estado de esfuerzos

Recordemos que se entiende por Carga distribuida uniformementeRecordemos que se entiende por Carga distribuida uniformemente

a) Sobre una líneaa) Sobre una línea

W = w·L

w

L/2 L/2

= F

En que w es la intensidad de carga local de la resultante W

b) Sobre una superficie

w

W = w· A = F

En que w es la intensidad de carga local

Área A

Analicemos un cuerpo cargado

Sean Fi las fuerzas externas ,

existiendo k fuerzas

F3

F1

Fk Fk-1

F2

Fk-2

F1

Fk Fk-1

F2

Fk-2

n normal al plano

F1

Fk Fk-1

n A

F1

Fk Fk-1

Reacciones sobre esta parte izquierda de la parte derecha que se quitó

En especial , el área delta A que En especial , el área delta A que incluye al punto P en estudio incluye al punto P en estudio transmitirá una parte de fuerza transmitirá una parte de fuerza F F

F1

Fk Fk-1

n

F

P

F1

Fk Fk-1

F

P

F se repartirá aproximadamente en forma uniforme en el área A (siempre que se cumpla el Principio de Saint-Venant)

De tal modo que podemos considerar una intensidad local promedio de F / A

nIntensidad local promedio

Osvaldo Amigo:

Viene ahora uno de los procesos conceptualmente más interesante de esta asignatura, que es llevar al límite

Osvaldo Amigo:

Viene ahora uno de los procesos conceptualmente más interesante de esta asignatura, que es llevar al límite

Llevando al límite el área A ( y como por definición el punto P siempre debe estar en el área A) , se tiene:

P L í m A P A 0

F1

Fk Fk-1

F

P

esfuerzo en el punto P y en la cara n

Lím( F/ A) = A 0

n

n

n

n

F1

Fk Fk-1

Es necesario ahora cortar por otros cinco planos respectiva-

mente perpendiculares con el propósito de poder representar

el punto P como un cubo de aristas de dimensiones nulas

Fk

Fk-1

Usualmente uno de los planos que cortará al cuerpo es el plano X y otro será el plano Y

x

y

X

Z

y

Fk

Fk-1

x X

Z

z

DEF: decimos que se conoce el ESTADO DE ESFUERZOS en un punto si se conocen los esfuerzos en tres caras respectivamente perpendiculares

DEF: decimos que se conoce el ESTADO DE ESFUERZOS en un punto si se conocen los esfuerzos en tres caras respectivamente perpendiculares

X

X

Y

Z

y

y

x

x

z

z

Cara X positiva

Cara Y positiva

Las caras de un punto tienen signos asociados quecorresponden al signo de su normal exterior

Y si se utilizan coordenadas XYZ se puede descomponer el esfuerzo en cada

cara en sus tres componentes

El primer subíndice xi representa la cara sobre la que actúa y el segundo subíndice xj el sentido en que actúa

Asi en las caras X,Y y Z se tiene

Asi en las caras X,Y y Z se tiene

i ix x x xj j

ix

xx

xy

xz

yy

yx yz

zx

zy

zz

LA MATRIZ DE ESFUERZOSLA MATRIZ DE ESFUERZOS

xx xy xz xx xy xz

yx yy yz xy yy yz

zx zy zz xz yz zz

xx xy xz xx xy xz

yx yy yz xy yy yz

zx zy zz xz yz zz

Se expresa matemáticamente el estado de esfuerzos por la matriz de esfuerzos

ij

ij =

XX XY XZ

YX YY YZ

ZX ZY ZZ

Se puede demostrar mediante sumatoria de momentos en torno a cada eje queSe puede demostrar mediante sumatoria de momentos en torno a cada eje que

i j ix x x x x xj i j

Osvaldo Amigo:

Es usual emplear el símbolo (sigma) para aquella situación en que los subíndices son iguales y se denomina esfuerzo normal(perpendicular a la cara)

En tanto es usual el símbolo (táu) cuando los subíndices son distintos y se denomina esfuerzo de corte (paralelo a la cara)

Osvaldo Amigo:

Es usual emplear el símbolo (sigma) para aquella situación en que los subíndices son iguales y se denomina esfuerzo normal(perpendicular a la cara)

En tanto es usual el símbolo (táu) cuando los subíndices son distintos y se denomina esfuerzo de corte (paralelo a la cara)

Osvaldo Amigo:

Para una mejor expedición en la comprensión y uso de los conceptos de Mecánica de Sólidos es altamente conveniente la memorización de las notas puestas entre comillas por el profesor.

Osvaldo Amigo:

Para una mejor expedición en la comprensión y uso de los conceptos de Mecánica de Sólidos es altamente conveniente la memorización de las notas puestas entre comillas por el profesor.

“Si existe un esfuerzo de corte en una cara xi y en la dirección xj entonces existe otro esfuerzo de corte igual en la cara perpendicular xj y en la dirección xi

Así :

x

Y

xyxy

xy

xy

Osvaldo Amigo:

“El signo de un esfuerzo se determina multiplicando algebraicamente el signo de la cara por el signo del vector que lo representa”

Osvaldo Amigo:

“El signo de un esfuerzo se determina multiplicando algebraicamente el signo de la cara por el signo del vector que lo representa”

Todos los esfuerzos representados hasta ahora han sido positivos.

ij =

x xy xz

xy y yz

xz yz z

x xy xz

y yz

z

“La matriz de esfuerzo es una matriz simétrica”

Osvaldo Amigo:

Observe la similitud con la matriz de Inercia en la cual los momentos de inercia corresponden a los esfuerzos principales y menos los productos de inercia corresponden a los esfuerzos de corte.

Osvaldo Amigo:

Observe la similitud con la matriz de Inercia en la cual los momentos de inercia corresponden a los esfuerzos principales y menos los productos de inercia corresponden a los esfuerzos de corte.

Veamos ahora algunos estados definidos por matrices típicas.

Veamos ahora algunos estados definidos por matrices típicas.

Estado uniaxial de esfuerzos

0 0

0 0 0

0 0 0

Estado de corte puro

0 0

0 0

0

Estado de esfuerzos plano los esfuerzos sobre una cara por ej. Z son nulos

xx

y

yxy

xy0

0

0

x xy

y

Estado que veremos en detalle la próxima clase