,1(

Entonces:

dyd

add

old

oldnew

+=+=

M

E

NE

PixelPrevios(xp,yp)

PosiblePixel

Actual

PosiblePixel

Siguiente

Graficación 16

Variable de Decisión

Si se elige NE:

cybxayxFd ppppnew ++++=++= )23

()2()23

,2(

So :

dxdyd

badd

old

oldnew

−+=++=

M

E

NE

PixelPrevios(xp,yp)

PosiblePixel

Actual

PosiblePixel

Siguiente

Graficación 17

Resumen del Algoritmo dePunto Medio

• Elegir entre 2 pixelse en cada iteración, dependiendo del signo de la var. de decisión

• Atualizar la variable de decisión dependiendo de que pixel es elegido

• Comenzar en (x1,y1)

• Calcular en valor inicial de d

Graficación 18

Valor Inicial de d

2

)2

1()1()

2

1,1(

11

1111

bacbyax

cybxayxFdstart

++++=

++++=++=

Pero (x1,y1) es un punto en la línea, F(x1,y1) =0

2/dxdydstart −=

Multiplicar por 2 para remover la fracción no afecta el signo

2),( 11

bayxF ++=

Inicioo: (x1,y1)

Graficación 19

Algoritmo de Bresenham

void MidpointLine(int x1,y1,x2,y2)

{

int dx=x2-x1;

int dy=y2-y1;

int d=2*dy-dx;

int increE=2*dy;

int incrNE=2*(dy-dx);

x=x1;

y=y1;

WritePixel(x,y);

while (x < x2) {if (d<= 0) {

d+=incrE;x++

} else {d+=incrNE;x++;y++;

}WritePixel(x,y);

}}

Graficación 20

Bresenham no fue el final!

Algoritmo doble de Xiaolin Wu:

El programa de dibujado es un autómata (máquina de estados finitos). i.e. Checar los siguientes dos pixeles de la línea.

Solo existen un número finito (pequeño) de posibilidades.

El algoritmo doble explota simetría dibujando simultáneamente de ambos extremos hacia el centro.

Graficación 21

Algoritmo DobleLas posiciones posibles de los dos pixeles siguientes dependen de la pendiente – pixel actual en azul:

0<=m<=½

½<=m<=1

1<=m<=2

m>2

Graficación 22

Círculos

• Podemos usar Bresenham para círculos• Usar simetría 8-tuple

PosiblePixel

Siguiente

M

E

SE

PixelPrevios

PosiblePixel

Actual

Graficación 23

Círculos

• La forma Implícita de un círculo es:

€

Si se elige SE :

dnew = dold + (2x p − 2y p + 5)

dnew = dold + (2x p + 3)

Las Funciones son ecuaciones lineales en términos de

(xp,yp)

–Llamado punto de evaluación

€

f (x, y) = (x − xc )2 + (y − yc )2 − r2