ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS

ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS

Anteriormente se ha supuesto un estado de esfuerzo plano con:

Y considerando slo transformaciones de esfuerzo asociadas con una rotacin alrededor del eje z.

Ahora consideraremos el estado de esfuerzo general (figura a) y la transformacin de esfuerzos con la rotacin de ejes mostrada en la figura b)

Considerando un tetraedro

Tres de sus caras son paralelas a los planos coordenados. La cuarta cara ABC es perpendicular a la lnea QN. Si A es el rea de la cara ABC, y x, y, z, los cosenos directores de QN, se encuentra que el rea de las caras perpendiculares de los ejes X,Y y Z, son (A) x, (A) y, (A) z.

Si el estado de esfuerzo en Q esta definido por: x, y, z, xy, yz, zx Entonces las fuerzas ejercidas sobre las caras paralelas a los planos coordenados se pueden obtener multiplicando las componentes apropiadas del esfuerzo por cada rea.

Las fuerzas ejercidas sobre la cara ABC constan de una fuerza normal de magnitud nA dirigida a lo largo de QN y una fuerza cortante de Magnitud A perpendicular a QN, pero de direccin desconocida. Note que como QBC, QCA y QAB, enfrentan las direcciones negativas de los ejes, las fuerzas ejercidas sobre ellas deben mostrarse con sentidos negativos.

Ahora se expresa que la suma de las componentes de todas las fuerzas que actan en el tetraedro a lo largo de QN son cero. Las componentes de una fuerza paralela al eje X a lo largo de QN, se obtiene multiplicando su magnitud por x, y que las componentes de las fuerzas paralelas a los ejes Y y Z se obtienen en forma similar.

Se escribe:

Dividiendo entre A y despejando a n

Se observa:La expresin obtenida es una forma cuadrtica en los cosenos directores. y Se pueden escoger los ejes coordenados de tal manera que el miembro derecho de la ecuacin se reduzca a los 3 trminos que contienen los cuadrados de los cosenos directores.y

Llamando estos ejes a,b y c, los correspondientes esfuerzos normales por a, b y c y los cosenos directores de QN, con respecto a estos ejes, por a, b, c, se escribe:

Los ejes coordenados a, b, c son los ejes principales de esfuerzo Los planos coordenados correspondientes son los planos principales de esfuerzo y los correspondientes a, b, c esfuerzos normales son los esfuerzos principales en Q.