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RECUPERACIÓN DE 2º ESO DE MATEMÁTICAS DE ÁMBITO CIÉNTIFICO-MATEMÁTICO (PMAR)
CURSO 2017-2018I.E.S. MIRAFLORES DE LOS ÁNGELES
Para superar la asignatura debes realizar las siguientes actividades y entregarlas el día de la prueba escrita, dicha prueba incluirá las actividades propuestas a continuación.
La ponderación de cada una de ellas es la siguiente:
20% resolución correcta de actividades 80% resolución correcta de prueba escrita.
1
1
Operaciones con números decimales
1
SUMA DE NÚMEROS DECIMALES
Para sumar dos o más números decimales se colocan en columna haciendo coincidir las comas; después se suman como si fuesen números naturales y se pone en el resultado la coma bajo la columna de las comas.
Ejemplo:
Calcula las siguientes sumas de números decimales.
12,435 + 142,36 + 8,7 = 32,46 + 7,182 + 146,8 =
243,18 + 16,5 + 153,216 = 325,9 + 8,75 + 37,296 =
2,42 + 3,7 + 4,128
2 , 4 2 3 , 7 + 4 , 1 2 8
1 0 , 2 4 8
1
RESTA DE NÚMEROS DECIMALES
Para restar números decimales se colocan en columna haciendo coincidir las comas. Si los números no tienen el mismo número de cifras decimales, se completan con ceros las cifras que faltan. Después, se restan como si fuesen números naturales y se pone en el resultado la coma bajo la columna de las comas.
Ejemplo:
Calcula las siguientes restas de números decimales.
4,3 - 2,84 =
123,7 - 98,49 =
9,1 - 3,82 9 , 1 0- 3 , 8 2
5 , 2 8
52,61 - 13,72=
214,8 - 96,72 =
49,8 - 31,96 =
416,7 - 392,18 =
1
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD
SEGUIDA DE CEROS
Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000, ... se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad.
Ejemplos:
Calcula.
3,25x 10=
3,25 x 100 =
3,25 x 1.000 =
3,25 x 10.000 =
3,25 x 100.000 =
3,25 x 1.000.000 =
4,1 x 10 =
4,1 x 100 =
4,1 x 1.000 =
4,1 x 10.000 =
4,1 x 100.000 =
4,1 x 1.000.000 =
3,2 x 10 = 32
3,2 x 100 = 320
3,2 x 1.000 = 3.200
1
MULTIPLICACIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES
Para multiplicar dos números decimales se efectúa la operación como si fuesen números naturales y en el producto se separan tantas cifras decimales como cifras decimales tengan entre los dos factores.
Ejemplos:
Calcula las siguientes multiplicaciones de números decimales.
32,43 x 2,4 = 4,131 x 3,2 =
431,4 x 3,5 = 25,49 x 31,3 =
289,1 x 2,13 = 49,63 x 2,14 =
4,31 x 2,6 2 cifras decimales
1 cifra decimal
3 cifras decimales
4 , 3 1
x 2 , 6
2 5 8 6
8 6 2
1 1 , 2 0 6
1
DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD
SEGUIDA DE CEROS
Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000, ... se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad.
Ejemplos:
Calcula.
81,2 : 10 =
81,2 : 100 =
81,2 : 1.000 =
81,2 : 10.000 =
81,2 : 1 00.000 =
81,2 : 1.000.000 =
5,3 : 10 =
5,3 : 100 =
5,3 : 1.000 =
5,3 : 10.000 =
5,3 : 100.000 =
5,3 : 1.000.000 =
24,2 : 10 = 2,42
24,2 : 100 = 0,242
24,2 : 1.000 = 0,0242
1
DIVISIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR UNO NATURAL
Para dividir un número decimal por un número natural se hace la división como si fuesen números naturales, pero se pone una coma en el cociente al bajar la primera cifra decimal.
Ejemplos:
Calcula las siguientes divisiones.
4,326 : 3 = 32,156 : 4 =
267,05 : 5 = 39,120 : 6 =
412,16 : 7 = 52,632 : 8 =
7,36 : 2 2
3 , 6 8
7 , 3 6
1 3
1 6
0
1
DIVISIÓN DE UN NÚMERO NATURAL POR UNO DECIMAL
Para dividir un número natural por un número decimal se suprime la coma del divisor y a la derecha del dividendo se ponen tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. Después se hace la división como si fuesen números naturales.
Ejemplo:
Calcula las siguientes divisiones.
585 : 1,3 7.749 : 1,23
2.875 : 2,3 5.490 : 1,22
12.936 : 2,31 25.442 : 2,23
1.176 :1,2 1 2
9 8 0
1 1 7 , 6 0
0 9 6
0 0 0
1
DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES
Para dividir dos números decimales se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga el divisor; si es necesario, se añaden ceros.
Ejemplo:
Calcula las siguientes divisiones.
12,25 : 0,7 29,095 : 2,3
799,46 : 1,42 958,5 : 21,3
20,88 : 2,4 4,340 : 3,5
21,66 : 3,8 3 8
5 , 7
2 1 6 , 6
2 6 6
0 0
2
2
2
2
Operaciones con fracciones
1
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DEL MISMO DENOMINADOR
• Para sumar fracciones del mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.
Ejemplo:
• Para restar fracciones del mismo denominador, se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
Ejemplo:
Calcula las siguientes sumas de fracciones.
+
2 Calcula las siguientes restas de fracciones.
4
6
9
7
12
7
4
7+ =
20
7
- =23
7
14
7
+15
11
10
11+ =
21
11
- =43
11
29
11
+21
13
14
13+ =
10
13
- =89
13
78
13
+31
17
41
17+ =
38
17
- =103
19
94
19
6
7
+
-3
7=
9 - 3
7=
3
6+
8
6
15
6= =
4 + 3 + 8
6
1
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR
• Para sumar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común denominador; después se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.
Ejemplo:
• Para restar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común denominador; después se restan los numeradores y se deja el mismo denominador:
Ejemplo:
Calcula las siguientes sumas de fracciones.
+1
5
4
3+ =
1
2
+2
3
1
9+ =
3
5
+4
7
2
4+ =
1
8
+3
2
1
5+ =
1
10
+3
8
1
4+ =
3
16
4
5+
1
3+
1
2
49
30=
4 · 6
30+
1 · 10
30+
1 · 15
30=
m.c.m. (5, 3, 2) = 30
2
3-
1
4
5
12=
2 · 4
12-
1 · 3
12=
m.c.m. (3, 4) = 12
2 Calcula las siguientes restas de fracciones.
-4
5
1
7=
-3
10
1
12=
-2
3
4
7=
-9
15
3
8=
1
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.
Ejemplo:
Calcula los siguientes productos de fracciones.
x2
3
1
4x
3
5x
1
8
2
3x
2
9
x3
7
2
9x
=
=
=
=1
8x
4
7
5
6x
9
5
4
5x
2
3x
1
4
8
60
4 x 2 x 1
5 x 3 x 4= =
x1
9
3
11x = =
4
7x
3
2
9
10x
4
6
1
DIVISIÓN DE FRACCIONES
Para dividir una fracción por otra fracción , se multiplica la fracción
por la fracción inversa de , o lo que es lo mismo,
se multiplican en cruz los términos de las fracciones
Ejemplo:
Calcula las siguientes divisiones de fracciones.
3
7:
2
8
9
12:
7
5
4
11:
=
=
=
=3
16
4
17:
3
16
4
5:
3
7=
=7
9:
2
12
a
b
c
d
a
b
c
d
a x d
b x c
c
d
c
d
d
c
a
b
Inversa
: = .
4
5
3
8
32
15
4 x 8
5 x 3: = =
Potencias. Operaciones
1
POTENCIAS
• Todo producto de factores iguales se puede escribir en forma de potencia. El factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente.
Ejemplo: 6 x 6 x 6 x 6 = 64
• Casos particulares de potencias:
Un número elevado al exponente 1 es igual al mismo número. 21 = 2; 31 = 3. Un número elevado al exponente 0 es igual a uno. 40 = 1; 50 = 1.
Completa el cuadro.
3 Halla el valor de las siguientes potencias.
71 =
80 =
92 =
83 =
110 =
251 =
2 Escribe en forma de potencia los siguientes productos.
8 x 8 x 8 =
7 x 7 x 7 x 7 =
9 x 9 x 9 x 9 x 9 =
15 x 15 x 15 x 15 x 15 =
8 x 8 x 7 x 7 x 7 =
5 x 5 x 5 x 6 x 6 =
7 x 7 x 9 x 9 x 9 =
10 x 10 x 10 x 8 x 8 x 8 =
Potencia 32 43 54 65 87 910 1011 1520
Base
Exponente
22 x 33 =
23 x 32 =
42 x 52 =
42 x 52 x 30 =
53 x 22 x 33 =
62 x 33 x 70 =
Exponente
Base
1
POTENCIAS DE BASE 10
• Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros comounidades indica el exponente.
Ejemplos: 102 = 10 x 10 = 100 103 = 10 x 10 x 10 = 1.000 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100.000
• Los números de muchas cifras que acaban en ceros tienen una escritura máscómoda utilizando potencias de base 10.
Ejemplos: 120.000.000 = 12 x 10.000.000 = 12 x 107
200.000.000 = 2 x 100.000.000 = 2 x 108
Calcula.
104 =
106 =
107 =
108 =
2 Escribe, utilizando potencias de base 10, los siguientes números.
3.000 =
40.000 =
600.000 =
7.000.000 =
80.000.000 =
130.000.000 =
200.000.000 =
320.000.000 =
1.000.000.000 =
2.000.000.000 =
109 =
1010 =
1011 =
1012 =
1
PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
El producto de dos o más potencias de igual base es otra potencia de la mismabase y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
Ejemplos: 23 x 22 x 24 = 23+2+4 = 29
43 x 42 x 46 = 43+2+6 = 411
Escribe en forma de una sola potencia los siguientes productos. Después, calcula su valor.
22 x 22 = 24 = 16
22 x 23 =
23 x 2 =
24 x 2 =
32 x 32 =
22 x 2 x 23 =
3 x 32 x 3 =
42 x 42 x 4 =
5 x 5 x 52 =
62 x 62 x 6 =
1
COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes.
Ejemplos: 26 : 23 = 26-3 = 23
48 : 42 = 48-2 = 46
Escribe en forma de una sola potencia los siguientes cocientes.Después, calcula su valor.
38 : 35 = 33 = 27
54 : 53 =
69 : 67 =
710 : 78 =
205 : 202 =
306 : 303 =
407 : 404 =
503 : 502 =
1
POTENCIA DE UNA POTENCIA
La potencia de una potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente esel producto de los exponentes.
Ejemplos: (23 )2 = 23 x 2 = 26
(44 )3 = 44 x 3 = 412
Escribe en forma de una sola potencia.
(32 )3 =
(43 )2 =
(52 )2 =
(64 )3=
(75 )2 =
(234 )5 =
(305 )6 =
(414 )7 =
(506 )4 =
(653 )5 =
1
POTENCIA DE UN PRODUCTO
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado a dlcha potencia.
Ejemplos: (5 x 3)2 = 52 x 32
(4 x 2 x 5)3 = 43 x 23 x 53
Escribe el resultado como producto de potencias.
(2 x 3)3 =
(4 x 2)2 =
(3 x 5)4 =
(5 x 7)3 =
(8 x 9)5 =
(7 x 10)2 =
2 Escribe en forma de una sola potencia.
22 x 32 x 42 = (2 x 3 x 4)2
33 x 43 x 53 =
56 x 76 x 86 =
(2 x 3 x 4)2 =
(4 x 5 x 6)3 =
(6 x 7 x 8)4 =
(8 x 9 x 10)5 =
(10 x 11 x 12)6=
(13 x 14 x 15)7=
117 x 127 X 137 =
148 x 158 X 168 =
217 x 207 X 197 =
Problemas de proporcionalidad
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA E INVERSA.
1.- En 50 litros de agua de mar hay 1.300 g. de sal. ¿Cuántos litros hacen falta para 5.200 g. de sal?
2.- Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 kms. ¿Cuántos kms. recorrerá con 28 litros?
3.- 5 Obreros hacen una pared en 15 días. ¿Cuánto tardarán 3 obreros en hacer la misma pared?
4.- Un granjero tiene pienso para alimentar a sus 12 vacas durante 45 días. Si compra 3 vacas más, ¿Cuánto le durará el pienso?
5.-Una rueda da 4.590 vueltas en 9 minutos. ¿Cuántas vueltas dará en 2 horas y media?
6.- Un deportista recorre 4.500 m. en 10 minutos. ¿Cuántos km. recorrerá en media hora?
7.- 4 albañiles tardan en arreglarme el tejado 18 días. Si quiero acabar el tejado en 12 días, ¿Cuántos albañiles tengo que contratar?
8.- Un camión que carga 3.000 kg. da 15 viajes para transportar una carga. ¿Cuántos viajes dará otro camión que carga 4,5 toneladas en transportar la misma carga?
Problemas de Porcentajes
1.- Un billete de avión a Paris costaba el verano pasado 460 €. Si este año ha subido un 20 %, ¿cuánto vale el billete?
2.- Una tienda pone una oferta con una rebaja del 15 %. Si un televisor está marcado en 900 €, ¿Qué rebaja me harán? ¿Cuánto voy a pagar por el televisor?
3.- El gasto de electricidad de este mes es de 90 €. Al recibir la factura tengo que pagar además el 18 % de IVA. ¿Cuál es el coste total de la factura?
4.- He comprado un ordenador que costaba 600 €, pero ahora está rebajado con el 25 %. ¿Cuánto pago por el ordenador?
5.- He comprado una bicicleta por 250 €. Si quiero ganarme un 32 %, ¿A cómo debo venderla?
Ejercicios de ecuaciones lineales
Resuelve las ecuaciones.
1 a.11 =
v
9
1 b. 10v = 3
2 a. v = 7
8
2 b. 4 – z = 2
3 a.12 =
y
9
3 b. 4 + t = 11
4 a. 3p = 4
4 b. t = 8
8
5 a. c = 6
12
5 b. w = 4
5
6 a. s – 5 = 10
6 b.6 =
c
10
Ejercicios de ecuaciones lineales
Resuelve las ecuaciones.
1 a. k – 7 = 2
1 b. c = 7
9
2 a. 6 = c + 4
2 b.12 =
w
2
3 a. y + 7 = 5
3 b. 3 = 6 – s
4 a.9 =
w
4
4 b.12 =
t
10
Ejercicios de ecuaciones lineales
Resuelve las ecuaciones.
1 a.11 – 10 =
a
3
1 b.12 – 1 =
z
8
2 a. 11 = p – 5
2 b. 3 = 9 – t
3 a. 12 = 9v
3 b. 3 = 5y
4 a. y = 2 – 1
5
4 b.12 · 8 =
n
9
Ejercicios de ecuaciones lineales
Resuelve las ecuaciones.
1 a.8 =
n
3
1 b. 11 – y = 5
2 a.6 – 3 =
c
8
2 b. 7 + 9 = 7 + v
3 a. 5 · 1 = v + 1
3 b. 2 + 11 = 2 + p
4 a. 11 = w – 8
4 b. 11 – v = 10 – 8
EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Ejercicio nº 1.- a) Resuelve por sustitución:
b) Resuelve por reducción:
Ejercicio nº 2.- a) Resuelve por igualación:
b) Resuelve por reducción:
Ejercicio nº 3.-
a Resuelve por sustitución:
b Resuelve por reducción:
Ejercicio nº 4.- a) Resuelve por sustitución:
b) Resuelve por igualación:
Ejercicio nº 5.-
a Resuelve por igualación:
b Resuelve por reducción:
5 2 1
3 3 5
x y
x y
2 6
4 3 14
x y
x y
5 2 2
2 2
x y
x y
5 3
2 4 12
x y
x y
3 5 15
2 3 9
x y
x y
4 6 2
6 5 1
x y
x y
2 3 14
3 14
x y
x y
2 3 2
6 12 1
x y
x y
5 2 11
2 3 12
x y
x y
2 4 7
3 5 4
x y
x y