GraficaciónIA7200-T

Transformaciones Geométricas

Graficación 2

Transformaciones Geométricas• Producto Matricial• Transformaciones

Lineales• Rotaciones• Escalamiento• Acizallamiento• Translaciones

• Coordenadas Homogéneas• Transformaciones Inversas• Rotaciones Arbitrarias• Cambio de Coordenadas• Rotaciones 3D

Graficación 3

Producto Matricial

Graficación 4

Transformaciones LinealesUna transformación T es un mapeo

Una transformación es lineal si para todos v y w (vectores) y λ (real)

Si T es lineal:

Graficación 5

Transformaciones LinealesEn el espacio x-y, asociemos un punto P al

vector V, tal que:

T es un mapeo de puntos a puntos:

Para todo punto P en x-y, donde:

€

′ v = O ′ P

Graficación 6

Transformaciones LinealesLas TLs pueden ser escritas como un producto

de matrices. Por ejemplo

Se puede escribir como el producto

Graficación 7

Transformaciones LinealesEjemplo:

Los renglones de T

son las imágenes de

(1,0) y (0,1)

Graficación 8

Rotación

Graficación 9

Escalamiento

Graficación 10

Acizallamiento

Graficación 11

Translaciones

¿Cuál es la matriz T para translaciones?

T no es lineal (i.e. T(0) = (a,b)≠0)

(a,b) se llama vector de desplazamiento

(shift vector)

Graficación 12

Coordenadas Homogéneas

Para combinar todas las transfomaciones vistas hasta aquí, añadimos una dimensión mas, W.

La dimensión extra hace que P=(x,y) tenga toda una familia de representaciones coordenadas (wx, wy, w) w≠0.

Por ejemplo, (3,6,1), (0.3,0.6,0.1), (6,12,2), (12,24,4), etc.

Cuando un punto se mapea al plano W=1, se dice que está homogeneizado.

Conversión:

(x,y) (x,y,1)

(wx,wy,w) (wx/w, wy/w)

Graficación 13

Coordenadas Homogéneas

Graficación 14

Coordenadas Homogéneas

T en coordenadas homogéneas

Translación

Rotación

Graficación 15

Ejercicios• Dibuje un rectángulo unitario en un espacio R2

• Genere una matriz T1 para una rotación de 15°

• Genere una matriz T2 para un escalamiento de 1.5 en x y 2 en y

• Genere una matriz T3 para un acizallamiento de 0.5 en la horizontal

• Combínelas, para formar una sola matriz T de transformación que además desplace el rectángulo por (1, 0.5)

• Aplique la matriz resultante al rectángulo

Graficación 16

Ejercicios

Ver Programa de Mathematica

Graficación 17

Transformaciones Inversas• Si R mapea de P a P’, la inversa mapea de P’ a P.

• Ej. Rotación Inversa

• Se debe cumplir que

Graficación 18

Transformaciones Inversas• Sin embargo, no todas las transformaciones son

reversibles

• Ej. Una transformación que mapea de cualquier punto al eje x no lo es.

• La matriz no tiene inversa

• Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser diferente de cero

Graficación 19

Transformaciones Inversas• La matriz de transformación del mapeo

Graficación 20

Rotación en Torno a Cualquier Punto

• No es lineal

• Puede ser descrita como un producto matricial (coordenadas homogéneas)

• La rotación en el punto C(Xc, Yc) en un ángulo φ se puede hacer en tres pasos:

• Translación al origen

• Rotación en el origen

• Translación de regreso

Graficación 21

Rotación en Torno a Cualquier Punto

Graficación 22

Rotación en Torno a Cualquier Punto

Graficación 23

Rotación 3D en Torno a los Ejes

Graficación 24

Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario

1. Rotación en z -θ

2. Rotación en y -φ

3. Rotación en z α

4. Rotación en y φ

5. Rotación en z θ

Graficación 25

Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario

Graficación 26

Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario

Si el punto de inicio no es el origen, sino un punto arbitrario A(a1,a2,a3)

① Translación de A a O

② La rotación R, descrita anteriormente

③ Translación inversa de O a A

Graficación 27

Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario