función cuadrática

Función Cuadrática

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Profesora: Srta. Yanira Castro Lizana

Definición

• Se llama función cuadrática a una función polinómial real de variable real, que tiene grado dos. La función cuadrática tiene la forma:

El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los números reales, decir que :

D: f = IR • El dominio de esta función es el conjunto de los números

reales y su gráfico es siempre una parábola.

0

)( 2

a

cbxaxxfy

Función Cuadrática

Como vimos en Matemática diferenciada, ya sabemos que con la información que nos entrega los coeficientes de la función cuadrática, podemos graficar la curva.

0

)( 2

a

cbxaxxfy

Donde , y

son los coeficientes de la función

ba c

Siguiente

Función Cuadrática

1. Concavidad

2. Puntos de corte eje x. (discriminante)

3. Máximo y mínimo

4. Coordenadas del vértice

5. Intersección de la parábola con el eje y

6. Ejemplo

7. Ejercicios

Salir

Función Cuadrática

- Si , la parábola se abre hacia arriba.

0a

Para cbxaxxfy 2)(

- Si , la parábola se abre hacia abajo.

0a

1.Concavidad :

Volver

Función Cuadrática

2. Análisis de discriminante acbx 42

Si , la parábola corta en dos puntos al eje x

0x

Si , la parábola corta en un único punto al eje x

Si , la parábola no corta al eje x

0x

0x

Siguiente

Función Cuadrática

2. Análisis de discriminante acbx 42

Si , debemos encontrar las soluciones de la ecuación de segundo grado para determinar los puntos de intersección de la parábola con el eje x

0x

Volver

Observación importante:

Función Cuadrática

3. Máximo o Mínimo

- Si , la parábola se abre hacia arriba.Tiene valor mínimo

0a

- Si , la parábola se abre hacia abajo.Tiene valor máximo

0a

Volver

Función Cuadrática

4. Coordenadas de punto Máximo o Mínimo (Vértice de la parábola)

Para cbxaxxfy 2)(

a

bf

a

bV

2,

2

Ejemplo

Función Cuadrática

Ejemplo: Si 26)( 2 xxxfy

2;6;1 cba

a

bf

a

bV

2,

2Reemplazando:

12

)6(,

12

)6(fV 3,3 fV

7)3(

2363)3( 2

f

f 7,3 V

Siguiente

Función Cuadrática

Gráficamente:

Volver

Función Cuadrática

5. Punto de intersección de la parábola con el eje y

Para cbxaxxfy 2)( , si 0x

cfy )0(

c,0

EjemploVolver

Función Cuadrática

Ejemplo: Si 25)( 2 xxxfy

si 0x

2)0( fy

El punto de intersección de la parábola con el eje y es:

2,0Volver

Función Cuadrática

Grafique 32)( 2 xxxfy

1. Concavidad: 01a

2. Análisis de discriminante:

3;2;1 cba

acbx 42 016 x

La parábola corta en dos puntos al eje x

0322 xx0)1)(3( xx

1

3

2

1

x

x Puntos de intersección de la parábola con el eje x

La parábola se abre hacia arriba.

Siguiente

Función Cuadrática

3. Máximo o mínimo: Si 01a La parábola se abre

hacia arriba. Tiene valor mínimo.

4. Coordenadas del vértice:

a

bf

a

bV

2,

2

Reemplazando:

12

)2(,

12

)2(fV

3;2;1 cba

1,1 fV

3121)1( 2 f 4 4,1 VSiguiente

Función Cuadrática

5. Punto de intersección de la parábola con el eje y

Si 0x

3020)0( 2 f

3)0( f

3,0

, en la función 32)( 2 xxxfy

Siguiente

Función Cuadrática

Gráficamente:

Volver

Función Cuadrática

- Grafica las siguientes parábolas.

84)(.7

32)(.6

12)(.5

32)(.4

232)(.3

12)(.2

32)(.1

2

2

2

2

2

2

2

xxfy

xxfy

xxxfy

xxxfy

xxxfy

xxxfy

xxxfy

Volver

EJE DE SIMETRÍA• Otro elemento importante de la parábola es

el eje de simetría, que como sabemos es una recta vertical que pasa por vértice. Su ecuación es:

• Este eje se llama de simetría debido a que si trazamos cualquier recta• perpendicular al mismo, vemos que la distancia desde un punto de la curva• al eje de simetría, es igual a la distancia desde dicho eje al punto ubicado

en• la otra rama. Así pues, la parábola es una curva con ramas simétricas.

Crecimiento y decrecimiento• Observando el gráfico de la función

cuadrática, vemos que:• 1 )  Si   a  >  0 ,  entonces: • a )  La función decrece en el intervalo:

• b )  Crece en el intervalo:

• c )  Su valor mínimo es:

• 2 )  Si   a  <  0 ,  entonces:• a )  La función crece en el intervalo:

• b )  Decrece en el intervalo:

• c )  Su valor máximo es:

Recorrido• A partir de lo dicho en "Crecimiento y

decrecimiento" , se concluye que:•

1 )  Si   a  >  0 ,  entonces el recorrido de la función cuadrática es:

• 2 )  Si   a  <  0 ,  entonces el recorrido de la función cuadrática es: