ejercicios resueltos de matemáticas aplicadas

1

1.- En un estudio sobre el número de bacterias que aparecen en determinados cultivos se tomaron 100 de estos cultivos y se contó el número de bacterias que aparecieron en cada uno de ellos.

a) Representar el diagrama de barras y la curva dedistribución.b) Obtener la moda y la mediana.c) Obtener la media y la desviación típicad) Obtener el coeficiente de asimetría.

xi ni

0 41 62 203 404 205 10

n = 100

DESCRIPTIVA

2

xi ni

0 41 62 203 404 205 10

n = 100

a) Diagrama de barras

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5

3

a) Curva de distribución.

1

0.30

0 3 4 51

0.10

0.90

0.70

xi ni fi Ni Fi

0 4 0.04 4 0.041 6 0.06 10 0.12 20 0.2 30 0.33 40 0.4 70 0.74 20 0.2 90 0.95 10 0.01 100 1

n = 100 1

2

0.04

4

b) Moda y mediana

xi ni fi Ni Fi

0 4 0.04 4 0.041 6 0.06 10 0.12 20 0.2 30 0.33 40 0.4 70 0.74 20 0.2 90 0.95 10 0.01 100 1

n = 100 1

Moda = 3

n / 2 = 50Fi = 0.5

Mediana = 3

5

c.- Media y desviación típica

xi ni nixi nixi2

0 4 0 01 6 6 62 20 40 803 40 120 3604 20 80 3205 10 50 250

n = 100 296 1016

1 296: 2.96100

ki i

in x

Media xn

2

22 21 1016 2.96 1.3984100

ki i

in x

xn

1.3984 1.1825

6

d.- Coeficiente de asimetría

xi ni ni (xi – )3

0 4 - 103.3761 6 - 45.1742 20 - 17.683 40 0.00264 20 22.485 10 84.89

n = 100 - 59.22

31

359.22 0.5922100

ki i

in x x

n

x

31 3 3

0.5922 0.35851.1825

7

2.- En un experimento de germinación fueron sembradas 80 filas con 10 semillas de col cada una. La distribución del número de semillas de col que germinaron en cada fila se da en la tabla adjunta.

a) Representar el diagrama de barras.b) Obtener la moda y los cuartiles.c) Obtener la media, la desviación típica y el coeficiente de variación

xi ni

0 61 202 283 124 85 6

n = 80

8

xi ni

0 61 202 283 124 85 6

n = 80

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5

a) Diagrama de barras

9

b).- Moda y cuartiles

xi ni fi Ni Fi

0 6 0.075 6 0.0751 20 0.25 26 0.3252 28 0.35 54 0.6753 12 0.15 66 0.8254 8 0.1 74 0.9255 6 0.075 80 1

n = 80 1

Moda = 2

Fi = 0.25

Q2 = 2º Cuartil = Mediana = 2

Fi = 0.5

Fi = 0.75

Q1 = 1º Cuartil = 1

Q3 = 3º Cuartil = 3

10

c) Media, desviación típica y coeficiente de variación

xi ni nixi nixi2

0 6 0 01 20 20 202 28 56 1123 12 36 1084 8 32 1285 6 30 150

n = 80 174 512

1 174: 2.17580

ki i

in x

Media xn

2

22 21 512 2.175 1.7437580

ki i

in x

xn

1.74375 1.3205 1.3205. . 0.60712.175

x

C V

11

3.- En una especie de mamíferos se esta estudiando el numero de crías de una camada. Obtener:

a) La moda.b) Los cuartiles.c) El rango intercuartilico.d) El coeficiente de variación.

Nº Crías Nº Camadas n i

0 21 32 103 104 55 06 5

12

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7

a) Moda

Moda = 2 y 3 Distribución Bimodal

Nº Crías Nº Camadas = ni

0 21 32 103 104 55 06 5

13

b) Cuartiles

Q2 = 2º Cuartil = Mediana = 3

n / 4 = 8.75

n / 2 = 17.5

3 n / 4 = 26.25

Q1 = 1º Cuartil = 2 Q3 = 3º Cuartil = 4

xi ni Ni

0 2 21 3 52 10 153 10 254 5 305 0 306 5 35

n = 35

c) El rango intercuartilico

R I = Q3 – Q1 = 4 – 2 = 2

14

d) Coeficiente de variación

xi ni nixi nixi2

0 2 0 01 3 3 32 10 20 403 10 30 904 5 20 805 0 0 06 5 30 180

n = 35 103 393

1 103: 2.942835

ki i

in x

Media xn

2

22 21 393 2.9428 2.568535

ki i

in x

xn

2.5685 1.6026 1.6026. . 0.54452.9428

x

C V

15

4.- La clasificación de los alumnos por edades de un grupo escolar se da en la siguiente tabla.

a) Representar el histogramab) Calcular la media y la desviación típica

c) Calcular la moda, la mediana y Q3

d) Calcular la edad que es superada por el 30% de los alumnose) Obtener el porcentaje de alumnos con menos de 6 años y mediof) Calcular los coeficientes de sesgo y curtosis

Edad ni

Menos de 5 345 – 7 567 – 9 47

9 – 11 3211 – 13 26

Mas de 13 5

n = 200

16

Edad ni

Menos de 5 345 – 7 567 – 9 479 – 11 3211 – 13 26

Mas de 13 5

n = 200

a) Representar el histograma

3 5 7 9 11 13 15

26

34

47

ni

5

56

17

b) Media y desviación típica

Edad xi ni nixi nixi2

3 – 5 4 34 136 5445 – 7 6 56 336 20167 – 9 8 47 376 30089 – 11 10 32 320 320011 – 13 12 26 312 374413 - 15 14 5 70 980

n = 200 1550 13492

1 1550: 7.75200

ki i

in x

Media xn

2

22 21 13492 7.75 7.3975200

ki i

in x

xn

7.3975 2.7198 2.72

18

c) Moda, mediana y Q3

Moda

Fi = 0.5

Fi = 0.75

Edad ni fi Fi

3 – 5 34 0.17 0.175 – 7 56 0.28 0.457 – 9 47 0.235 0.6859 – 11 32 0.16 0.84511 – 13 26 0.13 0.97513 – 15 5 0.025 1

n = 200 1

11

1 1

56 345 2 6.419

56 34 56 47

i ii i

ii i i

h hMo

h h h he a

11

10.5 0.452 7 2 7.425

0.235

ii i

i

FMe

fe a

175 1

750.75 0.685100 9 2 9.8125

0.16

ii i

i

F

fP e a

19

d) Edad que es superada por el 30% de los alumnos

170 1

700.7 0.685100 9 2 9.1875

0.16

iii

i

Fe a

fP

e) Porcentaje de alumnos con menos de 6 años y medio

Edad ni fi Fi

3 – 5 34 0.17 0.175 – 7 56 0.28 0.457 – 9 47 0.235 0.6859 – 11 32 0.16 0.84511 – 13 26 0.13 0.97513 – 15 5 0.025 1

n = 200 1

11

0.17100 1005 2 6.5

0.28

ik ii

i

k kFe a

fP

6.5

Fi = 0.7

6.5 5 0.280.17 0.38 38 %

100 2 k k

20

f) Coeficientes de sesgo y curtosis

xi ni ni (xi – )3 ni (xi – )4

4 34 - 1792.9687 6723.63286 56 - 300.125 525.21878 47 0.7344 0.1836

10 32 364.5 820.12512 26 1995.9062 8482.601514 5 1220.7031 7629.3945

n = 200 1488.75 24181.1561

31

31488.75 7.4437

200

ki i

in x x

n

x

31 3

7.4437 0.369820.1236

41

424181.1561 120.9057

200

ki i

in x x

n

42 4

120.90573 3 0.791154.7363

x

21

5.- Los datos siguientes representan presiones sistólicas de la sangre de 200 mujeres escogidas al azar, de 30 años de edad. Determinar:

a) Porcentaje de mujeres cuya presión sistólica es inferior a 150.

b) ¿Qué presión es superada por el 30% de las mujeres observadas?

c) Moda y medianad) Media y varianzae) Porcentaje de mujeres cuya presión sistólica está

comprendida entre: 2 yx x

Presión ni

Menos de 115 25115 – 130 30130 – 145 35145 – 170 75170 – 180 20

Mas de 180 15

n = 200

22

a) Porcentaje de mujeres cuya presión sistólica es inferior 150

Presión n i fi Fi

100 – 115 25 0.125 0.125115 – 130 30 0.15 0.275130 – 145 35 0.175 0.45145 – 170 75 0.375 0.825170 – 180 20 0.1 0.925180 – 190 15 0.075 1

n = 200

150

Fi = 0.7

11

0.45100 100145 25 150

0.375

ik ii

i

k kFe a

fP

150 145 0.3750.45 0.525 52.5 %

100 25 k k

b) Presión superada por el 30% de las mujeres

170 1

700.7 0.45100 145 25 161.66

0.375

iii

i

Fe a

fP

23

c) Moda y mediana

1

1 11

i ii i

ii i i

h hMo e a

h h h h

Presión n i h i= n i / a i fi Fi

100 – 115 25 1.666 0.125 0.125115 – 130 30 2 0.15 0.275130 – 145 35 2.333 0.175 0.45145 – 170 75 3 0.375 0.825170 – 180 20 2 0.1 0.925180 – 190 15 1.5 0.075 1

200 1

Mo

Me

3 2.333145 25 155

3 2.333 3 2

150 1

500.5 0.45100 145 25 148.33

0.375

iii

i

Fe a

fP

24

d) Media y varianza

Presión x i n i n i x i n i x i2

100 – 115 107.5 25 2687.5 288906.25115 – 130 122.5 30 3675 450187.5130 – 145 137.5 35 4812.5 661718.75145 – 170 157.5 75 11812.5 1860468.75170 – 180 175 20 3500 612500180 – 190 185 15 2775 513375

200 29262.5 4387156.25

1 29262.5: 146.3125200

ki i

in x

Media xn

2

22 21 4387156.25 146.3125 528.4336200

ki i

in x

xn

528.4336 22.9876 22.99

25

e) Porcentaje de mujeres con presión sistólica entre: 2 yx x

Presión n i fi Fi100 – 115 25 0.125 0.125115 – 130 30 0.15 0.275130 – 145 35 0.175 0.45145 – 170 75 0.375 0.825170 – 180 20 0.1 0.925180 – 190 15 0.075 1

n = 200 1

0.12510011 15 123.32 20.82 %

0.155 k

k

kP

123.32

169.3

146.31; 22.99 169.3; 123.32 x x x

2 192.29; 2 100.33 100%x x

0.4510014 25 169.3 81.45 %

0.3755 k

k

kP

81.45 % – 20.82 % = 60.63 %

26

6.- Los datos siguientes representan el peso en gramos de un grupo de animales.

1.- Representar el histograma y la curva dedistribución.2.- Obtener:a) La moda, la mediana y el 3º Cuartil.b) Porcentaje de animales con un peso inferior

a 197 gramos.c) Coeficiente de variación.d) Coeficientes de asimetría y aplastamiento.

Peso ni

175 – 180 2180 – 185 6185 – 190 9190 – 200 15200 – 205 11205 – 210 4210 – 215 3

n = 50

27

1.- Histograma

Peso ni h i= n i /a i fi Fi

175 – 180 2 0.4 0.04 0.04180 – 185 6 1.5 0.12 0.16185 – 190 9 1.8 0.18 0.34190 – 200 15 1.5 0.30 0.64200 – 205 11 2.2 0.22 0.86205 – 210 4 0.8 0.08 0.94210 – 215 3 0.6 0.06 1

50 1

175 180 185 190 200 205 210

1.8

ni

1.5

0.4

0.8

215

2.2

0.6

28

1.- Curva de distribución.

Peso ni h i= n i /a i fi Fi

175 – 180 2 0.4 0.04 0.04180 – 185 6 1.5 0.12 0.16185 – 190 9 1.8 0.18 0.34190 – 200 15 1.5 0.30 0.64200 – 205 11 2.2 0.22 0.86205 – 210 4 0.8 0.08 0.94210 – 215 3 0.6 0.06 1

50 1

1

0.64

175 180 185 210190

200

0.860.94

0.34

205 215

0.040.16

29

a) La moda, la mediana y el 3º Cuartil

Peso ni h i= n i /a i fi Fi

175 – 180 2 0.4 0.04 0.04180 – 185 6 1.5 0.12 0.16185 – 190 9 1.8 0.18 0.34190 – 200 15 1.5 0.30 0.64200 – 205 11 2.2 0.22 0.86205 – 210 4 0.8 0.08 0.94210 – 215 3 0.6 0.06 1

50 1

Moda

Fi = 0.5

Fi = 0.75

11

1 1

2.2 1.5200 5 201.666

2.2 1.5 2.2 0.8

i ii i

ii i i

h hMo

h h h he a

11

10.5 0.342 190 10 195.333

0.30

ii i

i

FMe

fe a

175 1

750.75 0.64100 200 5 202.5

0.22

ii i

i

F

fP e a

30

b) Porcentaje de animales con un peso inferior a 197 gramos

11

0.34100 100190 10 197

0.30

ik ii

i

k kFe a

fP

197 190 0.300.34 0.55 55 %

100 10 k k

Peso ni fi Fi

175 – 180 2 0.04 0.04180 – 185 6 0.12 0.16185 – 190 9 0.18 0.34190 – 200 15 0.30 0.64200 – 205 11 0.22 0.86205 – 210 4 0.08 0.94210 – 215 3 0.06 1

50 1

197

31

c) Coeficiente de variación

Peso x i ni n i x i n i x i2

175 – 180 177.5 2 355 63012.5180 – 185 182.5 6 1095 199837.5185 – 190 187.5 9 1687.5 316406.25190 – 200 195 15 2925-a 570375200 – 205 202.5 11 2227.5 451068.75205 – 210 207.5 4 830 172225210 – 215 212.5 3 637.5 135468.75

50 9757.5 1908393.75

1 9757.5: 195.1550

ki i

in x

Media xn

2

22 21 1908393.75 195.15 84.352550

ki i

in x

xn

84.3525 9.1843 9.1843. . 0.047195.15

x

C V

32

d) Coeficientes de asimetría y aplastamiento

Peso x i n i ni (xi – )3 ni (xi – ) 4

175 – 180 177.5 2 – 10996.74425 194092.536180 – 185 182.5 6 – 12145.70775 153643.203185 – 190 187.5 9 – 4029.274125 30823.94706190 – 200 195 15 – 0.050625 0.007593200 – 205 202.5 11 4367.719125 32102.73557205 – 210 207.5 4 7534.6115 93052.45202210 – 215 212.5 3 15668.22112 271843.6365

50 398.775 775558.5178

x

31

3398.775 7.9755

50

ki i

in x x

n

41

4775558.5178 15511.17036

50

ki i

in x x

n

31 3

7.9755 0.01029774.7082

42 4

15511.170363 3 0.81997115.15303

x

33

7.- Se esta estudiando el tiempo de supervivencia en horas de 100 ratones después de una inyección con una sustancia toxica.

a) Representar el histograma y la curva de distribución.

b) Obtener la moda y los cuartilesc) Determinar el numero de ratones con un tiempo

de supervivencia inferior a 35 horas. d) Determinar el numero de ratones con un tiempo

de supervivencia superior a 55 horas. e) Determinar el numero de ratones con un tiempo

de supervivencia comprendido entre 35 y 55 horas

Tiempo de Supervivencia

ni

20 – 30 1530 – 40 3040 – 45 2545 – 50 2050 – 60 10

n = 100

34

Tiempo de Supervivencia

ni h i= n i /a i

20 – 30 15 1.530 – 40 30 340 – 45 25 545 – 50 20 450 – 60 10 1

n = 100

a) Histograma

1.5

3

4

hi

1

5

20 30 40 45 50 60

35

a) Curva de distribución

Tiempo de Supervivencia

ni fi Fi

20 – 30 15 0.15 0.1530 – 40 30 0.30 0.4540 – 45 25 0.25 0.7045 – 50 20 0.20 0.9050 – 60 10 0.10 1

n = 100 1

1

0.45

20 30 40 45 50 60

0.70

0.90

0.15

36

b) Obtener la moda y los cuartiles

X i n i h i= n i /a i f i F i

20 – 30 15 1.5 0.15 0.1530 – 40 30 3 0.3 0.4540 – 45 25 5 0.25 0.7045 – 50 20 4 0.2 0.9050 – 60 10 1 0.1 1

100

5 340 5 43.333

5 3 5 4

Moda

Fi = 0.25

Fi = 0.50

Fi = 0.75

11

0.5 0.5 0.4540 5 410.25

ii i

i

FMe

fe a

175 1

0.75 0.75 0.745 5 46.250.2

ii i

i

Ff

P e a

125 1

0.25 0.25 0.1530 10 33.3330.3

ii i

i

Ff

P e a

1

11 1

i ii i

ii i i

h hMo

h h h he a

37

c) Nº ratones con tiempo de supervivencia inferior a 35

X i n i h i= n i /a i f i F i

20 – 30 15 1.5 0.15 0.1530 – 40 30 3 0.30 0.4540 – 45 25 5 0.25 0.7045 – 50 20 4 0.20 0.9050 – 60 10 1 0.10 1

100

d) Nº ratones con tiempo de supervivencia superior a 55

35

55

0.1510030 10 35 30 %

0.30 k

k

kP

0.9010050 10 55 95 %

0.10 k

k

kP

Nº ratones con T.de supervivencia < 35 = 30

Nº ratones con T.de supervivencia < 55 = 95 Nº ratones con T.de supervivencia > 55 = 5

e) Nº ratones con tiempo de supervivencia comprendido entre 35 y 55

Nº ratones: 35 < T. S. < 55 = 95 – 30 = 65

38

a) Coeficientes de variación de cada grupo

1 1.30.17 ; 0.26 6.5

A B

A BA BC V C Vx x

0.9 0.80.18 ; 0.25 4

C D

C DC DC V C V

x x

b) ¿Qué grupo resulta más homogéneo?

El coeficientes de variación del grupo A es el más pequeño El grupo A es el más homogeneo

1 ; 1.3 ; 0.9 ; 0.8A B C D

8.- Un Curso esta dividido en 4 grupos, de los cuales tenemos los siguientes datos sobre las notas de Estadística.Se pide:

a) Obtener los coeficientes de variación de cada grupo.

b) ¿Qué grupo resulta más homogéneo?

Grupo Nota Media VarianzaABCD

66.554

11.690.8100.64